高三数学第二轮复习课件：函数的性质(2021版)
2021高考数学二轮专题复习7.1函数的图象与性质ppt课件
【解析】 (1)根据题意可得，f(x)＝l－n lxn，xx，≥01<，x<1， ∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
根据题意可知，a2>－0a>0 ⇒0<a<2； ①当 0<a<1 时，2－a>1， ∵f(a)>f(2－a)，∴－ln a>ln(2－a)⇒a(2－a)<1， 解得 a≠1；∴0<a<1； ②当 a＝1 时，f(a)＝f(2－a)不符合题意(舍)； ③当 1<a<2 时，0<2－a<1， ∵f(a)>f(2－a)，∴ln a>－ln(2－a)，∴a(2－a)>1，解得 a∈∅， 综上，a 的取值范围为(0,1)，故选 A. 【答案】 (1)A
【解析】(2)∵函数 y＝f(x)是 R 上的奇函数，∴f(0)＝0，由题 意可得 f(1)＝－f(0)＝0，
当 x≥0 时，f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(2 019)＋f(－2 020) ＝f(2 019)－f(2 020)＝f(1)－f(0)＝0，A 选项正确；当 x≥0 时，f(x
或x2＋x<10≥，0， 所以 x<0.故选 D.
3．(多选题)若函数 f(x)在其图象上存在不同的两点 A(x1，y1)， B(x2，y2)，其坐标满足条件：|x1x2＋y1y2|－ x21＋y21· x22＋y22的最大 值为 0，则称 f(x)为“柯西函数”，则下列函数中为“柯西函数”
的是( )
(2)[2020·山东德州质量检测]已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数， 当 x≥0 时，有 f(x＋1)＝－f(x)，且当 x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)， 下列命题正确的是( )
高三数学第二轮专题复习系列(2)-- 函数
高三数学第二轮专题复习系列(2)-- 函数一、本章知识结构：二、高考要求（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质．掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 三、热点分析函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。
在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。
以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。
考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。
②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。
③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。
四、复习建议1. 认真落实本章的每个知识点，注意揭示概念的数学本质①函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系；②中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来，并且理解记忆；③掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对函数单调性和奇偶性应用的训练；④注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等；函数的三要素函数的表示法 函数的性质 反函数 函数的应用 初等函数基本初等函数： 指数函数 对数函数对数指数映射函数射⑤掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；⑥理解掌握反函数的概念，会求反函数，弄清互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的关联及其图像间的对称关系。
高中数学—函数的基本性质—完整版课件
• 当 > 时， − < ，则
• − ＝ −
− ＝ − ＝ − ()．
• 综上，对 ∈ (−∞，) ∪ (，＋∞)，
• ∴ ()为奇函数．
都有 − ＝ − ()．
奇偶性判定
• 【解析】 (4) =
−
−
• 定义域为 −， 关于原点对称
• ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 ．
函数的奇偶性
• 判断函数的奇偶性
• 1、首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据
原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非
奇非偶函数．
• 2、如果满足定义域对称，则计算(−)，看与()是否有相等或互为
相反数的关系.
−
−−
+
++
−+
• 即
= 恒成立，
• 则2(＋)2＋2＝0对任意的实数恒成立．
• ∴ ＝＝0.
函数的单调性
+
•
(2)∵ =
∈ 是奇函数, 只需研究(, ＋∞)上()的单调区间即可．
•
任取， ∈ (，＋∞)，且 < ，则
应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值．
抽象函数的单调性
• 函数()对任意的、 ∈ ，都有 ＋ ＝ ＋ − ，并且当
> 时，() > .
• (1)求证：()是上的增函数；
• (2)若()＝，解不等式( − − ) < .
