双曲线及其标准方程(带动画)
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双曲线及其标准方程 PPT
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0， a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c） a>0，b>0， 但a不一定大于b，
c2=a2+b2
讨论:
1）当2a 等于|F1F2|时，动点M的轨迹是 以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外侧的两条射线．
2）当2a大于|F1F2|时，动点M的轨迹 不存在
16 9
16 9
(1).(-5,0)(5,0)； (2).(0,-5)(0,5)
2、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上 一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则
(1) a=___3____ , c =___5____ , b =___4____
(2) 双曲线的标准方程为______________
设 c2-a2＝b2 得 b2x2 a2 y2 a2b2
双即曲：a线x22 上 by每22 一 1点(a到 0两,b焦 点0) 距双离曲之线差的的标绝准对方值程为2a．
哪个系数是正的，它对应的字母
（x或y）就是焦点所在轴．
如ax22 果 by焦22 点 1在(a y轴0,上b ，0)则双曲 线表的示焦标点准在方x轴程上为的：双曲线
y
M (x ,y) F2(0,c)
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
O
x
F1
(0,-c)
其表焦示点焦坐点在标y为轴(上0,的-c双)，曲(0线,c) 其中：c2 a2 + b2 ．
问题:对于一个具体的双曲线方程，怎么判
断它的焦点在哪条轴上呢？
课堂巩固
1、写出以下双曲线的焦点坐标
（1）x2 y2 1, (2) x2 y2 1
双曲线及其标准方程课件
(3)当 k<0 时，方程为y42－－x24k＝1，表示焦点在 y 轴上的双曲线；
(4)当 0<k<1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 x 轴上的椭圆； k
(5)当 k>1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 y 轴上的椭圆． k
[一点通] 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分
类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在
(3)若|F1F2|<2a，动点的轨迹不存在．
2．通过双曲线方程xa22－by22＝1(焦点在 x 轴上)和ay22－xb22 ＝1(焦点在 y 轴上)(a>0，b>0)可以看出：如果 x2 项的系 数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的， 那么焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，但是无 论双曲线的焦点在哪个轴上，方程中的三个量都满足 c2 ＝a2＋b2.
[例3] 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同 范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[思路点拨] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形 式的系数应满足的条件进行分类讨论．
[精解详析] (1)当 k＝0 时，y＝±2，表示两条与 x 轴平行 的直线；
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径 为 2 的圆；
72 b2 ＝1，
解得a12＝19， b12＝116，
即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
法二：∵双曲线的焦点位置不确定，
∴设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵P1，P2 在双曲线上，所以
4m＋445n＝1， 196×7m＋16n＝1，
双曲线的定义及标准方程课件
迹叫做双曲线。
F1,F2 -----焦点
|F1F2| -----焦距=2c
||MF1| - |MF2|| = 2a
.
F1
M
o
.
F2
1、|MF1 | － |MF2 | =2a
M
(2a< |F1F2| )
2、|MF2 | － | MF1| =2a
F1
F2
(2a< |F1F2| )
3、若常数2a = | F1F2 |
双曲线的定义及其标准方程
1、椭圆是如何定义的?
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹
2a与2c的大小关 系
2a 2c时是椭圆 2a 2c时是线段 F1F 2 2a 2c时轨迹不存在
2.椭圆的标准方程？
b2 a2 c2
焦点在x轴上:
x2 y2 a2 b2 1
方程为 :
x2 32
y2 42
1或
y2 32
x2 42
1
双曲线及标准方程
课堂练习
(3)与双曲线
x2 y2 1 有相同焦距，双
13 3
曲线上一点P到F1、F2的距离之差的绝对
值为4。
x2 y2 1 或 y2 x2 1
4 12
4 12
(4)与双曲线 3y2 2x2 30
b=3.
y2 x2 42 32 1
解：8〈10，由定义，所求的轨迹是焦点在x 轴双曲线，设它的标准方程为：
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
C=5,a=4所,以所b求2=方c2-程a2=为5：2-42=3x22 42
y2 32
1
F1,F2 -----焦点
|F1F2| -----焦距=2c
||MF1| - |MF2|| = 2a
.
