排列组合概率
管综数学排列组合和概率
一、排列组合排列组合是管综数学中常见的题型，也是非常重要的知识点。
排列组合主要研究从一组元素中选取一定数量的元素，并按一定顺序排列或组合的数学方法。
排列组合的应用非常广泛，例如在统计学、概率论、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
排列组合主要包括排列和组合两种。
排列是指从一组元素中选取一定数量的元素，并按一定顺序排列。
排列的计算公式为：P(n, r) = n(n-1)(n-2)...(n-r+1)其中，n为元素总数，r为选取元素的数量。
组合是指从一组元素中选取一定数量的元素，而不考虑元素的顺序。
组合的计算公式为：C(n, r) = frac{P(n, r)}{r!}其中，n为元素总数，r为选取元素的数量，r!表示r的阶乘。
二、概率概率是管综数学中另一个重要的知识点。
概率主要研究随机事件发生的可能性。
概率的计算公式为：P(E) = frac{n(E)}{n(U)}其中，P(E)表示事件E发生的概率，n(E)表示事件E发生的次数，n(U)表示样本空间中所有可能事件的次数。
概率的应用也非常广泛，例如在统计学、金融学、保险学等领域都有着广泛的应用。
三、排列组合和概率在管综考试中的应用排列组合和概率是管综数学中非常重要的知识点，也是管综考试中经常考查的题型。
排列组合和概率的应用非常广泛，例如在统计学、金融学、保险学等领域都有着广泛的应用。
因此，掌握排列组合和概率的知识对于管综考试的成功非常重要。
排列组合和概率在管综考试中的应用主要包括以下几个方面：* 计算排列和组合的数量。
* 计算事件发生的概率。
* 分析排列和组合的规律。
* 解决排列和组合的应用问题。
四、排列组合和概率的学习方法排列组合和概率是管综数学中比较难的知识点，因此需要掌握一定的学习方法才能学好排列组合和概率。
排列组合和概率的学习方法主要包括以下几个方面：* 理解排列组合和概率的基本概念。
* 掌握排列组合和概率的计算公式。
* 熟悉排列组合和概率的应用场景。
数学中的排列组合与概率计算
数学中的排列组合与概率计算排列组合与概率计算是数学中重要的概念和工具，广泛应用于各个领域，包括统计学、物理学、计算机科学等。
本文将介绍排列组合与概率计算的基本概念和方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从一组元素中选取若干元素按一定顺序排列的方式。
对于n 个不同的元素，从中选取m个元素进行排列，可以表示为P(n,m)。
排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
1.2 组合组合是从一组元素中选取若干元素不考虑顺序的方式。
对于n个不同的元素，从中选取m个元素进行组合，可以表示为C(n,m)。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)二、概率计算的基本原理概率是用来描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
概率计算基于排列组合的概念和原理，通过对事件的样本空间和事件的发生情况进行计数和分析，来得出事件发生的概率。
2.1 样本空间样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。
例如，掷一枚普通的硬币，它的样本空间包括正面和反面两个可能的结果。
2.2 事件事件是样本空间的子集，表示我们关心的某种结果。
例如，掷一枚硬币出现正面是一个事件。
2.3 概率概率是事件发生的可能性。
对于一个随机试验和事件，概率的计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的发生情况数，n(S)表示样本空间的元素个数。
三、排列组合与概率计算的应用排列组合和概率计算在各个领域都有广泛的应用。
下面以几个具体的例子说明它们的具体应用。
3.1 组合在概率计算中的应用在扑克牌游戏中，计算一个牌型的概率就可以使用组合的概念。
高中数学研究数学中的排列组合与概率
高中数学研究数学中的排列组合与概率在高中数学课程中，排列组合与概率是重要的概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将深入探讨排列组合与概率的概念、性质和应用，并展示它们在解决问题中的实际意义。
一、排列组合1. 排列的概念排列是指从给定的元素中选取一部分进行排列，按照一定的顺序进行排列。
在排列中，元素的顺序是重要的。
对于n个不同的元素，选择r个进行排列的方法数可以用P(n,r)来表示。
排列的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，!表示阶乘，即n! = n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。
2. 组合的概念组合是指从给定的元素中选取一部分进行组合，元素的顺序不重要。
对于n个不同的元素，选择r个进行组合的方法数可以用C(n,r)来表示。
组合的计算公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)3. 排列组合的性质排列和组合有一些重要的性质，可以利用这些性质简化计算和问题的解决。
（1）互补原则：P(n,r) = n! / (n-r)! = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-r+1)，C(n,r) = n! / (r!(n-r)!) = P(n,r) / r!（2）相同元素的排列：如果有n个元素中有m1个相同，m2个相同，...，mk个相同，那么排列的方法数可表示为P(n, n) / (m1! × m2! × ... × mk!)。
（3）0的阶乘：0! 等于1。
二、概率1. 概率的概念概率是研究随机事件发生可能性或可能性大小的数学方法。
概率的范围在0-1之间，事件发生的概率越高，其值越接近于1；事件发生的概率越低，其值越接近于0。
随机事件的概率可以用P(A)来表示，其中A表示随机事件。
2. 概率的计算（1）古典概型：对于有限个样本点的等可能概率试验，事件A发生的概率可以通过计算满足事件A的样本点的数量除以总样本点的数量来计算。
高考数学回归课本教案：排列组合与概率
高考数学回归课本教案：排列组合与概率一、教学目标1. 理解排列组合的概念，掌握排列组合的计算方法。
