第5章——弹性力学基础

4）各向同性假设
物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。 物体的弹性在各方向相同，弹性常数等物理量不随方向变化。
5）小变形假设
当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有 尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后 的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不 致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平 方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程 都成为线性方程。


N A
N sin sin A N sin cos A
显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力 状态，即通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点 取出的一个无穷小平行六面体。用六面体表面的应力分量来 表示p点的应力状态。
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一点的应力状态
材料力学： 截面上的剪应力
力对截面上任意一点的矩为顺时 针转向时，剪力为正；反之为负。
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切应力互等定理
在受力物体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存 在，且数值相等；两者都垂直于两平面的交线，方向共 同指向或背离这一交线。
z
zxzy xz xy
yz yx
弹力规定
假想切开物体，截面两边互相作用的力（合力和合力矩)，就 是内力。
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弹性力学中的基本概念
3）应力
定义：截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。
应力S在其作用截面上的法向 分量为正应力σ，切向分量称 为剪应力，用τ表示。
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弹性力学中的基本概念
一点应力的要素： 一点应力的要素： 大小 方向 作用点 作用面
=
h
+
+
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弹性力学中的基本概念
1）外力 ）外力（体力和面力）
定义：其它物体对研究对象（弹性体）的作用力。 体力 体力: 分布在物体体积内的力，如重力、惯性力和电磁力等。
z
V
fz
F
f P
fy
以单位体积内所受的力来量度： ΔF f lim Δv0 ΔV 矢量 f 方向沿 F 的极限方向
注意:
S ai xi a j x j ak xk
求和约定仅对字母指标有效，如:
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33 z
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指标记法和相关约定
重复不止一次的指标，求和约定失败。如：
fy
fx
P
f fxfyfz
2
2
2
o x
y
1 量纲（因次）： L MT2
符号：坐标正向为正。
体力和面力均表示单位体积、面积上的作用力，所以考虑平衡条 件求合力 求合力时，须乘以相应的体积和面积。
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弹性力学中的基本概念
2）内力
定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。
fx
f fx2 f y2 fz2
o x
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y
2 量纲（因次）： L MT2
符号：坐标正向为正。
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弹性力学中的基本概念
面力: 面力 分布在物体表面的力，如流体压力和接触力等。
z
S
fz
f
F
以单位面积所受的力来量度： ΔF f lim ΔS0 ΔS 矢量 f 方向沿 F 的极限方向
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弹性力学的基本假设
五个基本 五个 基本假设 假设
1) 连续性 2) 完全弹性 3) 均匀性 4) 各向同性 5) 小变形
引入假设的主要目的在于希望能利用数学工具来研究弹 引入假设的主要目的在于希望能利用数学工具 来研究弹 性力学。
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弹性力学的基本假设
1）连续性假设 从宏观上认为物体是连续的，则所有物理量如应力、应变和位移
ij (i, j x, y, z )
B. 力的指向
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i (i x, y, z )
ii
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一点的应力状态
应力的正负
如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上
的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。 相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这 个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向 为负。 截面两侧的物体上内力和应力都 是成对出现的，且数值相等，方 向相反（作用力与反作用力）， 采取上述规定则截开的两部分遵 守同一的规定。
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弹性力学中的基本概念
任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应 变)，用符号
来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码， y、 z 来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之， 分别用x、
线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。 任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角 应变或剪应变，用符号 来表示。两坐标轴之间的角应变，则加 上相应的角码，分别用 xy、 yz、 zx 来表示。规定当夹角变小 时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应。
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
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第5章: 弹性力学基础
材料力学的研究对象和内容
对象 内容 任务 杆状结构 杆件在 杆件在拉压、剪切、弯曲、扭转和组合 受力作用下的应力和位移 在满足 强度 、刚度 和 稳定性 的要求 下以最经济 下以最 经济的代价，为构件确定合理的 的代价，为构件确定合理的 形式和尺寸并选择适宜的材料提供必要 的理论基础和计算方法。
x y z σ x xy yz zx
σ
T
来表示：
y
z
xy
yz
zx
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弹性力学中的基本概念
4）位移和应变
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般 有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在 x 、 y 、 z 三个坐标轴上的 投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方 向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力 以后，各点的位移分为两类：形变有关的位移和与形变无关位 移（刚体位移） 。 体素的变形可以分为两类：一类是长度的变化，一类是角度的 变化。
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弹性力学的基本假设
在连续性 连续性、 、完全弹性 完全弹性、 、均匀性 均匀性、 、各向同性 各向同性和 和小变形 小变形假定下，弹性 假定下，弹性 力学问题化为线性问题，可应用叠加原理。 力学问题化为线性问题，可应用 叠加原理。 叠加原理：在线弹性( 叠加原理：在线弹性 (物理线性 物理线性) )和小变形（几何线性）情况下， 作用于物体上几组荷载产生的应力和变形的总效应，等于每组荷 载单独作用效应的总和。 P P q h q
材力规定
xy yx
x y y x
x z zx
x z zx
y z zy
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x
o
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y
y z zy
应力表述
可以证明：如果 x、 y、 z、 xy、 yz、 zx 这六个量在P 点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和 剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态， 它们就称为在该点的应力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描 述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而 是坐标x、y、z的函数。 六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵
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弹性力学的研究对象
研究对象 板、壳、地基、堤坝和挡土墙等 板、壳、地基、堤坝和挡土墙等实体 结构，以及对杆件结构做更为严密精 ，以及对杆件结构做更为严密精 确的研究。
研究任务 分析各种结构物或其构件在弹性阶段 的应力和位移，校核它们是否具有所 需的强度、刚度和稳定性，寻求或改 进它们的计算方法, 采取最优化的方 案解决安全与经济的矛盾。
经过物体内任一点如P点取出一个 经过物体内任一点如P 微小的正六面体，它的棱边分别 平行于三个坐标轴而长度分别为 PA x, PB y, PC z 。将每个面 ： 上的应力分解为一个正应力和两 个切应力。正应力用 表示，切 应力用 表示。 应力下标的含意： A. 作用面的外法线方向 A. 作用面的外法线方向 B. 力的指向
3、研究的方法
材料力学对 应力分布 或 形变状态 做一些近似假设，所得结果 往往是近似的、初等的，限于一定条件下应用；而弹性力学则 从 基本假设 出发，对物体的应力变形进行精确分析，所得结 果更为精确，可用来校核材力结果。
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弹性力学的基本假设
现实问题往往十分复杂，科学研究不可能 考虑所有因素，否则问题将难以求解。只能对 各种因素进行分析，抓住主要因素，忽略次要 因素，并概括主要因素建立一种抽象模型，对 该模型进行研究，其研究结果可用于任何符合 该模型的实际物体。 抓住主要矛盾和矛盾的主要方面
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指标记法和相关约定
S a1 x1 a2 x2 an xn ai xi a j x j ak xk
i 1 j1 k 1 n n n
显然，指标 i, , j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： 凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，表示对该指 标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为哑指标。于是： or or