概率统计练习册习题解答(定)
概率统计练习册习题解答[定]
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习题1-1 样本空间与随机事件1．选择题（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）ABAC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C（2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ）A {}123T T T t ++>B {}123TT T t >C {}{}123min ,,T T T t >D {}{}123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A 表示“点数之和大于10”。
解：{},18543，，，＝Ω ；{}18,,12,11 ＝A 。
（2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。
解：{} ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。
（3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。
现抽查一轴干测量其长度，事件A 表示测量长度与规格的误差不超过0.1。
3．设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件： （1） A ，B ，C 都发生：解： ABC ；（2） A ，B ，C（3） A 发生，B 与C（4） A ，B ，C 中至少有一个发生：解：C B A ⋃⋃（5）A ，B ，C 4．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2）至少有一个次品；（3）恰好有两个是次品；（4习题1-2 随机事件的概率及计算1．填空题（1）已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P，则)(A P)(AB P)(B A P )(B A P =)(B A P 0 ，)(B A P（2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，则()P AB ()P AB 0.6（3）盒子中有10个球，其中3（4）一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，其中恰有1件次品的概率为（5）某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为2．选择题（1）如果A 与B 互不相容，则（C ）(A) AB =∅ (B) A B = (C ) AB =Ω (D) A B =Ω（2）设A 、B 是任意两事件，则=-)(B A P （ B 、C ）。
九年级数学概率统计练习题及答案
九年级数学概率统计练习题及答案一、选择题1. 下列各项中，属于概率的是：A. 李明抽到红球的可能性是10%B. 今天下雨的可能性是80%C. 买彩票中奖的可能性是1/1000000D. 扔一次骰子掷出的点数是4的可能性是1/62. 某班级有30个学生，其中有18个男生和12个女生。
从班级中随机选取一个学生，男生和女生被选到的概率相等。
那么，被选到的学生是男生的概率是多少？A. 2/3B. 1/3C. 3/5D. 1/23. 一副扑克牌中有52张牌，其中红心牌有13张。
从扑克牌中随机抽一张牌，抽到红心牌的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/52二、填空题1. 从数字1、2、3、4、5中任意抽取一个数，抽到奇数的概率是_________。
2. 一组数据：10、12、14、16、18中，大于15的数的概率是_________。
3. 一枚硬币抛掷，正面向上的概率是_________。
三、计算题1. 某班级有40个学生，其中有18个男生和22个女生。
从班级中随机选取两个学生，分别计算：a) 选出的两个学生都是男生的概率是多少？b) 选出的两个学生一个是男生一个是女生的概率是多少？2. 一副扑克牌中有52张牌，其中黑色牌有26张。
从扑克牌中随机抽取两张牌，并将它们放回，再抽取一张牌。
计算：a) 三次抽取都是黑色牌的概率是多少？b) 三次抽取中至少有一张黑色牌的概率是多少？四、解答题1. 一组数据：5、7、9、11、13，从中随机抽取一个数。
计算抽取奇数的概率。
答案解析：一、选择题1. D2. A3. A二、填空题1. 3/52. 3/53. 1/2三、计算题1.a) 18/40 × 17/39 = 9/20 × 17/39 = 153/780b) 18/40 × 22/39 + 22/40 × 18/39 = 396/780 = 2/5 2.a) 26/52 × 26/52 × 26/52 = 27/64b) 1 - (26/52 × 26/52 × 26/52) = 37/64四、解答题1. 3/5通过以上习题，希望能够帮助同学们加深对数学概率统计的理解和掌握。
概率论与数理统计练习册答案
概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。
概率统计习题解答(131020)
∫
+∞
∫ xyf (x, y )dxdy = ∫ =
0 0
1
∫ 2x dx
5 2
+∞
y · e−(y−5) dy
1
4x3 dx
=4
4 习题 4-2
5. 设随机变量 X 服从泊松分布，且 3P {X = 1} + 2P {X = 2} = 4P {X = 0}, 求 X 的期望与方差。 解：设 X 服从参数为 λ 的泊松分布，于是有： P {X = k } = 即有 λk e−λห้องสมุดไป่ตู้k!
于是根据数学期望的定义可得： E (Z ) = 0 × 0.1 + 1 × 0.2 + 4 × 0.3 + 9 × 0.4 + 16 × 0.0 =5
10. 设 (X, Y ) 的概率密度为 12y 2 , 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 f (x) = 0, 其它 求 E (X ), E (Y ), E (XY ), E (X 2 + Y 2 ). 解：根据边缘概率密度与联合概率密度之间的关系可得： ∫ +∞ fX (x) = f (x, y )dy −∞ ∫ x = 12y 2 dy
2 4 4
∫ dy
0
4−y
(6 − x − y )dx
2
1 (4 − y )(4 − y )dy 2
2 习题 3-2
5. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其概率分布如表 (a) 及表 (b) 所示，求 (X, Y ) 的联合概率分布，P {X + Y = 1}，P {X + Y ̸= 0}
(a) 表 (b) 表
−∞ −∞
解：(1) 根据联合概率密度的性质 ∫
概率统计练习册习题解答
概率统计练习册习题解答苏州科技学院概率论与数理统计》活页练习册习题解答信息与计算科学系概率论与数理统计教材编写组2013 年12 月习题1-1 样本空间与随机事件1选择题（1）设A,B,C为三个事件，则A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可表示为（D）（A）AB IJ AC U BC（B）A U B U C（C ）AB CU A B C UA BC（D ）AUBUC（2）设三个元件的寿命分别为T1,T2,T3，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件系统的寿命超过t”可表示为（D）A ;T1T2T3kB ITT2T3 t?C :min 汀,T2,T3? t? D;max：T1，T2,T3i >t?2•用集合的形式表示下列随机试验的样本空间「与随机事件A:对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A表示射击次数不超过5次”。
解：Q = {l,2,3,，}； A = {1,2,3,4,}。
3•设某工人连续生产了4个零件，A i表示他生产的第i个零件是正品（i=123,4 ），试用A表示下列各事件：（1 ）只有一个是次品；(2)至多有三个不是次品；卜- A- A3 一A4习题1-2 随机事件的概率及计算1填空题(1)已知 A B，P(A)=0.4，P(B)=0.6，贝P(A)二—0.6，P(AB)二二0 ，P(AB)二0.4。
P(A B)(2)设事件A与B互不相容，P(A) =0.4, P(B) = 0.3，则P(AB)=0.3 ，P(AU B)= 0.6 。
2 •选择题(1)如果P(AB) =0，则(C )(A) A与B互不相容(B) A 与B互不相容(C) P(A_B)二P(A) (D) P(A_B) =P(A) _P(B)(2)两个事件A与B是对立事件的充要条件是(C )(A) P(AB) = P(A) P(B) (B) P(AB) =0 且P(A B) =1(C) AB二•一且 A B 二■1(D) AB 二一3.—批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求(1) 5只全是好的的概率； (2) 5只中有两只坏的的概率； (3) 5只中至多有一只坏的概率P 2=弩(2)C 40=0.03544. ( 1)教室里有r 个学生，求他们的生日都不相同的概率；(2)房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一 个月的概率.解：(1)设A 二“他们的生日都不相同”，则P(A)崇；(2)设B 二“至少有两个人的生日在同一个月4112-p 441 96习题1-3 条件概率1.选择题：(1)设A，B为两个相互对立事件, 且P(A) 0，P(B) 0，(B) P(A B) = P(A) (C) P(A B) =0 (D)(A) P(BA)»OP(AB)二 P(A)P(B)(2) —种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p,第二道工序的废品率为q,则该零件加工的成品率为(|c )(A) 1»q ( B) 1 - pq (C) 1 - p - q pq (D)(1-P) (1-q)2 •填空题：(1)已知P(A) =0.5, P(AUB) =0.6,若A、B 互不相容，贝P(B) = 0 .1_ ；若A、B 相互独立，则P(B)=—0 . 2(2)一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81,该射手的命中率2——p=3—。
概率统计练习册答案
概率统计练习册答案第一章 概率论的基本概念一、选择题1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（ ） A ．{（正，正），（反，反），（一正一反）} B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）} C ．{一次正面，两次正面，没有正面} D.{先得正面，先得反面}2.设A ，B 为任意两个事件，则事件(AUB)(Ω-AB)表示（ ） A ．必然事件 B ．A 与B 恰有一个发生 C ．不可能事件 D ．A 与B 不同时发生3．设A ，B 为随机事件，则下列各式中正确的是（ ）. A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A-B)=P(A)－P(B)C.)()(B A P B A P -=D.P(A+B)=P(A)+P(B)4.设A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( ). A.P(A －B)=P(A)－P(AB) B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A)+P(A )=15.若φ≠AB ，则下列各式中错误的是（ ）. A ．0)(≥AB P B.1)(≤AB P C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A-B)≤P(A)6.若φ≠AB ,则( ).A. A,B 为对立事件B.B A =C.φ=B AD.P(A-B)≤P(A)7.若,B A ⊂则下面答案错误的是( ).A. ()B P A P ≤)(B. ()0A -B P ≥C.B 未发生A 可能发生D.B 发生A 可能不发生 8.下列关于概率的不等式,不正确的是( ). A.)}(),(min{)(B P A P AB P ≤B..1)(,<Ω≠A P A 则若C.1212(){}n n P A A A P A A A ≤+++L LD.∑==≤ni i ni i A P A P 11)(}{Y9.(1,2,,)i A i n =L 为一列随机事件,且12()0n P A A A >L ,则下列叙述中错误的是( ).A.若诸i A 两两互斥,则∑∑===ni i n i i A P A P 11)()(B.若诸i A 相互独立,则11()1(1())nni i i i P A P A ===--∑∏C.若诸i A 相互独立,则11()()nni i i i P A P A ===∏UD.)|()|()|()()(1231211-=Λ=n n ni i A A P A A P A A P A P A P X10.袋中有a 个白球,b 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是( ).A.21B.ba +1C.ba a+ D.ba b + 11.今有十张电影票,其中只有两张座号在第一排,现采取抽签方式发放给１０名同学,则( )A.先抽者有更大可能抽到第一排座票B.后抽者更可能获得第一排座票C.各人抽签结果与抽签顺序无关D.抽签结果受以抽签顺序的严重制约12.将n 个小球随机放到)(N n N ≤个盒子中去,不限定盒子的容量,则每个盒子中至多有１个球的概率是( ).A.!!N n B. n Nn !C. nn N Nn C !⋅ D.Nn 13.设有r 个人,365≤r ,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此r 个人中至少有某两个人生日相同的概率为( ).A.r r P 3651365-B. rr r C 365!365⋅C. 365!1r -D. rr 365!1-14.设100件产品中有5件是不合格品,今从中随机抽取2件,设=1A {第一次抽的是不合格品},=2A {第二次抽的是不合格品},则下列叙述中错误的是( ). A.05.0)(1=A PB.)(2A P 的值不依赖于抽取方式(有放回及不放回)C.)()(21A P A P =D.)(21A A P 不依赖于抽取方式15.设A,B,C 是三个相互独立的事件,且,1)(0<<C P 则下列给定的四对 事件中,不独立的是( ). A.C AUB 与B. B A -与CC. C AC 与D. C AB 与16.10张奖券中含有3张中奖的奖券,现有三人每人购买１张,则恰有一个中奖的概率为( ).A.4021 B.407 C. 3.0 D. 3.07.02310⋅⋅C 17.当事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生,则( ).A.1)()()(-+≤B P A P C PB.1)()()(-+≥B P A P C PC.P(C)=P(AB)D.()()P C P A B =U18.设,1)()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 且则( ). A. A 与B 不相容B. A 与B 相容C. A 与B 不独立D. A 与B 独立19.设事件A,B 是互不相容的，且()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的 是( ). A.P(A|B)=0B.(|)()P A B P A =C.()()()P AB P A P B =D.P(B|A)>020.已知P(A)=P ,P(B)=q 且φ=AB ,则A 与B 恰有一个发生的概率为( ).A.q p +B. q p +-1C. q p -+1D. pq q p 2-+21.设在一次试验中事件A 发生的概率为P ,现重复进行n 次独立试验 则事件A 至多发生一次的概率为( ). A.n p -1 B.n pC. n p )1(1--D. 1(1)(1)n n p np p --+-22.一袋中有两个黑球和若干个白球,现有放回地摸球4次,若至少摸 到一个白球的概率为8180,则袋中白球数是( ). A.2B.4C.6D.823.同时掷3枚均匀硬币,则恰有2枚正面朝上的概率为( ). A.0.5B.0.25C.0.125D.0.37524.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51则密码最终能被译出的概率为( ).A.1B.21C.52 D. 32 25.已知11()()(),()0,()(),416P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A,B,C 全不发生的概率为( ).A. 81B. 83C. 85D.87 26.甲,乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,则目标被击中的概率为( ).A. 0.5B. 0.8C. 0.55D. 0.627.接上题,若现已知目标被击中,则它是甲射中的概率为( ). A.43 B.65C.32D.116 28.三个箱子,第一箱中有4个黑球1个白球,第二箱中有3个黑球3个白球,第三个箱中有3个黑球5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球,则取到白球的概率是( ).A.12053 B.199 C.12067 D.1910 29.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2，现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（ ）. A.135 B.4519 C.157 D.3019 30.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概率为( ).A.21 B. 31C.75 D.71 31.今有100枚贰分硬币,其中有一枚为“残币”中华人民共和国其两面都印成了国徽.现从这100枚硬币中随机取出一枚后，将它连续抛掷10次，结果全是“国徽”面朝上，则这枚硬币恰为那枚“残币”的概率为（ ）.A.1001 B. 10099C.1010212+D.10102992+ 32.玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残品的概率分别是0.8,0.1,0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机察看1只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,如果顾客确实买下该箱,则此箱中确实没有残次品的概率为( ).A.0.94B.0.14C.160/197D.420418419C C C + 二、填空题1. E ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果：其样本空间=Ω . 2．某商场出售电器设备，以事件A 表示“出售74 Cm 长虹电视机”，以事件B 表示“出售74 Cm 康佳电视机”，则只出售一种品牌的电视机可以表示为 ；至少出售一种品牌的电视机可以表示为 ；两种品牌的电视机都出售可以表示为 .3．设A ，B ，C 表示三个随机事件，试通过A ，B ，C 表示随机事件A 发生而B ，C 都不发生为 ；随机事件A ，B ，C 不多于一个发生 .4.设P （A ）=0.4，P （A+B ）=0.7，若事件A 与B 互斥，则P （B ）= ；若事件A 与B 独立，则P （B ）= .5.已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B|A ）=0.8，则P （AUB ）=6.