第一讲 集合(1和2)

高中数学

第一讲 集合(一)

◆知识网络

一．知识要点分析：

1.理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法,会判断一组对象是否构成集合。

2.理解元素与集合的“属于”关系，会判断某一个元素属于或不属于某一个集合，了解数集的记法，掌握元素的特征，理解列举法和描述法的意义。 3理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，理解“⊂≠ ”、“⊆”的含义。 4.会判断简单集合的相等关系

⑴结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念；

⑵掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集。 二．重点知识分析：

1.集合的基本概念及表示方法。

2.交集和并集的概念，集合的交、并的性质。

3.子集的概念、真子集的概念。 三．难点知识分析：

1.运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示。

2.元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算。

3.交集和并集的概念、符号之间的区别与联系。

4.集合的交、并的性质。

三．知识要点精讲

1.集合的概念

⑴集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。

集合

集合的概念

集合的表示方法

集合间的基本关系

集合的基本运算 列举法 包含

Ｖｅｎｎ图

描述法

子集

真子集

相等 交集 并集 补集

⑵元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

2.集合元素的性质：元素具有确定性、互异性、无序性。

◆确定性 我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合是一个“整体”，构成集合的对象必须是“确定的”。

怎样理解集合的“确定的”性呢？

其中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不能是模棱两可的，通过这个特征，我们能很容易判断一个元素是否是这个集合的元素。

例1

判断下列对象能否构成集合。

１.某校的年轻教师 ２.某校大于50岁的教师 ３.某校的女教师

◆互异性 集合中的元素是互不相同的，不能重复出现。

通俗地讲就是一个集合中不存在相同的元素，每个元素都是独一无二的。

例2 已知{

}12,12-∈a a ，则a ＝ .

◆无序性 集合中的元素是没有顺序的。

这个是从集合表示方法的角度来强调的。比如{1,2}和{2,1}其实表示的是同一个集合。元素前后顺序的不同并不影响相同集合的判断。

注意：数列的表示从外观看象集合的列举法表示，但是数列中元素的顺序不同，他所表示的数列也不一样。

例3 （湖北高考）设P 、Q 为两个非空数集，定义集合P+Q={}Q b P a b a ∈∈+,|，若

P={}5,2,0，Q={

}6,2,1，则P+Q 中元素的个数是（ ） A.9 B.8 C.7 D.6

2.集合的分类及表示方法

⑴集合通常用大写拉丁字母A 、B 、C ……表示，元素通常用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示。

这只是一个约定俗成，使用的时候便于区分。 ⑵常见数集的表示：

自然数集，即非负整数集，记作N ；（注：包括“0”） 正整数集，记作N + 或者N *；（注：不包括“0”） 整数集，记作Z ；

有理数集，记作Q ； 实数集，记作R ； 复数集，记作Ｃ。

⑶集合的分类：

集合可以根据它含元素的个数分为“有限集”和“无限集”

⑷集合的表示方法有自然语言法、列举法、描述法，还有图像法。

◇自然语言法就是用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法要注意叙述清楚即可。如“由所有正方形构成的集合”、“大于2且小于10的奇数构成的集合”都是用自然语言表示的。

◇列举法就是将集合中的元素一一列举说明来表示集合。比如{2，3，4，5}、{a ，b ，c ，d}。注意元素之间用“，”分隔开。

◇描述法就是通过将集合中元素的范围和共同特征描述出来，以此方法表示集合。用符号来表示就是{x ∈A|P （x ）}，其中x 表示集合中的代表元，A 指的是代表元x 的范围， P （x ）表示代表元x 的共同特征，“|”表示将代表元与其特征分隔开来，使得意思明确。 注意：①写清楚集合中的代表元的代号，如集合{x ∈R|x<1}不能写成{x<1}；

②集合与代表元素所采用的字母符号无关，如集合{x ∈R|x<1}也可以写成 {y ∈R|y<1}，还可以写成{a ∈R|a<1}，都是一样的集合； ③准确使用“且”和“或”；

④集合中不能出现未被说明的符号，如{x ∈Z|x=2k}中的k 未被说明，故此集合元素是不明确的；

⑤描述的内容应该都要写进集合符号内，如{x ∈Z|x=2k}，k ∈Z 不符合要求，应该写成{x ∈Z|x=2k ，k ∈Z}；

⑥有时联系上下文，元素的范围x ∈R 是明确的，则x ∈R 可以省略。

几种特殊数集的范围和意义需要牢记，经常会应用到。 注意区分下面集合中的元素所表示的含义： ⑴集合(){

}

,|x y y x =中的元素是()x y ，，这个集合表示二元方程y x =的解集，或

者理解为曲线y x =

上的点组成的点集；

⑵集合{}

x |y x =

中的元素是x ，这个集合表示函数y x =

中自变量x 的取值范围，

即表示函数的定义域；

⑶集合{

}

y |y x =

中的元素是y ，这个集合表示函数y x =

中函数值y 的取值范围，

即表示函数的值域；

⑷集合{

}

y x =中的元素只有一个（方程y x =

），它是用列举法表示的单元素集合．

◇还有其他的一些表示方法，这里介绍一个常用的方法就是维恩图，也叫文氏图，用