考研高数讲义 第六章上课资料

第六章 定积分的应用

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基本方法—微元法平面图形的面积与旋转体的体积一元几何应用—平面曲线的弧长，旋转体的侧面积函数平行截面面积已知的立体体积（数一数二）定积应用—分的变力做功、引力、侧压力、质心（形心）应用物理应用—函数平均值（数一数二）

简单的经济应用（数三）

第一节定积分的元素法

微元法:把一个所求量分解，近似，求和，取极限，最后表示成定积分的分析方法。

复习上一章第一节中的引例：

求由曲线()

y f x

=及直线x a

=，x轴所

=，x b

围成的图形（曲边梯形）的面积A。

步骤：1、分割：1

n

i i A A ==∆∑

2、取近似：1()()i i i i i i A f x x x ξξ-∆≈⋅∆≤≤

3、求和得：1()n

i i i A f x ξ=≈⋅∆∑

4、求极限：0

1

lim ()()n

b

i i a

i A f x f x dx λξ→==⋅∆=∑⎰

取消这里的下标i ,同时[][,],i i i x x dx x x x +⇒+∆；

x ξ⇒；dA A ⇒∆。事实上，因为A A =∆∑且

()A f x dx dA ∆≈=，所以()A f x dx ≈∑，即：

lim ()()b b

a

a

A f x dx f x dx dA ===∑⎰⎰

一般地，若所求量A 满足：

1）A 是一个与变量x 的变化区间[],a b 有关的量； 2）A 对于区间[],a b 具有可加性；

3）A 的部分量i A ∆可近似地表示为()i i f x ξ⋅∆，其差

别是i x ∆的高阶无穷小，则A 可用定积分

()b

a A f x dx =⎰计算.

步骤：

1）选取适当的变量为积分变量，如选择x，并确定变量相应的变化区间[,]

a b；

2）确定A的面积元素()

=（设想将[],a b分

dA f x dx

成了n个小区间，其中(,]

x x dx

+为任一小区间，求出()

∆≈，相差仅是x

A f x dx

∆的高阶无穷小，即可视()

f x dx为A的面积元素dA）；

3）以()f x dx 为被积表达式，求得()b

a

A f x dx =⎰，

从而可求得所求量。

——这就是定积分的微元法。 【例1】求由2

2

,y x y x ==所围图形的面积．

【例2】求2

2y x =与4y x =-所谓图形的面积 【答案】18

第二节 定积分在几何上的应用

一、平面图形的面积 1、直角坐标系下

（1）函数方程为()()y f x x y ϕ==或

方法：上—下 12(()())b

a

S f x f x dx =-⎰

φⅡ

方法：右—左

12(()())d c

S y y dy ϕϕ=-⎰

须拆分成两部分或多部分进行计算

【答案】3

2

【例2】（92二）由曲线x

y xe =与直线y ex =所围成图形的面积S = .

【答案】12

e

-

【例3

该曲线与切线l 及直线0,2

x x ==所围成图形面积最小.

（2）参数方程

一般地，若曲线由参数方程()

()

x t y t φψ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤给

出，其中()t φ，()t ψ及()t φ'在[,]αβ上连续，记()a φα=，()b φβ=，则由此曲线与两直线x a =，x b =及x 轴所围成图形的面积为

|()()|A t t dt β

α

ψφ'=⎰。

【例4】求由摆线(sin)

=-的

y a t

=-，(1cos)

x a t t

一拱（02

tπ

≤≤）与横轴所围图形的面积

π

【答案】2

3a

2、极坐标系下

设曲线的极坐标方程为()r r θ=()αθβ≤≤，由曲线()r r θ=与两条射线,θαθβ==所围成的图形（曲边扇形）的面积为

2

1()2A r d βα

θθ=⎰。

【例5】（93一）双纽线22222

()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为（

）

【答案】（B ）

【例6】 求心形线(1cos )r a θ=-所围成图形的面积。

【答案】2

32

a π

二、立体体积

1、已知平行截面面积的立体体积

[,]x x dx +上的薄片的体积近似于底面积为()A x ， 高为dx 的柱体体积，从而可得这立体的体积元素()dV A x dx =，所求体积为()b

a A x dx ⎰。

2、旋转体的体积

由连续曲线()y f x =，直线,x a x b ==和x 轴所围成的曲边梯形绕x

轴旋转一周而形成的立体体积为2

(())b x a V f x dx π=⎰；