设随机事件A 、B 及和事件AUB 的概率分别是0.4，0.3和0.6，则P （AB ）= .7.设A 、B 为随机事件，P （A ）=0.7，P （A-B ）=0.3，则P （AB ）= .8.已知81)()(,0)(,41)()()(======BC p AC p AB p C p B p A p ，则C B A ,,全不发生的概率为 .9.已知A 、B 两事件满足条件P （AB ）=P （AB ），且P （A ）=p,则P （B ）= .10.设A 、B是任意两个随机事件，则{()()()()}P A B A B A B A B ++++= .11．设两两相互独立的三事件A 、B和C 满足条件：φ=ABC ，21)()()(<==C p B p A p ，且已知Y Y 169)(=C B A p ，则______)(=A p . 12.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 .13.袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 .14．将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 这7个字母随机地排成一行，恰好排成SCIENCE 的概率为 .15．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A 生产的概率是 .16.设10件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是 .17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是 .18．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是 .19．一种零件的加工由三道工序组成，第一道工序的废品率为1p ，第二道工序的废品率为2p ，第三道工序的废品率为3p ，则该零件的成品率为 .20．做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ，则在第n 次成功之前恰有m 次失败的概率是 .第二章 随机变量及其分布一、选择题1.设A,B 为随机事件,,0)(=AB P 则( ).A..φ=ABB.AB 未必是不可能事件C.A 与B 对立D.P(A)=0或P(B)=02.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为( ）.A.2-eB.251e-C.241e-D.221e-. 3.设X 服从]5,1[上的均匀分布,则( ). A.4}{ab b X a P -=≤≤ B.43}63{=<<X P C.1}40{=<<X PD.21}31{=≤<-X P4.设),4,(~μN X 则( ). A.)1,0(~4N X μ- B.21}0{=≤X P C.)1(1}2{Φ-=>-μX PD.0≥μ5.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f ，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则（ ）.A ．由于X 是连续型随机变量，则其函数Y 也必是连续型的B ．Y 是随机变量，但既不是连续型的，也不是离散型的C ．649}2{==y P D.)21,3(~B Y6.设=≥=≥}1{,95}1{),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若( ). A.2719 B.91C.31D.278 7.设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为( ).A.13()22X y f ---B.13()22X y f --C.13()22X y f +--D.13()22X y f +- 8.连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满足条件( ). A.1)(0≤≤x fB.)(x f 为偶函数C.)(x f 单调不减D.()1f x dx +∞-∞=⎰9.若)1,1(~N X ,记其密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ,则( ). A.{0}{0}P X P X ≤=≥ B.)(1)(x F x F --= C.{1}{1}P X P X ≤=≥D.)()(x f x f -=10.设)5,(~),4,(~22μμN Y N X ,记},5{},4{21+≥=-≤=μμY P P X P P 则( ).A.21P P =B.21P P <C.21P P >D.1P ,2P 大小无法确定11.设),,(~2σμN X 则随着σ的增大,}|{|σμ<-X P 将( ). A.单调增大B.单调减少C.保持不变.D.增减不定12.设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( ).A.⎰-=-adx x f a F 0)(1)( B.⎰-=-adx x f a F 0)(21)(C.)()(a F a F =-D.1)(2)(-=-a F a F13.设X 的密度函数为3,01()20,x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，则1{}4P X >为( ). A.78B.1432xdx ⎰ C.14312xdx -∞-⎰D.3214.设~(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332,{||2}X N P X Φ=Φ=>则为( ). A.0.2417B.0.3753C.0.3830D.0.866415.设X 服从参数为91的指数分布,则=<<}93{X P ( ). A.)93()99(F F -B.)11(913ee -C.ee 113-D.⎰-939dx e x16.设X 服从参数λ的指数分布,则下列叙述中错误的是( ).A.⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λB.对任意的x e x X P x λ-=>>}{,0有C.对任意的}{}|{,0,0t X P s X t s X P t s >=>+>>>有D.λ为任意实数17.设),,(~2σμN X 则下列叙述中错误的是( ). A.)1,0(~2N X σμ- B.)()(σμ-Φ=x x FC.{(,)}()()a b P X a b μμσσ--∈=Φ-Φ D.)0(,1)(2}|{|>-Φ=≤-k k k X P σμ18.设随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,则方程012=++Xx x 有实根的概率是( ).A.0.7B.0.8C.0.6D.0.519.设=<=<<}0{,3.0}42{),,2(~2X P X P N X 则σ（ ）. A ．0.2B.0.3C.0.6D.0.820.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)N μσ，则随σ的增大，概率{||}P X μσ-<（ ）.Ａ．单调增大 Ｂ．单调减少 Ｃ．保持不变 Ｄ．增减不定二、填空题1．随机变量X 的分布函数)(x F 是事件 的概率. 2．已知随机变量X 只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是cc c c 161,81,41,21，则=c3．当a 的值为 时，Λ,2,1,)32()(===k a k X p k 才能成为随机变量X的分布列.4．一实习生用一台机器接连独立地制造3个相同的零件，第i 个零件不合格的概率)3,2,1(11=+=i i p i ，以X 表示3个零件中合格品的个数，则________)2(==X p .5.已知X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4.06.011，则X的分布函数=)(x F .6.随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的分布列为 .7．设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈=其它,0]6,3[,92]1,0[,31)(x x x f ，若k 使得{}32=≥k X p则k 的取值范围是 . 8．设离散型随机变量X 的分布函数为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=2,21,3211,1,0)(x b a x a x a x x F且21)2(==X p ，则_______,________a b ==.9．设]5,1[~U X ，当5121<<<x x 时，)(21x X x p <<= . 10．设随机变量),(~2σμN X，则X的分布密度=)(x f .若σμ-=X Y ，则Y 的分布密度=)(y f .11．设)4,3(~N X ，则}{=<<-72X p .12．若随机变量),2(~2σN X ，且30.0)42(=≤<X p ，则_________)0(=≤X p . 13．设)2,3(~2N X，若)()(c X p c X p ≥=<，则=c .14.设某批电子元件的寿命),(~2σμN X ，若160=μ，欲使80.0)200120(=≤<X p ，允许最大的σ= .15.若随机变量X的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5.05.011，则12+=X Y 的分布列为 .16.设随机变量Ｘ服从参数为（２，ｐ）的二项分布，随机变量Ｙ服从参数为（３，ｐ）的二项分布，若Ｐ｛Ｘ≥１｝＝５／９，则Ｐ｛Ｙ≥１｝＝ .17.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝2X 在（０，４）内的概率密度为()Y f y ＝ .18.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)(0)N μσσ>，且二次方程240y y X ++=无实根的概率为１／２，则μ= .第三章 多维随机变量及其分布一、选择题1.X,Y 相互独立,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是( ).A.(X,Y)B.XYC.X+YD.X －Y2.设X,Y 独立同分布,11{1}{1},{1}{1},22P X P Y P X P Y =-==-=====则（ ）.A.X =YB.0}{==Y X PC.21}{==Y X P D.1}{==Y X P3.设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数,则b a ,的值可取为( ).A.52,53-==b aB.32,32==b aC.23,21=-=b aD.23,21-==b a4.设随机变量i X 的分布为12101~(1,2){0}1,111424i X i X X -⎛⎫ ⎪===⎪⎝⎭且P 则12{}P X X ==( ).A.0B.41C.21D.15.下列叙述中错误的是( ). A.联合分布决定边缘分布B.边缘分布不能决定决定联合分布C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同D.边缘分布之积即为联合分布6.设随机变量(X,Y) 的联合分布为:则b a ,应满足( ).A ．1=+b a 33D.23,21-==b a7．接上题，若X ，Y 相互独立，则（ ）. A.91,92==b aB.92,91==b aC.31,31==b aD.31,32=-=b a8.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则( ).A.1{,},,1,2,636P X i Y j i j ====L B.361}{==Y X P C.21}{=≠Y X P D.21}{=≤Y X P9.设(X,Y)的联合概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他，y x y x y x f 010,10,6),(2,则下1 23 1 1/6 1/9 1/18X Y面错误的是( ).A.1}0{=≥X PB.{0}0P X ≤=C.X,Y 不独立D.随机点(X,Y)落在{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤内的概率为1 10.接上题,设G 为一平面区域,则下列结论中错误的是( ). A.{(,)}(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰B.2{(,)}6GP X Y G x ydxdy ∈=⎰⎰C.1200{}6x P X Y dx x ydy ≥=⎰⎰D.⎰⎰≥=≥yx dxdy y x f Y X P ),()}{(11.设(X,Y)的联合概率密度为(,)0,(,)(,)0,h x y x y Df x y ≠∈⎧=⎨⎩其他,若{(,)|2}G x y y x =≥为一平面区域,则下列叙述错误的是( ).A.{,)(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰B.⎰⎰-=≤-Gdxdy y x f X Y P ),(1}02{C.⎰⎰=≥-Gdxdy y x h X Y P ),(}02{D.⎰⎰=≥DG dxdy y x h X Y P I ),(}2{12.设(X,Y)服从平面区域G 上的均匀分布,若D 也是平面上某个区域,并以G S 与D S 分别表示区域G 和D 的面积,则下列叙述中错误的是( ).A.{(,)}DGS P X Y D S ∈=B.0}),{(=∉G Y X PC.GDG S S D Y X P I -=∉1}),{(D.{(,)}1P X Y G ∈=13.设系统π是由两个相互独立的子系统1π与2π连接而成的;连接方式分别为：（１）串联；（２）并联；（３）备用(当系统1π损坏时,系统2π开始工作，令21,X X 分别表示21ππ和的寿命，令321,,X X X 分别表示三种连接方式下总系统的寿命,则错误的是( ). A.211X X Y += B.},m ax {212X X Y = C.213X X Y +=D.},m in{211X X Y =14.设二维随机变量(X,Y)在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布.记.2,12,0;,1,0⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=YX YX V Y X Y X U 则==}{V U P ( ).A.0B.41C.21D.4315.设(X,Y)服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ,则以下错误的是( ).A.),(~211σμN X B ),(~221σμN X C.若0=ρ,则X,Y 独立 D.若随机变量),(~),,(~222211σμσμN T N S 则(,)S T 不一定服从二维正态分布16.若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ,且X,Y 相互独立,则( ). A.))(,(~22121σσμμ+++N Y XB.),(~222121σσμμ---N Y XC.)4,2(~2222121σσμμ+--N Y XD.)2,2(~2222121σσμμ+--N Y X 17．设X ，Y 相互独立，且都服从标准正态分布(0,1) N ，令,22Y X Z +=则Z 服从的分布是（ ）.A ．N （0，2）分布 B.单位圆上的均匀分布 C.参数为1的瑞利分布 D.N (0,1)分布18.设随机变量4321,,,X X X X 独立同分布,{0}0.6,i P X =={1}0.4i P X ==(1,2,3,4)i =，记1234X X D X X =,则==}0{D P （ ）.A.0.1344B.0.7312C.0.8656D.0.383019.已知~(3,1)X N -，~(2,1)Y N ，且,X Y 相互独立,记27,Z X Y =-+~Z 则( ).A.)5,0(NB.)12,0(NC.)54,0(ND.)2,1(-N20.已知sin(),0,,(,)~(,)40,C x y x y X Y f x y π⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他则C 的值为( ). A.21B.22C.12-D.12+ 21.设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他,020,10,31),(~),(2y x xy x y x f Y X ,则}1{≥+Y X P =( ) A.7265 B.727 C.721 D.727122.为使⎩⎨⎧≥=+-其他,00,,),()32(y x Ae y x f y x 为二维随机向量(X,Y)的联合密度,则A 必为( ).A.0B.6C.10D.1623.若两个随机变量X,Y 相互独立,则它们的连续函数)(X g 和)(Y h 所确定的随机变量( ).A.不一定相互独立B.一定不独立C.也是相互独立D.绝大多数情况下相独立 24.在长为a 的线段上随机地选取两点,则被分成的三条短线能够组成三角形的概率为( ).A.21B.31C.41D.5125.设X 服从0—1分布,6.0=p ,Y 服从2=λ的泊松分布,且X,Y 独立，则Y X +( ).A.服从泊松分布B.仍是离散型随机变量C.为二维随机向量D.取值为0的概率为0 26.设相互独立的随机变量X,Y 均服从]1,0[上的均匀分布,令,Y X Z +=则( ).A.Z 也服从]1,0[上的均匀分布B.0}{==Y X PC.Z 服从]2,0[上的均匀分布D.)1,0(~N Z27.设X,Y 独立,且X 服从]2,0[上的均匀分布,Y 服从2=λ的指数分布,则=≤}{Y X P ( ).A.)1(414--e B.414e - C.43414+-e D.21 28.设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(~),(2y x xy y x f Y X ,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形内取值的概率为( ).A. 0.4B.0.5C.0.6D.0.8 29.随机变量X,Y 独立,且分别服从参数为1λ和2λ的指数分布,则=≥≥--},{1211λλY X P ( ).A.1-eB.2-eC.11--eD.21--e 30.设22[(5)8(5)(3)25(3)](,)~(,)x x y y X Y f x y Ae-+++-+-=,则A 为( ).A.3π B.π3 C.π2 D.2π 31.设某经理到达办公室的时间均匀分布在8点12点,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7点到9点.设二人到达的时间相互独立,则他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为( ).A.481 B.21C.121D.24132.设12,,,n X X X L 相独立且都服从),(2σμN ,则( ).A.12n X X X ===LB.2121()~(,)n X X X N n nσμ+++LC.)34,32(~3221+++σμN XD.),0(~222121σσ--N X X33.设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈⎧=⎨⎩其它,D 为一平面区域,记G,D 的面积为,,D G S S ,则{(,)}P x y D ∈=( ).A.G DS S B.GG D S S I C.⎰⎰D dxdy y x f ),( D.⎰⎰Ddxdy y x g ),( 二、填空题1．),(Y X 是二维连续型随机变量，用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下列概率：（1）;____________________),(=<≤≤c Y b X a p （2）;____________________),(=<<b Y a X p （3）;____________________)0(=≤<a Y p （4）.