抽象函数的单调性
• ∴ ()＝， ∴原不等式可化为( − − ) < ()，
• ∵ ()是上的增函数，
高三数学二轮复习教学案一体化：函数的性质及应用(2)
专题1 函数的性质及应用（2）高考趋势1.函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想．在江苏高考文理共用卷中，函数小题（不含三角函数）占较大的比重，其中江苏08年为3题，07年为4题．2.函数的图像往往融合于其他问题中，而此时函数的图像有助于找出解决问题的方向、粗略估计函数的一些性质。
另外，函数的图像本事也是解决问题的一种方法。
这些高考时常出现。
图像的变换则是认识函数之间关系的一个载体，这在高考中也常出现。
通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。
在定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。
在上述性质中，知道信息越多，则解决问题越容易。
考点展示1. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是B2.函数xy 1=的图像向左平移2个单位所得到的函数图像的解析式是 21+=x y3. 函数)(x f 的图像与函数2)1(2---=x y 的图像关于x 轴对称，则函数)(x f 的解析式是2)1(2+-x4. 方程223x x -+=的实数解的个数为 25. 函数)1(x f y+=的图像与)1(x f y -=的图像关于 x=0 对称函数图象对称问题是函数部分的 一个重要问题，大致有两类：一类是同一个函数图象自身的对称性；一类是两个不同函数之间的对称性。
定理1 若函数y=f(x) 对定义域中任意x 均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线2a bx +=对称。
定理2 函数()y f a x ω=+与函数()y f a x ω=-的图象关于直线2b ax ω-=对称特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线2b ax -=对称。
2021高考数学(理)统考版二轮复习课件 精讲16 函数的概念、图象与性质
1 2 3 4 5 6 78
3．(2020·成都模拟)函数f(x)＝exx－2 1的图象大致是(
)
1 2 3 4 5 6 78
B
[因为f(x)＝
x2 |ex－1|
≥0，所以A不正确；函数f(x)＝
x2 |ex－1|
不是
偶函数，图象不关于y轴对称，所以C不正确；当x＞0时，f(x)＝
x2 ex－1
3．已知函数 f(x)＝x－2＋3xx，，xx＜≥00，， 若 a[f(a)－f(－a)]＞0，则实 数 a 的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D [易知 a≠0，由题意得，当 a＞0 时，不等式可化为 a(a2＋a －3a)＞0，即 a2＋a－3a＞0，即 a2－2a＞0，解得 a＞2 或 a＜0(舍去)； 当 a＜0 时，不等式可化为 a(－3a－a2＋a)＞0，即－3a－a2＋a＜0， 即 a2＋2a＞0，解得 a＜－2 或 a＞0(舍去)．
1 2 3 4 5 6 78
[高考题型全通关]
1．函数f(x)＝ex－ex－2xcosx的部分图象大致是(
)
1 2 3 4 5 6 78
B [因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－f(x)，函数为 奇函数，其图象关于原点对称，所以C、D错误；又因为f(π)＝ －eππ－2 e－π＜0，所以A错误，故选B．]
＞0
,
当x趋近于正无穷时，x2和ex－1都趋近于正无穷，但是ex
－1增大的速度大于x2增大的速度，所以f(x)＝
x2 ex－1
趋近于0，故D不
正确．故选B．]
1 2 3 4 5 6 78
【高三数学】二轮复习：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
)
A.sin x + 3
B.sin 3 -2x
C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC
解析 由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲 三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +
高中数学《函数的性质》课件
2.5
O。 1 2
4
5 x
1 例2.利用定义证明f ( x ) 在区间(1, )上减函数. x -1
家庭作业： 1)课本P 39 A组1 4(本子上)； 2)蓝皮书P16 : 例1、变式1; P17:例2、变式2; P18:备选例题例2; P 20:备选例题例2.
y
y=f(x) f(x2) f(x1)
o
x1
x2
x
一般地，设函数 f ( x )的定义域为I : 如果对于定义域 I内某个区间D上的任意两个自变量 的值x1 , x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就说 函数f ( x )在区间D上是减函数.
y
y=f(x) f(x2) f(x1)
如何准确而简洁地刻画 函数的单调性呢？
x
0
1
2
f(x) 0
1
4
4 9 16 3
01 1 3
24
0 1 1 9 4 16
任意
至少需要两组数来刻画
x
x1
x2
x1 x2
f ( x1 ) f ( x2 )
f(x) f ( x1 ) f ( x2 )
就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性， 这一区间叫做y=f(x)的单调区间.
y
函数f ( x ) x 2的单减区间是 ( ,0]； 单增区间是 [0,).
O x
例1.定义在区间[-5，5)上的函数y=f(x)图象如下， 根据图象指出y=f(x)的单调性.
y
.
