零点存在性定理[优质PPT]
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零点的存在性定理
06 参考文献
参考文献
01
[1] 张三. (2018). 零点存在性定理研究. 科学出版社.
02
[2] 李四, 王五. (2020). 数学分析中的零点存在性定理及其 应用. 高等教育出版社.
03
[3] 刘海涛. (2015). 实数完备性与零点存在性定理. 清华大 学出版社.
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扩展二
总结词
探索零点存在性定理在多维空间的应用
详细描述
零点存在性定理主要应用于一维实数线上。然而，这 个定理也可以推广到多维空间中。通过研究高维空间 中函数的零点存在性，可以揭示出更多有趣的数学现 象和性质。
扩展三
总结词
将零点存在性定理与其他数学定理结合
详细描述
零点存在性定理可以与其他重要的数学定理结合使用， 以解决更复杂的问题。例如，它可以与极限理论、积分 理论等结合，用于证明更广泛的数学命题。这种结合可 以促进数学不同分支之间的交叉融合，推动数学的发展 。
证明方法二
总结词
利用极限的存在性和函数值的符号变化证明。
详细描述
首先，我们需要证明函数在某一点的极限存在，并且函数值从正变为负或从负变为正。这样，我们可 以确定函数在这一点附近有零点。通过分析函数在区间两端的取值和变化趋势，我们可以找到这样的 点，从而证明零点的存在性。
证明方法三
总结词
利用导数和函数的单调性证明。
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推论一
推论一
如果函数在区间两端取值异号，则函数在此区间内至少存在 一个零点。
证明
假设函数在区间$[a, b]$两端取值异号，即$f(a) cdot f(b) < 0$。 根据连续函数的性质，函数在区间$[a, b]$上必存在至少一个零 点，使得$f(c) = 0$，其中$c in (a, b)$。
函数的零点存在性定理ppt课件
结合思想，培养学生的辨证思 维能力，以及分析问题解决问 题的能力．
教学过程
（一）回顾旧知，发现问题 问题1 函数的零点： _________________________________ 问题2 求出函数的零点:
f (x) 4x 3 f (x) x2 2x 3
问题3 用上述方法能否求出下列函数的零点
2.数学思想方面： 函数与方程的相互转化，即转化思想 借助图象探寻规律，即数形结合思想
【课后作业】
1.函数f (x) ex x 2 的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 2.方程lg x x 0 的根所在的区间可能是 A.( ,0) B.(0.1,1) C.(1,2) D.(2,4)
f (x) x3 3x 5
f (x) ln x 2x 6
分析函数(画图)
f (x) 4x 3
f (x) x2 2x 3
问题1 分别找出上述函数零点所在的大致区间. 问题2 观察区间端点的函数值的符号变化问题.
总结归纳，形成概念:
函数零点的存在性定理： __________________________________ _______________________
【学习目标】
1 .知识和技能目标：掌握函数零点的存在性定理；正确判断
出零点所在的区间.
2 .过程与方法：有些函数通过求方程的根求零点,有些函数不
易通过求方程的根求出零点.以这个问题为突破口,引出零点存在 性.在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归 纳思想.
3 .情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数形
讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立 吗？试举例并结合图形来分析.
零点(2020.8.11)课件2
解析：令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f (x)－h(x). 在同一坐标系中画出y＝f (x)，y＝h(x)图象的示意图， 若g(x)存在2个零点，则y＝f (x)的图象与y＝h(x)的图象 有2个交点. 由图知－a≤1，∴a≥－1.
数形结合求解
（3）若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是_(－__∞__，__4_).
3.函数f (x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为
√ A.1 B.2
C.3
D.4
解析 令 f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝21x， 设 g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝21x，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x)的图象， 可以发现两个函数图象一定有 2 个交点，
则 t 的取值范围是2，130. 所以实数 a 的取值范围是2，130.
转化成有解、求值域
(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0， g(x)＝f(x)＋x＋a. 若g(x)存在2个零
点，则a的取值范围是
ln x，x>0，
A.[－1,0)
√ B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞)
D.[1，＋∞)
例 (1)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是
√ A.1
B.2
C.3 D.4
解析 (数形结合法) ∵a>0，∴a2＋1>1. 而y＝|x2－2x|的图象如图， ∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点. 即方程有2个解.
