《复变函数与积分变换教学大纲》

教学大纲
课程：复变函数与积分变换
适用专业：理工科专业(四年制本科)
编者：李贤
审核人：
教研室：高等数学教研室
院系：教育学院
制订时间：2010年7月
修订时间：年月
教育学院高等数学教研室制
《复变函数与积分变换》课程教学大纲
课程名称：复变函数与积分变换
英文名称：Functions of Complex Variable and Integral Transforms
课程编号：
课程所属单位：教育学院高等数学教研室
课程面向专业：理工科各专业（四年制本科）
课程类型：必修课
总学时：64学时学分： 4学分
编写修订人及单位：李贤教育学院高等数学教研室
修订时间：2010年7月
说明部分
一、大纲的使用说明：
本大纲主要根据我校理工类本科专业复变函数与积分变换内容要求组织形成，并适度参照全国各个院校所用复变函数与积分变换教材。

体系结构与多数常用教材相吻合，易于选择相应教材进行课堂教学，教学过程可根据各专业的具体要求进行适当删节。

二、课程简介：
复变函数是研究复变数之间的相互依赖关系的一门数学学科，而积分变换则是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。

复变函数、积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。

通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，为学习有关专业课和扩大数学知识面打下必要的数学基础。

三、课程性质
开设本课程，主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上，一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，另一方面，使学生具备一定的解决实际问题的能力，同时，它也是理工类专业的一门理论性和应用性较强的基础理论课。

四、课程教学目的与基本要求
在课程的学习中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，了解复变函数与积分变换的一些基本知识，内容包含复变函数、解析函数、解析函数的级数表示、留数定理、保形映射以及工程上常用的傅立叶变换与拉普拉斯变换等，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力，.
五、教学方法要求
课程教法：
1．本课程以课堂讲授为主，适当利用多媒体教学手段，采用启发式，结合实际灵活施教。

2．适当补充后续课程所必需的初等数学基础知识，在此基础上，高等数学教学内容以学科专业必备的数学基础为主，着重基本内容的讲解，采用由简到难、精讲多练的方法，加强典型习题的练习，提高学生动手能力，重视学生良好的学习方法和学习习惯的培养。

4．授课教师应推荐相应的参考书目，补充适当的课外读物。

5．每次课后留作业，作业批改1/3，按时辅导答疑; 每章至少上一次习题课。

学习方法：
1．注重理解，在理解的基础上熟记基本概念、基本公式、基本定理。

2．通过典型例题加深对概念、性质、定理的理解。

3．必须熟记基本初等函数的导数公式及基本积分公式。

4．强调基本概念的正确理解；强调基本理论的实际应用；强调基本计算方法的运用。

六、教学时数分配
（见下表）
教学时数分配表（参考学时）
考核方法：
本课程为必修考试课。

开课分两学期，每学期期末闭卷考试各一次，100分制，考试时间为2个小时。

成绩评定方法：
第一学期：总成绩= 期末考试成绩（70％）+ 平时成绩（30％）。

其中，平时成绩由其中测验、平时作业和课堂表现组成。

第二学期：总成绩= 期末考试成绩（70％）+ 平时成绩（30％）。

其中，平时成绩由其中测验、平时作业和课堂表现组成。

及格分数线：60分。

八、有关其它问题的说明
1．正文部分带“*”的内容为选学内容，可根据学生实际情况进行删减。

2．为使学生能够灵活运用所学知识，加深理解，建议在可能的情况下，增加10课时左右的典型例题分析和讲解。

3. 贯彻少而精原则，注意因材施教与学生自学能力的培养。

5. 着重计算、应用，论证部分可简略。

正文部分
第一部分：复变函数
第一章复数和复变函数
1．熟练掌握复数的各种表示方法及其运算。

2．了解区域的概念。

3．理解复变函数的概念及其几何意义——映射。

4．知道复变函数的极限和连续的概念。

教学提示：鉴于复数表示法及其运算在中学已学过，区域概念在高等数学中已讲过，
在此可仅作扼要复习。

复变函数在部分内容上类同于一元函数，因此在类同部分不必详讲，而在与一元部分不同的内容上要讲透。

第二章 解析函数
1． 理解复变函数的导数及复变函数解析的概念。

2． 熟练掌握函数解析的充要条件。

3． 了解指数函数、三角函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质（包
括在单值域中的解析性）。