5
4
。
。 。
o
x1
x2
x
(新人教A)高三数学第二轮复习第二讲函数的图像与性质
第二讲 函数（二）一、函数的图象1，图象的变换 （1）平移变换①函数(),y f x a =+的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向右（0a >）或向右（0a <）平移||a 个单位得到的；②函数)0(,)(<+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿y x f y )(=向上（0a >）或向下（0a <）平个单位得到的移a 。
（2）对称变换①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
③如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有=+)(a x f )(a x f -，那么)(x f y = 的图象关于直线a x =对称。
④设函数y=f(x)的定义域为R ，满足条件f(a+x)=f(b －x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=2ba +对称。
（3）伸缩变换①)0(),(>=a x af y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(>a 或缩短)10(<<a 到原来的a 倍。
②)0(),(>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的横坐标伸长)10(<<a 或缩短)1(>a 到原来的a1倍。
例1.将下列变换的结果填在横线上： （1）将函数xy -=3的图象向右平移2个单位，得到函数 的图象；（2）将函数)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位，得到函数 的图象；（3）将函数3)2(-=x y 的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 的图象. 解析：（1）关键是答案为23--=x y ，还是)2(3--=x y ，可以取一个点检验，将函数xy -=3的图象向右平移2个单位后点（－1，3）变为（1，3），故答案为)2(3--=x y ，即xy -=23（2）关键是答案为)213(log 2+-=x y ，还是]1)2(3[log 2-+=x y ，注意到)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位后（1，1）变为点（－1，1），所以后者正确，故答案为)53(log 2+=x y ；（3）函数3)2(-=x y 的图象经过变换后，点（3，0）变为（9，1），故答案为3)131(-=x y .评析：总结上述解答，应该明白一个函数)(x f 的图象的各种变换都是针对基本变量x （或y ）进行的，所以变换后发生的变化都应该紧随着变量x （或y ）的后面，应认真总结这些经验.注意，函数图象变换的规律也可以应用到曲线方程表示的图形的变换. 例2.已知函数,1-=x xy 给出下列三个命题中正确命题的序号是 ①函数的图象关于点（1，1）对称； ②函数的图象关于直线x y -=2对称； ③将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数xy 1=重合. .答案：①、②、③.（提示：111y x =+-） 例3．将奇函数)(x f y =的图象沿着x 轴的正方向平移2个单位得到图象C ，图象D 与C 关于原点对称，则D对应的函数是（ ）A ．)2(--=x f yB ．)2(-=x f yC ．)2(+-=x f yD ．)2(+=x f y答案D ．（提示：)2()2()(---=⇒-=⇒=x f y x f y x f y ，即).2(+=x f y例4．已知f(x+199)=4x 2＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．分析：由f(x ＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由2214434()22y x x x =++=++，立即求得f(x)的最小值即f(x ＋199)的最小值是2． 2.利用图象解决函数问题熟练掌握函数图象的有关知识是学习函数以及解决函数问题的重要基本技能，在学习时要抓住下面两个要点：（1）学习函数图象的最基本的能力是熟练掌握所学过的基本初等函数（如正、反比例函数，二次函数，指数、对数函数，三角函数）的图象；（2）“数形结合”是一种很重要的数学方法，在解决许多函数、方程、不等式及其它与函数有关的问题时，常常运用“数形结合”的方法解答问题或帮助分析问题，运用“数形结合”解答问题需要有下述能力与经验：1）必须有能力准确把握问题呈现的全部图象特征；2）必须能够列出等价的数学式子表达问题的图象特征。
专题6第1讲函数的概念、图象与性质-2021届高三高考数学二轮复习课件
典例1 (1)(2020·百校联盟联考)已知函数g(x)＝
－x3，x≤0 log2x，x>0 ，则不等式g(x)<1的解集为
A．(0,2)
B．(－∞，2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
(C )
(2)(2020·江苏省南京市高三联考)函数 y＝ 1＋log2x的定义域为 __12_，__＋__号 12 9 16
考查角度 函数单调性的应用比较大小
函数的奇偶性与单调性 函数的奇偶性、对称性及最值
分值 5 5 5
年份 2019
卷别 Ⅰ卷 Ⅱ卷
Ⅲ卷
Ⅰ卷
2018 Ⅱ卷
Ⅲ卷
题号 5 12
7、11 无
3、11
7
考查角度 图象的识别 函数解析式、图象与性质的综合 函数图象的识别，函数奇偶性与单调 性的综合
(3)(2020·江苏百校联考)已知函数 f(x)＝sfixn－πx2，＋x≤2，0x>0 ，则 f123的
值为__9__.