(2)若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则
2
解析
若方程 log1 a 2x 2 x 有解，
人教A版高中数学必修1课件3.1.2函数零点存在性定理课件
由题意，得方程组
函数零点存在性定理
【变式训练】 △ ＝(m ＋1)2 －16 ＞0 f(0) ＝4≥0 f(3) ＝9－3(m＋1) ＋4≥0
知识点—— 函数零点存在性定理
函数零点存在性定理
【函数零点存在性的判定方法】 对于函数相对应的方程能求解的，可以直接 求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于 函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处 理？ 如果函数y＝f（x）在区间[a，b] 上的图象是 f(b) ＜0 ，那 连续不断的一条曲线，并且有f(a) · 么，函数 y＝f（x）在区间(a，b) 内有零点.即存 在c ∈ (a，b)，使得f(c) ＝0 ，这个 c也就是方程 的根.
函数零点存在性定理
【说明】
(1)函数 y＝f（x）在区间 [a，b]上有定义； (2)函数的图象是连续不断的一条曲线； (3)函数y＝f（x） 在区间[a，b] 两端点的函数值必 f(b) ＜ 0 ； 须满足f(a) · (4)函数 y＝f（x）在区间 (a，b)内有零点，但不唯 一； (5)用判定方法验证函数f（x） ＝x2 ，说明该方法 仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方 法.
【变式训练】
若二次函数y ＝ － x2 ＋mx －1的图象与两端点为 A(0，3) ，B(3，0) 的线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值 范围.
解：线段AB的方程是 x＋y＝3(0≤x≤3)
x＋y＝3ຫໍສະໝຸດ 在0≤x≤3 上有两组实数解 y＝－ x2 ＋mx－1 解得：x2－(m＋1)x＋4＝0 在0≤x≤3 上有两个实根 令f（x）＝ x2－(m＋1)x＋4 ，则二次函数 在0≤x≤3 上有两 个零点.
函数零点存在性定理
【二次函数的零点的应用】 ①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函 数的简图. ②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的 符号，观察函数的一些性质. 注：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.
人教必修一数学《3.1.1.2函数与方程(2)函数零点的存在性定理》(课件)
C. a 1 或a 1 D. a 1 5
4 . 若方程2ax2 x 1 0在（0，1）内 恰有一个解，则a的取值范围是______。
「家庭作业」 1. 《考向标》 P71 — P72； 2. 自学教材：P89 — P91：
二分法求方程的近似解。
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
自我感悟
教材P87 — P88 通过对二次函数零 点所在区间其有的特点，得出一般函数 y = f (x)在区间［a，6］上是否存在零点 的“零点存在性定理”。
请你思考以下几个问题：
（1）为何规定函数 y = f (x)的图象是 连续不断的？
（2）为何只研究 f (a) ·f (b) < 0这个 情况？
（3）为何只说“存在 c (a，b) ，
使得 f (c) = 0”而不说到底有几个零点？ （4）要得出函数 y = f (x)在区间
［a，b］上零点个数，你认为应增加哪些 条件？
知识归纳
函数零点存在定理
如果函数y f ( x)在区间a，b上的图象
是连续不断的一条曲线，并且有f (a) f (b) 0， 那么，函数 y f ( x)在区间(a，b)内有零点，即 存在c (a，b)，使得f (c) 0，这个也就是方程 f ( x) 0的根.
知识运用
1.教材P92 A组T 2
2. 求函数f ( x) ln x 2x b的零点个数.
3 . 设f ( x) 3ax 1 2a在(1，1)上存在
x0，使f ( x0 ) 0，则a的取值范围是（ ）
A. a 1 B. a 1
5
5
零点存在性定理
2
方程 y=0 函数
x2－2x－3=0 － y= x －2x－3
2
x －2x+1=0 y= x －2x+1
2
2
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
. 函数图象
－1
y
2 1
. .
－1 －2
.y
2
y
. . . 1 .
2
.
.
x
－1
5
0
1
2
3
x
－1
1
(简图） 简图） 简图
0
－3 －4
3 2 1
.
4
.
.
5
问题1：此图象是否能 问题 ： 表示函数？ 表示函数？ 问题2： 问题 ：你能从中分析 函数有哪些零点吗？ 函数有哪些零点吗？
-2
-1
2
3
6
设问激疑,延伸拓展 设问激疑 延伸拓展 例1:求函数 1:求函数
f ( x ) = 4 x 2 − 12 x + 9
的零点个数。 的零点个数。
再次思考问题： 再次思考问题：你能求出下列方程的实数根个数 吗?
