《切割线定理》课件
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切割线定理课件
切割线定理的应用场景
解题应用
切割线定理在几何题目中应用广泛，特别是在涉及圆和圆外 一点的问题中，可以利用切割线定理来求解线段长度或角度 等问题。
实际应用
在现实生活中，切割线定理也有很多应用场景，比如建筑设 计、机械制造等领域，可以通过应用切割线定理来优化设计 或提高制造精度。
02
切割线定理的证明
切割线定理ppt课件
contents
目录
• 切割线定理的概述 • 切割线定理的证明 • 切割线定理的推论 • 切割线定理的应用实例 • 总结与思考
01
切割线定理的概述
切割线定理的定义
切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长与割线长度的比等于圆外 一点与圆心连线的线段长度与圆 半径的比。
几何意义
03
切割线定理的推论
推论一：切线长定理
总结词
切线长定理描述了切线与割线的长度关系。
详细描述
切线长定理指出，对于圆上的任意一点P，过点P作圆的切线，则切线与割线（即 过点P的割线）的长度相等。这个定理是切割线定理的一个重要推论，它揭示了 切线和割线之间的长度关系。
推论二：切线与半径的关系
总结词
切线与半径的关系揭示了切线与半径之间的垂直关系。
。
THANKS
感谢观看
切割线定理揭示了圆外一点与圆 上两点形成的线段之间的长度关 系，是平面几何中一个重要的定 理。
切割线定理的证明
证明方法
通过相似三角形性质和勾股定理进行 证明，证明过程需要用到基本的几何 知识。
证明过程
通过构造辅助线，将问题转化为相似 三角形问题，再利用相似三角形的性 质和勾股定理推导出切割线定理。
证明的思路
切割线定理课件
推论三：切线和切平面的性质
总结词
切线和切平面的性质
详细描述
切线和切平面的性质是切割线定理的最后一个重要推论。这个定理指出，过圆外一点作圆的切线，则 该点和圆心的连线与切点的连线垂直于过该点和圆心的平面。这个性质在三维几何中尤其重要，因为 它涉及到平面和空间的关系。
04 切割线定理的应用实例
应用实例一：求圆的切线方程
证明方法三：利用向量积的性质
总结词
通过向量运算和向量的外积性质，证明切割线定理。
详细描述
第三种证明方法是利用向量运算和向量的外积性质。首 先，我们需要理解向量的外积性质，即两个向量的外积 等于它们所夹的平行四边形的面积的两倍。在切割线定 理的情境中，我们可以将切割线视为一个向量，并利用 向量的外积性质来计算它与半径之间的比例关系。通过 适当的数学推导，我们可以证明切割线定理。这种方法 基于向量运算和向量的外积性质，通过向量运算来证明 定理。
范围，我们可以发现更多有趣的应用场景。
对切割线定理的进一步研究与探索
深入研究切割线定理的细节
虽然我们已经对切割线定理有了基本的理解，但还有 很多细节值得深入研究。例如，我们可以探索不同条 件下切割线定理的表现形式，或者研究这个定理在其 他几何图形中的应用。通过深入研究，我们可以更深 入地理解这个定理的本质。
切割线定理的几何意义
证明相似三角形
通过切割线定理，可以证明两个三角形相似，从而用于解决 几何问题。
Hale Waihona Puke 计算线段长度利用切割线定理，可以计算出给定条件下某条线段的长度。
切割线定理的应用场景
建筑设计
在建筑设计领域，切割线定理常被用 于确定建筑物的位置和尺寸，以确保 建筑物的外观和结构符合设计要求。
九年级教学数学切割线定理-新版.ppt
切 割推 线 定论 理
PT2 =PA·PB=PC·PD= d 2 r 2
B A
P
d
C
O
D
r
精选
T
再见
精选
二手货车评估残值是由数年来的市场数据反映所决定，但对于新车的未来残值评估并不能完全基于这种数据。因为二手货车市本身变化很大， 极易受到政策和货运行业方面的影响。 ； https:/// 二手货车交易市场 jch47kcf 因此，如何在一般情况下大致估算二手货车残值率就成了关键问题。对于非专业的汽车评估人员来说，判断一辆车的残值率应该遵循如下步 骤
C •
D
P
A
T(C , D) P
C •
D A
B PA•PB=PC•PD 吗?