教学提示：解析函数是本课程的重点，因而一定要讲透。

尤其是要使学生明白解析来自于导数但又不同于可导函数，解析与可导有联系又有区别；明白解析函数具有一般函数不具备的性质。

第三章 复变函数的积分
1．理解复变函数积分的定义，了解其性质，会求复变函数的积分。

2．理解柯西积分定理；掌握柯西积分公式、高阶导数公式；知道解析函数无限次可导的性质。

3．了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。

教学提示：复变函数的积分是本课程的另一个重点。

积分中的重点是三个定理：柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式。

第四章 级数
1．理解复数项级数的收敛、发散及绝对收敛等概念。

2．了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法。

知道幂级数在收敛圆内的一些基本性质。

3．了解泰勒定理。

4．掌握函数m z z z z z e )1(),1ln(,cos ,sin ,++的麦克劳林级数展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数。

5．*了解罗朗定理。

6．*掌握用间接法将在圆环域内解析的简单函数展开为罗朗级数方法。

教学提示：解析函数的泰勒级数与实变数函数的泰勒级数相似，因此本章的重点是罗朗级数。

在讲述求泰勒级数展开式时应强调既可用直接展开法也可用间接展开法，而函数在圆环域内的罗朗级数展开式一般采用间接展开法而不采用系数公式：
⎰+-=
C n n d z f i c ςςςπ1)
()
(21
来进行直接展开，因为此积分不易计算。

相反却利用罗朗级数的系数来计算积分：
⎰-=C
c d f i 1)(21
ςςπ
第五章 留数
1．了解孤立奇点的分类（不包括无穷远点）。

会判别奇点的类型和极点
的级数。

2．理解留数的概念，掌握极点处留数的求法。

3．理解留数定理。

4．掌握用留数求围道上的积分的方法，会用留数求一些实积分。

教学提示：本章的重点是留数定理，留数定理在理论上有着重要意义。

留数定理为我们计算复变函数的围道积分和某些实变量函数的积分提供了一个全新的方法。

第六章 共形映射
1．了解解析函数导数的几何意义及保角映射的概念。

2．掌握分式线性映射的性质及分式线性映射的保角、保圆及保对称性。

3．知道z e w =及αz w =（α为有理数）的映射性质。

4．*会求一些简单区域（例如平面、半平面、角形域、圆、带形域等）之间的保角映射。

教学提示：保角映射是本课程的难点必须注意。

讲授此内容时，特别要讲清楚保角映射的概念以及几个映射的特性：分式线性映射具有保角、保圆、保对称性，即能将圆（或直线）映射成圆或直线；指数映射将条形域映成角形域。

第二部分 积分变换
第一章 傅立叶变换
1．正确理解傅立叶变换的概念。

2．知道傅立叶变换的存在定理，会用定义求一些简单的函数的傅立叶变
换。

3．掌握傅立叶变换的性质。

4．了解-δ函数的描述性定义及-δ函数的傅立叶变换式（广义傅立叶变
换）。

5．*了解卷积概念，会用定义求一些简单的卷积，能正确应用卷积定理。

教学提示：本章的重点是傅立叶变换及其逆变换的概念，及傅立叶变换的微分性质和积分性质。

傅立叶变换的性质除了线性、位移、微分、积分性质外，还有对称性、相似性及象函数的微分性等可写出结论，其证明可作为习题。

第二章拉普拉斯变换
1．1.理解拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换的概念。

2．2.*了解拉普拉斯变换的存在定理。

3．3.掌握拉普拉斯变换的性质。

4．4.会求一些简单函数的拉普拉斯变换及其逆变换。

5．5.了解卷积概念，会用定义求一些简单的卷集。

6．6.了解拉普拉斯变换的一些简单应用。

教学提示：本章的重点是拉普拉斯变换及其逆变换的概念、性质及其求法。

因为拉普拉斯变换比傅立叶变换的应用更加广泛，所以求拉普拉斯变换及其逆变换的方法应予以加强。

主要参考书目：
[1] 复变函数论（第三版），钟玉泉编，高教出版社，2003。

[2] 积分变换（第四版），东南大学数学系，张元林编，高等教育出版社，2003。

[3] 复变函数与积分变换学习辅导与习题全解，李红、谢松法著，高等教育出版，2003。

[4] 复变函数（第四版）西安交通大学高等数学教研室编，高等教育出版社，2006。

[5] 积分变换南京工学院数学教研组编，高等教育出版社，2006。

《全文结束》
制定者：李贤
审定者：高等数学教研室
批准者：
校对者：
修订时间：2010年7月。