讲义-直线与圆的位置关系

一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定

1、设O ⊙的半径为r ,圆心O 到直线l 的距离为d ,则直线和圆的位置关系如下表：

从另一个角度,直线和圆的位置关系还可以如下表示：

二、切线的性质及判定

1． 切线的性质:

定理

:圆的切线垂直于过切点的半径.

推论１:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

2． 切线的判定:

定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

距离法:到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ３． 切线长和切线长定理：

⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长．

⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

①切线的判定定理

设ＯA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥O Ａ，则Ｏ到l 的距离d ＝r ,∴l 与⊙O 相切.因此,我们得到:切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

注：定理的题设①“经过半径外端”,②“垂直于半径”,两个条件缺一不可.结论是“直线是圆的切线”．举例说明:只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线.

_ l _A

_ A

_

l _

l

1）连接半径，证直线与此半径垂直；(2)作垂线，证垂足在圆上 ②切线的性质定理及其推论

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

三、三角形内切圆

１． 定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.

3.直角三角形的内切圆半径与三边关系

(1) (2）

图(1)中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =,其中()12p a b c =++； 图(2)中，90C ∠=︒，则()1

2

r a b c =+-

四、典例分析:切线的性质及判定

【例1】 如图,AB 是O 的直径,点D 在AB 的延长线上,过点D 作O 的切线，切点为C ,若25A =︒∠,则

D =∠_＿____．

_ O

_F _E

_ D _ C _ B

_ A

_ C

_ B _ A _ C

_ B

_ A

_c

_ b _a

_c

_ b

_a

A

例1 例2 巩固 【例2】 如图，直线AB 与O ⊙相切于点A ，O ⊙的半径为2，若30OBA ∠=︒，则OB 的长为（ )

A.

B.4 ﻩ

C. ﻩ

D.2

【巩固】如图,AB 与O ⊙相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，60AOB ∠=︒，4cm BC =，

则切线AB = cm .

【例3】 如图,若O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30︒,切线CD 与AB 的延长线交于点D ,且O 的半径为

２,则CD 的长为（ ) Ａ

.ﻩＢ

.

C ．2ﻩ

D ．4

例 2 巩固

【巩固】如图，EB 为半圆O 的直径,点A

在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，

BC AD ⊥于点C ,2AB =,半圆O 的半径为2，则BC 的长为__＿__＿＿_____＿_＿．

【例4

】 如图,已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切,

切点分别是D C E ，，.求证：以AB 为直径的圆与CD 相切．

例4 巩固

【巩固】如图,已知以直角梯形ABCD 中,以AB 为直径的圆与CD 相切，求证：以CD 为直径的圆与AB 相

切.

_A

_ O

_ C _B

_

M O

A D

C

B

【例5】 已知:如图,在ABC ∆中，AB AC =，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE AC ⊥，

垂足为点E ． 求证：(1）ABC ∆是等边三角形;（2）1

3

AE CE =.

【巩固】如图,MP 切O ⊙于点M ,直线OP 交O ⊙于点A B 、，弦AC MP ∥，求证:MO BC ∥.

【例6】 如图,ABC ∆中,AB AC =，O 是BC 的中点,以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。

求证：AC 是O 的切线。

【例7】 如图，已知AB 是O 的直径，BC 为O 的切线，切点为B ,OC 平行于弦AD ，

OA r =。

(1)求证:CD 是O 的切线；

（2)求AD OC ⋅的值；

（3)若9

2AD OC r +=,求CD 的长。

【巩固】 如图,已知AB 是O 的直径,BC 是和O 相切于点B 的切线,过O 上A 点的直线AD OC ∥,若

2OA =且6AD OC +=，则CD = 。

【巩固】 如图,ＡB 是半圆(圆心为Ｏ）的直径,O Ｄ是半径,ＢM 切半圆于B ,OC 与弦A Ｄ平

行且交BM 于C 。

C

B A

O

D

C

B

A

C

B