B
精选
PT2 =PA·PB 吗?
已知：如下图，点P是⊙o外一点，PT是切线，T是切点， PA是割线 , 点A和B是它与⊙o的交点。
求证：PT2 =PA ·PB
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是
这点到割线与圆交点的两条线段长的比例
切割线定理
加油！
精选
已知：线段a，b． 求作：线段c，使c2＝ab．
反思：这个作图题是作两
已知线段的比例中项的问 题，可以当作基本作图加 以应用．请同学们想一想， 这到题还有别的作法吗？
A
D
c
Aa
Bb C
C
c
O Db B a
精选
相交弦定理： 圆内的两条相交弦，
被交点分成的两条线段长的积相
等．
PA·PB = PD·PC
切割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，从这一点到
推论
每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等. 即 PA·PB = PC·PD =PT2
《切割线定理》课件
VSΒιβλιοθήκη 详细描述切线经过切点，并且仅经过该点。这是切 线定义的基本性质，也是切割线定理的重 要推论之一。这个性质说明了切点是唯一 一个点，使得经过该点的切线与圆相切。
05
切割线定理的应用练习
练习一：求切线的长度
01
02
03
总结词
利用切割线定理计算切线 的长度
详细描述
通过已知的圆心到切点的 距离和切割线与半径的夹 角，利用切割线定理计算 切线的长度。
总结词
利用切割线定理计算切线的斜率
详细描述
通过已知的圆心到切点的距离和 切割线与半径的夹角，利用切割
线定理计算切线的斜率。
公式
切线斜率 = (圆心到切点的距离 / 半径) × cos(切割线与半径的夹
角)
06
总结与回顾
本节课的重点与难点
重点
理解切割线定理的推导过程和实际应用。
难点
掌握如何运用切割线定理解决实际问题，特 别是涉及到几何图形的问题。
03
切割线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过比较三角形之间的边长和角度关系，证明切割线 定理。
详细描述
首先，根据题目已知信息，画出两个相似三角形。然后，根据相似三角形的性 质，证明切割线与两条割线之间的角度相等，从而得出切割线定理的结论。
证明方法二：通过面积关系证明
推论二：切线与半径的关系
总结词
切线与半径的关系描述了切线和半径之间的角度关系。
详细描述
根据切线的性质，切线和经过切点的半径是垂直的。这意味着切线和半径之间的角度是90度。这个关系是几何学 中一个重要的基础概念，用于证明和解决各种几何问题。
切割线定理PPT教学课件2
晏殊（991-1055），字同叔，北宋临川县文港乡，著名词人。 晏殊自幼聪明，七岁能文，被称为“神童”，十
四岁中进士，历任朝廷要职，五十三岁时，任枢密使 加同中书门下平章事，官居宰相位。六十四岁病逝， 宋仁宗亲临丧事，死后赠司空兼侍中，谥号“元献”。
晏殊知人善任，当世名人范仲淹、孔道辅、欧阳 修等人都出其门下，均受其提拔和重用。晏殊善长诗 词尤工小令，他的词，以情致胜。文词典丽，韵味独 特，又不失清新雅淡，含蓄委婉的艺术风格。 有“导 宋词之先路”的美誉。
问题：
你是怎样理解“无可奈何花落去，似曾相 识燕归来”这两句的? 其中蕴涵了什么样的 哲理呢？
这两句对仗工整，表现出词人的巧思深情：花 的凋落，春的消逝，时光的流逝，都是不可抗拒 的自然规律，所以说“无可奈何” ；然而在这暮 春天气中，翩翩归来的燕子也有令人欣慰的重现。
蕴涵着的某种生活哲理：一切必然要消逝的美好事物 都无法阻止其消逝，但在消逝的同时，仍会有美好的事 物出现。然而，美好的事物并不是原封不动地重现，它 只是“似曾相识”罢了。因此，在有所慰藉的同时又不 觉感到一丝惆怅。
A
由推论得 PB•PA=PD•PC
3.