∴选 B
15
方程的根与函数的零点
初步应用,理论迁移 初步应用 理论迁移
例2 求函数 y = ( x − 2) 2 ( x 2 − 2 x − 3) 的零点: 的零点
求函数零点的步骤： 求函数零点的步骤： (1)令 (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； 解方程f(x)=0 (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点 (3)写出零点 如何解下列方程
即存在 c ∈ ( a, b ) ，使得 f (c) = 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) = 0 的根。
零点存在性定理
探索新的证明方法
随着数学研究的不断深入，有望出现新的证明方法和思路，为定理的证明和应用提供新 的视角和途径。
感谢您的观看
THANKS
在微分方程中的应用
初始值问题的解的存在性
对于某些微分方程的初始值问题，可以利用零点存在性定理证明解的存在性。
周期解的存在性
对于某些具有周期性的微分方程，可以利用零点存在性定理证明周期解的存在性。
03
零点存在性定理的推广和深 化
推广到高维空间
零点存在性定理最初是在一维实数线上证明的，但后来被推 广到了高维空间。在高维空间中，零点存在性定理的应用更 加广泛，涉及到许多重要的数学问题，如多元函数的零点、 向量场的奇点等。
零点存在性定理
目录
• 零点存在性定理的概述 • 零点存在性定理的应用 • 零点存在性定理的推广和深化 • 零点存在性定理的进一步思考 • 零点存在性定理的实践应用案例 • 总结与展望
01
零点存在性定理的概述
定理的定义
• 零点存在性定理：如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续， 且$f(a) \cdot f(b) < 0$，则存在至少一个$c \in (a, b)$， 使得$f(c) = 0$。
零点存在性定理的证明和应用推 动了数学的发展，激发了众多数 学家和学者的研究热情，促进了 数学理论的不断完善和进步。
对未来研究的展望
探索更多应用领域
随着科学技术的不断进步，零点存在性定理有望在更多领域得到应用和推广，例如在数 据分析、机器学习等领域。
深化定理的理解
尽管零点存在性定理已经得到了广泛的应用和证明，但对其本质和内在机制的理解仍需 进一步深化和研究，以推动数学理论的进一步发展。
06
随着数学研究的不断深入，有望出现新的证明方法和思路，为定理的证明和应用提供新 的视角和途径。
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THANKS
在微分方程中的应用
初始值问题的解的存在性
对于某些微分方程的初始值问题，可以利用零点存在性定理证明解的存在性。
周期解的存在性
对于某些具有周期性的微分方程，可以利用零点存在性定理证明周期解的存在性。
03
零点存在性定理的推广和深 化
推广到高维空间
零点存在性定理最初是在一维实数线上证明的，但后来被推 广到了高维空间。在高维空间中，零点存在性定理的应用更 加广泛，涉及到许多重要的数学问题，如多元函数的零点、 向量场的奇点等。
零点存在性定理
目录
• 零点存在性定理的概述 • 零点存在性定理的应用 • 零点存在性定理的推广和深化 • 零点存在性定理的进一步思考 • 零点存在性定理的实践应用案例 • 总结与展望
01
零点存在性定理的概述
定理的定义
• 零点存在性定理：如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续， 且$f(a) \cdot f(b) < 0$，则存在至少一个$c \in (a, b)$， 使得$f(c) = 0$。
零点存在性定理的证明和应用推 动了数学的发展，激发了众多数 学家和学者的研究热情，促进了 数学理论的不断完善和进步。
对未来研究的展望
探索更多应用领域
随着科学技术的不断进步，零点存在性定理有望在更多领域得到应用和推广，例如在数 据分析、机器学习等领域。
深化定理的理解
尽管零点存在性定理已经得到了广泛的应用和证明，但对其本质和内在机制的理解仍需 进一步深化和研究，以推动数学理论的进一步发展。
06
零点的存在性定理 ppt课件
f 2 f 2 < 0,但f x在-2,2上有三个
零点-1,0,1.
