整数规划简介及Lingo求解
LINGO软件求解整数规划问题
2012——2013学年第一学期合肥学院数理系实验报告课程名称:运筹学实验项目: LINGO软件求解整数规划问题实验类别:综合性□设计性□√验证性□专业班级: 10数学与应用数学(1)班姓名:学号:实验地点:实验时间:指导教师:成绩:一.实验目的1、学会使用LINGO 软件求解整数规划问题。
2、学会分析LINGO 软件求解的结果。
二.实验内容1、某班有男同学30人,女同学20人,星期天准备去植树。
根据经验,一天中,男同学平均每人挖坑20个,或栽树30棵,或给25棵树浇水,女同学平均每人挖坑10个,或栽树20棵,或给15棵树浇水。
问应怎样安排,才能使植树(包括挖坑、栽树、浇水)最多。
建立该问题的数学模型,并求其解。
2、求解线性规划:121212212max 2251228010,Z x x x x x x x x x =++≥⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪⎩全为整数3、在高校篮球联赛中,我校男子篮球队要从8名队员中选择平均身高最高的出场阵容,队员的号码、身高及擅长的位置如右表:同时,要求出场阵容满足以下条件: (1) 中锋最多只能上场一个。
(2)至少有一名后卫 。
(3)如果1号队员和4号队员都上场, 则6号队员不能出场(4)2号队员和6号队员必须保留一个不出场。
问应当选择哪5名队员上场,才能使出场队员平均身高最高?试写出上述问题的数学模型,并求解。
三. 模型建立1、设需要男生挖坑1x 人,栽树2x 人,浇树3x 人;需要女生挖坑4x 人,栽树5x 人,浇树5x 人,则该问题的数学模型建立如下:1212345614252536123456max 201030202010302030202515,,,,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x =+++=⎧⎪++=⎪⎪+=+⎨⎪+=+⎪⎪≥⎩且全为整数2、模型略3、设1=j x 表示第j 号队员上场,0=j x 表示第j 号队员不上场,其中,82,1,,⋯=j ,其中,j c 表示第j 号队员的身高,82,1,,⋯=j 。
0-1规划在各种实际问题中的应用以及lingo求解
势,才最有可能取得好成绩?
姿势 成绩
队员
自由泳
蛙泳
蝶泳
仰泳
A B
56 63
74 69
61 65
63 71
C
D
57
55
77
76
63
62
67
62
• 假设问题的决策变量 1 , 第i名运动员游第j种姿势 xij= 0 , 第i名运动员不游第j种姿势
四名运动员的成绩矩阵aij=
56 63 57 55
74 69 77 76
280 30 200
400 40 300
5 1 4
3 0.5 2
300 300 300
• 三种服装的利润分别为120元、10元、100元.
• 设xi表示生成第i(i=1,2,3)种服装的数量,yi表示是否 生产第i种服装. 生产第 i种 服 装 1, yi i种 服 装 0, 不 生 产 第
即甲完成B任务,乙完成D任务,丙完成E任务,丁完成A任务 总用时105分钟.
• 第(2)题,按照指派模型,可添加一个虚拟完
成人戊.而实际上,戊所完成任务还是由甲乙
丙丁完成的.
• 为了保证时间最少,戊完成各项任务的时间,
就取完成各任务所需时间最短人的时间.
• 若戊完成哪项任务,则那项任务所需时间最
短人来完成.
建立i污水厂 1, yi 0,不建立i污水厂
min z=0.03x1+0.03x2+0.04x3+400y1+300y2+250y3 80x1+50x2+40x3≥80000 60x1+40x2+50x3≥60000 x1≤800y1 s.t. x2≤500y2 x3≤400y3 xi≥0 yi=0或1
lingo整数规划
lingo整数规划整数规划是运筹学中的一种优化方法,用于解决决策问题中存在离散决策变量的数学规划问题。
在整数规划中,决策变量的取值只能是整数。
整数规划的应用非常广泛,包括生产计划、资源分配、货物运输等领域。
下面将介绍一些与整数规划相关的术语和技巧。
1. 最优解:整数规划的目标是找到使目标函数最大或最小的整数解。
最优解指的是在满足约束条件的前提下,使目标函数的取值达到最优的决策变量取值。
2. 整数线性规划:整数线性规划是整数规划的一种特殊情况,其中目标函数和约束条件都是线性的。
3. 整数非线性规划:整数非线性规划是整数规划的另一种形式,其中目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的。
4. 分枝定界法:分枝定界法是求解整数规划问题的一种常用方法。
它通过将整数规划问题划分为多个子问题,并对每个子问题进行求解,直到找到最优解。
5. 割平面法:割平面法是求解整数规划问题的另一种方法。
它通过加入额外的线性不等式约束,逐步削减可行解空间,直到找到最优解。
6. 整数规划松弛:整数规划松弛是指将整数规划问题中的整数约束条件松弛为连续变量的约束条件,从而将整数规划问题转化为线性规划问题。
7. 整数规划可行解:整数规划问题的可行解是指满足所有约束条件的整数取值。
8. 整数规划解的整数性:整数规划解的整数性是指整数规划问题的解是否满足整数约束条件。
9. 混合整数规划:混合整数规划是一类更一般的整数规划问题,其中决策变量可以是整数或连续变量。
10. 整数规划的应用:整数规划在各种领域中都有广泛的应用,包括生产计划、资源分配、货物运输等。
通过合理的建模和求解技巧,整数规划可以帮助企业优化决策,提高效益。
总之,整数规划是一种应用十分广泛的优化方法,通过对决策变量的整数约束进行建模,帮助解决实际问题中存在的离散决策变量的优化问题。
运筹学实例分析及lingo求解讲解
运筹学实例分析及lingo 求解一、线性规划某公司有6个仓库,库存货物总数分别为60、55、51、43、41、52,现有8个客户各要一批货,数量分别为35,37,22,32,41,32,43,38。
各供货仓库到8个客户处的单位货物运输价见表试确定各仓库到各客户处的货物调运数量,使总的运输费用最小。
解:设ijx 表示从第i 个仓库到第j 个客户的货物运量。