F1
M
o
.
F2
1、|MF1 | － |MF2 | =2a
M
(2a< |F1F2| )
2、|MF2 | － | MF1| =2a
F1
F2
(2a< |F1F2| )
3、若常数2a = | F1F2 |
双曲线的定义及其标准方程
1、椭圆是如何定义的?
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹
2a与2c的大小关 系
2a 2c时是椭圆 2a 2c时是线段 F1F 2 2a 2c时轨迹不存在
2.椭圆的标准方程？
b2 a2 c2
焦点在x轴上:
x2 y2 a2 b2 1
方程为 :
x2 32
y2 42
1或
y2 32
x2 42
1
双曲线及标准方程
课堂练习
(3)与双曲线
x2 y2 1 有相同焦距，双
13 3
曲线上一点P到F1、F2的距离之差的绝对
值为4。
x2 y2 1 或 y2 x2 1
4 12
4 12
(4)与双曲线 3y2 2x2 30
b=3.
y2 x2 42 32 1
解：8〈10，由定义，所求的轨迹是焦点在x 轴双曲线，设它的标准方程为：
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
C=5,a=4所,以所b求2=方c2-程a2=为5：2-42=3x22 42
y2 32
1
《双曲线及其标准方程》PPT课件
定义 |MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
图像
y
·· F1 oF2 x
y
·F2
·o
x
F1
方程
·
x2 a2
+
y2 b2
=1
y2 a2
+
x2 b2
=
1
焦点
F ( ±c,0)
F(0, ± c)
a.b.c的 关系
a2=b2+c2
双曲线的定义
平面内与两定点F1，F2的距离的差的 绝对值等于常数（小于|F1F2 | ）的
定义图像方程焦点abc的关系双曲线的定义双曲线的一支两条射线垂直平分线求双曲线的标准方程变1焦点在x轴的双曲线时求焦点坐标例1如果方程表示双曲线求m的范围解m12m0m2或m1变2焦点在x轴的椭圆时求焦点坐标50双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6求双曲线的标准方程
双曲线及其标准方程
一、回顾
1、椭圆的第一定义是什么？ 2、椭圆的标准方程、焦点坐标是什么？
例2、已知双曲线的焦点为
F1(-5,0),F2(5,0)双曲线上一点 到焦点的距离差的绝对值等
于6，求双曲线的标准方程。
例3，证明椭圆
x2 25
+
y2 =1
9
与双曲线x2-15y2=15的焦点相同
变:椭圆与双曲线的一个交点为
P，求|PF1|
定义 ||MF1|—|MF2||=2a（2a＜|F1F2|）
点的轨迹叫做双曲线。这两个定点 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离 叫做双曲线的焦距。
1、平面内与两定点F1，F2的距离的差 等于常数（小于 F1F2 ）的点的轨迹是 什么？
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程
双曲线是平面上的一种曲线，它的标准方程可以表示为：
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 或 (y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1
其中，a和b是两个正实数，且a不等于b。
双曲线有两个分支，分别称为左右分支或上下分支，取决于标准方程中x和y的系数的正负关系。
在左右分支的情况下，a控制横轴方向上的扁平程度，b控制
纵轴方向上的扁平程度。
而在上下分支的情况下，a控制纵轴
方向上的扁平程度，b控制横轴方向上的扁平程度。
双曲线的焦点是曲线的特殊点，表示为(F1, F2)，位于曲线的
横轴或纵轴上。
焦点与曲线的距离称为焦距，用c表示。
焦距与横轴或纵轴的交点称为顶点。
双曲线也具有渐近线，即曲线无限延伸时，与曲线趋于平行的直线。
对于左右分支的双曲线，渐近线是曲线的对称轴，方程为y=0；对于上下分支的双曲线，渐近线是曲线的纵轴和横轴，方程分别为x=0和y=0。
双曲线在数学、物理学和工程学中都具有重要的应用，例如在椭圆偏振光、天体力学、电磁场分布等领域。
双曲线其标准方程
任意一点P在双曲线上，其到两焦点的距离之差为常数， 即|PF₁ - PF₂| = 2a。
焦点与顶点关系
