线性规划解的各种情形

將問題改寫成標準型並引進人工變數
Min s.t.
cj cB xB M 0 M A1 s2 A3 zj cj-zj M 0 5 A1 s2 x2 zj cj-zj
3 x1 1 1 -1 0 3 1/2 3/2 -1/2
-2.5+0.5M 5.5-0.5M
5 x2 -1 1 2 M 5-M 0 0 1 5 0
bi 2 5 4 6M 4 3 2
10+4M
bi/aij
負數不考慮
5 2
8 2
負數不考慮
2.5+0.5M -2.5+0.5M
cj cB xB M 3 5 A1 x1 x2 zj cj-zj
3 x1 0 1 0 3 0
5 x2 0 0 1 5 0
0 s1 -1 0 0 -M M
M A1 1 0 0 M 0
0 s2 -1/3 2/3 1/3
0 s3 -2/3 1/3 -1/3
M A3 2/3 1/3 1/3 bi 3
第 三 表
bi/aij
2 3 ≧0
(11-M)/3 -2(1+M)/3 2(1+M)/3 21+3M (-11+M)/3 2(1+M)/3 (-2+M)/3
由第三表中可看出 {cj - zj} 所在列皆大於等於 0，目標函數是求極小化，{cj-zj} ≧ 0 表示目標函 數不能在減少，可見以達成最佳化，其解為 A1= 3，x1 = 2 ，x2 = 3，先前亦曾提及，人工變數 最後要為 0 ，如果不為 0 會破壞未引進人工變數 時等式關係。本題因 A1 為人工變數而 A1= 3≠0， 所以本題為無可行解。故在最佳解的情況下，若人 工變數在基礎變數中且不為零，則為無可行解。
由第四表可以發現所有的 cj - zj ≦ 0 最佳解已 得到，其解為 ( x1，x2，s1，s2，A2，s3 ) = ( 2， 4， 0， 5， 0， 0 ) Max z =10。 第五表亦是最佳解，其解為 ( x1，x2，s1，s2，A2，s3 ) = (10，0， 0， 9 ， 0 ， 4 ) Max z =10。 雖然xj值並完全不相同，但目標函數值 z = 10 是一 樣的，由第五表中亦可引進 s1，其 z值也為10，因 此本例題有多重解。那麼如何辨認是否為多重最佳
0 s2 0 -1 0 M -M 2 -1 1 -2 2
-M A2 0 1 0 -M 0 -2 1 -1 2
0 s3 bi 0 10 0 1 0 0 0 0 1 0 8 1 3 2 4
負數不考慮
bi/aij 5 1 4
1 4 -M
1+M 2+M
3
-2- M 0
cj cB xB 0 s1 2 x2 0 s2 zj cj-zj 1 2 0 x1 x2 s2 zj cj-zj
多重最佳解如何辨認呢？簡言之，從 {cj-zj} 所 在列來判斷，如果基礎變數有 K 個，{cj-zj} 所在列 的 0 超過 K 個，則表示此題就有多重最佳解。 如 本例題有 3 個基礎變數，而在第四表中，{cj-zj} 所 在列有 4 個 0；而在第五表中，{cj-zj} 所在列有 4 個 0，故本題為多重解。
負數不考慮
4 0
1 3 4 -1
1 0 4 0
代入變數
在第二表中，現行解並非最佳解，因為所有的 {cj－zj} ≤ 0，又 s1 的 c3-z3 = 4 ＞ 0，必須進入基礎 變數，然而s1所在的行為(
-1 -2
)皆為負數，找不到代
出變數，因而也找不到樞元素，無法做轉換，此時 為無限值解。因為 -1 和 -2 表示生產產品不僅沒有 把資源用掉，反而資源愈用愈多，資源愈用愈多， 獲取的利潤呈現無限大，亦既先前曾提及為何 bi/aij 負數不允考慮的原因。簡言之，若代入變數所在行 之係數皆為負數，則產生無限值解。
0 s3 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 bi 5 6 12 0 5 6 0 60 bi/aij ∞ 6 6
5 ∞ 0
cj cB xB 0 s1 10 x2 0 s3 zj cj-zj 0 10 6 s1 x2 x1 zj cj-zj
6 x1 1 0 3 0 6 0 0 1 6 0
10 x2 0 1 0 10 0 0 1 0 10 0
例 8：(退化解)
Max s.t.
z = 6x1+10x2 x1 ≦5 x2 ≦ 6 3x1+2x2 ≦12 x1≧0，x2≧0
z = 6x1+10x2 x1+s1 = 5 x2+s2 = 6 3x1+2x2+s3 = 12 xj≧0，j =1,2. si≧0，i =1,2,3.