ij c表示从第i 个仓库到第j 个客户的单位货物运价,i a 表示第i 个仓库的最大供货量,j d 表示第j 个客户的订货量。
目标函数是使总运输费用最少,约束条件有三个:1、各仓库运出的货物总量不超过其库存数2、各客户收到的货物总量等于其订货数量3、非负约束数学模型为:∑∑===6181)(min i j ijij x c x f⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥===≤∑∑==08,,2,1,6,2,1,,..6181ij j i ij i j ij x j d x i a x t s 编程如下:model : Sets :Wh/w1..w6/:ai; Vd/v1..v8/:dj;links(wh,vd):c,x;endsetsData:ai=60,55,51,43,41,52;dj=35,37,22,32,41,32,43,38;c=6,2,6,7,4,2,5,94,9,5,3,8,5,8,25,2,1,9,7,4,3,37,6,7,3,9,2,7,12,3,9,5,7,2,6,55,5,2,2,8,1,4,3;EnddataMin=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j));@for(wh(i):@sum(vd(j):x(i,j))<=ai(i));@for(vd(j):@sum(wh(i):x(i,j))=dj(j));endGlobal optimal solution found.Objective value: 664.0000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost AI( W1) 60.00000 0.000000 AI( W2) 55.00000 0.000000 AI( W3) 51.00000 0.000000 AI( W4) 43.00000 0.000000 AI( W5) 41.00000 0.000000 AI( W6) 52.00000 0.000000 DJ( V1) 35.00000 0.000000 DJ( V2) 37.00000 0.000000 DJ( V3) 22.00000 0.000000 DJ( V4) 32.00000 0.000000 DJ( V5) 41.00000 0.000000 DJ( V6) 32.00000 0.000000 DJ( V7) 43.00000 0.000000 DJ( V8) 38.00000 0.000000 C( W1, V1) 6.000000 0.000000 C( W1, V2) 2.000000 0.000000 C( W1, V3) 6.000000 0.000000 C( W1, V4) 7.000000 0.000000 C( W1, V5) 4.000000 0.000000 C( W1, V6) 2.000000 0.000000 C( W1, V7) 5.000000 0.000000C( W2, V1) 4.000000 0.000000 C( W2, V2) 9.000000 0.000000 C( W2, V3) 5.000000 0.000000 C( W2, V4) 3.000000 0.000000 C( W2, V5) 8.000000 0.000000 C( W2, V6) 5.000000 0.000000 C( W2, V7) 8.000000 0.000000 C( W2, V8) 2.000000 0.000000 C( W3, V1) 5.000000 0.000000 C( W3, V2) 2.000000 0.000000 C( W3, V3) 1.000000 0.000000 C( W3, V4) 9.000000 0.000000 C( W3, V5) 7.000000 0.000000 C( W3, V6) 4.000000 0.000000 C( W3, V7) 3.000000 0.000000 C( W3, V8) 3.000000 0.000000 C( W4, V1) 7.000000 0.000000 C( W4, V2) 6.000000 0.000000 C( W4, V3) 7.000000 0.000000 C( W4, V4) 3.000000 0.000000 C( W4, V5) 9.000000 0.000000 C( W4, V6) 2.000000 0.000000 C( W4, V7) 7.000000 0.000000 C( W4, V8) 1.000000 0.000000 C( W5, V1) 2.000000 0.000000 C( W5, V2) 3.000000 0.000000 C( W5, V3) 9.000000 0.000000 C( W5, V4) 5.000000 0.000000 C( W5, V5) 7.000000 0.000000 C( W5, V6) 2.000000 0.000000 C( W5, V7) 6.000000 0.000000 C( W5, V8) 5.000000 0.000000 C( W6, V1) 5.000000 0.000000 C( W6, V2) 5.000000 0.000000 C( W6, V3) 2.000000 0.000000 C( W6, V4) 2.000000 0.000000 C( W6, V5) 8.000000 0.000000 C( W6, V6) 1.000000 0.000000 C( W6, V7) 4.000000 0.000000 C( W6, V8) 3.000000 0.000000 X( W1, V1) 0.000000 5.000000 X( W1, V2) 19.00000 0.000000 X( W1, V3) 0.000000 5.000000X( W1, V5) 41.00000 0.000000 X( W1, V6) 0.000000 2.000000 X( W1, V7) 0.000000 