17.2一元二次方程的解法(第一课)

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17.2一元二次方程的解法---公式法

这就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0且 b2-4ac ≥ 0）的求根公式。
有了以上的求根公式，要解一个一元二次
方程，只要把它整理为一般形式，确定出a、 b、c的值在b2-4ac ≥0的前提下，把a、b、c 的值代入求根公式，得到：
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的求根公式
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤
课堂作业：
必做题：课本31页习题17.2 第4题（1）、（2）
选做题：第4题（3）、（4）
课外作业：基训17.2（三）
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
例 2、解方程：
（1）2x2+7x-4=0
（2） x 2 3 2 3 x
巩固练习
用公式法解下列方程：（1）x2-7x-18=0
（2）2x2-9x+8=0;
（3）9x2+6x+1=0; （4）16x2+8x=3.
小结：本节课你有哪些收获？
1、求根公式 : b b2 4ac
x 2a
移项配方，得
aa
x b b2 4ac
2a
2a
x b b2 4ac
即：
x2

b a
x

b 2a
2

c a

一元二次方程的解法_直接开平方法_第1课时

知识回顾
什么叫做平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。
记作x= a
即x= a 或x= 9的平方根是__±__3__

4
25
a
的平方根是___52___
尝试（利用平方根定义）
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解（1）∵x是4的平方根 ∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
（2）移项，得x2=2 ∵ x就是2的平方根
∴x= 2
2 2 即此一元二次方程的解为： x1=
，x2=
典型例题
例1解下列方程
（1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解（1）移项，得x2=1.21
∴x=±1.1
即 x1=1.1，x2=-1.1
则m、n必须满足的条件是（ B ）
A.n=0
B.m、n异号
C.n是m的整数倍 D.m、n同号
练一练
3、解下列方程：（1）（x-1）2 =4 （2）（x+2）2 =3 （3）（x-4）2-25=0 （4）（2x+3）2-5=0 （5）（2x-1）2 =（3-x）2
练一练
4一个球的表面积是100cm2，求这个球的半径。（球的表面积s=4R2，其中R是球半径）
变成（x+h）2=k （k≥0）的形式；
解：（1）移项，得（x-1）2=4 ∴x-1=±2
即x1=3，x2=-1
例2解下列方程：典型例题
（2） 12（3－2x）2－3 = 0
分析：第2小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可。

配方法(1)教案

17.2一元二次方程的解法——配方法（1）一、教学目标：.知识与技能1. 使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠０，b≠０，c≠0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;2. 在理解的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”过程与方法过程与方法：通过观察、探究、发现和归纳总结配方法一般步骤。

情感、态度与价值观：通过配方法的学习，培养学生的细心和耐心，从而养成良好的数学学习习惯。

二、教学重点：掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方。

教学难点：凑配成完全平方的方法与技巧。

三、教学过程：（一）课前探究1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a≠0)2.不完全一元二次方程的哪几种形式?(答：只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我们已经学会了它们的解法。

特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。

练习：解方程：(x-3)2=4 (让学生说出过程)。

解：方程两边开方，得x-3=±2，移项，得x=3±2。

所以x1=5,x2=1. (并代回原方程检验，是不是根)4.其实(x-3)2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。

(把这个展开过程写在黑板上)(x-3)2=4,①x2-6x+9=4, ②x2-6x+5=0.③（二）合作交流探究新知1.逆向思维我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m)2=n的形式。

这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m)2。

2.通过观察，发现规律问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)2。

(添一项+1)即(x2+2x+1)=(x+1)2.练习，填空：x2+4x+( )=(x+ )2; y2+6y+( )=(y+ )2.3：总结规律：对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。

上海八年级数学上---17.2(2)一元二次方程的解法(含答案)

17.2（2）一元二次方程的解法一、填空1. 把下列多项式分解因式：(1)x 2＋5x ＋6＝__________，(2)x 2－5x ＋6＝__________，(3)x 2－5x －6＝__________，(4)x 2＋5x －6＝__________.2. 方程x 2＝2x 的根是__________．3. 方程(x －2)(2x －3)＝0的根是__________．4. 方程(x －5)2＝0的根是__________．5. 方程x 2－x －42＝0的根是__________．6. 已知3x 2y 2－xy －2＝0，则x 与y 之积等于__________．7. 写出一个以1、－2为根的一元二次方程__________．8. 关于x 的一元二次方程(m ＋2)x 2＋x －m 2－5m －6＝0有一个根为0，则m ＝______.9．方程230x -=的解是。