____________________),(=<≥b Y a X p2．随机变量),(Y X 的分布率如下表，则βα,应满足的条件是 .XY1 2311/6 1/9 1/182 1/2αβ3．设平面区域D 由曲线xy 1=及直线2,1,0e x x y ===所围成，二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，则),(Y X 的联合分布密度函数为 .4．设),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，则YX ,相互独立当且仅当=ρ .5.设相互独立的随机变量X 、Y 具有同一分布律，且X 的分布律为 P （X=0）=1/2，P （X=1）=1/2，则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为 .6．设随机变量321,,X X X 相互独立且服从两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010，则∑==31i i X X 服从 分布 .7.设X 和Y 是两个随机变量，且P{X ≥0，Y ≥0}=3/7，P{X ≥0}=P{Y ≥0}=4/7,则P{max （X ，Y ）≥0}= .8.设某班车起点站上车人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数，则在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率为 ；二为随机变量（X ，Y ）的概率分布为 .9.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作2小时便关机，则该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数 .10.设两个随机变量X与Y独立同分布，且P（X=-1）=P（Y=-1）=1/2，P（X=1）=P（Y=1）=1/2，则P（X=Y）= ；P（X+Y=0）= ；P（XY=1）= .第四章 随机变量的数字特征一、选择题1．X 为随机变量，()1,()3E X D X =-=，则2[3()20]E X +=（ ）. A. 18 B.9 C.30 D. 32 2. 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为(),0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩其它，则()E XY =( ).A. 0B.1/2C.2D. 13. (X,Y)是二维随机向量,与0Cov不等价的是( ).YX(=,)A. EYD+=(X+)YXYEX=)E⋅( B. DYDXC. DY-)( D. X与Y独立=YDXD+X4. X,Y独立,且方差均存在,则=X2(YD( ).-)3A.DYDX94+ D.4- C. DY2- B. DYDX9DX32+DX3DY5. 若X,Y独立,则( ).A. DYXYDX- B. DY=)(=D⋅D9YDXX)3(-C. 0{=}+=bE D. 1aXPY{[=][]}--EYEXYX6.若0)Cov,则下列结论中正确的是( ).YX,(=A. X,Y独立B. ()=⋅D XY DX DYC. DYDXYD-=(-)DXXX( D. DYD+Y+)=7.X,Y为两个随机变量,且,0YEXE则X,Y( ).-EYX)]-)([(=A. 独立B. 不独立C. 相关D. 不相关8.设,XD+=+则以下结论正确的是( ).YDX)(DYA. X,Y不相关B. X,Y独立C. 1ρ= D.xyρ=-1xy9.下式中恒成立的是( ).A. EYD+X-)(Y=XYDXE⋅EX=)( B. DYC. (,)+DXXD=Cov X aX b aDX+= D. 1)1(+10.下式中错误的是( ).A. ),(2)(Y X Cov DY DX Y X D ++=+B. (,)()Cov X Y E XY EX EY =-⋅C. ])([21),(DY DX Y X D Y X Cov --+=D. ),(694)32(Y X Cov DY DX Y X D -+=- 11.下式中错误的是( ).A. 22)(EX DX EX +=B.DX X D 2)32(=+C. b EY b Y E +=+3)3(D. 0)(=EX D 12.设X 服从二项分布, 2.4, 1.44EX DX ==,则二项分布的参数为( ).A. 4.0,6==p nB. 1.0,6==p nC. 3.0,8==p nD. 1.0,24==p n 13. 设X 是一随机变量,0,,2>==σσμDX EX ,则对任何常数c,必有( ). A.222)(C EX c X E -=- B.22)()(μ-=-X E c X EC. DX c X E <-2)(D. 22)(σ≥-c X E 14.()~(,),()D X X B n pE X =则( ). A. n B. p -1 C. p D. p-1115.随机变量X的概率分布律为1{},1,2,,,P X k k n n===L ()D X 则=( ). A.)1(1212+n B. )1(1212-n C. 2)1(12+n D. 2)1(121-n 16. 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,101)(~10x x e x f X x,则)12(+X E =( ).A.1104+ B. 41014⨯+ C. 21 D. 20 17.设X 与Y 相互独立，均服从同一正态分布，数学期望为0，方差为1，则（X ，Y ）的概率密度为（ ）.A.22()21(,)2xy f x y eπ+-= B.22()2(,)2xy f x y π+-=C. 2()2(,)2x y f x y π+-=D. 2241(,)2x y f x y eπ+-=18.X 服从]2,0[上的均匀分布,则DX=( ).A. 21B. 31C.61D. 12119.,),1,0(~3X Y N X =则EY=( ).A. 2B.n 43 C. 0 D. n 3220. 若12,~(0,1),1,2,i Y X X X N i =+=则( ).A. EY=0B. DY=2C.~(0,1)Y ND.~(0,2)Y N21. 设2(,),(,)X b n p Y N μσ::，则( ). A.2()(1)D X Y np p σ+=-+ B.()E X Y np μ+=+ C.22222()E X Y n p μ+=+ D.2()(1)D XY np p σ=-22.将n 只球放入到M 只盒子中去,设每只球落在各个盒中是等可能的,设X 表示有球的盒子数,则EX 值为( ). A. ])11(1[nMM -- B.M n B. ])1(1[n MM - D. nM n ! 23. 已知X 服从参数为`λ的泊松分布,且[(1)(2)]1E X X --=,则λ为( ).A. 1B.-2C.21D.41 24. 设1X ，2X ，3X 相互独立,其中1X 服从]6,0[上的均匀分布,2X 服从正态分布)2,0(2N ,3X 服从参数为3的泊松分布,记12323Y X X X =-+,则DY=( ).A. 14B.46C.20D. 9 25. 设X 服从参数为1的指数分布,则2()X E X e -+=( ).A. 1B.0C. 13D.4326. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足( ). A. 91≤ B. 31≤ C. 91≥ D. 31≥ 27. 设X,Y 独立同分布,记,,Y X V Y X U +=-=则U 与V 满足( ). A. 不独立 B. 独立 C.相关系数不为0 D. 相关系数为028. 设随机变量1210,,X X X L 相互独立,且1,2(1,2,,10)i i EX DX i ===L ，则下列不等式正确的是（ ）.A. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X P B. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X PC. 2101201}10{-=-≥<-∑εεi i X P D. 2101201}10{-=-≤<-∑εεi i X P29. 利用正态分布有关结论,⎰∞+∞---+-dx e x x x 2)2(22)44(21π=( ).A. 1B.0C.2D. -1 30.设(X,Y )服从区域},0:),{(a y x y x D ≤≤=上的均匀分布,则||Y X E - 的值为( ).A. 0B.a 21C. a 31D. a 41 31. 下列叙述中正确的是( ). A. 1)(=-DX EXX D B.~(0,1)N DXC. 22)(EX EX =D. 22)(EX DX EX +=32.某班有n 名同学,班长将领来的学生证随机地发给每个人,设X 表示恰好领到自己学生证的人数,则EX 为( ). A. 1 B.2n C.2)1(+n n D. nn 1- 33.设X 服从区间]2,1[-上的均匀分布,1,00,()0,1,0X X DY Y X -<⎧⎪===⎨⎪>⎩则.A.32 B. 31 C. 98D. 1 34.某种产品表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有1个疵点,若规定疵点数不超过1的为一等品,价值10元;疵点数大于1不多于3的为二等品,价值8元;3个以上者为废品,则产品的废品率为( ). A.e 38 B. e 381- C. e 251- D. e25 35. 接上题,任取一件产品,设其价值为X, 则EX 为( ). A.e 376 B. e316C. 9D. 6 36. 设⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(~x x x f X ,以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“21≤X ”出现的次数，则DY=（ ）.A ． 169 B. 916 C. 43 D. 3437. 设(X,Y)为连续型随机向量,其联合密度为),(y x f ,两个边缘概 率密度分别为()X f x 与()Y f y ,则下式中错误的是( ). A. ()X EX xf x dx +∞-∞=⎰ B. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xf EX ),( C. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y EY ),(22D. ()()()X Y E XY xyf x f y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰二、填空题1．随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且2)(=X D ，则{}==1X p .2．已知离散型随机变量X 可能取到的值为：-1，0，1，且2()0.1,()0.9E X E X ==，则X的概率密度是 .3．设随机变量2~(,)X N μσ，则X 的概率密度()f x =EX = ；DX = .若σμ-=X Y ，则Y 的概率密度()f y =EY = ；DY = .4.随机变量~(,4)X N μ，且5)(2=X E ，则X 的概率密度函数(24)0.3,p X <<=为 .5.若随机变量X服从均值为3，方差为2σ的正态分布，且(24)0.3,P X <<=则(2)P X <= .6．已知随机变量X 的分布律为：X0 1 2 3 4p 1/31/61/61/12 1/4则()E X = ，()D X = ，(21)E X -+= . 7．设4,9,0.5,(23)_____________XY DX DY D X Y ρ===-=则.8．抛掷n 颗骰子，骰子的每一面出现是等可能的，则出现的点数之和的方差为 .9．设随机变量X 和Y 独立，并分别服从正态分布(2,25)N 和(3,49)N ，求随机变量435Z X Y =-+的概率密度函数为 . 10.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望E （2X ）= .11.已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z=3X-2的数学期望E （Z ）= .第五章 大数定理及中心极限定理一、选择题1. 已知的iX 密度为()(1,2,,100)if x i =L ,且它们相互独立,则对任何实数x , 概率∑=≤1001}{i ix XP 的值为( ).A. 无法计算B. 100110011001[()]i i i i x xf x dx dx ==≤∑⎰⎰L L CC. 可以用中心极限定理计算出近似值D. 不可以用中心极限定理计算出近似值 2. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足( ).A.91≤B.31≤ C. 91≥ D.31≥3. 设随机变量1X ,210,,X X L 相互独立,且1,2(1,2,,10)i i EX DX i ===L ，则（ ）A.21011}1{-=-≥<-∑εεi i X P B.21011}1{-=-≥<-∑εεi i X PC.2101201}10{-=-≥<-∑εεi i X PD.2101201}10{-=-≤<-∑εεi i X P4. 设对目标独立地发射400发炮弹,已知每发炮弹的命中率为0.2由中心极限定理,则命中 60发～100发的概率可近似为( ). A. (2.5)Φ B.2(1.5)1Φ- C.2(2.5)1Φ- D. 1(2.5)-Φ5. 设1X ,2,,nX X L 独立同分布,2,,1,2,,,ii EXDX i n μσ===L 当30≥n 时,下列结 论中错误的是( ).A. ∑=ni iX 1近似服从2(,)N n n μσ分布B.1nii Xn n μσ=-∑(0,1)N 分布C.21X X +服从)2,2(2σμN 分布D. ∑=ni iX 1不近似服从(0,1)N 分布6. 设12,,X X L 为相互独立具有相同分布的随机变量序列,且()1,2,iX i =L 服从参数为2的指数分布,则下面的哪一正确? ( ) A.()1lim ;n i i n X n P x x n =→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑B.()12lim ;n i i n X n P x x n =→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑C. ()12lim ;2n i i n X P x x n =→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑D. ()12lim ;2n i i n X P x x n =→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑其中()x Φ是标准正态分布的分布函数.二、填空题1、设nμ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，pq p A P -==1,)(，则对任意区间],[b a 有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-<∞→b npqnp a P nn μlim ＝ . 2、设nμ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的0>ε，均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-∞→εμ||lim p nP nn = .3、一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X ，估计)1810(<<X p = .4、已知生男孩的概率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率= .第六章 样本及抽样分布一、选择题1. 设12,,,nX X X L 是来自总体X 的简单随机样本,则12,,,nX X X L 必然满足( )A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立; C 独立同分布; D.不能确定2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（ ）.A ．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3. 设总体均值为μ,方差为2σ,n 为样本容量,下式中错误的是( ). A.)(=-μX E B.2()D X nσμ-=C.1)(22=σS E D.~(0,1)/X N nσ4. 下列叙述中,仅在正态总体之下才成立的是( ). A. 22211()()nnii i i XX X n X ==-=-∑∑ B.2S X 与相互独立 C.22])ˆ([)ˆ()ˆ(θθθθθ-+=-E D E D.221[()]n i i E X n μσ=-=∑5. 下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（ ）. A. 若12~(,),F F n n 则211~(,)F n n FB ．若2~(),~(1,)T t n TF n 则 C ．若)1(~),1,0(~22x XN X 则D ．在正态总体下2212()~(1)ni i Xx n μσ=--∑6． 设2,iiX S 表示来自总体2(,)iiN μσ的容量为in 的样本均值和样本方差)2,1(=i ，且两总体相互独立，则下列不正确的是（ ）.A.2221122212~(1,1)S F n n S σσ-- B.12221212(~(0,1)X X N n n σσ+C.)(~/11111n t n S X μ- D.2222222(1)~(1)n S x n σ--7. 设总体服从参数为θ1的指数分布,若X 为样本均值,n 为样本容量,则下式中错误的是( ).A.θ=X EB. 2DX nθ=C. ()22(1)n E X nθ+=D. ()221θ=X E8. 设12,,,nX X X L 是来自总体的样本,则211()1ni i X X n =--∑是( ).A.样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D.统计量9.12,,,nX X X L 是来自正态总体)1,0(N 的样本,2,SX 分别为样本均值与样本方差,则( ).A. )1,0(~N X B. ~(0,1)nX N C. 221~()nii Xx n =∑D.~(1)Xt n S-10. 在总体)4,12(~N X 中抽取一容量为5的简单随机样本,,,,,54321X X X X X 则}15),,,,{m ax (54321>X X X X X P 为( ).A. )5.1(1Φ-B. 5)]5.1(1[Φ- C. 5)]5.1([1Φ-D. 5)]5.1([Φ11.上题样本均值与总体均值差的绝对值小于１的概率为( ).A.1)5.0(2-Φ B.1)25(2-Φ C.1)45(2-ΦD. 1)5.2(2-Φ12. 给定一组样本观测值129,,,X X X L 且得∑∑====91291,285,45i ii iX X 则样本方差2S 的观测值为( ).A. 7.5B.60C.320 D.26513. 设X 服从)(n t 分布,aX P =>}|{|λ，则}{λ-<X P 为( ).A.a 21 B.a2 C. a+21D. a 211-14． 设12,,nX X X L ，是来自总体)1,0(N 的简单随机样本，则∑=-ni iX X12)(服从分布为（ ）.A ．)(2n x B.)1(2-n xC.),0(2n N D.)1,0(nN15. 设12,,,nx x x L 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，若298762543221)()()2(X X X X c X X X b X X a Y ++++++++=服从2x 分布，则c b a ,,的值分别为（ ）. A. 161,121,81 B. 161,121,201 C. 31,31,31 D.41,31,2116. 