考研高数讲义 第六章上课资料

第六章 定积分的应用
⎧⎪
⎧⎧⎪
⎪⎪
⎪⎨⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪
⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎪⎩⎩
基本方法—微元法平面图形的面积与旋转体的体积一元几何应用—平面曲线的弧长，旋转体的侧面积函数平行截面面积已知的立体体积（数一数二）定积应用—分的变力做功、引力、侧压力、质心（形心）应用物理应用—函数平均值（数一数二）
简单的经济应用（数三）
第一节定积分的元素法
微元法:把一个所求量分解，近似，求和，取极限，最后表示成定积分的分析方法。

复习上一章第一节中的引例：
求由曲线()
y f x
=及直线x a
=，x轴所
=，x b
围成的图形（曲边梯形）的面积A。

步骤：1、分割：1
n
i i A A ==∆∑
2、取近似：1()()i i i i i i A f x x x ξξ-∆≈⋅∆≤≤
3、求和得：1()n
i i i A f x ξ=≈⋅∆∑
4、求极限：0
1
lim ()()n
b
i i a
i A f x f x dx λξ→==⋅∆=∑⎰
取消这里的下标i ,同时[][,],i i i x x dx x x x +⇒+∆；
x ξ⇒；dA A ⇒∆。

事实上，因为A A =∆∑且
()A f x dx dA ∆≈=，所以()A f x dx ≈∑，即：
lim ()()b b
a
a
A f x dx f x dx dA ===∑⎰⎰
一般地，若所求量A 满足：
1）A 是一个与变量x 的变化区间[],a b 有关的量； 2）A 对于区间[],a b 具有可加性；
3）A 的部分量i A ∆可近似地表示为()i i f x ξ⋅∆，其差
别是i x ∆的高阶无穷小，则A 可用定积分
()b
a A f x dx =⎰计算.
步骤：
1）选取适当的变量为积分变量，如选择x，并确定变量相应的变化区间[,]
a b；
2）确定A的面积元素()
=（设想将[],a b分
dA f x dx
成了n个小区间，其中(,]
x x dx
+为任一小区间，求出()
∆≈，相差仅是x
A f x dx
∆的高阶无穷小，即可视()
f x dx为A的面积元素dA）；
3）以()f x dx 为被积表达式，求得()b
a
A f x dx =⎰，
从而可求得所求量。

——这就是定积分的微元法。

【例1】求由2
2
,y x y x ==所围图形的面积．
【例2】求2
2y x =与4y x =-所谓图形的面积 【答案】18
第二节 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积 1、直角坐标系下
（1）函数方程为()()y f x x y ϕ==或
方法：上—下 12(()())b
a
S f x f x dx =-⎰
φⅡ
方法：右—左
12(()())d c
S y y dy ϕϕ=-⎰
须拆分成两部分或多部分进行计算
【答案】3
2
【例2】（92二）由曲线x
y xe =与直线y ex =所围成图形的面积S = .
【答案】12
e
-
【例3
该曲线与切线l 及直线0,2
x x ==所围成图形面积最小.
（2）参数方程
一般地，若曲线由参数方程()
()
x t y t φψ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤给
出，其中()t φ，()t ψ及()t φ'在[,]αβ上连续，记()a φα=，()b φβ=，则由此曲线与两直线x a =，x b =及x 轴所围成图形的面积为
|()()|A t t dt β
α
ψφ'=⎰。

【例4】求由摆线(sin)
=-的
y a t
=-，(1cos)
x a t t
一拱（02
tπ
≤≤）与横轴所围图形的面积
π
【答案】2
3a
2、极坐标系下
设曲线的极坐标方程为()r r θ=()αθβ≤≤，由曲线()r r θ=与两条射线,θαθβ==所围成的图形（曲边扇形）的面积为
2
1()2A r d βα
θθ=⎰。

【例5】（93一）双纽线22222
()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为（
）
【答案】（B ）
【例6】 求心形线(1cos )r a θ=-所围成图形的面积。