探究二 正确使用零点存在性定 理
若 函 数 fxx2 2 a x 2 在 区 间 0 ,4 上
至 少 有 一 个 零 点 ， 求 a 的 取 值 范 围
五 课堂小结
判断函数y f x零点的存在性的两个条件
1函数的图像在区间a,b上一条连续不断的
有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 即 =1+4a 0,得 a 1 4
综 上 ， 当 a 0或 - 1 时 ， 函 数 仅 有 一 个 零 点 。 4
选做题答案
1因为f aabac, f bbcba f ccacb,又a b c,所以f a 0, f b 0, f c 0,即函数的两个零点分别在 a,b和b,c内。
分别位于哪两个区间?
能力提升题答案
1因 为 该 函 数 的 图 像 不 是 连 续 不 断 的 ， 不 能 使 用 零 点 存 在 性 定 理 ， 所 以 选 A
2 1 若 a = 0， 则 函 数 f x x 1为 一 次 函 数 ，
易知函数只有一个零点
2 若 a 0， 则 函 数 f x 为 二 次 函 数 ， 则 该 方 程
A . 2, 1 B . 1,0
C
C .0 ,1
D .1,2
二 能力提升题
1函 数 C .2 D .3
2 若 函 数 fx = a x 2 x 1 仅 有 一 个 零 点 ， 求 实 数
a 的 取 值 范 围
三 选做题
1若 a b c, 则 函 数 f x x a x b x b x c x c x a 的 两 个 零 点
yf x在区间a,b内有零 点 ，即存在ca,b
零点-1,0,1.
探究二 正确使用零点存在性定 理
若 函 数 fxx2 2 a x 2 在 区 间 0 ,4 上
至 少 有 一 个 零 点 ， 求 a 的 取 值 范 围
五 课堂小结
判断函数y f x零点的存在性的两个条件
1函数的图像在区间a,b上一条连续不断的
有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 即 =1+4a 0,得 a 1 4
综 上 ， 当 a 0或 - 1 时 ， 函 数 仅 有 一 个 零 点 。 4
选做题答案
1因为f aabac, f bbcba f ccacb,又a b c,所以f a 0, f b 0, f c 0,即函数的两个零点分别在 a,b和b,c内。
分别位于哪两个区间?
能力提升题答案
1因 为 该 函 数 的 图 像 不 是 连 续 不 断 的 ， 不 能 使 用 零 点 存 在 性 定 理 ， 所 以 选 A
2 1 若 a = 0， 则 函 数 f x x 1为 一 次 函 数 ，
易知函数只有一个零点
2 若 a 0， 则 函 数 f x 为 二 次 函 数 ， 则 该 方 程
A . 2, 1 B . 1,0
C
C .0 ,1
D .1,2
二 能力提升题
1函 数 C .2 D .3
2 若 函 数 fx = a x 2 x 1 仅 有 一 个 零 点 ， 求 实 数
a 的 取 值 范 围
三 选做题
1若 a b c, 则 函 数 f x x a x b x b x c x c x a 的 两 个 零 点
yf x在区间a,b内有零 点 ，即存在ca,b
3.1.1函数零点存在性定理 课件
（3）f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一错
个零点。
y
y
y
2
a
a
0
0b
-5
x
a 0 x1 b x
0
x
b
函数零点存在定理的三个-2 注意点：
1 函数是连续的。 -4
2 定理不可逆。
3 至少-6 存在一个零点。
类型一：零点所在区间的判断
例题 1：函数 f(x)=lgx-9的零点所在的大致区间是
x
知识探究：函数零点存在性定理
数学实例探究: 观察二次函数 f (x) = x2 - 2x - 3 的图象：
○1 f (-2) · f (1) ___<__0（＜或＞），
函数 y = f (x) 在区间(-2,1)上是否 有零点？
○2 f (2) · f (4) ___<_0（＜或＞），
函数 y = f (x) 在区间(2,4)上是否 有零点？
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 能力提升：
已知a R,讨论关于 x 的方程
x2 - 6x + 8 = a 实数解的个数
知识总结：
函数零点存在性定理：
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有f(a)•f(b)<0，那么，函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0 的根.