在天平上重复称量一重为a 的物品,假设各次称量结果相互独立且同服从2(,0.2)N a 分布,以nX 表示n 次称量结果的算术平均,则为了使n a X P n,95.0}1.0{≥<-值最小应取作( ).A. 20B. 17C. 15D. 1617. 设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,设921,,,X X X Λ和921,,,Y Y Y Λ分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量91921ii ii XU Y===∑∑服从分布是( ).A. )9(t B. )8(t C.)81,0(ND.)9,0(N二、填空题1．在数理统计中，称为样本.2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 . 3．设随机变量nX XX ,,,21Λ相互独立且服从相同的分布，2,σμ==DX EX ，令∑==ni iX n X 11，则EX =；.DX =4．设nX XX ,,,21Λ是来自总体的一个样本，样本均值_______________=X ，则样本标准差___________=S ；样本方差_________________2=S；样本的k 阶原点矩为 ；样本的k 阶中心矩为 . 5.),,,(1021X XX Λ是来自总体)3.0,0(~2N X 的一个样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=101244.1i i X P .6．设nX XX ,,,21Λ是来自（0—1）分布)}1{,1}0{(p X P p X P ==-==的简单随机样本，X 是样本均值，则=)(X E.=)(X D. 7．设),,,(21n X X X Λ是来自总体的一个样本，),,,()()2()1(n X X X Λ是顺序统计量，则经验分布函数为=)(x F n ⎪⎩⎪⎨⎧_______________________8．设),,,(21nX X X Λ是来自总体的一个样本，称 为统计量； 9．已知样本1621,,,X X X Λ取自正态分布总体)1,2(N ，X 为样本均值，已知5.0}{=≥λX P ，则=λ .10．设总体),(~2σμN X ，X 是样本均值，2nS 是样本方差，n 为样本容量，则常用的随机变量22)1(σnSn -服从 分布. 11．设nX XX ,,,21Λ为来自正态总体),(~2σμN X 的一个简单随机样本，则样本均值∑==ni iX n X 11服从 ，又若ia 为常数),2,1,0(n i a i Λ=≠，则∑=ni iiX a 1服从 .12.设10=n 时，样本的一组观测值为)7,4,8,5,4,5,3,4,6,4(，则样本均值为 ，样本方差为 .第七章 参数估计一、选择题1. 设总体X 在),(ρμρμ+-上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为（ ）. （A ）X 1 （B ）∑=-ni iX n 111 （C ）∑=-ni i X n 1211 （D ）X2. 设总体),(~2σμN X ，nX X ,,1Λ为抽取样本，则∑=-n i iX X n 12)(1是（ ）.)(A μ的无偏估计)(B 2σ的无偏估计)(C μ的矩估计)(D 2σ的矩估计3. 设X 在[0，a]上服从均匀分布，0>a 是未知参数，对于容量为n 的样本nX X ,,1Λ，a 的最大似然估计为（ ） （A ）},,,m ax {21n X X X Λ（B ）∑=ni i X n 11（C ）},,,m in{},,,m ax {2121n n X X X X XX ΛΛ- （D ）∑=+ni iX n 111；4. 设总体X 在[a,b]上服从均匀分布，nX XX ,,,21Λ是来自X 的一个样本，则a 的最大似然估计为（ ） （A ）},,,m ax {21n X X X Λ （B ）X（C ）},,,m in{21n X X X Λ（D ）1X Xn-5. 设总体分布为),(2σμN ，2,σμ为未知参数，则2σ的最大似然估计量为（ ）. （A ）∑=-ni i X X n 12)(1 （B ）∑=--ni i X X n 12)(11 （C ）∑=-ni i X n 12)(1μ （D ）∑=--ni i X n 12)(11μ6. 设总体分布为),(2σμN ，μ已知，则2σ的最大似然。
概率统计ch3_4_5习题详细解答
第三、四(六、七节)、五章 习 题 解 答习 题3.11．一个袋子中有3只黑球、5只白球一共8只球．现从中不放回地抽出三只球，求这三球中黑球数的数学期望．解：用X 表示所抽三球中的黑球数． 则 ) 3 2, 1, ,0k ( ,}{38353=⋅==-C C C k X P kk ． 56635613561525630156100C k )(33835k 3=⨯+⨯+⨯+⨯=⋅⋅=∑=-k k C C X E ． 2．从学校乘汽车到某个公园的途中有3个交通岗，假设在每个交通岗遇到红灯的概率都是0.4，并且相互独立．用X 表示途中遇到的红灯数，求X 的分布律和E(X)．解：)4.0 ,3(B X ～， 2.14.036.04.0k )(333=⨯=⨯⨯⋅=-=∑k k k k CX E ．3．根据气象资料，设某地区的年降雨量X （单位mm ）的概率密度函数为 ⎩⎨⎧<≥=- 0 x0, 0x ,)( 2x xe x f θθ，其中01.0=θ．求该地区的年平均降雨量E(X)．解：20020)()(020==⋅⋅+⋅==⎰⎰⎰+∞-∞-+∞∞-θθθdx xex dx x dx x xf X E x．4．设随机变量X 具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1x 0, 1x ,11)(2x x f π，求E(X)．解：根据奇函数积分性质可得 01)()(112=-==⎰⎰-+∞∞-dx xxdx x xf X E π．5．设随机变量X 具有分布律：求E(X)，E(2X )，E(2X+3)．解：10951252231011510101)2(x )(1k =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-==∑+∞=k k p X E ； 51151252231011510101)2(x )(2222212k2=⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+⨯-==∑∞+=k k p X E ；5245175261015513101)1()3(2x )32(1k =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=+=+∑+∞=k k p X E ． 6．设随机变量X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1 x0, 1x ,1)(2x x f ． 证明X 的数学期望不存在．证：由于+∞===∞++∞+∞∞-⎰⎰1 12ln )(x dx x x dx x xf ，发散，故数学期望不存在． 7．设随机变量X 的概率密度函数为 ⎩⎨⎧≤<=其他0, 1x 0 , )(a x k x f ， 且75.0)(=X E ，求正常数k 与a 的值．解：由11)(10=+==⎰⎰+∞∞-a k dx kx dx x f a， 75.02)()(101=+===⎰⎰++∞∞-a kdx kx dx x xf X E a ，得 2a ,3==k ．8．设) ,(b a U X ～，求)54(+X E ，)(2X E ． 解：由 2)(ba X E +=得 5)(25)(4)54(++=+=+b a X E X E ； 3)()(22222b ab a dx a b x dx x f x X E ba ++=-==⎰⎰∞+∞-．9．设随机变量X 具有概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0x 0, 0 x ,2)(2x e x f ，求)32(-X E ，)(3X e E -．解：232123)(2)32(-=-⨯=-=-X E X E ； 522)()(02333=⋅==⎰⎰+∞--+∞∞---dx e e dx x f e eE x x xX ． 10．一种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点．若规定疵点数不超过1为一等品，价格10元；疵点数大于1但不多于4为二等品，价格8元；疵点数4个以上者为废品，价格0元．求：(1) 产品的废品率； (2) 产品的平均价格．解：用X 表示每件产品上的疵点数，则 )(λP X ～，8.0)(==X E λ．(1) 废品率 00141.02224.21!8.01} 40 {1}4{8.048.0=-=⋅-=≤≤-=>=-=-∑e k e X P X P p k k ．(2) 用Y 表示一件产品的价格（元），Y 取值0 ,8 ,10．8088.0!8.0}10{}10{10 8.0=⋅=≤≤==∑=-k k k e X P Y P ； 1898.0!8.0}42{}8{428.0=⋅=≤≤==∑=-k k k e X P Y P ；00141.0}5{}0{==≥==p X P Y P ． 6064.900141.001898.088088.010)(=⨯+⨯+⨯=Y E （元）．习 题 3.21．设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+-<=1 x 1, 1x 1bx,a 1 x,0 )(x F ． 试求：(1)常数a 和b ； (2) E(X)，)(X Var ．解：(1) )(x F 处处连续，0)01()1(=--=-=-F b a F ，1)01()1(=+=+=F b a F ，得 5.0==b a ．⎩⎨⎧≤≤-='=他其0, 1x 1 ,5.0)()(x F x f ．(2) 05.0)(11==⎰-xdx X E ，3105.0)]([)()(112222=-=-=⎰-dx x X E X E X Var ． 2．设随机变量X 的分布律为且 0.79Var(X) ,8.0)(2==X E ．试求常数c b a , ,．解：1=++c b a ，8.0)(2=+=c a X E ，79.0)(8.0)]([)()(222=--=-=a c X E X E X Var ． 得 0.45c 0.2,b ,35.0===a ． 3. 设随机变量X 服从几何分布，分布律为 {} 3, 2, 1,k ,)1(1=-==-k p p k X P ，其中常数)1 ,0(∈p ．求)(X Var ．解：记 p q -=1，px x p x p pq p X E qx qx k k k k k k 11 k x )( 1 111k ='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=====∞+=∞+=-∞+=∑∑∑； 2 1 2112221k 1k )]([)()(px p p pqX E X E X Var qx k k k k -'⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=-==∞+=∞+=-∑∑21 1p x x p qx k k-'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛==∞+=∑ 22 111ppp x x x p qx -=-'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛-==． 4．设随机变量X 具有概率密度函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤=其他0, 2x 1 1, 1x 0 ,23)(2x x x f ． 求)12(2+X E ，⎪⎭⎫ ⎝⎛X E 1，⎪⎭⎫⎝⎛X Var 1．解：记 301341314215531)1(x 2321)(2)12(21 210 422=+-+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⎰⎰dx x x dx X E X E ； 2ln 472ln 143)1(1x 231121 10 2-=-+=-+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx x x dx x X E ；2221 210 22222ln 47212ln 232ln 47)1(1x 231111⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx x x dx x X E X E X Var2)2(ln 16332ln 29--=． 习 题 3.31．设随机变量)1 ,0(N X ～，利用标准正态分布表（附表1）对下列各种情况求出常数c ，并且用p 分位数p u 表示c ．(1) 95.0}{=<c X P ； (2) 5.0}{=>c X P ； (3) {}8.0 =≤c X P ． 解：(1)645.195.0==u c ； (2) 05.0==u c ；(3) {}8.01}{2}]{1[}{}{ =-≤=≤--≤=≤≤-=≤c X P c X P c X P c X c P c X P ，9.0}{=≤c X P ，282.19.0==u c ．2．设随机变量)(λExp X ～，常数0>λ．若X 的0.70分位数12070.0=x ，求参数λ． 解：) 0 x ( ,1)( ≥-=-xex F λ，0.71)120( 120=-=-λe F ，01.01203.0ln =-=λ． 复 习 题 31．假设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X （单位吨），)5000 ,1000(U X ～．设该商品每售出一吨可获利3万美元；但若销售不出积压于库，则每吨每年需支付保管费1万美元．试问如何计划年出口量，能使国家期望获利最多？解：设国家计划年出口量为s 吨， ]5000 ,1000[∈s ． 则利润函数为 ⎩⎨⎧≥<-=--=s X ,3sX ,4)(3)(s s X X s X X L s ，期望获利 ]102 160002[400014000 3 4000)4()]([625000 1000⨯-+-=+-=⎰⎰s s dx s dx s x X L E s ss ． 令0)160004(40001)]([=+-=s X L E ds d s ， 当 4000=s 吨时，)]([X L E s 取最大值，即期望获利最多． 2．设随机变量X 具有概率密度函数⎩⎨⎧≤≤=他其0, 1x 0 ,)(2ax x f ， 试求：(1)常数a ；(2) E(X)；(3))}({X E X P >．解：(1) 由13ax )(12===⎰⎰+∞∞-adx dx x f ，得 3=a ． (2) 433x )(21=⋅=⎰dx x X E ．(3) 64374313 43)}({21 432=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>⎰dx x X P X E X P ．3．设X 是随机变量，c 是常数，证明：2][)(c X E X Var -≤． 证：22]})([)]({[][)(c X E X E X E c X E X Var -+-=-≤)(])([)(}])([])()][([2)]({[222X Var c X E X Var c X E c X E X E X X E X E ≥-+=-+--+-=．4．设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0 0,0 x ,)()2(222x ex x f x σσ， 其中常数0>σ．瑞利分布常用于描述随机噪音．求E(X)，)(X Var ．解：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22Y 22exp 21)(f ), ,0(σσπσy y N Y 则～，222[E(Y)]Var(Y))E(Y ,0)(σ=+==Y E ． 2)( 212exp 2212exp 1)()(2222222022πσσπσσσππσσσ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞+∞-Y E dx x x dx x x dx x xf X E2πσ=；22exp d )(22exp 1)]([)()(2220 22223222πσσπσσσ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰∞+∞+x x dx x x X E X E X Var22220 2022224222f(x)dx 2 2exp σπσπσσπσσ-=-=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰∞++∞x x ． 5．由统计物理学知，一种气体分子运动的速率V 服从Maxwell 分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-00, 0 v ,)(22v e Av v f b v ， 其中常数kT mb 2=，k 为Boltzmann 常数，T 为绝对温度，m 为气体分子质量．试确定常数A ，并求动能221mV E =的平均值． 解：设b x e b x b N X 21)(f ,2 ,0X -=⎪⎭⎫⎝⎛π则～， 0)(=X E ， 2[E(X)]Var(X) )E(X 2222b dx e b x b x =+==-∞+∞-⎰π．由122)(2v 2Av )(220222=⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰∞+∞--∞+-∞+∞-b b A X E b A dv e b b A dv edv v f b v bv ππππ， 得 bb A π4=．221mV E = 的平均值 )( 4 2)(mv 21)(0 30 4222⎰⎰⎰+∞-+∞-+∞∞--===b v b v e d v Abm dv e v Am dv v f E E )(8343340 20 20 2032222⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-+∞--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=bv b v b v b v e vd m Ab dv e v Abm dv e v e v AbmkT m mb Amb dx x f Amb dv e ve m Ab X b v b v 8343163)( 16383225250 0222====⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰∞+∞-∞+-∞+-ππ( kTmb 2=代入)． 6．设随机变量)(λP X ～，常数0>λ．求X 的众数．解：由于 ) N k ( ,!}{∈==-k e k X P k λλ，⎩⎨⎧><≤≤≥==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-==---λλλλλλλk 1,k 0 ,1)!1(!}1{}{1k k e k e k X P k X P k k ， 所以 ][*λ=x ． 习 题 4.61．设随机变量)Y ,(X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤+=他其0, 1x y 0),(2),(y x y x f ． 求E(X)，E(Y)，)(XY E ，)(22Y X E -．