广西高一数学创新杯竞赛初赛试题(含参考答案及评分标准)

2012年广西高一数学竞赛初赛试卷

考试时间：2012年9月16日（星期日）8：30－10：30

一、选择题（每小题6分，共36分）

1．若c b a ,,为有理数，且0323=++c b a ，则=++c b a （ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2012 （D ）2015

答：A 。 解析：由有理数与无理数的性质可知0===c b a 时等式成立。故选A.

2．已知⎩

⎨⎧=++=--02022z y x z y x ，则分式2

222

22z y x z y x ++--＝（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）2

答：C 。 解析：已知,00

2022=⎩⎨⎧=++=--x z y x z y x 得，则分式12

222

22-=++--z y x z y x .故选C.

3．下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体？答：（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ） 答：A 。 解析：只有A 是可以的。故选A. 4．己知a 是正数，并且：等于则224

,12a

a a a +=-

（ ） （A ）5 （B ）3 （C ）1 （D ）-3 答：A 。解析：5424,122

22=+-=+=-）（则由a

a a a a a 。故选A.

5．化简22312523+++得（ ）

（A ）1 （B ）22+ （C ）12+ （D ）122+

答：D 。解析：122)223(23)21(1252322312523+=++=+++=+++。故选D.

6．若函数c bx ax y ++=2，当1,0,2-=x 时，其函数值9,5,15-=y ，则函数y 的最大值为（ ） （A ）5 （B ）

2

19

（C ）13 （D ）14 答：B 。 解析：由已知求得2

2

319

2652()2

2

y x x x =-++=--+

。故选B.

二、填空题（每小题9分，共54分）

1．方程：

6

7

5691089++-

++=++-++x x x x x x x x 的解为 . 答案：x=－7。解析：)

6)(5()

7)(5()6()9)(8()10)(8()9(22++++-+=++++-+x x x x x x x x x x ,

)

6)(5(1

)9)(8(1++=++x x x x ,7-=x .

2．已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除,则x ＋y 的值为 .

答案：9。解析：：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6.∵328＋92x ＝567，∴x=3.

3．反比例函数()0>=k x

k

y 在第一象限内的图像如图，点M 是图 像上一点，MP 垂直x 轴于点P ，如果△MOP 的面积为1，那么k 的值

是 ；

答案：2. 解析：2,12

1

21,),,(====

=∆k k xy S k xy y x M MOP 则, 4．化简223223-++

答：22。 解析：22)12()12(22322322=-++=-++。 5．计算：=⨯++⨯+⨯+⨯11

101

431321211Λ . 答：

11

10

。 解析：裂项求和: 11

101111)11101()3121()211(11101431321211=-=-++-+-=⨯++⨯+⨯+⨯ΛΛ. 6．如图，在△ABC 中，∠A ＝Rt ∠，∠B ＝60ο

,∠B 的平分线交AC 于D ，点D 到边BC 的距离为2cm,则边AC 的长是 cm.

答案：6。解析：由∠B 的平分线知，AD=点D 到边BC 的距离为=2cm,

则3

2,3AC

BC AC AB ==，由∠B 的平分线知 6,3

2332=+=⇒+=⇒=AC AC AC AC

AC BC AB AB AC AD AC AB DC AD .故边AC 的长是6cm.

A

B

C

D

三、（20分）对一切实数x ，函数=y 2(6)20ax a x +-+>恒成立，求a 的值．

解： 由于不等式对一切x ，函数=y 2

(6)20ax a x +-+>恒成立，故a 应该满足

2

00(6)420

a a a a >>⎧⎧⇒⎨⎨∆<--⋅<⎩⎩………………10分 即2

20360

a a a >⎧⎨

-+<⎩，………………15分

解得218a <<………………20分

四、（20分）如图，在ΔABC 中，已知点D 为BC 的中点，M 为BD 上一点，若DN//AM ，求证：四边形ABMN 的面积等于ΔCMN 的面积。 证明：连接AD ，则有ADC ABD S S ∆∆=，………………5分

又DN//AM ，则有AMD AMN S S ∆∆=，………………10分 故MED AEN S S ∆∆=， ………………15分

所以CMN ABMN S S ∆=四边形。………………20分

五、（20分）实数a 、b 取什么值时，方程（3x －2）a+（2x －3）b=8x －7有无数多解？

解：原方程化为最简方程：（3a+2b －8）x=2a+3b －7，………………5分 根据 0x ＝0时，方程有无数多解，可知 当 ⎩⎨

⎧=-+=-+0

7320

823b a b a 时，原方程有无数多解。………………10分

解这个方程组得⎩

⎨⎧==12

b a ………………15分

故 当a=2且b=1时，原方程有无数多解。………………20分

A

B

C

N

E

A

B

C

D

M

N