2. 理解概率的基本原理，掌握概率的计算方法。
3. 能够运用排列组合和概率的知识解决实际问题。
二、教学内容1. 排列组合的概念和计算方法。
2. 概率的基本原理和计算方法。
3. 排列组合和概率在实际问题中的应用。
三、教学重点1. 排列组合的计算方法。
2. 概率的计算方法。
四、教学难点1. 排列组合的复杂计算。
2. 概率的推理和计算。
五、教学方法1. 采用讲解、示例、练习相结合的方法，帮助学生理解和掌握排列组合和概率的知识。
2. 通过实际问题的讨论，培养学生的应用能力。
一、排列组合的概念和计算方法1. 排列的概念和计算方法a. 排列的定义b. 排列的计算公式c. 排列的示例和练习2. 组合的概念和计算方法a. 组合的定义b. 组合的计算公式c. 组合的示例和练习二、概率的基本原理和计算方法1. 概率的概念和计算方法a. 概率的定义b. 概率的计算公式c. 概率的示例和练习2. 条件概率和独立事件的概率a. 条件概率的定义和计算方法b. 独立事件的定义和概率计算方法c. 条件概率和独立事件的示例和练习三、排列组合和概率在实际问题中的应用1. 排列组合在实际问题中的应用a. 人员安排问题的解决b. 活动安排问题的解决c. 排列组合应用题的练习2. 概率在实际问题中的应用a. 概率在决策中的应用b. 概率在预测中的应用c. 概率应用题的练习这只是一个初步的教案框架，具体的内容可以根据实际需要进行调整和补充。
希望对你有所帮助。
六、排列组合的综合应用1. 排列组合的综合问题解决a. 多重排列组合问题的分析b. 排列组合问题的高级应用c. 综合应用题的练习七、概率的进一步理解和应用1. 概率的公理体系和性质a. 概率的基本公理b. 概率的互补事件和独立事件的性质c. 概率的练习题2. 随机事件的分布a. 离散型随机变量的定义和性质b. 连续型随机变量的定义和性质c. 随机事件分布列的练习题八、概率的计算方法1. 直接计算法a. 利用概率的基本性质计算概率b. 利用排列组合计算概率c. 直接计算法的练习题2. 条件计算法a. 利用条件概率计算概率b. 利用独立事件的概率计算概率c. 条件计算法的练习题九、概率分布和期望值1. 离散型随机变量的期望值a. 离散型随机变量的期望值的定义和性质b. 离散型随机变量期望值的计算方法c. 离散型随机变量期望值的练习题2. 连续型随机变量的期望值a. 连续型随机变量的期望值的定义和性质b. 连续型随机变量期望值的计算方法c. 连续型随机变量期望值的练习题十、实际问题的概率分析和解决1. 概率模型构建a. 实际问题概率模型的建立b. 概率模型的求解和分析c. 概率模型构建的练习题2. 实际问题的概率解决a. 利用概率解决随机事件问题b. 利用概率解决决策问题c. 实际问题概率解决的练习题重点和难点解析一、排列组合的概念和计算方法难点解析：排列组合的复杂计算，尤其是当元素数量较多时，如何快速准确地计算出结果。
排列组合概率题解题技巧
排列组合概率题解题技巧排列组合概率题解题技巧有哪些?怎么样解决这类问题?下面是小编为大家整理的关于排列组合概率题解题技巧，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!排列组合概率题解题技巧1.排列、组合、概率与错位公式2.排列组合概率解题思路——分类法3.例题1：繁琐的计算导致正确率变低4.例题2：通过选项思考暴力的可能性5.例题3：极为简单，一半做错的题6.例题4：分不同情况考虑安排方案7.例题5：分不同情况考虑安排方案8.例题6：理解排列组合题的关键一、排列、组合、概率与错位公式「数量关系」板块中的「排列、组合、概率」方面的题目每年必考、国考省考都会考，而此类题的难度一般较高，因此掌握它们的解题方法是非常有必要的。
总体来说，此类题目的公式非常简单，大致只有三个半，即排列公式、组合公式、概率公式和错位排列公式。
(1)排列公式A(总个数，选出排列的个数)特点是每个个体有「排列」的独特性，谁先选、谁后选会影响结果。
例如5个人选3个排队，5个项目选3个先后完成，两种情况的运算均为：A(5，3)=5×4×3=60种方式(2)组合公式C(总个数，选出组合的个数)特点是每个个体没有「排列」的独特性，谁先选、谁后选都不影响结果。
例如5个人选3个参加比赛，5个项目选3个于今年内完成(不要求完成顺序)，则运算均为：C(5，3)=C(5，2)=5×4÷(1×2)=10种方式注意C(5，3)一般要转换为C(5，2)，其原因是：C(5，3)=5×4×3÷(1×2×3)=5×4÷2，中间要约去3，因此可能会多花两三秒钟，故要尽量节约时间。
注：排列组合公式很好记忆，由于公考中考察的「排列组合概率」题的数值不会很大，因此在实际考试中，直接在纸上用笔列草稿即可：总数×(总数-1)×(总数-2)×……一直让相乘数字的个数达到「选出的个数」，即为排列公式;再从1开始乘，乘到「选出的个数」，用排列公式得出的结果除以该数即为「组合公式」。
高数2-排列组合概率论
例10 从5个男生3个女生中选出3个学生组 团参加合唱比赛，要求选出的学生中至多 有1个女生，有多少种不同的组团方式？ 解：分两种情况考虑：一是没有1个女生； 二是恰有1个女生．
5 43 5 4 3 40 C C C C 3 2 1 2 1 1
3 5 0 3 2 5 1 3
概率论初步
• • • • 随机事件 事件的概率 条件概率、乘法公式、独立性 一维随机变量及其数字特征
• 确定性现象 • 随机现象
随机试验
在一定条件下必然发生某种结果的现象； 在一定条件下不能确定发生某种结果的现象．
• 随机试验
对随机现象进行观察或实验称为(随机)试验： ① 相同条件下可以重复进行； ② 每次试验的可能结果不止一个，并且能事 先明确试验的所有可能结果； ③ 每次试验在其最终结果揭晓之前，无法预 知会发生哪一个可能的结果．
历年试题——概率论初步之1110
随机事件A与B为互不相容事件，则 P(AB) = ( D ) A．P(A) + P(B) B．P(A)P(B) C．1 D．0 解：因为随机事件A与B为互不相容事件； 所以 P(A + B) = P(A) + P(B) 因为 P(A + B) = P(A) + P(B) P(A)P(B) 所以 P(AB) = 0
5 P5 5! 5 4 3 2 1 120
例5 数字1、2、3、4、5可以排成多少个不 同的3位偶数？ 解：按先排个位，再排百位和十位的顺序 排列，根据乘法原理进行计算
P P 2 4 3 24
