初升高数学暑期衔接资料(教师版)

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初升高数学暑假衔接(人教版)第01讲集合的概念(教师版)

第01讲集合的概念1．通过实例了解集合的定义，体会元素与集合间的属于关系；2．能通过自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用；一、集合的含义与表示1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a ，b ，c ，…表示．2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C ，…表示．二、元素的三个特性1、确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。

例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等2、互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．三、元素与集合关系的判断及应用1、属于与不属于概念：（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ．（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A ．2、常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N*N 或+N ZQ R四、集合的两种表示方法1、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复；(4)集合中的元素可以是任何事物．2、描述法：一般地，设A 表示一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P (x )的元素x 所组成的集合表示为{x ∈A |P (x )}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．考点一：判断元素是否构成集合例1．下列各组对象不能构成集合的是（）A ．上课迟到的学生B ．2022年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于x 的正整数【答案】B【解析】对于B 中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.其它选项的对象都可以构成集合.故选：B【变式训练】下列各选项中能构成集合的是（）A ．学生中的跑步能手B ．中国科技创新人才C ．地球周围的行星D ．唐宋散文八大家【答案】D【解析】对于A ，学生中的跑步能手不具有确定性，所以不能构成集合，所以A 错误，对于B ，中国科技创新人才不具有确定性，所以不能构成集合，所以B 错误，对于C ，地球周围的行星不具有确定性，所以不能构成集合，所以C 错误，对于D ，唐宋散文八大家分别为唐代柳宗元、韩愈和宋代欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩八位，研究的对象是确定的，可能构成集合，所以D 正确，故选：D考点二：判断元素与集合的关系例2．给出下列关系：①12ÎR ÏR ；③3-∈N ；④3Q -∈．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】12是无理数，均为实数，①正确，②错误；33-=，为自然数及有理数，③④正确.故选：C.【变式训练】（多选）给出下列关系中正确的有（）A ．1R3∈B Q C ．3Z-∉D ．N【答案】AD【解析】因为1R3∈Q ，3Z -∈，N ，所以AD 正确.故选：AD.考点三：集合中元素互异性的应用例3．设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m=（）A ．0B ．1-C ．0或1-D ．0或1【答案】C【解析】设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，3M -∈ ，213m ∴-=-或33m -=-，当213-=-m 时，1m =-，此时{}3,4M =--；当33m -=-时，0m =，此时{}3,1M =--；所以1m =-或0.故选：C【变式训练】若{}31,3,a a ∈-，则实数a 的取值集合为______．【答案】{}0,1,3【解析】因为{}31,3,a a∈-，故1a =-或3a =或3a a=，当1a =-时，31a =-，与元素的互异性矛盾，舍；当3a =时，327a =，符合；当3a a =时，0a =或1a =±，根据元素的互异性，0,1a =符合，故a 的取值集合为{}0,1,3.故答案为：{}0,1,3考点四：用列举法表示集合例4．方程组13x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（）A ．{}2,1-B ．{}2,1x y ==-C ．(){},2,1x y -D ．(){}2,1-【答案】D【解析】由方程组13x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：21x y =⎧⎨=-⎩，集合应是点集，正确的形式是(){}21-，.故选：D【变式训练】集合+6=Z,N C x x x ∈∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭用列举法表示为________．【答案】{}1,2,3,6【解析】因为x +∈N ，6Z x∈，所以x 的取值可能为1，2，3，6，所以{}1,2,3,6C =，故答案为：{}1,2,3,6.考点五：用描述法表示集合例5．（多选）集合{1,2}用描述法可以表示为（）A ．{Q 03}x x ∈<<∣B ．{}*13x x ∈-<<N ∣C ．{N12}x x ∈≤≤∣D ．{}2320xx x -+=∣【答案】BCD【解析】{}Q |03x x ∈<<是无限集，A 错误；{}{}*N |131,2x x ∈-<<=，B 正确；{}{}N |121,2x x ∈≤≤=，C 正确；{}{}2|32(1)(2)01,2-+=--==x xx x x ，D 正确.故选：BCD.【变式训练】所有正奇数组成的集合用描述当表示为_________．【答案】{}21,N x x k k =+∈【解析】因为正奇数除以2，余数为1，所以所有正奇数组成的集合用描述当表示为{}21,N x x k k =+∈，故答案为：{}21,N x x k k =+∈1．下列四组对象能构成集合的是（）A ．高一年级跑步很快的同学B ．晓天中学足球队的同学C ．晓天镇的大河D ．著名的数学家【答案】B【解析】集合元素具有确定性，高一年级跑步很快的同学、晓天镇的大河、著名的数学家，这三组对象不确定，不能构成集合.“晓天中学足球队的同学”满足集合元素的：确定性、互异性、无序性，所以“晓天中学足球队的同学”能够构成集合.故选：B2．已知集合(){}|10M x x x =-=,那么（）A ．0M ∈B ．1M∉C ．1M-∈D ．0M∉【答案】A【解析】由题意知集合(){}|10{0,1}M x x x =-==，故0M ∈，故A 正确，D 错误，1M ∈，故B 错误，1M -∉，故C 错误，故选：A3．（多选）已知集合12=N,Z 8A x x x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭，则下列属于集合A 的元素有（）A ．4-B ．3C ．4D ．6【答案】CD【解析】依题意，8x -是12的约数，而12的约数有1,2,3,4,6,12±±±±±±，即8{12,6,4,3,2,1,1,2,3,4,6,12}x -∈------，则{20,14,12,11,10,9,7,6,5,4,2,4}x ∈-，因为N x ∈，因此{20,14,12,11,10,9,7,6,5,4,2}x ∈所以CD 正确，AB 错误.故选：CD4．（多选）下列说法中，正确的是（）A 2B ．自然数集N 中最小的元素是0C ．在数集Z 中，若a ∈Z ，则a -∈ZD ．一个集合中可以有两个相同的元素【答案】BC【解析】对于A ，2元素不具有确定性，不能构成一个集合，故A 错误；对于B ，由自然数的定义可得B 正确；对于C ，若a ∈Z ，则a -∈Z ，故C 正确；对于D ，由集合的互异性可知，一个集合中不可以有两个相同的元素，故D 错误.故选:BC5．（多选）以下命题中正确的是（）A ．所有正数组成的集合可表示为{}0x x >B ．大于2020小于2023的整数组成的集合为{}20202023x x <<C ．全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}D ．N 中的元素比N +中的元素只多一个元素0，它们都是无限集【答案】AD【解析】正数均大于0，故所有正数的集合应表示为{|0}x x >，故A 正确；大于2020小于2023的整数组成的集合应表示为{Z |20202023}x x ∈<<或{2021,2022}，故B 不正确；全部三角形组成的集合应表示为{三角形}或{|x x 是三角形}，故C 不正确；N 为自然数集，N +为正整数集，故N 中的元素比N +中的元素只多一个元素0，它们都是无限集，故D 正确.故选：AD.6．下列各种对象的全体可以构成集合的是______．（填写序号）①高一（1）班优秀的学生；②高一年级身高超过1.60m 的男生；③高一（2）班个子较高的女生；④数学课本中的难题．【答案】②【解析】①中“优秀”，③中“个子较高”，④中“难题”不满足构成集合元素的确定性，而②满足集合元素的性质，故②正确，故答案为：②.7．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A xy A =∈∈∈，则集合B 中的元素个数为________．【答案】14【解析】由题意得：()()()()()()()()()(){()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,B =()()()}4,1,5,1,6,1，B ∴中元素个数为14.故答案为：14.8．已知{}2312,4,a a a -∈+，则实数=a _______.【答案】1-【解析】若3a =-，则249123a a +=-=-，不符合集合元素的互异性，排除；若243a a +=-，则2430a a ++=，可得1a =-或3a =-（舍），所以1a =-，此时{}12,3,1--.故答案为：1-9．表示下列集合：（1210y ++=的解集；（2）请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；（3）请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；（4）请用描述法表示二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【答案】（1）11(,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（2）{}(,)0x y xy ；（3）{|53x x n +∈=+N ，}n ∈N ；（4）2{|210}y y x x =+-【解析】（1210y +=的解集为11,22⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.（2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为(){},0x y xy .（3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为{|53x x n +∈=+N ，}n ∈N （4）用描述法表示二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合为2{|210}y y x x =+-．10．已知集合{}2210,R A xax x a =++=∈∣.（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围.【答案】（1）0a =或1a =；（2）{}|1a a ≤【解析】（1）由题意，当0a =时，210x +=，得12x =-，集合A 只有一个元素，满足条件；当0a ≠时，2210ax x ++=为一元二次方程，440a ∆=-=，得1a =，集合A 只有一个元素=1x -∴A 中只有一个元素时0a =或1a =.（2）由A 中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A 中有两个元素时，0a ≠并且440a ∆=->，得1a <且0a ≠，再结合A 中一个元素的情况，∴a 的取值范围为{}|1a a ≤.12220x x ++=的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③④【答案】B【解析】对①，联合国安全理事会常任理事国包括中国、法国、美国、俄罗斯、英国，能构成集合.对③，方程2220x x ++=，4420∆=-⨯<，方程无实根，集合为空集，对④，中国著名的高等院校，不满足集合的确定性，不能构成集合，故选：B2．下列元素与集合的关系中，正确的是（）A ．1-∈NB ．*0N ∉C QD ．2R5∉【答案】B【解析】N 表示自然数集，-1不是自然数，故A 错；*N 表示正整数集，0不是正整数，故B 正确；QC 错；R 表示实数集，25是实数，故D 错.故选：B.3．已知集合{}212,4,2A a a a =+-，3A -∈，则=a （）A ．-1B ．-3或-1C ．3D ．-3【答案】D【解析】由题意，243a a +=- ①或23a -=- ②，由①得，1a =-，或3a =-，由②1a =-；当1a =-时，243,23a a a +=--=-，不符合集合描述规则，舍去，3a =-；故选：D.4．下列说法：①集合{}3N |x x x ∈=用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x |x为所有实数}或{}R ；③一次函数y ＝x ＋2和y ＝－2x ＋8的图像象交点组的集合为{x ＝2，y ＝4}，正确的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】由3x x =，得(1)(1)0x x x -+=，解得x ＝0或x ＝1或x ＝－1，又因为1N -Ï，故集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{0，1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R ”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x |x 为实数}或R ，故②不正确．联立228y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，∴一次函数与y ＝－2x ＋8的图像交点为（2，4），∴所求集合为{(,)|2x y x =且}4y =，故③不正确．故选：D.5．（多选）下列说法中，正确的是（）A ．若a ∈Z ，则a -∈ZB ．R 中最小的元素是0CD ．一个集合中不可以有两个相同的元素【答案】AD【解析】若a ∈Z ，则－a 也是整数，即a -∈Z ，故A 正确；因为实数集中没有最小的元素，所以B 错误；因为”不具有确定性，所以不能构成集合，故C 错误；同一集合中的元素是互不相同的，故D 正确.故选：AD.6．由下列对象组成的集体属于集合的是_____(填序号).①不超过10的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数.【答案】①④【解析】①④中的对象是确定的，可以组成集合，②③中的对象是不确定的，不能组成集合.故答案为：①④7．已知集合A 中含有两个元素3a -和21a -．（1）若2-是集合A 中的元素，试求实数a 的值；（2）5-能否为集合A 中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．【答案】（1）1或12-；（2）不能，理由见解析【解析】（1）因为2-是集合A 中的元素，所以23a -=-或221a -=-．若23a -=-，则1a =，此时集合A 含有两个元素2-，1，符合要求；若221a -=-，则12a =-，此时集合A 中含有两个元素72-，2-，符合要求．综上所述，满足题意的实数a 的值为1或12-．（2）不能．理由如下：若5-为集合A 中的元素，则35a -=-或215a -=-．当35a -=-时，解得2a =-，此时212215()a ---=⨯=-，显然不满足集合中元素的互异性；当215a -=-时，解得2a =-，此时35a -=-显然不满足集合中元素的互异性．综上，5-不能为集合A 中的元素．8．用另一种方法表示下列集合:（1）{}31135--，，，，;（2）{}2221234 ，，，;（3）已知{}23M =，，(){}|P x y x M y M =∈∈，，，写出集合P ;（4）集合{}Z 22|A x x =∈-≤≤，{}21|B x x A =-∈，写出集合B .【答案】（1）{|21Z x x k k =-∈，，且}13k -≤≤；（2）{}2|Nx x n n *=∈，（3）()()()(){}22332332P =，，，，，，，；（4）{}301B =-，，【解析】（1）因为31135--，，，，均为奇数，所以利用描述法表示为{|21Z x x k k =-∈，，且}13k -≤≤.（2）因为31135--，，，，均平方形式，所以利用描述法表示为{}2|N x x n n *=∈，.（3）因为{}23M =，，(){}|P x y x M y M =∈∈，，，所以利用列举法表示出()()()(){}22332332P =，，，，，，，.（4）因为集合{}Z 22|A x x =∈-≤≤，{}21|B x x A =-∈，所以{}301B =-，，.。

初升高数学暑假衔接(人教版)第04讲充分条件与必要条件(教师版)

第04讲充分条件与必要条件1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；3．能通过充分性、必要性解决简单的问题；4．能对充分条件进行证明。

一、命题的定义与表示1、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．2、命题的表示：命题表示为“若p ，则q ”时，p 是命题的条件，q 是命题的结论．二、充分条件条件与必要条件1、充分条件与必要条件定义（1）一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由条件p 通过推理可以得出结论q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（2）如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p q ¿.这时，我们就说，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件。

2、充分条件与必要条件的关系p 是q 的充分条件反映了p q ⇒，而q 是p 的必要条件也反映了p q ⇒，所以p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同。

而p 是q 的充分条件只反映了p q ⇒，与q 能否推出p 没有任何关系。

三、充要条件1、充要条件的定义如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均为真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔。

此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。

2、充要条件的含义若p 是q 的充要条件，则q 也是p 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同。

3、充要条件的等价说法：p 是q 的充要条件又常说成是q 成立当且仅当p 成立，或p 与q等价。

四、充分、必要、充要条件的证明1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。

初升高数学暑假衔接(人教版)初高衔接第04讲：二次函数与不等式(教师版)