双曲线的焦点到顶点的距离等于c，其中a为横轴长度，b 为纵轴长度，c² = a² + b²。
双曲线的切线性质
切线斜率
对于双曲线上的任意一点P，其切线的斜率k满足k = -e²/((1+e²)(1-e²))。其中e为离心率。
双曲线及其标准方程
• 双曲线的定义 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
目录
01
双曲线的定义
平面上的双曲线
平面上的双曲线由两条开口不 相同的抛物线组成，它们关于x 轴或y轴对称。
双曲线的两个顶点位于x轴或y 轴上，顶点之间的距离称为焦 距。
双曲线的实轴和虚轴分别与x轴 和y轴重合。
双曲线的渐近线
• 渐近线：双曲线有两条渐近线，它们是直线，与 双曲线无限接近但不相交。渐近线的斜率等于离 心率。
双曲线的对称性
• 对称性：双曲线具有对称性，它关于原点对称，也关于两 个渐近线对称。
03
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
当双曲线的焦点位于x 轴上时，其标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$， 其中$a$和$b$是常数， 分别表示双曲线的实半 轴和虚半轴的长度。
空间中的双曲面
空间中的双曲面是一种三维几何 图形，由两个开口的旋转抛物面 组成，它们关于x轴、y轴或z轴
对称。
双曲面的两个顶点位于x轴、y轴 或z轴上，顶点之间的距离称为
焦距。
双曲面的实轴和虚轴分别与x轴、 y轴或z轴重合。
焦点与顶点关系
双曲线的焦点到顶点的距离等于c，其中a为横轴长度，b 为纵轴长度，c² = a² + b²。
双曲线的切线性质
切线斜率
对于双曲线上的任意一点P，其切线的斜率k满足k = -e²/((1+e²)(1-e²))。其中e为离心率。
双曲线及其标准方程
• 双曲线的定义 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
目录
01
双曲线的定义
平面上的双曲线
平面上的双曲线由两条开口不 相同的抛物线组成，它们关于x 轴或y轴对称。
双曲线的两个顶点位于x轴或y 轴上，顶点之间的距离称为焦 距。
双曲线的实轴和虚轴分别与x轴 和y轴重合。
双曲线的渐近线
• 渐近线：双曲线有两条渐近线，它们是直线，与 双曲线无限接近但不相交。渐近线的斜率等于离 心率。
双曲线的对称性
• 对称性：双曲线具有对称性，它关于原点对称，也关于两 个渐近线对称。
03
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
当双曲线的焦点位于x 轴上时，其标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$， 其中$a$和$b$是常数， 分别表示双曲线的实半 轴和虚半轴的长度。
空间中的双曲面
空间中的双曲面是一种三维几何 图形，由两个开口的旋转抛物面 组成，它们关于x轴、y轴或z轴
对称。
双曲面的两个顶点位于x轴、y轴 或z轴上，顶点之间的距离称为
焦距。
双曲面的实轴和虚轴分别与x轴、 y轴或z轴重合。
双曲线的标准方程动态演示ppt课件
思考：
方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2m m1
则m的取值范围____m_______2__.
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
y
M
F1 O F2 x
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
4.化简
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
2
2
(x c)2 y 2 2a (x c)2 y 2
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2Βιβλιοθήκη y2 a2x2 b2
1(a
0,b
0)
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程. 解： ∵ F1F2 10 , PF1 PF2 10 ∴ 点 P 的轨迹是两条射线, 轨迹方程为 y 0( x ≥ 5或x ≤ 5) . 变式训练 2:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2m m1
则m的取值范围____m_______2__.
