目标规划问题的数学模型
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• (2)偏差变量。 • 偏差变量用于表示决策值与目标值之间的差异，一般用d来表示，且
规定d ≥ 0。若决策值超过目标值，则出现正偏差变量(d+);若决策值 低于目标值，则出现负偏差变量(d-)。 • 对于第k个约束条件: • 若决策值超过目标值，则 • 若决策值低于目标值，则 • 若决策值等于目标值，则 • 因此，有
示。即在第k个目标中， Wk1 > Wk2，表明第一个子目标优先于第二 个子目标，权系数越大，重要程度越大。
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5.1目标规划问题的数学模型
• (5)目标达成函数。 • 由于目标规划的目的是使决策值尽可能接近或达到目标值，即需要各
个偏差变量尽可能小，因此目标函数是求偏差变量之和的最小值，这 样的目标函数称为目标达成函数。 • 综上所述，目标规划问题建模的步骤为: • (1)根据问题所提出的各目标与条件，确定目标值(期望值)，设定决策 变量，并列出目标约束与绝对约束; • (2)根据决策者的需要将某些或全部绝对约束，通过引入偏差变量， 转换为目标约束;
决策变量。 • ④解不同。目标规划求满意解，线性规划求最优解。
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5. 2目标规划问题的求解
• 5. 2. 1图解法
• 对于两个变量的目标规划问题，可以用图解法求解，步骤如下: • 第一步，按照系统(绝对)约束画出可行域; • 第二步，先不考虑正负偏差变量，画出目标约束对应的边界线，然后
在边界线上标出正负偏差变量; • 第三步，按优先级和权重依次分析各级目标，确定满意解。
目标函数。
• 可见，目标规划模型与一般线性规划模型相比，有以下区别:
• ①目标不同。目标规划只求最小值;线性规划模型既可以求最小值， 又可以求最大值。
• ②约束不同。
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5.1目标规划问题的数学模型
• 目标规划既有目标约束，又有系统约束;线性规划只有系统约束。 • ③变量不同。目标规划既有决策变量，又有偏差变量;线性规划只有
第Fra Baidu bibliotek章目标规划
• 5.1目标规划问题的数学模型 • 5.2目标规划问题的求解
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5.1目标规划问题的数学模型
• 5.1.1问题的提出
• [例5-1]某工厂计划在一个周期内生产A,B两种产品。已知单位产品所 需资源数、资源可用量及每件产品可获得的利润如表5-1所示。问:① 试制订出利润最大的生产计划。②市场部负责人提出两点意见供决策 者参考:a.根据市场预测，产品A的销路不是太好，应尽可能少生产;b. 产品B的销路较好，应尽可能多生产，在考虑这些问题的基础上应如 何调整原计划?试建立以上两个问题的数学模型。
• 对于该问题，首先需要设置决策变量，令A,B两种产品的产量为x1和 x2。下面介绍目标规划问题的基本概念和模型中所含的要素。
• (1)决策值与目标值。 • 决策值也称实际值，是指决策之后产生的实际结果，即决策变量的取
值;目标值又称期望值，是指希望得到的结果。
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5.1目标规划问题的数学模型
• 5.2.2目标规划单纯形法
• 现对目标规划单纯形法的求解步骤进行说明。 • 【例5-8]用单纯形法求解[例5-7]中的目标规划问题:
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5. 2目标规划问题的求解
• 解:标准化的模型为
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5. 2目标规划问题的求解
• 第一步，确定初始基(同线性规划单纯形法)，计算检验数。 • 第二步，最优性检验。
• 第三步，基变换同线性规划的单纯形法，主元素的确定及迭代变换均 同线性规划的单纯形法。
• 第四步，从表中找到基本可行解和相应于各优先级的目标函数值。
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表5-1
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表5-2
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• 解:对于问题①，令A,B两种产品的产量为x1和x2，其数学模型为
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5.1目标规划问题的数学模型
• 对于问题②，只需要在问题①的基础上，增加两个目标函数，即模型 为
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5.1目标规划问题的数学模型
• 显然，模型(5-1)是一个多目标的线性规划模型，目标函数既求最大又 求最小，相互矛眉用线性规划方法难以求解。此时，需要构造新的模 型表达方式，用于求解目标规划问题。目标规划模型的原始一般形式:
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5.1目标规划问题的数学模型
• (3)系统约束和目标约束。 • 系统约束是指必须严格满足的约束条件，决定了解的可行性，是硬约
束。目标约束是指用正负偏差变量表示的约束，是软约束。 • (4)优先因子和权系数。 • 优先因子和权系数均出现在目标函数中，其中，优先因子用来表示不
同目标的主次(重要程度)，用Pk表示， Pk不是具体数值。 • 权系数则表示同一个目标中各个子目标的主次(重要程度)，用Wki表
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5.1目标规划问题的数学模型
• 5. 1. 2基本概念与模型要素
• [例5-2]某工厂计划在生产期内生产A,B两种产品。已知单位产品生产 所需资源、现有资源可用量及每件产品可获得的利润如表5-2所示。
• 此外，决策者需要考虑意见:①希望B的产量不超过A的一半;②原料避 免讨量消耗;③最好能节约4个设备工时;④计划利润不少于48元。
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5.1目标规划问题的数学模型
• (3)给各级目标赋予相应的优先因子Pk，对同一优先级的各目标，按 重要程度不同赋予相应的权系数ωki，;