2.000000 X( W1, V8) 0.000000 10.00000 X( W2, V1) 1.000000 0.000000 X( W2, V2) 0.000000 4.000000 X( W2, V3) 0.000000 1.000000 X( W2, V4) 32.00000 0.000000 X( W2, V5) 0.000000 1.000000 X( W2, V6) 0.000000 2.000000 X( W2, V7) 0.000000 2.000000 X( W2, V8) 0.000000 0.000000 X( W3, V1) 0.000000 4.000000 X( W3, V2) 11.00000 0.000000 X( W3, V3) 0.000000 0.000000 X( W3, V4) 0.000000 9.000000 X( W3, V5) 0.000000 3.000000 X( W3, V6) 0.000000 4.000000 X( W3, V7) 40.00000 0.000000 X( W3, V8) 0.000000 4.000000 X( W4, V1) 0.000000 4.000000 X( W4, V2) 0.000000 2.000000 X( W4, V3) 0.000000 4.000000 X( W4, V4) 0.000000 1.000000 X( W4, V5) 0.000000 3.000000 X( W4, V6) 5.000000 0.000000 X( W4, V7) 0.000000 2.000000 X( W4, V8) 38.00000 0.000000 X( W5, V1) 34.00000 0.000000 X( W5, V2) 7.000000 0.000000 X( W5, V3) 0.000000 7.000000 X( W5, V4) 0.000000 4.000000 X( W5, V5) 0.000000 2.000000 X( W5, V6) 0.000000 1.000000 X( W5, V7) 0.000000 2.000000 X( W5, V8) 0.000000 5.000000 X( W6, V1) 0.000000 3.000000 X( W6, V2) 0.000000 2.000000 X( W6, V3) 22.00000 0.000000 X( W6, V4) 0.000000 1.000000 X( W6, V5) 0.000000 3.000000 X( W6, V6) 27.00000 0.000000 X( W6, V7) 3.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 664.0000 -1.000000 2 0.000000 3.000000 3 22.00000 0.000000 4 0.000000 3.000000 5 0.000000 1.000000 6 0.000000 2.000000 7 0.000000 2.000000 8 0.000000 -4.000000 9 0.000000 -5.000000 10 0.000000 -4.000000 11 0.000000 -3.000000 12 0.000000 -7.000000 13 0.000000 -3.000000 14 0.000000 -6.000000 15 0.000000 -2.000000由以上结果可以清楚的看到由各仓库到各客户处的货物调运数量,由此得出的符合条件的最佳运货方案,而使运费最低,最低为664。
整数规划简介及Lingo求解
整数规划及Lingo 求解一、 概论1.1 整数规划的定义在工程设计和企业管理中,常常会遇到要求决策变量取整数值的规划问题。
安排生产时,投入的人力与机器数量必须是整数,生产的 某些产品(如汽车、机床、船舶等)的数量也是整数。
整数规划就是用于研究、处理这一类问题的数学规划。
如果在线性规划的基础上,把规划中的变量(部分或全部)限制为整数时,就称之为线性整数规划。
大部分的整数规划都是线性的所以我们也称线性整数规划为整数规划。
在许多情况下,我们都可以把规划问题的决策变量看成是连续的变量;但在某些情况下,规划问题的决策变量却被要求一定是整数。
例如,完成某项工作所需要的人数或设备台数,进入市场销售的商品件数,以及某一机械设备维修的次数等。
当连续的决策变量变为离散变量时非线性优化问题通常会难解得多。
但是应用软件就方便多了,本文给了Lingo 在规划中的常用方法和程序。
1.2 整数规划的分类在线性规划的基础上,要求所有变量都取整的规划问题称为纯整数规划问题;如果仅仅是要求一部分变量取整,则称为混合整数规划问题。
全部或部分决策变量只能取0,1值的规划问题称为10-规划问题。
1.3 整数规划的一般模型目标函数约束条件决策集 x 为整数如果用集合表示上面的式子目标函数: Cx =max(min)约束条件为: b Ax =例 1.1 飞船装载问题设有n 种不同类型的科学仪器希望装在登月飞船上, 令0>j c 表示每件第j 类仪器的科学价值;0>j a 表示每件第j 类仪器的重量。
每类仪器件数不限, 但装载件数只能是整数。
飞船总载荷不得超过数b 。
设计一种方案, 使得被装载仪器的科学价值之和最大。
建模 记j x 为第j 类仪器的装载数。
目标函数 ∑=j j x c m a x约束条件 ∑≤b x a j j决策集 j x 为正整数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+++≤+++≤+++m n mm m m n n n n k x a x a x a k x a x a x a k x a x a x a t s22112222212111212111..n n x c x c x c +++= 2211m ax (m in)二、 算法简介及应用举例2.1 解整数规划的一般算法通常解整数规划有三种方法,下面只介绍算法思想不具体讲解,在限制条件少的情况下分支定界法最为常用。
用Lingo求解整数(0-1)规划模型.