第04讲：二次函数与不等式【考点梳理】考点一、一元二次不等式及其解法1．形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式．2．一元二次不等式20(0)或ax bx c ++><与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠及一元二次方程20ax bx c ++=的关系(简称：三个二次)．以二次函数26y x x =+-为例：(1)作出图象.(2)图象与x 轴的交点是(3,0),(2,0)-，即当32x =-或时，0y =．就是说对应的一元二次方程260x x +-=的两实根是32x =-或．(3)当32x x <->或时，0y >，对应图像位于x 轴的上方．(4)就是说260x x +->的解是32x x <->或．当32x -<<时，0y <，对应图像位于x 轴的下方．就是说260x x +-<的解是32x -<<．一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1)将二次项系数先化为正数.(2)观察相应的二次函数的图象．①如果图象与x 轴有两个交点12(,0),(,0)x x ，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根12,x x (也可由根的判别式0∆>来判断)．那么(图1)：2120 (0) ax bx c a x x x x ++>>⇔<>或2120 (0) ax bx c a x x x ++<>⇔<<②如果图象与x 轴只有一个交点(,0)2b a-，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根22x bx x a ==-(也可由根的判别式0∆=来判断)．那么(图2)：20 (0) 2bax bx c a x a++>>⇔≠-20 (0) ax bx c a ++<>⇔无解③如果图象与x 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式0∆<来判断)．那么(图3)：20 (0) ax bx c a x ++>>⇔取一切实数20 (0) ax bx c a ++<>⇔无解解一个一元二次不等式的话，也可以按以下步骤处理：(1)化二次项系数为正；(2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,x x ．那么“0>”型的解为12x x x x <>或(俗称两根之外)；“0<”型的解为12x x x <<(俗称两根之间)；(3)否则，对二次三项式进行配方，变成2224()24b ac b ax bx c a x a a -++=++，结合完全平方式为非负数的性质求解．考点二、简单分式不等式的解法说明：(1)转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．(2)也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号(比如例(2))：2220201532553(2)13(2)12333x x x x x x x x x x x >-<-⎧⎧+>+<⎧⎧⎪⎪≤⇒⇒⇒≥-<-⎨⎨⎨⎨+≥+≤+≥-≤-⎩⎩⎪⎪⎩⎩或或或.考点三、含有字母系数的一元一次不等式一元一次不等式最终可以化为 (0)ax b a >≠的形式．(1)当0a >时，不等式的解为：b x a >；(2)当0a <时，不等式的解为：b x a<；(3)当0a =时，不等式化为：0x b ⋅>；①若0b ≥，则不等式无解；②若0b <，则不等式的解是全体实数．【题型归纳】题型一：一元二次不等式的解法1．解下列不等式：(1)22530x x +-<；(2)23620x x -+-≤；(3)24410x x ++>.【答案】(1)1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2)33|3x x ⎧-⎪≤⎨⎪⎩或333x ⎫+⎪≥⎬⎪⎭(3)1|,R 2x x x ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）因式分解可得结果；（2）配方法可得结果；（3）配方法可得结果.【详解】（1）由22530x x +-<，得(3)(21)0x x +-<，得132x -<<，所以不等式22530x x +-<的解集为1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.（2）由23620x x -+-≤得23620x x -+≥，得22203x x -+≥，得()2113x -≥，得313x -≤-或313x -≥，即333x -≤或333x +≥，所以原不等式的解集为33|3x x ⎧-⎪≤⎨⎪⎩或333x ⎫+⎪≥⎬⎪⎭.（3）由24410x x ++>得()2210x +>，所以12x ≠-.所以原不等式的解集为1|,R 2x x x ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭.2．求解下列不等式的解集：(1)2450x x -++<；(2)20252x x ≤-+；(3)4170x --≤；(4)()()()21502x x x +-<-；(5)4123x x -≥+.【答案】(1){1x x <-或}5x >(2)122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭(3)322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭(4){}12x x -<<(5)3123x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭【分析】（1）（2）利用二次不等式的解集解原不等式即可得其解集；（3）利用绝对值不等式的解法解原不等式即可得其解集；（4）（5）利用分式不等式的解法解原不等式可得其解集.【详解】（1）解：由2450x x -++<可得2450x x -->，解得1x <-或5x >，故原不等式的解集为{1x x <-或}5x >.（2）解：由20252x x ≤-+可得()()2120x x --≤，解得122x ≤≤，故原不等式的解集为122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（3）解：由4170x --≤可得417x -≤，即7417x -≤-≤，解得322x -≤≤，故原不等式的解集为322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（4）解：由()()()21502x x x +-<-可得10250x x x +⎧<⎪-⎨⎪-≠⎩，解得12x -<<，故原不等式的解集为{}12x x -<<.（5）解：由4123x x -≥+可得()23443110232323x x x x x x x +-----==≤+++，解得3123x -<≤，故原不等式的解集为3123x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭.3．解下列不等式：(1)22530x x +-<；(2)2362x x -+≤；(3)5132x x +≤-；(4)()()()12253x x x x --<-+【答案】(1)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)33,11,33⎛⎤⎡⎫-∞-++∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭ (3)[)13,3-(4)()(),11,-∞+∞ 【分析】（1）先因式分解，然后直接求解即可；（2）利用求根公式即可求解不等式；（3）分类讨论，将分式不等式变为整式不等式求解；（4）先整理，然后直接求解即可.【详解】（1）22530x x +-< ，()()2130x x ∴-+<，132x ∴-<<，即不等式的解集为13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2362x x -+≤ ，23620x x -∴+≥，解得313x ≤-或313x ≥+；即不等式的解集为33,11,33⎛⎤⎡⎫-∞-++∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；（3）5132x x +≤- ，()153230x x x ⎧+≤-⎪∴⎨⎪->⎩或()153230x x x ⎧+≥-⎪⎨⎪-<⎩解得133x -≤<，即不等式的解集为[)13,3-；（4）()()()12253x x x x --<-+ ，整理得2210x x -+>，解得1x ≠，即不等式的解集为()(),11,-∞+∞ .题型二：一元二次不等式求参数4．已知不等式210ax bx ++>的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，则不等式20x bx a -+≥的解集为（）A ．(,3][2,)-∞-⋃-+∞B ．[3,2]--C ．[2,3]-D ．(,2][3,)-∞-⋃+∞【答案】D 【分析】由题意知11,32-是方程210ax bx ++=的两实数根，由韦达定理可求出6,1a b =-=，代入不等式20x bx a -+≥中，解不等式即可求出答案.【详解】由不等式210ax bx ++>的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，知11,32-是方程210ax bx ++=的两实数根，由根与系数的关系，得113211132b a a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩，解得：6,1a b =-=，所以不等式20x bx a -+≥可化为260x x --≥，解得：3x ≥或2x ≤-，故不等式20x bx a -+≥的解集为：(,2][3,)-∞-⋃+∞.故选：D.5．已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),12,-∞-+∞ ，则不等式20bx ax c +-≤的解集是（）A ．[]1,2-B ．][(),12,-∞-⋃+∞C ．[]2,1-D ．][(),21,∞∞--⋃+【答案】A【分析】首先根据不等式的解集，利用韦达定理得到,,a b c 的关系，再代入求解不等式的解集.【详解】由条件可知，20ax bx c ++=的两个实数根是1-和2，且a<0，则122b a c a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得=-b a ，2c a =-，所以22020bx ax c ax a a +-≤⇔-++≤，即220x x --≤，解得：12x -≤≤，所以不等式的解集为[]1,2-.故选：A6．已知关于x 的不等式()20,ax x b a b -->∈R 的解集为{2x x >或1}x <-．(1)求a ，b 的值；(2)若c ∈R ，解关于x 的不等式()()2110ax ac b x b c -+-+-<．【答案】(1)1,2a b ==(2)答案见解析【分析】（1）根据不等式的解集和方程的根的关系，列方程组求a ，b 的值；（2）代入a ，b 的值，然后分c 与1的大小关系讨论来解不等式.【详解】（1）关于x 的不等式()20,ax x b a b -->∈R 的解集为{2x x >或1}x <-即方程20ax x b --=的根为2,1-，42010a b a b --=⎧∴⎨+-=⎩，解得1,2a b ==；（2）由（1）得关于x 的不等式()210x c x c -++<，即()()10x x c --<，当1c >时，不等式的解集为()1,c ；当1c =时，不等式的解集为∅；当1c <时，不等式的解集为(),1c .题型三：含参数的一元二次不等式的解法7．已知使不等式()210x a x a +++≤成立的任意一个x ，都不满足不等式20x +≤，则实数a 的取值范围为（）A ．(),1-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,-+∞D ．(),2-∞【答案】D 【分析】由20x +≤得2x ≤-，因为使不等式()210x a x a +++≤成立的任意一个x ，都不满足不等式20x +≤，所以不等式()210x a x a +++≤的解集是()2,-+∞的子集．讨论a 解出不等式的解集，从而利用集合的包含关系即可求解【详解】由20x +≤得2x ≤-，因为使不等式()210x a x a +++≤成立的任意一个x ，都不满足不等式20x +≤，所以不等式()210x a x a +++≤的解集是()2,-+∞的子集．由()210x a x a +++≤，得()()10x a x ++≤，当1a =，{}()12,x ∈-⊆-+∞，符合题意；当1a >，[](),12,x a ∈--⊆-+∞，则2a ->-，12a <<；当1a <，[]()1,2,x a ∈--⊆-+∞，符合题意，综上所述，实数a 的取值范围为(),2-∞．故选：D ．8．已知函数2(,R)y x bx c b c =++∈，且0y ≤的解集为[]1,2-.(1)求,b c ；(2)解关于x 的不等式2(2)2(1)(0)m x x x m m -->--≥【答案】(1)1b =-，2c =-(2)答案见解析【分析】（1）根据韦达定理列式求出,b c 即可得解；（2）将不等式整理为(2)(1)0mx x -->，再分类讨论m 可求出结果.【详解】（1）因为0y ≤的解集为[]1,2-,所以1-和2是方程20x bx c ++=的两根，所以12b -+=-，12c -⨯=，即1b =-，2c =-，（2）由2(2)2(1)m x x x m -->--,整理得(2)(1)0mx x -->，当0m =时，得1x <，解集为(,1)-∞；当02m <<时，2()(1)0x x m-->，得1x <或2x m >，解集为2(,1)(,)m -∞⋃+∞；当2m =时，2(1)0x ->，得1x ≠，解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；当2m >时，2()(1)0x x m-->，得2x m <或1x >，解集为2(,)(1,)m -∞⋃+∞.综上所述：当0m =时，不等式的解集为(,1)-∞；当02m <<时，不等式的解集为2(,1)(,)m -∞⋃+∞；当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；当2m >时，不等式的解集为2(,)(1,)m-∞⋃+∞.9．已知函数()()()211R f x m x mx m =+--∈(1)若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数m 的取值范围；(2)若1m <-，解关于x 的不等式()0f x ≥．【答案】(1)10m -≤≤(2)答案见解析【分析】（1）1m =-时结合一次函数的单调性可得结果；1m ≠-由二次函数的开口方向、对称轴和单调性列出不等式组，可求出m 的取值范围；（2）因式分解后，分2m =-，21m -<<-和2m <-三种情况讨论，求出不等式组的解集即可.【详解】（1）()f x 在(0,)+∞单增，若10m +=，则1,()1m f x x =-=-，在(0,)+∞单增，所以1m =-；若1,()m f x ≠-在(0,)+∞单增，则1002(1)m m m +>⎧⎪-⎨≤⎪-+⎩，解得到，10m -<≤，综上所述：10m -≤≤；（2）若1,()0m f x <-≥，则2(1)10m x mx +--≥，即((1)1)(1)0m x x ++-≥，所以1(1)01x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭，若11+=-m 即2m =-，不等式的解集为{1}；若11m +>-即21m -<<-，此时111m ->+，不等式的解集为11,1m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦；若11m +<-即2m <-，此时111m -<+，不等式的解集为1,11m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦；综上，当2m =-时，不等式的解集是{1}；当21m -<<-时，不等式的解集是11,1m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦；当2m <-时，不等式的解集是1,11m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．题型四：一元二次方程根的分布问题10．若一元二次方程2240ax x --=（a 不等于0）有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围为（）A ．0a >B ．2a >C ．1a >D ．1a >-【答案】A【分析】根据一元二次方程有一个正根和一个负根可得判别式大于零以及两根之积小于零，列不等式组即可求解.【详解】因为一元二次方程2240ax x --=（a 不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为12,x x ，则()()212Δ244040a x x a ⎧=--⨯⨯->⎪⎨=-<⎪⎩，解得0a >，故选：A11．已知二次函数()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m 可能为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布情况，结合一元二次不等式的求解，列式计算即可.【详解】令()f x =()()222433m x m x m +-+++，则()12243321f m m m m =+--++=+，由题可知，2m ≠-，且()()210m f +<，即()()2210m m ++<，解得12, 2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故所有选项中满足题意的m 的值是：1-.故选：B.12．关于x 的方程22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭有两个不相等的实数根12,x x 且121x x <<，那么a 的取值范围是（）A ．22,75⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,7⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．2,011⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】由一元二次方程根的分布可得()Δ010f >⎧⎨<⎩，解不等式组可求得结果.【详解】设()2219f x x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()22Δ136021110a f a ⎧⎛⎫=+->⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+<⎪⎩，解得：2011a -<<，即a 的取值范围为2,011⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D.题型五：一元二次不等式恒成立问题13．关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ，则k 的取值范围是（）.A ．()3,0-B ．(]3,0-C ．[]3,0-D ．()[),30,-∞-+∞ 【答案】B 【分析】分0k =以及0k ≠，结合二次函数的性质，列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】当0k =时，原不等式可化为308-<在R 上恒成立；当0k ≠时，由不等式23208kx kx +-<的解集为R ，可知应有22203Δ42308k k k k k <⎧⎪⎨⎛⎫=-⨯⨯-=+< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得30k -<<.综上所述，k 的取值范围是(]3,0-.故选：B.14．（1）解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<；（2）已知关于x 的不等式()()22454130m m x m x +---+>对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）{}|119m m ≤<【分析】（1）分类讨论a 解不等式可得结果；（2）分类讨论2x 项系数，利用判别式可得结果.【详解】（1）①当a<0时，原不等式化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭,解得1x a <或1x >；②当0a =时，原不等式即为1x -+0<，解得1x >；③当0a >时，原不等式化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，若01a <<时，解得11x a<<；若1a =时，得2(10)x -<，不等式无解；若1a >时，解得11x a<<.综上可知，当a<0时，解集为1{|x x a<或1}x >；②当0a =时，解集为{|1|x x >；③当01a <<时，解集为1{|1}x x a<<；当1a =时，解集为空集；当1a >时，解集为1{|1}x x a<<.（2）①当2450m m +-=，即5m =-或1m =时，若5m =-，不等式化为2430x +>，即18x >-，不符合题意；若1m =，不等式化为30>，符合题意.②当2450m m +-≠，即5m ≠-且1m ≠时，由二次不等式()()22454130m m x m x +---+>对一切实数x 恒成立，得()()222450Δ16112450m m m m m ⎧+->⎪⎨=--+-<⎪⎩，解得119m <<.综上所述：实数m 的取值范围为{}|119m m ≤<．15．已知函数()23f x mx mx =++，R m ∈．(1)若关于x 的不等式()0f x >在实数集R 上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()()315f x m x >-+．【答案】(1){}012m m ≤<(2)当12m <-时，原不等式的解集为1|2x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当12m =-时，原不等式的解集为∅；当102m -<<时，原不等式的解集为1|2x x m ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭；当0m =时，原不等式的解集为{|2}x x >；当0m >时，原不等式的解集为1|2x x x m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或【分析】（1）对m 进行分类讨论，根据一元二次不等式的性质即可求解.（2）化简问题得出()()210x mx -+>，对0,0,0m m m <=>分三类讨论，利用一元二次不等式的性质即可求解.【详解】（1）依题意，230mx mx ++>在实数集R 上恒成立．①当0m =时，30>，成立；②当0m ≠时，要使原不等式恒成立，则20Δ120m m m >⎧⎨=-<⎩，解得012m <<．综上所述，实数m 的取值范围是{}012m m ≤<．（2）不等式()()315f x m x >-+，等价于()21220mx m x +-->，即()()210x mx -+>．①当0m >时，解原不等式可得2x >或1x m<-；②当0m =时，不等式整理为20x ->，解得2x >；③当0m <时，方程()()210x mx -+=的两根为11x m=-，22x =，（i ）当102m -<<时，因为12m ->，解原不等式得12x m<<-；（ii ）当12m =-时，因为12m-=，原不等式的解集为∅；（iii ）当12m <-时，因为12m -<，解原不等式得12x m -<<，综上所述，当12m <-时，原不等式的解集为1|2x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当12m =-时，原不等式的解集为∅；当102m -<<时，原不等式的解集为1|2x x m ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭；当0m =时，原不等式的解集为{|2}x x >；当0m >时，原不等式的解集为1|2x x x m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或【专题归纳】一、单选题16．不等式23720x x -+>的解集是（）A ．1,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,(2,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ D ．1(,2),3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由因式分解结合一元二次不等式的解的特征即可求解.【详解】由23720x x -+>得()()2310x x -->，解得13x <或2x >，故不等式的解为1,(2,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，故选：C17．已知命题p ：“R x ∃∈，210x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（）.A ．(],2-∞B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．[]22-,【答案】D【分析】由命题p ⌝为真命题，则0∆≤，解不等式得出实数a 的取值范围即可．【详解】命题2:,10p x R x ax ∃∈++<为假命题，所以2:,10p x R x ax ⌝∀∈++≥为真命题，则240a ∆=-≤，解得[]2,2a ∈-故选：D18．已知(1,5]x ∈-时，01->+a xx恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞【答案】C【分析】解出不等式01->+a xx可得集合A ，由(]1,5A -⊆，计算可得范围.【详解】设01->+a xx的解集为A ，因为(1,5]x ∈-时，01->+a xx恒成立，所以(]1,5A -⊆，由01->+a xx得()()10x a x +->，即()()10x x a +-<，当1a >-，解得1x a -<<，即(]1,A a =-，可得5a >；当1a <-，解得1a x <<-，即(],1A a =-，不合题意；当1a =-，解集为∅，不合题意；综上所述：实数a 的取值范围是(5,)+∞.故选：C.19．不等式|1|||x x -≥的解集为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】两边平方后可求不等式的解.【详解】因为|1|||x x -≥，故()221x x -≥，故210x -+≥，故12x ≤，故选：D.20．已知一元二次方程()22120x a x a +++-=的一根比1大，另一根比1小，则实数a 的取值范围是（）A ．(3,1)-B ．(2,0)-C ．(1,0)-D ．(0,2)【答案】C【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解.【详解】记()2212y x a x a =+++-，则为开口向上的二次函数，要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要21|=1120x y a a =+++-<，解得10a -<<，故选：C21．下列不等式中，解集为R 的是（）A ．2210x x ++>B ．2210x x ++>C ．20x >D ．221x x x x +>-+【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,()2221101x x x x ++=+>⇒≠-，故A 不符合，对于B ，140∆=-<,且开口向上，所以对任意的x ∈R ,都有2210x x ++>,故B 符合,对于C,20x >得0x ≠，故C 不符合，对于D,由221x x x x +>-+得12x >，故D 不符合，故选：B22．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{23}xx -<<∣，且对于[]1,5x ∀∈，不等式220bx amx c ++>恒成立，则m 的取值范围为（）A ．(,43⎤-∞⎦B ．(),43∞-C ．[)13,+∞D ．(),13-∞【答案】B【分析】由不等式的解集为{23}xx -<<∣知可用a 表示,b c ，代入220bx amx c ++>中并用参数分离与基本不等式求得m 的取值范围.【详解】由不等式20ax bx c ++>的解集为{23}xx -<<∣，可知2,3-为方程20ax bx c ++=的两个根，故0<a 且()231,236b ca a-=-+==-⨯=-，即,6b a c a =-=-，则不等式220bx amx c ++>变为2120ax amx a -+->，由于[]0,1,5a x <∈，则上式可转化为12m x x<+在[]1,5恒成立，又1212243+≥⋅=x x x x，当且仅当23x =时等号成立，故43m <.故选：B.23．已知函数2y x bx c =-++只有一个零点，不等式20x bx c m -++->的解集为()00,2x x +，则m 的值为（）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-【答案】D【分析】根据函数有一个零点可得240b c ∆=+=，再将不等式的解集转化为方程20x bx c m --+=的两根，最后利用韦达定理和两根的大小关系即可求解.【详解】函数2y x bx c =-++只有一个零点，则240b c ∆=+=，不等式20x bx c m -++->的解集为()00,2x x +，即20x bx c m --+<的解集为()00,2x x +．设方程20x bx c m --+=的两根为12,x x ，则1212,x x b x x c m +=⋅=-+，且212x x -=，∴()()2221211244x x x x x x -=+-=，则24()4b c m --+=，整理得2444b c m +-=，∴1m =-．故选：D .24．若1t >，则关于x 的不等式()10t x x t ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集是（）A ．1|x x t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．1|x x t ⎧<⎨⎩或}x t >C ．{|x x t <或1x t ⎫>⎬⎭D ．1|x t x t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】A【分析】首先根据不等式的性质可得1t t <，进而将不等式转化为()10x t x t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，求解即可得出结果.【详解】因为()()111t t t t t+--=，1t >，所以10t t ->，所以1t t >.原不等式()10t x x t ⎛⎫--> ⎪⎝⎭可化为所以()10x t x t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得1x t t <<.所以，不等式()10t x x t ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集为1|x x t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.故选：A.25．若关于x 的不等式()()2110kx k x ---<有且只有一个整数解，则实数k 的取值范围是（）A ．{351k k -≤<∣或435}k <≤+B ．{01}kk <<∣C ．{231k k -≤<∣或443}k <≤+D ．3535122k k k ⎧⎫-+⎪⎪≤≤≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭∣且【答案】D【分析】分类讨论解不等式，然后由解集中只有一个整数分析得参数范围．【详解】0k =时，不等式为(1)0x --<，解为1x >，不合题意，若0k <，则不等式的解是1x k k<+或1x >，不合题意，因此只有0k >，不等式的解为11x k k<<+，因此123k k <+≤，解得353522k -+≤≤且1k ≠．故选：D ．26．若关于x 的不等式()2220x m x m -++<的解集中恰有2个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．[][]1,04,5-B ．()()1,04,5-C ．[)(]1,04,5-D ．(][)1,04,5-⋃【答案】C【分析】因式分解，分2,2,2m m m <=>三种情况讨论【详解】因为()2220x m x m -++<所以()()20x x m --<（1）当2m <时，不等式的解集为{}2x m x <<，,若不等式()2220x m x m -++<的解集中恰有2个整数，则满足10m -≤<；（2）当2m =时，易得解集为∅，所以不成立；（3）当>2m 时，不等式的解集为{}2x x m <<，若不等式()2220x m x m -++<的解集中恰有2个整数，则满足45m <≤.综上：m 的范围为[)(]1,04,5- 故选：C.二、填空题27．命题“[]1,3x ∃∈，220x x a --≥”为真命题的充要条件是________.【答案】3a ≤【分析】原命题等价于[]1,3x ∃∈使22a x x ≤-，求22x x -在[]1,3上的最大值即可.【详解】原命题可写为“[]1,3x ∃∈，22a x x ≤-”，当13x ≤≤时，22x x -随x 增大而增大，则3x =时，22x x -取最大值为3，所以3a ≤.故答案为：3a ≤28．已知()21f x x x =-+，当[1,2]x ∈-时，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的范围为__________．【答案】5,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】由题意可得231m x x <-+对任意的[1,2]x ∈-恒成立，根据二次函数的性质求出()23524g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，[1,2]x ∈-的最小值即可求解.【详解】由题意可得212x x x m -+>+对任意的[1,2]x ∈-恒成立，即231m x x <-+对任意的[1,2]x ∈-恒成立.令()231g x x x =-+，[1,2]x ∈-，()23524g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，[1,2]x ∈-，则()min 3524g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以54m <-,所以实数m 的范围为5,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.故答案为:5,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.29．已知不等式230ax bx +-<的解集为{|13}x x -<<，则不等式10bx a ++>的解集为______．【答案】(),1-∞【分析】根据三个二次之间的关系求得1,2a b ==-，代入一次不等式运算求解.【详解】由题意可得：1-，3是方程230ax bx +-=的两根，且0a >，则由韦达定理可得：13313b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以不等式10bx a ++>化为：220x -+>，解得1x <，故所求不等式的解集为(),1-∞.故答案为：(),1-∞．30．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则关于x 的不等式20bx cx a --<的解集为__________．【答案】61,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由题意知11,23--是方程20ax bx c ++=的两根，且0a >，根据韦达定理可得出a ，b ，c 的关系，代入解不等式即可．【详解】因为关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以11,23--是方程20ax bx c ++=的两根，且0a >，则112311()()23b a c a ⎧--=-⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得5616b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以关于x 的不等式20bx cx a --<，即251066ax ax a --<，化简得2560x x --<，解得615x -<<，则关于x 的不等式20bx cx a --<的解集为61,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：61,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．31．已知12,x x 是关于x 的方程2260x mx m -+-=的两个实根，且12111x x +=-，则m =__________.【答案】2【分析】根据根与系数的关系结合条件即得.【详解】因为12,x x 是关于x 的方程2260x mx m -+-=的两个实根，则()12212226Δ460x x mx x m m m ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=--≥⎪⎩，又12111x x +=-，所以12122121161x x m x x x x m +-+===-，解得3m =-或2m =，经判别式检验知2m =.故答案为：2.32．已知不等式﹣2x 2+bx +c ＞0的解集{x |﹣1＜x ＜3}，若对任意﹣1≤x ≤0，不等式2x 2+bx +c +t ≤4恒成立.则t 的取值范围是______.【答案】{}2t t ≤-【分析】根据不等式﹣2x 2+bx +c ＞0的解集{x |﹣1＜x ＜3}，求得b ，c ，再将对任意﹣1≤x ≤0，不等式2x 2+bx +c +t ≤4恒成立，转化为对任意﹣1≤x ≤0，不等式2242t x x ≤---恒成立求解.【详解】解：因为不等式﹣2x 2+bx +c ＞0的解集{x |﹣1＜x ＜3}，所以()132132b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得46b c =⎧⎨=⎩，因为对任意﹣1≤x ≤0，不等式2x 2+bx +c +t ≤4恒成立，所以为对任意﹣1≤x ≤0，不等式2242t x x ≤---恒成立，令2242y x x =---，()2212x =-+≥-，所以2t ≤-，故答案为：{}2t t ≤-三、解答题33．已知函数()2212y ax a x =-++．(1)当3a =时，求关于x 的不等式0y ≤的解集．(2)若0a >，求关于x 的不等式0y ≤的解集．【答案】(1)1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)答案见解析【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集；（2）不等式因式分解得到()()120ax x --≤，分10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12a =与1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭三种情况，求出不等式的解集.【详解】（1）3a =时，23720x x -+≤，解得：123x ≤≤，故解集为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）0a >时，()22120ax a x -++≤，变形为()()120ax x --≤，当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()120ax x --≤，解得12x a ≤≤，当12a =时，解得2x =，当1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()120ax x --≤，解得12x a ≤≤，综上：当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，解集为12,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当12a =时，解集为{}2，当1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，解集为1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.34．已知关于x 的不等式240ax ax --<．(1)若不等式的解集为{}12x x -<<，求a 的值；(2)若不等式的解集为R ，求a 的取值范围．【答案】(1)2(2)(]16,0-【分析】（1）分类讨论0a =，0a ≠，当0a =时，根据已知变形为4<0-，当0a ≠时，根据一元二次不等式解集与一元二次方程韦达定理列式即可解出答案；（2）分类讨论0a =，0a ≠，当0a =时，根据已知变形为4<0-，当0a ≠时，根据已知得出一元二次不等式在R 上恒成立，即可列式解出答案.【详解】（1）当0a =时，240ax ax --<为4<0-，不满足题意；当0a ≠时，若240ax ax --<的解集为{}12x x -<<，即240ax ax --=的两个解为1-与2，则412a--⨯=，解得2a =；（2）当0a =时，240ax ax --<为4<0-，在R 上恒成立，满足题意，当0a ≠时，240ax ax --<的解集为R ，即240ax ax --<在R 上恒成立，则()()20Δ440a a a <⎧⎪⎨=--⨯-<⎪⎩，解得160a -<<，综上：160a -<≤，故a 的取值范围(]16,0-.35．已知函数()22f x x ax a =-+．(1)若()0f x ≥的解集为R ，求实数a 的取值范围；(2)当3a ≠-时，解关于x 的不等式()()43f x a a x >-+．【答案】(1)[]0,1(2)答案见解析【分析】（1）由一元二次不等式在R 上恒成立可得0∆≤，由此可解得结果；（2）将所求不等式化为()()30x x a +->，分别在3a >-和3a <-的情况下解不等式即可.【详解】（1）由题意知：220x ax a -+≥在R 上恒成立，2440a a ∴∆=-≤，解得：01a ≤≤，即实数a 的取值范围为[]0,1.（2）由()()43f x a a x >-+得：()()()23330x a x a x x a +--=+->；当3a >-时，()()30x x a +->的解为3x <-或x a >；当3a <-时，()()30x x a +->的解为x a <或3x >-；综上所述：当3a >-时，不等式的解集为()(),3,a -∞-+∞ ；当3a <-时，不等式的解集为()(),3,a -∞-+∞ .36．若01a <<，解不等式()10a x x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭->．【答案】1x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据题意，1a a<，转化不等式，求解即可．【详解】解：∵01a <<，∴1a a <，原不等式可化为()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得1a x a<<．故原不等式的解集为1x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．37．已知二次函数()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集为()2,3-．(1)求函数()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()()2133a x ax f x ++>+（其中R a ∈）．【答案】(1)()26f x x x =--(2)见解析【分析】（1）由一元二次不等式的性质结合根与系数的关系得出函数()f x 的解析式；（2）分类讨论a 的值，结合一元二次不等式的解法求解即可.【详解】（1）由题意知，在()2f x x bx c =++中，()0f x <的解集为()2,3-20x bx c ∴++=的根为2,3-．23,23b c ∴-+=--⨯=，解得：1,6b c =-=-()26f x x x ∴=--（2）由题意得，Ra ∈将()26f x x x =--代入()()2133a x ax f x ++>+得()221363a x ax x x ++>--+()23130ax a x ∴+++>即()()130ax x ++>．当0a =时，不等式化为：30x +>，解集为：{3}xx >-∣，当a<0时，10a ->，不等式化为()130a x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即()130x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭的解集为13x x a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣当0a >时，10a -<，不等式化为()130a x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即()130x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，若13a -=-，即13a =，则不等式化为：2(3)0x +>，其解集为{}3x x ≠-∣若13a -<-，即103a <<，则不等式()130x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭的解集为1x x a ⎧<-⎨⎩∣或}3x >-，若13a ->-，即13a >，则不等式()130x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭的解集为{3x x <-∣或1x a ⎫>-⎬⎭，综上所述：当a<0时，不等式的解集为13x x a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣，当0a =时，不等式的解集为{3}xx >-∣；当103a <<时，不等式的解集为1{x x a<-∣或}3x >-；当13a =时，不等式的解集为{}3x x ≠-∣；当13a >时，不等式的解集为{3x x <-∣或1}x a >-．38．（1）解不等式：()2232240x m x m m ++++≤（2）已知集合3|01x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，对于任意的集合A 中的每一个元素，()2220x m x m -+++≥恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）2m ≤【分析】（1）先变形得到()()220x m x m +++≤，再通过讨论2m -和2m --的大小来解不等式；（2）先求出集合A 中的元素范围，再根据问题恒成立结合二次函数的性质列不等式求解.【详解】（1）()2232240x m x m m ++++≤ ()()220x m x m ∴+++≤，令()()220x m x m +++=得2x m =-或2x m=--当22m m -=--，即2m =时，4x =-，当22m m ->--，即2m <时，22m x m --≤≤-，当22m m -<--，即m>2时，22m x m -≤≤--，综上：当2m =时，不等式的解集为{}4-，当2m <时，不等式的解集为[]2,2m m ---，当m>2时，不等式的解集为[]2,2m m ---.（2）()()(]3103|0|1,3110x x x A x x x x ⎧⎫⎧--≤-⎪⎪⎧⎫=≤==⎨⎬⎨⎨⎬--≠⎩⎭⎪⎪⎩⎩⎭，因为对于任意的集合A 中的每一个元素，()2220x m x m -+++≥恒成立，则()()22420m m ∆=+-+≤或()()()()2Δ2420221322122092320m m m m m m m m ⎧=+-+>⎪++⎪⎪⎨⎪-+++≥⎪⎪-+++≥⎩或，解得2m ≤。