10．方程2210x x -+=的解是。

11．若代数式(2)(1)x x -+的值为0，则x = 。

12．方程2(3)128(3)x x -+=-的实数根是。

二、解答题13．解方程：2(1)0x = (2)3(23)1x x -=(3)3(2)5(2)y y y +=+ 22(4)(32)4(2)x x -=-2(5)(1(1x x -= 2(6)(21)3(21)20x x ++++=（7）－x 2＋2x ＋3＝0 （8）(x －3)2－3(3－x )－4＝0（9）. (x －6)x －2x ＋12＝0 （10）3x 2－2x ＝2x 2＋3x14．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程02092=+-x x 的一个根，求这个三角形的周长。

15．已知x 、y 为实数，且(x 2＋y 2)(x 2＋y 2＋2)＝3，求x 2＋y 2的值．三、提高题：16．已知22320a ab b +-=，求代数式22a b a b b a ab +--的值17.2（2）一元二次方程的解法一、1.（1）（x+2）（x+3）（2）（x-2）（x-3）（3）（x+1）（x-6）（4）（x-1）（x+6）2.=0 =23.==4.==55.=—6 =76. 1或者－7.（x—1）（x+2）=0 8.—3 9.=0=10.==1 11.2或—1 12.=9 =5二、13．（1）=0 =（2）121 3x x==（3）== －2（4）=—2 =（5）=0 =—3—2（6）=—1 =（7）=—1 =（8）=4 =（9）=2 =（10）=0 =+214.18 15. 1三、16.2或者—3。

17.2(3)一元二次方程的解法-配方法

(1) x2 － 4x ＋3 =0
(2) 2x2 ＋ 3x －1=0
第10页，共13页。
1：用配方法解下列方程：
(1) x2＋12x =－9
No (2) －2x2＋4x－3=0
(3) 4x2＋12x－7=0
Image (4) 1 x2 3x 1 0 2
2. 用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－3k＋5的值必定大于零.
(1) x2 6x 7 0
(2) x2 3x 1 0
第6页，共13页。
(1) x2 6x 7 0
解（1）移项，得 x2 6x 7
配方，得
x2 6x 32 7 32
则 (x 3)2 16
即 x 3 4
x 3 4或 x 3 4
x 7或 x 1
x1 7, x2 1 是根原方程的
第7页，共13页。
(2) x2 3x 1 0
解：移项 x2 3x 1
配方
x2
3x
3 2
2
1
3 2
2
得
(x 3)2 5
2
4
即
x 3 5
2
2
x1
3 2
5 2
,
x2
3 2
5 2
是原方程的根
第8页，共13页。
用配方法解一元二次方程的步骤:
1、通过移项，两边同除以二次项系数，将原方程变形
(4)
y2
1 2
y
（__14_）_2
(
y
__14 _)2
它们之间有什么关系?
第3页，共13页。
x2 6x 4 0
想一想如何x2解 6方x移程项x42 6x 4 0 ?
两边加上32,使左边配成完全平方式

沪科版八下数学17.2一元二次方程的解法课件

（1）x +8x 7 0
2
（2）x2 5x 2 0
（3） 2x2 +5x 1 0
（4） 3x2 -5x 2 0
2)2
谢
谢
观
再
见
看
2
5x 1 0
(4)3x
2
6x 1 0
小结
一、直接开平方法：
一般地，对于形如 x²=a(a≥0) 的方程，利用
平方根的定义，可得： x₁=
,
₂ = −
这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。
同样由（x+h)²=k(k≥0) 得 x + h = ± ，
x₁= − ℎ, x₂= − − ℎ
二、配方法：
先把原一元二次方程的左边配成一个
完全平方式，然后用直接开平方法求解，
这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
知识巩固
例2：用配方法解一元二次方程：
(1）x²-4x-1=0
(2) 2x²-3x-1=0
解：（1）移项，得x 2 4x 1
配方，得x 2 2 2x +22 1+22
（2）直接开平方得：x-1=±2，： ₁ = 3， ₂ = −1
（3）原式化为：(x+2)²=16，直接开平方得： x+2=±4 ：
₁ = 2， ₂ = −6
结论
一、直接开平方法：
一般地，对于形如 x²=a(a≥0) 的方程，利用
平方根的定义，可得： x₁=
,
₂ = −
这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。
3.变形：等号左边写出完全平方式
4.开平方：利用开平方的定义直接开平方

