目标规划问题的数学模型
多目标规划建模-数学建模
对于上述模型的三个目标，工厂 确定利润最大为主要目标。另两 个目标则通过预测预先给定的希 望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f 2 ( X ) 400 x1 600 x2 20000 f 3 ( X ) 3x1 2 x2 90
400 x1 600 x 2 20000 3 x 2 x 90 2 1 9 x1 4 x 2 240 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10 x 2 300 x1 , x 2 0
由主要目标法化为单目标问题 max f1 ( X ) 70 x1 120 x 2 用单纯形法求得其最优解为
x1 12.5, x 2 26.25, f1 ( x) 4025, f 2 ( x) 20750, f 3 ( x) 90
（5）线性加权和目标规划
optF ( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X )) T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
X ( x1 , x2 ,...., xn ) 为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：
绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*） ≤ F(X) 弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构 可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性 的函数：
多目标规划问题的求解
化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两类,
一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化为多个 单目标问题,关键是如何转化. 下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目标
数学建模目标规划方法
30
x1
2x1
12x2 x2
d1 d2
d1 d2
2500 140
x1
d
3
d3
60
a x (,)b
ij j
i
j 1
(i 1,2, , m)
绝对约束
x 0 ( j 1,2, , n) j
d , d 0 (l 1,2, , L) ll
非负约束
K
L
min Z
pk
(kl
d
l
kl
dl
)
k 1
l 1
n
c(l) x d d g ( l 1,2, , L)
三 目标规划方法
通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法 是解决多目标规划问题的重要技术之一。
这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库 伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提 出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李 （Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题 的一般性方法——单纯形方法。
34
4
所以目标规划模型为：
min Z p d p (7d 12d ) p (d d )
11
2
2
3
34
4
70x 120x d d 50000
1
2
1
1
x 1
d d 200
2
2
x d d 250
生产甲、乙两种产品，
第9章目标规划
d
2
400 560
(1) (2)
2x1
2x2
d
3
d
3
120
(3)
x1
2.5x2
d
4
d
4
100
(4)
x1、x2
,
d
j 、d
j
0,
j
1,,4
满意解是线段 BC 上任意点，端点的
解是 B(100/3，80/3)，C(60，0)． 决策者根据实际情形进行二次选择．
原材料供应严格限制 2x1+x2≤11
考虑级别： 第一级： (1)产品乙的产量不低于产品甲的产量
∵ x1≤x2
∴ x1－ x2 ≤0
∴ x1－x2+ d1－ － d1+=0
第二级：(2)充分利用设备有效台时，不加班 x1+2x2+ d2－ － d2+=10