Lingo 程序: max=2*x1+5*x2+3*x3+4*x4;
-4*x1+x2+x3+x4>=0; -2*x1+4*x2+2*x3+4*x4>=1; x1+x2-x3+x4>=1; @bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);
温州大学城市学院
例 2 用Lingo软件求解整数规划问题 min z 2 x1 5 x2 3 x3
温州大学城市学院
注意:
Lingo 默认变量的取值从0到正无穷大,
变量定界函数可以改变默认状态.
@free(x): 取消对变量x的限制(即x可取任意实数值)
例 4 求函数 z x 2 y 2 的最小值.
2 2
温州大学城市学院 例 4 求函数 z x 2 y 2 的最小值.
,8
温州大学城市学院
温州大学城市学院
上机作业题
要求:
1、建立数学模型,
2、用lingo循环语句编写程序.
温州大学城市学院
上机作业题
人员安排问题
某城市的巡逻大队要求每天的各个时间段都有一 定数量的警员值班, 以便随时处理突发事件, 每人连续 工作6h, 中间不休息. 如表所示是一天8个班次所需值 班警员的人数情况统计:
成绩 甲 乙 丙 丁 自由泳 / s 56 63 57 55 蛙泳 / s 74 69 77 76 蝶泳 / s 61 65 63 62 仰泳 / s 63 71 67 62
甲, 乙, 丙, 丁 四名队员各自游什么姿势 , 才最有可能取得好成绩?
温州大学城市学院
实验二利用Lingo求解整数规划及非线性规划问题
例 3 用Lingo软件求解非线性规划问题
min z x1 12 x2 22
x2 x1 1,
x1
x2
2,
x1
0,
x2
0.
Lingo 程序: min= x1-1 ^2+ x2-2 ^2;
x2-x1=1;
x1+x2<=2;
注意: Lingo 默认变量的取值从0到正无穷大, 变量定界函数可以改变默认状态. @free x : 取消对变量x的限制 即x可取任意实数值
例 4 求函数 zx22y22 的最小值.
例 4 求函数 zx22y22 的最小值.
解: 编写Lingo 程序如下:
min= x+2 ^2+ y-2 ^2; @free x ; 求得结果: x=-2, y=2
二、Lingo 循环编程语句
1 集合的定义 包括如下参数: 1 集合的名称.
sets: endsets
44
minZ
aijxij
i1 j1
4
xij
1
j 1,2,3,4
s.t.
i 1 4
xij
1
i 1,2,3,4
j1
xij 0或1 i, j 1,2,3,4
LINGO程序如下:
MODEL: SETS: person/A,B,C,D/; task/1..4/; assign person,task :a,x; ENDSETS DATA: a=1100,800,1000,700,
77
63
67
丁
55
76
62
62
甲, 乙, 丙, 丁 四名队员各自游什么姿势 , 才最有可能取得好成绩
整数规划lingo
按模式2切割15根, 按模式5切割5根, 按模式7切割5根, 共25根,余料35米。
与目标1的结果‚共切割27根,余料27米‛ 相比,虽余料增加8米,但减少 了2根 ,当余料没有用处时,通常以总根数最少为目标。
例题1:钢管下料问题(续)
某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管按照顾客的要 求切割后售出,从钢管厂进货时得到的原料都是19米。 (1)现有一顾客需要50根4米、20根6米和15根8 米的钢管。应如何下料最节省? (2)零售商如果采用的不同切割模式太多,将会 导致生产过程的复杂化,从而增加生产和管理成本,所 以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此 外,该客户除需要(1)中的三种钢管外,还需要10根5 米的钢管。应如何下料最节省。
模型构成
约束条件
需求约束:
4 x1 3 x2 2 x3 x4 x5 50
模 式 1 2 3 4 5 6 7
需 求
x2 2 x4 x5 3 x6 20
x3 x5 2 x7 15
决策变量取值约束: xj为非负整数
4米 根数 4 3 2 1 1 0 0
50
目标函数(总根数最少)
z=x1+x2+x3
决策变量约束
整数约束: xi ,r1i, r2i, r3i, r4i (i=1,2,3)为整数
模型构成:
约束条件
需求约束
r11 x1 r12 x2 r13 x 3 50 r21 x1 r22 x2 r23 x3 10
r31 x1 r32 x2 r33 x3 20
(gin7表示模型中出现的7个变量均为整型变量.)