例1 如图过圆外一点P作两条割线,分别交圆O于A、B和C、D.
再作圆O切线PE,E为切点,连结CE、DE.已知 AB=3cm,
PA=2cm,CD=4cm。 (1) 求PC,PE的长
解: 设PC=x
B
3 A2
Cx
4
D
E
∵CD=4cm, ∴PD=PC+CD=x+4 P ∵AB=3cm, PA=2cm ∴ PB=AB+PA=5(cm)
在壮的在 检的牛军 阅军肉营 军歌，里 队。各， 。秋种分
人教版九年级数学课件：切割线定理
作
业
PT2 =PA· PB 切 割 线 定 理
PT =PB· BA × PA· = PD· AB CD
2
PC· =PA· PD PB
切 割 推 线 定 论 理
×
作业 P132
11 ， P133 12 ，13．
PT2 =PA· PB
PC· =PA· PD PB
练习二：
1.
过圆O外一点P, 作两条割线PAB和PCD, 已知PA=1, PB=3, PC=0.6．则CD= ? CD = 4.4 2．
已知PT切圆O于T，PAB为圆O的割线， PA : AB =1 : 3 , PT=2 , 则PB= ？
PB = 4
法二： 连接CD ,射影定理． A D •O
BC2=BD•BA
Rt△ABC中 AC=3; BC=4. BD=3.2 (cm) AB=5 BC=4
B
C
提高题：如图，PA切圆O于A，PBC是圆O的割线，D是
PA的中点，DC交圆O于E． 求证：1）PD2=DE•DC；2） ∠1= ∠C．
分析： 1. PD=DA
PA· = PM· PB PN
P
PM· =PC2 PN
练习四：如图，圆o1和圆o2都经过点A和 B，点P在BA
的延长线上．过点P作圆O1的切线PC切圆O1于C，作 圆O2的切线PD切圆O2于D．求证：PC =PD．
B o1 • A C
o2
•
D
P
提示：PC = PD = PE …
B o1 • A D E P o2 • o3•
P P
D 1
E
A
且DA2=DE • DC 2. PD:DE=DC:PD ∠ PDE= ∠ CDP 则: △PDE∽ △CDP 从而: ∠ 1= ∠ C
【数学课件】切割线定理
课题：切割线定理
问题思考：
填空：1、如图1，弦AB与CD相交于⊙O内一点P，
则有PA·PB = _________；根据是___________；
在图2中，如果AB是圆O的直径，CD⊥AB于P 则有
PC =________；PC2 =___________。
D
C
A
P
O
BA
OP B
C
图1
图2D
问题：当图1做如下变化时，请观察和猜想你能得到怎样的结论？ （将点P移到圆外，将弦CD绕点P旋转到与圆相切的位置。）
猜想论证：
如图2：已知：点P是
⊙O外一点，PF是切 A
线，F是切点，PBA是
割线，点A，B是它与
F B P
⊙O的交点
如图3
求证：PF2 =PA·PB
结论归纳：
（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项。
表达式：如图3
PF 是⊙O切线，F 是切点 PA是割线
PF2=PA·PB
F A
OB P
如图3
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割 线与圆的交点的两条线段长的积相等。
表达式：如图4
PBA，PCD是⊙O的割线
PA·PB = PC·PD
F A
D
B C
P
如图4
例题示范：
已知：如图5，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B， PA =6cm，AB=8cm，PO=10.9cm，求⊙O的半径。
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