知识探究：函数零点存在性定理
观察函数y=f(x)的图象； 则f(x)在 区间[a,b]上 有(有/无)零点;f(a)•f(b) < 0(“<”“>”) 区间[b,c]上 有(有/无)零点;f(b)•f(c) < 0(“<”“>”) 区间[c,d]上 有(有/无)零点;f(c)•f(d) < 0(“<”“>”)
函数零点存在性定理
函数零点存在性定理
一. 函数零点
1.零点不是点：函数y=f(x)的零点是使函数值y=0的自变量x的值。
其几何意义是函数y=f(x)的图象和x轴交点的横坐标。
函数零点个数就是函数与x轴交点的个数。
2.函数有零点，等价于方程y=0有解，也等价函数的图像与x轴有交点。
3.函数零点的求法：1）解方程法；2）二分法，即无限逼近法求近似解；3）超越方程用图像法。
二. 零点存在性定理
函数y=f(x)在区间（a，b）是连续不断的，且f(a)f(b)<0，则函数在区间（a,b)上至少有一解。
若函数y=f(x)在上述区间上单调，则函数在上述区间有且只有一解。
三. 函数零点个数的确定方法及其应用
1.解方程法：直接求出方程的解；
2.图象法：令y=0，将式子变形到g(x)=h(x)，再作y=g(x)和y=h(x)的图象，两函数图象有几个交点就有几个零点。
人教B版必修时零点的存在性及其近似值的求法课件_4
由于|－1.929 687 5＋1.937 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数的一个负零点近似值可取
为－1.929 687 5.
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
－1.937 5－1.906 25
x5＝
2
＝－1.921 875
f(x5)≈0.117 4>0
(－1.937 5，－1.921 875)
Байду номын сангаас
－1.937 5－1.921 875
x6＝
2
＝－1.929 687 5
f(x6)≈0.010 5>0
(－1.937 5，－1.929 687 5)
【解析】选A．设g(x)＝－x2＋2|x|＋3，作出g(x)的图像， 当3<k<4时，直线y＝k与g(x)的图像有4个交点．
【补偿训练】 函数f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k有两个不等零点x1，x2，且0<x1<1<x2<2，求实数k的取 值范围． 【解析】因为函数f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k有两个零点x1，x2， 且0<x1<1<x2<2，所以设f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k画出函数的大致图像如图．
第三章 函数
3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第2课时 零点的存在性及其, 近似值的求法
素养导引 1.会用函数零点存在定理判断函数在某一区间上零点的存在性及零点个数，会 根据函数零点的情况求参数．(数学运算) 2.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求定理近似解 的方法，会用二分法求一个函数在给定区间内零点的近似值．(数学抽象、逻 辑推理)
B．(0，1) D．(2，3)
《零点的存在性及其近似值的求法》PPT课件
栏目 导引
第三章 函 数
个相等的实根，即 x1＝x2＝－m2 ，此时函数 f(x)＝x2＋mx＋n 在 (a，b，f(a) ＞0，f(b)＞0 时，方程 x2＋mx＋n＝0 在(a，b)上有两个不等实 根，即函数 f(x)＝x2＋mx＋n 在(a，b)上有两个零点.
栏目 导引
第三章 函 数
用二分法研究函数 f(x)＝x3＋3x－1 的零点时，第一次经计 算得 f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点 x0∈____________， 第二次应计算____________. 答案：(0，0.5) f(0.25)
栏目 导引
第三章 函 数
判断函数零点个数或所在区间
栏目 导引
第三章 函 数
(2)由函数 f(x)＝x3＋x－5 可得 f(1)＝1＋1－5＝－3＜0，f(2)＝8 ＋2－5＝5＞0， 故有 f(1)f(2)＜0， 根据函数零点存在定理可得，函数 f(x)的零点所在区间为(1， 2)，故选 B. 【答案】 (1)B (2)B
栏目 导引
第三章 函 数
栏目 导引
第三章 函 数
(2)f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得 a＝－x12＋2x＝－1x－12＋1. 若 f(x)在－12，12内有零点，则 f(x)＝0 在区间－12，12内有解， 当－12≤x<0 或 0<x≤12时，可得 a＝－x12＋2x≤0.所以实数 a 的取 值范围为(－∞，0]. 【答案】 (1)(1，＋∞) (2)(－∞，0]
栏目 导引
第三章 函 数
2.用二分法求函数零点近似值的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时(即 f(x)在区间[a，b]上的图 像是连续不断的，且 f(a)·f(b)＜0)，给定近似的精确度 ε，用二 分法求零点 x0 的近似值 x1，使得|x1－x0|＜ε 的一般步骤如下： 第一步 检查|b－a|＜2ε 是否成立，如果成立，取 x1＝a＋2 b， 计算结束；如果不成立，转到第二步.