初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习1.1 集合的概念与表示(教师版)

第一章《集合与常用逻辑用语》1.1集合的概念【知识梳理】知识点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a ，b ，c …表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合，(简称为集)，常用大写拉丁字母A ，B ，C …表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．知识点二元素与集合的关系1．属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A .2．不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A .知识点三常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN *或N ＋ZQR知识点四列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．知识点五描述法一般地，设A 是一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P (x )的元素x 所组成的集合表示为{x ∈A |P (x )}，这种表示集合的方法称为描述法．【基础自测】1．已知集合{1,,}{0,}ba ab b a+=，，则下列结论正确的是（）A ．0a =B ．1a =C ．1a b ==-D ．11a b =-=，2．已知集合{}21,49,2021A a a a =++-，若4A -∈，则实数a 的值为（）．A ．5-B ．1C ．5或1-D ．5-或1【答案】B【详解】{}21,49,2021A a a a =++- ，且4A -∈，4=1a ∴-+或24=49a a -+-⑴当24=49a a -+-即=5-a 或=1a ，①当=5-a 时，1=4a +-，249=4a a +--，此时{}4,4,2021A =--，不满足集合元素的互异性，故舍去；②当=1a 时，1=2a +，249=4a a +--，此时{}2,4,2021A =-，符合题意；⑵当1=4a +-即=5-a 时，此时{}4,4,2021A =--，不满足集合元素的互异性，故舍去；综上所述：实数a 的值为1.故选：B3．已知集合{}1,2,3A =，则集合{},B x y x A y A =-∈∈∣中元素的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．54．下列说法中：①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________．【答案】②④【详解】因为集合N*表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．5．用列举法表示集合：{(,)|4,,}x y x y x y +=∈∈N N 为________．【答案】()()()()(){}0413223140，，，，，，，，，【详解】由题知：(){}|4x y x y x +=∈∈N N ，，，y =()()()()(){}0413223140，，，，，，，，，故答案为：()()()()(){}0413223140，，，，，，，，，.【例题详解】一、集合的概念例1(1)下面给出的四类对象中，构成集合的是（）A ．某班视力较好的同学B ．长寿的人C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数【答案】D【分析】根据集合的定义分析判断即可.【详解】对于A ，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于B ，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于C ，π的近似值没有明确近似到小数点后面几位，不是明确的定义，故不能构成集合；对于D ，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；故选：D.(2)（多选）下列各组中的M ，P 表示同一集合的是（）A ．M ={3，-1}，P ={(3，-1)}B ．M ={(3，1)}，P ={(1，3)}C ．M ={y |y =x -1}，P ={t |t =x -1}D ．集合M ={m |m +1≥5}，P ={y |y =x 2+2x +5，x ∈R }【答案】CD跟踪训练1(1)以下元素的全体能构成集合的是（）A ．中国古代四大发明B ．接近于1的所有正整数C ．未来世界的高科技产品D ．地球上的小河流【答案】A【分析】根据集合的知识可选出答案.【详解】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A 满足；接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B 不满足；未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C 不满足；地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D 不满足；故选：A(2)已知集合A ={x |x 2+px +q =0}={2}，则p =_______，q =_______．【答案】-44【分析】根据A ={x |x 2+px +q =0}={2}，由2是方程x 2+px +q =0的等根求解.【详解】因为A ={x |x 2+px +q =0}={2}，所以2420-40p q p q ++=⎧⎨=⎩，解得-44p q =⎧⎨=⎩，故答案为：-4，4二、元素与集合例2(1)下列元素与集合的关系中，正确的是（）A ．1-∈NB ．*0∉N C QD ．25∉R(2)如果集合2210A x ax x =--=只有一个元素，则a 的值是（）A ．0B ．0或1C ．1-D ．0或1-跟踪训练2(1)已知集合(){}|10M x x x =-=,那么（）A ．0M ∈B ．1M∉C ．1M-∈D ．0M∉【答案】A【分析】确定结合(){}|10M x x x =-=的元素，根据元素和集合的关系判断各选项，即得答案.【详解】由题意知集合(){}|10{0,1}M x x x =-==，故0M ∈，故A 正确，D 错误，1M ∈，故B 错误，1M -∉，故C 错误，故选：A(2)已知集合{}220A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是__________．三、集合中元素的特性例3(1)若{}22,a a a ∈-，则a 的值为（）A ．0B ．2C ．0或2D ．2-【答案】A【分析】分别令2a =和2a a a =-，根据集合中元素的互异性可确定结果.【详解】若2a =，则22a a -=，不符合集合元素的互异性；若2a a a =-，则0a =或2a =（舍），此时{}{}22,2,0a a -=，符合题意；综上所述：0a =.故选：A.(2)由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．5跟踪训练3(1)集合{3，x ，x 2–2x }中，x 应满足的条件是（）A ．x ≠–1B ．x ≠0C ．x ≠–1且x ≠0且x ≠3D ．x ≠–1或x ≠0或x ≠3【答案】C【分析】利用集合元素的互异性求解.【详解】集合{3，x ，x 2–2x }中，x 2–2x ≠3，且x 2–2x ≠x ，且x ≠3，解得x ≠3且x ≠–1且x ≠0，故选：C ．(2)若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合{},,M a b c =中的元素是ABC 的三边长，则a b c ≠≠，所以ABC 一定不是等腰三角形．故选：D ．四、集合的表示方法例4(1)用列举法表示集合*6,5A aN a Z a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-__________．(2)用适当的形式表示下列集合，并指明它是有限集还是无限集．①方程32320x x x -+=的解集；②不等式3523x x +>+的解集；③被5除余1的自然数的集合；④二次函数2=23y x x --的值组成的集合．【答案】①{}0,1,2，有限集；②{}|2x x >-，无限集；③{}|51,x x k k N =+∈，无限集；④2{|23}y y x x =--，无限集.【分析】①直接解出方程即可，用列举法；②解不等式，解集为无限，用描述法表示；(3)元素有无限个，所以用描述法；④代表元素为y ，解集为无限集用描述法表示.【详解】①解方程可得解集为{}0,1,2，有限集；②解不等式可得解集为{}|2x x >-，无限集；③被5除余1的自然数的集合为{}|51,x x k k N =+∈，无限集；④二次函数223y x x =--的值组成的集合为2{|23}y y x x =--，无限集；跟踪训练4用列举法表示下列集合：（1）方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集；（2）不大于10的非负奇数集；（3）6{|Z,N}4A x x x=∈∈-．【答案】（1）解集是{(2,1)}；（2）不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}；（3）{3,2,1,2}A =-.【分析】根据列举法的定义进行表示即可．跟踪训练5表示下列集合：(1)210y +=的解集；(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；(4)请用描述法表示二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【课堂巩固】1．下列各组对象中不能形成集合的是（）A ．高一数学课本中较难的题B ．高二（2）班全体学生家长C ．高三年级开设的所有课程D ．高一（12）班个子高于1.7m 的学生【答案】A【分析】根据集合的三要素确定性，互异性和无序性逐个判断即可；【详解】对A ，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合；对BCD ，各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合故选：A2．下列说法正确的是（）A ．由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1B ．∅与{}0是同一个集合C ．集合{}21x y x =-与集合{}21y y x =-是同一个集合D ．集合{}2560x x x ++=与集合{}2560x x ++=是同一个集合3．设a ,b ∈R ，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -=（）A ．1B ．-1C ．2D ．-24．下列关系中，正确的是（）A NB ．14∈ZC ．{}00∈D ．12∉Q5．若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形【答案】C【分析】根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，结合选项，即可求解.【详解】由题意，集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.6．（多选）下面说法中正确的是（）A ．集合N +中最小的数是1B ．若N a +-∉，则N a +∈C ．若N ,N a b ++∈∈，则a b +的最小值是2D ．244x x +=的解组成的集合是{2}x =【答案】AC【分析】根据正整数集的含义即可判断A ，B ，C 的正误，根据集合中列举法即可判断D 选项的正误.【详解】对于A ，因为N +是正整数集，而最小的正整数是1，故A 正确；对于B ，当0a =时，N a +-∉，且N a +∉，故B 错误；对于C ，若N a +∈，则a 的最小值是1，若N b +∈，则b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a b +取得最小值2，故C 正确；对于D ，由244x x +=得()220x -=，解得2x =，故其解集为{}2，而{2}x =不符合集合的表示方法，故D 错误.故选：AC ．7．用列举法表示集合6|Z,2M x x x ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭N ________________．【答案】{4,1,0,1}--【分析】根据题意可得21,2,3,6x -=，求出x 的值即可求解.【详解】由题意得21,2,3,6x -=，所以1,0,1,4x =--，所以{4,1,0,1}M =--.故答案为:{4,1,0,1}--.8．已知集合{}1,2,3,4,6A =，,x B x y A y ⎧⎫=∈⎨⎬⎩，则集合B 中的元素个数为______．1故答案为：139．已知,x y 均为非零实数，则代数式xy x y x y xy++的值所组成的集合的元素个数是______．10．给出下列说法：①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为(){},0,0x y x y >>；②20y ++=的解集为{}2,2-；③集合{}21,y y x x =-∈R 与{}1,y y x x =-∈R 是不相等的．其中正确的是______（填序号）．11．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素组成的集合A ；(2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ；(3)方程组281x y x y +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合B ；(4)15的正约数组成的集合N .12．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合（1）所有能被3整除的自然数（2）不等式²230x x +-<的解集（3）²230x x +-=的解集【答案】答案见解析．【分析】根据集合的表示法求解．【详解】（1）{|3,}x x n n N =∈，集合中元素个数无穷，不能用列举法表示；（2）2230x x +-<，即(1)(3)0x x -+<，31x -<<，集合为{|31}x x -<<，集合中元素有无数个，不能用列举法表示；（3）集合可表示为2{|230}x x x +-=，列举法表示为{3,1}-．【课时作业】1．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3}，当A ＝{2}时，集合B ＝（）A ．{1}B ．{1，2}C ．{2，5}D ．{1，5}【答案】D【分析】根据集合的相等的意义得到x 2＋px ＋q ＝x 即()210x p x q +-+=有且只有一个实数解2x =,由此求得p ,q 的值，进而求得集合B .【详解】由A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }＝{2}知，x 2＋px ＋q ＝x 即()210x p x q +-+=有且只有一个实数解2x =,∴22＋2p ＋q ＝2，且Δ＝(p －1)2－4q ＝0.计算得出p ＝－3，q ＝4.则(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3可化为(x －1)2－3(x －1)＋4＝x ＋3；即(x －1)2－4(x －1)＝0；则x －1＝0或x －1＝4，计算得出x ＝1或x ＝5.所以集合B ＝{1，5}．故选：D .2．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式||||||||x y z xyz x y z xyz +++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（）A ．M∈4B ．2M ∈C ．0M ∉D ．4M -∉3．以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数，也有负数；（2）P 中元素有奇数，也有偶数；（3）1P -∉；（4）若x y P ∈、，则x y P +∈．则下列选项哪个是正确的（）A ．集合P 中一定有0但没有2B ．集合P 中一定有0可能有2C ．集合P 中可能有0可能有2D ．集合P 中既没有0又没有2【答案】A【分析】由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数），由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，可得0P ∈.利用反证法可得若2P ∈，则P 中没有负奇数，若P 中负数为偶数，得出矛盾即可求解.【详解】解：由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数）．由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，则xy 、()-∈y x P ，而0()=+-∈xy y x P ．假设2P ∈，则2∈k P ．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P 中，故22-∈k P （k 是正整数），不妨令P 中负数为奇数21k -+（k 为正整数），由（4）得(22)(21)1-+-+=-∈k k P ，矛盾．故若2P ∈，则P 中没有负奇数．若P 中负数为偶数，设为2k -（k 为正整数），则由（4）及2P ∈，得2,4,6,--- 均在P 中，即22--∈m P （m 为非负整数），则P 中正奇数为21m +，由（4）得(22)(21)1--++=-∈m m P ，矛盾．综上，0P ∈，2∉P .故选:A ．4．已知集合{}2,21,21M a a a =--，若1M ∈，则M 中所有元素之和为（）A ．3B ．1C ．3-D ．1-【答案】C【解析】根据1M ∈，依次令{}2,21,21M a a a =--中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果.【详解】若1a =，则211a -=，矛盾；若211a -=，则1a =，矛盾，故2211a -=，解得1a =（舍）或1a =-，故{}1,3,1M =--，元素之和为3-，故选：C.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的值进行取舍.5．已知集合{}24A x x =≤，集合{}*1B x x N x A =∈-∈且，则B =（）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,46．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是A ．{x|﹣3＜x ＜11，x ∈Q}B ．{x|﹣3＜x ＜11}C ．{x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k ∈N}D ．{x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k ∈Z}【答案】D【详解】试题分析：先确定集合元素的范围是﹣3＜x ＜11，同时再确定偶数的形式，利用描述法表示集合．解：因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k ，k ∈z ，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x ＜11．即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是{x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k ∈Z}．故选D ．点评：本题的考点是利用描述法表示集合．比较基础．7．方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集不可表示为（）A ．3(,)1x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=-⎩⎪⎪⎩⎭B ．1(,)2x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭C ．{}1,2D ．(){}1,2【答案】C【分析】先解方程组，然后再利用集合的表示方法判断即可【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=-⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，方程组只有一组解，对于AB ，是用描述法表示方程组的解集，所以AB 正确，对于C ，{}1,2表示两个元素1，2，所以C 错误，对于D ，是用列举法表示方程组的解集，所以D 正确，故选：C8．定义集合运算:{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为（）A ．0B ．2C ．3D ．6【答案】D【详解】试题分析：根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B 中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B ，进而可得答案解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B 中的元素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D ．考点：元素的互异点评：解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍9．（多选）下列说法中，正确的是（）A ．若a ∈Z ，则a -∈ZB ．R 中最小的元素是0CD ．一个集合中不可以有两个相同的元素10．（多选）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A ∈C ．3A∈D ．4A ∈11．含有三个实数的集合可表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可以示为{}2,,0a a b +，则20132014a b +的值为____.【答案】1-【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.【详解】解：由题意，若2a a =，则0a =或1，检验可知不满足集合中元素的互异性，所以a a b =+，则0b =，所以21a =，则1a =-，故201320141a b +=-.故答案为：1-.12．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________．【答案】3【分析】根据集合与元素的关系，分类求得m 的值，然后利用集合元素的互异性检验取舍.【详解】由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证，当m ＝0或m ＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m ＝3时，满足题意，故m ＝3.答案：313．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．【答案】{(x ，y )|0≤x ≤2且0≤y ≤1}【详解】由题意得，图中的阴影部分构成的集合是点集，则{(,)|02x y x ≤≤且01}y ≤≤.故答案为{(,)|02x y x ≤≤且01}y ≤≤.点睛：本题考查集合的描述法的概念及其应用，解答本题的关键是图中的阴影部分的点的坐标满足的条件为集合的元素的公共属性.14．用列举法表示集合{}2|,12,y y x x y Z =-<<∈=__________【答案】{0,1,2,3}【分析】由集合的描述法可知集合所含元素.【详解】因为2,12y x x =-<<，所以04y ≤<，又y Z ∈，所以0,1,2,3y =故答案为{0,1,2,3}【点睛】本题主要考查了集合的描述法，属于中档题.b c abc 16．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x+y ∈A}，则B 中所含元素的个数为____．【答案】1【分析】首先根据题中的条件，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x+y ∈A}，结合A ＝{1，2}，写出集合B ，并且找到集合B 的元素个数.【详解】因为A ＝{1，2}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x+y ∈A}，所以{}(1,1)B =，所以集合B 中只有一个元素，故答案是1.【点睛】该题考查的是有关集合中元素的个数问题，解题的关键是根据题中所给的集合中元素的特征，将集合中的元素列出来，从而得到结果.17．已知方程ax 2－3x －4＝0的解组成的集合为A .（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．18．用适当的方法表示下列集合：（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合；（2|2|0y -=的解集.。

初升高数学暑假衔接(人教版)第03讲集合的基本运算(教师版)

第03讲集合的基本运算1．理解并集、交集、补集、全集的概念与表示；2．了解并集、交集、补集的一些简单性质，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定集合的补集；3．掌握并集、交集、补集的基本运算与混合运算；4．通过Venn图来描述集合的相关运算，进一步体会数形结合思想的作用。

一、并集的概念与运算1、文字语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}3、图形语言：阴影部分为A∪B4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B.二、交集的概念与运算1、文字语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}3、图形语言：阴影部分为A∩B4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A三、全集与补集的概念与运算1、全集（1）文字语言：一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.（2）符号语言：若,,,A U B U C U ⊆⊆⊆ ，则U 为全集.（3）图形语言：2、补集（1）文字语言：若集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ð.（2）符号语言：{}U A x x U x A =∈∉且ð（3）符号语言：（4）性质：A ∪∁U A ＝U ；A ∩∁U A ＝∅；∁U (∁U A )＝A .四、德摩根律与容斥原理1、德摩根定律：设集合U 为全集，A 、B 为U 的子集，则有（1）()()()U U U A B A B = 痧（2）()()()U U U A B A B = 痧2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn 图表示两集合的交、并、补。