－x3，x≤0， 【解析】 (1)根据题意，g(x)＝log2x，x>0， ，
由不等式g(x)<1
－x3<1 得x≤0
或lxo>g02，x<1，
所以－1<x≤0或0<x<2．
e－x－ex x2
＝－f(x)∴f(x)为奇函数，舍去
A，
∵f(1)＝e－e－1>0∴舍去D；
∵f′(x)＝
ex＋e－xx2－ex－e－x2x x4
＝
x－2ex＋x＋2e－x x3
∴x>2，
f′(x)>0，
所以舍去C；因此选B．
(2)令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．
高三数学第二轮复习三角函数的图像与性质ppt课件.ppt
直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点).
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
[2k5.单+ 2调, 性2k:+y=3s2in]x(k在[Z2)k上-单2调, 2递k减+2;
注 一般说来, 某一周期函数解析式加绝对值或平方, 其周期 性是: 弦减半、切不变.
课
前 热 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
身
1.给出四个函数:
(A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)
要特别注意, 若由 或向右平移应平移 |
y=s| i个n(单x位) 得. 到
y=sin(x+)
的图象,
则向左
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
二、三角函数图象的性质
1.正弦函数 y=sinx(xR) 是奇函数, 对称中心是 (k, 0)(kZ), 对 对称称轴 中是 心直 是线(kx+=k2,+0)2(k(kZZ),);对余称弦轴函是数直y线=coxs=xk(x(kR)Z是)(偶正函, 数余,
1、 解：（1） m n 2 3sin xcos x 2cos2 x
作函数
y
2
s
in(1
x
3
)
的图象，并说明图象可
由函数 y sin x 的图象经过怎样的变换得到.
2023高考数学基础知识综合复习第4讲函数的概念与性质 课件(共26张PPT)
考点一
考点二
◆角度2.函数的奇偶性
例8(2018年4月浙江学考)用列表法将函数f(x)表示为
x
f(x)
1
-1
2
0
3
1
则(
)
A.f(x+2)为奇函数
B.f(x+2)为偶函数
C.f(x-2)为奇函数
D.f(x-2)为偶函数
答案 A
解析 由题可得,函数f(x)的图象关于(2,0)对称,将函数f(x)的图象向左
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
答案 D
解析 当x0≤0时,f(x0)= 2- 0-1>1,解得-x0>1,所以x0<-1,所以此时有
x0<-1;当x0>0时,f(x0)=
1
2
知,x0<-1或x0>1.故选D.
0
>1,解得x0>1,所以此时有x0>1.综上可
考点一
考点二
分段函数的求解策略:
(1)根据分段函数解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求
解.
(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围
应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或
范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
考点一
考点二
函数的基本性质
◆角度1.函数的单调性
平移2个单位长度,得到函数f(x+2)的图象,其图象关于原点对称,所
以f(x+2)为奇函数.故选A.
考点一
考点二
例9已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+
最新-2021届高三数学理高考二轮复习书讲解课件第一部分 专题五 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义
考点一
考点一 考点二 考点三
试题 解析
2．(2016·高考天津卷)已知双曲线x42－by22＝1(b>0)，以原点为圆心，
双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线
的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，
四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的
方程为( D ) A.x42－34y2＝1 C.x42－y42＝1
抛物线 y2＝－4x 的准线方程为 x＝1，则|PF|＝1－(－6)＝7.
考点二
试题 解析
考点一 考点二 考点三
2．(2016·高考全国Ⅰ卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，
若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为
( B)
1
1
A.3
B.2
2
3
C.3
D.4
考点二
试题 解析
且|P→F1＋P→F2|＝2 3，则∠F1PF2＝( D )
A.π6
B.π4
C.π3
D.π2
考点一
试题 通解 优解
考点一 考点二 考点三
设 ∠ F1PF2 ＝ θ ， 根 据 余 弦 定 理 |F1F2|2 ＝ |PF1|2 ＋ |PF2|2 － 2|PF1|·|PF2|cos θ，即 12＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos θ.由|P→F1 ＋P→F2|＝2 3，得 12＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|cos θ.两式相减 得 4|PF1|·|PF2|cos θ＝0，cos θ＝0，θ＝π2.
可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8 3)． 当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，故四边形
【高中数学课件】函数及其性质复习ppt课件
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4. f ( x) 是定义在R上的单调函数，且 f ( x) 的图
4.已知f(x2)的定义域为［-1，1］，则f(2x)的定义域为
(, 0]
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函数的值域
①.函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方 法求函数的值域都应先考虑其定义域.
②.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数的值 域，它是求解复杂函数值域的基础.
③.求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、 配方法、判别式法、单调性法等.