问题思考：
填空：1、如图1，弦AB与CD相交于⊙O内一点P，
则有PA·PB = _________；根据是___________；
在图2中，如果AB是圆O的直径，CD⊥AB于P 则有
PC =________；PC2 =___________。
D
C
A
P
O
BA
OP B
C
图1
图2D
问题：当图1做如下变化时，请观察和猜想你能得到怎样的结论？ （将点P移到圆外，将弦CD绕点P旋转到与圆相切的位置。）
猜想论证：
如图2：已知：点P是
⊙O外一点，PF是切 A
线，F是切点，PBA是
割线，点A，B是它与
F B P
⊙O的交点
如图3
求证：PF2 =PA·PB
结论归纳：
（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项。
表达式：如图3
PF 是⊙O切线，F 是切点 PA是割线
PF2=PA·PB
F A
OB P
如图3
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割 线与圆的交点的两条线段长的积相等。
表达式：如图4
PBA，PCD是⊙O的割线
PA·PB = PC·PD
F A
D
B C
P
如图4
例题示范：
已知：如图5，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B， PA =6cm，AB=8cm，PO=10.9cm，求⊙O的半径。
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
初中数学课件《切割线定理》
切割线定理的相关概念介绍
为了帮助大家更好地理解切割线定理，我们在这里先来介绍一下它的相关概念。
扇形
扇形是圆心角对应的圆弧及其 圆心所组成的图形，它是切割 线重要概念。
弓形
弓形指的是圆上一个扇形所截 下来的圆弧部分，是能够帮助 我们理解切割线定理的重要概 念。
弦长
弦是连接圆上两点的线段，弦 长是线段长度，是切割线定理 中常用的量。
解决切割线定理中的常见错误和误区
学习切割线定理的时候，常见错误和误区包括对图形理解不够溜，计算公式没有掌握好，套路不熟练等 等，下面是一些错误率较高的问题。
• 画图不规范，不能很好地说明切线、割线、交点的位置关系 • 公式记忆不清，导致计算错误 • 理解不深刻，只会套用公式，难以发挥应有的思考能力
切割线定理在各国数学教育中的地位
切割线定理作为数学中非常重要的一个知识点，它在不同国家的数学教育中都占据着重要地位，是不容 忽视的。下面介绍几个国家中切割线定理的教学情况。
• 中国：在初中阶段的几何课程中必须学习切割线定理。 • 美国：在高中阶段的几何学里也会涉及切割线定理的知识点。 • 日本：从小学到高中，切割线定理都是几何学习的重点。
具体表述
具体来说，若AB与CD是两条割线，交于点E，那么∠AEB=∠CED，∠BEC=1/2∠BAD。
套路示范
判断两条线段是否相互垂直的时候，可以用切割线定理进行证明。
切割线定理的含义和意义
切割线定理是数学中一条很重要的定理。它在几何解题中的应用非常广泛，可以帮助我们更好地理 解和应用各种几何概念。
切割线定理的进阶应用
掌握好了切割线定理的基础知识之后，还可以进一步拓展应用，例如： • 推导出更复杂的几何公式 • 应用切割线定理解决更高级的几何问题 • 将切割线定理与其他定理的知识点相关联，挖掘其更多潜力
相交弦定理切割线定理PPT教学课件
复习之四
相交弦定理 切割线定理
一.复习目标:
1.掌握相交弦定理及其应用.2.掌握切割 线定理及其应用.
3.了解相交弦,切割线定理的证明.4.掌 握割线定理及其应用.
二、复习指导：回忆知识点，会的直接 填写，不会的可翻书填写，边填边记， 比谁能正确填写，并能运用它们做对习 题.