解：433)(2),()(13010==+==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x x dx dy y x xf dx X E x ； 12535)(2),()(10 30 10 ==+==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x y dx dy y x yf dx Y E x；1581532)( 2),( )(10 30 10 ==+==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x xy dx dy y x f xy dx XY E x ；3011611)( )y (x 2),( )y (x )(10 40 2210 2222==+-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x dx dy y x f dx Y X E x ．2．设随机变量0.2) B(10,Y ),3(～～P X ． (1) 求)2(Y X E +，)2(22Y X E -； (2) 又设X 与Y 相互独立，求E(XY)．解：(1) 72.010232)(2)()2(=⨯⨯+=+=+=+np Y E X E Y X E λ；1293)]([)()(222=+=+=+=λλX E X Var X E ；6.5)2.010(8.02.010)()]([)()(2222=⨯+⨯⨯=+=+=np npq Y E Y Var Y E ； 4.186.5122)()(2)2(2222=-⨯=-=-Y E X E Y X E ；(2) 62.0103)()()(=⨯⨯=⋅==np Y E X E XY E λ．3．设随机变量)9 ,1(N X ～，随机变量Y 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=10, 1y ,3)(4y y y f Y ．(1) 求)2(Y X E -，)3(2X Y E -； (2) 又设X 与Y 相互独立，求E(XY)．解：(1) 233)(14==⎰+∞dy yy Y E ， 21232232)()(2)2(=-=-=-=-μY E X E Y X E ； 257)19(323})]([)({3)()(222-=+⨯-=+-=-X E X Var Y E X Y E ； (2) 2323123)()()(=⨯=⋅==μY E X E XY E ． 4．设随机变量)Y ,(X 的分布律为求：(1) E(X)，E(Y)； (2) E(XY)； (3) 设 2)(Y X Z +=，求 E(Z)； (4) )(X Var ，)(Y Var ．解：(1) 1.03.027.0)1()(11-=⨯+⨯-==∑∑+∞=+∞=i j ji ipx X E ；9.04.021.015.00)(11=⨯+⨯+⨯==∑∑+∞=+∞=i j j i j p y Y E ；(2) 3.01.04022.003.0)2(1.0)1(3.00)(11-=⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯==∑∑+∞=+∞=i j j i jip yx XY E ；(3) 31.04032.023.011.003.0)1()()(22222112=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=+=∑∑+∞=+∞=i j j i jip y x Z E ；(4) 89.1)1.0(9.1)]([)()(222=--=-=X E X E X Var ； 89.09.07.1)]([)()(222=-=-=Y E Y E Y Var ．5．掷n 颗骰子出现点数之和记为X ，求平均点数E(X)和)(X Var ．解：用i X 表示第i 颗骰子出现的点数，)n , 2, 1,i ( =． n 21X , , , X X 相互独立，具有相同分布．∑==ni i X X 1． ) 6 , 2, 1,k ( ,61}{ ===k X P i ．276)621()(61=+++==∑= k k i kp X E ； 123527)621(61)]([)()(222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=-= i i i X E X E X Var ．21276)()(61=⨯==∑=i i X E X E ； 23512356)()(61=⨯==∑=i i X Var X Var ．习 题 4.71．设随机变量)Y ,(X 的分布律为求E(X)，3)]([X E X E -，)(2Y E ，) ,(Y X Cov ，XY ρ．解：18531061612121)(=⨯+⨯+⨯=X E ； 1212210)(=⨯+⨯=Y E ；33333181131185061185612118521)]([-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-X E X E ； 2212210)(222=⨯+⨯=Y E ；9118561118531003161100610310)()()()Y ,(-=-=⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-=Y E X E XY E X Cov ；54731061612121)(2222=⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=X E ； 32417185547)]([)()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X Var ； 112)]([)()(222=-=-=Y E Y E Y Var ； 1717213241791(Y)(X)) ,(-=⋅-==σσρY X Cov XY ．2．设随机变量)Y ,(X 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他0, 1x ,21),(y y x f ．试验证X 与Y 是不相关的，但并非相互独立．证：⎪⎩⎪⎨⎧>≤-===⎰⎰-+-∞+∞-1 0, 1x , 121),()( 1 1x x dy dy y x f x f x x X ； ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-===⎰⎰-+-∞+∞-1y 0, 1y , 121),()( 1 1y dx dx y x f y f y y Y ；0)1()(11=-=⎰-dx x x X E ； 0)1()(11=-=⎰-dy y y Y E ；00022),()(10 110111=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+--+∞∞-+∞∞-x x xxdy xy dx dy xydx dy y x xyf dx XY E ；0(Y)(X))()()((Y)(X)) ,(=-==σσσσρY E X E XY E Y X Cov XY ， X 与Y 不相关．但当121,121<<<<y x 时，0y)f(x, ,0)1)(1()()(=>--=y x y f x f Y X ， 所以 y)f(x, e. a. )()(y f x f Y X 不成立，X 与Y 不独立．3．设随机变量)Y ,(X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他0, 2x ,41),(y y x f ．求E(X)，4)]([X E X E -，)(3Y E ，) ,(Y X Cov ．解：⎪⎩⎪⎨⎧>≤-===⎰⎰∞+∞-2 0, 2x ), 2(4141),()(2 x x dy dy y x f x f x X ； ⎪⎩⎪⎨⎧∉≤≤===⎰⎰-∞+∞-2] [0,y 0,2y 0 ,241),()(y dx dx y x f y f y yY ．0)2(4)()(22=-==⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E X ； 1516)2(41)0()]([22444⎰-=-=-=-dx x x X E X E X E ； 51621)()(20 433⎰⎰===+∞∞-dy y dy y f y Y E Y ； 3421)()(20 2⎰⎰===+∞∞-dy y dy y yf Y E Y ；04),()(20===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-yydx xy dy dy y x xyf dx XY E ；03400)()()() ,(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov ． 4．设随机变量)Y ,(X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他 0,10 1,x 0),(56),(2y y x y x f ．求E(X)，E(Y)，) ,(Y X Cov ，XY ρ，)(Y X Var +．解：⎪⎩⎪⎨⎧∉≤≤+=+==⎰⎰∞+∞-1] [0, x 0,1x 0,5256)(56),()(10 2x dy y x dy y x f x f X ；⎪⎩⎪⎨⎧∉≤≤+=+==⎰⎰∞+∞-1] [0,y 0,1y 0 ,5653)(56),()(210 2y dx y x dx y x f y f Y ．535256)()(10 =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰∞+∞-dx x x dx x xf X E X ； 535653)()(10 2⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∞+∞-dy y y dy y yf Y E Y ；207)2(103)(56),()(10 210 10 2=+=+⋅==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x x dy y x xy dx dy y x xyf dx XY E ；10015353207)()()() ,(-=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov ； 150112593013535256x )]([)()(210 222=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎰dx x X E X E X Var ； 2522592511535653y )]([)()(210 2222=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎰dy y Y E Y E Y Var ；1763252150111001(Y)(X)) ,(-=⋅-==σσρY X Cov XY ；152100225215011) ,(2)()()(=-+=++=+Y X Cov Y Var X Var Y X Var ． 5．设随机变量)4 ,0(N X ～，)9 ,2(N Y ～，21=XY ρ．又设 32Y X Z -=．求：(1) E(Z)，)(Z Var ；(2) XZ ρ．解：(1) 32231021)(31)(21)(-=⨯-⨯=-=Y E X E Z E ；33221(Y)(X)) ,(=⨯⨯==σσρXY Y X Cov ；)(91) ,(31)(4133Y ,222)(Y Var Y X Cov X Var Y Var X Cov X Var Z Var +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=1991331441=⨯+⨯-⨯=． (2) 1331421) ,(31) ,(21) ,(=⨯-⨯=-=Y X Cov X X Cov Z X Cov ， 21141(Y)(X)) ,(=⋅==σσρY X Cov XZ ． 6．设X 与Y 相互独立，服从相同的指数分布，X 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-00, 0x ,21)(2x e x f x X ． 试求 Y Y X U X V βαβα-=+=与 的相关系数．这里 βα ,为非零常数．解：421)Var()Var( ,21)E()E( ,21 ),Exp(X 22========λλλλY X Y X ～； )(4)() ,() ,(Var(X)) ,(2222βαβαβαβα-=-+-=Y Var Y X Cov Y X Cov V U Cov ；)(4)()()(Var(U)2222βαβα+==+=V Var Y Var X Var ； 22222222)(4)(4(V )(U )) ,(βαβαβαβασσρ+-=+-==V U C o v UV． 7．设随机向量T X )Y ,(服从二维正态分布，均值向量与协方差矩阵分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1 1μ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4 339 C ．写出T X )Y ,( 的概率密度函数),(y x f 的表达式．解：21 ,3 ,4 ,9 ,1 ,121222121-=-====-=ρσρσσσμμ； ) R y x,( ,)1(41)1)(1(61)1(9132exp 361),(22∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+++-=y y x x y x f π．复 习 题 410．设随机变量)Y ,(X 的分布律为求：(1) E(X)，E(Y)； (2) E(XY)； (3) Var(Y) ),(X Var ．解：(1)7273721733611124110)(1=⨯+⨯+⨯==∑+∞=∙i i i p x X E； 3412539223613)1()(1=⨯+⨯+⨯-==∑+∞=∙j j j p y Y E ．(2) 72137819181618136131212181)1()(11=⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯-==∑∑+∞=+∞=i j ij ij p x XY E ； (3) 72175721733611124110)(222122=⨯+⨯+⨯==∑+∞=∙i i i p x X E ； 512539223613)1()(222122=⨯+⨯+⨯-==∑+∞=∙j jj p y Y E ． 51847271727271727372175)]([)()(2222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X Var ； 929345)]([)()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y Var ． 11．一电梯载n 人从一楼上升，设楼高 (M+1) 层，每人在每一层楼走出电梯是等可能的，且相互独立．若某一层无人走出电梯则电梯不停．求电梯的平均停止次数．解：用Y 表示电梯的停止次数． 令 ⎩⎨⎧=层不停止电梯在第层停止电梯在第i0,i,1i X ，) 1M , 3, 2,i (+= ．则 132++++=M X X X Y ．n i M M X E ⎪⎭⎫⎝⎛--=11)(， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛--==∑+=n M i i M M M X E Y E 11)()(12 ． 12．设随机变量)3 ,0(U X ～，)5 ,1(U Y ～，且X 与Y 相互独立．令 ⎩⎨⎧<≥=Y X ,1YX ,0Z ． 写出Z 的分布律，并求E(Z)．解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=⨯==他其0, 5y 13,x 0 ,1214131)()(),(y f x f y x f Y X ．61121),(}{}0{131===≥==⎰⎰⎰⎰≥-xy x dy dx d y x f Y X P Z P σ； 65}0{1}1{==-==Z P Z P ；65)(=Z E ．13．设)Y ,(X 是二维随机变量，证明：)Y ()()Y X ,(Var X Var Y X Cov -=-+． 证：)Y X ,()Y X ,()Y X ,(-+-=-+Y Cov X Cov Y X Cov)()()Y ,()X ,()Y ,()X ,(Y Var X Var Y Cov Y Cov X Cov X Cov -=-+-=．14．设随机变量)2 ,0(πU X ～，令X Y sin =，)cos(a X Z +=，其中常数]2 ,0[π∈a ．求相关系数YZ ρ．解：02sin )(sin )(20⎰⎰==⋅=+∞∞-ππdx xdx x f x Y E X ；02)cos()()cos()(20 ⎰⎰=+=⋅+=+∞∞-ππdx a x dx x f a x Z E X ；a dx a a x dx a x x dx x f a x x YZ E X sin 21)]sin()2[sin(412)cos(sin )()cos(sin )(20 20-=-++=+⋅=⋅+⋅=⎰⎰⎰+∞∞-ππππ；21)]2cos(1[41sin 21)]([)()(20 20222⎰⎰=-==-=ππππdx x xdx Y E Y E Y Var ；21)](2cos 1[41)(cos 21)]([)()(20 20222⎰⎰=++=+=-=ππππdx a x dx a x Z E Z E Z Var ； a a Z E Y E YZ E Z Y Cov YZ sin 21sin 21(Z)(Y))()()((Z)(Y)) ,(-=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==σσσσρ．15．设)Y ,(X 是二维随机变量，E(X)= 1，E(Y)= 0，)(X Var = 2，)(Y Var = 4，3.0=XY ρ．令aY X W +=2，求常数a ，使)(W Var 达到最小．解：26.0423.0(Y)(X)) ,(=⨯⨯=⋅=σσρXY Y X Cov ；8 24.24)() ,(4)(4)() ,2(2)2()(22++=++=++=a a Y Var a Y X aCov X Var aY Var aY X Cov X Var W Var ；令024.28)(=+=a W Var dad， 当 23.0-=a 时，)(W Var 达到最小． 16．已知三个随机变量X 、Y 、Z 中，E(X)= 0， 1)(-=Y E ， E(Z)= 0，1)()(==Y Var X Var ，4)(=Z Var ，21-=XY ρ，0=XZ ρ，21-=YZ ρ． 求 Z)Y Var(X )(++++和Z Y X E ．解：1010)()()()(-=+-=++=++Z E Y E X E Z Y X E ；Var(Z)Z),Y 2Cov(X Y)Var(X Z)Y Var(X ++++=++Var(Z) Z),2Cov(Y Z),2Cov(X Y) ,2Cov(X Var(Y)Var(X)+++++=(Z)(Y)2(Z)(X)2(Y)(X)2Var(Z)Var(Y)Var(X)Y Z X Z X Y σσρσσρσσρ+++++=321212210221112411=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯+++=．17．一家大型超市在某个城市开设四个销售门店，各门店每周售出的同一种食品的重量（单位kg ）分别记为1X ，2X ，3X ，4X ．已知)350 ,600(1N X ～，)200 ,450(2N X ～，)300 ,500(3N X ～，)250 ,400(4N X ～，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，记 ∑==41i iXZ ．(1) 求这家超市一周的总销售量的均值 E(Z)和方差)(Z Var ；(2) 求这家超市一周内销售这种食品的总重量达到2000kg 的概率}2000{≥Z P ； (3) 超市每周进货一次，为了使新的供货到达之前各门店不脱销的概率大于0.99，问超市的仓库至少应储存多少公斤该食品？解：⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==41 241 ,i i i i N Z σμ～， 即 )1100 ,1950(N Z ～．(1) 1100Var(Z) ,1950)(2====σμZ E ． (2) 0658.09342.01)508.1(11100195020001}2000{1}2000{=-=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=<-=≥Z P Z P ．