计算结果(总余料最小)
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 27.00000
实验二、利用Lingo求解整数规划及非线性规划问题
建立数学模型
根据问题要求,建立相应的数 学模型,包括变量、约束条件 和目标函数等。
设置求解参数
根据问题类型和规模,设置合 适的求解参数,如求解方法、 迭代次数等。
分析结果
对求解结果进行分析,验证模 型的正确性和可行性。
05 整数规划问题求解实例
问题描述
问题背景
本实验将通过一个具体的整数规划问题,展示如 何利用LINGO软件进行求解。该问题涉及到生产 计划优化,目标是最大化利润,同时满足一系列 约束条件。
非线性规划问题在数学、经济、工程等领域有广泛应用,是 优化理论的重要分支。
非线性规划问题的分类
01
按照目标函数的性质,非线性规划问题可以分为凸规
划和凹规划。
02
按照约束条件的性质,非线性规划问题可以分为无约
束、有界约束和等式约束三种类型。
03
按照决策变量的个数,非线性规划问题可以分为单变
量和多变量规划。
定义约束条件
使用LINGO的FROM命令定义约束条件,例 如FROM ... >= ... (P1,P2,...,Pn)。
LINGO求解过程及果分析
求解过程
在LINGO中输入模型,选择求解器类型(整数求解器或线性求解器),设置参数,运行求解过程。
结果分析
查看求解结果,包括最优解、最优值、松弛解等信息。对结果进行解释和评估,分析其对实际问题的 指导意义。
07 实验总结与展望
实验收获与体会
掌握整数规划和非线性规划的基本概念和求解方法
通过实验,我深入了解了整数规划和非线性规划的基本概念和求解方法,包括数学模型 建立、约束条件处理、目标函数处理等。
熟练使用LINGO软件
通过实验,我掌握了LINGO软件的基本操作和参数设置,能够利用LINGO软件求解整 数规划和非线性规划问题。
整数规划 蒙特卡罗算法和lingo
第二章 整数规划§1 概论1.1 定义 规划中的变量(部分或全部)限制为整数时,称为整数规划。
若在线性规划模型中,变量限制为整数,则称为整数线性规划。
目前所流行的求解整数规划的方法,往往只适用于整数线性规划。
目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2 整数规划的分类如不加特殊说明,一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类: 1o变量全限制为整数时,称纯(完全)整数规划。
2o 变量部分限制为整数的,称混合整数规划。
3o 变量只能取0或1时,称之为0-1整数规划。
整数规划特点 (i ) 原线性规划有最优解,当自变量限制为整数后,其整数规划解出现下述情况: ①原线性规划最优解全是整数,则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1 原线性规划为21m i n x x z +=s.t. 0,0,5422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为:45min ,45,021===z x x 。
③有可行解(当然就存在最优解),但最优解值一定不会优于原线性规划的最优值。
例2 原线性规划为21m i n x x z +=s.t. 0,0,6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为:23min ,23,021===z x x 。
若限制整数得:2min ,1,121===z x x 。
(ii ) 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1.3 求解方法分类:(i )分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
(ii )割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
(iii )隐枚举法—求解“0-1”整数规划: ①过滤隐枚举法; ②分枝隐枚举法。
(iv )匈牙利法—解决指派问题(“0-1”规划特殊情形)。
(v )蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。
§2 分枝定界法对有约束条件的最优化问题(其可行解为有限数)的可行解空间恰当地进行系统搜索,这就是分枝与定界内容。
Lingo如何求解整数规划?Lingo求解整数规划的详细方法
Lingo如何求解整数规划?Lingo求解整数规划的详细方法
导读:Lingo是一款功能非常强大的求解器,Lingo能有效的精准的求解线性、非线性和整数最优化,那么,Lingo如何求解整数规划呢?下面就是Lingo如何求解整数规划的方法步骤,一起往下看看吧!
方法步骤
1、打开lingo,这是它的主界面;
2、输入程序框架;
3、输入问题只需要按照图中的格式去写。
可以看到,lingo的编程语言与我们所学到的运筹学公式基本一致;
4、添加整数约束希望哪一个变量是整数,就在末尾加一行“@gin(变量);”就可以了;
5、得出结果点击图中的“solve”按钮;
6、查看结果解决后,会弹出一个窗口,向你显示目标函数值和每个变量的
取值。
问题解决。
以上就是Lingo如何求解整数规划的方法步骤,如果你不知道怎么在Lingo 求解整数规划的话,那就快点根据上面的方法步骤学起来吧!。
整数规划_精品文档
整数规划引言:整数规划是一类特殊的数学优化问题,其中一部份或者全部变量被限制为整数。
整数规划问题在许多领域都有广泛的应用,如物流、生产计划、金融投资等。
随着科技的不断发展,整数规划的应用场景和求解方法也在不断扩展和深化。
一、整数规划的定义与分类定义:整数规划是一种特殊的数学优化问题,其目标是最小化或者最大化一个数学表达式(目标函数),同时满足一系列约束条件,且一部份或者全部决策变量被限制为整数。
分类:根据问题的特性,整数规划可以分为以下几种类型:0-1背包问题:决策变量只能取0或者1。
彻底背包问题:决策变量可以取任意非负整数。
整数线性规划:线性规划的变种,要求部份或者全部决策变量为整数。
二次整数规划:目标函数或者约束条件包含二次项。
二、整数规划的应用场景生产计划:在创造业中,整数规划可以用于优化生产流程、物料需求计划等。
物流优化:通过整数规划可以解决货物配送路线、车辆调度等问题。
金融投资:整数规划在投资组合优化、风险管理等领域有广泛应用。
资源分配:整数规划可用于解决资源分配问题,如人员调度、设备配置等。
组合优化:如旅行商问题(TSP)、装箱问题等,都是整数规划的典型应用场景。
三、整数规划的求解算法穷举法:通过逐个测试所有可能的解来找到最优解,但只适合于小规模问题。
分支定界法:一种基于树结构的搜索算法,能够处理较大规模的问题。
遗传算法:摹拟生物进化过程的优化算法,适合处理大规模问题。
摹拟退火算法:借鉴物理中退火过程的优化算法,具有避免陷入局部最优解的能力。
蚁群算法:摹拟蚂蚁觅食行为的优化算法,适合于求解具有离散变量的优化问题。
元胞遗传算法:将遗传算法和元胞自动机结合,能够处理更复杂的问题。
粒子群算法:摹拟鸟群觅食行为的优化算法,具有简单易实现的特点。
深度学习算法:利用神经网络进行求解,特别在处理大规模、高维度的问题时表现出色。
四、整数规划软件介绍CPLEX:由IBM开辟的商业优化软件,支持整数规划、线性规划、混合整数规划等多种优化问题。
实验2 Lingo求解运输问题和整数规划
a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;
b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;
!quantities of the demand and supply(供需量);
d=3,5,4,7,6,11; e=20,20;
x,y=5,1,2,7;
enddata
init:
!initial locations for the supply(初始点);
j 1 i1
2
s.t.