第三级： (3充)分利利润用不设小于56元
(6)
x1, x2 di , di 0 (i 1, , 4)
C
(3) d1
d1 2
A
min d3 d3
满意解 C(3,3)
min d1
x1
o
2
4
6
图2－1
满意解X＝(3,3)
问题1：最后的利润是多少？
20x1+40x2+d1—d1+=80 x1=3, x2=3 得到d1+=100 利润=180
目标约束： ①在绝对约束中加入正负偏差量就变为目
标约束； ②线性规划问题的目标函数，在给定目标
第一节 目标规划的数学模型
kl , kl 为分别赋予第l个目 式中：Pk为第k级优先因子，k=1,…,K； 标约束的正负偏差变量的权系数；gl为目标的预期目标值， l=1,…L。
建立目标规划数学模型的步骤
（1）按照实际问题所提出的各个目标与条件，列出目标的 优先级。 （2）写出绝对约束和目标约束 （3）给各个目标赋予相应的优先因子Pk，对同一优先级中 各偏差变量，按不同的重要程度赋予不同的权系数。 （4）对要求恰好达到目标值的目标，则取正负偏差变量之 和，即 min(d d ) ；对要求超过目标值的，只取负偏差变量， min d 即 ；对要求不超过目标值的，只取正偏差变量， 即 min d ，构造一个极小化的关于偏差变量的目标函数。
又包含偏差变量；
6. 目标规划模型中的优先级 pi 较之 pi 1的重
要性一般为数倍至数十倍之间； 7. 目标规划模型中的目标函数按照问题的性 质要求可表示为求min或max； 8. 下列表达式能否表达目标规划模型中的 目标函数：
(1)max z p1d1 p2 d 2 (2)min z p1d1 p2 d 2 (3)min z p1d1 p2 ( d 2 d 2 )
6.1.2关于目标规划的几个概念
1.偏差变量
用d＋表示超过目标值的差值，称为正偏差变量；
d－表示未达到目标值的差值，称为负偏差变量．
第一目标:尽量完成本周期的利润指标24000元 如果实际利润是23500元,则 d 0, d 500 如果实际利润是24080元,则 d 80, d 0
min d1 300 x1 120 x2 d1 d1 24000 x d d 60 , x d d 100 min( d d 2 2 3 3 1 2 3 ) 2 20 x 10 x d d 1400 4 min d 1 2 4 4
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
目标规划和线性规划的区别]
![目标规划和线性规划的区别]](https://img.taocdn.com/s3/m/aa35d46ad5bbfd0a78567399.png)
(Goal programming)
目标规划概述 目标规划的数学模型
目标规划的图解法 目标规划的单纯形法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
（一）、目标规划与线性规划的比较
1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束 条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求 得更切合实际的解。
（二）、目标规划的基本概念
例题4—1
线性规划模型为：
maxZ = 8x1 + 10 x2 2x1 + x2 ≤11 ①
x1 +2x2 ≤10 ②
x1, x2≥0 X*=(4,3)T Z*=62
目标函数的地位突出，约束条件是必须严 格满足的等式或不等式，是绝对化的“硬约 束”，此种问题若要求太多时，很容易相互矛 盾，得不到可行解。如根据市场情况再加以下 要求：
目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为 d
＋。 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记为
d－。
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达到 目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
后面乘任意大的数还是小。必须“满足”第一级才能 “满足”第二级，依次类推。
权系数ωlk ：区别具有相同优先因子的两个目标的 重要性差别，决策者可视具体情况而定。 （优先因子和权系数的大小具有主观性和模糊性，它 不是运筹学本身的问题，主要是决策人自身的经验， 可用专家评定法给以量化。）