课件1：3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
3．用二分法求函数f(x)＝－4x2＋8x－1的零点x0时，第一次计算 得f(0)＜0，f(0.5)＞0，f(1)＞0，则由此可得零点所在的区间和 第二次应计算的函数值分别为( C ) A．(0.5,1)，f(0.75) B．(0,0.5)，f(0.125) C．(0,0.5)，f(0.25) D．(0,1)，f(0.125) 解析：由用二分法求函数零点的步骤，知x0∈(0,0.5)，第二次应计算的 函数值为f(0.25)．
第三步，f(a)·fa＋2 b＜0，将a＋2 b→b，回到第一步； 否则必有 fa＋2 b·f(b)＜0，将a＋2 b→a，回到第一步．
思考2：当|b－a|＜2ε时，取区间(a，b)的中点作为零点的近似解，区间 (a，b)上的其他点一定不是零点的近似解吗？为什么不取其他的点作为 近似解？
提示：设函数的零点是x0，区间(a，b)的其他点为x′，x′也可能是零点的近 似解，即满足|x′－x0|＜ε，但是也可能不满足，而区间的中点一定满足， 因此只取区间的中点作为近似解，而不取其他的点．
4．用二分法求函数f(x)的一个零点，参考数据如下：
f(1.600 0)≈0.200 f(1.562 5)≈0.003
f(1.587 5)≈0.133 f(1.549 5)≈－0.029
f(1.575 0)≈0.067 f(1.540 0)≈－0.060
据此数据，可得f(x)的一个零点的近似值(精度0.01)为__1_._5_5_6___. 解析：由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.549 5)≈－0.029＜0， 即f(1.549 5)·f(1.562 5)＜0，又1.562 5－1.549 5＝0.013＜0.02，所以f(x)的 一个零点的近似值可取为(1.549 5＋1.562 5)÷2＝1.556.
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2) 如果已知一个函数图象在区间[a，b]上是 连续的，那么,什么情况下，图象在区间(a， b)内肯定会与x轴有交点呢？
如果已知一个函数图象在区间[a，b]上连续，
且f(a)·f(b)<0，那么这个函数图象在区间
（a，b）内肯定会跟x轴相交，也就是在区间
（a，b）内肯定会存在零点。
11
讨论探究，揭示定理 引导:
函数 yfx的图象 x轴 与
有交点 x0,0（ ）
5
-2
-1
问题1：此图象是否能 表示函数？
问题2：你能从中分析 函数有哪些零点吗？
2
3
6
设问激疑,延伸拓展 例1:求函数 fx4x212x9 的零点个数。
再次思考问题：你能求出下列方程的实数根个数 吗?
x32x60
(3)
(4)
f (2) f (3) 0，
3
f (x)在2,3内有零点。
选 B
15
方程的根与函数的零点
初步应用,理论迁移
例2 求函数 y(x2)2(x22x3)
的零点:
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点
如何解下列方程
（3） x32x60
在(0, )上有一个零点，则 f ( x ) 的零点个数为( A)
Ａ.３ Ｂ.２ Ｃ.１ Ｄ.不确定
17
4.问题：一次函数、反比例函数、指数函数、 对数函数、幂函数有零点吗？
18
小结
函数的零点定义
等价关系
代数法
零点的求法
函数零点存在性原理
数学思想方法
数
形
转
结
化
合 思
思
想
想
方 程 函 数 思 想
否也具有这种特点呢？
fx4x212x9
8
结 如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
论 并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在ca,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
(3)我们已经知道,区间(4,8)内肯定会有零点, 那么会有几个零点呢?是否只有一个呢?(4,8) 内的图象会是什么样的呢?
12
引导:
（4）若一个函数图象在[a，b]上连
续，但f(a)·f(b)>0，图象在区间(a，b)
内与x轴有交点吗y ？为什么?你能举个
例子吗?
a o bx
(5) 若一个函数图(1) 象在[a，b]上不连
零点存在性定理 （勘根定理）
1
复习： 函数零点的定义：
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0成立的实数 x叫做函数y=f(x)的零点．
1.任意函数 都有零点吗?
2.零点是点 还是数?
