空间解析几何第四章课件

那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
《解析几何》 －Chapter 4
§1 柱面
cylinder
Contents
一、柱面的概念 二、柱面的方程 三、柱面的判定定理 四、空间曲线的射影柱面
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平面
圆柱面
x2 y 2 a2
z
o
x
y
一、柱面的概念
定义4.1.1 在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一 定方向叫做柱面 族平行直线所生成的曲面叫做柱面（cylinder）， 的方向， 定曲线叫做柱面的准线（directrix）， 那族平行直线中的 每一条直线，都叫做柱面的母线.
v
准线
母线
一、柱面的概念
母线
v
空间曲线作为射影柱面的交线
（空间曲线的画法）
z L:
2 y 2 z 2 4 x 4 z 2 2 y 3 z 8 x 12 z
将其换成 一组射影柱面的交线
y2 = – 4x ( 消去z )
y2 = – 4x
0
y
x
空间曲线作为射影柱面的交线
（空间曲线的画法）
准线
一、柱面的概念
说明：除平面外，柱面的母线方向（也称为柱面的方向）是 确定(两个）的，而柱面的准线不是惟一(无数个）的，每一
z 条与柱面的母线都相交的曲线都可以作为柱面的准线.
母线
v
准线
0
y
准线
x
二、柱面的方程
1 柱面的一般方程
F1 x, y, z 0 Ⅰ 准线方程 C： F2 x, y, z 0
r r1 t uv
x f t Xu y g t Yu z h t Zu
z
M1
M
0
y
x
二、柱面的方程
例3 P84 例7
求以
z 轴为对称轴，半径为 R 的圆柱面的参数方程.
课堂练习
P147
3
求过三条平行直线 l1 : x y z, l2 : x 1 y z 1 与 l3 : x 1 y 1 z 2
, x2 y 2 z 2 r 2 外切的圆柱面方程.
3
证明曲面 F ( x
l
y y z z x , , ) 0 是一个柱面，它的母 m m n n l
x y z 线平行于直线 l m n
.
P
147-148
1,8(4)
2 y z 4 x 4 z 2 2 y 3 z 8 x 12 z 将其换成 一组射影柱面的交线
2 2
y2+(z – 2)2 = 4 z
L:
L：
y2 = – 4x ( 消去z ) y2+(z – 2)2 = 4
.
(消去x )
L
y2 = – 4x
0
y
.
x
例4
x y z 1 求曲线 z 1 在xoy坐标面上的投影. 2
Ⅱ 母线l 的方向数：X , Y , Z
M1 C 分析： M1 x1, y1, z1 S M1 l
F1 x1 , y1 , z1 0 F2 x1 , y1 , z1 0 x x y y1 z z1 1 t X Y Z
z
y
l1
方程 F ( x, y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
x
zl 2
y
方程 G ( y, z ) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
x
z
l3
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴;
CHAPTER 4 柱面，锥面，旋转 曲面与二次曲面
回忆：曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
（1） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
2 2 2
解 :
消去变量z后得 3 2 2 x y , 4
在 xoy 面上的投影为 3 2 2 x y 4, z 0
x2 y2 z2 1 思考：曲线 1 在yoz坐标面上的 z 2
投影，和xoz面上的投影是 什么？
1 （1）因为曲线在平面 z 上， 2 所以在 xoz 面上的投影为线段.
F1 x, y 0 叫做空间曲线L对xoy面射影的射影柱面; F2 x, z 0 叫做空间曲线L对xoz面射影的射影柱面; F3 y, z 0 叫做空间曲线L对yoz面射影的射影柱面.

F1 x, y 0, 叫做空间曲线L在xoy面上的射影曲线. z0 F2 x, z 0, 叫做空间曲线L在xoz面上的射影曲线. y0
yz 5 ，
例2 已知圆柱面的轴为 x 1 求这个圆柱面的方程.
y 1 z 1，点 P 1, 2,1 在此圆柱面上， 2 2
二、柱面的方程
2 柱面的参数方程
准线参数方程为 r1 t f t , g t , h t , 母线的方向数为 X , Y , Z
L:
y2+(z – 2)2 = 4 z
2 y 2 z 2 4 x 4 z 2 2 y 3 z 8 x 12 z
将其换成 一组射影柱面的交线
y2 = – 4x ( 消去z) y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
y2 = – 4x
0
y
.
x
空间曲线作为射影柱面的交线 （空间曲线的画法）
的圆柱面的方程
椭圆柱面（直角坐标系）
x2 y2 2 1 2 a b
方程的形式与 柱面的图形特 征之间有联系 吗？ z
o
x
y
三、柱面的判定定理
定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）
的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平
行于所缺元（坐标）的同名坐标轴。
此定理讲叙,在三维空间
1 z 2, y 0 1 z 2, x 0 3 | x | ; 2
（2）同理在 yoz 面上的投影也为线段.
3 | y | . 2
思考题
1 证明方程 ( x z)2 ( y z a)2 a2 表示的曲面是柱面.
2 求与两球面 ( x a)2 ( y b)2 ( z c)2 r 2
准线 xoz 面上的曲线 l3.
x
y
双曲柱面
x2 z2 2 2 1 a b
z
o
y
x
抛物柱面
y 2 2 px
z y
o
x
在空间直角坐标系里，因为这些柱面与 xOy 坐标面的交 线分别是椭圆，双曲线与抛物线，所以它们依次叫做椭圆柱
面，双曲柱面，抛物柱面，统称为二次柱面. z z
z
y
O
o y x
F1 x Xt , y Yt , z Zt 0 F x, y, z 0 F2 x Xt , y Yt , z Zt 0
v
M1
二、柱面的方程
例1 柱面的准线方程为 求这柱面的方程.
x2 y 2 z 2 1 ，而母线垂直于平面x x y z 0
o y
x
x
四、空间曲线的射影柱面
F x, y, z 0, F x, y 0, F x, y 0, F x, z 0, 1 1 2 L: 空间曲线 G x, y, z 0. F x, z 0, F y, z 0, F y, z 0, 2 3 3