数学建模-数学规划模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
《运筹学》教案-目标规划数学模型
《运筹学》教案-目标规划数学模型第一章：目标规划概述1.1 目标规划的定义与意义1.2 目标规划与其他规划方法的区别1.3 目标规划的应用领域1.4 目标规划的发展历程第二章：目标规划的基本原理2.1 目标规划的基本假设2.2 目标规划的数学模型2.3 目标规划的求解方法2.4 目标规划的评估与决策第三章：目标规划的数学模型3.1 单一目标规划模型3.2 多目标规划模型3.3 带约束的目标规划模型3.4 动态目标规划模型第四章：目标规划的求解方法4.1 线性规划求解方法4.2 非线性规划求解方法4.3 整数规划求解方法4.4 遗传算法求解方法第五章：目标规划的应用案例5.1 生产计划目标规划案例5.2 人力资源规划目标规划案例5.3 投资组合目标规划案例5.4 物流配送目标规划案例第六章：目标规划的高级应用6.1 目标规划在供应链管理中的应用6.2 目标规划在项目管理中的应用6.3 目标规划在金融管理中的应用6.4 目标规划在能源管理中的应用第七章：目标规划的软件工具7.1 目标规划软件工具的介绍7.2 常用目标规划软件工具的操作与应用7.3 目标规划软件工具的选择与评估7.4 目标规划软件工具的发展趋势第八章：目标规划在实际问题中的应用8.1 目标规划在制造业中的应用案例8.2 目标规划在服务业中的应用案例8.3 目标规划在政府决策中的应用案例8.4 目标规划在其他领域的应用案例第九章：目标规划的局限性与挑战9.1 目标规划的局限性分析9.2 目标规划在实际应用中遇到的问题9.3 目标规划的发展趋势与展望9.4 目标规划的未来研究方向10.1 目标规划的意义与价值10.2 目标规划在国内外的发展现状10.3 目标规划在未来的发展方向10.4 对运筹学领域的发展展望重点和难点解析重点环节一：目标规划的数学模型补充和说明：在讲解目标规划的数学模型时，重点关注单一目标规划模型和多目标规划模型的构建。
目标规划的数学模型概述
3
通过权重调整，可以突出或降低某个目标在整体 优化中的地位，从而在满足其他目标的同时，更 好地实现关键目标。
约束处理策略
约束处理策略是目标规划中处理各种限制条件的关键 技术，包括等式约束、不等式约束和边界约束等。
约束处理策略的目标是在满足所有约束条件的前提下 ，实现目标的优化。
常见的约束处理方法包括消元法、增广拉格朗日乘子 法和罚函数法等，这些方法可以根据问题的特性和约
金融投资中的目标规划
总结词
金融投资中的目标规划旨在实现投资组合的优化配置，以最大化收益或最小化风险为目标。
详细描述
在金融投资中，目标规划用于确定最佳的投资组合配置，以最大化投资收益或最小化投资风险。通过 设定具体的目标函数和约束条件，金融投资中的目标规划可以找到平衡收益和风险的最佳解决方案， 帮助投资者实现投资目标。
最优解是指在满足约束条件的前 提下，使目标函数达到最优值的 解。
目标规划的解法
解析法
解析法是通过分析目标函数的性 质和约束条件的特点，采用数学 分析的方法来求解最优解的方法 。
梯度法
梯度法是通过计算目标函数的梯 度，采用迭代的方法来求解最优 解的方法。
遗传算法
遗传算法是一种基于生物进化原 理的优化算法，通过模拟自然选 择和遗传机制来求解最优解的方 法。
遗传算法在处理多目标优化、约束优化和大规模优化问题时具有较好的性 能表现，广泛应用于机器学习、数据挖掘、机器人等领域。
模拟退火算法
模拟退火算法是一种基于物理退火过程的随机 搜索算法，通过模拟固体退火过程来寻找最优 解。
模拟退火算法采用一定的概率接受劣质解，以 避免陷入局部最优解，并逐步寻找全局最优解 。
生产计划中的目标规划
《运筹学》教案目标规划数学模型
《运筹学》教案-目标规划数学模型教案章节：一、引言教学目标：1. 理解目标规划数学模型的基本概念。
2. 掌握目标规划数学模型的建立方法。
教学内容：1. 目标规划数学模型的定义。
2. 目标规划数学模型的建立步骤。
教学方法：1. 讲授法：讲解目标规划数学模型的基本概念和建立方法。
2. 案例分析法：分析实际案例，让学生更好地理解目标规划数学模型。
教学准备：1. 教案、PPT、教学案例。
2. 投影仪、白板、教学用具。
教学过程：1. 引入新课：通过讲解目标规划数学模型的定义和应用领域，引发学生对该课题的兴趣。
2. 讲解基本概念：讲解目标规划数学模型的基本概念，包括目标、约束条件、优化方法等。
3. 讲解建立方法：讲解目标规划数学模型的建立步骤，包括明确目标、确定约束条件、选择优化方法等。