cij d i , i 1,...,6
线性规划模型
j 1
6
cij e j ,
j 1,2
用例中数据计算,
最优解为
i
i 1
12 345 6
ci1( 料 场A) 3 5 0 7 0 1
ci2( 料 场B) 0 0 4 0 6 10
总吨公里数为136.2
Location(Linear)
月份型 monthM..monthN OCT..JAN
OCT, NOV, DEC, JAN
年份月份型
monthYearM..mo nthYearN
OCT2001..JAN OCT2001,
2002
NOV2001,
DEC2001,
JAN2002
运算符的优先级
三类运算符:
算术运算符 逻辑运算符 关系运算符 优先级 运算符 最高 #NOT# —(负号)
43
A5
2 3 9 57 2
65
41
A6
5 5 2 28 1
43
52
销量
35 37 22 32 41 32 43 38
a i 6 0 5 5 1 4 3 4 1 5 2 30 2 b i 3 3 5 2 7 3 2 4 2 3 1 4 2 3 3 2 88
整数规划及lingo软件---技能提升篇
1
2
0
3
5
1
1
1
1
6
0
3
0
1
7
0
0
2
3
为满足客户需要,按照哪些种合理模式,每种模式
切割多少根原料钢管,最为节省?
两种 标准
1. 原料钢管剩余总余量最小 2. 所用原料钢管总根数最少
决策变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7)
目标1(总余量) Min Z1 = 3x1 + x2 + 3x3 + 3x4 + x5 + x6 + 3x7
钢管下料问题2
目标函数(总根数) 约束条件
Min x1 + x2 + x3
满足需求
r11x1 + r12x2 + r13x3 50
r21x1 + r22 x2 + r23x3 10 r31x1 + r32 x2 + r33x3 20
r41x1 + r42 x2 + r43x3 15
模式合理:每根 余料不超过3米
LINDO 公司软件产品简要介绍
美国芝加哥(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980 年前后开发, 后来成立 LINDO系统公司(LINDO Systems Inc.), 网址:
LINDO: Linear INteractive and Discrete Optimizer
对松弛问题的最优解(分量)舍入为整数,得到的往 往不是原整数规划问题的最优解(甚至不是可行解)
x2 C
A B
目标函数下降方向
x1 O IP可行解对应于整点A(2,2)和B(1,1),而最优解为A点.
lingo用法
Lingo 是一种专门用于线性规划和整数规划的建模和求解语言。
它提供了一种简洁的方式来描述数学模型,并使用线性规划算法求解这些模型。
下面是Lingo 的一些基本用法示例:
1. 变量定义:
- 定义实数变量:`X = 0.5;`
- 定义整数变量:`INT_VAR Y;`
2. 目标函数定义:
- 最小化目标函数:`MIN = 2*X + 3*Y;`
- 最大化目标函数:`MAX = -X + 4*Y;`
3. 约束条件定义:
- 等式约束:`EQUATION C1: X + Y = 10;`
- 不等式约束:`INEQUATION C2: X >= 5;`
- 范围约束:`5 <= Y <= 20;`
4. 求解模型:
- 使用默认求解器求解:`SOLVE;`
- 指定求解器和参数:`SOLVE WITH LP_METHOD=3;` 以上是Lingo 的一些基本用法示例,实际上,Lingo 还提供了更多的功能和语法,用于描述更复杂的数学模型和问题。
它可以处理
线性规划、整数规划、混合整数规划等多种类型的问题,并提供了丰富的优化算法和工具来求解这些问题。
LINGO软件解整数线形规划
solver status 窗口
Solution Report 窗口
Global optimal solution found. Objective value: -17.00000 Objective bound: -17.00000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 2.000000 -1.000000 X2 3.000000 -5.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 -17.00000 -1.000000 2 1.000000 0.000000 3 2.000000 0.000000 4 2.000000 0.000000
结论:
该整数规划问题最优解为: x1=2, x2=3
最优值为: z*=-17
2、求解线性规划:
max z x 1 2x 2 2x 1 5x 2 12 x 2x 8 1 2 s .t. 0 x 2 10 x 1 , x 2 为整数
3、在高校篮球联赛中,我校男子篮球队要 从8名队员中选择平均身高最高的出场阵 容,队员的号码、身高及擅长的位置如下表:
Global optimal solution found. Objective value: 8.000000 Objective bound: 8.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 1.000000 -3.000000 X2 0.000000 2.000000 X3 1.000000 -5.000000 Row 1 2 3 4 5 Slack or Surplus Dual Price 8.000000 1.000000 2.000000 0.000000 2.000000 0.000000 2.000000 0.000000 1.000000 0.000000