1 2 2 4
组合
从 n 个不同元素里，任取 m (1 m n )个元 素组成一组，叫做从 n 个不同元素里取出 m 个元素的一个组合．从 n 个不同元素取 出 m (1 m n )个元素的所有组合的个数， 叫做 n 个不同元素取出 m 个元素的组合数， m 记作 C n ．
高中数学排列组合概率统计
排列组合：1．排列及计算公式．排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n 2)……(n 2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式．组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m m(m≤n)≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式．其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)）Pnm=n×（n-1）（n-m+1）；Pnm=n ！/（n-m ）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =n ！；0！=1；Pn1（n 为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)） Cnm=Pnm/Pmm Cnm=Pnm/Pmm ；；Cnm=n Cnm=n！！/m /m！（！（！（n-m n-m n-m）！；）！；）！；Cnn Cnn Cnn（两个（两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =1 =1 =1 ；；Cn1Cn1（（n 为下标1为上标）为上标）=n =n =n；；Cnm=Cnn-m排列定义 从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。
排列组合相关的概率
排列组合相关的概率
在概率理论中，排列和组合都与计算事件发生的可能性有关。
排列是指从一组元素中选取一部分元素进行排列的方式。
排列考虑元素的顺序。
假设有n个元素，要从中选取r个元素进行排列，则排列的总数可以表示为P(n, r)。
P(n, r) = n! / (n - r)!
其中，"!"表示阶乘运算，即将一个正整数n与小于n的正整数连乘。
排列的顺序对结果产生影响。
组合是指从一组元素中选取一部分元素进行组合的方式。
组合不考虑元素的顺序。
同样假设有n个元素，要从中选取r个元素进行组合，则组合的总数可以表示为C(n, r)。
C(n, r) = n! / (r!(n - r)!)
下面是一些排列组合相关的例子：
1. 排列的例子：
- 有5个人参加比赛，选取其中3个人获得前三名的排名情况，共有P(5, 3) = 60种可能性。
2. 组合的例子：
- 有10个苹果，从中选取其中4个苹果放入篮子，共有C(10, 4) = 210种组合方式。
在实际的概率计算中，排列和组合常常用于确定事件发生的可能性，从而帮助我们预测和分析各种情况的概率。
排列组合概率公式
排列组合概率公式好的，以下是为您生成的文章：在咱们的数学世界里啊，排列组合概率公式就像是一群调皮又神秘的小精灵，有时候让咱们摸不着头脑，有时候又能带来惊喜。
先来说说排列吧。
排列这小家伙，就像是给一群小伙伴排队，顺序那可是相当重要。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，这就得考虑顺序啦。
这时候咱们用的公式就是 A(n,m) = n! / (n - m)! 。
举个例子，从 5 个人里选 3 个站成一排拍照，那就是 A(5,3) = 5! / (5 - 3)!= 60 种排法。
这就好像是让这 3 个人轮流站在不同的位置上，每个位置都有特定的意义。
再讲讲组合。
组合呢，就没那么在意顺序啦，只要选出来就行。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个放进篮子里，不管顺序怎么样，只要是这 3 个水果就行。
这时候用的公式就是 C(n,m) = n! / [m! * (n -m)!] 。
还是刚才那 5 个人，选 3 个组成一个小组，那就是 C(5,3) = 5! / [3! * (5 - 3)!] = 10 种选法。
然后就是概率啦。
概率就像是在预测未来一样，充满了不确定性和惊喜。
比如说扔骰子，想知道扔出 3 的概率，那就是 1/6。
记得有一次，我和朋友去商场抽奖。
那个抽奖箱里放着好多不同颜色的小球，红色的、蓝色的、绿色的。
规则是从里面随机摸出3 个球，如果都是红色就算中奖。
这可把我们难住了，到底中奖的概率有多大呢？我们就开始用刚学的排列组合概率公式来计算。
先算总的可能性，就是从一堆球里选 3 个的组合数，然后再算都是红色球的情况。
算来算去，脑袋都快晕了。
最后终于算出来了，发现中奖的概率还挺小的。
虽然那次没中奖，但是通过这个过程，让我对排列组合概率公式的理解更深刻了。
在生活中，排列组合概率公式的应用可多了去了。
比如买彩票，计算中奖的概率；还有玩游戏，猜中某个结果的可能性。
学会了这些公式，咱们就能更清楚地看清这些事情背后的数学规律。
排列组合条件概率_概述说明以及解释
排列组合条件概率概述说明以及解释1. 引言1.1 概述: 在概率论中，排列组合条件概率是一种重要的计算方法，它涉及到排列组合的基础知识和条件概率概念。
通过理解排列组合的概念和条件概率的计算方法，我们可以更好地分析事件之间的关系，并作出准确的推断和预测。
1.2 文章结构: 本文将首先介绍排列组合的基础知识，包括什么是排列组合、排列与组合的区别以及其应用领域。
接着将详细阐述条件概率的定义、计算方法和与独立性的关系。
然后将探讨排列组合在条件概率中的具体应用，并通过实例分析展示其计算过程和结果。
最后，文章将总结主要内容和结论，展望未来研究方向，并给出结束语。
1.3 目的: 本文旨在帮助读者深入了解排列组合条件概率的理论知识和实际运用，在学习、工作或研究中能够灵活运用这一方法进行问题求解和决策。
通过阅读本文，读者将能够掌握排列组合条件概率的相关概念、原理和应用技巧，提高数学分析和推理能力。
排列组合是组合数学中的一个重要概念，它涉及到对元素进行有序或无序的排列和选择。
在排列中，我们考虑元素的先后顺序，而在组合中则只考虑元素的选择而不考虑顺序。