三,知识要点:
1.圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线
讨论：
1.分泌蛋白是在哪里合成的？ 核糖体
2.分泌蛋白从合成至分泌到细胞外，经过
了哪些细胞器或细胞结构？
核糖体→内质网→高尔基体→细胞膜
3.分泌蛋白合成和分泌的过程中需要能量
吗？能量由哪里提供？
需要,主要由线粒体提供
4 .分泌蛋白合成和分泌说明细胞各部分在
结构和功能上有怎样的关系？
结构上相互联系，功能上协调统一
植物
单层膜
动 物、低
无
等植物
动植物
无
调节细胞内的环境，维持渗透 压，保持细胞坚挺。
与（动物）有丝分裂有关
蛋白质合成的场所
回答下列问题
具有色素的细胞器____液_泡_ 、叶绿体 具有双层膜的细胞器__叶__绿体、线粒体 无细胞膜的细胞器__中__心__体 核糖体
与能量转换有关的细胞器_线__粒__体__、叶绿体
C
下列各项中，除哪项外都含有
大量的磷脂（ ）
A内质网
B线粒体
C核糖体
D高尔基体
E,AE=2 5,求PE的长?
B
C
E DP
A
5.如图:⊙O的两条弦AB与CD相交
于点M,且OM⊥CD,作ON⊥AB,N
为垂足,已知CD=6,BM=9,ON= 11,
相交弦定理 切割线定理
一.复习目标:
1.掌握相交弦定理及其应用.2.掌握切割 线定理及其应用.
3.了解相交弦,切割线定理的证明.4.掌 握割线定理及其应用.
二、复习指导：回忆知识点，会的直接 填写，不会的可翻书填写，边填边记， 比谁能正确填写，并能运用它们做对习 题.
三,知识要点:
1.圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线
讨论：
1.分泌蛋白是在哪里合成的？ 核糖体
2.分泌蛋白从合成至分泌到细胞外，经过
了哪些细胞器或细胞结构？
核糖体→内质网→高尔基体→细胞膜
3.分泌蛋白合成和分泌的过程中需要能量
吗？能量由哪里提供？
需要,主要由线粒体提供
4 .分泌蛋白合成和分泌说明细胞各部分在
结构和功能上有怎样的关系？
结构上相互联系，功能上协调统一
植物
单层膜
动 物、低
无
等植物
动植物
无
调节细胞内的环境，维持渗透 压，保持细胞坚挺。
与（动物）有丝分裂有关
蛋白质合成的场所
回答下列问题
具有色素的细胞器____液_泡_ 、叶绿体 具有双层膜的细胞器__叶__绿体、线粒体 无细胞膜的细胞器__中__心__体 核糖体
与能量转换有关的细胞器_线__粒__体__、叶绿体
C
下列各项中，除哪项外都含有
大量的磷脂（ ）
A内质网
B线粒体
C核糖体
D高尔基体
E,AE=2 5,求PE的长?
B
C
E DP
A
5.如图:⊙O的两条弦AB与CD相交
于点M,且OM⊥CD,作ON⊥AB,N
为垂足,已知CD=6,BM=9,ON= 11,
切割线定理[下学期]--浙教版20页PPT
![切割线定理[下学期]--浙教版20页PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/35d9358201f69e31423294d7.png)
求证：PA∙PB=PC∙PD 证明：
C
连接AC、BD，
D
几∵何四语边言形描A述B:DC为
O
P ∵⊙ ∴P∠AOPB的D,PB内C=D接∠是四A⊙，边O形的割线
B
∴ 又PA∠∙PPB==∠PPC∙PD
A
∴ △PBD∽ △ PCA
割线定理：
∴ PD ：PA=PB ：PC
从圆外一点引圆的两 ∴ PA∙PB=PC∙PD
求证：PC2=PA∙PB
证明：
C
这P利也几用是何连∵△今P语接PC后CA言切A做C⊙描∽、题O△述B于的C:P点，一BC个基本图形
A O
得到∵PPP∴又CC A∠是∠BP PP⊙==C B∠∠OPPC CC的B AA切，线
B
切割线定理：
∴ P∴C△²=PPCAA∙P∽B△ PBC
∴ PC ：PA=PB ：PC ∴PC2= PA∙PB
D
O
A
P
我们学过的定理中还有结论 为乘积式的吗？
B
割线PCD、PAB交⊙O于点C、D和A、B
=> PA∙PB=PC∙PD
已知:PT是⊙O的切线,且 PT=500km, 直径AB=1050km,求PA=?
