谈对系统应用动能定理

谈对系统应用动能定理

一、关于动能定理的理解

功和能是两个基本物理量．功和能的关系可概括为：功是能量转化的量度．这句话包括三层含义：一是各种形式的能量之间可以相互转化，各物体的能量可以相互转移；二是能量的转化或转移可以通过做功来完成；三是在某一过程中，做了多少功，就有多少能量发生转化或转移．当在某一过程中只考虑动能这一种形式的能量，功和能的关系就表现为：功是动能转化的量度．这就是动能定理的本质含义．

对于某一个孤立的物体，外力对它所做的总功与合力所做的功是同一个意思，做功过程就是物体与外界进行能量交换、转移的过程，外界对物体做了多少总功，物体的动能就改变多少．对于一个由几个存在相互作用的物体组成的系统，外力可以对系统做功，内力也可以对系统做功，内力做功就表示系统的动能可以和系统内部某种形式的能量进行转化．即系统动能的变化是由系统的内力与外力做功之和来决定的．可见，对于系统也可以运用动能定理。

二、系统的动能定理及应用

1．系统的动能定理

如图1，光滑水平面上有A 、B 两物体，质量分别为m 1、m 2，设A 、B 之间存在大小恒定的引力f ．开始两物体之间距离为L 1，初速度均为零，现有一水平拉力F 作用在B 物体上，作用一段位移S 时，A 、B 两物体间距离变为L 2，

A 、B

对于A 物体： 212111()02

f s L L m v +-=- 对于B 物体：22102

Fs fs mv -=- 将这两个方程相加得：2212112211()22

Fs f L L m v m v +-=+

其中， 1W Fs =表示外力对于系统所做的功，212()W f L L =-表示系统内力对于系统所做的功．因此，系统的动能定理可以表示为：

K W W E +=∆外内

当系统的内力f 大小恒定时，cos W f s θ=⋅∆⋅内．其中θ取决于内力f 方向

与相对位移△S 的方向：两者方向相同时，0θ=，相当于12L L 〉,内力方向与相对位移方向相同时，系统内力做正功，可以理解为系统有势能转化为系统的动能；两者方向相反时，θπ=,相当于12L L 〈，系统内力方向与相对位移方向相反，系统内力做负功，可以理解为系统有动能转化为系统的势能；当0s ∆=，即系统内物体间无相对位移时，系统内力不做功，系统的势能不变化．在其它情景中W 内不一定代表系统势能与动能转化的量度．

2．系统的动能定理的应用

例1：如图2，一质量为M 的长不板，静止在光滑的水平面上，一质量为m 的小滑块（可视为质点）以水平速度0v 从长木板的一端开始在木板上滑行，直到离开木板．滑块离开木板时的速度为

03

v ．若把此木板固定在水平桌面上，其它条件相同时，求滑块离开木板时的速度．

分析与解：设第一次滑块离开时木板速度为v ，由系统的动量守恒，有：

003

v mv m Mv =+ 设滑块与木板间摩擦力为f ，木板长为L ，则对于滑块与木板组成的系统，只有两者间的内力即摩擦力做功，对系统应用动能定理，得：

22200111()2322

v fL m Mv mv -=+- 当木板固定时，滑块离开木板时速度为v /，对滑块应用动能定理，得：

/2201122fL mv mv -=-

图2

由以上三个方程解得，木板固定滑块离开木板时的速度为：

/v =此处系统的内力做功使系统的部分动能转化为系统的内能．木板固定与不固定两种情况，内力与相对位移都相同，内力所做的功也就相同，即系统产生的热能相同．

例2：一列总质量为M 的列车，沿平直铁路匀速行驶．某时刻，其质量为m 的末节车厢脱钩，司机发觉时，车的前部自脱钩处又行驶了距离L ，司机立即关闭发动机．设车所受阻力与车重成正比，机车的牵引力恒定．求列车的两部分最后都停下来时，其间的距离是多少？

分析与解：设开始列车的速度为v ，发动机牵引力大小为F ，阻力是车重的K 倍．从脱钩到两车都静止下来时，车厢的位移为S 1，车的前部的位移为S 2，则对整个系统从脱钩到都停下来的整个过程应用动能定理：

2121()02

FL Kmgs K M m gs Mv ---=- 对车厢应用动能定理：

21102

Kmgs mv -=- 而F KMg =

由以上方程解得最后车的两部分间的距离△S 为：

21ML s s s M m

∆=-=- 与上面的两条例题类似，在涉及物体间的相对位移的问题时，利用系统的动能定理来求解要方便的多．更重要的是，在学习过程中不能仅拘泥于教材，灵活运用合理的方法将有助于活化对概念规律的认识．