4. 案例分析：分析实际案例，让学生更好地理解目标规划数学模型。
5. 课堂练习：让学生运用所学的知识，解决实际问题，巩固所学内容。
6. 总结与展望：总结本节课的重点内容，布置课后作业，预告下一节课的内容。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和准确性。
2. 学生参与案例分析和课堂练习的积极性和主动性。
3. 学生对目标规划数学模型的理解和应用能力。
教案章节：二、线性规划数学模型教学目标：1. 理解线性规划数学模型的基本概念。
2. 掌握线性规划数学模型的建立方法。
教学内容：1. 线性规划数学模型的定义。
2. 线性规划数学模型的建立步骤。
教学方法：1. 讲授法：讲解线性规划数学模型的基本概念和建立方法。
2. 案例分析法：分析实际案例，让学生更好地理解线性规划数学模型。
教学准备：1. 教案、PPT、教学案例。
2. 投影仪、白板、教学用具。
教学过程：1. 引入新课：通过讲解线性规划数学模型的定义和应用领域，引发学生对该课题的兴趣。
2. 讲解基本概念：讲解线性规划数学模型的基本概念，包括决策变量、目标函数、约束条件等。
3. 讲解建立方法：讲解线性规划数学模型的建立步骤，包括明确目标、确定决策变量、列出约束条件等。
目标规划模型
目标规划模型目标规划模型是一种运筹学方法，旨在通过设定目标和制定规划方案，达到最优化的决策结果。
该模型适用于存在多个决策目标和多个决策方案的情况。
目标规划模型由数学方式描述，基于线性规划和多目标规划的基础上发展而来。
其数学模型可以表示为：Minimize ∑(w_i × d_i)Subject to ∑(w_i × p_i) ≤ b_j其中，w_i代表目标i的权重，d_i代表达成目标i的距离，p_i 代表决策方案i的指标，b_j代表决策方案j的上限约束。
目标规划模型的求解过程主要包括以下几个步骤：1. 制定目标：明确决策的目标，并设定权重，表示各个目标的重要性。
2. 设定规划方案：明确可供选择的决策方案，并确定每个方案的性能指标。
3. 构建数学模型：将目标和规划方案用数学方式表示，并建立目标规划模型。
4. 求解模型：通过数学优化方法求解目标规划模型，找到最优的决策方案组合。
5. 分析结果：分析模型的解，评估决策方案的优劣，并做出决策。
目标规划模型具有以下的优点和特点：1. 支持多目标决策：目标规划模型可以同时考虑多个决策目标，避免了传统单目标优化方法的局限性。
2. 考虑目标之间的权重：通过设定目标的权重，可以具体体现各个目标的重要性，使决策结果更加符合实际情况。
3. 支持多个约束：目标规划模型可以同时考虑多个约束条件，确保决策方案不违反约束条件。
4. 解释性强：目标规划模型的结果可以直观地解释，便于决策者理解和接受。
目标规划模型可以广泛应用于各个领域，如企业生产管理、资源配置、项目决策等。
通过建立合理的目标和规划方案，可以帮助决策者做出优化的决策，并提高决策的效果。
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
运筹学第4章
3x15x2d332
综合考虑后，得到结果
3x15x2d3 d3 32 其中 d3 , d3 0
目标规划的数学模型
产品 甲 乙 资源量
可以用同样的方式来处理其它提出的 资源
决策要求：
设备/台时 3
2
18
原料A/吨
1
0
4
（1）要求甲产品产量不大于乙产品产量。 原料B/吨 0 2 12
如：在引例中，利润的目标值为32， 可能目标值会达不到，所以加上一个
产品 资源
甲 乙 资源量
设备/台时 3
2
18
负偏差变量d3-≥0，把目标函数变成
原料A/吨
1
0
4
3x15x2d332
原料B/吨 单位赢利/
0 3
2 5
12
万元
但是同样，目标值也有可能会超出，所以减去一个正偏差变量
d3+≥0，把目标函数变成
A）恰好达到目标值 B）允许超过目标值 C）不允许超过 目标值
构造一个由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实 现极小化的目标函数.
用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列出 目标的优先级和
权系数
构造目标规 划模型
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
目标规划的数学模型
求出满意解 分析各项目标
完成情况
p （3 3）计划利润指标32，并且尽可能达到或超过这个利润指标.