P
∵PＴ是⊙O 的切线
A
∴ PＴ²=PA∙PB
设PA＝x，则500²=x(x+1050) T
(x+1250)(x-200) =0
从圆外一点引圆的切线和条割线切线长
是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比
例中项。
C
思考：从这几个定理的结论里
O
大家能发现什么共同点？
A P
B
C
D
AB交CD于点 => PA∙PB=PC∙PD
高中数学 1.2.4 切割线定理课件 北师大版选修41
由勾股定理，AC2＋AB2＝BC2， 即 x2＋(3x)2＝402， 得 x＝4 10，x＝－4 10(舍去)． 如图，连接 BD，在△PAB 和△ADB 中，∠PAB＝∠D， ∠P＝∠BAD， ∴△PAB∽△ADB. ∴AADP＝APBB， ∴AD＝APP·BAB＝15×54 10＝12 10.
由①知 5×12＝PC(PC＋11)， ∴PC＝4 或 PC＝－15(舍去)， ∴PD＝PC＋CD＝4＋11＝15. 由②得BADC＝155＝13， 即 AC∶BD＝1∶3.
1．本题求解的关键是证明△PAC∽△PDB，而证明的依 据是切割线定理的推论．
2．切割线定理的推论在证明、求值等方面有着广泛的应 用，在证明三角形相似以及利用相似解决问题中起重要作用．
图 1－2－64
【解析】 由切割线定理知 CD2＝BD·AD＝BD·(3＋BD)，
即(2 7)2＝BD2＋3BD，解得 BD＝4 或 BD＝－7(舍去)．
∵∠BDC＝∠ADC，∠DCB＝∠CAD，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴△CAD∽△BCD，
∴CBDD＝ABCC，即2 4 7＝A3C，
解得
AC＝32
7 .
【答案】
37 2
定理的综合应用 如图 1－2－67，P 是⊙O 的直径 CB 的延长线上 一点，PA 和⊙O 相切于 A，若 PA＝15，PB＝5. (1)求 tan∠ABC 的值； (2)弦 AD 使∠BAD＝∠P，求 AD 的长．
图 1－2－67
【思路探究】 求 tan∠ABC 可利用△ABC 中边角关系 求出；而 AD 的长，可综合利用切割线定理和图形中的相似 三角形，建立边长关系求出．
图 1－2－62
1．应用切割线定理及其推论的前提条件是什么？ 【提示】 只有从圆外一点才可能产生切割线定理或其 推论，切割线定理是指一条切线和一条割线，而其推论则是 指两条割线，只有弄清前提，才能正确运用定理．
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从圆外一点引圆的两条割 线,这一点到每条割线与圆 的交点的两条线段长的积 相等.
你能想出其它的办法来证 明切割线定理的推论吗?
P P
B
D
B
D
A
C
A
C
1.已知PT与圆O相切于T,过P的割线与圆
P
交 于A、B两点. (1) 若PA=3,PB=1则PT=
3 .
3 .
2 B 4 T 1
1
(2) 若PT=2,PB=1则AB=
3 •O
(3) 若PT=2,PA=4,BT=1则AT=
A
2
.
PT切圆O于T
PT2=PB•PA
P
1 B 6 5 1 •O
2
2.过圆外一点P引圆的两条割线分别与 圆交于 A、B和C 、D两点.
(1)若PA=6,PB=1,PD=2则PC=
D 3
3 .
(2)若AB=5,PB=1,PC=3则PD=
C
2 .
(3)若PA=6,PD=2,BD=1则AC=
（2）PA•PB=PE•PD （ （3） PA•AB=PE•ED （ （4） PT2=PC•PO （
.