设ab是两个非空数集如果按照某种对应法则f对于集合a中的任何一个元素在集合b中都有惟一的元素和它对应那么这样的对应f叫做集合a到集合b的函数奇偶下一张天马行空官方博客
函数及其性质
天马行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632
(C) 1 2 2，
1 (B) 1， 2 (D) - ， 2
2，
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2．求下列函数的值域：
3x (1) y x ; (2) y x - 1 - 2 x 3 1 1 (3); y x 1 x 1 (4) y=x2-6x+5 x
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函数的定义域 ①.能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.求 函数的定义域的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. ②. 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集 合. ③.已知f(x)的定义域为A，求函数f[g(x)]的定义域，实际上 是已知中间变量u=g(x)的取值范围，即u∈A，即g(x)∈A， 求自变量x的取值范围.
2021届高考统考数学二轮复习艺体生专用课件：函数的性质
【例3】 (1)已知函数f (x)为(0，＋∞)上的增函数，若f (a2－a)> f (a＋3)，则实数a的取值范围为________．
a2－a>0， 解析：由已知可得 a＋3>0，
a2－ a>a＋ 3，
解得－ 3<a<－ 1或 a>3.所以实数 a的取值范围为 (－ 3，－ 1)∪ (3，＋∞ )． 答案： (－ 3，－ 1)∪(3， ＋∞)
当 0<x1<x2时， x1 x2 >0， x1x2＋ 1>0.
又因为x1－x2<0，所以f (x1)－f (x2)<0，
即f (x1)<f (x2)．
所以函数f (x)＝x－1x在(0，＋∞)上是增函数．
综上可知，函数 f
(x)＝
x－
1 x
在(－ ∞， 0)上是增
函数，在(0， ＋∞)
上是增函数．
答案： C
方法突破：求函数 最值的四种常用方法 (1)单调 性法：先确定函数的单调性，再由单 调性求最值． (2)图象 法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最 低点，求出最 值． (3)基本 不等式法：先对解析式变形，使之具 备“一正二定三相等” 的条件后用基本不 等式求出最值． (4)导数 法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点 值，求出最值．
的
的
(2)单调 区间的定义
若函数 f (x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 f (x)在这一区
间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 f (x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数 y＝f (x)的定义域为 I, 如果存在实数 M 满足
对于任意 x∈I,
2021新高考数学(山东省)二轮复习课件 精讲15 函数的概念、图象与性质
x13，
1 2
≤x3＜1，又函数y＝－2x＋1x
在
12，1
上为减函数，故－1＜－2x3＋
1 x3
≤1，故x3(x1＋x2)＋
1 x23x4
的取值
范围为(－1，1]．故选B．]
1234567
－ln |x|，x∈－∞，0， 7．(2020·石家庄模拟)已知函数f (x)＝－6x2＋20x－13，x∈[0，2]， g(x)
0 [根据题意，函数 f (x)满足 f (x－a)＝x3＋1，则 f (x)＝(x＋a)3 ＋1，则 f (2－x)＝(2－x＋a)3＋1，若对任意实数 x 都有 f (x)＋f (2－x) ＝2，则有 f (x)＋f (2－x)＝(x＋a)3＋1＋(2－x＋a)3＋1＝2，可得(x＋ a)3＋(2－x＋a)3＝0，解得 a＝－1，则 f (x)＝(x－1)3＋1，则 f (0)＝(0 －1)3＋1＝－1＋1＝0.]
1234567
x3－3x，x≤a， 7．[一题两空](2020·枣庄模拟)已知函数 f (x)＝3－x－1，x＞a， 当 a＝0 时，f (x)的最大值为________；若函数 f (x)的最大值为 2，则 实数 a 的取值范围是________．
1234567
x3－3x，x≤0， 2 [－1，2] [当 a＝0 时，f (x)＝3－x－1，x＞0， x≤0 时，f ′(x) ＝3x2－3＝3(x2－1)． 由 f ′(x)＞0 得 x＜－1，由 f ′(x)＜0 得－1＜x≤0. 所以 f (x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0]上单调递减，所 以当 x≤0 时，f (x)的最大值为 f (－1)＝2.