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整数规划及Lingo 求解一、 概论1.1 整数规划的定义在工程设计和企业管理中,常常会遇到要求决策变量取整数值的规划问题。
安排生产时,投入的人力与机器数量必须是整数,生产的 某些产品(如汽车、机床、船舶等)的数量也是整数。
整数规划就是用于研究、处理这一类问题的数学规划。
如果在线性规划的基础上,把规划中的变量(部分或全部)限制为整数时,就称之为线性整数规划。
大部分的整数规划都是线性的所以我们也称线性整数规划为整数规划。
在许多情况下,我们都可以把规划问题的决策变量看成是连续的变量;但在某些情况下,规划问题的决策变量却被要求一定是整数。
例如,完成某项工作所需要的人数或设备台数,进入市场销售的商品件数,以及某一机械设备维修的次数等。
当连续的决策变量变为离散变量时非线性优化问题通常会难解得多。
但是应用软件就方便多了,本文给了Lingo 在规划中的常用方法和程序。
1.2 整数规划的分类在线性规划的基础上,要求所有变量都取整的规划问题称为纯整数规划问题;如果仅仅是要求一部分变量取整,则称为混合整数规划问题。
全部或部分决策变量只能取0,1值的规划问题称为10-规划问题。
1.3 整数规划的一般模型目标函数约束条件决策集 x 为整数如果用集合表示上面的式子目标函数: Cx =max(min)约束条件为: b Ax =例 1.1 飞船装载问题设有n 种不同类型的科学仪器希望装在登月飞船上, 令0>j c 表示每件第j 类仪器的科学价值;0>j a 表示每件第j 类仪器的重量。
每类仪器件数不限, 但装载件数只能是整数。
飞船总载荷不得超过数b 。
设计一种方案, 使得被装载仪器的科学价值之和最大。
建模 记j x 为第j 类仪器的装载数。
目标函数 ∑=j j x c m a x约束条件 ∑≤b x a j j决策集 j x 为正整数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+++≤+++≤+++m n mm m m n n n n k x a x a x a k x a x a x a k x a x a x a t s22112222212111212111..n n x c x c x c +++= 2211m ax (m in)二、 算法简介及应用举例2.1 解整数规划的一般算法通常解整数规划有三种方法,下面只介绍算法思想不具体讲解,在限制条件少的情况下分支定界法最为常用。
因为Lingo 软件可以很好的解决这一类问题,所以给出Lingo 的程序以便求解更复杂的问题。
图解法:解两个变量的线性规划问题,在平面上画出可行域,计算目标函数在各极点处的值,经比较后,取最值点为最优解。
用分枝定界法:反复划分可行域并确定最优值的界限,将原问题不断地分枝为若干个子问题, 且缩小最优质的取值范围,直到求得最优解.枚举法:列出所有可行解逐一比较求出最优解。
2.2例题分析例 2.1 背包问题一个旅行者的背包最多只能装 6kg 物品,现有4 件物品的重量和价值分别为 2 kg ,3 kg ,3 kg ,4 kg ;1 元,1.2元,0.9元,1.1元。
问应怎样携带那些物品使得携带物品的价值最大?建模:记j x 为旅行者携带第j 件物品的件数, 取值只能为 0 或 1。
求目标函数43211.19.02.1x x x x f +++=在约束条件643324321≤+++x x x x 下的最大值.用Lingo 软件求解0-1规划Model:Max=x1+1.2*x2+0.9*x3+1.1*x4;2*x1+3*x2+3*x3+4*x4<=6;@bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);End计算结果图1 结果解释变量名 取值例 2.2 某公司要在市东、西、南三区建立分公司。
拟议中有7个位置(点))7,,2,1( =i A i 可供选择。
规定在东区:由321,,A A A 三个点中至多选两个;在西区:由54,A A 两个点中至少选一个;在南区:由76,A A 两个点中至少选一个。
如选用i A 点,设备投资估计为i b 元,每年可获利润估计为i c 元,但投资总额不能超过B 元。
问应选择哪几个点可使年利润为最大?解题时先引入10-变量)7,,2,1( =i x i令⎩⎨⎧=.,0,1点没被选中当点被选中当,i A i A i x 7,,2,1 =i . 于是问题可列写成:i i i x c z ∑==71Maxs.t. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥+≥+≤++≤∑=10,112765432171或i i i i x x x x x x x x Bx b例 2.3 求目标函数2123x x f +=在约束条件: 143221≤+x x , 9221≤+x x , 1x ,2x 为自然数下的最大值。
用Lingo 软件求解整数规划model:max =3*x1+2*x2;2*x1+3*x2<=14;2*x1+x2<=9;@gin(x1);@gin(x2);End计算结果为:最大值14,x1=4,x2=1。