【答案】2
32
a π
二、立体体积
1、已知平行截面面积的立体体积
[,]x x dx +上的薄片的体积近似于底面积为()A x ， 高为dx 的柱体体积，从而可得这立体的体积元素()dV A x dx =，所求体积为()b
a A x dx ⎰。

2、旋转体的体积
由连续曲线()y f x =，直线,x a x b ==和x 轴所围成的曲边梯形绕x
轴旋转一周而形成的立体体积为2
(())b x a V f x dx π=⎰；
由连续曲线()y f x =，直线,x a x b ==和x 轴所围成的曲边梯形绕y
轴旋转一周而形成的立体体积为2|()|b
y a V xf x dx π=⎰；
由连续曲线()x y φ=，直线,y c y d ==及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转而一周而形成的立体体积为22[()]d d y
c c V x dy y dy ππφ==⎰⎰；
由连续曲线()x y φ=，直线,y c y d ==及y 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转而一周而形成的立体体积为2|()|d x
c V y y dy πφ=⎰。

【例7】（87二）设D 是由曲线sin 1y x =+与三条直线0,x x π==，0y =所围成的曲边梯形，
求D 饶x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
【答案】23
42ππ+
【例8】（91
二）曲线(1)(2)
y x x
=--和x轴围成
一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.
三、平面曲线的弧长
弧长公式：
（1）
()y f x =，[,]x a b ∈，
弧长b a s =⎰
（2）()()x x t y y t =⎧⎨=⎩，[,]t αβ∈，
弧长s βα=⎰
（3）
()r r θ=，[,]θαβ∈，
弧长s βαθ=⎰
【例11】（95二）求摆线
1cos
sin
x t
y t t
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，一拱
(02)
tπ
≤≤的弧长S. 【答案】8
【答案】8
四、旋转面的侧面积
由曲线()
y f x
=，直线,
x a x b
==以及x轴围成的图形绕x轴旋转所得旋转体的侧面积。

公式：
显示方程：()
y f x
=
，2(
b
a
S f x
π
=⎰
参数方程：()x x t =，()y y t =，
2(S y t βα
π=⎰ 极坐标方程：()r r θ=，
【例13】（98
二）设有曲线y=过原点作
其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.
第三节定积分在其他方面的应用
一、变力沿直线所做的功
讨论：物体在变力()
F x作用下，沿直线从a移动到b所做的功。

将桩打进土层.气锤每次打击，都将克服土层对桩的阻力而做功.设土层对桩的阻力大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为,0
k k>），气锤
am根据设计方案，要求第一次击打将桩打进地下.
气锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数(01).
<<问
r r
(Ⅱ)若击打次数不限，气锤至多能将桩打进地下多深？
（注：m表示长度单位米.）
【答案】（1
；（2
）
a
二、引力
质量分别为1m ，
2m 相距为r 的两质点间的引力的大小为12
2m m F k r ，其中k 为引力常数，引力的方向
沿着两质点的连线方向。

【例2】在x 轴上有一线密度为常数μ，长度为l 的细杆，在杆的延长线上离杆右端为a 处有一质量为m 的质点P ，求证：质点与杆间的引力为
()kmM F a a l =+（M 为杆的质量）
三、液体静压力
由物理知识可知，深度为h 处的液体的压强为
P gh ρ=，其中，ρ为液体密度，g 为重力加速度。

如果有一个面积为S 的平板,水平放置在深为h 处的液体中,平板所受到的压力的方向垂直于平板的表面,大小为F PS ghS ρ==。

如果平板垂直放置在液体中，由于深度不同，液体的压强也就不同，平板一侧所受的压力就不能用上述方法来计算。

下面用微元法来解决这一问题。

()dF gxf x dx ρ=
从而得薄板一侧所受的压力为：()b
a
F gxf x dx ρ=⎰
【例3】（02二）某闸门的形 状与大小如右图所示，其中
直线l 为对称轴，闸门的上部 为矩形ABCD ，下部由二次 抛物线与线段AB 所围成.当
水面与闸门的上端相平时，
欲使闸门矩形部分承受的水压
力与下部承受的水压力之比
为5：4.闸门的矩形部分的高h 应为多少米？ 【答案】2m
1A
B D
四、质心（形心）。