例如，假设有三个数字1、2、3，在排列中可能会有123、132、213、231、312和321这六种不同的排列方式；而在组合中只有123这一种选择方式。
排列与组合之间的主要区别在于是否考虑元素的排列顺序。
在实际问题中，通常需要根据具体情况来确定使用排列还是组合。
排列通常用于涉及具体次序或位置信息的问题，如密码锁密码的可能性计算；而组合则更多用于涉及选取对象数量而不考虑次序的问题，比如从一组人员当中选出一个小组成员。
排列和组合都在各种领域得到广泛应用。
在计算机科学和信息技术领域，排列和组合用于数据压缩、加密算法等方面；在统计学和概率论领域，排列和组合是条件概率、事件独立性等问题的基础；在经济学和管理学领域，排列和组合可用于市场调查、产品分析等决策问题。
总之，了解排列与组合知识将有助于我们更好地解决各种实际问题，并为进一步探讨条件概率提供坚实基础。
数学运算题型篇第十四排列组合与概率
天智新思维公考培训 《行政职业能力基础课程》作者：天字1号（徐克猛）二零一三年三月十七日 写于无锡第二章 数学运算基础题型十四、排列组合与概率1. 排列组合的基础知识(1)、什么是C公式C 是指组合，从N 个元素取R 个，不进行排列（即不排序）。
例如：编号1～3的盒子，我们找出2个来使用,这里就是运用组合而不是排列，因为题目只是要求找出2个盒子的组合，即23C =3(2)、什么是A 或P公式A 或P 都是指排列，只是因为不同时期教材版本不一样采取的表现形式也不一样。
对于P 或A 的含义相当于是：从N 个元素取R 个进行排列(即排序)。
例如：1～3，我们取出2个数字出来组成2位数，可以是先取23C ，后排22A ，就构成了 23C ×22A ＝23A(3)、A 和C 的关系事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A 比C 多了一个排序步骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。
(4)、计算方式以及技巧要求组合：C m n =m !(m −n )!×n !条件：N<=M 排列：A m n =m !(m −n )!条件：N<=M 为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1～7的阶乘， 当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如n m C 当中n 取值过大，那么我们可以看m-‐n 的值是否也很大，如果不大，我们可以求n m m C −，因为n mC ＝n m m C −。
2. 排列组合的基本形式排列组合当中重要的解题思想核心就是根据题目的特点学会“分类”和“分步”，“分类”是指分情况讨论，一道排列组合可能有几种不同的情况；而“分步”则是指一道排列组合题目按照步骤解题，将其分解成若干个步骤。
分类：加法原则，即学会把一个复杂的排列组合问题分解成若干部分，每个部分是独立的相互之间没有关联，然后把这若干种情况求出来，再计算总和。
高中数学公式大全排列组合与概率计算公式
高中数学公式大全排列组合与概率计算公式高中数学公式大全：排列组合与概率计算公式一、排列组合1. 排列公式排列是指从一个有限元素集合中选取若干元素按照一定的顺序进行排列的方法。
当从n个不同元素中选取r个元素进行排列时，排列数可以用以下公式表示：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，P(n, r)表示从n个元素中选取r个元素进行排列的总数，n!表示n的阶乘。
2. 组合公式组合是指从一个有限元素集合中选取若干元素，不考虑元素的顺序进行组合的方法。
当从n个不同元素中选取r个元素进行组合时，组合数可以用以下公式表示：C(n, r) = n! / [r! * (n-r)!]其中，C(n, r)表示从n个元素中选取r个元素进行组合的总数。
二、概率计算1. 概率公式概率是指某个事件在所有可能事件中发生的可能性大小。
一般用P(A)表示事件A的概率。
当事件 A、B 互斥且独立时，可以使用以下概率公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)其中，P(A ∪ B)表示事件 A 或事件 B 发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件 A 和事件 B 发生的概率。
2. 条件概率公式条件概率是指在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
可以使用以下条件概率公式计算：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，P(A ∩ B)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B)表示事件 B 发生的概率。
3. 乘法定理乘法定理是指在一系列独立事件中，它们同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积。
可以使用以下乘法定理计算：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件 A 和事件 B 发生的概率。
4. 加法定理加法定理是指当两个事件互斥时，它们其中一个事件发生的概率等于两个事件发生概率的和。
数学中的排列组合和概率分布
数学中的排列组合和概率分布数学是一门抽象而又具有深度的学科，其中排列组合和概率分布是数学中的两个重要概念。
它们在解决实际问题和推理推断中起着至关重要的作用。
本文将从排列组合和概率分布两个方面来探讨它们的应用和意义。
一、排列组合排列组合是数学中研究对象的不同排列和组合方式的方法。
在实际生活中，我们经常会遇到需要计算不同排列和组合的问题。
比如，一个班级里有10个学生，要从中选出3个学生组成一个小组，那么有多少种不同的组合方式？这个问题可以通过排列组合的方法来解决。
首先，我们需要计算从10个学生中选出3个学生的排列数。
根据排列的定义，排列数可以表示为A(10,3)。
而A(10,3)的计算公式为：A(10,3) = 10! / (10-3)! = 10 * 9 * 8 = 720。
但是，由于小组内的学生之间的顺序并不重要，所以我们还需要计算出不同排列中的重复情况。
即，对于每一种排列，我们可以通过不同的顺序来表示同一个小组。