问：如何安排生产可以使得获利最大？
分析：
p（1 1）要求甲产品的产量不大于乙产品的产量；
（1）产量偏差变量
d1 , d1 0
p 2（2）尽可能充分利用设备台时，不希望加班生产；
目标规划数学模型例题
1
2
3
4
产量
1 2 3 412 Nhomakorabea3
4 300
200 100 200 250 150 100
200 100 450 250
200 400 100
min S 2950 元
上述方案只考虑了总运费最小.但在实际问题中,在制定最优调 运方案时,所追求的目标及受到的客观限制往往是多方面的。 例如考虑以下7个目标： 多目标规划
多目标规划
用户 工厂
1
1 2 3 目标7
x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34
2
3
4
产量 300 200 400 性能指标 目标值
销量 200 100 450 250 力求减少新方案的总费用
min cij xij
2950
多目标规划
目标1 x14 x24 x34 250 x 31 100 目标2
1
2
3
4
产量 300 200 400 性能指标 目标值
x14 x24 x34
x 31 x11 x21 x31 x12 x22 x32 x13 x23 x33 x14 x24 x34
250 100 160 80 360 200
多目标规划
用户 工厂 工厂
性能指标
目标值
x11 x21 x31 160 x12 x22 x32 80 目标3 x13 x23 x33 360 x14 x24 x34 200 目标4 cij xij 3245 x 24 0 目标5 目标6 x11 x21 x31 200 x13 x23 x33 0 450 目标7 min cij xij 2950
目标规划数学模型与图解法
12
第2节 解目标规划的图解法
对只有两个决策变量的目标规划问题，可以用图解法来 求解，以例2说明之（图5-1）。
min z P d P ( d d ) P d 1 1 2 2 3 3 2
2 x1 x2 11 x x d d 1 0 1 2 1 x 2 x d d 1 2 2 2 10 8 x 10 x d d 2 3 3 56 1 x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 i i
6
第1节 目标规划的数学模型
2.绝对约束和目标约束
绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式 约束，如线性规划问题的所有约束条件，不能满 足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是 硬约束。 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看 作要追求的目标值。在达到此目标值时允许发生 正或负偏差。因此在这些约束中加入正、负偏差 变量，它们是软约束。
5
第1节 目标规划的数学模型
这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题， 目标规划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面 引入与目标规划模型有关的概念。 1.正、负偏差变量d+，d− 设 x 1 ， x 2 为决策变量，正偏差变量 d ＋ 表示决策值超过 目标值的部分；负偏差变量 d−表示决策值未达到目标 值的部分。因决策值不可能既超过目标值同时又未达 到目标值，即恒有 d+×d− = 0。
18
13
第2节 解目标规划的图解法
注意：求解目标规划问题时，把绝对约束作为最 高优先级考虑。在本例中，能依先后次序都满足 d1+=0，d2++d2−=0，d3−=0，因而z*=0。但在大多 数问题中并非如此，会出现某些约束得不到满足， 故将目标规划问题的最优解称为满意解。
线性目标规划
对属于同一层次优先等级的不同目标，按其重要程度 可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个具体数字， 乘上的权系数越大，表明该目标越重要。
规划模型：
max Z 6 x1 8 x 2
5 x1 10 x 2 60 s.t. 4 x1 4 x 2 40
x1
,
x2
0
解得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，
利润为 zmax 64元。
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如果工厂作决策时可能还需根据市场和工厂实 际情况，考虑其它问题，如： （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不 超过产品Ⅰ的一半； （2）原材料严重短缺，原料数量只有60； （3）最好能节约4小时设备工时； （4）计划利润不少于48元。
负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，是
软约束。
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①目标函数变为目标约束
线性规划问题的目标函数，在给定目标值和偏差 变量后可变换为目标约束。
比如：计划利润不少于48元。
6x1 8x2
6x18x2dd48
这样就将目标函数则转化为目标约束。
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②绝对约束变为目标约束