17.2一元二次方程的解法--公式法

一元二次方程的解法公式法
第1页，共30页。
知识回顾
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？二次项系数化1，移项，配方，变形，开平方，求解，定根
2、用配方法解下例方程
（1）2x2 7x 2 0
（2）2x2 4x 5 0
用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法？
1. 3
第23页，共30页。
一、由配方法解一般的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
(b2 4ac 0)
第24页，共30页。
二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c (整系数
,a为正的）的值。
2、求出 b2 4ac 的值，并判断是否大于,等于
x1
1,
x2
2 3
.
第19页，共30页。
随堂练习
2.用公式法解下列方程：
(1)2x2-x-1=0
解: a 2,b 1,c 1 b2 4ac 1 8 9 0
x 1 9 13 22 4
x1
1,
x2
1. 2
(2)x2+1.5=-3x
解 : x2 3x 1.5 0 a 1,b 3,c 1.5 b2 4ac 9 6 3 0
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解方程x2+4x=2
解：移项，得 x2+4x-2=0
这里的a、b、c的值是什么？
a= 1，b= 4，c = -2.
b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24. 0

沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的解法》(第1课时)优课件

像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x2=a（a ≥0）或（x + h)2 =k（k ≥0)的形式，然后再根据平方根的意义求解
例1 解下列方程（1）x²-1.21=0 (2)4x²-1=0
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢? 解:（1）∵x是4的平方根
∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为: x1=2，x2 =-2
（2）移项， 2 即此一元二次方程的根为：x1=
2 ，x2= 2
什么叫直接开平方法？
1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法来求解?
(x h)2 k
方程可化为一边是 _含_未__知__数__的__完_全__平__方__式__, 另一边是___一_个__常__数____,那么就可以用直接开平方法来求解. 2、直接开平方法的理论依据是什么?
平方根的定义及性质
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月5日星期二2022/4/52022/4/52022/4/5 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/52022/4/52022/4/54/5/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/52022/4/5April 5, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。

配方法

求真知做真人
探究交流2
怎样解方程: x2+2x-1=0
解： x2+2x-1=0
方程配方的方法：
移常数项
x2&全上一次项
平方式：常数项等于一
两边都加上1
系次项数系一数半一半的的平平方方..注意是在
x2+2x+1=1+1
写成( x+n)2=p的形式
二次项系数为1的前提下进
（1）x2+4x+ 22 = ( x + 2 )2
（2）x2-6x+（-3）2 = ( x- 3 )2
（3）x2 -8x+（-4）2= ( x- 4 )2
（4） x2 + 43x+
= ( 2 )2 3
(
x+
2 3
)2
你发现了什么规律？
想一想：
p
p
x2+px+( 2 )2=(x+ 2 )2
二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.
2019年度“一师一优课，一课一名师”优课展示活动
沪科版初中数学八年级下册 17.2一元二次方程的解法—配方法（1）
滁州市凤阳县实验中学
车灵通
求真知做真人
你还记得吗？
用直接开平方法解下列方程 (1) x2 16 0 (2) (x 3)2 5 (3) (x 1)2 4 0
求真知做真人
学习目标
(x+1)2=2
行的.
直接开平方法
x+1= 2
求真知做真人
要点归纳配方法的定义像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法. 配方法解方程的基本步骤

1开平方法解一元二次方程(第1课时)课件

1.当方程的一边容易变形为含未知数的完全平方式，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解，
即：对于(mx ＋n)2＝p(p≥0)，得：mx n p
2.若两边都是完全平方式，
即：（ax +b）2=(cx +d)2，得 ax b (cx d )
练一练
1.（3x -2）²-49=0
2.（3x -4）²=（4x -3）²
沪教版八年级上册
第 17 章一元二次方程
17.2开平方法解一元二次方程（第1课时）
目录
1 学习目标 3 课本例题 5 题型讲授 7 课堂小结
2 新课讲授 4 课本练习 6 随堂检测
学习目标
1．理解解一元二次方程降次的转化思想； 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0) 的一元二次方程； 3.体会类比的思想；
1.用直接开平方法解方程 x2－81＝0.
解：移项得x2＝81.
移项，要变号
根据平方的意义，得x＝±9，即x1＝9，x2＝－9.
开平方降次
2.利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=25；
(2) x2－900=0.
解：（1） x2=25，直接开平方，得 x 5,
x1 5 ，x2 5.
x1=3, x2=－1
4.解下列方程：（1）(x＋1)2= 2 ；
解析：第1小题中只要将(x＋1)看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解. 解：（1）∵x+1是2的平方根，
∴x+1= 2. 即x1=−1+ 2 ，x2=−1− 2.
（2）(x−1)2−4 = 0；
解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第 1小题一样地解.
像这样解一元二次方程的方法叫做开平方法。