例2.4 钢材截短问题有一批钢材, 每根长7.3米. 现需做100套短钢材. 每套包括长2.9米, 2.1米,1.5米的各一根. 至少用掉多少根钢材才能满足需要, 并使得用料最省. 分析: 可能的截法和余料第1种 7.3-(2.9×2+1.5)=0第2种 7.3-(2.9+2.1×2)=0.2第3种 7.3-(2.9+1.5×2)=1.4第4种 7.3-(2.9+2.1+1.5)=0.8第5种 7.3-(2.1×2+1.5×2)=0.1第6种 7.3-(2.1×3)=1第7种 7.3-(2.1+1.5×3)=0.7第8种 7.3-(1.5×4)=1.3模型:设决策变量按第i 种方法截i x 根钢材。
求目标函数的最小值87654323.17.01.08.04.12.0x x x x x x x f ++++++=约束条件10024321=+++x x x x10032276542=++++x x x x x1004322875431=+++++x x x x x x0≥i x ,i =1,…,8编程:model :min =0.2*x2+1.4*x3+0.8*x4+0.1*x5+x6+0.7*x7+1.3*x8;2*x1+x2+x3+x4=100;2*x2+x4+2*x5+3*x6+x7=100;x1+2*x3+x4+2*x5+3*x7+4*x8=100;@gin (x1);@gin (x2);@gin (x3);@gin (x4);@gin (x5);@gin (x6);@gin (x7);@gin (x8);end解得i x =(40, 20, 0, 0, 30, 0, 0, 0) , )(i x f = 7三、集合在整数规划中的应用例3.1 SAILCO 公司需要决定下四个季度帆船的生产量。
下四个季度帆船的需求量分别是40条,60条,75条,25条,这些需求必须按时满足。
每个季度正常的生产能力是40条帆船,每条船的生产费用为400美元。
如果加班生产,每条船的生产费用为450美元。
每个季度末,每条船的库存费用为20美元。
假定生产提前期为0,初始库存为10条船,如何安排生产可使总费用最小?我们用DEM ,RP ,OP ,INV 分别表示需求量、正常生产量、加班生产量、库存量,则DEM ,RP ,OP ,INV 对每个季度都应该有一个对应的值,也就是说他们都应该是一个由4个元素组成的数组,其中DEM 是已知的,而RP ,OP ,INV 是未知的。
现在我们可以写出这个问题的模型。
首先,目标函数是所有费用的和:Min{}∑=++4,3,2,1)(20)(450)(400I I INV I OP I RP (1)约束条件主要有两个:(1) 能力限制RP (I )≤40,I=1,2,3,4; (2)(2) 产品数量的平衡方程INV (I )=INV (I -1)+RP (I )-DEM (I ),I=1,2,3,4; (3)INV (0)=10; (4)当然还要加上变量的非负约束,构成了这个问题的模型。
可以看出,如果利用数组的概念,这个模型是比较容易建立的,记4个季度组成的集合QUARTERS={1,2,3,4},它们就是上面数组的下标集合,而数组DEM ,RP ,OP ,INV 对集合QUARTERS 中的每个元素1,2,3,4分别对应于一个值,如图3-13所示。
LINGO 正是充分利用了这种数组及其下标的关系,引入了“集合”及其“属性”的概念,把QUARTERS={1,2,3,4}称为集合,把DEM ,RP ,OP ,INV 称为该集合的属性(即定义在该集合上的属性)。
表1更清楚地列出了集合元素及其属性所确定的所有变量。
图2 集合及其属性表1 集合元素及集合的属性确定的所有变量LINGO 中的一个典型的输入方式见图3.我们可以看到这个输入方式以“MODEL :”开始,以“END ”结束,它们之间有语句构成,可以分为三个部分:图3 输入方式(1)集合定义部分(从“SETS:”到“ENDSET”):定义集合及其属性,语句“QUARTERS/1,2,3,4/:DEM,RP,OP,INV,其结果正是定义了表1所列出的16个变量名(并不一定都是决策变量,如下面马上就看到DEM对应的4个变量是已知的)。
(2)数据输入部分(从“DATA:”到“ENDDATA”):“DEM=40,60,75,25;”给出常量DEM(给定的需求量)的值,即DEM(1)=40,DEM(2)=60,DEM(3)=75,DEM(4)=25.(3)其他部分:给出优化目标函数和约束。
目标函数(“MIN=”后面所接的表达式)是用求和函数“@SUM(集合(下标):关于集合的属性的表达式)”的方式定义的,这个函数的功能是对语句中冒号后面的表达式,按照“:”前面的集合指定的下标(元素)进行求和。
本例中目标函数也可以等价的写成“@SUM(QUARTERS(i):400*RP(i)+450*OP(i)+20*INV(i))”,这里“@SUM”相当于求和符号“∑”,而“QUARTERS(i)”相当于“i∈QUARTERS”的含义。
只是由于本例中目标函数对集合QUARTERS的所有元素(下标)都要求和,所有我们在相应的语句中将下标i省去。
约束是用循环函数“@FOR(集合(下标):关于集合的属性的约束关系式)”的方式定义的,意思是对冒号“:”前面的集合的每个元素(下标),冒号“:”后面的约束关系式都要成立。
我们先看到能力限制(2),即每个季度正常的生产能力是40条帆船,这正是语句“@FOR(QUARTERS(I):RP(I)<40);”的含义。