圆的垂径定理应用精选讲解学习

圆的垂径定理应用精

选

圆的垂径定理应用精选

一、双基导学：

1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

垂径定理推论的规律：对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条

时，“弦”不能是直径。）

2、运用垂径定理的注意事项：

（1）牢记基本图形及变式图形（如右图）

（2）半径r、弦长a、弦心距d

和弓形高h四者的关系是：

①d+h=r；②r2=d2+(

2

a

)2

当不能用勾股定理直接计算时，要用勾股定理列方程求解。

(3)当弦是特殊的直径时，有的推论不成立。

(4)常用辅助线：连接与弦的端点、过圆心作弦的垂线。

二、垂经定理的应用

1、利用平分弦，解有关线段问题

（1）证明线段间的关系（相等、和、差、倍、分等）

例：如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM•⊥CD，•AN与BM是否相等，说明理由．

（2）求半径

例.高速公路的隧道和桥梁最多．图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，求圆的半径OA

析解：由垂径定理可知△AOD是直角三角形，解决本题关键是根据勾股定理列出方程.设半径OA=x米，则OD=CD－OC=7－x（米）.因为OD⊥AB,所以

AD=

1

2

AB=5（米）.在Rt△AOD中，因为222

AD OD OA

+=，所以222

5(7)x x

+-=，解这个方程得：

37

7

x=

图3

图2

（3）求弦长

例.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图4所示，则这个小孔的直径AB ＿＿＿＿mm ．

析解：要求小孔的直径AB ，关键是根据垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理来解决.如图5，设圆心为O ，连接OA ,过点O 作OC ⊥AB ,交劣弧于D ，

C 为垂足，则AC=CB ，OA=O

D =11052

⨯=mm ，OC =8－5=3mm ，在Rt △AOC 中，AC =22OA OC -22534=-=，所以AB =2AC =2×4=8(mm). （4）、求弦心距

例.如图6，⊙O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ．

析解：连接OA ,因为OC AB ⊥于C ，所以由垂径定理可得AC =

11

8422

AB =⨯=.在Rt △AOC 中，由勾股定理可得OC =2222543OA AC -=-=. 2、利用垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理解题

例：有一座圆弧形拱桥，桥下水面AB 宽24m ，拱顶高出水面8m.。现有一

艘高出水面部分的截面为长方形的船要经过这里，长方形的长为8m 、高为7m 。此船能顺利通过这座桥吗?

D C

A

O

B

图8

图

C

O

A

B

D

C

O A

B

图

B

A

8m

图4 O

F

E

D

C B

A

例.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB =16m ，半径

OA =10m ，高度CD 为_____m ． 析解：由垂径定理可得AD =

11

16822

AB =⨯=.在Rt △AOC 中，OD =22221086OA AD -=-=,所以CD=OC －OD=10－6=4(m). 3、利用弦所对的弧等，进行角的计算与证明

例： 如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD ＝40°。 求∠DCF 的度数。

例：.如图10，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC =60º，则∠B = ．

析解：因为CD ⊥AB ，AB 为直径，所以由垂径定理可知»

»AD AC =，利用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”定理可得：

∠B =12AOC ∠=1

60302

⨯︒=︒.

4、探究线段的最小值

例6.如图7，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB =16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ．

析解：因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，所以需作出弦AB 的弦心距.过点O 作OC ⊥AB , C 为垂足，则AC=

11

16822

AB =⨯=.C

O

D A B

图

C O

A

B

P

图7

=.故点P到圆心在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC6

O的最短距离为6cm．