17.2_一元二次方程的解法(直接开平方法)

c 1当 a 0时，方程的根是x
2当
c a
0时，原方程无实数根。
2 2
提问：下列方程有解吗？
(1) x 4 3; (2) 3x 1 3;
归纳小结
1．直接开平方法的依据是什么？（平方根的定义）
2.用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程： x 2 p p 0 或
2
12(2 x) 9 0
1、用直接开方法解方程：
2 2
你会变吗？
32 x 5 12 22 x 5 4
2、用直接开方法解方程：
93m 5 3 0
2
方程
ax c 0 a 0 一定有解吗?
2
2 c a
a0 x
;
c a ;
5 7 ∴x1= ， x = 2 4 4
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。简称开平方法。
初试锋芒用直接开平方法解下列方程：
(1) y2-16=0
将方程化成
(2)
2 X -6=0
x b
2
(b≥0）的形式,再求解
（3）x2=a(a≧0)
2 116 x 49
1 4
随堂检测：
2 （1）2x -8=0
(2)
2 9x -5=3
(3) (x+6)2-9=0
(4) (5)
2 3(x-1) -6=0 2 x +2x+1=4
基本要求：让每个学生都掌握形如x2=a(a≧0) 和（x+m）2=n(n≧0)用直接开平方法解一元二次方程，为配方法作准备。
较高要求：理解用直接开平方法解一元二次方程的依据，初步理解降次的思想。

《17.2一元二次方程的解法》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级下册

《一元二次方程的解法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在使学生能够：1. 熟练掌握一元二次方程的标准形式；2. 理解一元二次方程的解法原理；3. 学会使用开平方法解一元二次方程；4. 培养学生的逻辑思维能力和解题能力。

二、作业内容本节作业内容主要围绕一元二次方程的解法展开，具体包括以下方面：1. 练习题。

选取具有代表性的练习题，让学生在解题过程中熟悉一元二次方程的解法步骤和解题思路。

题目应涵盖不同类型的一元二次方程，如标准形式和非标准形式的方程，使学生能够全面掌握。

2. 开平方法讲解。

详细介绍开平方法的基本原理和操作步骤，使学生明白开平方法在解一元二次方程中的应用。

可以结合实例进行讲解，使学生更容易理解和掌握。

3. 开放性问题探讨。

设置一些与一元二次方程相关的开放性问题，引导学生进行思考和探讨。

例如，可以让学生探讨不同解法之间的优劣，或让学生自行设计一道一元二次方程的解题题目并解答。

这样不仅可以培养学生的创新思维，还可以加深学生对一元二次方程的理解。

4. 注意事项。

提醒学生在解题过程中注意的问题，如保证方程的标准形式、开平方的准确性等。

同时，还要注意培养学生的良好学习习惯，如独立完成作业、及时检查答案等。

三、作业要求本节作业要求学生：1. 独立完成作业，不得抄袭他人答案；2. 按照作业步骤和要求进行答题；3. 注重解题思路的梳理和总结；4. 及时检查答案并改正错误；5. 如有疑问或困难，可向老师或同学请教。

四、作业评价本节作业的评价标准包括：1. 正确性：答案是否正确，是否符合题目要求；2. 完整性：解题步骤是否完整，是否详细；3. 思路清晰度：解题思路是否清晰，是否有条理；4. 创新性：在解题过程中是否有新的想法或方法；5. 态度：是否独立完成作业，是否有良好的学习习惯。

