高中阶段推导动生电动势的四种方法辨析

高中阶段推导动生电动势的四种方法辨析

山东省邹城市第一中学物理组 陈霞（273500）

一、根据法拉第电磁感应定律推导

若导轨间距为l ，运动速度为v ，匀强磁场的磁感应强

度为B ，B 、l 、v 两两垂直，如图1所示，根据法拉第电磁感应定律Blv t t Blv t S B t E =∆∆=∆∆⋅=∆∆Φ=。 二、根据洛仑兹力与电场力平衡来推导 在磁感应强度为B 的匀强磁场中，直导线ab 以垂直磁场的速度v 匀速运动，导体中的自由电子也同样在磁场中做定向运动，因此会受到洛仑兹力的作用， evB F =洛，方向竖直向下，使电子向导线的b 端积聚，同时使a 端显出正电性，

从而产生一个向下的电场。当电场力与洛仑兹力达到平衡时，电荷停止积累，在a 、b 两端形成稳定的动生电动势。设此时ab 间的电势差为U ，则有eU

evB U Blv l =⇒=。如果用导线将两端连起来，就产生了电流，运动的导线就是电源，洛仑兹力不断的把自由电子从电源的正极拉到负极，使电路里产生稳定持续的电流，洛仑兹力就是非静电力，U Blv =中的U 就是感应电动势E ，即E Blv =。

三、根据能量守恒定律推导

如图2所示，自由电荷随导体运动的速度为1v ，受到的洛

仑兹力为B ev F 11=，自由电子沿导体做定向移动的速度为2v ，受到的洛仑兹力B ev F 22=。1F 与2v 同向，做正功，2F 与1v 反向，做负功，但电子的合速度为v ，洛仑兹力的合力为evB F =，F 垂直v ，所以洛仑兹力总的不做功，即洛仑兹力并不提供能量，1F 做的正功与2F 做的负功，正好抵消。

1F 做正功使自由电子沿导体定向运动产生电能，2F 做负功，使自由电子沿导体运动方向的速度减小。从大量自由电子的宏观表现来看，阻力2F 的宏观表现就是安培力，外力必须克服安培力做功将其他形式的能量转化为电能。洛仑兹力起到能量传递的作用，并没有对外输出能量，这与洛仑兹力永不作功并不矛盾！

当导体棒匀速运动时，回路中的电功率为P EI =，克服安培力做功的功率为× × × × × ×

× × × ×

×

图1

图2

P Fv BIlv ==，二者应该相等。因此第三种方法是利用能量守恒列式：P EI BIlv ==，二边约去I 推出E Blv =。

四、根据电动势的定义推导

将单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力所作的功，就是电动势E ，W E q =。这里洛仑兹力是非静电力，将电子从a 移到b ，洛伦兹力做的功为W evBl =，则W evBl E vBl q e

===。 如果同学们能够理解以上四种推导方法，就会对下列问题

有更深刻的认识：

1．当电路不闭合时，导体中没有感应电流，但两端有感

应电动势。当回路中有两个导体棒切割磁感线时，如图3所

示，相当于回路中有两个电源，12E Blv Blv =-或12E Blv Blv =+。

2．当导体棒匀速切割磁感线时，我们求电功率时可以用

222

Blv B L v P EI Blv R R

===，此时外力等于安培力，克服安培力做功的功率为222

Blv B L v P Fv BIlv B v R R ====，二者相等。

3．当棒非匀速切割磁感线时，由于其速度发生变化，将导致电动势、电流、

安培力的变化，求回路中的电能时不能直接用EIt 、2I Rt 、BIl s ⋅等式子。但是

回路中的电能总等于克服安培力做的功，因此可以用动能定理、能量守恒等来求解电能、电热。但要注意所列式子的物理意义。以为例，如

果用恒力F 拉着棒做加速运动，设经过位移s ，棒的速度达

到最大值v ，轨道光滑，则计算该过程中产生的电热时，可

以用动能定理：2102Fs W mv +=-，则2

12Q W Fs mv =-=-；

也可以直接用功能关系：2

12Fs Q mv =+。但不能直接用

2Q I Rt = 图3 图4

以下两个例题将有助于理解上述内容： 【例1】空间存在以ab 、cd 为边界的匀强磁场区域，

磁感强度大小为B ，方向垂直纸面向外，区域宽1l ，

现有一矩形线框处在图中纸面内，它的短边与ab

重合，长度为2l ，长边的长度为12l ，如图所示，

某时刻线框以初速v 沿与ab 垂直的方向进入磁场区

域，同时某人对线框施以作用力，使它的速度大小和方向保持不变，设该线框的电阻为R ，从线框开

始进入磁场到完全离开磁场的过程中，人对线框作

用力所做的功等于多少。

解答：本题中线框的运动过程分三段：①从右边进入磁场到右边离开磁场；②从右边离开磁场到左边进入磁场；③从左边进入磁场到左边离开磁场。 在过程①③中：穿过闭合线圈的磁通量发生变化，电路中产生的感应电流R v Bl I 2=，线框所受安培力22

22B L v F BIL R ==安。又因为线框做匀速运动，所以人对线框的作用力与线框所受安培力等大反向，人对线框作用力做的功等于安培力

所做的功，即22112()2BL l v W F l R

=⨯=安。在过程②中，通过线框的磁通量没有变化，所以无感应电流，线框不受安培力，人对线框的作用力也为零，故整个过程

人所做的功为2212()BL l v R

。 【例2】如图6所示，有理想边界的匀强磁场磁感应强度为B ，

磁场区域的宽度为L 。一边长也为L 的正方形导线框，质量为

m ，自距磁场上边界为H 的高度处自由下落。当其下边ab 进入

匀强磁场时，线框开始做减速运动，直到上边cd 离开磁场区域

为止。已知线框cd 边刚离开磁场区域时的速度大小恰好为ab

边刚进入磁场时的速度大小的一半。求整个线框穿过磁场区域

的过程中所产生的焦耳热为多大？（重力加速度为g ）

解答：设ab 边刚进入磁场时的速度为v ，则2

12mgH mv =

21()()22v mg H L L m Q ++=+，解得3(2)4Q mg H L =+

图6

图5