B．－12，2 D．－12，2
1234567
高三数学函数的性质与幂函数
第三单元 函数的性质与幂函数考点分析研究函数的性质，可以更加全面地了解函数，有助于对函数本质的理解．要求（1）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；(2)结合具体函数，了解奇偶性的含义；(3)会根据函数的图像分析函数的单调性、奇偶性； (4)会画u x y =)21,2,1,3,2,1(--=u 的图像示意图，了解幂函数的概念，并了解这些函数的基本性质． §3.1 函数单调性及最大(小)值 例题选讲【例１】23()1[0,]2f x x x x =++∈已知函数:的最值情况为 （ ）A ．有最大值34，但无最小值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值 194D ．无最大值，也无最小值解析：∵43)21()(2++=x x f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0x ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+2,2121x∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+4,41)21(2x ， 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈419,1)(x f ∴选Ｃ．【例２】已知函数=y R x x x x f ∈+=,)(3，判断)(x f 在定义域R 上的单调性． 解析： 设+∞<<<∞-21x x ，则021<-x x ．∵ )1)(()()()()(2221212123213121+++-=+-+=-x x x x x x x x x x x f x f＝0122)()(222122121<⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-x x x x x x∴)()(21x f x f <，即)(x f 在定义域R 上为单调递增函数．【例３】已知函数1)(2+=x x f ．求：（1）[])()(x f f x g =的解析式； （2）若函数)()()(x pf x g x F -=在⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-22，内是减函数，在区间)022(，-内是增函数，求p 的值．解析：（1） ∵1)(2+=x x f ，∴[]221)1()()(2422++=++==x x x x f f x g（2）)2()2()1()22()()()(24224p x p x x p x x x pf x g x F -+-+=+-++=-=，令u x =2，则)2()2()(2p u p u x F -+-+=的对称轴方程为22-=p u ．又由条件可知22-=x 为对称轴，即有2)22(22-=-p ． ∴ 3=p ． 配套练习1．下列结论正确的是 （ ） A ． 函数kx y =（k 为常数，0<k ）在R 上是增函数B ． 函数2y x =在R 上是增函数C ．xy 1=在定义域内为减函数 D ．1y x=在(,0)-∞为减函数 2．设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则有 （ ） A ．12a >B ．12a <C ．12a ≥D ．12a ≤ 3．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，那么实数a 的取值范围是 （ ）A ．3a -≤B ．3a -≥C ．a ≤5D ．a ≥54．函数142-=x y 的单调性为 ( )A ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41上单调递增，在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-41,上单调递减B ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41上单调递减，在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,上单调递增C ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21上单调递增，在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,上单调递减D ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21上单调递减，在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,上单调递增5．定义在R 上的函数()1+=x f y 的图像如图所示，它在定义域上是减函数，给出下列命题：①1)0(=f ；②()11=-f ；③若0>x ，则()0<x f ；④若0<x ，则0)(>x f ，其中正确的是（ ）Ａ．②③ Ｂ．①④ Ｃ．②④ Ｄ．①③ 6．定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则必有 （ ）A ．函数()f x 是先增加后减少B ．函数()f x 是先减少后增加C ．()f x 在R 上是增函数D ．()f x 在R 上是减函数 7．已知函数()x f 在定义域)1,1(-上是减函数，且()()211a f a f ->-,求a 的取值范围．8．若函数xax x f -=2)(在定义域]1,0(（a 为实数）上是减函数，求a 的取值范围．