將問題寫成標準型模式
cj cB -M 0 xB A1 s2 zj cj-zj x2 s2 zj cj-zj
3 x1 1 1 -M
3+M
4 x2 1 -2 -M
4+M
0 s1 -1 0 M -M -1 -2 -4 4
-M A2 1 0 -M 0 1 2 4 -4-M
0 s2 bi 0 4 1 5 0 -4M 0 0 4 1 13 0 16 0 ≤0 bi/aij 4
Max s.t.
cj cB xB 0 s1 0 s2 0 s3 zj cj-zj 0 s1 10 x2 0 s3 zj cj-zj
6 x1 1 0 3 0 6 1 0 3 0 6
10 x2 0 1 2 0 10 0 1 0 10 0
0 s1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 s2 0 1 0 0 0 0 -1 -2 10 -10
0 s2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
-M A2 0 0 -1 0 -M 0 0 -1 0 -M
0 s3 bi bi/aij -2 2 負數不考慮 1 4 4 -1 5 負數不考慮 第 四 0 10 表 0 ≤ 0 (最佳解) 0 10 2 1 4 ∞ 0 9 負數不考慮 第 五 0 10 表 0 ≤ 0 (最佳解)
獻為正值，理應 z 值會增加，為何沒有增加 ？ 我 們可以這樣解釋，在第二表中因為第三種資源已經 全部用完且其 bi/aij 又是最小，既然第三種資源用 盡且生產單位 x1 需第三種資源 3 單位，當然無法 生產出 x1 的產品數量，故 x1= 0，自然對目標函數 沒有任何貢獻。
解呢？我們是由 {cj － zj} 所在的列來判斷，先前曾 提及基礎變數所對應的 cj-zj 為0，在第四表中， x1 ,x2和s3是基礎變數，其對應的 c1-z1=c2-z2=c4-z4=0 ，我們也發現到 s3 的 c6-z6 = 0 引進為基礎變數的 話，對目標函數值的邊際貢獻為 0，也就是對目標 函數沒有影響，所以將 s3 引進成基礎變數 ，其目 標函數值亦為 z = 10，將第四表、第五表與第二章 圖 2-5 對照，完全一樣。 第四表(x1 ,x2) = (2,4) 第五表(x1 ,x2) = (10,0) 第二章圖2-5, D(2,4) 第二章圖2-5, E(10,0)
xj ≧0，j =1,2. si ≧0，i =1,2,3. A2≧0
cj cB xB 0 s1 -M 0 A2 s3 zj cj-zj 0 2 0 s1 x2 s3 zj cj-zj
1 x1 1 1 0 -M -1 1 -1 2 -1
2 x2 2 1 1 -M 0 1 0 2 0
0 s1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
例 7：(無可行解，第二章例 4)
Min s.t. z = 3x1+5x2 x1 - x2 ≧ 2 x1 + x2 ≦ 5 -x1+2x2 ≧ 4 x1≧0，x2≧0 z = 3x1+5x2+0s1+MA1+0s2+0s3+MA3 x1-x2-s1+A1 =2 =5 x1+x2 +s2 -x1+2x2 -s3+A3 = 4 x1,x2,s1,s2,s3,A1,A3≧0
0 s1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 s2 0 -1 -2 10 -10 2/3 1 -2/3 6 -6
0 s3 0 0 1 0 0 -1/3 0 1/3 2 -2
bi bi/aij 5 5 6 ∞ 0 0 60 ≦0
第 二 表
5 6 0 60
第 三 表
≦0
由第二表中得到的可行解基礎變數為 s1 = 5 ，x2= 6 ， s3 = 0，因為 s3 是基礎變數且等於 0， 此解即稱為退化解。又第二表中x1 的 c1-z1 = 6＞0 ，未得到最佳解，將x1引進基礎變數中，得到第三 表獲得最佳解s1= 5，x2= 6，x1= 0也是退化解。第 二表的退化解目標函數值 z = 60，第三表的退化解 目標函數值 z = 60 ，沒有增加； 依照前面解釋， 代入變數 x1之c1-z1 = 6 ＞ 0，對目標函數的邊際貢
第 四 節
線性規劃解的各種情形 線性規劃 的各種情形
在第二章第三節圖解法時介紹線性規劃的解有 多種情況，本節要探討如何由單形表中辨認之。 例 5：(多重最佳解，第二章例 2) Max z =x1+2x2 s.t. x1+2x2 ≦10 x 1+ x 2 ≧ 1 x2 ≦ 4 x1≧0，x2≧0
將問題寫成標準形並加入人工變數 Max s.t. z =x1+2x2+0s1+0s2－MA2+0s3 x1+2x2+s1 x1+x2 x2 =10 +s3=4 -s2+A2=1
例 6：(無限值解，第二章例 3)
Max s.t. z = 3x1+4x2 x 1+ x 2 ≧ 4 x1-2x2 ≦ 5 x1≧0，x2≧0 將問題寫成標準型並引進人工變數
Max z = 3x1+4x2+0s1-MA1+0s2 s.t. x1+x2-s1+A1 = 4 x1-2x2 +s2 = 5 x1，x2，s1，s2，A1≧0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0 s1 -1 0 0 -M M -1 0 0 -M M
M A1 1 0 0 M 0 1 0 0 M 0
0 s2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 s3 0 0 -1 -M M -1/2 1/2 -1/2
-2.5-0.5M
M A3 0 0 1 M 0 1/2 -1/2 1/2
2.5+0.5M
bi/aij 2 ∞
負數不考慮
負數不考慮
4
負數不考慮
0 10 0 ≤0
(已最佳解)
cj cB xB 1 x1 2 x2 0 s2 zj cj-zj 1 x1 s3 0 0 s2 zj cj-zj
1 x1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
2 x2 0 1 0 2 0 2 1 1 2 0
0 s1 1 0 1 1 -1 1 0 1 1 -1
1 x1 1 0 -1 0 1 1 0 0 1 0
2 x2 0 1 0 2 0 0 1 0 2 0
0 s1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 -1
0 s2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
-M A2 0 0 -1 0 -M 0 0 -1 0 -M
0 s3 bi -2 2 1 4 1 3 2 8 -2 -2 1 -1 2 4 5