B
O D
在上题中，若PO=5，r=2，你能求出
P
PA和PB的积吗？ 分析: 延长PO交⊙O于D PC=PO－CO=5－2=3 PD=PO + OD=5 + 2=7 PA•PB=PC•PD=21
O
A
1。若过圆外一点P的切线与⊙O相切于T点，P与圆心O的
P A T
连线与圆交于A点，若PO=5，半径是4，求切线长PT。
O
B
2。如图，过点A作圆的两条割线分别交 ⊙O于B，C和D，E。已知AD=4cm， DE=2cm，CE=5cm，AB=BC，求AB,BD。
E
D
A
B
C
1.切割线定理及其推论
2.切割线定理及其推论和相交线定理一样 是相似三角形对应边成比例的另一种形
D
E
例1 如图过圆外一点P作两条割线,分别交⊙O于A、B和C、D.再作⊙O
切线PE,E为切点,连结CE、DE.已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm . (2) 设CE=a,试用含a的代数式表示DE
解: 由弦切角定理,得∠CEP= ∠D
B
3
A 2 C
x
又∵∠CPE=∠EPD ,∴△CPE∽△EPD P ∴ DE PD
式。
3. 应用切割线定理和推论可以运用其乘积 式和比例式关系进行问题的转化。
（1）如图⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是
AB的延长线上的一点，过P点的割线分
P
别与⊙O1、⊙O2交于D、C；E，F。 试判断PD•PC是否和PF•PE相等。 为什么？
F
D
B
. O
C
1
.O
A
2
E
（2）如图A、B是⊙O割线上的两点，AS切⊙O于S， BT切⊙O于T。若AC=BD，则AS和TB有什么关系？
3 .
A
由推论得
PB•PA=PD•PC
例1 如图过圆外一点P作两条割线,分别交圆O于A、B和C、D.
再作圆O切线PE,E为切点,连结CE、DE.已知 AB=3cm, PA=2cm,CD=4cm。 (1) 求PC,PE的长
3
B
A 2 C
x
4
解: 设PC=x ∵CD=4cm, ∴PD=PC+CD=x+4 P ∵AB=3cm, PA=2cm ∴ PB=AB+PA=5(cm) 由切割线定理,得PE2=PA•PB ∴PE2= 2×5=10 ∴PE= 10 (cm). 由切割线定理推论得，PC•PD=PA•PB ∴x(x+4)=2×5 化简,整理得 x2+4x－10=0 解得 x= － 2 ± 14 (负数不合题意,舍去) ∴ x= ( 14 －2)(cm) 答:PC长是PC=( 14－ 2)cm
C
.
B
D
例2 如图，A是圆O上的一点，过点A的切线交直径
CB的延长线于点P，AD⊥BC ，D为垂足。 求证： PB PO PD PC 证明： 连结OA PA切圆O于A OA⊥PA AD⊥PC PA切圆O于A
。 O C
A
PD•PO=PA2
P
B
D
PB•PC=PA2 PB•PC=PD•PO
PB PO PD PC
T •O B
P
PB PT PT PA
PT 2 PA PB A
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长 切割线定理 是这点到割线与圆的交点的两条线段 长的比例中项. PT切⊙O于T
由切割线定理
PT2=PB•PA
P
PT2= PD•PC ;
B D T •O C A
从而得到 PB•PA=PD•PC
推
论
S TA Cຫໍສະໝຸດ .B O D鲁巷中学数学教研组
相交弦定理 :圆内的两条相交弦,被交点分
成的两条线段长的积相等.
A P D
B C
如图,则有
PA • PB=PC •PD
若P是圆外一点,PT是⊙O的切线,过P点的 割线与圆交于A、B两点, PT、PB、PA三条线段 有什么关系? 连结TB 、TA ∠BPT=∠TPA ∠PTB= ∠A △PTB∽ △PAT PB PT BT PT PA AT
CE PE
4
a
10
∵PD=PC+CD 14 2 4 2
14 cm
D
E
DE 2 14 10 35 5 a 10 1 DE 10 35 a 5
判断题
如图所示，PT切⊙O于T。下面的判断是否正确
P
（1）PT2=PE•PD
A C E T
（
） ） ） ）