五、作业反馈本节作业完成后，老师将对学生的作业进行批改和评价，并给予针对性的反馈和建议。

对于出现的问题和错误，老师将进行详细的讲解和指导，帮助学生改正错误并加深对一元二次方程的理解。

沪教版(上海)八年级上册数学 17.2 一元二次方程及其解法(一) 教案

17.2 一元二次方程及其解法（一）教案【学习目标】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、特殊的一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定例题1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)； (2)．【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程． (2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③ 2102y =；④215402x x -+=； ⑤ 2230x xy y +-=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x -+=不是整式方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定例题2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0； (2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．举一反三：【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =-；（2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2.类型三、一元二次方程的解（根）例题3. 若0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．【思路点拨】根据一元二次方程解的性质，直接求出m 的值，根据若是一元二次方程时，注意二次项系数不为0，再利用根的判别式求出即可．【答案与解析】解：∵0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解， ∴2280m m +-=∴24m m ==-或①当20m -≠∴4m =-∴原方程为：2630x x -+= 2490b ac =-=>∴此方程有两个不相等的根．2630x x -+=()3210x x --=解得：00.5x =或②当2m =∴30x =∴0x =【总结】此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练记忆根的判别式公式是解决问题的关键．类型四、用直接开平方法解一元二次方程例题4.解方程（1）3x2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．【答案与解析】（1）把方程变形为3x2=24，x2=8．开平方，得原方程的根为x=或x=-．(2)原方程可化为(4-3n)2=64，所以有4-3n=8或4-3n=-8．所以，原方程的根为n=-或n=4．【总结】应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．【答案】解：4（x+3）2=25（x﹣2）2，开方得：2（x+3）=±5（x﹣2），解得：，．类型五、因式分解法解一元二次方程例题5．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0．【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x 1＝1，x 2＝-4．【总结】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．例题6．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即2(23)0x +=， ∴ 1232x x ==-． (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式.用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根．举一反三：【变式】()()()21 85860;x x +-++= （2）3(21)42x x x +=+ 【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X 1=-6,x 2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0 1212,23x x =-=.。

17.2一元二次方程的解法--因式分解法

转化为“一次”的过程.
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小结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1o方程右边化为零。 2o将方程左边分解成两个一次因式的乘积。
3o至少
因式为零，得到两个一元一
次方程。有一个
4o两个
就是原方程的解
一元一次方程的解
缺少一次项常用开平方法,缺少常数项常用因式分解法,当一边为零另一边易因式分解时也常用
x 3y 0或2x 5y 0,
x 3y或2x 5y.
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用因式分解法解关于 x的方程
(：a b)x2 2bx a b 0(a b 0）
解：原方程变形为
1
1
a b (a b)
(x 1)[(a b)x (a b)] 0
x 1 0或(a b)x (a b) 0
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9x2－25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0
3X+5=0 或 3x－5=0
x1
5 3 , x2
5. 3
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快速回答：下列各方程的根分别是多少？
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
17.2 因式分解法解一元二次方程
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回顾与复习 1
1.一元二次方程的解. 满足方程，有根就是两个
2、我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
直接开平方法、配方法、公式法
3、什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个整式乘积的形
式叫做分解因式.
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通过比较，你得到了什么规律?请与同伴交流并完成下表

沪教版（上海）一元二次方程的解法教案

17.2（2）一元二次方程的解法一、教学设计思路：1、教材分析：一元二次方程的解法是沪教版数学八年级上学期的内容，这节课是其中的因式分解法解一元二次方程。

在整个初中阶段的代数教学中解一元二次方程有着重要的地位，而因式分解法又是在后续中考解题中应用最多、最广泛的一种方法。

这节课不仅有着承前启后的作用，也是培养学生概括总结能力的良好载体。

2、学情分析：学生在之前的课程中已经学习过了一元一次方程以及二元、三元一次方程（组），前两节课也学习了二元一次方程和开平方法解一元二次方程，具备了方程的初步知识。

本节课继续研究因式分解法解一元二次方程，是解方程方法的进一步扩充，也是后续其他一元二次方程解法的一个过渡。

我所任教的班级在年级中成绩较好，基础知识过硬。

班级学生上课也比较活跃，学生乐意在上课的时候表达自己的意见和想法。

但是有个别学生与整体差距较大，需要在课堂中进行更多的关注。

3、教学策略：我希望在教学中可以充分利用优势，调动课堂氛围的同时，鼓励同学，让他们更多的进行抽象的总结性归纳，同时为了照顾部分后进生，又可以用简单易懂的例子将结论进行呈现。

所以本节课首先利用复习初一时学习过的因式分解，为本节课运用因式分解法解一元二次方程做铺垫。

通过两道题目，让学生尝试进行归纳和总结，在遇到两个因式相乘等于0的方程时，可以让其中一个因式的值为0来解决问题，得到方程的两个解.最后指出，实际上这几个方程都是我们所学的一元二次方程，从而引出我们的因式分解法解一元二次方程。

