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几何学的未来发展

丘成桐

校长、院长、及各位同学：

今天很荣幸能够在这里演讲，尤其今年是交通大学一百年校庆纪念，能到一-个比较注至•工程的学校来讲数学，表示交通大学也注重理科方而的匚作，这是很有意义的。因为基本科学对于工程学有很重要的启发性。今天我讲的题目是林松山教授给我的。但是学术的未来很难猜测，很多有学问的人都曾经得出错误的结论。所以我不作任何猜测，我只能够根据以而的历史来做一•些建议。

今天要讲的历史主要是从个人的体验来看。我不是一个历史学家，我讲的很可能是错误的。可是这不里要，因为我想讲的是我从做学问得出来的观念，希望能够以我自己的经验来做一些建议。清华大学跟交通大学都曾赠予杨振宁先生荣誉博士，我看过杨先生写的一篇文章，杨先生讲做物理好像画图画一样。我想做几何也跟画图画差不多，不过我们i田i的图画更广泛一点。物理学家要画的基本上只有一张图画，就是自然界的现象。但是儿何学家可以随意去画，我们可以画广告画，画工程学需要的画，也可以画印象派的画和写实的画。广告画可以在商业上有很大的用处，过儿年后可能成为收藏的对象。但是山于商业气氛浓厚，一般画家不大愿意认同它们的价值。广告画或工程画却可能对写实派的画和印象派的画产生相当的影响。不过画印象派的画或山水画，一•定要有很深的技术、功力和想法才能画得好。出名的画家往往花很多时间在磨练、在猜测，将他的工具不停地推进，在好的气质修养下，才能够画出好的印象派的画或山水画。一般数学家和几何学家也有同样的经验，有意义的工作即使是个很小的观察(observation),往往花了数学家很大的精力去找寻。找寻的方法不单是从大自然吸取，也从美学和工程学来吸取。怎样去寻找有意义的工作，跟我们气质的培养有密切的关系。

现在我想谈几何的历史，看看从前，再预测未来。因为我没有想到林松山教授给我这么长的时间，所以会讲长一点。从前我们念中学的时候，念国文、念文学批评，总会说一•个时代有一个时代的感慨。数学基本上也是一样，文学上有古义学、有诗经、有汉书、有唐诗、有宋词，从一个时代去学习一-个时代，很少能够学得刚好一样。我们现在看诗经写得好得不得了，可是我们学不到诗经里面的情怀意念。时代不同，感慨也不同了。

随着时代的变迁，因为时代不同的需要，我们培养出不同的感情，取舍自然不一样。我们可以很羡慕从前大数学家做的工作，可是我们不可能也不一定要跟他们一模一样。就好像我们现在学苏东坡的诗和词，我们不可能也不需要学得一样，但是我们可以从他的诗词里得到想法，帮助我们去理解大自然，找寻表达自己感情的方法。从几何来说，我们所要寻找的跟物理学一样，就是真和美这两个观念。还有一个很重要而容易忽略的动力，是山工程学对数学需求所产生的。这三个想法推动了几何学的发展。

美的观点在不停地改变，改变的方式跟我们当时认识的自然界有很大的关系。一、二千年前我们认识的自然界跟现在我们理解的自然界完全不同，所以数学或者几何学不停地受到这个变动的影响。在儿何学来说，美可分为两方而：静态的美和动态的美。静态的美,譬如一朵花或雅致的山水，我们大致知道怎样准确地去描述他们，甚至将我们的感受表达出来。如何描述动态的美对我们来说是一个很困难的问题，例如水在流或天在下雪，在不同的时间、空间，事物会产生激变，这是一个相当美的图画。可是到目前为止，激变的研究对理论物理学家、数学家跟几何学家都是一个很大的挑战°为了对时空作深入的描述，几何学家有不同的研究的路径：有人从物理学的角度去了解，有人从微分方程的角度去了解，这都成为几何学的更要课题。