§3.2 函数奇偶性与幂函数 例题选讲【例１】判断下列函数的奇偶性：（１）331)(xx x f -= （２）1)(2+-=x x f （３）1)(2++=x x x f （４）x x f =)(解析：判断函数的奇偶性，要看函数的定义域是否为对称区间，同时关系式)()()()(x f x f x f x f =--=-和对定义域中的任意自变量都成立．所以（１）是奇函数；（２）是偶函数；（３）（４）既不是奇函数也不是偶函数．【例2】若)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，它们有相同的定义域，且11)()(-=+x x g x f ，求)(x f ，)(x g 的表达式． 解析：∵11)()(-=+x x g x f ①，∴11)()(--=-+-x x g x f ①′，∵)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇒，)(x g 是奇函数)()(x g x g -=-⇒，∴①′11)()(--=-⇒x x g x f ②，①+②得：11)(2-=x x f ， ①-②得： 1)(2-x xx g ．【例3】已知)(x f 是幂函数，且)16()4(2f f =，求)(x f 解析式．解：设αx x f =)(，则由已知得：αα1642=⨯，∴αα41222=+即 αα412=+ ∴ 21=α ∴ 21)(x x f =．配套练习１．下列判断中正确的是 （ ）A ．2()f x =是偶函数B ．3()f x =是奇函数C ．2()1[5,3]f x x =--在上是偶函数 D ．()f x = ２．已知10<<<b a 0，设aa ,ba ,ab ,bb 中最大为M ，最小为m ，那么 ( )A ．b a b m a M ==,B ．a b a m b M ==,C ．a b b m a M ==,D ．b a a m b M ==,３．已知函数0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 是奇函数，则0a 等于（ ） A ．－1 B ．0C ．1D ．不能确定4．已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，则下列各点中，不在函数)(x f y =图像上的点是 ( )A ．))(,(a f a -B ．))(,(a f a --C ．))(,(a f a ---D ．))(,(a f a -5．)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．．的是( )A ．()()0f x f x -+= Ｂ．()()2()f x f x f x --=- Ｃ．0)()(≤-∙x f x f Ｄ．()1()f x f x =-- ６．若21219.0,1.1--==b a ，则下列不等式成立的是 （ ）Ａ．b a <<1 Ｂ．b a <<1 Ｃ．a b <<1 Ｄ．a b <<17．设函数()221xxf x a -=+⋅-(a 为实数)，若a<0，用函数单调性定义证明：()y f x =在(,)-∞+∞上是增函数．。
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∴ (2x3 )min 16 ，∴ a 16 ．
方法三：令
f
'
(
x)
0
，则
2
x3 x
2
a
0 ，∴ x 3
a 2
，
即 f (x) 的递增区间为[3 a， ) ， 2
要使 f (x) 在[2， ) 上是增函数，则 3 a 2 ，∴ a 16 ． 2
例4、函数f(x)对一切实数x、y均有f(x+y)f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0。
(0, 1 ) 内恒有 f(x)>0，则 f(x)的单调递增区间为( D ) 2
(A) (, 1) 4
(B) ( 1 ,) 4
)
(D) (, 1)
2
(2)若函数 f (x) log a (x3 ax) (a 0, a 1)
在区间 ( 1 ,0) 内单调递增，则 a 的取值范围是（ B ） 2
关于原点对称．
① 若 f (x) x 2 a 是奇函数，则 f (x) f (x) x
恒成立，即 x 2 a x 2 a 恒成立．
x
x
∴ x 2 0 恒成立．∵ x 0 ，∴ x 2 0 不恒成立，
∴ f (x) 不是奇函数．
① 若 f (x) x 2 a 是偶函数，则 f (x) f (x) 恒成立， x
（2）方法一：设 2 x1 x2 ，
则
f (x1 )
f (x2 ) x12
a x1
x22
a x2
x1 x2 x1 x2
[x1 x2
( x1
x2
)
a]
要使函数 f (x) 在[2， ) 上为增函数，
必须 f (x1 ) f (x2 ) 0 恒成立， ∵ x1 x2 0，x1 x2 4，x1 x2 4 ， ∴ x1x2 (x1 x2 ) a 0 恒成立． 即 a x1x2 (x1 x2 ) 恒成立，∵ x1x2 (x1 x2 ) 16 ， ∴只须 a 16 即可，
（3）g(x)=(x+1)(x2+x-2)-a[(x+1)2+(x+1)-2-x] =x3+(2-a)x2-(1+2a)x-2
g′(x)=3x2+2(2-a)x-(1+2a)
∵g(x)在(-1,2)上是减函数
∴
g′(-1)≤0 g′(2)≤0
解得a≥
19 6
此题中，函数与导数的有机结合应引起 重视，因为导数在函数的单调性中的应 用是当前高考的热点、重点。
等价于 f (t2 2t) f (2t2 k) f (k 2t 2 ) ，
因 f (x) 为减函数，由上式推得：
t2 2t k 2t2 ．即对一切 t R 有： 3t2 2t k 0 ， 从而判别式 4 12k 0 k 1 .