(3) 设仓库至少应储存该食品x 公斤，则(kg) 2027.182.327 x ,327.2),327.2(99.0}{=+>>-Φ=>⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=≤μσσμσμx x x Z P ． 习 题 5.11．某公司生产一种儿童使用的化妆品，经检测，每毫升产品中所含的细菌数X 的期望为200，标准差为10．试估计概率}30200{≤-X P ．解：10)(,200)(====X X E σσμ． 9830101)(1})({}30200{222=-=-≥≤-=≤-εεX Var X E X P X P ．2．设随机变量)9 ,0(N X ～． (1) 求概率{}8 ≤X P ； (2) 利用切比雪夫不等式估计{}8 ≤X P 的下界．解：0E(X) ,3,0====μσμ． (1) 9924.019962.021)667.2(2308308}8{}8{}8{=-⨯=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=-<-≤=≤X P X P X P ． (2) 8594.0891)(1}8)({}8{22=-=-≥≤-=≤εX Var X E X P X P ． 习 题 5.21．设随机变量 ,X , ,X ,n 21 X 独立同分布，记∑==ni i X n X 11．在下列情况下，当+∞→n 时，X 依概率收敛于什么值？(1) )0.5 ,10(B X n ～， 3, 2, ,1 =n ； (2) ) ,(a a U X n -～， 3, 2, ,1 =n ，常数0>a ； (3) ) ,(2σμN X n ～， 3, 2, ,1 =n ．解：(1) 5=−→−μP X ； (2) 0)(==−→−n PX E X μ； (3) μ−→−PX ． 2．设 ,X , ,X ,n 21 X 是一个相互独立的随机变量序列，且 {})1ln(+=i X P i{}5.0)1ln(=+-==i X P i ， 3, 2, ,1 =i ． 试利用切比雪夫不等式证明：+∞→−→−=∑=n ,0 11Pn i i X n X ．证：) 3, 2, 1,i ( ,0])1ln([5.0)1ln(5.0)( ==+-⨯++⨯==i i X E i i μ． 0)(1)(1==∑=ni i X E n X E ．)1ln()1ln(5.0)1ln(5.0)]([)()(22+=+⨯++⨯=-=i i i X E X E X Var i i i ，n n n n i n X Var n X Var n i n i n i i )1ln()1ln( 1)1ln( 1)( 1)(1 21 21 2+=+≤+==∑∑∑===． 0 >∀ε，据切比雪夫不等式得：) n ( ,0)1ln()(1})({022+∞→→+=≤≥-≤εεεn n X Var X E X P ． 从而 1})({lim =<-+∞→εX E X P n ， 即 ) n ( ,0 11+∞→−→−=∑=Pn i i X n X ．习 题 5.31．设连续随机变量10021X , ,X , X 相互独立，它们服从相同的分布，概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1x 0, 1x ,)(x x f ． 记∑==1001 i i X S ．利用中心极限定理计算}10{≥S P ．解：0)()(11====⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E i μ，210)]([)()(2112222=-=-==⎰-dx x x X E X E X Var i i i σ． 100=n ． 据定理5.3.1，得：0787.09213.01)414.1(1100101100100101}10{1}10{=-=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-Φ-=<-=≥σσμσμnn S S P S P ．2．若计算机进行数值的加法时，对每个加数以四舍五入取整到个位．设所有舍入误差是相互独立的且服从(－0.5, 0.5)上的均匀分布．(1) 将1000个数相加，求误差总和的绝对值大于10的概率； (2) 最多有多少个数相加可使误差总和的绝对值20≤的概率达到99% 以上？解：(1) 用i X 表示第i 个舍入误差，则 ) 1000 , 2, 1,i ( ),0.5 ,5.0( =-U X i ～．100021X , ,X , X 独立同分布，1000n .12112)5.05.0()( ,025.05.0)(22==+===+-==i i X Var X E σμ． 据定理5.3.1，得：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≤---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑∑∑===n n n n X nn P X P X P ni i n i i n i i σμσμσμ1010110101101112736.0]8632.01[2)]095.1(1[21211000101211000101=-=Φ-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅Φ-≈．(2) 要求n 满足 99.0201≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑=n i i X P ． 即 99.0120220201≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≤--∑=n n n n n X nn P ni i σσμσμσμ，723.91n ,575.2n 20),575.2(995.020≤≥Φ=≥⎪⎭⎫⎝⎛Φσσn ． 最大可取 723=n ． 3．假设在n 重伯努利试验中事件A 每次发生的概率为0.6，要使事件A 出现的频率在0.58～0.62之间的概率不低于0.95，问至少需要进行多少次独立试验？(1) 利用切比雪夫不等式估计； (2) 利用中心极限定理计算．解：用X 表示n 重伯努利试验中A 发生的次数，令 ⎩⎨⎧=不发生次试验中第发生次试验中第A i ,0A i ,1i Z ，)n , 2, ,1 ( =i ．则 0.4q 0.6,P(A)p ,1====∑=ni i Z X ，) ,(p n B X ～．(1) A 出现的频率npq Var(X) np,E(X) , Z Z 11 )(n1i i =====∆=∑n X n A f n ． n pq Var(Z) 0.6,E(Z)==． 95.00004.0102.0)(1}02.0)({}02.0)(02.0{}62.0158.0{2≥-=-≥≤-=≤-≤-=≤≤n pqZ Var Z E Z P Z E Z P X n P ， 05.00004.0≤n pq ， 1200005.00004.04.06.005.00004.0=⨯⨯=⨯≥pq n ．(2) 要求n 满足 95.0}62.0158.0{≥≤≤X n P ，即 95.0} 62.058.0{≥≤≤n X n P ． 利用153P 公式(5.3.5)．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈≤≤npq n npq n npq np n npq np n n X n P 02.002.058.062.0} 62.058.0{102.02-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅Φ=pq n 95.0≥， 2304.96n ,96.102.0 ),96.1(975.002.0≥≥Φ=≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φpq npq n ． 最小取 2305=n ．4．现有一大批产品，次品率为1%．若随机地抽取5000件进行检查，求次品数在30～60件之间的概率的近似值．解：用A 表示抽到次品，0.99q ,01.0)(===A P p ． 此为5000=n 重伯努利试验． 用X 表示所抽n 件产品中的次品数，则 ) ,(p n B X ～． 据定理5.3.2 得：)914.2()492.1(5.295.60} 5.605.29{} 6030{-Φ-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈<<=≤≤npq np npq np X P X P 9304.019982.09322.01)914.2()492.1(=-+=-Φ+Φ=．5．某次英语课程的考试成绩（百分制）)225 ,65(N X ～，考生有一大批，各人成绩相互独立．试求： (1) 考试的合格率}60{≥=X P p ；(2) 随机地抽取1000名考生作调查，其中成绩合格的人数在600～700之间的概率的近似值． 解：(1) 用A 表示“考试合格”， 6304.0)333.0(22565601}60{)(=Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=≥==X P A P p ；3696.01=-=p q ．(2) 此为1000=n 重伯努利试验． 用Y 表示所抽n 名考生中的合格人数，则 ) ,(p n B X ～． 所求概率)024.2()592.4(5.5995.700} 5.7005.599{} 700600{-Φ-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈<<=≤≤npq np npq np X P X P 9785.019785.011)024.2()592.4(=-+=-Φ+Φ=．复 习 题 51．某车间有100台车床，它们独立地工作，开工率各为0.8，开工时耗电功率各为0.5kW ．问供电所至少要供给该车间多少kW 的电力，才能以 99% 的概率保证车间不会因供电不足而影响生产？解：用X 表示“任一时刻工作的车床数”， 则 ) ,(p n B X ～，0.2p 1q ,8.0 ,100=-===p n ． 要求x 满足 99.0}5.0{≥≤x X P ， 即 99.0} 2{≥≤x X P ． 利用定理5.3.2．)327.2(99.022} 2{Φ=≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤npq np x npq np x npq np X P x X P ， 327.22≥-npq npq x ， 654.44)327.2(21=+≥np npq x ． 最小取(kW) 45=x2．一家保险公司承接中国民航的航空意外伤害保险业务，每张保险单售价20元．空难发生后，每位乘客的家属可获得保险公司理赔40万元．据调查，近年来中国民航的空难发生率平均为十万分之一．假设一年中保险公司售出此种保险单10万张．试求：(1) 保险公司亏本的概率；(2) 保险公司一年中从该项业务中获得利润达到100万元、150万元的概率分别是多少？解 设X 表示购买保险单的十万人中遭受空难的人数，则 0.00001p 100000,n ), ,( ==p n B X ～， 0.99999npq 1,np ,99999.01===-=p q ． 由定理5.3.2，)1 ,0(N npq npX A ～-． (1) 所求概率为：}5.5{1}5{1}20100000400000{}{<-=≤-=⨯>=X P X P X P P 保险公司亏本0)500.4(15.51=Φ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-≈npq np ． (2) 所求概率为：}5.2{}100000040000020100000{}100 {≤=≥-⨯=X P X P P 万元获利达到⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=npq np npq np X P 5.29332.0)500.1(5.2=Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈npq np ． }25.1{}150000040000020100000{}150 {≤=≥-⨯=X P X P P 万元获利达到⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=npq np npq np X P 25.15987.0)250.0(25.1=Φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈npq np ． 3．设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，已知4 3, 2, 1,k ,)(1==k k X E μ存在，且224μμ>．证明当n 充分大时，随机变量∑==n i i n X n Y 121 渐近地服从正态分布，并指出其分布参数．证：随机变量序列{}+∞12nX 独立同分布，)()( ,)()(21222212X Var X Var X E X E n n =====σμμ0)]([)(22422141>-=-=μμX E X E ．根据定理5.3.1，得： 当n 充分大时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=n N n Y A i n 2242n 1 2i ,X 1μμμ～． 4．设随机变量)(n P Y n ～，并记nn Y Z n n -=，}{)(x Z P x F n n ≤=， 3, 2, 1,=n ．试证明：R x ),(e21)(lim 2t 2∈Φ==⎰∞--+∞→x dt x F xn n π．（提示：可将n Y 看成n 个相互独立，且都服从P(1)分布的随机变量之和）． 证：设随机变量序列 ,X , ,X ,n 21X 独立同分布，)1(P X n ～． 记 )(1n P X Y ni in ～∑== ( Poisson 分布具有可加性)．1)( ,1)(2====n n X V a r X E σμ， 由定理5.3.1， 得： 当n 充分大时，)1 ,0( N n n Y nn Y Z A n n n ～σμ-=-=， 即n Z 的极限分布是)1 ,0(N ．。
概率统计练习册习题解答(定)
概率统计练习册习题解答（定）习题1-1 样本空间与随机事件A,B,C 为三个事件，则A,B,C 中至少有一个不发 ”这一事件可表示为(D )(A ) ABU AC U BC (B ) AU BUC ( C ) ABC U ABC U ABC ( D )BUC 2）设三个元件的寿命分别为T”T 2,T 3，并联成一个系 ，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作， 件 系统的寿命超过t”可表示为（D ）B TT 2T 3t C min T I ,T 2,T 3 t用集合的形式表示下列随机试验的样本空间 机事件A : 1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和, 件A 表示 点数之和大于10”。
O2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射 击的次数；事件A 表示 射击次数不超过5次o3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。
现抽查一轴干测量其长度，事件 A 表示测1.选择题（1）设 生AUT i T 2 T 3tTT 2T3t 2. 随( 事 解： =3,4,5, ,18； A = 11,12, ,18解： =簽2,3，- A = ^2,3,4,5量长度与规格的误差不超过0.1。
O3 .设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关0.3； A= x; x-15 0.1x; x -15 解:系表示下列各事件：(1)A, B, C 都发生：解：ABC；(2)A, B, C都不发生：解：ABC(3)A发生，B与C不发生：解:A§C (或A-B-C)；(4)A, B, C中至少有一个发生：解：AuBuC(5)A, B, C中不多于两个发生：解：刁MUJ4.设某工人连续生产了4个零件，人表示他生产的件:(1 ) 只有一个是次品；A( A2A3A4 u A】A? A3A4 u A t A2 A3A4U A!A2A3A4(2)至少有一个次品；A-55uA。
(3)恰好有两个是次品；1.填空题(1)已知AuB, P(A) = 0.4 9 P(B) = 0.6 9贝|| P(A)=_0.6, P(AB)=0.4,P(JU^)=_0.6, P(AB) =_0.2 , P(AB) = 0 9 P(A B)=A P42A3 A4 uA] A2J3 A4 uAj A2A3J4A2 A3A4 u J]J2J3A4<J A}A2A3A4(4)至多有三个不是次品；A, u A2 u A? u A4 0习题1-2机事件的概率及计算第,个零件是正品(i = 1,2,3,4 ), 试用4表示下列各事0.4 o(2)设事件/与B互不相容，P(A) = 0A9 P(B) = 0.3,贝!| P(AB)=0.3 9 P(A\JB)= 0.6 o(3)盒子中有10个球，其中3个红球，接连不放回抽取五次，第一次抽到红球的概率 三次抽到红球的概率 4) 一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中 任取3件产品，其中恰有 1件次品的概率为5)某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日 恰好在同一个月的概率为0.3 ， 0.3 。
概率统计练习册习题解答
苏州科技学院 《概率论与数理统计》活页练习册习题解答信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组2013年12月习题1-1 样本空间与随机事件1．选择题（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）ABAC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C（2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ）A {}123T T T t ++>B {}123TT T t >C {}{}123min ,,T T T t >D {}{}123max ,,T T T t >2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。
解：{} ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。
3．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2习题1-2 随机事件的概率及计算1．填空题（1）已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则)(A P)(AB P=)(B A P 0 ，)(B A P（2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，则()P AB ()P A B 0.62．选择题（1）如果()0P AB =，则（ C ）(A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 互不相容(C) ()()P A B P A -= (D) ()()()P A B P A P B -=- (2) 两个事件A 与B 是对立事件的充要条件是（ C ）（A ） )()()(B P A P AB P = （B ）1)(0)(==B A P AB P 且 （C ） Ω=∅=B A AB 且 （D ）∅=AB 3．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率； （3）5只中至多有一只坏的概率。
概率统计第三章题解
求（1）X,Y 的边缘分布律; （2）X=3 的条件下,Y 的条件分布律； （3）Y=1 的条件下，X 的条件分布律.