2
方程 y=0
函数
x2－2x－3=0 y= x2－2x－3
x2－2x+1=0 y= x2－2x+1
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
ln x3x80
7
探究
y
问题 1 观察二次函数 f (x) x2 2x 3的
5 4
图象，如右图，我们发现函数
3 2
f (x) x2 2x 3在区间2,1 上有零点。
1 -2 -1 0
12
345 x
-1
计算 f (2)和 f (1) 的乘积，你能发现这
-2
-3
个乘积有什么特点？在区间2,4上是 -4
图像法
函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图象连续不能忘。
19
必做题:
1、教材P 92 A组 2
2、函数 ylo2g|x| 1 的零点有( )个.
不成立
即存在c a,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
y
y
a o bx
(1)
ao
(2) y
bx
y
ao
x
b
(3)
bb
a
o
b
b
(4)
b
x
14
试一试：
函数 f (x) Inx 2 的零点所在的大致区间是（ B ） x
A．1, 2
B． 2, 3
（4） ln x3x80 16
练习：
1.在二次函数 yax2bxc中，ac<0,则其零
点的个数为（ B ）
Ａ.１
Ｂ.２
Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.若 y f (x) 不是常数函数且最小值为１，则 yf(x)1
的零点个数（ D ）
Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.０或１ Ｄ.不确定
３.已知函数f ( x ) 是定义域为Ｒ的奇函数，且 f ( x )
结论：一元二次方程的根是相应二次
函数图象与x轴交点的横坐标!
这种关系可以推广一般情形吗？
对于任意方程f（x）=0与对应函数y=f（x），上 述结论是否成立呢？
（1） 2x 10
y 2x 1
（2） lo2gx10
ylo2gx1
4
方程的根和相应的函数图象与x 轴交点的横坐标相同
x0是方 fx程 0的实数根
例
a
b
a
b
a
b
a
b
9
讨论探究，揭示定理
问题2：如图，请观察，这是某地在12月份几天内 的一张气温变化模拟函数图（即一个连续函数图 象），由于图象中有一段被墨水污染了，现在有 人想了解一下在4日到8日之间可能有几个时刻的 温度会达到0摄氏度，你能帮助他吗？
10
讨论探究，揭示定理
引导: 1) 在4日——8日（区间(4，8)）之间温度 会不会达到0摄氏度呢？为什么？
函数图象 (简图）
y
.
2
.
.y
.
.1
.
－1 0 1 2 3
－1
－2 －3
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
方程的实数根
函数的图象 与x轴的交点
x1=－1,x2=3 (－1,0)、(3,0 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
无实数根
无交点
3
续，但f(a)·f(b)<0，图象在区间(a，b)
内与x轴有交点吗？为什么?你能举个
例子吗?
13
发现：零点存在性定理（勘根定理）
如果函数 y f (x)在(1)区间a,b上的(2)图象是连续不断的一条曲线，
并且有(3) f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x) 在区间a,b 内有零点，反之
C．1,
1 e
和3,
4
D． e,
分 析 ： 判 断 区 间 a,b 是 否 为 f (x) 零 点 所 在 的 区 间 ， 只 要 判 断
f (a) f (b) 0是否成立。
经代入计算得 f (2) In2 1 0， f (3) In3 2 0
如果已知一个函数图象在区间[a，b]上连续，
且f(a)·f(b)<0，那么这个函数图象在区间
（a，b）内肯定会跟x轴相交，也就是在区间
（a，b）内肯定会存在零点。
11
讨论探究，揭示定理 引导:
函数 yfx的图象 x轴 与
有交点 x0,0（ ）
5
-2
-1
问题1：此图象是否能 表示函数？
问题2：你能从中分析 函数有哪些零点吗？
2
3
6
设问激疑,延伸拓展 例1:求函数 fx4x212x9 的零点个数。
再次思考问题：你能求出下列方程的实数根个数 吗?
x32x60
(3)
(4)
f (2) f (3) 0，
3
f (x)在2,3内有零点。
选 B
15
方程的根与函数的零点
初步应用,理论迁移
例2 求函数 y(x2)2(x22x3)
的零点:
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点
如何解下列方程
（3） x32x60
在(0, )上有一个零点，则 f ( x ) 的零点个数为( A)
Ａ.３ Ｂ.２ Ｃ.１ Ｄ.不确定
17
4.问题：一次函数、反比例函数、指数函数、 对数函数、幂函数有零点吗？
18
小结
函数的零点定义
等价关系
代数法
零点的求法
函数零点存在性原理
数学思想方法
数
形
转
结
化
合 思
思
想
想
方 程 函 数 思 想
否也具有这种特点呢？
fx4x212x9
8
结 如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
论 并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在ca,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
(3)我们已经知道,区间(4,8)内肯定会有零点, 那么会有几个零点呢?是否只有一个呢?(4,8) 内的图象会是什么样的呢?