3
例 2 设定义在[2，2] 上的偶函数 f (x) 在区间[0，2]
(A)[1 ,1) 4
(B) [ 3 ,1) 4
(C) (9 ,) 4
(D) (1, 9 ) 4
例 1 函数 f (x) 的定义域为 R ，且满足： f (x) 是偶函数，
f (x 1) 是奇函数，若 f (1) 9 ，求 f (9) 的值．
解 由 f (x) 是偶函数，得 f (x) f (x) ； 又由 f (x 1) 是奇函数，所以 f (x) 的图像 关于 (1，0) 对称。 ∴ f (1 x) f (1 x) ，即 f (x 1) f (x 1) 。 又 f (x 1) f [(x 1)] f (x 1) ， ∴ f (x 1) f (x 1) 。 ∴ f (x 1 1) f (x 1 1) f (x) ， 即 f (x 2) f (x) 。 ∴ f (x 2 2) f (x 2) [ f (x)] f (x) ， 即 f (x 4) f (x) ． ∴ f (9) f (5 4) f (5) f (4 1) f (1) 9 ．
函数的周期性 设函数y f (x), x D,如果存在非零常数T , 使得对任何x D,都有f (x T ) f (x),则函数 f (x)为周期函数,T为的一个周期,如果函数 f (x)是周期函数称函数y f (x)具有周期性.
(1)若函数 f (x) log a (2x 2 x) (a 0, a 1) 在区间
| 1 m || m | . 解之得 1 m 1 ，即为所求实数 m 的取值范围．
2
例 3 已知函数 f (x) x2 a (x 0，a R) ． x
（1）讨论 f (x) 的奇偶性，并说明理由； （2）若 f (x) 在[2， ) 上是增函数，求实数 a
的取值范围．
解 方法一：定义域{x | x 0，x R} ，故定义域
上单调递减，若 f (1 m) f (m) ，求实数 m 的取值范围． 解 ∵ f (x) 是偶函数，∴ f (1 m) f (| 1 m |) ， f (m) f (| m |) ， 于是 f (1 m) f (m) f (| 1 m |) f (| m |) ．
0 | 1 m | 2, ∵ f (x) 在[0，2] 上是减函数，∴ 0 | m | 2,
即
b 1 a2
0
b
1
f
(x)
1 2x a 2x1
又由 f（1）= -f（-1）知 1 2
1 1 2
a 2.
a 4 a 1
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知
f
(x)
1 2x 2 2x1
1 2
1 2x 1
，
易知 f (x) 在 (, ) 上为减函数。
又因 f (x) 是奇函数，从而不等式： f (t2 2t) f (2t2 k) 0
【变式一】(2006 重庆卷)已知定义域为 R 的函数
f
(x)
2x 2 x 1
b a
是奇函数。
（Ⅰ）求 a, b 的值；
（Ⅱ）若对任意的 t R ，不等式 f (t2 2t) f (2t2 k) 0 恒成立，求 k 的取值范围；
解析：（Ⅰ）因为 f (x) 是奇函数，所以 f (0) =0，
高三数学第二轮复习课件
函数的性质
1、函数的单调性的定义
2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：
（1）从定义入手 （2）从导数入手 （3）从图象入手 （4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手
注：先求函数的定义域
3、函数单调性的证明： 定义法；导数法
1.函数奇偶性的概念:
偶函数定义:
（1）求f(0)的值。
（2）求f(x)的解析式。
（3）当函数g(x)=(x+1)f(x)-a[f(x+1)-x]在区 间(-1,2)上是减函数时，求实数a的范围。
解：（1）令x=1，y=0 得f(1)-f(0)=f(1+1)·1=2，∴f(0)=-2
（2）令y=0，得f(x)-f(0)=x(x+1) ∴f(x)=x2+x-2
∴ a 的取值范围是 (，16] ．
方法二：
f '(x) 2x
a x2
2x3 a ，要使 x2
f (x) 在[2， )
上是增函数，则 f '(x) 0 在 x [2， ) 时恒成立．
即 2x3 a 0 ，∴ 2x3 a 0 ，∴ a 2x3 恒成立． x2
∴ a (2x3 )min ，∵ x [2， ) ， 2x3 是增函数，
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.
奇函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,
. 那 么 函 数 f ( x ) 就 叫 奇 函 数
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
[-b,-a] o [a , b] x
即 x2 a x2 a ，
x
x
Hale Waihona Puke ∴ a 0 ， x R 且 x 0 ．要使 a 0 恒成立，故 a 0 ．
x
x
结合①、②知 a 0 时， f (x) x 2 a 是偶函数； x
a 0 时， f (x) 是非奇非偶函数．
方法二：① a 0 时， f (x) x 2 (x 0) ， f (x) f (x) ， 故 a 0 时， f (x) 是偶函数． ② a 0 时， f (1) 1 a，f (1) 1 a ， ∴1 a 1 a f (1) ，1 a (1 a) f (1) ， 即 f (1) f (1)，f (1) f (1) ， ∴ f (x) 是非奇非偶函数．