初升高数学暑假衔接(人教版)第27讲正切函数的性质与图象(教师版)

第27讲正切函数的性质与图象1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质；2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题。

一、正切函数的图象与性质1、定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ，2、值域：R3、周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π4、奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-．5、单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增二、正切函数型tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的性质1、定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k z πωϕπ+≠+∈解得x ．2、值域：(),-∞+∞3、单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围．4、周期：T πω=三、求正切函数的定义域的方法及求值域的注意点1、求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数tan y x =有意义，即,2x k k z ππ≠+∈。

而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解，解形如tan x a >的不等式的步骤如下：（1）作图象：作在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的正切函数图象；（2）求界点：求在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上使tan x a =成立的值；（3）求范围：求,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上使tan x a >成立的x 范围；（4）定义域：根据正切函数的周期性，写出定义域。

四、求函数tan()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ都是常数）的单调区间的方法（1）若0ω>，由于tan y x =在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令,22k x k k Z πππωϕπ-<+<+∈，解得x 的范围即可；（2）若0ω<，可利用诱导公式先把tan()y A x ωϕ=+转化为tan[()]tan()y A x A x ωϕωϕ=--+=--+，即先把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可。

2024年暑期初升高衔接数学-上课讲义资料

目录1.1数与式的运算1.1.1绝对值1.1.2乘法公式1.1.3二次根式1.1.４分式1.2分解因式2.1一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2．2二次函数2.2.1二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表示方式2.2.3二次函数的简单应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组解法2.3.2一元二次不等式解法3．1相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理3.1.2相似形3.2三角形3.2.1三角形的“四心”3.2.2几种特殊的三角形3．3圆3.3.1直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2圆幂定理及其应用1.1数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4，解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．练习1、如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________．2、下列叙述正确的是（）（A ）若a b =，则a b =（B ）若a b >，则a b>（C ）若a b <，则a b <（D ）若a b =，则a b=±3．求值：|x －5|－|2x －13|＞5．1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（）；（2）(4m +22)164(m m =++)；(3)2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．2．选择题：（1）若k mx x ++212是一个完全平方式，则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）（A ）总是正数（B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b 等是无理式，212x ++，22x y ++例1将下列式子化为最简二次根式：（1（20)a ≥；（30)x <．解：（1=；（20)a ==≥；（3220)x x x ==-<．例2(3-．解法一：(3÷＝33393+-＝1)6+＝12+．例3试比较下列各组数的大小：（1；（2和.解：（11--==，11101==，+>，-（2）∵1==又4＞22，∴6＋4＞6＋22，＜.例4化简：20172018⋅．解：20042005+⋅-＝20042004+⋅⋅＝2004⎡⎤+⋅-⋅⎣⎦＝20041⋅-．例5化简：（1；（21)x <<．解：（1）原式===2=2=-．（2）原式1x x =-，∵01x <<，∴11x x>>，所以，原式＝1x x-．例6已知x y ==，求22353x xy y -+的值．解：∵2210x y +=+=，1xy ==，∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练习1．填空：（1＝_____；（2(x =-，则x 的取值范围是_____；（3）-_____；（4）若2x ==________．2．选择题：等式22-=-x x x x成立的条件是（）（A ）2x ≠（B ）0x >（C ）2x >（D ）02x <<3．若1b a =+，求a b +的值．4．比较大小：2－35－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４分式1．分式的意义形如AB的式子，若B中含有字母，且0B≠，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：A A MB B M⨯=⨯；A A MB B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像abc d+，2m n pmn p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1若54(2)2x A Bx x x x+=+++，求常数,A B的值．解：∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A xx x x x x x x x++++++===++++，∴5, 24, A BA+=⎧⎨=⎩解得2,3A B==．例2（1）试证：111(1)1n n n n=-++（其中n是正整数）；（2）计算：111 1223910+++⨯⨯⨯；（3）证明：对任意大于1的正整数n，有1111 2334(1)2n n+++<⨯⨯+．（1）证明：∵11(1)11(1)(1)n nn n n n n n+--==+++，∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯11111(1()()223910=-+-++-1110=-＝910．（3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+＝111111(()()23341n n -+-++-+＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+＜12．例3设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得2e 2－5e ＋2＝0，∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12＜1，舍去；或e ＝2．∴e ＝2．练习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+(112n n -+)；2．选择题：若322=+-y x y x ，则yx＝（）（A ）１（B ）45（C ）54（D ）563．正数,x y 满足222x y xy -=，求x yx y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1.1A 组1．解不等式：(1)13x ->；(2)327x x ++-<；(3)116x x -++>．2．已知1x y +=，求333x y xy ++的值．3．填空：(1)1819(2(2-＝________；(2)2，则a 的取值范围是________；________．B 组1．选择题：（1=，则（）（A ）a b<（B ）a b>（C ）0a b <<（D ）0b a <<（2）计算等于（）（A （B （C ）（D ）2．填空：（1）12a =，13b =，则2223352a ab a ab b -=+-________；（2）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y++=+____；3．已知：11,23x y ==，-的值．4．解方程22112()3()10x x x x+-+-=．5．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯．1.2分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++；（4）1xy x y -+-．解：（1）如图1.2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.2－1中的两个x 用1来表示（如图1.2－2所示）．（2）由图1.2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1.2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --－1－2x x 图1.2－1－1－211图1.2－2－2611图1.2－3－ay －byx x 图1.2－4－11x y 图1.2－5（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1)(y+1)（如图1.2－5所示）．2．提取公因式法与分组分解法例2分解因式：（1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --．例3把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-．解：（1）令221x x +-=0，则解得11x =-+21x =--，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+---⎣⎦⎣⎦=(11x x +++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y +++．练习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为（）（A ）25x y -（B ）3x y-（C ）3x y+（D ）5x y-2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8；（2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1；（4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1.21．分解因式：（1）31a +；（2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++；（4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+；（2）23x --；（3）2234x xy y +-；（4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3．ABC ∆三边a ,b ,c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状．4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．2.1一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a-+=．①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1,2＝2b a-±；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2(2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1,2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0；（3）x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x =，22a x -=．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1；②当a ≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，所以①当Δ＞0，即4(1－a )＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x =+21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1；③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a--=，则有122222b b b bx x a a a a----+=+==-；22122244(4)42244b b b b ac ac cx x a a a a a-+----====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝ba-，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例2已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x 1，则2x 1＝－65，∴135x =-．由（－35）＋2＝－5k，得k ＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．例3已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝－1．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x，y，则x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x (4－x )＝－12，即x 2－4x －12＝0，∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0的两个根．解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6．所以，这两个数是－2和6．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例5若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求|x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵|x 1－x 2|2＝x 12+x 22－2x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494，∴|x 1－x 2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)(x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则12b x a -+=，22b x a--=，∴|x 1－x 2|=||||a a ==．于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则|x 1－x 2|＝||a 中Δ＝b 2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0，①且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0．②由①得a ＜4，由②得a ＜174．∴a 的取值范围是a ＜4．练习1．选择题：（1）方程033222=+-k kx x 的根的情况是（）（A ）有一个实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根（D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋(2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）（A ）m ＜14（B ）m ＞－14（C ）m ＜14，且m ≠0（D ）m ＞－14，且m ≠02．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝．（2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是．（3）以－3和1为根的一元二次方程是．3．已知|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)(x 2－3)的值．习题2.1A 组1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A ）－3（B ）3（C ）－2（D ）2（2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-；④方程3x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（）（A ）0（B ）1（C ）－1（D ）0，或－12．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则|x 1－x 2|＝．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．B组1．选择题:（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A（B ）3（C ）6（D ）9（2）若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则1221x x x x 的值为（）（A ）6（B ）4（C ）3（D ）32（3）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（）（A ）α＋β≥12（B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1（D ）α＋β≤1（4）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是（）（A ）没有实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根（D ）有两个异号实数根（5）若关于x 的方程x 2＋(k 2－1)x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（）（A ）1，或－1（B ）1（C ）－1（D ）02．填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是．3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求：（1）|x 1－x 2|和122x x +；（2）x 13＋x 23．5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．6．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（2）求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值；（3）若k ＝－2，12x x λ=，试求λ的值．7．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．2．2二次函数2.2.1二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质问题1函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．先列表：x …－3－2－10123…x 2…9410149…2x 2…18822818从表中不难看出，要得到2x 2的值，只要把相应的x 2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．图2.2-2xyO －1y ＝2x 2y ＝2(x ＋1)2y ＝2(x ＋1)2＋1y ＝x 2y ＝2x 2图2.2-1xO y类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a =ab ac a b x a 442(22-++所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2ba-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．上述二次函数的性质可以分别通过图2.2－3和图2.2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．例1求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x ＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点B 3(,0)3和C 3(,0)3+-，与y 轴的交点为D (0，1)，过这五点画出图象（如图2.2－5所示）．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +2b )224b c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y xc =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图图2.2-3图2.2-4xO yx ＝－1A (－1,4)D (0,1)BC图2.2－5像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得b ＝－8，c ＝14．解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像．由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例3已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论．解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．练习1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（A ）y ＝2x 2（B ）y ＝2x 2－4x ＋2（C ）y ＝2x 2－1（D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2（）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝，n＝．（2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝时，函数图象经过原点．（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x ＝时，函数取最值y＝；当x时，y 随着x 的增大而减小．①图2.2－6②③3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6x－x2．4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．2.2.2二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x 1＋x 2＝b a -，x 1x 2＝ca，即b a ＝－(x 1＋x 2)，ca＝x 1x 2．所以，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (2b cx x a a++)=a [x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2]＝a (x －x 1)(x －x 2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(32)1a -=-+，解得a ＝－2．∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即y ＝－2x 2＋8x －7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3)(x －1)(a ≠0)，展开，得y ＝ax 2＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为2212444a a a a--=-，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝12±．所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+．分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12．所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2．说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．例3已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练习1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）无法确（2）函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的顶点坐标是（）（A ）(1，2)（B ）(1，－2)（C ）(－1，2)（D ）(－1，－2)2．填空：（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a(a ≠0)．（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为．3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．2.2.3二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1．平移变换问题1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．例1求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．解：二次函数y＝2x2－4x－3的解析式可变为y＝2(x－1)2－1，其顶点坐标为(1，－1)．（1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y＝2(x－3)2－2．（2）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为。

初升高数学暑假衔接(人教版)第09讲函数的概念及其表示(教师版)

第9讲函数的概念及其表示1．理解函数的概念，了解构成函数的三要素；2．能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域；3．掌握函数的三种表示法—解析法、图象法、列表法；4．了解两个函数相等的意义，会判断给定两个函数是否为同一个函数；5．会求函数的解析式，并正确画出函数的图象。

一、函数的定义及概念概念1、函数的定义：设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x 值，必须有且仅有唯一的y 值与之对应。

（1）特殊性：定义的集合A ，B 必须是两个非空数集；（2）任意性：A 中任意一个数都要考虑到；（3）唯一性：每一个自变量都在B 中有唯一的值与之对应；（4）方向性：A →B2、函数的有关概念（1）函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3、函数的三要素的理解（1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x 的取值范围；（2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，f 可以看作是对“x ”施加的某种运算或法则。

例如：2()f x x =，f 就是对自变量x 求平方。

（3）值域：对应关系f 对自变量x 在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，()y f x =表示“y 是x 的函数”，指的是y 为x 在对应关系f 下的对应值。

4、同一个函数：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数为同一个函数。

初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习专题强化：集合和逻辑用语综合题型归纳(教师版)

专题强化：集合和逻辑用语综合题型归纳【知识网络】【考点突破】一、集合的综合运算1．已知集合{}1,,A a b =，{}2,,B a a ab =，若A B =，则20232022a b +=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【分析】根据A B =，可得两集合元素全部相等，分别求21a ab b ⎧=⎨=⎩和21a bab ⎧=⎨=⎩，再根据集合元素的互异性可确定a ，b 的值，进而得出答案.【详解】由题意A B =可知，两集合元素全部相等，得到21a ab b ⎧=⎨=⎩或21a bab ⎧=⎨=⎩，又根据集合互异性，可知1a ≠，解得1a =(舍)，10a b =-⎧⎨=⎩和11a b =⎧⎨=⎩(舍)，所以1a =-，0b =，则2023202220232022(1)01a b +=-+=-，故选：A二、充分条件、必要条件与充要条件（2）由p 是q 的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.【详解】（1）因为命题p ⌝是真命题，则命题p 是假命题，即关于x 的方程22220x ax a a -++-=无实数根，因此2244(2)0a a a ∆=-+-<，解得2a >，所以实数a 的取值范围是2a >.（2）由（1）知，命题p 是真命题，即:2p a ≤，因为命题p 是命题q 的必要不充分条件，则{|13}a m a m -≤≤+{}|2a a ≤，因此32m +≤，解得1m ≤-，所以实数m 的取值范围是1m ≤-.6．设集合{13},{11,0}A x B xm x m m =-<<=-<<+>∣，命题:p x A ∈，命题:q x B ∈(1)若p 是q 的充要条件，求正实数m 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求正实数m 的取值范围.【答案】(1){}2；(2)()2,+∞.【分析】（1）根据p 是q 的充要条件转化为A B =求解即可；（2）根据p 是q 的充分不必要条件，得A 真包含于B ，列出不等式求解即可.【详解】（1）由条件{13}A x =-<<，p 是q 的充要条件，得A B =，即1113m m -=-⎧⎨+=⎩，解得2m =，所以实数m 的取值范围是{}2.（2）由p 是q 的充分不必要条件，得A 真包含于B ，所以01113m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩，或01113m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩，解得m>2，综上实数a 的取值范围是()2,+∞.三、全称量词命题与存在量词命题当B ≠∅时，则12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤，综上m 的取值范围为(],3-∞；（2）解：因为“命题q ：x A ∃∈，x B ∈”是假命题，所以A B ⋂=∅，当B =∅时，121m m +>-，解得2m <，当B ≠∅时，则12115m m m +≤-⎧⎨+>⎩或121212m m m +≤-⎧⎨-<-⎩，解得4m >，综上m 的取值范围为()(),24,-∞⋃+∞.4．已知a ∈R ，命题[]:1,2p x ∀∈，2a x ≤；命题:R q x ∃∈，使得()2220x ax a +--=.(1)若p 是真命题，求a 的最大值；(2)若p ，q 一个为真命题，一个为假命题，求a 的取值范围；【答案】(1)1；(2)()()2,11,-⋃+∞.【分析】（1）先求出2x 的范围，利用全称命题为真命题即可求得；（2）先求出命题q 为真时a 的取值范围，进而分类讨论：i .p 真q 假时和ii.p 假q 真时分别求出对应a 的取值范围即可求解.【详解】（1）记[]2,1,2y x x =∈，由2y x =在[]1,2单调递增，所以2min 11y ==.要使命题[]:1,2p x ∀∈，2a x ≤为真命题，只需1a ≤，即a 的最大值为1.（2）命题:R q x ∃∈，使得()2220x ax a +--=为真命题，则()24420a a ∆=+-≥，解得：1a ≥或2a ≤-.i .p 真q 假时，只需12<<1a a ≤-⎧⎨⎩，所以21a -<<；ii.p 假q 真时，只需>11a a ≥⎧⎨⎩或>12a a ≤-⎧⎨⎩，所以1a >；所以21a -<<或1a >.综上所述：a 的取值范围为()()2,11,-⋃+∞.。

初升高数学暑假衔接(人教版)第13讲指数及其运算(教师版)

第13讲指数及其运算1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义并掌握幂的运算；2．能准确把握根式的运算性质及分数指数幂与根式的互化，熟练应用幂的运算性质进行幂的运算。

一、n 次方根的定义1、定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N2、个数：（1）当n 是奇数时，0,00,0>>⎧⎨<<⎩a x a x ，x（2）当n 是偶数，①0>a 时，x的有两个值，且互为相反数，记为；②0<a 时，x 不存在二、根式1n 叫做根指数，a 叫做被开方数．2、性质：（1n >，且n *∈N）n=a；,,,.⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数na n a n 三、分数指数幂的意义1、分数指数幂的意义（1）正分数指数幂：规定：mn a=()0,,,1a m n n *>∈>N （2）负分数指数幂：规定：1mn m naa-==()0,,,1a m n n *>∈>N （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2、分数指数幂的注意事项：（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂m na 不可理解为mn个a 相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．（2化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn进行约分．（3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如()235-=有意义，但()345-=就没有意义．四、无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．五、实数指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()=sra rs a (0,,)a r s >∈R ．③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．六、条件求值问题的解题思路1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。

初升高数学暑假衔接(人教版)第14讲指数函数及其性质(教师版)

第14讲指数函数及其性质1．理解指数函数的概念，掌握指数函数的定义域、值域的求法；2．理解指数函数的单调性，能利用指数函数的单调性比较幂的大小；3．掌握指数函数图象通过的特殊的点，会作指数函数的图象，掌握指数函数的性质。

一、指数函数的概念1、定义：一般地，函数x y a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是指数函数的底数．2、注意事项：指数函数x y a =的底数规定大于0且不等于1的理由：（1）如果0a =，当0,0,0,.x xx a x a ⎧>⎨≤⎩当时恒等于当时无意义（2）如果0a <，如(4)x y =-，当11,42x =时，在实数范围内函数值不存在．（3）如果1,11x a y ===，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定0a >且1a ≠．二、指数函数的图象与性质1>a 10<<a 图象性质定义域R 值域),0(+∞过定点)1,0(单调性在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性非奇非偶函数三、比较指数幂的大小比较幂的大小的常用方法：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．四、简单指数不等式的解法1、形如()()>f x g x a a 的不等式，可借助=x y a 的单调性求解；2、形如()>f x ab 的不等式，可将b 化为a 为底数的指数幂的形式，再借助=x y a 的单调性求解；3、形如>xxa b 的不等式，可借助两函数=xy a ，=xy b 的图象求解。