• (4)根据决策者的要求，各目标按三种情况取值:①恰好达到目标值，
取
;②允许超过目标值，取 ;③不允许超过目标值，取 。
然后构造一个由优先因子、权系数与偏差变量组成的、要求最小化的
规定d ≥ 0。若决策值超过目标值，则出现正偏差变量(d+);若决策值 低于目标值，则出现负偏差变量(d-)。 • 对于第k个约束条件: • 若决策值超过目标值，则 • 若决策值低于目标值，则 • 若决策值等于目标值，则 • 因此，有
示。即在第k个目标中， Wk1 > Wk2，表明第一个子目标优先于第二 个子目标，权系数越大，重要程度越大。
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5.1目标规划问题的数学模型
• (5)目标达成函数。 • 由于目标规划的目的是使决策值尽可能接近或达到目标值，即需要各
个偏差变量尽可能小，因此目标函数是求偏差变量之和的最小值，这 样的目标函数称为目标达成函数。 • 综上所述，目标规划问题建模的步骤为: • (1)根据问题所提出的各目标与条件，确定目标值(期望值)，设定决策 变量，并列出目标约束与绝对约束; • (2)根据决策者的需要将某些或全部绝对约束，通过引入偏差变量， 转换为目标约束;
决策变量。 • ④解不同。目标规划求满意解，线性规划求最优解。
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5. 2目标规划问题的求解
• 5. 2. 1图解法
• 对于两个变量的目标规划问题，可以用图解法求解，步骤如下: • 第一步，按照系统(绝对)约束画出可行域; • 第二步，先不考虑正负偏差变量，画出目标约束对应的边界线，然后
在边界线上标出正负偏差变量; • 第三步，按优先级和权重依次分析各级目标，确定满意解。
目标函数。
• 可见，目标规划模型与一般线性规划模型相比，有以下区别:
• ①目标不同。目标规划只求最小值;线性规划模型既可以求最小值， 又可以求最大值。
• ②约束不同。
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5.1目标规划问题的数学模型
• 目标规划既有目标约束，又有系统约束;线性规划只有系统约束。 • ③变量不同。目标规划既有决策变量，又有偏差变量;线性规划只有
第Fra Baidu bibliotek章目标规划
• 5.1目标规划问题的数学模型 • 5.2目标规划问题的求解
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• 5.1.1问题的提出
• [例5-1]某工厂计划在一个周期内生产A,B两种产品。已知单位产品所 需资源数、资源可用量及每件产品可获得的利润如表5-1所示。问:① 试制订出利润最大的生产计划。②市场部负责人提出两点意见供决策 者参考:a.根据市场预测，产品A的销路不是太好，应尽可能少生产;b. 产品B的销路较好，应尽可能多生产，在考虑这些问题的基础上应如 何调整原计划?试建立以上两个问题的数学模型。
• 对于该问题，首先需要设置决策变量，令A,B两种产品的产量为x1和 x2。下面介绍目标规划问题的基本概念和模型中所含的要素。
• (1)决策值与目标值。 • 决策值也称实际值，是指决策之后产生的实际结果，即决策变量的取
值;目标值又称期望值，是指希望得到的结果。
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• 5.2.2目标规划单纯形法
• 现对目标规划单纯形法的求解步骤进行说明。 • 【例5-8]用单纯形法求解[例5-7]中的目标规划问题:
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5. 2目标规划问题的求解
• 解:标准化的模型为
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5. 2目标规划问题的求解
• 第一步，确定初始基(同线性规划单纯形法)，计算检验数。 • 第二步，最优性检验。
• 第三步，基变换同线性规划的单纯形法，主元素的确定及迭代变换均 同线性规划的单纯形法。
• 第四步，从表中找到基本可行解和相应于各优先级的目标函数值。
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表5-1
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表5-2
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• 解:对于问题①，令A,B两种产品的产量为x1和x2，其数学模型为
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• 对于问题②，只需要在问题①的基础上，增加两个目标函数，即模型 为
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5.1目标规划问题的数学模型
• 显然，模型(5-1)是一个多目标的线性规划模型，目标函数既求最大又 求最小，相互矛眉用线性规划方法难以求解。此时，需要构造新的模 型表达方式，用于求解目标规划问题。目标规划模型的原始一般形式:
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5.1目标规划问题的数学模型
• (3)系统约束和目标约束。 • 系统约束是指必须严格满足的约束条件，决定了解的可行性，是硬约
束。目标约束是指用正负偏差变量表示的约束，是软约束。 • (4)优先因子和权系数。 • 优先因子和权系数均出现在目标函数中，其中，优先因子用来表示不
同目标的主次(重要程度)，用Pk表示， Pk不是具体数值。 • 权系数则表示同一个目标中各个子目标的主次(重要程度)，用Wki表
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5.1目标规划问题的数学模型
• 5. 1. 2基本概念与模型要素
• [例5-2]某工厂计划在生产期内生产A,B两种产品。已知单位产品生产 所需资源、现有资源可用量及每件产品可获得的利润如表5-2所示。
• 此外，决策者需要考虑意见:①希望B的产量不超过A的一半;②原料避 免讨量消耗;③最好能节约4个设备工时;④计划利润不少于48元。
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5.1目标规划问题的数学模型
• (3)给各级目标赋予相应的优先因子Pk，对同一优先级的各目标，按 重要程度不同赋予相应的权系数ωki，;
• (4)根据决策者的要求，各目标按三种情况取值:①恰好达到目标值，
取
;②允许超过目标值，取 ;③不允许超过目标值，取 。
然后构造一个由优先因子、权系数与偏差变量组成的、要求最小化的