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
y
M
F1 O F2 x
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
4.化简
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
2
2
(x c)2 y 2 2a (x c)2 y 2
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2Βιβλιοθήκη y2 a2x2 b2
1(a
0,b
0)
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程. 解： ∵ F1F2 10 , PF1 PF2 10 ∴ 点 P 的轨迹是两条射线, 轨迹方程为 y 0( x ≥ 5或x ≤ 5) . 变式训练 2:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
双曲线及其标准方程ppt课件
课后提升
1.必做题：P127页课本习题3.2第1，2，5题
2. 思考题（选做）:定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告，正西、
正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其
它两个观测点晚4秒。已知各观测点到该中心的距离都是1020m，试
确定该巨响发生的位置。
（假定声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面内。）
−
= 令 = −
−
你能在y轴上找一点B，使得|OB|=b吗？
1
验证
设点
2
坐标法
4
化简
列式
3
绝对值
教学过程分析
3
通过图象，生成定义
绘制图象，合作探究
2
1
类比启发，方程推导
重
点
4
5
类比推理，举一反三
列表对比，加深理解
教学过程分析
方程推导
在学生脑海里留下更加深刻的印象。
通过学生的自主学习、小组合作、师生互
动，让学生学会交流、表达、质疑、反思。
04
01
02
03
谢
大
谢
家
5.及时练习，巩固所学
6.回顾小结，思维提升
7.课后延伸，探究发现
教学过程分析
复习回顾，课题导入
复习回顾：
椭圆及其标准方程
创设情境
导入课题：双曲线及其标准方程
教学过程分析
3
通过图象，生成定义
绘制图象，合作探究
2
1
类比启发，方程推导
4
类比推理，举一反三
5
双曲线及其标准方程课件
2 2 2
B、双曲线一支 D、一条射线
x y 2、若椭圆 1 (a 0)与双曲线 a 4 x y
2 2
3
2
1 的焦点相同,则
a = 3
x y 例2:如果方程 1 表示双曲 2 m m 1 线，求m的取值范围.
2
2
解: 由(2 m )(m 1) 0 得m 2或m 1 ∴ m 的取值范围为 ( , 2) ( 1, )
FБайду номын сангаас
1
o
F
2
x
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？(1)两条射线
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？(2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
二、 双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
y
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
方 程
焦 点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
讨论：
双曲线图象 拉链画双曲线
①如图(A)，
P {M | | MF1 | - | MF2 | 2a}
②如图(B)，
P {M | | MF2 | - | MF1 | 2a}
由①②可得：
P {M | | | MF1 | - | MF2 | | 2a}
B、双曲线一支 D、一条射线
x y 2、若椭圆 1 (a 0)与双曲线 a 4 x y
2 2
3
2
1 的焦点相同,则
a = 3
x y 例2:如果方程 1 表示双曲 2 m m 1 线，求m的取值范围.
2
2
解: 由(2 m )(m 1) 0 得m 2或m 1 ∴ m 的取值范围为 ( , 2) ( 1, )
FБайду номын сангаас
1
o
F
2
x
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？(1)两条射线
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？(2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
二、 双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
y
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
方 程
焦 点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
讨论：
双曲线图象 拉链画双曲线
①如图(A)，
P {M | | MF1 | - | MF2 | 2a}
②如图(B)，
P {M | | MF2 | - | MF1 | 2a}
由①②可得：
P {M | | | MF1 | - | MF2 | | 2a}
双曲线的标准方程动态演示课件
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
焦点 a.b.c的关
系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 a2 b2 1(a b 0) y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
解: 由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1 ∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, )
思考：
方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2m m1
则m的取值范围____m_______2__.
例3.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
变式2答案
变式训练 2:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支),
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程. 解： ∵ F1F2 10 , PF1 PF2 10 ∴ 点 P 的轨迹是两条射线, 轨迹方程为 y 0( x ≥ 5或x ≤ 5) . 变式训练 2:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
焦点 a.b.c的关
系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 a2 b2 1(a b 0) y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
解: 由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1 ∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, )
思考：
方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2m m1
则m的取值范围____m_______2__.