考点一：指数函数的概念辨析例1．（多选）下列函数中，是指数函数的是（）A ．()3xy =-B ．()12112x y m m m ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭C ．()0.19xy =D ．23xy =⋅【答案】BC【解析】由指数函数形式为x y a =且0,1a a >≠，显然A 、D 不符合，C 符合；对于B ，210m ->且211m -≠，故符合.故选：BC【变式训练】（多选）下列函数是指数函数的是（）A ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．231x y =⋅-D ．(0x y m m =>且1)m ≠【答案】AD【解析】由指数函数的定义知，A 、D 选项是指数函数.选项B ：111333x xy -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，不是指数函数.选项C ：231x y =⋅-不是指数函数.故选：AD.考点二：利用指数函数的概念求参例2．若函数()()1xf x a =-为指数函数，则a 的取值范围是________【答案】12a <<或2a >，【解析】()()1xf x a =-为指数函数，则011a <-<或11a ->，解得：12a <<或2a >，故答案为：12a <<或2a >.【变式训练】若函数()()()2224xf x a a a =+-+为指数函数，则（）A ．1a =或3a =-B ．0a >且1a ≠C ．1a =D ．3a =-【答案】C【解析】因为函数()()()2224xf x a a a =+-+为指数函数，则222140a a a ⎧+-=⎨+>⎩，且41a +≠，解得1a =，故选：C考点三：指数函数过定点问题例3．函数()()2630,1x f x aa a -=+>≠恒过定点（）A ．()0,1B ．()3,4C ．()3,3D ．()3,1【答案】B【解析】由题设，当260x -=，即3x =时，0(3)34f a =+=，所以函数过定点()3,4.故选：B【变式训练】函数x m y a n +=+(0a >且)1a ≠恒过定点(1,2)-，m n +=__．【答案】4-【解析】令0x m +=可得x m =-，此时有1y n =+.由题意可得1m -=，12n +=-，所以1m =-，3n =-，所以4m n +=-．故答案为：4-．考点四：指数函数的图象辨析例4．若()x bf x a -=的图像如图，（a ，b 是常数），则（）A ．1a >，0b ，0b >C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <【答案】D【解析】由图可知函数在定义域上单调递减，所以01a <<，则11a>，所以1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递增，又()01bf a-=<，即0111b a a ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0b <.故选：D 【变式训练】函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54313，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（）A ．54313，12B 354，13，12C ．12，13354，D ．13，12，543【答案】C【解析】由题图，直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，5113423>>>.故选：C ．考点五：利用单调性比较指数幂的大小例5．已知103307321123..,.,b c -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将a ，b ，c 按照从小到大的顺序排列为（）A ．c ，b ，aB ．b ，a ，cC ．c ，a ，bD ．b ，c ，a【答案】C【解析】因函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则()0303322101233..,a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==<=⇒∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()132210133,c c ⎛⎫⎛⎫=<=⇒∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又10.33>，则10332233.⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c >.因函数 1.1x y =在R 上单调递增，则07111..b =>.所以b ＞a ＞c ．故选：C ．【变式训练】（多选）下列结论正确的是（）A ． 2.531.7 1.7【答案】ACD【解析】对于A ， 1.7x y =在定义域上是增函数， 2.532.53, 1.7 1.7<∴< ，故A 正确；对于B ，0.8x y =在定义域上是减函数， 2.532.53,0.80.8∴ ，故B 错误；对于C ，2y x -=在()0,+∞上是减函数，220.80.9,0.90.8--<∴< ，故C 正确；对于D ，0.33.10.3 3.11.710.81, 1.70.8>∴ ，故D 正确；故选：ACD.考点六：解指数型不等式例6．不等式2821()33x x--＞的解集是（）A ．()2,4-B ．(),2-∞-C ．()4,+∞D ．()(),24,-∞-+∞ 【答案】A【解析】∵228211()333xx x --⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，∴x 2﹣8＜2x ，解得﹣2＜x ＜4．故选：A ．【变式训练】解关于x 的不等式143237x x ≤-⋅+≤．【答案】(][],01,2-∞ 【解析】由143237xx≤-⋅+≤得4323714323x x x x⎧-⋅+≤⎨≤-⋅+⎩，即()()()()2421021220x x x x⎧-+≤⎪⎨--≥⎪⎩，解得224x ≤≤或21x ≤，可得12x ≤≤或0x ≤.所以不等式的解集为(][],01,2-∞ .考点七：指数型函数的单调性例7．函数1(2y =）A ．(],1-∞-B ．[2，＋∞）C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】令220x x -++≥，则12x -≤≤，故函数的定义域为[]1,2-，设22192()24t x x x =-++=--+，12x -≤≤，则当11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22t x x =-++为增函数，此时90,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22t x x =-++为减函数，此时90,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.而w =90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，故w =11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，此时30,2w ⎡⎤∈⎢⎣⎦.而12wy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故12y ⎛= ⎪⎝⎭在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.故选：C.【变式训练】函数2215x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为______.【答案】[1,)+∞【解析】令()22u x x x =-+，根据二次函数的性质，可得函数()u x 在(,1]-∞单调递增，在[1,)+∞单调递递减，又由15uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据指数函数的性质，可得函数15uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，根据复数函数的单调性的判定方法，可得函数2215x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为[1,)+∞.故答案为：[1,)+∞.考点八：指数型函数的奇偶性例8．函数()2121x x f x -=+的奇偶性是（）A ．是奇函数，不是偶函数B ．是偶函数，不是奇函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．非奇非偶函数【答案】A【解析】()f x 的定义域为R ，()()11211221211212xxx xxxf x f x ------====-+++，()f x ∴是奇函数，不是偶函数.故选：A.【变式训练】已知3()(e e )x x f x x k -=+为偶函数，则实数k =（）A ．1B ．-1C ．0D ．e【答案】B【解析】因为3()(e e )x x f x x k -=+为偶函数，3y x =为奇函数，故()e e x xg x k -=+为奇函数，()010g k ∴=+=，1k ∴=-.经检验成立，故选：B.考点九：指数型函数的值域例9．函数()()11202xf x x ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭的值域为______.【答案】[]3,0-【解析】∵[]2,0x ∈-，且12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内单调递减，且20114,122-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则[]11,42x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得[]14,12x⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，∴[]113,02x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故函数()()11202xf x x ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭的值域为[]3,0-.故答案为：[]3,0-.【变式训练】函数22221x x y =+⋅-在区间［-1，1］上的最大值为___________.【解析】令[],12,1xx t ∈-=，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.所以22221x x y =+⋅-即为21,22,21y t t t ⎡⎤∈+-⎢⎣=⎥⎦.因为对称轴为1t =-，所以221y t t =+-在.1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当2t =时，222217y =+⨯-=为最大值.故答案为：71．如果函数()23xf x a =⋅和()()32x bg x -+=都是指数函数，则b a =（）A ．18B ．1C ．9D ．8【答案】D【解析】根据题意可得1212a a =⇒=，(3)03b b -+=⇒=-，则3182ba -⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：D2．函数()33xf x =-的图像不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】函数3x y =经过第一、二象限，向下平移3个单位后得到函数()33xf x =-，则经过一、三、四象限，不经过第二象限.故选：B3．函数()x mf x a n -=+（其中0a >，1a ≠，m 、n 为常数）的图像恒过定点()3,2，则m n +=（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】函数()x mf x a n -=+（其中0a >，1a ≠，m 、n 为常数）的图像恒过定点()3,2，即32man -=+恒成立，则有3012m n -=⎧⎨+=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩，所以4m n +=.故选：B.4．函数23212x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是（）A ．(],1-∞B ．[]1,2C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为12uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，由复合函数单调性可知，只需求出()232f x x x =-+的单调递减区间，其中()23124f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故23212x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D5．如图所示：曲线1C ，2C ，3C 和4C 分别是指数函数x y a =，x y b =,x y c =和x y d =的图象,则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（）A ．1a b c d <<<，即c d >，11b a <，即b a <，所以1b a d c <<<<，故选：D6．已知有三个数22a -=，0.94b =，0.258c =，则它们的大小关系是（）A ．a b c <的解集为（）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞D ．(,2)(1,)-∞⋃-+∞【答案】C 【解析】因为222222422220xxxxx x x x -->⇔>⇔->⇔-->，所以(2)(1)0x x -+>，解得2x >或1x <-，所以不等式的解集为：(,1)(2,)-∞-⋃+∞.故选：C.8．（多选）已知函数()22x x f x -=-，则（）A ．()f x 的值域为RB ．()f x 是R 上的增函数C ．()f x 是R 上的奇函数D ．()f x 有最大值【答案】ABC【解析】由题意得：函数()22x x f x -=-的定义域为R对于选项A ：函数()f x 是一条连续的曲线，当x 趋向于负无穷时，2x -趋近于正无穷，2x 趋近于零，所以22x x --趋近于负无穷，当x 趋向于正无穷时，2x -趋近于零，2x 趋近于正无穷，所以22x x --趋近于正无穷，所以()f x 的值域为R ，故A 正确；对于选项B ：因为函数2x -在R 上单调递减，函数2x 在R 上单调递增，所以()f x 是R 上的增函数，故B 正确；对于选项C ：()f x 的定义域关于原点对称，又()22()x x f x f x --=-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，故C 正确；对于选项D ：()f x 是R 上的增函数，无最值，所以D 错误.故选：ABC9．（多选）函数()1xxf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中0a >且1a ≠，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 是奇函数B ．方程()0f x =在R 上有解C ．函数()f x 的图象过定点()0,1D ．当1a >时，函数()f x 在其定义域上为单调递增函数【答案】ABD【解析】()1xxf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭定义域为R ，且()()11xxx x f x f x a a a a --⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎝⎝-=-⎭⎭，故()f x 为定义域，A 正确；()001101f a a ⎛⎫=-⎪=⎭-⎝= ，故方程()0f x =在R 上有解，B 正确，C 错误；当1a >时，函数xy a =在R 上单调递增，11xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()1xxf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域上单调递增，D 正确.故选：ABD10．函数y =__________．（结果写成集合或区间）【答案】(,1]-∞【解析】由题设550x -≥，则55x ≤，即1x ≤，所以定义域为(,1]-∞.故答案为：(,1]-∞11．已知函数()42x x m f x +=，若()f x 为奇函数，则()2f =______.【答案】154【解析】法一：因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，即4422x x x xm m --++=-，化简得()()1220x x m -+⋅+=，解得1m =-，故()412x x f x -=，所以()224115224f -==；法二：因为()f x 为定义在R 上的奇函数，故()004002m f +==，解得1m =-，经检验满足题意，故()412x x f x -=，()224115224f -==.故答案为：15412．函数211()()2x f x x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭R 的值域为_________.【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】因为211()()2x f x x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭R ，由复合函数的单调性可得，()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以max 1()(0)2f x f ==，又21102x +⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，所以函数()f x 的值域为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.13．若函数()14212x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，，，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为__________.【答案】[)4,8【解析】要使函数()f x 为R 上的增函数，应有114024122a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫≥-⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<.故答案为：[)4,8.14．已知函数()824x xx a f x a ⋅+=⋅（a ∈R 且0a ≠）是偶函数．（1）求实数a 的值；（2）求函数()()2y f x f x =+的值域．【答案】（1）1a =；（2）[)4,+∞.【解析】（1）()412228x x xx x a f x a a ⋅+=+⋅=⋅，因为()f x 为偶函数，所以对R x ∀∈都有()()0f x f x --=，即1122022x x x x a a --⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭恒成立，即112102x x a ⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭-⎭恒成立，110a∴-=，解得1a =.（2）由（1）可知1()22x xf x =+，所以()()221122222x x x x y f x f x ⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭，令1222x x t =+≥=（当0x =时取等号），则222211222222x x x x t ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，所以所求函数为2219224y t t t ⎛⎫=-⎝+=+- ⎪⎭，则函数2219224y t t t ⎛⎫=-⎝+=+- ⎪⎭在[)2,+∞上单调递增，所以4y ≥，即函数()()2y f x f x =+的值域为[)4,+∞.15．已知集合A 为不等式49280x x -⋅+≤的解集，（1）若集合{}21R B x m x m m =≤≤-∈，且B A B = ，求m 的取值范围；（2）求函数()1114·242x xf x -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在定义域A 上的值域.【答案】（1）(],2-∞；（2）[]1,2【解析】（1）49280x x -⋅+≤，即()229280x x -⋅+≤∴128x ≤≤，即[]0,3A =又∵B A B = ，∴B A ⊆，∴①当B =∅时，21,1m m m >-∴<②当B ≠∅时,213121m m m -≤⎧∴≤≤⎨≥⎩，∴综上所述：m 的取值范围为：(],2-∞.（2）()211111424424222x x x x f x -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,3是单调减函数∴1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2442g t t t =-+在11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调减函数，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调增函数∴当t =１２时，()min 1f x =当1t =时，()max 2f x =∴()f x 在定义域A 上的值域为[]1,21．给出下列函数：①13y x ＝；②3x y -＝；③3x y -＝；④π3x y -＝.其中指数函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】对于①，函数13y x ＝的自变量x 在底数位置，不在指数位置，故不是指数函数；对于②，函数3x y -＝的底数30-<，故不是指数函数；对于③，函数3x y -＝中的指数式3x 的系数不为1，故不是指数函数；对于④，函数π3x y -＝的底数满足π30<-<1，符合指数函数的定义，是指数函数.故选：A.2．若函数()21x y m m m =--⋅是指数函数，则m 等于（）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．12【答案】C 【解析】由题意可得21101m m m m ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2m =.故选：C.3．若函数()f x 是指数函数，且()123f -=，则（）A ．()3x f x =B ．()x f x =C ．()13x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()3xf x ⎛= ⎝⎭【答案】B【解析】()f x 为指数函数，∴可设()(0x f x a a =>且)1a ≠，()221123f a a -∴-===，解得：a =()x f x ∴=.故选：B.4．函数y =的定义域为（）A．(-∞B．(-∞C ．[)3,+∞D ．()3,+∞【答案】C 【解析】由题意得3270x -≥，即333x ≥，解得3x ≥．故选：C.5．对任意实数1a <且0a ≠关于x 的函数()14x y a =-+图象必过定点()A ．()0,4B ．()0,1C ．()0,5D ．()1,5【答案】C 【解析】∵1a <且0a ≠，∴1－a ＞0且1－a ≠1，故函数()1x y a =-是指数函数，过定点(0，1)，则()14xy a =-+过定点(0，5).故选：C.6．函数()1x f x a a =-（0,1a a >≠）的图象可能是（）A．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当1a >时，()10,1a ∈，因此()10101af <=-<，且函数()1x f x a a=-在R 上单调递增，故A 、B 均不符合；当01a <<时，11a >，因此()1010f a =-<，且函数()1x f x a a=-在R 上单调递减，故C 符合，D 不符合．故选：C ．7．函数21()5x ax f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,2上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．{}4a a ≤-∣B ．{2}a a ≤-∣C ．{}2a a ≥-∣D ．{4}a a >-∣【答案】C 【解析】设222()24a a g x x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，其图象开向上，对称轴为直线2ax =-．函数21()5x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[1,2]上是减函数，()g x ∴在区间[1,2]上是增函数，又()g x 在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，12a∴-≤，解得2a ≥-．故选：C.8．定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，有（）A ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()11f x f x -=+，所以3122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为当1x ≥时，()31x f x =-为单调递增函数，定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以当1x <时，()f x 单调递减，因为112323<<，所以211323⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f ，即231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.9．不等式23(1)23122x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______．【答案】(3,2)-【解析】函数2x y =在R 上单调递增，则22233(1)233(1)212()22233(1)2x x x x x x x x x -------<<--⇔--⇔<，即260x x +-<，解得32x -<<，所以原不等式的解集为(3,2)-.故答案为：(3,2)-10．函数()21222x x f x +=-+的定义域为M ，值域为[]1,2N =，则M =______．【答案】(],1-∞（答案不唯一）【解析】因为函数的值域为[]1,2N =，所以2112222x x +≤-+≤，所以21212202210x x x x ++⎧-≤⎨-+≥⎩，即22(22)0(21)0x x x ⎧-≤⎨-≥⎩，故022x <≤，所以1x ≤，则函数的定义域为(],1M =-∞．实际上，只要[]0,1x ∈即可满足条件，即M 可以为[]0,1并上任意一个(),0-∞的子集均可.故答案为：(],1-∞（答案不唯一）11．函数()1421x x f x +=--的单调递增区间是_________．【答案】[)0,∞+【解析】()()214212221x x x x x f +=--=-⋅-令20x t =>，()()222112f t t t t =--=--，当1t ≥时，即0x ≥，()f t 单调递增；当01t <<时，即0x <，()f t 单调递减；因为2x t =单调递增，所以函数()1421x x f x +=--的单调递增区间为[)0,∞+.故答案为：[)0,∞+12．函数()2235x x f x --=的单调减区间是_________.【答案】(),1-∞/(),1-∞【解析】令()225,2314,t y t x x x ==--=--，根据复合函数单调性可知，内层函数在(),1x ∈-∞上单调递减，在()1,x ∈+∞上单调递增，外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在(),1x ∈-∞上单调递减，在()1,x ∈+∞上单调递增.故答案为：(),1-∞.13．函数23()2x ax f x --=是偶函数．（1）试确定a 的值及此时的函数解析式；（2）证明函数()f x 在区间(,0)-∞上是减函数；（3）当[2,0]x ∈-时，求函数23()2xax f x --=的值域．【答案】（1）0a =，23()2x f x -=；（2）证明见解析；（3）1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由函数()f x 是偶函数，得(1)(1)f f -=，即131322a a +---=，解得0a =．所以23()2x f x -=.（2）由（1）知，23()2x f x -=，令120x x <<，则2212x x >，()()2212102221x x f x f x -=>=，所以()()12f x f x >，所以函数()f x 在区间(,0)-∞上是减函数.（3）由（2）知，23()2xf x -=在(,0)-∞上是减函数，所以23()2x f x -=在[2,0]-上也是减函数，则(0)()(2)f f x f ≤≤-，所以1()28f x ≤≤．即函数23()2x ax f x --=的值域为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14．已知函数()x f x a =（a >0且a ≠1），且函数f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值之差为32．（1）求实数a 的值；（2）若()()()g x f x f x =--，当a >1时，解不等式22())2(1g x x g x +>-．【答案】（1）a =2或12a =；（2）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【解析】（1）当a >1时，f (x )在[－1，1]上是增函数，所以13(1)(1)2f f a a ---=-=，解得a =2；当0<a <1时，f (x )在[－1，1]上是减函数，所以13(1)(1)2f f a a ---==-，解得12a =．综上，a =2或12a =．（2）由（1）知a =2，则()22x x g x -=-，所以g (x )是严格增函数，由22())2(1g x x g x +>-，得2221x x x +>-，解得12x >-．所以，不等式的解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．。

初升高数学暑假衔接(人教版)第17讲函数的零点与方程的解(教师版)

第17讲函数的零点与方程的解1．了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的关系；2．结合具体连续函数及其图象的特点；3．会借助函数零点崔仔定理判断函数的零点所在的大致区间；4．能借助函数单调性及图象判断零点个数。

一、函数的零点与方程的解1、定义：如果函数()=y f x 在实数a 处的值等于零，即()0=f a ，则a 叫做这个函数的零点.2、注意事项：（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；（2）函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标；（3）函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根．3、方程、函数、图象之间的关系方程()0=f x 有实数根⇔函数()=y f x 的图象与x 轴有交点⇔函数()=y f x 有零点．二、零点存在定理及其推论1、定理：如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且()()0⋅<f a f b ，那么，函数()=y f x 在区间().a b 内至少有一个零点，即存在().∈c a b ，使得()0=f c ，这个c 也就是方程()0=f x 的解。

【注意】（1）定义不能确定零点的个数；（2）不满足定理条件时依然可能有零点；（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；（4）定理反之是不成立的.2、重要推论：（1）推论1：函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，()()0⋅<f a f b ，且()f x 具有单调性，则函数()f x 在区间().a b 内只有一个零点.（2）推论2：函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，函数()f x 在区间().a b 内有零点，且函数()f x 具有单调性，则()()0⋅<f a f b 三、零点个数的判断方法1、直接法：直接求零点，令()0=f x ，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0⋅<f a f b ，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.3、图象法：（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；（2）两个函数图象：将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()()()0=⇔=f x h x g x ，则函数()f x 的零点个数就是函数()=y h x 和()=y g x 的图象的交点个数4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数四、判断函数零点所在区间的步骤第一步：将区间端点代入函数求函数的值；第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。

指数(教师版)初升高数学暑假衔接(通用版)

第 2.5 章
根本初等函数
2.5.2 指数
高中要求
1 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
1 指数运算
(1) 次方根与分数指数幂
一般地，如果 = ，那么叫做的次方根，其中 > 1，且 ∈ ∗ .

式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.
B．2
D． ‒ 22
答案
4
解析 ∵ < 0， < 0， ∴ 原式 = 242( ‒ ) =‒ 22．应选：．
4.假设2 = 7,2 = 6，则4 ‒ 等于
.
49
36
答案
解析 ∵ 2 = 7，2 = 6，
∴ 4 ‒ =
4
=
4
2
(2 ) (76)
2
2
5
27
1
‒
= 3 ‒ 1 ‒ (64)3 + (2 ‒ 3) 3 + 32 ∙ 4
=3‒4+4+8
1
2
+ 0.125
3
2
3
2
‒3
+ 3∙
3
(34) .
5
3
变式练习
1.以下各式正确的选项是( )
( ‒ 3)2 = 3
A.
B.
4 =
4
C.
22 = 2
D．0 = 1
答案
4
解析依据根式的性质可知正确． 4 = ||，0 = 1条件为 ≠ 0，故，，错．
答案
解析原式 =
1
2
2
3
27 ‒ 3
+ (2) ‒ 2 +

初升高数学暑假衔接(人教版)第07讲基本不等式(教师版)

第07讲基本不等式1．了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念；2．理解基本不等式的代数证法和几何证法；严谨规范表达不等式证明过程；3．熟练地掌握基本不等式及其不变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求某些函数的最大（小）值，证明简单的不等式；4．会应用基本不等式模型解决一些简单的实际问题。