将复习引入中的多项式因式分解变成了解一元二次方程，引导学生使用因式分解的方法将解一元二次方程转化成解两个一元一次方程，利用原有的知识解决新的问题，体验化归的思想，同时得到新的概念。

同时在后续例题和讲解中针对不同题型进行强化，并进一步进行归纳整理和总结。

二、教学目标及重难点：教学目标：1、知识与技能：复习因式分解的概念，会用因式分解的方法解简单数字系数的一元二次方程.2、过程与方法：在探索、讨论、总结与归纳的过程中，让学生体验化归的数学思想，即通过因式分解法实现降次目的，将一元二次方程转化成两个一元一次方程进行求解.3、情感态度价值观：养成学生仔细观察、认真审题的好习惯，提高学生概括总结的能力.教学重点：运用因式分解法解一元二次方程．教学难点：灵活运用因式分解的方法把一元二次方程化为两个一次因式的积等于零的形式.三、教学过程（一）、复习引入1、分解因式：（1）24x x +=（2）21415x x +-=设计说明：通过两道简单题目复习初一时学习过的因式分解，为本节课运用因式分解法解一元二次方程做铺垫.2、整式的乘法：当0=•B A 时，必有；当时，必有0=•B A .设计说明：复习两个因式乘积为0的情况，即如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个是0，反过来，如果两个因式中至少有一个是0，那么这两个数的乘积也是0，强调这里需满足的条件是“或者”，两因式同时为0是满足条件的，但只是一个特殊情况.3、口答下列关于x 的方程的解：（1）()40x x += （2）()()1+15=0x x -（3）()()0x a x b -+= （4）()(5120x x +-=4、求符合下列条件的一元二次方程:两根为-3和6，且二次项系数为1.设计说明：通过前面两道题目，让学生尝试进行归纳和总结，在遇到两个因式相乘等于0的方程时，可以让其中一个因式的值为0来解决问题，得到方程的两个解.最后指出，实际上这几个方程都是我们所学的一元二次方程，从而引出我们的因式分解法解一元二次方程.（二）、新课学习知识点一：因式分解法的概念5、解下列方程：（1）240x x +=（2）x 2+4x =−4（3）x 2+4x =21设计说明：问题一实际上就是将复习引入中的多项式因式分解变成了解一元二次方程，引导学生使用因式分解的方法将解一元二次方程转化成解两个一元一次方程，利用原有的知识解决新的问题，体验化归的思想，同时得到新的概念.问题二和问题三与问题一形似，但是分别涉及到公式法和十字相乘法的因式分解.此处主要为了呈现概念，不必过多纠结方法，但是需要强调解题格式，规范书写。

17.2一元二次方程的解法(第1课时)讲解与例题

5．二次多项式的配方
(1)基本思路：二次多项式的配方与解方程中的配方略有不同，二次多项式的配方是恒等变形，为了使二次项系数化为1，各项需提出二次项系数，配方时加上一次项系数一半的平方，同时再减去同样的数，使代数式的值保持不变．
(2)主要步骤
①将二次项系数化为1.
②加上一次项系数一半的平方，同时为保证原式的值不变，再减去所加上的数．
所以x－2＝±.
所以x－2＝或x－2＝－.
所以x1＝，x2＝.
(3)移项，得(3y－1)2＝8，(3y－1)2＝16，
所以3y－1＝±4.
所以3y－1＝4或3y－1＝－4.
所以y1＝，y2＝－1.
点拨：用直接开平方法解题时，应根据式子的特征，将左边化成完全平方式，右边化为非负数的形式，再开平方，从而得其解，同时注意开平方后各系数符号的变化．
3．用直接开平方法解两边都是含有未知数的代数式的平方的一元二次方程
当一元二次方程两边都是含有未知数的代数式的平方的形式时，也可用直接开平方法．
例如，关于x的方程(ax＋b)2＝(cx＋d)2，直接开平方，得ax＋b＝±(cx＋d)，然后可化为两个一元一次方程进行求解．
【例3】解方程：x2－6x＋9＝(5－2x)2.
(3)用直接开平方法解一元二次方程的基本步骤是：
①将方程转化成(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数；
②当n≥0时，两边开平方便可求出它的根；当n＜0时，方程无实数根．
直接开平方法实际是求一个数平方根的运算．特别注意方程两边开平方时，一边取“±”号，以防漏解．
【例1】用直接开平方法解下列方程：
例如，求方程x2＋6x－16＝0的解，可按以下流程进行．