所以，我们还需要计算3个学生的不同排列数，即3! = 3 * 2 * 1 = 6。
最后，我们可以得到不同组合方式的总数为720 / 6 = 120种。
所以，从10个学生中选出3个学生组成一个小组的不同组合方式有120种。
排列组合的应用不仅限于学生的选组问题，还可以用于解决其他实际问题。
比如，排列组合可以用于计算概率、统计学中的抽样问题等。
它们在数学中具有广泛的应用和重要的意义。
二、概率分布概率分布是描述随机变量的取值和概率之间关系的数学模型。
在概率论中，我们经常会遇到需要计算随机事件发生的概率的问题。
概率分布的研究可以帮助我们理解和解决这些问题。
常见的概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布。
离散型概率分布是指随机变量只能取有限个或可列个数值的概率分布，比如二项分布、泊松分布等。
连续型概率分布是指随机变量可以取任意实数值的概率分布，比如正态分布、指数分布等。
以二项分布为例，它是一种离散型概率分布，描述了在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。
第十三章排列组合与概率(高中数学竞赛标准教材)
第十三章排列组合与概率(高中数学竞赛标准教材)第十三章排列组合与概率一、基础知识．加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有1种不同的方法，在第2类办法中有2种不同的方法，……，在第n类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事一共有N=1+2+…+n种不同的方法。
．乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有1种不同的方法，第2步有2种不同的方法，……，第n步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=1×2×…×n种不同的方法。
．排列与排列数：从n个不同元素中，任取个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个排列，从n个不同元素中取出个元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出个元素的排列数，用表示，=n…=,其中,n∈N,≤n,注：一般地=1，0！=1，=n!。
．N个不同元素的圆周排列数为=!。
．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出个构成原集合的一个子集。
从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个元素的组合数，用表示：．组合数的基本性质：；；；；；。
．定理1：不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为。
[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。
反之B中每一个解,将xi作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,…,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有种。
故定理得证。
推论1不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为推论2从n个不同元素中任取个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的可重组合，其组合数为．二项式定理：若n∈N+,则n=.其中第r+1项Tr+1=叫二项式系数。
高中数学中的排列组合公式与概率计算
高中数学中的排列组合公式与概率计算在高中数学中，排列组合公式和概率计算是两个重要的概念和工具。
它们不仅在数学中有广泛的应用，而且在现实生活中也有很多实际的应用。
本文将介绍排列组合公式和概率计算的基本概念和原理，并且通过一些例子来说明它们的具体应用。
首先，我们来看排列组合公式。
排列组合是数学中研究对象的不同组合方式的一种方法。
在排列中，我们关注的是对象的顺序，而在组合中，我们只关注对象的选择。
在高中数学中，我们常常会遇到排列和组合的问题，比如从一组数字中选择若干个数字进行排列或组合。
为了解决这类问题，我们需要掌握一些常用的排列组合公式。
首先，我们来看排列的公式。
排列的公式可以用来计算从n个不同的对象中选择r个对象进行排列的方式数目。
排列的公式为：P(n, r) = n! / (n-r)!，其中n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
通过排列的公式，我们可以计算出从一组数字中选择若干个数字进行排列的方式数目。
接下来，我们来看组合的公式。
组合的公式可以用来计算从n个不同的对象中选择r个对象进行组合的方式数目。
组合的公式为：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)。
通过组合的公式，我们可以计算出从一组数字中选择若干个数字进行组合的方式数目。
排列组合公式在实际生活中有很多应用。
比如，在抽奖活动中，我们常常需要计算中奖的概率。
假设有10个人参加抽奖，其中只有1个人能中奖。
我们可以使用组合的公式来计算中奖的概率。
将中奖的可能性看作是从10个人中选择1个人进行组合，即C(10, 1) = 10! / (1! * (10-1)!) = 10。
所以，中奖的概率为1/10。
另一个应用是在密码学中的破解密码。
假设一个密码由4个数字组成，每个数字的取值范围是0-9。
我们可以使用排列的公式来计算破解密码的方式数目。
将破解密码的方式数目看作是从10个数字中选择4个数字进行排列，即P(10, 4) = 10! / (10-4)! = 10 * 9 * 8 * 7 = 5040。
体育单招复习三(排列组合、概率)【范本模板】
体育单招复习三(排列组合概率）一 排列组合 （1）计数原理1.分类计数原理(加法原理)1.在填写志愿时，一名高中毕业生了解到，在A 大学里有4种他所感兴趣的专业，在B 大学里有5种感兴趣的专业，如果这名学生只能选择一个专业，那么他共有多少种选择?2。