解： （1）X,Y 的边缘分布律见上表. 即
P { X 3, Y k } （2） P{Y k | X 3} ， k 0,1,2,3 P { X 3}
K
0
X 和 Y 的联合分布律为
X
0 0 1/8
1 3/8 0
2 3/8 0
3 0 1/8
Y 1
3
3．盒子里装有 3 只黑球，2 只白球，2 只红球，在其中 任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红 球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律. 解 X 的可能取值为 0，1，3，Y 的可能取值为 0，1，
由于 X 和 Y 相互独立，因此 X 和 Y 的联合概率密度为
1 1 e 2 , 0 x 1, y 0 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 2 0, 其它
（2）设含有 a 的二次方程为a 2 2 Xa Y 0 ，试求 a 有 实根的概率.
概率统计第三章题解概率统计概率统计简明教程应用概率统计概率统计简明教程pdf概率统计学概率统计pdf理工科概率统计pdf概率统计讲义习题解答概率统计视频
三、习题解答 1．在一箱子中装有 12 只开关，其中 2 只是次品，在其
中取两次，每次任取一只，考虑两种试验： （1）放回抽样， （2）不放回抽样.我们定义随机变量 X、Y 如下：
)dx
1 2 ((1) (0))
=0.1445
14. 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密 度分别为
（1）确定常数ｋ； （2）求Ｐ{X<1,Y<3}； （3）求 P{X<1.5};（4）求 P{X+Y 4 }.
概率论与数理统计练习册（内附答案）
概率论与数理统计练习册 复习题和自测题解答第一章 复习题1、一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是正品（i ＝1，2，3，……，n ），用i A 表示下列事件： （1） 没有一个零件是次品； （2） 至少有一个零件是次品； （3） 仅仅只有一个零件是次品； （4） 至少有两个零件是次品。
解：1）1ni i A A ==2）1ni i A =3）11nn i j i j j i B A A ==≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4）A B2、任意两个正整数，求它们的和为偶数的概率。
解：{}(S =奇，奇），(奇，偶），（偶，奇），（偶，偶） 12P ∴=3、从数1，2，3，……，n 中任意取两数，求所取两数之和为偶数的概率。
解：i A －第i 次取到奇数（i ＝1，2）；A －两次的和为偶数1212()()P A P A A A A =当n 为奇数时：11111112222()112n n n n n P A n n n n n----+--=⋅+⋅=-- 当n 为偶数时：1122222()112(1)n n n n n P A n n n n n ---=⋅+⋅=---4、在正方形{(,)|1,1}p q p q ≤≤中任意取一点(,)p q ，求使方程20x px q ++=有两个实根的概率。
解： 21411136x S dx dy --==⎰⎰ 13136424p ∴==5、盒中放有5个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时从盒中任意取2个球去用，比赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中任意取2个球，求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。
解：i A －第一次比赛时拿到i 只新球（i ＝1，2）B －第二次比赛时拿到2只新球1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅2122344222225555950C C C C C C C C =⨯+⨯=6、两台机床加工同样的零件，第一台加工的零件比第二台多一倍，而它们生产的废品率分别为0.03与0.02，现把加工出来的零件放在一起 （1）求从中任意取一件而得到合格品的概率；（2）如果任意取一件得到的是废品，求它是第一台机床所加工的概率。
概率统计练习题答案
概率统计练习题答案概率统计练习题答案概率统计是一门重要的数学学科，它研究的是随机事件的概率和统计规律。
在学习概率统计的过程中，练习题是非常重要的一部分，通过解答练习题可以巩固知识，提高解题能力。
下面我们来看一些常见的概率统计练习题及其答案。
1. 随机变量X服从正态分布N(2, 4)，求P(X<3)。
答案：首先计算标准差，标准差为2，然后计算X的标准化值z=(3-2)/2=0.5。
查找标准正态分布表可得P(Z<0.5)=0.6915，所以P(X<3)=0.6915。
2. 一批产品中有10%的次品，从中随机抽取5个产品，求恰好有1个次品的概率。
答案：假设成功事件为抽到次品，失败事件为抽到正品。
根据二项分布的公式，概率P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为成功概率。
代入数据可得P(X=1)=C(5,1)0.1^1(1-0.1)^(5-1)=0.32805。
3. 某班级有60%的学生喜欢数学，40%的学生喜欢英语，20%的学生既喜欢数学又喜欢英语，求一个学生既不喜欢数学也不喜欢英语的概率。
答案：根据概率公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A、B为事件。
代入数据可得P(数学∪英语)=P(数学)+P(英语)-P(数学∩英语)=0.6+0.4-0.2=0.8。
所以一个学生既不喜欢数学也不喜欢英语的概率为1-0.8=0.2。
4. 某地每天的天气有30%的可能是晴天，20%的可能是雨天，50%的可能是阴天。
如果今天是晴天，那么明天是雨天的概率是多少？答案：根据条件概率公式P(B|A)=P(A∩B)/P(A)，其中A为今天是晴天的事件，B为明天是雨天的事件。
代入数据可得P(明天是雨天|今天是晴天)=P(今天是晴天∩明天是雨天)/P(今天是晴天)=0.3*0.2/0.3=0.2。
5. 一批产品中有10%的次品，从中随机抽取10个产品，求至少有1个次品的概率。
概率统计习题带答案
概率论与数理统计习题及题解沈志军 盛子宁第一章 概率论的基本概念1．设事件B A ,及B A 的概率分别为q p ,及r ，试求)(),(),(B A P B A P AB P 及)(AB P2．若C B A ,,相互独立，试证明：C B A ,,亦必相互独立。
3．试验E 为掷2颗骰子观察出现的点数。
每种结果以),(21x x 记之，其中21,x x 分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。
设事件}10|),{(2121=+=x x x x A ， 事件}|),{(2121x x x x B >=。
试求)|(A B P 和)|(B A P4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。
问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率？（2）三次内打开的概率？（3）如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n 个白球、m 个红球，乙袋中装有N 个白球、M 个红球。
今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。
试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。
试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为0.92,0.93,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为0.15。
试求下列事件的概率：（1）仓库发生意外时能及时发出警报；（2）乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设B A ,为两随机变量，试求解下列问题：（1） 已知6/1)|(,3/1)()(===B A P B P A P 。
求：)|(B A P ； （2） 已知2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 。
概率统计精选练习题及答案
概率统计精选练习题及答案练题一- 问题：有一袋子里面装有5个红球和3个蓝球，从袋子里随机取两个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
- 解答：首先，我们计算取两个红球的概率。
从5个红球中取出2个红球的组合数为C(5, 2) = 10。
总的取球组合数为C(8, 2) = 28。
所以，取两个红球的概率为10/28。
同理，取两个蓝球的概率为C(3, 2)/C(8, 2) = 3/28。
因为取球的过程是相互独立的，所以取出的两个球颜色相同的概率等于取两个红球的概率加上取两个蓝球的概率，即(10/28) + (3/28) = 13/28。
练题二- 问题：某商场每天的顾客数量服从均值为100，标准差为20的正态分布。
求该商场下一个月（30天）的总顾客数量的期望值和标准差。
- 解答：下一个月的总顾客数量等于每天顾客数量的总和。
因为每天的顾客数量服从正态分布，所以总顾客数量也服从正态分布。
总顾客数量的期望值等于每天顾客数量的期望值的总和，即30 * 100 = 3000。
标准差等于每天顾客数量的标准差的总和，即sqrt(30) * 20 ≈ 109.544。
练题三- 问题：某城市的交通事故发生率为每年100起。
求在下一个月内该城市发生至少一起交通事故的概率。
- 解答：在下一个月内，发生至少一起交通事故的概率等于1减去没有发生交通事故的概率。
没有发生交通事故的概率可以用泊松分布来计算。
假设一个月内发生交通事故的平均次数为100/12 ≈ 8.333，那么没有发生交通事故的概率为P(X = 0)，其中X服从参数为8.333的泊松分布。
计算得到P(X = 0) ≈ 0.。
所以，在下一个月内该城市发生至少一起交通事故的概率为1 - P(X = 0) ≈ 0.。
以上是概率统计的精选练习题及答案，希望能对您的学习有所帮助。
天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解
天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解第一章 随机变量 习题一1、写出下列随机试验的样本空间(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和Ω= {}1843,,, (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数Ω= {} ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
用“0”表示次品，用“1”表示正品。
Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,}(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标Ω= }|),{(122<+y x y x(5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度(6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U =“在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U =解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。
}其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。
i = 3、 4、 …、 10( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… }其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。
i = 3、 4、 …2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件(3)20>x 与18<x 互不相容 (4)20>x 与22≤x 相容事件(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件2 解: 互不相容:φ=AB ; 对立事件 : φ=AB )1( 且 Ω=⋃B A3、设A,B,C 为三事件，用A,B,C 的运算关系表示下列各事件(1)A 发生，B 与C 不发生 - C B A (2)A 与B 都发生，而C 不发生 - C AB(3)A,B,C 中至少有一个发生 -C B A ⋃⋃ (4)A,B,C 都发生 -ABC(5)A,B,C 都不发生 - C B A (6)A,B,C 中不多于一个发生 -C B C A B A ⋃⋃(7)A,B,C 中不多于两个发生-C B A ⋃⋃(8)A,B,C 中至少有两个发生-BC AC AB ⋃⋃4、盒内装有10个球，分别编有1- 10的号码，现从中任取一球，设事件A 表示“取到的球的号码为偶数”，事件B 表示“取到的球的号码为奇数”，事件C 表示“取到的球的号码小于5”，试说明下列运算分别表示什么事件.(1)B A 必然事件 (2)AB 不可能事件 (3)C 取到的球的号码不小于5 (4)C A 1或2或3或4或6或8或10(5)AC 2或4 (6)C A 5或7或9 (7)C B 6或8或10 (8)BC 2或4或5或6或7或8或9或105、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立. (1)B B A B A = 成立 (2)B A B A = 不成立 (3)C B A C B A = 不成立 (4)φ=))((B A AB 成立(5)若B A ⊂，则AB A = 成立 (6)若φ=AB ，且A C ⊂，则φ=BC 成立(7)若B A ⊂，则A B ⊂ 成立 (8)若A B ⊂，则A B A = 成立7、设一个工人生产了四个零件，i A 表示事件“他生产的第i 个零件是正品”),,,(4321=i ，用1A ,2A ,3A ,4A 的运算关系表达下列事件.3 (1)没有一个产品是次品； (1) 43211A A A A B =(2)至少有一个产品是次品；(2) 432143212A A A A A A A A B =⋃⋃⋃=(3)只有一个产品是次品；(3) 43214321432143213A A A A A A A A A A A A A A A A B ⋃⋃⋃=(4)至少有三个产品不是次品 4)432143214321432143214A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B ⋃⋃⋃⋃=8. 设 E 、F 、G 是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 ： (1)()()F E F E (2) ()()()F E F E F E （3）()()G F F E 解 :(1) 原式 ()()()()E F F F E F E E E ==(2) 原式 ()()()()E F F E F F E F E F E ===(3) 原式 ()()()()()G E F G F F F G E F E ==9、设B A ,是两事件且7060.)(,.)(==B P A P ，问(1)在什么条件下)(AB P 取到最大 值，最大值是多少？(2)在什么条件下)(AB P 取到最小值，最小值是多少？ 解: (1)6.0)(,=⊂AB P B A (2)3.0)(,==⋃AB P S B A 10. 设 事 件 A ， B ， C 分 别 表 示 开 关 a ， b ， c 闭 合 ， D 表 示 灯 亮 ， 则可用事件A ，B ，C 表示：(1) D = A B C ；(2) D = ()C B A 。
概率论与数理统计练习册—第一章答案
第一章 概率论的基本概念基础训练I一、选择题1. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为：（ D ）。
A ）甲种产品滞销，乙种产品畅销；B ）甲乙产品均畅销；C ）甲种产品滞销；D ）甲产品滞销或乙种产品畅销.2、设A ,B ,C 是三个事件，则C B A ⋃⋃表示（ C ）。
A ） A ,B ,C 都发生； B ） A ,B ,C 都不发生；C ） A ,B ,C 至少有一个发生；D ） A ,B ,C 不多于一个发生3、对于任意事件B A ,，有=-)(B A P （ C ）。
A ）)()(B P A P -； B ）)()()(AB P B P A P +-；C ）)()(AB P A P -；D ）)()()(AB P B P A P -+。
4、已知5个人进行不放回抽签测试，袋中5道试题（3道易题，2道难题），问第3个人抽中易题的概率是( A ) 。
A ） 3/5；B ）3/4；C ）2/4；D ）3/10.5、抛一枚硬币，反复掷4次，则恰有3次出现正面的概率是（ D ）。
A ） 1/16B ） 1/8C ） 1/10D ） 1/46、设()0.8P A =，()0.7P B =，(|)0.8P A B =，则下列结论正确的有（ A ）。
A ）B A ,相互独立； B ）B A ,互不相容；C ）A B ⊃；D ）)()()(B P A P B A P +=⋃。
二、填空题1.设C B A ,,是随机事件，则事件“A 、B 都不发生，C 发生”表示为C B A , “C B A ,,至少有两个发生”表示成BC AC AB ⋃⋃ 。
2.设A 、B 互不相容，4.0)(=A P ，7.0)(=⋃B A P ，则=)(B P 0.3 ；3. 某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种的住户百分比是：30%；4.设4/1)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P ,8/1)(=AC P ，则C B A 、、三件事至少有一个发生的概率为：5/8；5. 若A 、B 互不相容,且,0)(>A P 则=)/(A B P 0 ；若A 、B 相互独立，,且,0)(>A P 则=)/(A B P )(B P 。
概率统计练习册习题解答(定)
习题1-1 样本空间与随机事件1．选择题（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）ABAC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C（2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ）A {}123T T T t ++>B {}123TT T t >C {}{}123min ,,T T T t >D {}{}123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A 表示“点数之和大于10”。
解：{},18543，，，＝Ω ；{}18,,12,11 ＝A 。
（2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。
解：{} ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。