例3.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
变式2答案
变式训练 2:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支),
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程. 解： ∵ F1F2 10 , PF1 PF2 10 ∴ 点 P 的轨迹是两条射线, 轨迹方程为 y 0( x ≥ 5或x ≤ 5) . 变式训练 2:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
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F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0 ， c2=a2+b2
但a不一定大于b
例题讲解：
例1、判断下列方程所表示的曲线类型，并求其焦点坐标。
1 y2 x2 1
8 17
2 y2 x2 1
8 17
答案：
1椭圆(3,0).(3,0) 2双曲线(0,5).(0,5)
例2：已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对 值是6的点的轨迹方程． 如果把6改为10，点的轨迹是什么？ 改为12呢？ 解:按定义，所求点的轨迹是双曲线，
注意
|MF1|-|MF2|= 2a
0<2a<|F1F2|
F1
M o F2
思考：定义中为什么强调常数2a要小于|F1F2|且大于0（即0<2a<2c）呢？
如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？
①若2a=2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
F1
F2
②若2a>2c,则轨迹是什么？
| |MF1|-|MF2| | = 常数
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于 常数2a 的点的轨迹叫做双曲线（0<2a<|F1F2| ).
即 | |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点 ② |F1F2|=2c ——焦距
点在x轴上，焦点是 y
F1(-c，0)，F2(c，0).
其中c2=a2+b2.
M
F
1
o
F2
x
焦点在x轴上的双曲线 y
的标准方程
M
F1 o F2 x
焦点在y轴上的双曲线
y
的标准方程
F2
ox
F1
类比椭圆的标准方程，可知焦点在y轴上的双
曲线的标准F1
它所表示的双曲线的焦点在y轴上，
焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c). 其中c2=a2+b2.
双曲线为
,又c2=a2+b2得:c2=15+1=16,
c=4.故F若1(-为4,0椭),F圆2(,4则,0)
2、已知方程
表示双曲
线，则m的取值范围是__{m__|_m__>_-1_或__m__<_-_2_}_；
若表示椭圆,则m的取值范围是_(_-_2_,-_1_.5_)_∪__(-_1_.5_,_-_1_) .
又由c=5，a=3，得b2=c2-a2=52-32=42． 所以所求双曲线的标准方程为：
即：
若2a=10，则2a=2c，点的轨迹是两条射线。
若2a=12，2c=10，且2a＞2c．所以动点无轨迹．
Ex： 1、分别求椭圆
的焦点。
的焦点与双曲线 同为 F( 4,0)
椭圆中c2=若a2为-b2双,得曲:c2线=2,5则-9(=21+6m,c=)(4m.故+F11)(>-40,，0),F2(4,0)
定义 图象
||MF1|—|MF2||=2a（ 0＜ 2a＜|F1F2|）
y
y
F2
F1 o F2 x
ox
F1
方程
焦点
a.b.c的 关系
F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
c2=a2+b2
此时轨迹不存在
③若2a=0,则轨迹是什么？ 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
F1
F2
如何求这优美的双曲线的方程呢？
1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的
中点为原点建立直角坐标系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦距为2c
y
（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0),常数=2a
椭圆
双曲线
定义 方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，c2=a2-b2
三.双曲线两种标准方程的比较
y
M
F1 O F2 x
y M
F2 x
O
F1
① 方程用“－”号连接。
② 分母是 a2 , b2 , a 0, b 0 但 a, b 大小不定。 ③ c2 a2 b2 。
x ④如果 x 2的系数是正的，则焦点在 轴上；如果 y 2的系数是正的，则
焦点在 y轴上。
四、双曲线与椭圆之间的区别与联系
y
M
F1
o
F2
x
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹是椭圆.
想一想？
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹又是什么呢？
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=常数
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=常数 由①②可得：
M
3.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
F1
o F2 F 2
x
-
4.化简.
= 2a
两边同时除以 a2 c2 a2
由双曲线定义知： 2c
得： x2
2a
即a：2c
c2
a
y2 a2
c2
1
a2
0
设 c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