浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用2
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用摘要：数学归纳法是建立在最小数原理基础上的一种用于证明和自然数有关的命题的常用方法，分为第一数学归纳法和第二数学归纳法。
本文介绍了数学归纳法基于最小数原理的理论背景，同时以例题的形式阐述了两种数学归纳法的使用方式，分析了其各自的特点，同时通过特殊例题浅要比较了两种归纳法本质的区别。
在文章的最后，浅要给出了数学归纳法在中学阶段教法和学法的建议。
一．绪论1.研究背景在高中数学中，像数列，不等式，以及一些求和公式，很多题目都会要求你证明和自然数有关的命题，而数学归纳法主要就是争对有关自然数的命题的一种高效简便的方法，如果能够熟练的掌握数学归纳法的概念及使用方法，并能够巧妙地应用在实际的问题当中，那很多时候一些很复杂的问题都可以得到一个很巧妙的解法。
在近几年的高考数学大题中，出现了很多以数列不等式为背景的证明题，数列本是一种定义在自然数集中的特殊函数，所以很多这种类型的题目都可以用数学归纳法巧妙解决。
同时，数学归纳法可以锻炼学生的归纳总结能力，类比推理能力，对高中生增加适当的数学归纳法的教学可以增加其数学修养。
数学归纳法是一套解决一大类问题的完美工具。
2.研究意义在大学四年数学专业课的学习中，像高等代数，初等数论，图论这样的课程中，在证明一些结论的时候都会用到数学归纳法，由此可见，数学归纳法的应用面非常的广泛。
同时，数学归纳法的解题步骤和里面的原理是很容易让高中阶段的学生理解的。
所以在教学过程中，对于一些合适的题讲述出用数学归纳法的解法是很有必要的。
数学是一门锻炼学生思维能力的学科，所以一味的让学生死记硬背的教学方法是不可取的，数学归纳法，主要是对相关数学知识进行合理地证明，以具体的命题为解题基础，能够使其在自然数的范围中成立，把有关于数学基础知识正确地应用在解题的过程中，从而对数学习题的求证。
二．数学归纳法的理论背景及使用方法1.数学归纳法的证明设 M 是自然数集的任一非空子集, 则必存在一个自然数m∈M, 使对一切n∈M, 都有m≤n。
数学归纳法在中学数学中的应用
数学归纳法在中学数学中的应用数学归纳法是高中数学中的一项重要内容，它不仅在代数学和数学分析中具有广泛的应用，而且在初中数学中也扮演着重要的角色。
本文将重点介绍中学数学中数学归纳法的应用，以及如何正确运用数学归纳法解题。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种证明方法，通常用于证明由自然数组成的数列或命题，其基本思想是：第一步：证明当n=1时，命题成立。
第二步：假设当n=k（k≥1）时命题成立，并用此假设来证明当n=k+1时命题也成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
二、应用举例1.证明1+2+…+n=n(n+1)/2对于此题，我们可以按照数学归纳法的步骤逐步解题。
第一步：当n=1时，1=1(1+1)/2，命题成立。
第二步：假设当n=k时1+2+…+k=k(k+1)/2，根据假设，当n=k+1时：1+2+…+k+(k+1)=(k)(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k/2+1)=(k+1)((k+1)+1)/2命题成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
因此，数学归纳法可以用来证明1+2+…+n=n(n+1)/2。
（注：此处省略了对不符合条件的情况的讨论）2.证明以下命题成立2的n次方大于等于n+1，其中n为正整数。
第一步：当n=1时，2的1次方大于等于1+1，命题成立。
第二步：假设当n=k时，2的k次方大于等于k+1，根据假设，当n=k+1时：2的k+1次方大于等于2(k+1)而(k+1)+1=k+2因此，当n=k+1时，命题成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
因此，命题为真。
三、数学归纳法的要点虽然数学归纳法是一种简单的证明方法，但是正确的运用还有一定难度。
下面是数学归纳法中需注意的要点：1.首先要确保递推式适用于所有的正整数。
2.要明确所要证明的命题。
3.要分清递推式、递推式中的变量和由递推式推出的式子。
数学归纳法及其应用论文
数学归纳法及其应用数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在进一步学习及研究高等数学时,也是一种非常重要的方法．数学归纳法在证明与正整数有关的命题时有其独特之处．对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是掌握这种证明方法的关键．要熟练的掌握及应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中,运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出结论最为重要．数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等．正整数是无穷的．一个与正整数N有关的命题，当1n=时表示一个命题，当2n=时又表示一个命题，如此等等，无穷无尽．因此，一个与正整数N有关的命题本质上包含了无穷多个命题．假如我们对于这无穷多个命题，按部就班地一个一个去证，那么不管我们的证题速度有多快，也是今生今世都证不完的．在一个与正整数N有关的命题面前，作为万物之灵的人，发明了一种方法，叫做“数学归纳法”．人们运用此法，只需寥寥几步，像变戏法似的，便把无穷多个命题一个不剩的全证完了[1]．数学归纳法是数学论证的一个基本工具，是一种非常重要的数学证明方法，它典型地用于确定一个表达式在所有正整数范围内是成立的，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的．最简单和最常见的数学归纳法证明是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成，第一步是递推的基础: 证明当1n=时表达式成立．第二步是递推的依据: 证明如果当=时成立，那么当1n k=+时同样成立．(递推的依据中的“如果”被定义为n k归纳假设．不要把整个第二步称为归纳假设．) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的．如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中．1数学归纳法的概述1．