导数练习题(含答案)

导数练习题

1．已知函数f (x )＝ax 3

＋bx 2

＋cx 在x ＝±1处取得极值，在x ＝0处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．

(1)求f (x )的解析式；

(2)已知点A (2，m )，求过点A 的曲线y ＝f (x )的切线条数． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2

＋2bx ＋c ，

由题意可得⎩⎪⎨⎪

⎧

f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0，

f ′(0)＝c ＝－3，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝1，

b ＝0，

c ＝－3.

所以f (x )＝x 3

－3x .

(2)设切点为(t ，t 3－3t )，由(1)知f ′(x )＝3x 2－3，所以切线斜率k ＝3t 2

－3， 切线方程为y －(t 3

－3t )＝(3t 2

－3)(x －t )．

又切线过点A (2，m )，代入得m －(t 3

－3t )＝(3t 2

－3)(2－t )，解得m ＝－2t 3

＋6t 2

－6. 设g (t )＝－2t 3

＋6t 2

－6，令g ′(t )＝0， 即－6t 2

＋12t ＝0，解得t ＝0或t ＝2.

当t 变化时，g ′(t )与g (t )的变化情况如下表：

作出函数草图(图略)，由图可知：

①当m >2或m <－6时，方程m ＝－2t 3

＋6t 2

－6只有一解，即过点A 只有一条切线； ②当m ＝2或m ＝－6时，方程m ＝－2t 3

＋6t 2

－6恰有两解，即过点A 有两条切线； ③当－6

＋6t 2

－6有三解，即过点A 有三条切线． 2．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2.

(1)当a ＝2，b ＝12时，求函数f (x )在[1

e

，e]上的最大值；

(2)当b ＝0时，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2

]都成立，求实数m 的

取值范围．

解 (1)由题意知，f (x )＝2ln x －12x 2，f ′(x )＝2x －x ＝2－x

2

x ，

当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0得1

e

≤x <2；令f ′(x )<0，得2

∴f (x )在[1

e ，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，∴

f (x )max ＝f (2)＝ln 2－1.

(2)当b ＝0时，f (x )＝a ln x ，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2

]都成

立，则a ln x ≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2

]都成立，即m ≤a ln x －x ，对所有的a ∈[0，

32

]，x ∈(1，e 2

]都成立，令h (a )＝a ln x －x ，则h (a )为一次函数，m ≤h (a )min .∵x ∈(1，e 2]，∴ln x >0，

∴h (a )在[0，32]上单调递增，∴h (a )min ＝h (0)＝－x ，∴m ≤－x 对所有的x ∈(1，e 2

]都成立．

∵1

，∴－e 2

≤－x <－1，∴m ≤(－x )min ＝－e 2

.即实数m 的取值范围为(－∞，－e 2

]． 3．设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数． (1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *

，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；

(3)设n ∈N *

，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 解 由题设得，g (x )＝x

1＋x

(x ≥0)．

(1)由已知，g 1(x )＝

x 1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x

1＋x 1＋

x 1＋x

＝x 1＋2x ，g 3(x )＝x

1＋3x

，…，可得g n (x )

＝

x

1＋nx

. 下面用数学归纳法证明．

①当n ＝1时，g 1(x )＝x

1＋x

，结论成立．

②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x

1＋kx

.那么，当n ＝k ＋1时，

g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝

g k (x )1＋g k (x )＝x

1＋kx 1＋

x 1＋kx

＝x 1＋(k ＋1)x

，即结论成立．

由①②可知，结论对n ∈N *

成立．

(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax 1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax

1＋x (x ≥0)，

则φ′(x )＝11＋x －a (1＋x )2＝x ＋1－a

(1＋x )

2，

当a ≤1时，φ′(x )≥0(当且仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递