双曲线及其标准方程(带动画)
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y
M
F1
o
F2
x
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹是椭圆.
想一想？
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹又是什么呢？
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=常数
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=常数 由①②可得：
又由c=5，a=3，得b2=c2-a2=52-32=42． 所以所求双曲线的标准方程为：
即：
若2a=10，则2a=2c，点的轨迹是两条射线。
若2a=12，2c=10，且2a＞2c．所以动点无轨迹．
Ex： 1、分别求椭圆
的焦点。
的焦点与双曲线 同为 F( 4,0)
椭圆中c2=若a2为-b2双,得曲:c2线=2,5则-9(=21+6m,c=)(4m.故+F11)(>-40,，0),F2(4,0)
点在x轴上，焦点是 y
F1(-c，0)，F2(c，0).
其中c2=a2+b2.
M
F
1
o
F2
x
焦点在x轴上的双曲线 y
的标准方程
M
F1 o F2 x
焦点在y轴上的双曲线
y
的标准方程
F2
ox
F1
类比椭圆的标准方程，可知焦点在y轴上的双
曲线的标准方程是：
y
F2
O
x
F1
它所表示的双曲线的焦点在y轴上，
焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c). 其中c2=a2+b2.
双曲线为
,又c2=a2+b2得:c2=15+1=16,
c=4.故F若1(-为4,0椭),F圆2(,4则,0)
2、已知方程
表示双曲
线，则m的取值范围是__{m__|_m__>_-1_或__m__<_-_2_}_；
若表示椭圆,则m的取值范围是_(_-_2_,-_1_.5_)_∪__(-_1_.5_,_-_1_) .
注意
|MF1|-|MF2|= 2a
0<2a<|F1F2|
F1
M o F2
思考：定义中为什么强调常数2a要小于|F1F2|且大于0（即0<2a<2c）呢？
如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？
①若2a=2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
F1
F2
②若2a>2c,则轨迹是什么？
| |MF1|-|MF2| | = 常数
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于 常数2a 的点的轨迹叫做双曲线（0<2a<|F1F2| ).
即 | |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点 ② |F1F2|=2c ——焦距
此时轨迹不存在
③若2a=0,则轨迹是什么？ 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
F1
F2
如何求这优美的双曲线的方程呢？
1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的
中点为原点建立直角坐标系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦距为2c
y
（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0),常数=2a
椭圆
双曲线
定义 方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
Leabharlann Baidu
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，c2=a2-b2
定义 图象
||MF1|—|MF2||=2a（ 0＜ 2a＜|F1F2|）
y
y
F2
F1 o F2 x
ox
F1
方程
焦点
a.b.c的 关系
F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
c2=a2+b2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0 ， c2=a2+b2
但a不一定大于b
例题讲解：
例1、判断下列方程所表示的曲线类型，并求其焦点坐标。
1 y2 x2 1
8 17
2 y2 x2 1
8 17
答案：
1椭圆(3,0).(3,0) 2双曲线(0,5).(0,5)
例2：已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对 值是6的点的轨迹方程． 如果把6改为10，点的轨迹是什么？ 改为12呢？ 解:按定义，所求点的轨迹是双曲线，
三.双曲线两种标准方程的比较
y
M
F1 O F2 x
y M
F2 x
O
F1
① 方程用“－”号连接。
② 分母是 a2 , b2 , a 0, b 0 但 a, b 大小不定。 ③ c2 a2 b2 。
x ④如果 x 2的系数是正的，则焦点在 轴上；如果 y 2的系数是正的，则
焦点在 y轴上。
四、双曲线与椭圆之间的区别与联系
M
3.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
F1
o F2 F 2
x
-
4.化简.
= 2a
两边同时除以 a2 c2 a2
由双曲线定义知： 2c
得： x2
2a
即a：2c
c2
a
y2 a2
c2
1
a2
0
设 c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦
M
F1
o
F2
x
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹是椭圆.
想一想？
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹又是什么呢？
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=常数
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=常数 由①②可得：
又由c=5，a=3，得b2=c2-a2=52-32=42． 所以所求双曲线的标准方程为：
即：
若2a=10，则2a=2c，点的轨迹是两条射线。
若2a=12，2c=10，且2a＞2c．所以动点无轨迹．
Ex： 1、分别求椭圆
的焦点。
的焦点与双曲线 同为 F( 4,0)
椭圆中c2=若a2为-b2双,得曲:c2线=2,5则-9(=21+6m,c=)(4m.故+F11)(>-40,，0),F2(4,0)
点在x轴上，焦点是 y
F1(-c，0)，F2(c，0).
其中c2=a2+b2.
M
F
1
o
F2
x
焦点在x轴上的双曲线 y
的标准方程
M
F1 o F2 x
焦点在y轴上的双曲线
y
的标准方程
F2
ox
F1
类比椭圆的标准方程，可知焦点在y轴上的双
曲线的标准方程是：
y
F2
O
x
F1
它所表示的双曲线的焦点在y轴上，
焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c). 其中c2=a2+b2.
双曲线为
,又c2=a2+b2得:c2=15+1=16,
c=4.故F若1(-为4,0椭),F圆2(,4则,0)
2、已知方程
表示双曲
线，则m的取值范围是__{m__|_m__>_-1_或__m__<_-_2_}_；
若表示椭圆,则m的取值范围是_(_-_2_,-_1_.5_)_∪__(-_1_.5_,_-_1_) .
注意
|MF1|-|MF2|= 2a
0<2a<|F1F2|
F1
M o F2
思考：定义中为什么强调常数2a要小于|F1F2|且大于0（即0<2a<2c）呢？
如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？
①若2a=2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
F1
F2
②若2a>2c,则轨迹是什么？
| |MF1|-|MF2| | = 常数
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于 常数2a 的点的轨迹叫做双曲线（0<2a<|F1F2| ).
即 | |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点 ② |F1F2|=2c ——焦距
此时轨迹不存在
③若2a=0,则轨迹是什么？ 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
F1
F2
如何求这优美的双曲线的方程呢？
1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的
中点为原点建立直角坐标系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦距为2c
y
（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0),常数=2a
椭圆
双曲线
定义 方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
Leabharlann Baidu
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，c2=a2-b2
定义 图象
||MF1|—|MF2||=2a（ 0＜ 2a＜|F1F2|）
y
y
F2
F1 o F2 x
ox
F1
方程
焦点
a.b.c的 关系
F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
c2=a2+b2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0 ， c2=a2+b2
但a不一定大于b
例题讲解：
例1、判断下列方程所表示的曲线类型，并求其焦点坐标。
1 y2 x2 1
8 17
2 y2 x2 1
8 17
答案：
1椭圆(3,0).(3,0) 2双曲线(0,5).(0,5)
例2：已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对 值是6的点的轨迹方程． 如果把6改为10，点的轨迹是什么？ 改为12呢？ 解:按定义，所求点的轨迹是双曲线，
三.双曲线两种标准方程的比较
y
M
F1 O F2 x
y M
F2 x
O
F1
① 方程用“－”号连接。
② 分母是 a2 , b2 , a 0, b 0 但 a, b 大小不定。 ③ c2 a2 b2 。
x ④如果 x 2的系数是正的，则焦点在 轴上；如果 y 2的系数是正的，则
焦点在 y轴上。
四、双曲线与椭圆之间的区别与联系
M
3.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
F1
o F2 F 2
x
-
4.化简.
= 2a
两边同时除以 a2 c2 a2
由双曲线定义知： 2c
得： x2
2a
即a：2c
c2
a
y2 a2
c2
1
a2
0
设 c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