高中阶段推导动生电动势的四种方法辨析
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高中阶段推导动生电动势的四种方法辨析
山东省邹城市第一中学物理组 陈霞(273500)
一、根据法拉第电磁感应定律推导
若导轨间距为l ,运动速度为v ,匀强磁场的磁感应强
度为B ,B 、l 、v 两两垂直,如图1所示,根据法拉第电磁感应定律Blv t t Blv t S B t E =∆∆=∆∆⋅=∆∆Φ=。 二、根据洛仑兹力与电场力平衡来推导 在磁感应强度为B 的匀强磁场中,直导线ab 以垂直磁场的速度v 匀速运动,导体中的自由电子也同样在磁场中做定向运动,因此会受到洛仑兹力的作用, evB F =洛,方向竖直向下,使电子向导线的b 端积聚,同时使a 端显出正电性,
从而产生一个向下的电场。当电场力与洛仑兹力达到平衡时,电荷停止积累,在a 、b 两端形成稳定的动生电动势。设此时ab 间的电势差为U ,则有eU
evB U Blv l =⇒=。如果用导线将两端连起来,就产生了电流,运动的导线就是电源,洛仑兹力不断的把自由电子从电源的正极拉到负极,使电路里产生稳定持续的电流,洛仑兹力就是非静电力,U Blv =中的U 就是感应电动势E ,即E Blv =。
三、根据能量守恒定律推导
如图2所示,自由电荷随导体运动的速度为1v ,受到的洛
仑兹力为B ev F 11=,自由电子沿导体做定向移动的速度为2v ,受到的洛仑兹力B ev F 22=。1F 与2v 同向,做正功,2F 与1v 反向,做负功,但电子的合速度为v ,洛仑兹力的合力为evB F =,F 垂直v ,所以洛仑兹力总的不做功,即洛仑兹力并不提供能量,1F 做的正功与2F 做的负功,正好抵消。
1F 做正功使自由电子沿导体定向运动产生电能,2F 做负功,使自由电子沿导体运动方向的速度减小。从大量自由电子的宏观表现来看,阻力2F 的宏观表现就是安培力,外力必须克服安培力做功将其他形式的能量转化为电能。洛仑兹力起到能量传递的作用,并没有对外输出能量,这与洛仑兹力永不作功并不矛盾!
当导体棒匀速运动时,回路中的电功率为P EI =,克服安培力做功的功率为× × × × × ×
× × × ×
×
图1
图2
P Fv BIlv ==,二者应该相等。因此第三种方法是利用能量守恒列式:P EI BIlv ==,二边约去I 推出E Blv =。
四、根据电动势的定义推导
将单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时,非静电力所作的功,就是电动势E ,W E q =。这里洛仑兹力是非静电力,将电子从a 移到b ,洛伦兹力做的功为W evBl =,则W evBl E vBl q e
===。 如果同学们能够理解以上四种推导方法,就会对下列问题
有更深刻的认识:
1.当电路不闭合时,导体中没有感应电流,但两端有感
应电动势。当回路中有两个导体棒切割磁感线时,如图3所
示,相当于回路中有两个电源,12E Blv Blv =-或12E Blv Blv =+。
2.当导体棒匀速切割磁感线时,我们求电功率时可以用
222
Blv B L v P EI Blv R R
===,此时外力等于安培力,克服安培力做功的功率为222
Blv B L v P Fv BIlv B v R R ====,二者相等。
3.当棒非匀速切割磁感线时,由于其速度发生变化,将导致电动势、电流、
安培力的变化,求回路中的电能时不能直接用EIt 、2I Rt 、BIl s ⋅等式子。但是
回路中的电能总等于克服安培力做的功,因此可以用动能定理、能量守恒等来求解电能、电热。但要注意所列式子的物理意义。以为例,如
果用恒力F 拉着棒做加速运动,设经过位移s ,棒的速度达
到最大值v ,轨道光滑,则计算该过程中产生的电热时,可
以用动能定理:2102Fs W mv +=-,则2
12Q W Fs mv =-=-;
也可以直接用功能关系:2
12Fs Q mv =+。但不能直接用
2Q I Rt = 图3 图4
以下两个例题将有助于理解上述内容: 【例1】空间存在以ab 、cd 为边界的匀强磁场区域,
磁感强度大小为B ,方向垂直纸面向外,区域宽1l ,
现有一矩形线框处在图中纸面内,它的短边与ab
重合,长度为2l ,长边的长度为12l ,如图所示,
某时刻线框以初速v 沿与ab 垂直的方向进入磁场区
域,同时某人对线框施以作用力,使它的速度大小和方向保持不变,设该线框的电阻为R ,从线框开
始进入磁场到完全离开磁场的过程中,人对线框作
用力所做的功等于多少。
解答:本题中线框的运动过程分三段:①从右边进入磁场到右边离开磁场;②从右边离开磁场到左边进入磁场;③从左边进入磁场到左边离开磁场。 在过程①③中:穿过闭合线圈的磁通量发生变化,电路中产生的感应电流R v Bl I 2=,线框所受安培力22
22B L v F BIL R ==安。又因为线框做匀速运动,所以人对线框的作用力与线框所受安培力等大反向,人对线框作用力做的功等于安培力
所做的功,即22112()2BL l v W F l R
=⨯=安。在过程②中,通过线框的磁通量没有变化,所以无感应电流,线框不受安培力,人对线框的作用力也为零,故整个过程
人所做的功为2212()BL l v R
。 【例2】如图6所示,有理想边界的匀强磁场磁感应强度为B ,
磁场区域的宽度为L 。一边长也为L 的正方形导线框,质量为
m ,自距磁场上边界为H 的高度处自由下落。当其下边ab 进入
匀强磁场时,线框开始做减速运动,直到上边cd 离开磁场区域
为止。已知线框cd 边刚离开磁场区域时的速度大小恰好为ab
边刚进入磁场时的速度大小的一半。求整个线框穿过磁场区域
的过程中所产生的焦耳热为多大?(重力加速度为g )
解答:设ab 边刚进入磁场时的速度为v ,则2
12mgH mv =
21()()22v mg H L L m Q ++=+,解得3(2)4Q mg H L =+
图6
图5