一般来说，可能提出的要求只能是以下三种情况 之一，对应每种要求，可分别构造目标函数：
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构造目标函数的方法
x1x2dd0
• 如希望产品Ⅰ 产量恰好等于产品Ⅱ的产量 ，即正、 负偏变量都要尽可能地小，这时目标函数是：
数学模型----目标规划模型
目标规划模型企业内部的生产计划有各种不同的情况。
从空间层次看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产作业计划。
从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。
接下来我们就用案例来建立这类问题的数学模型，并利用软件求解并对输出结果作一些分析。
案例1.加工奶制品的生产计划问题一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1，或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2。
根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多能加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制。
试为该工厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个问题：（1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？（2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？（3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？每天：50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A1案例2.奶制品的生产销售计划问题例1给出的A1，A2两种奶制品的生产条件、利润、及工厂的“资源”限制全都不变。
为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1，也可将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2，每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元，试为该工厂制订一个生产销售计划，使每天的净利润最大。
案例3.自来水输送问题问题某市有甲，乙，丙，丁四个居民区，自来水由A、B、C 三个水库供应。
数学模型之数学规划模型
多目标规划模型的应用案例
资源分配问题
投资组合优化
在有限的资源条件下，如何分配资源 以达到多个目标的优化，如成本、质 量、时间等。
在风险和收益的权衡下，如何选择投 资组合以达到多个目标的优化，如回 报率、风险分散等。
生产计划问题
在满足市场需求和生产能力限制的条件 下，如何制定生产计划以达到多个目标 的优化，如利润、成本、交货期等。
整数规划模型的应用案例
总结词
整数规划模型在生产计划、资源分配、物流优化等领域有广泛应用。
详细描述
在生产计划领域，整数规划模型可以用于安排生产计划、优化资源配置和提高生产效率。在资源分配 领域，整数规划模型可以用于解决资源分配问题，例如人员分配、物资调度等。在物流优化领域，整 数规划模型可以用于车辆路径规划、货物配载等问题，提高物流效率和降低运输成本。
数学规划模型可以分为线性规划、非线性规划、整数规划、动态 规划等类型，根据问题的特性选择合适的数学规划模型进行建模 。
数学规划模型的应用领域
01
02
03
04
生产计划
数学规划模型可以用于制定生 产计划，优化资源配置，提高 生产效率。
物流运输
通过建立数学规划模型，可以 优化物流运输路线和运输方式 ，降低运输成本。
80%
金融投资组合优化
通过建立线性规划模型，可以优 化投资组合，实现风险和收益的 平衡。
03
非线性规划模型
非线性规划模型的定义
非线性规划模型是一种数学优化模型 ，用于解决目标函数和约束条件均为 非线性函数的问题。
它通过寻找一组变量的最优解，使得 目标函数达到最小或最大值，同时满 足一系列约束条件。
• 整数规划与混合整数规划的拓展：整数规划模型解决了离散变量的优化问题，混合整数规划则进一步扩展了整数规划的适 用范围。
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5. 2目标规划问题的求解
• 5. 2. 1图解法
• 对于两个变量的目标规划问题，可以用图解法求解，步骤如下: • 第一步，按照系统(绝对)约束画出可行域; • 第二步，先不考虑正负偏差变量，画出目标约束对应的边界线，然后
在边界线上标出正负偏差变量; • 第三步，按优先级和权重依次分析各级目标，确定满意解。
示。即在第k个目标中， Wk1 > Wk2，表明第一个子目标优先于第二 个子目标，权系数越大，重要程度越大。
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5.1目标规划问题的数学模型
• (5)目标达成函数。 • 由于目标规划的目的是使决策值尽可能接近或达到目标值，即需要各
个偏差变量尽可能小，因此目标函数是求偏差变量之和的最小值，这 样的目标函数称为目标达成函数。 • 综上所述，目标规划问题建模的步骤为: • (1)根据问题所提出的各目标与条件，确定目标值(期望值)，设定决策 变量，并列出目标约束与绝对约束; • (2)根据决策者的需要将某些或全部绝对约束，通过引入偏差变量， 转换为目标约束;