一、基本不等式的概念1、两个不等式（1）重要不等式：()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.常见变形公式：()2222()()a b a b a b R +≥+∈，、222a b ab +≤（2）基本不等式：2a b+≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.常见变形公式：a b +≥；2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”.（3）我们称2ba +为,ab 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、由公式222a b ab +≥和2a b+≥引申出的常用结论①2b aa b+≥（,a b 同号）；②2b aa b+≤-（,a b 异号）；③222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≤≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>>二、基本不等式2+≥a bab 的证明1、法一：几何面积法如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +.这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22a b +.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=.得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）特别的，如果0a >，0b >,a b 分别代替a 、b ，可得：如果0a >，0b >,则2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果0a >，0b >,2a bab +≤，（当且仅当a b =时取等号“=”）2、法二：代数法∵2222()0a b ab a b +-=-≥，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()0a b -=.所以22()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.三、基本不等式2+≥a bab 的几何意义如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD ab =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.四、利用基本不等式求最值1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.2、积定和最小，和定积最大（1）设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x=y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24.（2）设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值),则当x=y 时，和x ＋y 有最小值,且这个值为2p .考点一：对基本不等式的理解例1．不等式2244a a +≥中，等号成立的条件是（）A ．4a =B ．a C ．a =D ．a =【答案】D【解析】由基本不等式可知2244a a +≥=，当且仅当224a a =，即a =D .【变式训练】（多选）已知a ，R b ∈，且0ab >，则下列不等式成立的是（）A ．2a b+≥B ．222a b ab +≤C ．2b a a b+≥D ．22ab a ba b +≤+【答案】BC【解析】对于A ，因为0ab >，故当0,0a b <<时，不等式2a b+≥不成立，故A 不正确；对于B ，因为0ab >，所以222a b ab +≤恒成立，当且仅当a b =时，等号成立，故B 正确；对于C ，因为0ab >，所以0,0a b b a >>，则2b a a b +≥=，当且仅当a b =时，等号成立，故C 正确；对于D ，因为222a b ab +≥，所以()24a b ab +≥，当0,0a b <<时满足0ab >，但0a b +<，此时22a b aba b+≤+，故D 不正确.故选：BC.考点二：利用基本不等式比较大小例2．设n mA m n=+（m 、n 为互不相等的正实数），242B x x =-+-，则A 与B 的大小关系是（）A ．AB >B ．A B≥C ．A B<D ．A B≤【答案】A【解析】m 、n 为互不相等的正实数，则m nn m≠，所以2n m A m n =+>，2242(2)22B x x x =-+-=--+≤，=2x 时，max 2B =，所以A B >．故选：A ．【变式训练】若01a <<，01b <<，a b ¹，则a b +，2ab ，22a b +中最大的一个是______．【答案】a b +/b a+【解析】01a <<，01b <<，a b ¹，则a b +>2>ab ，22a b a b +>+，综上所述：最大的一个是a b +.故答案为：a b+考点三：利用基本不等式求和的最小值例3．若>4x ，则14y x x =+-的最值情况是（）A ．有最大值6-B ．有最小值6C ．有最大值2-D ．有最小值2【答案】B【解析】若>4x ，则11444644=+=-++≥+=--y x x x x ，当且仅当144x x -=-即5x =等号成立，所以若>4x 时，14y x x =+-有最小值为6，无最大值.故选：B.【变式训练】若,R x y +∈，且21x y +=，求11x y+的最小值．【答案】3+【解析】因为21x y +=，所以1122)33(3(y x x y y x x y +=++≥=+++当且仅当2y xx y =，即21,2x y ==时，等号成立，所以11x y+的最小值为3+考点四：利用基本不等式求积的最大值例4．已知01x <<，则当(55)x x -取最大值时，x 的值为（）A ．54B ．12C ．13D ．34【答案】B【解析】由01x <<，可得10x ->，则215(55)5(1)5(24x x x x x x +--=-≤⋅=，当且仅当1x x =-，即12x =时取等号，所以12x =时，(55)x x -取得最大值.故选：B.【变式训练】若0a >，0b >，且6a b +=，则ab 的最大值为（）A ．5B ．6C ．8D ．9【答案】D【解析】因为0a >，0b >，且6a b +=，所以292a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当3a b ==时等号成立，所以ab 的最大值为9.故选:D.考点五：利用基本不等式证明不等式例5．已知0a >，0b >，且1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】证明见解析【解析】因为0a >，0b >，1a b +=，所以1111(1)(1)(2)(2)a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225a b b a =++59≥+，当且仅当22b a a b=，即12a b ==时等号成立.故原题得证.【变式训练】已知0a >，0b >，0c >，求证：bc ca aba b c a b c++≥++.【答案】证明见解析【解析】∵0a >，0b >，0c >，∴2bc ca c a b +≥，当且仅当bc caa b=，即a b =时，等号成立，同理：2bc ab b a c +≥=，2ca ab a b c +≥，当且仅当a c =，b c =时，等号成立，以上三式相加得：22()bc ca ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，当且当且仅当a b c ==时，等号成立，所以bc ca aba b c a b c++≥++.考点六：利用基本不等式解决实际问题例6．用长度为20米的篱笆围成一矩形场地，则矩形的最大面积为__________．【答案】225m 【解析】设矩形场地的长为x 米，则矩形的宽为10x -米，且010x <<，所以矩形的面积为()10x x -平方米，因为010x <<，所以()21010252x x x x +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当10x x =-即5x =时等号成立，所以矩形的最大面积为25平方米.故答案为：25平方米.【变式训练】如图设矩形ABCD （AB ＞AD ）的周长为40cm ，把△ABC 沿AC 向△ADC 翻折成为△AEC ，AE 交DC 于点P ．设AB ＝x cm ．（1）若13DP AB ＞，求x 的取值范围；（2）设△ADP 面积为S ，求S 的最大值及相应的x 的值．【答案】（1）()3020-；（2）x =2300-【解析】（1）由矩形周长为40cm ，可知()20cm AD x =-，设cm DP a =，则()cm PC x a =-∵ADP CEP ≅△△，∴()cm AP PC x a ==-．在Rt ADP 中，222AD DP AP +=，即()()22220x a x a -+=-，得20020a x=-，由题意，2001203x x -＞，即2606000x x -+<，解得3030x -+＜由AB AD >得，1020x <<，∴3020x -＜，即x 的取值范围是()3020-．（2）因为()11200202022S AD DP x x ⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭，1020x <<．化简得20030010S x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．∵0x >，∴200x x+≥当且仅当200x x =，即x =min 200()x x+=2max 300S =-.1．不等式（x -2y ）+12x y-≥2成立的前提条件为（）A ．x ≥2y B ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【答案】B【解析】由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式()1222x y x y-+≥-成立的前提条件为20x y ->，即2x y >.故选：B.2．下列不等式中等号可以取到的是（）A2B ．221222x x ++≥+C ．2212x x +≥D ．1||32||3x x ++≥+【答案】C【解析】对于A 0>2≥=，，即24x =-，故等号不成立，故A 不符合；对于B ，因为220x +>，所以221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+，即21x =-，故等号不成立，故B 不符合；对于C ，因为20x >，所以2212x x +≥=，当且仅当221x x =，即1x =±时取等号，故C 符合；对于D ，因为30x +>，所以1323x x ++≥=+，当且仅当133x x +=+，即2x =-，故等号不成立，故D 不符合.故选：C.3．若正实数a 、b 满足21a b +=，则当ab 取最大值时，a 的值是（）A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】A【解析】因为正实数a 、b 满足21a b +=，则2a b +≥18ab ≤，当且仅当221a b a b =⎧⎨+=⎩时，即当122a b ==时，等号成立.故选：A.4．已知正实数,a b ，则“24a b +=”是“2ab ≥”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】根据基本不等式可得24a b +=≥2≥，可得2ab ≤，所以充分性不成立；若2ab ≥，可令2,2a b ==满足2ab ≥，此时264a b +=≠；即必要性不成立；所以“24a b +=”是“2ab ≥”的既不充分也不必要条件.故选：D5．2241x x ++的最小值等于（）A ．3B ．52C ．2D ．无最小值【答案】A【解析】因为20x ≥，则211x +≥，所以()222244113111x x x x +=+-≥-=+++，当且仅当22411x x =++，即21x =，1x =±时取等号，所以2241x x ++的最小值等于3.故选：A6．已知a 、b 为正实数，211,,2a b A G H a b+==+=）A ．G H A ≤≤B ．H G A ≤≤C ．G A H≤≤D ．H A G≤≤【答案】B【解析】因为a 、b 为正实数，所以2a bA G +=≥=，当且仅当a b =时，等号成立，211H a b =+≥，所以H ≤a b =时，等号成立，综上：H G A ≤≤.故选：B7．（多选）下列命题中正确的是（）A ．对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab 、a ＋b 均成立B ．若a ≠0，则a ＋4a≥24C ．若a ，b ∈R ，则ab ≤2()2a b +D ．若a >0，b >0，且a ＋b ＝16，则ab ≤64【答案】CD【解析】对于A ，当0a >，0b >时，a b +≥才能成立，A 错误；对于B ，当0a >时才能使用基本不等式求最小值，B 错误；对于C ，因为220a b +≥，所以2222a ab bab ++≥，即()22a b ab +≥，C 正确；对于D ，0a >，0b >，所以2642a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，D 正确.故选：CD.8．（多选）已知正数,x y 满足2x y +=，则下列选项正确的是（）A ．11x y+的最小值是2B ．xy 的最大值是1C ．22x y +的最小值是4D ．(1)x y +的最大值是2【答案】AB【解析】因为正数,x y 满足2x y +=，所以()2111122222111y x x x y y y y x x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2y x x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1x y ==时，等号成立，所以11x y+的最小值是2，故A 正确；因为正数,x y 满足2x y +=，所以222122x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1x y ==时，等号成立，等号成立，所以xy 的最大值是1，故B 正确；由22222x y x y ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，得222x y +≥，当且仅当1x y ==时，等号成立，等号成立，所以22xy +的最小值是2,故C 错误；221219(1)224x y x y +++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y x y =+⎧⎨+=⎩，即31,22x y ==时，等号成立，所以(1)x y +的最大值是94，故D 错误；故选：AB.9．（多选）若0a b <<，且1a b +=，则在22,,2,a a b ab b +四个数中正确的是（）A ．222a b ab+>B ．12a <C ．12b <D ．22b a b >+【答案】ABD【解析】由于0a b <<，则222a b ab +>，又1a b +=，所以1012a b <<<<，又()()2222122120a b b a b ab b ab b a ab a b +-=+--=--=-=-<，即22b a b >+.故选：ABD10．已知0,0,24>>=++x y xy x y a .（1）当16a =时，求xy 的最小值；（2）当0a =时，求212x y x y+++的最小值.【答案】（1）16；（2）112【解析】（1）当16a =时，24161616xy x y =++≥=，即216xy ≥，即)240+≥，4≥，即16xy ≥，当且仅当48x y ==时等号成立，所以xy 的最小值为16.（2）当0a =时，24xy x y =+，即1212y x+=，所以()21217271111222222y x x y x y x y x y x y x y ⎛⎫+++=++=+++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22y x x y =，即3x =，32y =时等号成立，所以212x y x y +++的最小值为112.11．（1）已知0a >，0b >，0c >，求证：222a b c a b c b c a++≥++；（2）已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a b c ++>.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）()222222a b c a b c a b c b c a b c a b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2a b c ≥=++，当且仅当a b c ==时等号成立，所以222a b c a b c b c a++≥++.（2）()()()111222a b c a b b c a c ++=+++++≥当且仅当a b c ==时等号成立，因为a ，b ，c 为不全相等的正实数，所以a b c ++>12．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供(](0,20)x x ∈（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府x （万元）补贴后，产量将增加到(3)t x =+（万件）．同时波司登制衣有限公司生产t （万件）产品需要投入成本为81(73)t x t ++（万元），并以每件42(8)t+元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本．（1）求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益y （万元）关于政府补贴x （万元）的表达式；（2）高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益y （万元）最大？【答案】（1）81453y x x =--+；（2）6万元【解析】（1）4281873y t x t x t t ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭81422t x t=+--．因为()3t x =+，所以818134224533y x x x x x =++--=--++（2）因为81453y x x =--+()813483x x ⎡⎤=-+++⎢⎥+⎣⎦．又因为(]0,20x ∈，所以8130,03x x +>>+，所以()813183x x ++≥=+（当且仅当81363x x x +==+即时取“=”）所以184830y ≤-+=即当6x =万元时，y 取最大值30万元．1．若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ． 2a ba b ab +>>>B ．2a ba ab b +>>>C ． 2a ba b ab +>>>D ． 2a ba ab b +>>>【答案】B【解析】因为0a b >>，则02a ba b +>>>，又22a b ab b b +>=，所以2a ba ab b +>>>.故选：B.2．已知03x <<，则2(3)x x -的最大值为（）A ．32B ．3C ．92D ．4【答案】C【解析】()2392(3)23222x x x x x x +-⎛⎫-=⋅-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当3x x =-，即32x =时取等号.所以2(3)x x -的最大值为92.故选：C3．已知2x >，则12x x +-的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．2【答案】B【解析】由于2x >，故20x ->，所以()111222224222x x x x x x ⎛⎫+=-++≥-=⎪---⎝⎭，当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立，故12x x +-最小值为4，故选：B 4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是（）A ．20B ．25C ．28D ．30【答案】D【解析】设一年的总运费与总存储费用之和为y ，显然0x >，则600360036006444240y x x x x x x=⋅+=≥⋅=，当且仅当36004x x =时取等号，即30x =时取等号，故选：D5．已知0,0a b >>，且4a b +=.则下列不等式恒成立的是（）A ．228a b +≥B2≥C ．114ab ≥D ．111a b+≤【答案】AC【解析】当1,3a b ==112,1a b<+>，所以BD 选项错误.A ，()22282a b a b ++≥=，当且仅当2a b ==时，等号成立，A 正确.C ，2042a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，114ab ≥，当且仅当2a b ==时，等号成立，C 正确.故选：AC6．（多选）设正实数m 、n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（）A ．2n m n+的最小值为3B ．mn 的最大值为1C的最小值为2D ．22m n +的最小值为2【答案】ABD【解析】因为正实数m 、n ，所以21213n n m n n m m n m n m n ++=+=++≥=+=，当且仅当n mm n=且m +n =2，即m =n =1时取等号，此时取得最小值3，A 正确；由2()12m n nm +≤=，当且仅当m =n =1时，mn 取得最大值1，B 正确；因为2224m n m n =++=+≤++=，当且仅当m =n =1时取等号，≤2即最大值为2，C 错误；2222()24242()22m n m n m n mn mn ++=+-=-≥-⨯=，当且仅当1m n ==时取等号，此处取得最小值2，故D 正确.故选：ABD7．已知a b c >>2a c-的大小关系是____________2a c-.【解析】∵a b c >>，∴0a b ->，0b c ->，∴()()22a b b c a c -+--=≥当且仅当a b b c -=-，即2b a c =+时取等号，2a c-.8．已知0a >，0b >，1a b +=，则()()11a b ++的最大值为______．【答案】94/2.25【解析】因为0a >，0b >，1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以()()911124a b ab a b ab ++=+++=+≤，当且仅当12a b ==时取“=”故答案为：94.9．已知正数a ，b 满足21a b +=，则21a b+的最小值为___________．【答案】9【解析】因为正数a ，b 满足21a b +=，则()2121222559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当221,3a b a b b a ===时等号成立.所以21a b+的最小值为9，故答案为：910．证明：（1）22111x x +≥+；（222>.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）222211111111x x x x +=+-≥-++=+，当且仅当211x +=时，即0x =时，等号成立.（2222==≥=，=21x =-，显然x 22>.11．利用基本不等式证明：已知,,a b c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥【答案】证明见解析【解析】,,a b c 都是正数，0a b ∴+≥（当且仅当a b =时取等号）；0b c +≥>（当且仅当b c =时取等号）；0c a +≥（当且仅当c a =时取等号）；()()()8a b b c c a abc ∴+++≥=（当且仅当a b c ==时取等号），即()()()8a b b c c a abc +++≥.12．（1）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为10m 的正方形时，最短篱笆的长度为40m ；（2）当这个矩形菜园是边长为9m 的正方形时，最大面积是281m .【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm 、ym ，篱笆的长度为()2x y m +.（1）由已知得100xy =，由2x y+≥，可得20x y +≥=，所以()240x y +≥，当且仅当10x y ==时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10m 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m ；（2）由已知得()236x y +=，则18x y +=，矩形菜园的面积为2xym .18922x y +≤==，可得81xy ≤，当且仅当9x y ==时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m 的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是281m .。

初升高数学暑假衔接(人教版)第06讲等式性质与不等式性质(教师版)

第06讲等式性质与不等式性质1．理解不等式的概念，能在具体问题中建立不等式关系；2．掌握不等式的基本性质，能用不等式的基本性质解决一些简单问题。

一、等式的基本性质性质文字表述性质内容注意1对称性a b b a=⇔=可逆2传递性,a b b c a c==⇒=同向3可加、减性a b a c b c =⇔±=±可逆4可乘性a b ac bc=⇒=同向5可除性,0a b a b c c c=≠⇒=同向二、不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a 可逆2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 同向3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6正数同向可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7正数乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正三、比较两个实数（或代数式）大小1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；若a ＜b ，b ＜c ，那么a ＜c ．其中b 是介于a 与c 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．【注意】（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质。

初升高数学暑假衔接(人教版)第10讲函数的单调性与最大(小)值(教师版)

第10讲函数的单调性与最大（小）值1．理解函数的单调性及其意义，明确增函数、减函数的图象特征；2．能根据图象写出函数的单调区间，并能利用定义进行证明；3．理解函数的最大（小）值及其几何意义，会求一些简单函数的最值。

一、函数的单调性1、单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数；当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。

2、单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势下降趋势3、函数的单调区间：若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间．【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．（2）单调区间D ⊆定义域I .（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；二、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y ＝f (x )，其定义域为D ，如果存在x 0∈D ，f (x )＝M ，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )≤M ，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值，即当x ＝x 0时，f (x 0)是函数y ＝f (x )的最大值，记作y max ＝f (x 0)．2、最小值：对于函数y ＝f (x )，其定义域为D ，如果存在x 0∈D ，f (x )＝M ，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )≥M ，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值，即当x ＝x 0时，f (x 0)是函数y ＝f (x )的最小值，记作y min ＝f (x 0)．3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．三、定义法证明函数单调性的步骤①取值：设x 1，x 2为该区间内任意的两个值，且x 1＜x 2②作差变形：做差f （x 1）-f （x 2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论④判断：根据定义做出结论。

初升高数学暑假衔接(人教版)第02讲集合间的基本关系(教师版)

第02讲集合间的基本关系1．能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念，并掌握其记法和读法；2．理解两个集合相等的含义，会用子集的观点来解释两个集合相等；3．在具体情境中了解空集的含义并理解空集是任何集合的子集这一规定；4．初步认识Venn图，会用Venn图来表示两个集合的关系。

一、子集的概念1、子集的定义：对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A 包含于B”(或“B包含A”)．2、真子集：如果集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x A∉，就称集合A是集合B的真子集。

记作A B或(B A)3、集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A B=二、空集1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．2、0，{0}，∅，{}∅的关系∅与0∅与{0}∅与{}∅相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅中不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{}∅含一个元素，该元素是∅关系0∉∅{}0∅Ü∅{∅}或∅∈{∅}三、子集的性质（1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A ，都有∅⊆A .（2）任何一个集合A 都是它本身的子集，即A ⊆A .（3）如果A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C .（4）如果AB ，BC ，则AC .【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面．四、子集的个数如果集合A 中含有n 个元素，则有（1）A 的子集的个数有2n 个．（2）A 的非空子集的个数有2n －1个．（3）A 的真子集的个数有2n －1个．（4）A 的非空真子集的个数有2n －2个．五、Venn 图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。

初升高数学暑假衔接(人教版)第16讲对数函数及其性质(教师版)

第16讲对数函数及其性质1．理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域；2．初步掌握对数函数的图象与性质；3．能够利用对数函数的单调性比较大小、能够解简单的对数型不等式；4．了解反函数的概念及它们的图象特点；一、对数函数的概念1、定义：函数y =log a x （0a >，且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域为()0,∞+．2、特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =.（2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =.二、对数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值的变化当0＜x ＜1时，y ＜0；当x ＞1时，y ＞0当0＜x ＜1时，y ＞0；当x ＞1时，y ＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数【小结】当1a >时，图象呈上升趋势；当01a <<时，图象呈下降趋势；当1a >时，a 越大，图象向右越靠近x 轴；01a <<时，a 越小，图象向右越靠近x 轴.三、判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如log (01)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量x四、利用对数函数的单调性比较大小常用方法1、同底数的两个对数值的大小比较，常利用对数函数的单调性进行比较；2、底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常引用中间变量法比较，通常取中间变量为-1,0,1等；3、底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常利用数形结合思想来比较，也可利用换底公式化为同底，再进行比较。