一工作可以用2种方法完成，有5人只会用第一种方法完成，另有4人只会用第二种方法完成，从中选出一人来完成这项工作，不同的选法的种数是2。
分步计数原理（乘法原理）1。
从A 村到B 村的道路有3条,从B 村到C 村的道路有2条，从A 村经B 村到C 村,不同的线路种数是2.设某班有男生30名,女生24名.现要从中选出男、女生一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？3.从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_;3。
分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．1.书架的第一层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。
（1）从书架中任意取一本书,有多少种取法？（2)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？2。
现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名,问：（1）从中任选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生各选一名参加接待外宾活动,有多少种不同的选法？(2）排列定义 （1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!mn n A n n n n m m n n m =---+=≤-；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅.(2）计算。
=23A ；=25A ；=35A ；=37A=13A ;=15A ;=17A ;=03A =05A ；=07A1.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种挂法？2.从5本不同的书中选出3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法?3。
排列组合概率问题解题技巧
排列组合和概率问题在数学、统计学以及计算机科学等领域中经常遇到，解题时可以遵循以下一些技巧：1. 明确问题类型：- 排列（Permutation）：涉及对有限集合中的元素进行排序，考虑顺序的不同。
例如，从n个不同元素中取出m个进行排列。
- 组合（Combination）：同样是从n个不同元素中取出m个，但不考虑选取的顺序。
2. 公式记忆与应用：- 排列数公式：从n个不同元素中取出m个进行排列的数量为P(n, m) = n! / (n-m)!- 组合数公式：从n个不同元素中取出m个进行组合的数量为C(n, m) = P(n, m) / m! = n! / [m!(n-m)!]3. 区分有无重复元素：- 如果元素可重复选择，则需考虑使用多重集的概念或直接计算每个位置的可能性之积。
- 如果元素不可重复选择，则直接应用排列或组合公式。
4. 利用概率定义：- 概率= 有利情况数/ 总可能情况数- 在解决概率问题时，首先确定总共有多少种可能的情况，然后确定满足条件的“有利”情况有多少种。
5. 树状图和列表法：- 对于较复杂的问题，可以通过画出树状图或列举所有可能的组合方式来直观分析问题。
6. 排列组合结合概率思想：- 当涉及到概率时，先计算总的事件数量（即样本空间），再计算所求事件的数量，最后用所求事件数量除以总的事件数量得到概率。
7. 分步解决和分类讨论：- 对于多步骤或多阶段的选择问题，可采用分步计数的方法，每一步骤分别进行排列或组合计算。
- 若存在多种可能性，需要根据不同的条件分类讨论并求和。
8. 计算器和编程辅助：- 对于较大的数值计算，可以借助计算器或者编写程序进行快速准确的计算。
9. 练习与理解：- 大量做题是掌握排列组合和概率技巧的关键，通过不断实践加深对原理的理解，并培养快速识别问题类型的能力。
以上是一些基本的解题技巧，具体应用还需要结合实际题目灵活运用。
【高中数学】排列组合概率(概率)解答题C
C1.有三种产品， 合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．(Ⅰ) 求恰有一件不合格的概率； (Ⅱ) 求至少有两件不合格的概率．解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C ．（Ⅰ） P （A ）=0.90，P （B ）= P （C ）=0.95，P （A ）=0.10，P （B ）= P （C ）=0.05。
因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为 P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）= P （A ）·P（B ）·P（C ）+ P （A ）·P（B ）·P（C ）+ P （A ）·P（B ）·P（C ） =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.90×0.95=0.176答：恰有一件不合格的概率为0.176。
（Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为P （A ·B ·C ）+ P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ） =0.90×05.02+2×0.10×0.05×0.95+0.10×05.02=0.012 答：至少有两件不合格的概率为0.012。
解法二：三件产品都合格的概率为P （A·B·C）=P （A ）·P（B ）·P（C ）=0.90×05.02=0.812由（1）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为 1-[ P （A·B·C）+0.176]=1-（0.812+0.176）=0.012答：至少有两件不合格的概率为0.012。
排列组合在概率计算中的角色
排列组合在概率计算中的角色在概率计算中，排列和组合是两个重要的概念，它们在计算事件发生的可能性时起着至关重要的作用。
排列和组合是数学中的基本概念，它们帮助我们计算不同事件发生的可能性，从而更好地理解和预测事件的结果。
本文将介绍排列和组合在概率计算中的角色，以及它们在实际问题中的应用。