目标函数。
• 可见，目标规划模型与一般线性规划模型相比，有以下区别:
• ①目标不同。目标规划只求最小值;线性规划模型既可以求最小值， 又可以求最大值。
• ②约束不同。
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5.1目标规划问题的数学模型
• 目标规划既有目标约束，又有系统约束;线性规划只有系统约束。 • ③变量不同。目标规划既有决策变量，又有偏差变量;线性规划只有
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5.1目标规划问题的数学模型
• (3)给各级目标赋予相应的优先因子Pk，对同一优先级的各目标，按 重要程度不同赋予相应的权系数ωki，;
• (4)根据决策者的要求，各目标按三种情况取值:①恰好达到目标值，
取
;②允许超过目标值，取 ;③不允许超过目标值，取 。
然后构造一个由优先因子、权பைடு நூலகம்数与偏差变量组成的、要求最小化的
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5.1目标规划问题的数学模型
• 5. 1. 2基本概念与模型要素
• [例5-2]某工厂计划在生产期内生产A,B两种产品。已知单位产品生产 所需资源、现有资源可用量及每件产品可获得的利润如表5-2所示。
• 此外，决策者需要考虑意见:①希望B的产量不超过A的一半;②原料避 免讨量消耗;③最好能节约4个设备工时;④计划利润不少于48元。
• 第三步，基变换同线性规划的单纯形法，主元素的确定及迭代变换均 同线性规划的单纯形法。
• 第四步，从表中找到基本可行解和相应于各优先级的目标函数值。
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表5-1
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表5-2
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5.1目标规划问题的数学模型
• (3)系统约束和目标约束。 • 系统约束是指必须严格满足的约束条件，决定了解的可行性，是硬约
束。目标约束是指用正负偏差变量表示的约束，是软约束。 • (4)优先因子和权系数。 • 优先因子和权系数均出现在目标函数中，其中，优先因子用来表示不
同目标的主次(重要程度)，用Pk表示， Pk不是具体数值。 • 权系数则表示同一个目标中各个子目标的主次(重要程度)，用Wki表
第5章目标规划
• 5.1目标规划问题的数学模型 • 5.2目标规划问题的求解
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5.1目标规划问题的数学模型
• 5.1.1问题的提出
• [例5-1]某工厂计划在一个周期内生产A,B两种产品。已知单位产品所 需资源数、资源可用量及每件产品可获得的利润如表5-1所示。问:① 试制订出利润最大的生产计划。②市场部负责人提出两点意见供决策 者参考:a.根据市场预测，产品A的销路不是太好，应尽可能少生产;b. 产品B的销路较好，应尽可能多生产，在考虑这些问题的基础上应如 何调整原计划?试建立以上两个问题的数学模型。
• 对于该问题，首先需要设置决策变量，令A,B两种产品的产量为x1和 x2。下面介绍目标规划问题的基本概念和模型中所含的要素。
• (1)决策值与目标值。 • 决策值也称实际值，是指决策之后产生的实际结果，即决策变量的取
值;目标值又称期望值，是指希望得到的结果。
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5.1目标规划问题的数学模型
• 解:对于问题①，令A,B两种产品的产量为x1和x2，其数学模型为
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5.1目标规划问题的数学模型
• 对于问题②，只需要在问题①的基础上，增加两个目标函数，即模型 为
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5.1目标规划问题的数学模型
• 显然，模型(5-1)是一个多目标的线性规划模型，目标函数既求最大又 求最小，相互矛眉用线性规划方法难以求解。此时，需要构造新的模 型表达方式，用于求解目标规划问题。目标规划模型的原始一般形式:
• (2)偏差变量。 • 偏差变量用于表示决策值与目标值之间的差异，一般用d来表示，且
规定d ≥ 0。若决策值超过目标值，则出现正偏差变量(d+);若决策值 低于目标值，则出现负偏差变量(d-)。 • 对于第k个约束条件: • 若决策值超过目标值，则 • 若决策值低于目标值，则 • 若决策值等于目标值，则 • 因此，有
• 5.2.2目标规划单纯形法
• 现对目标规划单纯形法的求解步骤进行说明。 • 【例5-8]用单纯形法求解[例5-7]中的目标规划问题:
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5. 2目标规划问题的求解
• 解:标准化的模型为
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5. 2目标规划问题的求解
• 第一步，确定初始基(同线性规划单纯形法)，计算检验数。 • 第二步，最优性检验。