12
引导:
（4）若一个函数图象在[a，b]上连
续，但f(a)·f(b)>0，图象在区间(a，b)
内与x轴有交点吗y ？为什么?你能举个
例子吗?
a o bx
(5) 若一个函数图(1) 象在[a，b]上不连
零点存在性定理 （勘根定理）
1
复习： 函数零点的定义：
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0成立的实数 x叫做函数y=f(x)的零点．
1.任意函数 都有零点吗?
2.零点是点 还是数?
2
方程 y=0
函数
x2－2x－3=0 y= x2－2x－3
x2－2x+1=0 y= x2－2x+1
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
ln x3x80
7
探究
y
问题 1 观察二次函数 f (x) x2 2x 3的
5 4
图象，如右图，我们发现函数
3 2
f (x) x2 2x 3在区间2,1 上有零点。
1 -2 -1 0
12
345 x
-1
计算 f (2)和 f (1) 的乘积，你能发现这
-2
-3
个乘积有什么特点？在区间2,4上是 -4
图像法
函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图象连续不能忘。
19
必做题:
1、教材P 92 A组 2
2、函数 ylo2g|x| 1 的零点有( )个.
不成立
即存在c a,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
y
y
a o bx
(1)
ao
(2) y
bx
y
ao
x
b
(3)
bb
a
o
b
b
(4)
b
x
14
试一试：
函数 f (x) Inx 2 的零点所在的大致区间是（ B ） x
A．1, 2
B． 2, 3
（4） ln x3x80 16
练习：
1.在二次函数 yax2bxc中，ac<0,则其零
点的个数为（ B ）
Ａ.１
Ｂ.２
Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.若 y f (x) 不是常数函数且最小值为１，则 yf(x)1
的零点个数（ D ）
Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.０或１ Ｄ.不确定
３.已知函数f ( x ) 是定义域为Ｒ的奇函数，且 f ( x )
结论：一元二次方程的根是相应二次
函数图象与x轴交点的横坐标!
这种关系可以推广一般情形吗？
对于任意方程f（x）=0与对应函数y=f（x），上 述结论是否成立呢？
（1） 2x 10
y 2x 1
（2） lo2gx10
ylo2gx1
4
方程的根和相应的函数图象与x 轴交点的横坐标相同
x0是方 fx程 0的实数根
例
a
b
a
b
a
b
a
b
9
讨论探究，揭示定理
问题2：如图，请观察，这是某地在12月份几天内 的一张气温变化模拟函数图（即一个连续函数图 象），由于图象中有一段被墨水污染了，现在有 人想了解一下在4日到8日之间可能有几个时刻的 温度会达到0摄氏度，你能帮助他吗？
10
讨论探究，揭示定理
引导: 1) 在4日——8日（区间(4，8)）之间温度 会不会达到0摄氏度呢？为什么？
函数图象 (简图）
y
.
2
.
.y
.
.1
.
－1 0 1 2 3
－1
－2 －3
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
方程的实数根
函数的图象 与x轴的交点
x1=－1,x2=3 (－1,0)、(3,0 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
无实数根
无交点
3
续，但f(a)·f(b)<0，图象在区间(a，b)
内与x轴有交点吗？为什么?你能举个
例子吗?
13
发现：零点存在性定理（勘根定理）
如果函数 y f (x)在(1)区间a,b上的(2)图象是连续不断的一条曲线，
并且有(3) f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x) 在区间a,b 内有零点，反之
C．1,
1 e
和3,
4
D． e,
分 析 ： 判 断 区 间 a,b 是 否 为 f (x) 零 点 所 在 的 区 间 ， 只 要 判 断
f (a) f (b) 0是否成立。
经代入计算得 f (2) In2 1 0， f (3) In3 2 0