### 1. 排列的概念和计算方法排列是指从一组元素中取出一部分元素，按照一定的顺序排列的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的，不同的排列顺序会得到不同的结果。
排列的计算方法可以用以下公式表示：$$P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$$其中，$P_n^m$表示从n个元素中取出m个元素进行排列的方法数，$n!$表示n的阶乘，即$n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1$。
举个例子，如果有5个人（A、B、C、D、E）排成一排，问有多少种不同的排列方式？根据排列的计算方法，可以得到答案：$$P_5^5 = \frac{5!}{(5-5)!} = 5! = 5*4*3*2*1 = 120$$因此，5个人排成一排有120种不同的排列方式。
### 2. 组合的概念和计算方法组合是指从一组元素中取出一部分元素，不考虑元素的顺序，即元素之间是无序的。
在组合中，元素的选择是重要的，但元素的顺序不重要。
组合的计算方法可以用以下公式表示：$$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$其中，$C_n^m$表示从n个元素中取出m个元素进行组合的方法数，$n!$表示n的阶乘，$m!$表示m的阶乘。
举个例子，如果有5个人（A、B、C、D、E）中选出3个人组成一个团队，问有多少种不同的组合方式？根据组合的计算方法，可以得到答案：$$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5*4*3}{3*2*1} =10$$因此，从5个人中选出3个人组成一个团队有10种不同的组合方式。
### 3. 排列组合在概率计算中的应用排列和组合在概率计算中有着广泛的应用，特别是在计算事件发生的可能性时。
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例2、已知集合M={-1，0，1}，N={2，3，4，5}，映射，当x∈M时，为奇数，则这样的映射的个数是（）A.20B.18C.32D.24分析：由映射定义知，当x∈M时，当x∈M时，这里的x可以是奇数也可以是偶数，但必须为奇数，因此，对M中x的对应情况逐一分析，分步考察：第一步，考察x=-1的象，当x=-1时，，此时可取N中任一数值，即M中的元素-1与N中的元素有4种对应方法；第二步，考察x=0的象，当x=0时，为奇数，故只有2种取法（=3或=5），即M中的元素0与N中的元素有2种对应方法；第三步，考察x=1的象，当x=1时，为奇数，故可为奇数也可为偶数,可取N中任一数值，即M中的元素1与N中的元素有4种对应方法，于是由分步计数原理可知，映射共有4×2×4=32个。
例3、在中有4个编号为1，2，3，4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法？解：根据题意，有相邻边的小三角形颜色不同，但“对角”的两个小三角形可以是相同颜色，于是考虑以对角的小三角形1、4同色与不同色为标准分为两类，进而在每一类中分步计算。
第一类：1与4同色，则1与4有5种涂法，2有4种涂法，3有4种涂法，故此时有N1=5×4×4=80种不同涂法。
第二类：1与4不同色，则1有5种涂法，4有4种涂法，2有3种涂法，3有3种涂法，故此时有N2=5×4×3×3=180种不同涂法。
综上可知，不同的涂法共有80+180=260种。
点评：欲不重不漏地分类，需要选定一个适当的分类标准，一般地，根据所给问题的具体情况，或是从某一位置的特定要求入手分类，或是从某一元素的特定要求入手分类，或是从问题中某一事物符合条件的情形入手分类，或是从问题中有关事物的相对关系入手分类等等。
例4、将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A.6种B.9种C.11种D.23种解法一（采用“分步”方法）：完成这件事分三个步骤。
第一步：任取一个数字，按规定填入方格，有3种不同填法；第二步：取与填入数字的格子编号相同的数字，按规定填入方格，仍有3种不同填法；第三步：将剩下的两个数字按规定填入两个格子，只有1种填法；于是，由分步计数原理得，共有N=3×3×1=9种不同填法。
解法二：（采用“列举”方法）：从编号为1的方格内的填数入手进行分类。
第一类：编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法：2 4 13 2 14 3 2 3 4 1第二类：编号1的方格内填数字3，也有3种不同填法：3 14 2 3 4 1 2 3 4 2 1第三类：编号为1的方格内填数字4，仍有3种不同填法：4 1 2 3 4 3 1 2 4 3 2 1于是由分类计数原理得共有N=3+3+3=9种不同填法，应选B解法三（间接法）：将上述4个数字填入4个方格，每格填一个数，共有N1=4×3×2×1=24种不同填法，其中不合条件的是(1)4个数字与4个格子的编号均相同的填法有1种；(2)恰有两个数字与格子编号相同的填法有6种；(3)恰有1个数字与格子编号相同的填法有8种；因此，有数字与格子编号相同的填法共有N2=1+6+8=15种于是可知，符合条件的填法为24-15=9种。
点评：解题步骤的设计原则上任意，但不同的设计招致计算的繁简程度不同，一般地，人们总是优先考虑特殊元素的安置或特殊位置的安排，以减少问题的头绪或悬念。
当正面考虑头绪较多时，可考虑运用间接法计算：不考虑限制条件的方法种数—不符合条件的方法种数=符合条件的方法种数。
在这里，直接法中的“分析”与间接法主体的“分类”，恰恰向人们展示了“分步”与“分类”相互依存、相互联系的辩证关系。
例5、用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字4位数，其中，必含数字2和3，并且2和3不相邻的四位数有多少个？解：注意到这里“0”的特殊性，故分两类来讨论。
第一类：不含“0”的符合条件的四位数，首先从1，4，5这三个数字中任选两个作排列有种；进而将2和3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，又有种排法，于是由分步计数原理可知，不含0且符合条件的四位数共有=36个。
