第五章 空间回归分析

ui
.....................
ui
ui
uj
.............................
uj
.
. . ..
........................
uj
a)
b)
c)
无自相关假定表明随机扰动项ui是纯随机的。
• 自相关的性质：
自相关：在时间（如在时间序列数据中）或者空间 （如在横截面数据中）按顺序所列观察值序列
例如研究商品的需求量与该商品的价格、消费者 的收入以及其他同类商品的价格之间的关系。
通常我们用Y表示应变量，用X表示自变量。
回归分析是用来处理一个应变量与另一个或多个 自变量的关系，但它并不一定表明因果关系的存在。 两个变量是否存在因果关系，哪一个是应变量，哪一 个是自变量是由正确的理论决定的。
需要注意的是具有因果关系的变量之间一定具有 数学上的相关关系，而具有相关关系的变量之间并不 一定具有因果关系。
来自表2-1总体的两个随机样本
两个独立样本的回归线
总体回归线与样本回归线
Y
.Y1
需 求 量
. e1
u1
Yˆi b1 b2 Xi
.Yˆ1
EY | X B1 B2 Xi
A
..un Yn . en
Yˆn
0
X1 价格
Xn
X
5.2.6 “线性”回归的特殊含义
解释变量线性与参数线性
1. 解释变量线性 非线性举例：
B1又称为截距(intercept)，B2又称为斜率(slope)。 斜率度量了X每变动一个单位，Y的条件均值的变化率。
注意：回归分析是条件回归分析(conditional regression analysis)。
5.2.3 总体回归函数的统计或随机设定
随机总体回归方程(stochastic PRF)
OLS估计结果:
空间相关的探测
5.2 回归分析方法回顾
5.2.1 回归的含义
回归分析是用来研究一个变量（称之为被解释变 量explained variable 或应变量 dependent variable）与 另一个或多个变量（称之为解释变量 explanatory variable 或自变量 independent variable）之间关系的 一种分析方法。
最小二乘原理就是选择合适参数使得全部观察值的残差平 方和(RSS)最小，数学形式为：
min{
ei2} min{
(Yi
Yˆi
2
)
}
min{ Yi b1 b2 Xi 2} (2-11)
普通最小二乘法就是寻找使RSS达到最小时的参数 作为参数估计值的一种方法。
利用极值原理可以得到：
正规方程
Yi nb1 b2 X i
YiXi b1
Xi b2
X
2 i
求解得到： b1 Y b2 X
b2
xiyi xi2
Xi X Yi Y Xi X 2
(2-12) (2-13)
(2-14)
XiYi nXY
X
2 i
nX
2
(2-15)
5.2.8 经典线性回归模型的假定（CLRM）
总体回归函数PRF E(Y | X i ) B1 B2 X i (2-1)
随机总体回归方程(stochastic PRF)
Yi B1 B2 X i ui
(2-2)
如何估计总体回归函数，即求参数B1、B2呢？
如果已知整个总体的数据，如上例，问题就比较简单， 但在实际中，我们往往不能得到整个总体的数据，只有 来自总体的某一个样本数据，我们该怎么做？
5.2.2 总体回归函数
例子：不同家庭收入水平下的学生数学SAT成绩
家庭年收入与数学S.A.T分数
总体回归函数PRF
E(Y | X i ) B1 B2 X i
(2-1)
Y的条件期望，可简写为E(Y)
B1和B2是参数(parameters)，也称回归系数 (regression coefficients)。
例如：中国的国内生产总值与印度的人口之间具 有较强的相关性（相关系数较高），因为二者都以较 快的速度增长，但显然二者之间不具有因果关系。
回归分析的应用
（1）通过已知变量的值来估计应变量的均值 （2）根据经济理论建立适当的假设并对其进行检 验 （3）根据自变量的值对应变量的均值进行预测 （4）上述多个目标的综合
Yi B1 B2 X i ui
(2-2)
ui表示随机误差项(random error term)，简称误差项。
5.2.4 随机误差项的性质
（1）在解释变量中被忽略的因素的影响； （2）变量观测值的观测误差的影响； （3）其它随机因素的影响包括人类行为中的一些 内在随机性；
5.2.5 样本回归函数
的各数据间存在着相关。或者简单说，序列自 身前后期数据间存在相关性，称为自相关。
E(Y ) B1 B2 Xi 2
E(Y ) B1 B2 1 Xi
2. 参数线性
非线性举例：
E(Y
)
B1
B2 2
Xi
5.2.7 参数估计：普通最小二乘法
普通最小二乘法(OLS)
最小二乘原理
总体回归方程： Yi B1 B2 Xi ui 样本回归函数： Yi b1 b2 Xi ei
因而 ei Yi Yˆi Yi b1 b2 Xi
第五章 空间回归分析
5.1 一个回归例子
人均国内生成总值（GDP）与民主水平的关系 民主水平采用POLITY指数，它将国家按照一系列制度 标准划分成不同的类型。-10代表最不民主的社会，10代表 最民主的社会。
2002年世界各 国民主水平 与GDP
民主水平
人均GDP
回归方程：
POLITYscore 0 1 ln GDPpercapita
假定3.3 给定Xi，随机扰动项的期望为零。即
Eu | X i 0
假定3.4 同方差假定，即
Varui 2
假定3.5 无自相关假定，即
cov
u i
,u
j
0
i j
假定3.6 回归模型是正确设定的。即实证分析的
模型不存在设定误差或设定错误。扰动Βιβλιοθήκη 的条件分布同方差和异方差的对比
自相关
满足如下基本假定的线性回归模型称为古典线性回归模 型(Classical Linear Regression Model, CLRM)。
基本假定：
假定3.1 回归模型是参数线性的，但不一定是变量线性的。模
型形式如下：
Yi
B1
B2 X i
u i
假定3.2 解释变量X与随机扰动项u不相关。（X是确定性变量 时自然成立。）