（3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。
现抽查一轴干测量其长度，事件A 表示测量长度与规格的误差不超过0.1。
3．设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件： （1） A ，B ，C 都发生：解： ABC ；（2） A ，B ，C（3） A 发生，B 与C （4） A ，B ，C 中至少有一个发生：解：C B A ⋃⋃（5）A ，B ，C 4．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2）至少有一个次品；（3）恰好有两个是次品；（4习题1-2 随机事件的概率及计算1．填空题（1）已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则)(A P )(AB P)(B A P )(B A P =)(B A P 0 ，)(B A P（2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，则()P AB()P AB0.6（3）盒子中有10个球，其中3（4）一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，其中恰有1件次品的概率为（5）某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为2．选择题（1）如果A 与B 互不相容，则（C ）(A) AB =∅ (B) A B = (C ) AB =Ω (D) A B =Ω（2）设A 、B 是任意两事件，则=-)(B A P （ B 、C ）。
概率统计习题集答案
概率统计习题集答案概率统计习题集答案概率统计是一门重要的数学学科，它研究了随机事件的发生规律以及对这些规律进行量化和分析的方法。
在学习概率统计的过程中，习题集是必不可少的辅助工具。
通过解答习题，我们可以更好地理解和掌握概率统计的概念和方法。
下面是一些常见的概率统计习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、概率计算1. 一个骰子投掷一次，求出现奇数的概率。
答案：一个骰子有6个面，其中3个是奇数（1、3、5），所以出现奇数的概率为3/6=1/2。
2. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红桃的概率。
答案：一副扑克牌有52张牌，其中有13张红桃牌，所以抽到红桃的概率为13/52=1/4。
二、条件概率1. 一家餐馆的顾客中，男性占40%，女性占60%。
男性中有30%喜欢吃牛排，女性中有20%喜欢吃牛排。
求一个随机选取的顾客是男性且喜欢吃牛排的概率。
答案：男性喜欢吃牛排的概率为40% × 30% = 12%。
所以一个随机选取的顾客是男性且喜欢吃牛排的概率为12%。
2. 一批产品中有10%的次品。
从中随机抽取两个产品，求两个产品都是次品的概率。
答案：第一个产品是次品的概率为10%，第二个产品是次品的概率为9%（因为已经抽取了一个次品）。
所以两个产品都是次品的概率为10% × 9% = 0.9%。
三、随机变量1. 设X为一次投掷一枚骰子所得点数的随机变量，求E(X)和Var(X)。
答案：骰子的点数为1、2、3、4、5、6，每个点数出现的概率为1/6。
所以E(X) = (1 × 1/6) + (2 × 1/6) + (3 × 1/6) + (4 × 1/6) + (5 × 1/6) + (6 × 1/6) = 3.5。
Var(X) = [(1-3.5)^2 × 1/6] + [(2-3.5)^2 × 1/6] + [(3-3.5)^2 × 1/6] + [(4-3.5)^2× 1/6] + [(5-3.5)^2 × 1/6] + [(6-3.5)^2 × 1/6] = 35/12。
概率论与数理统计练习册 参考答案
概率论与数理统计练习册 参考答案第1章 概率论的基本概念 基础练习 1.11、C2、C3、D4、A B C ++5、13{|02}42x x x ≤<≤<或，{}12/1|<<x x ，Ω6、{3}，{1,2,4,5,6,7,8,9,10}，{1,2,6,7,8,9,10}，{1,2,3,6,7,8,9,10}7、（1) Ω={正，正，正，正，正，次}，A ={次，正}（2）Ω={正正，正反，反正，反反}，A ={正正，反反}，B={正正，正反}（3） 22{(,)|1}x y x y Ω=+≤,22{(,)|10}A x y x y x =+<<且 （4）Ω={白，白，黑，黑，黑，红，红，红，红}，A={白}，B={黑} 8、（1)123A A A (2)123123123A A A A A A A A A ++ (3)123A A A ++ (4)123123123123A A A A A A A A A A A A +++ (5)123123A A A A A A +9、（1）不正确 （2）不正确 （3）不正确 （4）正确 （5） 正确 （6）正确（7）正确 （8）正确10、（1）原式=()()()A B AB A B AB A B A B B -==+=U U U （2）原式=()()A A B B A B A AB BA BB A +++=+++= （3）原式=()AB AB =∅11、证明：左边=()AAB B A A B B AB B A B +=++=+=+=右边 1.21、C2、B3、B4、0.85、0.256、0.37、2226C C 8、0.081 9、2628C C10、3()()()()()()()()4P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+=11、解：设,,A B C 分别表示“100人中数学，物理，化学不及格的人数” 则{10},{9},{8}A B C ===，{5},{4},{4},{2}AB AC BC ABC ====100()84ABC A B C =-++=12、解：设A 表示“抽取3个球中至少有2个白球”21343437()C C C P A C +=13、解：（1）设A 表示“10件全是合格品”，则109510100()C P A C = (2) 设B 表示“10件中恰有2件次品”，则8295510100()C C P B C = 14、解：（1）设A 表示“五人生日都在星期日”，51()7P A =（2）设B 表示“五人生日都不在星期日”， 556()7P B = （3）设C 表示“五人生日不都在星期日”，55516()177P C =-- 15、解：{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤设A 表示“两人能会到面”，则1{(,)|}3A x y x y =-≤， 所以5()9P A =1.31、0.8，0.252、0.63、0.074、23 5、0.56、注：加入条件()0.4P B =解：()()0.1P AB P A ==，()()0.4P A B P B +==()()0.9P A B P AB +==，()(|)0.25()P AB P A B P B ==7、解：设A 表示"13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”则5332131313131352()C C C C P A C =，8、解：设123,,A A A 分别表示“零件由甲，乙，丙厂生产”，B 表示“零件时次品”则112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.050.40.040.40.030.036=⋅+⋅+⋅=9、解：设123,,A A A 分别表示“甲，乙，丙炮射中敌机”， 123,,B B B分别表示“飞机中一门，二门，三门炮”，C 表示“飞机坠毁”。
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苏州科技学院《概率论与数理统计》活页练习册习题解答信息与计算科学系概率论与数理统计教材编写组2013年8月习题1-1 样本空间与随机事件1．选择题（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ）（A ）ABAC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C（2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ）A {}123T T T t ++> B {}123TT T t > C {}{}123min ,,T T T t > D {}{}123max ,,T T T t >2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A 表示“点数之和大于10”。
解：{},18543 ，，，＝Ω ；{}18,,12,11 ＝A 。
（2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。
解：{} ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。
（3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。
现抽查一轴干测量其长度，事件A 表示测量长度与规格的误差不超过0.1。
{}{}。
3．设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件：（1）A ，B ，C都发生：解： ABC ； （2）A ，B ，C（3）A 发生，B 与C （4）A ，B ，C 中至少有一个发生：解：C B A ⋃⋃ （5） A ，B ，C 4．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2）至少有一个次品；（3）恰好有两个是次品；（4习题1-2 随机事件的概率及计算1．填空题（1）已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=BP，则)(A P )(AB P)(B A P )(B A P =)(B A P 0 ，)(B A P（2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，则()P AB()P A B 0.6（3）盒子中有10个球，其中3（4）一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，其中恰有1件次品的概率为（5）某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为2．选择题（1）如果A 与B 互不相容，则（C ） (A) AB =∅ (B) A B = (C ) A B =Ω (D) A B =Ω（2）设A 、B 是任意两事件，则=-)(B A P （ B 、C ）。
(A) )()(B P A P - (B) )()()(B A P B P A P +-(C) )()(AB P A P - (D) )()()(AB P B P A P -+（3）如果()0P AB =，则（ C ）(A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 互不相容(C) ()()P A B P A -= (D) ()()()P A B P A P B -=-（4）设10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则在前3个购买者中恰有一人中奖的概率为( D )(A) 3.07.02310⨯⨯C (B) 0.3 (C) 7/40 (D) 21/40(5) 两个事件A 与B 是对立事件的充要条件是（ C ）（A ） )()()(B P A P AB P = （B ）1)(0)(==B A P AB P 且（C ） Ω=∅=B A AB 且 （D ）∅=AB3．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求（1）5只全是好的的概率；（2）5只中有两只坏的的概率；（3）5只中至多有一只坏的概率。
4．向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个军火库的概率各为0.1。
只要炸中一个另外两个必然爆炸，求军火库发生爆炸的概率。
解：设C B A ,,分别表示击中第一、二、三个军火库爆炸，D 表示军火库爆炸，易知事件C B A ,,互不相容，且025.0)(=A P ，1.0)()(==C P B P则225.01.01.0025.0)()()()(=++=++=C P B P A P D P5．两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。
设两艘轮船停靠泊位的时间分别为1个小时和2个小时。
求有一艘轮船停靠泊位时需要等待的概率。
解：设y x ,分别为甲、乙船到达时刻，甲停靠时间为1小时，乙停靠时间为2小时，24,0≤≤y x 设=A “一艘轮船停靠泊位时需要等待”，则A 发生当且仅当 10≤-≤x y ，20≤-≤y x习题1-3 条件概率 1．选择题：（1）设A ，B 为两个相互对立事件，且0)(>A P ，0)(>B P ，则( C )。
（A ）0)(>A B P （B ）)()(A P B A P = （C ）0)(=B A P （D ）)()()(B P A P AB P =（2）已知3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，则( ＡＢＣＤ )。
（A ）)()(B P A B P = （B ）)()(B P A B P = （C ）)()(A P B A P = （D ）)()(A P B A P =（3）设8.0)(=A P ，7.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，则下列结论正确的是（ Ｃ ）。
（A ）A B ⊃； （B ）)()()(B P A P B A P +=⋃；（C ）事件A 与事件B 相互独立； （D ） 事件A 与事件B 对立。
（4）设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，1)()(=+B A P B A P ，则（ Ｄ ）。
（A ） 事件A 与B 互不相容； （B ）事件A 与B 对立；（C ） 事件A 与B 不相互独立； （D ）事件A 与B 相互独立。
（5）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p ，第二道工序的废品率为q ，则该零件加工的成品率为（ Ｃ ）（A ） 1p q -- （B ）1pq - （C ）1p q pq --+ （D ）(1)(1)p q -+-（A ）若,AB φ≠则,A B 一定独立。
（B ）若,AB φ≠则,A B 有可能独立。
（C ）若,AB φ=则,A B 一定独立。
（D ）若,AB φ=则,A B 一定不独立。
2．填空题:(1) 设事件A ，B 相互独立且互不相容，则))(),(min(B P A P =__０_.(2) 已知,6.0)(,5.0)(==B A P A P 若B A 、互不相容，则)(B P B A 、相互独立，则)(B P (3) 已知5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)(=A B P ，)(B A P =___０.３__.(4) 某人独立射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多击中一次的概率为_0.104_.(5) 对同一目标进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次射击的命中率分别为0.4，0.5，0.7。
则三次射击中恰好有一次击中目标的概率。
3．在10只晶体管中有7只正品，3只次品。
现不放回的抽取两次，每次一只，求下列事件的概率。
（1）两只都是正品；（2）至少有一只次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二只是次品；（5）第二次才是次品。
解：设i A 表示第i 次取出次品，则4．已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱任取3件放入乙箱，然后再从乙箱中任取一件产品，求该产品为次品的概率。
解 设A =“从乙箱中取出的是次品”，i B =“从甲箱中取出的三件中恰有i 个次品”0,1,2i =.3 由全概率公式5．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率.解 设A =“任取一产品，经检查是合格品”，0.960.980.040.050.9428=⨯+⨯=，6．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求：（1）顾客买下该箱的概率α；（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率β.解 设A =“顾客买下该箱”，B =“箱中恰有i 件残次品”，0,1,2i =，（1）001122()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B α==++7．为防止意外，在矿内同时安装了两种报警系统A 与B ，每种报警系统都使用时，对系统A 其有效的概率是0.92，对系统B 其有效的概率为0.93，在A 失效的条件下，B 有效的概率为0.85.求：（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。
解：设=A “报警系统A 有效”，=B “报警系统B 有效”（2）因为：862.0988.093.092.0)()()()(=-+=-+=B A P B P AP AB P8．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率. 解 设该射手的命中率为p ，由题意习题2-1 随机变量及其分布函数1．试说明下列函数能否为某随机变量的分布函数.10,0,()sin ,0,21,.2x F x x x x ππ⎧<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩20,0,()ln(1),0.1x F x x x x <⎧⎪=⎨+≥⎪+⎩ 解：1()F x 是；2()F x 不是，因为2()01F +∞=≠.2．设随机变量X 的分布函数为0,1,1,1,4(),11,1,1.x x F x ax b x x <-⎧⎪⎪=-⎪=⎨⎪+-<<⎪≥⎪⎩ 且1(1)2P X ==，试求：（1）常数,a b 的值；（2）(21)P X -<<。
又习题2-2 离散型随机变量1． 填空题(1) 设随机变量X 的分布律为:{},Na k X P == N k ， ,2,1=，试确定___1______a =。
(2) 一批产品共100个，其中有10个次品，从中放回取5次，每次取一个，以X 表示任意取出的产品中的次品数，则X(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是p ，以X表示射击的次数，则X 的分布律为2. 将编号为1,2,3,4的四个球随机地放入3个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以X 表示放球最多的盒子中球的个数，试求X 的分布列及其分布函数()F x .3． 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？(2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？解：设一周内发生交通事故的次数为X ，则()3.0~P X 。