第二类：含有“0”的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法”：首先从1，4，5这三个数字中任选一个，而后与0，2，3进行全排列，这样的排列共有个。
其中，有如下三种情况不合题意，应当排险：（1）0在首位的，有个；（2）0在百位或十位，但2与3相邻的，有个（3）0在个位的，但2与3相邻的，有个因此，含有0的符合条件的四位数共有=30个于是可知，符合条件的四位数共有36+30=66个点评：解决元素不相邻的排列问题，一般采用“插空法”，即先将符合已知条件的部分元素排好，再将有“不相邻”要求的元素插空放入；解决元素相邻的排列问题，一般采用“捆绑法”，即先将要求相邻的元素“捆绑”在一起，作为一个大元素与其它元素进行排列，进而再考虑大元素内部之间的排列问题。
例7、（1）；（2）若，则n=；（3）；（4）若，则n的取值集合为；（5）方程的解集为；解：（1）注意到n满足的条件∴原式==（2）运用杨辉恒等式，已知等式即所求n=4。
（3）根据杨辉恒等式原式====（4）注意到这里n满足的条件n≥5且n∈N*①在①之下，原不等式②∴由①、②得原不等式的解集为{5，6，7， (11)（5）由注意到当y=0时，无意义，原方程组可化为由此解得经检验知是原方程组的解。
例8、用红、黄、绿3种颜色的纸做了3套卡片，每套卡片有写上A、B、C、D、E字母的卡片各一张，若从这15张卡片中，每次取出5张，则字母不同，且3种颜色齐全的取法有多少种？解：符合条件的取法可分为6类第一类：取出的5张卡片中，1张红色，1张黄色，3张绿色，有种取法；第二类：取出的5张卡片中，1张红色，2张黄色，2张绿色，有种取法；第三类：取出的5张卡片中，1张红色，3张黄色，1张绿色，有种取法；第四类：取出的5张卡片中，2张红色，1张黄色，2张绿色，有种取法；第五类：取出的5张卡片中，2张红色，2张黄色，1张绿色，有种取法；第六类：取出的5张卡片中，3张红色，1张黄色，1张绿色，有种取法；于是由分类计数原理知，符合条件的取法共有点评：解决本题的关键在于分类，分类讨论必须选择适当的分类标准，在这里，以红色卡片选出的数量进行主分类，以黄色卡片选出的数量进行次分类，主次结合，确保分类的不重不漏，这一思路值得学习和借鉴。
（4）某产品共有4只次品和6只正品，每只产品均不相同，现在每次取出一只产品测试，直到4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情况有多少种？分两步完成：第一步，安排第五次测试，由于第五次测试测出的是次品，故有种方法；第二步，安排前4次测试，则在前四次测试中测出3只次品和1只正品的方法种数为。
于是由分布计数原理可知，共有种测试方法。
2、不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面共有（）A、3个B、4个C、6个D、7个分析：不共面的四点可构成一个四面体，取四面体各棱中点，分别过有公共顶点的三棱中点可得到与相应底面平行的4个截面，这4个截面到四个定点距离相等；又与三组对棱分别平行且等距的平面有3个，故符合条件的平面共7个，应选D。
3、北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）A、B、C、D、分析：排班工作分三步完成：第一步，从14人中选出12人，有种选法；第二步，将第一步选出的12人平均分成三组，有种分法；第三步，对第二步分出的3组人员在三个位置上安排，有种排法；于是由乘法原理得不同的排班种数为，应选A概率例3、有6个房间安排4人居住，每人可以进住一房间，且进住房间是等可能的，试求下列各事件的概率：（1）事件A：指定的4个房间中各有一人；（2）事件B：恰有4个房间各有一人；（3）事件C：指定的某两个房间中一号有一人，第2号房间有3人。
（4）事件D：指定的某个房间有2人。
解：由于每个人可以进住任一房间，则4个人进住6个房间，共有64种方法。
（1）指定的4个房间中各有一人，有种方法，所以。
（2）恰有4个房间中，各有一人进住的方法有种，所以。
（3）选1人进住第1号房间，有种方法。
余下3人进第2号房间，只有1种方法，共有种方法。
所以。
（4）从4个人中，选出2人去指定的某个房间，有种方法，其余两人各有5种进住方法，总共有种方法，所以。
例4、某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为：0.21,0.23,0.25,0.28计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或7环的概率（2）不够7环的概率解：（1）记：“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发出，故A、B互斥，“射中10环或7环”的事件为A+B，故P(A+B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49，所以，射中10环或7环的概率为0.49。
（2）记“射中不够7环”为事件C，则为“射中7环或8环或9环或10环”。
∴从而，P(C)=1-=0.03.所以，射不够7环的概率为0.03。
例5、设从标有自然数1001到8000的7000张卡片中随意抽出1张，求其数字恰是3或7的倍数的概率。
解：记“抽出卡片上的数字恰是3的倍数”的事件为A，“抽出卡片上的数字恰是7的倍数”的事件为B，A·B表示“抽出卡片上的数字恰是21的倍数”，则：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)2．从一副52张扑克牌中任取4张，求其中至少有2张牌的花色相同的概率。
提示：设任取4张牌，至少有2张牌的花色相同的事件A，则为取出的4张牌的花色各不相同。
，则。
例3.从8张写有2，4，6，7，8，11，12，13的卡片中任取2张，求：卡片上数字互质的概率。
解：事件A：卡片上数字互质8个数字分为2组（2，4，6，8，12），（7，11，13）两组中各取一个及从第二组中取2个都满足事件A的要求，由此事件A的概率:例4、一个箱内装有标号为1--50的50个小球，任取2个球，把标号相加，求：标号和为3的倍数的概率。
解：事件A：标号和为3的倍数.现在1--50个数分为3组：①3，6，9，12，…，48共16个数是3的倍数；②1，4，7，10，…，49共17个数被3除余1；③2，5，8，11，…，50共17个数被3除余2。