考点一：对数函数概念及应用例1．下列函数是对数函数的是（）A ．()log 2a y x =B ．lg10xy =C ．()2log a y x x =+D ．ln y x=【答案】D【解析】因为函数log a y x =(0a >且1a ≠)为对数函数，所以ABC 均为对数型复合函数，而D 是底数为自然常数的对数函数.故选：D.【变式训练】（多选）下列函数为对数函数的是（）A ．()()1log m f x x -=（1m >，且2m ≠）B ．()3lg f x x=C ．()ln f x x =D ．()ln ef x x =+【答案】AC【解析】形如log a y x =（0a >，且1a ≠）的函数为对数函数，对于A ，由1m >，且2m ≠，可知10m ->，且11-≠m ，故A 符合题意；对于B ，不符合题意；对于C ，符合题意；对于D ，不符合题意；故选：AC.考点二：求对数型函数的定义域例2．函数()1lg f x x=的定义域为__________.【答案】()()0,11,+∞ 【解析】函数()1lg f x x=有意义，则0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，得01x x >⎧⎨≠⎩，故答案为：()()0,11,+∞ 【变式训练】函数()()22log 2f x x x =-的定义域为（）A ．(),0∞-B ．()2,+∞C ．()0,2D ．()(),02,-∞+∞ 【答案】D【解析】由题可知220x x ->，即()20x x ->，解得0x <或2x >，故函数()()22log 2f x x x =-的定义域为()(),02,-∞+∞ .故选：D.考点三：对数函数的图象判断例3．如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数15log y x =，17log y x =，5log y x =的一个是（）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）【答案】B【解析】因为111775111log log log 575<=，∴（3）是17log y x =，（4）是15log y x =，又155log log x x y -==与5log y x =关于x 轴对称，∴（1）是5log y x =．故选：B ．【变式训练】如图是对数函数log a y x =的图象，已知a 53，45，18，则相应的1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次是（）A ．18，45，535B 553，45，18C ．53545，18D 553，18，45【答案】B【解析】∵当1a >时，图象呈上升趋势；当01a <<时，图象呈下降趋势，又当1a >时，a 越大，图象向右越靠近x 轴；01a <<时，a 越小，图象向右越靠近x 轴，故1C ，2C ，3C ，4C 对应的a 553，45，18．故选：B ．考点四：对数函数过定点问题例4．若函数()log (2)7a f x x =-+(0a >，且)1a ≠的图像恒过定点P ，则点P 的坐标为______．【答案】()1,7【解析】令21x -=，得1x =.又()1log 177a f =+=，所以()f x 的图像经过定点()1,7P .故答案为：()1,7【变式训练】函数()()lg 213f x x =-+的图象过定点P ，则点P 的坐标是______.【答案】()1,3【解析】由对数函数图象性质可知，令211x -=可得1x =，此时()()lg 2130313f =-+=+=，所以函数()f x 的图象过定点()1,3；即点P 的坐标是()1,3P 故答案为：()1,3考点五：对数型函数的单调性判断例5．函数()20.5log 2y x x =--的单调递增区间为（）A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由220x x -->，解得：2<<1x -，故函数的定义域是()2,1-，函数22u x x =--在12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，而函数0.5log y u =在定义域内是单调递减函数，根据复合函数单调性之间的关系可知，函数()20.5log 2y x x =--的单调递增区间是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D【变式训练】已知函数()2()ln 344f x x x =-++，则()f x 的单调增区间为_______.【答案】22(,)33-【解析】令2344(32)(2)0x x x x -++=-+->，即223x -<<，由222163443()33y x x x =-++=--+，则y 在2(,)3-∞上递增，在2(,)3+∞上递减，综上，y 在22(,)33-上递增，在2(,2)3上递减，而ln y x =在定义域上递增，所以()f x 的单调增区间为22(,33-.故答案为：22(,)33-考点六：利用对数函数的性质比较大小例6．下列不等式错误的是（）A ．0.50.5log 2.2log 2.3>B ．36log 4log 5>C ．35log 10log 20>D ．πe log e log π>【答案】D【解析】对于A ，由函数0.5log y x =在定义域上单调递减，所以0.50.5log 2.2log 2.3>成立，故A 正确；对于B ，由3log 41>，而60<log 51<，所以36log 4log 5>成立，故B 正确；对于C ，由3log 102>，而51log 202<<，所以35log 10log 20>成立，故C 正确；对于D ，由1<e<π，则π0<log e<1，而e log π>1，所以πe log e log π>不成立，故D 错误．故选：D ．【变式训练】（多选）已知22log e,ln 2,log πa b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a >B ．a b>C ．c a>D ．a c>【答案】BC【解析】由对数函数的单调性可知，2221log 2log e log π=<<，ln 2ln e 1<=.即b a c <<.故选：BC考点七：解简单的对数型不等式例7．不等式()3log 212x -≤的解集为（）A ．3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,52⎛⎤⎥⎝⎦C ．(],5∞-D ．7,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】B【解析】()3log 212x -≤= 3log 9，0219x ∴<-≤，15.2x ∴<≤∴不等式()3log 212x -≤的解集为1,52⎛⎤⎥⎝⎦．故选：B【变式训练】已知21log log 2aa a <（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为____________.【答案】()0,1,2∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】①当01a <<时，212a <，得02a <<；②当1a >时，212a >，得1a >.综上所述，a 的取值范围为()1,2∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：()21,2∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭考点八：对数型函数的奇偶性判断例8．设函数3()lg 11xf x x+=+--，则下列函数中为奇函数的是（）A ．(2)1f x --B ．(2)1f x -+C ．(2)1f x +-D ．(2)1f x ++【答案】A 【解析】3()lg11xf x x +=+--，330,0,3111x x x x x ++><-<<---+，()f x 的定义域是()3,1--，A 选项，设()()1121lg11lg 11x x h x f x x x++=--=+-=--，110,011x x x x ++><--，解得11x -<<，所以()h x 的定义域是()1,1-，()()1111lg lg lg111x x x h x h x x x x --+++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()h x 是奇函数，A 选项正确.B 选项，()(02)121lg1110f f -+=-+=+=≠，B 选项错误.CD 选项，()f x 的定义域是()3,1--，所以321x -<+<-，53x -<<-，所以(2)1y f x =+-和(2)1y f x =++的定义域为()5,3--，不关于原点对称，CD 选项错误.故选：A【变式训练】若函数())2log f x x a =--为奇函数，则a =____________．【答案】2||0x x x x -=-≥，则x ∈R ，因为函数为奇函数，所以()20log 4202f a a a =-=-=⇒=，则())2log 2f x x =--，故()()))22log 2log 2f x f x x x -+=-+-)22log 4log 1640xx ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦，即函数()f x 为奇函数，故a =2.故答案为：2.考点九：对数型函数的值域求解例9．函数2log y x =在[]1,2上的值域是（）A ．RB ．(－∞，1]C ．[0，1]D ．[0，＋∞)【答案】C【解析】因为函数2log y x =为单调增函数，所以2log y x =在[]1,2上的值域为[][]22log 1,log 20,1.=故选：C【变式训练1】函数()()22log f x x x =-，[]2,5x ∈的值域为（）A ．[]21,2log 5+B ．[]1,2C ．[]22,log 10D ．[]22,1log 5+【答案】A【解析】令()2g x x x =-，[]2,5x ∈，则()g x 在[]2,5上单调递增，又()22g =，()520g =，所以()[]2,20g x ∈，又2log y x =在[]2,20上单调递增，所以()[]222,20log log f x ∈，即()[]2o 1,g 25l f x ∈+.故选：A【变式训练2】函数())2log 2,f x x x =∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的最小值为________．【答案】14-/0.25-【解析】显然0x >，∴())()22221log 2log log 42f x x x x ==⋅()()2222221log log 42log log log 2x x x x =+=+，令2log x t =，∵x ∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴t ∈[－1，2]，则()2111244g t t ⎛⎫=+-≥- ⎪⎝⎭，当且仅当t ＝－12即x ＝22时，有()min 14f x =-.故答案为：14-考点十：反函数的概念及应用例10．与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是（）A ．4x y =B ．4xy -=C ．14log y x=D ．4log y x=【答案】C【解析】因为函数x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数，且这两个函数的图象关于直线y x =对称，因此，与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是14log y x =.故选：C.【变式训练】已知函数()f x 为2log y x =的反函数，则(4)f =__________．【答案】16【解析】因为函数()f x 为2log y x =的反函数，所以()2,x f x =所以(4)f =4216=故答案为：161．若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题可知：函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数所以23201a a a -+=⇒=或2a =，又0a >且1a ≠所以2a =故选：B2．函数2221,0()log 1,0x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()()1f f =（）A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D【解析】由2221,0()log 1,0xx x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，得()11212f =--=-，则()()()12112f f f =-=+=.故选：D.3．下列函数中，既是偶函数又在()0+∞，上是增函数的是（）A ．()lg f x x =B ．()0.3xf x =C ．()3f x x=D ．()21f x x =【答案】A【解析】对选项A ：()()lg f x x f x -==，函数为偶函数，当0x >时，()lg f x x =为增函数，正确；对选项B ：()0.3xf x =在()0+∞，上为减函数，错误；对选项C ：()()3f x x f x -=-=-，函数为奇函数，错误；对选项D ：()21f x x =在()0+∞，上为减函数，错误；故选：A 4．当01a <<时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当01a <<时，11a >，函数1xx a y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭为底数大于1的指数函数，是增函数，函数log a y x =为底数大于0、小于1的对数函数，是减函数，故选：C.5．图中曲线是对数函数log a y x =的图象，已知a 取3，43，35，110四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次为()A 343，35，110B 343，110，35C ．43335，110D ．433110，35【答案】A【解析】由已知中曲线是对数函数log a y x =的图象，由对数函数的图象和性质，可得1C ，2C ，3C ，4C 的a 值从小到大依次为：4C ，3C ，2C ，1C ，由a 343，35，110四个值，故1C ，2C ，3C ，4C 的a 343，35，110，故选：A ．6．若0.13a =，131log 2b =，21log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <=⇒>，1331log log 22b ==，333log 1log 2log 301b <<⇒<<，221log log 103c <⇒<，所以c b a <<，故选：D 7．函数()2)1lg(2e 2x f x x x =+--的定义域为___．【答案】{|02x x <<且ln 2}x ≠【解析】要使函数函数()2)1lg(2e 2x f x x x =+--有意义，需满足2e 2020x x x ⎧-≠⎨->⎩，解得02x <<且ln 2x ≠，故函数()2)1lg(2e 2xf x x x =+--的定义域为{|02x x <<且ln 2}x ≠，故答案为：{|02x x <<且ln 2}x ≠8．函数log (27)2a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图像一定经过的点是________．【答案】(3,2)--【解析】由题意得：令271x +=，即解得3x =-所以=2y -故图像一定经过定点(3,2)--.故答案为：(3,2)--9．函数2log (1)(2)y x x =--的单调递减区间是____________.【答案】3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】令()()120x x -->，解得12x <<，则2log (1)(2)y x x =--的定义域为()12，，记2(1)(2),log u x x y u =--=，由于(1)(2)u x x =--的对称轴为32x =，故其在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而2log y u =在定义域内单调递增，由复合函数单调性的原则可知：2log (1)(2)y x x =--在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故答案为：3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.10．若点()2,4P 在函数lo ()g a f x x =的图像上，点(),16Q m 在()f x 的反函数图像上，则m =______.【答案】16【解析】因为点()2,4P 在函数lo ()g a f x x =的图像上,所以4log 2a =,计算得42a =，因为lo ()g a f x x =,所以()f x 的反函数为x y a =,又因为点(),16Q m 在()f x 的反函数图像上,所以16m a =,因为42a =,所以1616a =,即得16m =.故答案为:16.11．若110x <<，2(lg )a x =，2lg b x =，lg(lg )c x =，则a ，b ，c 的大小关系是_____.【答案】c<a<b【解析】因为110x <<，又函数lg y x =在()1,10上单调递增，所以lg1lg lg10x <<，即0lg 1x <<，所以lg(lg )lg10c x =<=，又20(lg )1x <<，即01a <<，因为2lg 2lg x x =，所以20lg 2x <<，即02b <<则222(lg )lg (lg )2lg lg (lg 2)a b x x x x x x -=-=-=-，又0lg 1x <<，所以lg 20x -<，所以0a b -<，即a b <，综上，c<a【解析】因为21e x y -=，所以0y >，ln 21y x =-，则11ln 22x y =+，由x ，y 互换，得()11ln 022y x x =+>，所以函数21e x y -=的反函数为()11ln 022y x x =+>.故答案为：()11ln 022y x x =+>.13．已知函数()f x 为定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数，当0x >时，()log a f x x =的图象过点(5,2)．（1）求a 的值：（2）求()f x 的解析式；（3）求不等式()4f x >的解集．【答案】（12）()(),0,,0.x x f x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩；（3）(,25)(25,)-∞-+∞ 【解析】（1）因为当0x >时，()log a f x x =的图象过点(5,2)，所以log 52a =，解得a =．（2）设0x <，则0x ->，则())f x x -=-．因为()f x 为定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数，则()())f x f x x =-=-．综上所述，()(),0,,0.x x f x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩（3）由()4f x >，得()0,4x x <⎧⎪⎨->⎪⎩或0,4,x >⎧⎪⎨>⎪⎩解得25x <-或25x >．故不等式()4f x >的解集为(,25)(25,)-∞-+∞ ．14．已知函数()()()log 3log 3,0a a f x x x a =+-->且1a ≠.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）若0a >，指出函数的单调性，并求函数()f x 在区间[]0,1上的最大值.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）函数为奇函数，证明如下：根据题意，()()()log 3log 3,0,1a a f x x x a a =+-->≠，则3030x x +>⎧⎨->⎩,解得33x -<<，则函数的定义域为()3,3-，又由()()()log 3log 3()a a f x x x f x -=-+-+=-，则()f x 是奇函数；（2）当01a <<时，()log 3a y x =+为()3,3-上的减函数，()log 3a y x =-为()3,3-上的增函数，故()()()log 3log 3a a f x x x =+--为()3,3-上的减函数，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()f x 的最大值为(0)0f =；当1a >时，()log 3a y x =+为()3,3-上的增函数，()log 3a y x =-为()3,3-上的减函数，故()()()log 3log 3a a f x x x =+--为()3,3-上的增函数，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()f x 的最大值为(1)log 2a f =；15．已知函数()log a f x x =过(2,1)-点．（1）求()f x 解析式；（2）若2()(45)g x f x x =-++，求()g x 的值域．【答案】（1）()12log f x x =，()0,x ∈+∞；（2）12log 9,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）将(2,1)-代入()log a f x x =，得1log 2a -=，解得12a =，所以()12log f x x =，其中()0,x ∈+∞（2）1222()(45)log (45)g x f x x x x =-++=-++，由2450x x -++>，解得15x -<<，令245u x x =-++，15x -<<，∵2245(2)9u x x x =-++=--+，∴由二次函数的性质可知，在(1,5)x ∈-时，(0,9]u ∈，又12log y u =在(0,)+∞上单调递减，所以()g x 的值域为12log 9,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．(注：[)2log 9,-+∞也正确)1．下列函数是对数函数的是()A ．2log y x=B ．ln(1)y x =+C ．log e x y =D ．log x y x =【答案】A 【解析】对数函数log a y x =（0a >且1a ≠），其中a 为常数，x 为自变量．对于选项A ，符合对数函数定义；对于选项B ，真数部分是1x +，不是自变量x ，故它不是对数函数；对于选项C ，底数是变量x ，不是常数，故它不是对数函数；对于选项D ，底数是变量x ，不是常数，故它不是对数函数．故选：A ．2．函数()f x =）A ．(]0,2B ．()0,2C ．()(]0,11,2 D ．()()0,11,2 【答案】C【解析】要使函数有意义，则200ln 0x x x -≥⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得02x <≤且1x ≠，所以函数的定义域为()(]0,11,2 .故选：C.3．函数()()log 352(0a f x x a =-+>且1)a ≠恒过定点（）A ．()2,0B ．()2,2C ．()1,0D ．()1,2【答案】B【解析】当351x -=，即2x =时，2y =，所以函数恒过定点为()2,2.故选：B.4．已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A ．0a >，1b <-B ．0a >，10b -<<C ．01a <<，1b <-D ．01a <<，10b -<<【答案】D 【解析】因为函数()()log a f x x b =-为减函数，所以01a <<又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以10xb =+>，即1b >-又因为函数图象与y 轴有交点，所以0b <，所以10b -<<，故选：D5．函数22log (2)y x x =+≥的值域为（）A ．(3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]【答案】C【解析】因为2x ≥，所以2log 1x ≥，所以22log 3y x =+≥，即函数的值域为[3，＋∞).故选：C 6．已知0.3113211log 2log 32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则有（）A ．a b c<=，0.30110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c b <<.故选：B.7．已知()f x 为对数函数，122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则f =______．【答案】1【解析】设()log a f x x =（0a >，且1a ≠），则1log 22a=-，∴2112a =，即a =∴()f x x =，∴1f ==．故答案为：1.8．已知函数()f x 是函数x y a =(0a >且1)a ≠的反函数，且()f x 的图象过点()5,2，则=a _______.【解析】因为(0,1)x y a a a =>≠的反函数为()()log 0,1a f x x a a =>≠，又()f x 的图象过点()5,2，所以log 52a =，25a =，即a =，9．已知()()0.60.6log 2log 1x x +>-，则实数x 的取值范围是_______.【答案】12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】因为函数0.6log y x =在()0,∞+上单调递减，由()()0.60.6log 2log 1x x +>-，得021x x <+<-，解得122x -<<-，所以实数x 的取值范围是12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．函数()()1ln 102y x x =->的单调递增区间是________．【答案】()0,∞+【解析】任取()12,0,x x ∈+∞且12x x <，则()()112122111(ln 1)(ln 1)ln 222x f x f x x x x -=---=，因为12x x <，所以121x x <，121ln 02x x <，()()120f x f x -<即()()12f x f x <，所以()1ln 12y x =-在()0,∞+上单调递增，()1ln 12y x =-的单调递增区间是()0,∞+，故答案为：()0,∞+.11．函数()212log 617y x x =-+的值域是__________．【答案】(,3]-∞-【解析】令2617t x x =-+，则12log y t =，因为22617(3)88t x x x =-+=-+≥，所以2617t x x =-+的值域为[8,∞+），因为12log y t =在[8,∞+）是减函数，所以1122log log 8-3y t =≤=，所以212log (617)y x x =-+的值域为(,3]-∞-，故答案为：(,3]-∞-12．比较下列各组中两个数的大小：（1） 1.2log 1.6， 1.2log 1.7；（2）23log 0.5，23log 0.6；（3）log 0.9a ，log 0.8a ．【答案】（1） 1.2 1.2log 1.6log 1.7<；（2）2233log 0.5log 0.6>（3）当1a >时，log 0.9log 0.8a a >；当01a <<时，log 0.9log 0.8a a <；【解析】（1）因为函数 1.2log y x =是增函数，且1.6 1.7<，所以 1.2 1.2log 1.6log 1.7<（2）因为函数23log y x =是减函数，且0.50.6<，所以2233log 0.5log 0.6>（3）当1a >时，函数log a y x =是增函数，且0.90.8>，所以log 0.9log 0.8a a >；当01a <<时，函数log a y x =是减函数，且0.90.8>，所以log 0.9log 0.8a a <.13．求下列函数的反函数．（1）13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）51y x =+；（3）2y x =（0x ≤）．【答案】（1）()113log f x x -=（0x >）；（2）()115x f x --=（x ∈R ）；（3）()1f x -=0x ≥）【解析】（1）由13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得13log x y =，且0y >，∴()113log f x x -=（0x >）．（2）由51y x =+，得15y x -=，∴()115x f x --=（x ∈R ）．（3）由2y x =，得x =∵0x ≤，∴x =．∴()1f x -=（0x ≥）．14．已知函数42()lg(1)lg(1)2f x x x x x =-+++-．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性．【答案】（1）(1,1)-；（2）偶函数【解析】（1）由题意可知：101110x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故函数()f x 的定义域为()11-，，（2）由（1）知定义域关于原点对称，()()()4242()lg(1)lg(1)2lg(1)lg(1)2==f x x x x x x x x x f x -=++-+----+++-，所以()f x 为偶函数，15．已知2a >，函数()y f x =的表达式为44()log (2)log ()f x x a x =---．（1）求()f x 的定义域；（2）当4a =时，求不等式(25)(3)f x f -≤的解集．【答案】（1）()2,a ；（2）7,42⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】（1）由题意得：200x a x ->⎧⎨->⎩，解得2x x a >⎧⎨<⎩．因为2a >，所以2x a <<，故()f x 的定义域为()2,a ．（2）因为4a =，所以44(25)log (27)log (92)f x x x -=---；()443log 1log 10f =-=因为(25)(3)f x f -≤，所以()()44log 27log 920x x ---≤，即44log (27)log (92)x x -≤-，从而2709202792x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≤-⎩，解得742x <≤．故不等式(25)(3)f x f -≤的解集为7,42⎛⎤ ⎥⎝⎦.。

初升高数学暑假衔接(人教版)第24讲诱导公式(教师版)

第24讲诱导公式1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式；2．能够熟练地运用诱导公式，将任意角的三角函数化归为锐角的三角函数，进行求值、化简和证明。