从古至今大家都讲美，但是没有很客观的标准来决定什么叫美或者不美。最重要的观念只

有一个，就是简洁simplicity。这往往是我们审美的一个主要标准。在做儿何、做数学、做物理的研究时，我们都在描述一个很复杂的几何现象。假如我们没有办法将几何现象用很简洁的语言表达出来的话，我们不算有一•个好的定理或者好的文章。用很简洁的语言来推导和描述繁杂的几何现象，在欧几里得的时代就归纳为用三段论证方法得出的过程。当时有很多定理，从希腊或埃及早期就发现了很多不同的平面几何现象，但是没有办法有系统地放在—•起。欧氏很重要的页献，就是能够将定理统一起来，用公理来解释所有当时发现的定理。例如两点之间可以用唯一的直线连接起来这个事实，可以推导出很多定理。追求用简洁的语言来解释复杂的几何现象，是几何学家的目标。物理学也是一样，物理上很复杂的现象也希望用统一场论来描述。从前•中国也发展了平面几何，可是始终没有办法发展成完美的严格数学理论。这是中国数学不如西方数学的一•个原因。公理化以后我们才能够统一处理和了解繁复的现象，也因此知道欧氏几何所能解释的只是很简单的理想化的几何现象。

我们在自然界里面发现的现象远比平面几何要复杂得多，阿基米得和牛顿开始用微积分的方法来描述变动的曲线和曲面。引进了微积分以后，几何学有长足的进步，我们开始知道直线或是圆以外的图形都可以用严格的数学来描述。牛顿从物理的观点来看质点怎么变动成—•条曲线，从而发展了微积分。儿何学家发现描述儿何图形非靠微积分不可，儿何学从希腊的公理化到牛顿的微积分是一个很大的进步。古典力学无论在阿基米得，牛顿或是现代，对几何学的影响力都是很深远的。它引进了变分法的观念，例如我们研究一个简单的问题：两点之间最短的线是直线。这是平面几何要求的。可是假如中间有障碍,就不再是一条直线，并旦最短的路径并不唯一。这是简单的变分问题，问两点间最短的线是什么？怎么找这些曲线及它的分布情形，到现在为止还是微分几何的一个有趣问题。我们知道在圆球上所有的测地线(geodesic)都是大圆。假设我们将圆球变形一下，变成凸曲面:convex surface,这问题就变成一个很复杂的数学问题。它的测地线分布状态并不明显，到目前为止没有办法处理这个问题，只有在简单的椭圆体时可以全部解决这个问题。古典力学帮忙我们发现很多不同的工具来解释测地线的问题。

到了二十世纪，我们又发觉古典力学和量子力学有密切的关系。一•个重要的问题问，当普朗克常数趋向于零的时候，古典力学和量子力学中间的关系如何描述，在这方面有很多至要的工作，例如：WKB的近似方法。它在几何上产生了有趣的影响。例如Hamiltonian Mechanics里面的classical pa th和光谱的关系，引起了微分几何学家和微分方程学家企图联系Laplace算子的谱和测地线长度的工作。古典力学通过geodesic，量子力学通过Laplace 算子得到很多儿何现象，如何将他们联系是一个很有趣的儿何问题。我想这方而的研究会有很大的发展。从古典力学到量子力学，更进一步，就是量子场论，这里有无穷多个质点，相空间变成无穷维空间。山于在古典的量子力学里，有限维流形上的谱分析和classical path有关，在无限维空间时，我们就期望某种极小曲面和量子场论出现的partition function有关系。在这方面,弦理论已经得到相当大的进步。可是物理学家讨论场论的时候，遇到很多困难，起源于无穷维流形算子的谱分析不知如何处理。一个重要例子是loop space,这是将给定的流形上的所有封闭曲线放在一起的空间，我们要寻求在它上而的谱分析，这是一个很困难的问题。量子场论还缺乏严格的数学基础。用Renormalization的方法,出现很多无穷的cancellation问题。在物理上出现的问题在数学上会更为困难。因为物理学家愿意接受直观的证明的观念，而数学家难以接受。W•是从晨子力学，量子场论推导出来的数学，几何学家往往惊叹他们如魔术般的奇妙直觉(intuition)0在有限维空间时,由物理学引起的几何,我们大致上都可以理解和证明。可是在无穷维空间里血，我们发觉古典几何学的直觉与真理有相当远的距离，没有办法将有限维空间的想法简单地推导到无穷维空间几何上去。这十五年来，自从弦理论产生以后，我们惊讶地发觉从物理宜觉产生的儿何结论往往是正确的。虽然量子场论本身的基础不够精确, 它的物理意义也不见得能够说服所有的物理学家，可是得出来的儿何结论即使不能以物理学的思维来严格证明，却意义深厚且往往可以用不同的数学方法来验证。