八年级数学下册第17章一元二次方程17.2一元二次方程的解法第1课时直接开平方法教案新版沪科版

17.2 一元二次方程的解法第1课时直接开平方法【知识与技能】认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解.【过程与方法】培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力.【情感态度】通过两边同时开平方，将二次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知. 【教学重点】用直接开平方法解一元二次方程.【教学难点】（1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法;（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解.一、创设情境，导入新课1.口答题：4 的平方根是，81的平方根是， 81的算术平方根是 .2.我们曾学习过平方根的意义及其性质，回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?学生回答：（1）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.用式子表示：若x2＝a，则x叫做a的平方根.（2）平方根有下列性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；②零的平方根是零；③负数没有平方根.【教学说明】以上问题让学生自主完成，教师归纳总结，重点强调正数有两个平方根，负数没有平方根.为后面的学习奠定基础.二、合作探究，探索新知1.教师设问：如何求出适合等式x 2＝4的x 的值呢?学生思考，尝试解答2.根据平方根的定义，由x 2＝4可知，x 就是4的平方根，因此x 的值为2和－2 即根据平方根的定义，得x 2＝4,x ＝±2即此一元二次方程的解为： x 1＝2，x 2 ＝-23.小结：这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.【教学说明】根据平方根的求法得到方程的解，让学生将它们对应起来，然后教师将这种方法进行总结，注意方程解的写法.4.提问：怎样解方程(x+1)2=256?让学生说出解法，教师板书.解:直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x 1＝15，x 2＝－175.教师小结：对于形如x 2=a （a ≥0)或（x+h ）2=a(a ≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解.解一元二次方程的基本思想是降次，将一元二次方程转化为一元一次方程.【教学说明】这里教师要对式子进行分析，然后类比上面的解法，进行求解，最后进行总结，用字母的式子表示，便于学生理解和记忆.三、示例讲解，掌握新知例1 解下列方程：（1）x 2＝2；（2）4x 2－1＝0.【分析】第1题直接用开平方法解；第2题可先将－1移项，再将两边同时除以4化为x 2＝a 的形式，再用直接开平方法解之.【教学说明】形如方程ax 2-k=0(a k ≥0)可变形为x 2=a k (ak ≥0)的形式，即方程左边是关于x 的一次式的平方，右边是一个非负常数，可用直接开平方法解此方程.例2 解下列方程：（1）（x ＋1）2＝2;（2）（x －1）2－4 ＝0;（3）12（3－x ）2－3 ＝0.【分析】第1小题中只要将（x ＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样的解法；第3小题先将－3移到方程的右边，再两边同除以12，再同第1小题一样去解即可.【教学说明】（1）解形如（x+h ）2=k(k ≥0)的方程时，可把（x+h ）看成整体，然后直接开平方；（2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数；（3）如果变形后形如（x+h ）2=k 中的k 是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根；（4）如果变形后形如(x+h)2=k 中的k ＝0这时可得方程两根相等.四、练习反馈，巩固提高1.若8x 2-16=0，则x 的值是 .2.如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是 .3.如果a 、b 为实数，满足43 a +b 2-12b+36=0，那么ab 的值是 .4.用直接开平方法解下列方程：（1）x2＝169；（2）45－x2＝0；（3）4x2-16＝0;（4）（x＋2）2－16＝0【答案】1.±2 2.9或-3 3.-8【教学说明】学生易错的是开方时应该是两种情况，学生可能只写一种，所以教师要进行强调.第2题应该先两边除以2，再进行开方求解.五、师生互动，课堂小结1.如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）.2.平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用.两边开平方实际上是二次方程由二次转化为一次，实现了由未知向已知的转化，由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径.3.一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解.【教学说明】教师引导学生自主总结，教师适当渗透相关的解题思想并进行总结，为后面的学习奠定基础.完成同步练习册中本课时的练习.一元二次方程的求解是初中数学学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视.“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元”、“转化”等重要的数学思想方法.因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课.教学过程中，在合作探究过程中给学生较充分的时间进行独立思考、小组交流，让学生的思维互相启发互相碰撞，让个人智慧与集体智慧充分交融.在探究过程中适当巡视，适时指导点拨，保证各小组探究学习的有效性.同时，及时评价.对学生发现了不同解法时首先给予表扬和肯定，从而激发学生的求知欲.。