3．通过三角函数诱导公式的学习，体验“把未知转化为已知”这种重要的化归思想。

一、诱导公式1、诱导公式二：角πα+与角α的终边关于原点对称sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z∈2、诱导公式三：角α-与角α的终边关于x 轴对称sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z∈3、诱导公式四：角πα-与角α的终边关于y 轴对称sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z∈4、诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈5、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.二、用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．三、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤1、“负化正”：用公式一或三来转化．2、“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．3、“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．4、“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．四、利用诱导公式求值与求解解题策略1、条件求值问题的策略（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．3、观察互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．考点一：利用诱导公式给角求值例1．35πsin 6=（）A ．12B ．12-C D ．【答案】B 【解析】35ππππ1sinsin 6πsin sin 66662⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B ．【变式训练1】计算：5π7ππ2sin 2cos tan 663⎛⎫+--= ⎪⎝⎭______.【答案】1【解析】原式ππππππ2sin π2cos πtan 2sin 2cos tan 663663⎛⎫⎛⎫=-+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12212=⨯-=.故答案为：1.【变式训练2】计算：1417sin cos tan 336πππ+-=___________.【答案】0【解析】141725sincos tan 3sin 4cos 2tan 03636πππππππ⎛⎫⎛⎫+-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2533sincos 003622ππ⎛=+-=+-= ⎝⎭故答案为：0考点二：利用诱导公式给值求值例2．若()4sin ,5πα+=-且α是第二象限角，则cos α=（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】B【解析】由()4sin sin 5παα+=-=-，得4sin 5α=，又由α为第二象限角，所以3cos 5α==-．故选：B.【变式训练1】设02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，若3sin ,5α=则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．45C ．35-D ．45-【答案】C【解析】因为02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，3sin 5α=，所以3cos sin 25παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故选：C.【变式训练2】设sin 25a ︒=，则sin 65cos115tan 205︒︒︒=（）A 2B ．2C ．2a -D ．2a 【答案】C【解析】因为sin 65cos25︒=︒，()cos115cos 9025sin 25︒=︒+︒=-︒，()sin 25tan 205tan 18025tan 25cos 25︒︒=︒+︒=︒=︒，所以22sin 65cos115tan 205sin 25a ︒⋅︒⋅︒=-︒=-.故选：C.考点三：互余互补关系的应用例3．已知π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．45±B ．45C ．45-D ．35【答案】D【解析】∵π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴ππππ3sin cos cos 62635ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选:D ．【变式训练1】已知π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．13B ．223C ．13-D ．3-【答案】A【解析】πππππ1cos cos cossin 442443αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：A.【变式训练2】已知cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (|a |≤1)，则cos 56πθ⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是________.【答案】0【解析】∵5cos cos cos 666a πππθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2sin sin cos 3266a ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，52cos sin 063ππθθ⎛⎫⎛⎫∴++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：0.考点四：利用诱导公式化简求值例4()()12sin 4cos 4ππ+--）A ．sin 4cos4-B ．sin 4cos 4--C ．cos 4sin 4-D ．sin 4cos 4+【答案】C()()12sin 4cos 4ππ+--12sin 4cos 4=-()2sin 4cos 4=-cos 4sin 4=-，故选：C【变式训练】（多选）已知角α满足sin cos 0αα⋅≠，则()()()sin πcos πsin cos k k k αααα+++∈Z 的取值可能为（）A ．2-B ．1-C ．2D ．0【答案】AC【解析】因为sin cos 0αα⋅≠，则sin 0α≠且cos 0α≠，当k 为奇数时，原式sin cos 112sin cos αααα--=+=--=-；当k 为偶数时，原式sin cos 112sin cos αααα=+=+=.故原式的取值可能为2-、2.故选：AC.考点五：利用诱导公式证明恒等式例5．已知A 、B 、C 为ABC 的三个内角，求证：ππsin cos 2424A B C +⎛⎫⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】证明见解析【解析】证明：在ABC 中，πA B C ++=，则π22B C A+-=.所以，πππππππcos cos cos cos 2424224224B C A A A ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦πsin 24A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故原等式得证.【变式训练】求证：232sin()cos()12212sin ()ππθθπθ-+--+＝tan(9)1tan()1πθπθ+++-．【答案】证明见解析【解析】左边()()22222222sin()sin 12sin cos sin cos 2sin cos 1212sin 12sin sin cos 2sin πθθθθθθθθθθθθθ+----+--===--+-()()()2sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos θθθθθθθθθθ-++==+--.右边sin 1tan()1tan 1sin cos cos sin tan()1tan 1sin cos 1cos θπθθθθθθπθθθθθ+++++====+----.∴左边＝右边，故原等式成立．考点六：诱导公式综合应用例6．已知()()()()()3sin cos tan cos 222sin 2tan sin f πππααπαααπααππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---+.（1）化简()f α；（2）若31cos 25πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()f α的值.【答案】（1）()f αcos α=；（2）()f α=【解析】（1）由题意得：()()()()()3sin cos tan cos 222sin 2tan sin f πππααπαααπααππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---+()()()()()cos sin tan sin sin tan sin ααααααα---=---cos α=（2）∵31cos sin 25παα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，∴1sin 5α=.∴α为第一或第二象限角，∴cos 5α==±，∴()f α=【变式训练】（1）化简：222cos(4)cos ()sin (3)sin(4)sin(5)cos ()θπθπθπθππθθπ+++-+--（2）已知()sin3n f n π=（n ∈Z ），求(1)f ＋(2)f ＋(3)f ＋…＋(2012)f 的值.【答案】（1）cos θ-；（2【解析】（1）原式()222cos cos sin cos sin sin cos θθθθθθθ=--；（2）因为()sin3n f n π=，所以函数的周期为6，()31sin32f π==，()232sin 32f π==，()3sin 0f π==，()44sin3f π==，()55sin 3f π==()6sin 20f π==；由于201233562=⨯+，所以(1)f ＋(2)f ＋(3)f ＋…＋(2012)f =.1．4πcos 3=（）A ．12B ．2C ．12-D ．【答案】C 【解析】4πππ1coscos πcos 3332⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭.故选：C2．已知3πsin 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭，且α为第三象限角，则tan α=（）A ．BC ．22D 【答案】D【解析】因为3πsin cos 23αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以cos 3α=-，又因为α为第三象限角，所以sin α==则sin tan cos ααα=，故选：D.3．已知()22cos 3π3θ+=-，那么7πsin 2θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．13C ．223-D ．223【答案】C【解析】因为()22cos 3πcos 3θθ+=-=-，所以，22cos 3θ=，因此，7π3πsin sin cos 223θθθ⎛⎫⎛⎫+=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.4．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π12sin 313α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．1213-B ．1213C ．513-D ．513【答案】C【解析】π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π12sin 313α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则π5π4π,363α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π5cos 313α⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，ππππ5sin sin cos 623313ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.5．若()5tan 3π2θ-=，则()()sin πcos πππsin 2cos 22θθθθ++-=⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．712-B ．38-C ．78-D ．14-【答案】A【解析】因为()5tan 3πtan 2θθ-==，所以()()7sin πcos πsin cos tan 172ππcos 2sin 12tan 612sin 2cos 22θθθθθθθθθθ-++-----====-++⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A.6．已知π5cos 513α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7πsin 10α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．513-B ．513C ．-1213D ．1213【答案】A【解析】7ππππ5sin sin cos 1052513ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.7．（多选）已知3πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则角α的终边可能在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．x 轴的负半轴上【答案】BCD【解析】由3πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得cos cos αα-=，所以cos 0α≤，所以角α的终边可能在第二象限、第三象限、x 轴的负半轴及y 轴上.故选：BCD.8．求证()()31sin 1801sin()1tan cos 360cos(540)ααααα︒︒︒-+-=+--【答案】证明见解析【解析】()()23233111sin sin 180sin cos 1sin()sin sin 111cos sin tan cos 360cos cos(540)cos cos ααααααααααααααα︒︒︒--+-+-===-+--+-9．计算下列两个小题（1）计算25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭；（2）已知角α终边上有一点122P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求()()()ππsin cos tan π22tan πsin πααααα⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++的值．【答案】（1）0；（2）12【解析】（1）25π10π13ππ2ππsincos tan sin 4πcos 4πtan 3π634634⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+--++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π2ππ11sincos tan 1063422⎛⎫=--=---= ⎪⎝⎭（2）因为角α终边上有一点12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以sin α=112cos 2α-==-，2tan 12α==-所以()()()()()()ππ1sin cos tan πcos sin tan 1222tan πsin πtan sin 2αααααααααα⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==++-.10．已知函数()()()3πsin 3πcos 4πsin 2π7πsin sin 22x x x f x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）化简函数()f x 的解析式；（2）若π253f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()0,πx ∈，求3πsin 10x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）()sin f x x =；（2）73-【解析】（1）()()()3πsin 3πcos 4πsin 2π7πsin sin 22x x x f x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos (cos )sin cos (cos )x x x xx x ⋅⋅-==⋅-；（2）由题意ππsin 553f x x ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，因为()0,πx ∈，所以ππ6π,555x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由πsin 05x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭得π6ππ,55x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πcos 5x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭所以3ππππsin sin[()]cos()10255x x x ⎛⎫-=-+=+=- ⎪⎝⎭1．若tan 2π0x x =<<，则角x 等于（）A ．π3或2π3B ．2π3或4π3C ．4π3或5π3D ．2π3或5π3【答案】D【解析】∵tan πtan ππ33⎛⎫= ⎪⎝-=-⎭，∴2πtan tan3x ==，∴2ππ,Z 3x k k =+∈，∵02πx <<，∴0,1k =，∴2π3x =或5π3.故选：D.2．若()2sin π3α-=-，且π(,0)2∈-α，则()cos πα+的值为（）A．3±B．3C．D ．23【答案】C【解析】由()2sin π3α-=-，得2sin 3=-a ，而π(,0)2∈-α，于是cos 3α=，所以()cos πcos αα+=-=故选：C3．已知s 5πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭3πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．12B ．－12CD 【答案】D 【解析】3π5π5π3sin sin 2πsin 4442ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D4）A ．sin 2cos 2+B ．cos 2sin 2-C ．sin 2cos 2-D ．()cos 2sin 2±-【答案】Csin2cos2-又因为角2时第二象限角，所以sin 20,cos 20><，所以sin 2cos 2sin 2cos 2-=-.故选：C.5．（多选）下列三角函数式的值与πsin 3的值相同的是（）A ．3πsin 2π,Z 4n n ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭B ．πcos 2π,Z 6n n ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭C ．πsin 2π,Z 3n n ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D ．()πcos 21π,Z 6n n ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦【答案】BC 【解析】3π3ππsin 2πsin sin 443n ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，故A 不正确；πππcos 2πcos sin 663n ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故B 正确；ππsin 2πsin 33n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故C 正确；()πππcos 21πcos sin 6623n ⎡⎤+-=-=-⎢⎥⎣⎦，故D 不正确.故选：BC.6．()()()()()tan 150cos 570cos 1140tan 210sin 690-︒⋅-︒⋅-︒=-︒⋅-︒_________．【解析】因为()tan 150tan(30180tan 30-︒=︒-︒)=︒，()cos 570cos570cos(30540cos30-︒=︒=︒+︒)=-︒，()cos 1140cos1140cos(601080)cos60-︒=︒=︒+︒=︒，()tan 210tan 210tan(30180tan 30-︒=-︒=-︒+︒)=-︒，()sin 690sin(30720sin 30-︒=︒-︒)=︒，所以()()()()()tan 150cos 570cos 1140tan 210sin 690-︒⋅-︒⋅-︒-︒⋅-︒tan 30(cos 30)cos 60(tan 30)sin 30︒⋅-︒⋅︒=-︒⋅︒tan 30(cos30)sin 30(tan 30)sin 30︒⋅-︒⋅︒=-︒⋅︒cos30=︒=故答案为：32.7．化简：()()()()()()sin πcos 3πtan πcot 2πtan 4πsin 5παααααα----=--+________．【答案】sin α【解析】()()()()()()()()()()sin πcos 3πtan πsin cos tan sin cot 2πtan 4πsin 5πcot tan sin ααααααααααααα------==--+--.故答案为：sin α8．设Z k ∈，化简：()()()()sin πcos πsin 1πcos 1πk k k k αααα-+++++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦【答案】1-【解析】由三角函数的诱导公式，可得当k 为偶数时，()()()()sin πcos πsin cos 1sin (cos )sin 1πcos 1πk k k k αααααααα-++-⋅==--⋅-+++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；当k 为奇数时，()()()()sin πcos πsin (cos )1sin cos sin 1πcos 1πk k k k αααααααα-++⋅-==-⋅+++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，综上可得，()()()()sin πcos π1sin 1πcos 1πk k k k αααα-++=-+++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦9．求下列各式的值:（1）cos 25π3+tan 15π4⎛⎫- ⎪⎝⎭;（2）sin 810°+tan 765°+tan 1125°+cos 360°.【答案】（1）32；（2）4【解析】（1）cos 25π3+tan 15π4⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos π8π3⎛⎫+ ⎪⎝⎭+tan π4π4⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=cos π3+tan π142=+1=32.（2）原式=sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)=sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4.10．已知函数()π5π10πcos 2cos 2tan 26334π4πtan 2sin 233x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）化简()f x ；（2）若()0310f x =，求00π2πsin 2cos 263x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）πcos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）35-【解析】（1）()ππππcos 2cos 2π2tan 22333ππtan 2πsin π233x x x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦==⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππsin 2cos 2tan 2π333cos 2ππ3tan 2sin 233x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为()00π3cos 2310f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以000ππππ3sin 2sin 2cos 2632310x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，0002πππ3cos 2cos 2πcos 233310x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故00π2π3sin 2cos 2635x x ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。

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2015初升高暑假数学辅导资料(一) 集合的含义与表示（2课时）（Ⅰ）、基本概念及知识体系：1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的∈、关系；元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。

集合：用大写字母A，B，C，…表示；2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：｛y=x2+1｝；｛x2-x-2=0｝，｛x| x2-x-2=0｝,｛x|y=x2+1｝；｛t|y=t2+1｝；｛y|y=x2+1｝；｛(x,y)|y=x2+1｝；；｛｝,｛0｝3、特殊的集合：N、Z、Q、R；N*、；（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：一、集合的概念以及元素与集合的关系：1、元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。

集合：用大写字母A，B，C，…表示；元素与集合的关系：∈、②、特殊的集合：N、Z、Q、R；N*、；③、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：★【例题1】、已知集合A=｛a-2,2a2+5a,10｝,又-3∈A，求出a之值。

●解析：分类讨论思想；a=-1(舍去），a=▲★课堂练习：1、书本P5：练习题1；P11：习题1.1：题1、2、5：①②2、已知集合A=｛1，0，x｝,又x2∈A，求出x之值。

(解：x=-1)3、已知集合A=｛a+2,（a+1）2，a2+3a+3｝,又1∈A，求出a之值。

（解：a=0)二、集合的表示---------列举法和描述法★【例题2】、书本P3：例题1、P4：例题2★【例题3】、已知下列集合：（1）、=｛n | n = 2k+1,kN,k5｝；（2）、=｛x | x = 2k, kN, k3｝；（3）、=｛x | x = 4k＋1,或x = 4k－1,kk3｝；问：（Ⅰ）、用列举法表示上述各集合；（Ⅱ）、对集合，，，如果使kZ,那么，，所表示的集合分别是什么？并说明与的关系。

解：(Ⅰ)、⑴=｛n | n = 2k+1,kN ,k5｝＝｛1，3，5，7，9，11｝；⑵、=｛x | x = 2k, kN, k3｝＝｛0，2，4，6｝；⑶、=｛x | x = 4k1,kk3｝＝｛－1，1，3，5，7，9，11，13｝；（Ⅱ）、对集合，，，如果使kZ,那么、所表示的集合都是奇数集；所表示的集合都是偶数集。

▲点评：（1）通过对上述集合的识别，进一步巩固对描述法中代表元素及其性质的表述的理解；（2）掌握奇数集．偶数集的描述法表示和集合的图示法表示。

★【例题4】、已知某数集A满足条件：若，则.①、若2，则在A中还有两个元素是什么；②、若A为单元素集，求出A和之值.● 解：①和；②（此时）或（此时）。

▲●课堂练习：1、书本P5：练习题2；P12：题3、42、设集合M=｛x|x= 4m+2,m∈Z｝,N=｛y|y= 4n+3,n∈Z｝，若x0∈M,y0∈N，则x0·y0与集合M、N的关系是（ A）：A、x0·y0∈M B、x0·y0M C、x0·y0∈N D、无法确定●解：x0·y0= 4(4mn+3m+2n+1)+2,则x0·y0∈M三、今日作业：1、已知集合B=｛x|ax2-3x+2=0,a∈R｝,若B中的元素至多只有一个，求出a 的取值范围。

（解：a=0或a≥9/8)2、已知集合M=｛x∈N|∈Z｝，求出集合M。

（解：M=｛0，1，2，5｝3、已知集合N=｛∈Z | x∈N｝，求出集合N。

（解：N=｛1，2，3，6｝四、提高练习：★【题1】、(2006年·辽宁·T5·5分）设⊕是R上的一个运算,A是R上的非空子集,若对任意的a、b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于0）四则运算都封闭的是（ C ）A 自然数集B 整数集C 有理数集D 无理数集★【题2】（2006年·山东·T1·5分）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z=xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（ D ）（A）0 （B）6 （C）12 （D）18★【题3】（2005年·湖北·T1·5分）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，则P+Q中元素的个数是（ B ）A．9 B．8 C．7 D．6★【题4】（广东2007年理科·8题）设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（），在中有唯一确定的元素与之对应）．若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（ A ）A．B．C．D．（Ⅲ）、课堂回顾与小结：1、记准N、Z、Q、R；2、分清列举法和描述法，注意集合中的元素是否满足互异。

◆讲义二：集合之间的基本关系（2课时）（Ⅰ）、基本概念及知识体系：1、集合之间的基本关系：包含关系------子集、真子集、空集；集合的相等。

2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。

（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：（一）、集合之间的基本关系：子集、真子集、空集（如方程x2+1=0的根）；集合的相等。

（二）、含有n个元素的集合A的子集个数是_____2n,,真子集个数是___2n-1,非空真子集：2n-2★【例题1】、已知集合P=｛x|x2-5x+4≤0｝,Q=｛x|x2-(b+2)x+2b≤0｝且有PQ，求实数b的取值范围。

●解：{b|1≤b≤4}；注意利用数轴去加以判断。

★【例题2】、（2007年湖南·10题）．设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ B ）A．10 B．11 C．12 D．13 ★【例题3】、（2007年北京文科·15题·12分）记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（）若，求；（）若，求正数的取值范围．●解：（）由，得．（）．由，得，又，所以，即的取值范围是．▲★课堂练习：1、书本P7：练习题1、2、3；P12： 5：①②③；B组第2题。

2、已知集合A=｛2，8，a｝, B=｛2，a2-3a+4｝,又AB，求出a之值。

(解：a= -1或4)3、已知集合A=｛x|-3≤x≤4｝B=｛x|2m-1≤x≤m+1｝,当BA时，求出m之取值范围。

（解：m≥-1)特别注意：当BA时，B一定包括有两种情形：B=或B≠，解题时极易漏掉B=这一情况从而出错！（三）、今日作业：●1、判断下列集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：①、已知集合A=｛x|x=2k-1,k∈Z｝B=｛x|x=2m+1,m∈Z｝(解：A=B）②、已知集合A=｛x|x=2k,k∈Z｝B=｛x|x=4m,m∈Z｝(解：B A）●2、已知集合M=｛x|-2≤x≤5},N={x|m+1≤x≤2m-1}①、若NM，求实数m的取值范围；（解：m≤3，注意N为的情况！)②、若x∈Z，则M的非空真子集的个数是多少个？（解：28-2=254个）③、（选做）当x∈R 时，没有元素使得x∈M与x∈N同时成立，求实数m 的取值范围（解：m<2或m>4)（四）、提高练习：★【题1】、设集合S=｛a,b,c,d,e｝,则包含｛a,b｝的S的子集共有（D ）个A 2B 3C 5D 8★【题2】、集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N｝,则A的非空真子集的个数为（C ）Ａ４Ｂ５Ｃ６Ｄ７★【题3】、对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B=｛(x,y)|x∈A,y∈B｝,若A=｛1，3｝，B=｛2，4｝，则点集A×B的非空真子集的个数是___14_个★【题4】、集合的真子集个数是（ A ）（A）16 （B）8 （C）7 （D）4●解答、，A的真子集有：，共7个，选C★【题5】、（2004湖北）已知集合P=｛m|-1<m<0},Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意的x∈R恒成立}，则有（ B ）A P=Q BPQ C PQ D P∩Q=Q★【题6】、设集合M=｛x|x=+,k∈Z｝,N=｛x|x=+,k∈Z｝,则（ B）A M=N BMN C MN D M∩N=（Ⅲ）、课堂回顾与小结：3、分清子集、真子集、空集；注意的特殊性。

4、利用韦恩图，利用数轴，注意分类讨论思想的培养与应用。

讲义三：集合之间的基本运算（2课时）（Ⅰ）、基本概念及知识体系：1、集合之间的基本运算：①、交集A∩B=｛x|x∈A且x∈B｝;②、并集A∪B=｛x|x∈A或x∈B｝；③、全集和补集：CUA=｛x|x∈U且xA｝2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。

（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：（一）、集合之间的基本运算：A∩B=｛x|x∈A且x∈B｝; A∪B=｛x|x∈A或x∈B｝；CUA=｛x|x∈U且xA｝（二）、A∪B=A ?BA，要特别注意B是否为的情况的讨论。

★【例题1】、已知集合A=｛x|x2-2x-8=0｝,B=｛x|x2+ax+a2-12=0｝且有A∪B=A ，求实数a的取值集合。

●解：{a|a<-4,或a=-2,或a≥4}；注意，注意分类讨论。

★【例题2】、已知全集U=｛x|x≤4｝,集合A=｛x|-2<x<3｝, 集合B=｛x|-3<x≤3｝,求①、CUA，②、A∩B，③、CU（A∩B），④、（CUA）∩B，⑤、CU（A∪B）●解：{a|a<-4,或a=-2,或a≥4}；注意，注意分类讨论。

★【例题3】、已知集合A=｛x|x2-4mx+2m+6=0｝,B=｛x|x<0｝,且有A∩B≠，求实数m的取值范围。

●解：（正难则反，补集的思想）｛m|m≤-1｝▲★课堂练习：◆1、书本P11：练习题1、2、3、4；P12： 6、7、8、9；B组第3、题。

◆2、、(2006年·辽宁·T1·5分）设集合A=｛1，2｝，则满足A∪B=｛1,2,3｝的集合B的个数为( C )A 1B 3C 4D 8◆3、(2005年·全国Ⅰ·T2·5分）设I为全集，S1、S2、S3是I 上的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下列论断正确的是（ C ）A CIS1∩（S2∪S3）=B S1（CIS2∩CIS3） CCIS1∩CIS2∩CIS3= D S1（CIS2∪CIS3）4、已知集合A=｛x|-3≤x≤4｝B=｛x|2m-1≤x≤m+1｝,当A∪B=A时，求出m之取值范围。

（解：m≥-1)特别注意：当BA时，B一定包括有两种情形：B=或B≠，解题时极易漏掉B=这一情况从而出错！（三）、今日作业：●1、已知集合A=｛x|x+2>0｝,B=｛x|ax-3<0｝且有A∪B=A，求a 的取值范围。

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