1 常用数学证明方法数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，数学中研究问题的方法一般有以下分类：1．1.1 演绎推理——从一般到特殊的推理叫做演绎推理，它又称演绎法．1．1．2 归纳推理——由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳推理，它又称归纳法．根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法．不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法．不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法．但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段．在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想．因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要．完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法．与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的．通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法[2]．1.2 数学归纳法的定义数学归纳法概念: 数学归纳法是数学上证明与正整数N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题．1.3 数学归纳法的逻辑基础意大利有一个数学家，名叫皮亚诺（G ．Peano,1858-1932），他总结了自然数的有关性质，并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理，后人称之为“皮亚诺公理”．皮亚诺公理的内容如下：任何一个满足下列条件的非空集合N 的元素叫做自然数．在这个集合中，某些元素之间存在着一种基本关系——“随从”关系（或者叫做“直接后继”关系）并且满足以下五条公理：Ⅰ．0NÎ（即“0是自然数” ）．Ⅱ． 对于N 的每一个元素a ,在N 中都有一个确定的随从'a （我们用符号'a 表示a 的随从，以下类同）．Ⅲ． 0不是N 中任何一个元素的随从． Ⅳ． 由''a b=可以推出ab=（这就是说，N 中的每个元素只能是某一个元素的随从，或者根本不是随从）．Ⅴ． 设M 是自然数的集合，若它具有下列性质： （1）自然数0属于M ；（2）如果自然数a 属于M ，那么它的随从'a 也属于M ； 则集合M 包含一切自然数[1]．自然数就是满足上述皮亚诺公理的集合N 中的元素.关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论.由皮亚诺公理可知，0是自然数关于“后继”的起始元素，如果记'01=，'12=，'23=，…，'1n n =+，…，则{0,1,2,,,}N n =皮亚诺公理与最小数原理是等价的，我们可以用皮亚诺公理来证明最小数原理.定理1 （最小数原理） 自然数集N 的任意非空子集A 都有最小数. 证 设M 是不大于A 中任何数的所有自然数的集合，即{|,}M n n N nm m A =危 且对任意由于A 非空，至少有一自然数a AÎ,而1()a a +>不在M 中，所以M N¹.从而必存在自然数0m MÎ，且01m M+ .因为若不然，就有（1）0MÎ(0不大于任一自然数）；（2）若m MÎ，则1mM+ .根据归纳原理，集合M 包含一切自然数．此与M 是不大于A 中任何数的所有自然数的集合矛盾.这个自然数0m 就是集合A 的最小数，因为对任何a AÎ，都有0m a£；而且0m AÎ.事实上，若0m AÏ，则有01m a+ ，对任意a AÎ，于是01m M+ ，这又与0m 的选取相矛盾.下面我们用最小数原理来证明数学归纳法原理.定理2 （数学归纳法原理）一个与自然数有相关的命题()T n ，如果（1）00()(0)T n n ³为真；（2）假设0()()T n nn ³为真，则可以推出(1)T n +也为真.那么，对所有大于等于0n 的正整数n ，命题()T n 为真.证 用反证法.若命题()T n 不是对所有的自然数n 为真，则0{|,()}M m m N mn T m =纬且不真非空.根据定理1，M 中有最小数0m .由（1），00m n >，从而001m n - 且0(1)T m -为真.由（2），取01nm =-即知0()T m 为真.此与0()T m 不真相矛盾.从而证明了定理2[4].因而从理论上讲，皮亚诺公理中的第五条公理正是数学归纳法的依据，因此，第五条公理也称做数学归纳法原理。
浅谈数学归纳法
浅谈数学归纳法沈梦婷教师教育学院10021149 【摘要】数学归纳法是一种常用的数学方法，在许多与自然数有关的数学问题的证明中有着不可替代的作用。
本文就数学归纳法的形式内容及对其的教与学做了一定的分析。
【关键字】数学归纳法，数学教学方法数学中的许多问题与自然数有关, 这类问题的求解及证明贯用的方法就是数学归纳法, 即首先考察特例, 发现某种相似性, 然后把这种相似性推广为一个可以明确表述的一般性命题, 从而得到一个猜想, 最后证明这个猜想。
数学归纳法的依据是自然数的皮亚诺公理中的归纳公理，他是演绎法的一种，与归纳法有本质区别。
绪论——数学归纳法的研究现状对“数学归纳法”的研究国内己有不少论文，这些论文在某些具体方面作出了详尽的论述。
例如，赵龙山在《有关数学归纳法教学中的逻辑问题》一文中，对数学归纳法的逻辑基础问题进行了论述和研究，形象地引入“递推机”，从而加深了学生对数学归纳法本质的理解：罗增儒在《关于数学归纳法的逻辑基础》一文中指出:历史上数学归纳法曾被称为“逐次归纳法”、“完全归纳法”，后来被称为“数学归纳法”，既区别于逻辑上的“完全归纳法”，又比“逐次归纳法”更能表明它论证的可靠性；刘世泽在《数学归纳法的另外两种形式》一文中，介绍了除数学归纳法第I型和第II型以外的另两种形式:跳跃归纳法和二元有限归纳法;朱孝建在《数学归纳法的构造》一文中，给出了数学归纳法的一个一般性定理，由此可推导出数学归纳法的各种常见形式，还可根据具体问题的需要构造出其它数学归纳法的形式，进一步开拓了数学归纳法的应用范围，从而对数学归纳法的本质有了一个较为全面深入地了解;邵光华所作的论文《对中学“数学归纳法”教材教法的几点思考》，主要针对教材教法中对数学归纳法内容的安排和教学，提出了值得思考的五个具体问题，并简单地说明了数学归纳法和归纳法的区别.除以上这些论文以外,一些论著也提到了数学归纳法，并把它作为一种证明方法进行了简洁的阐述。
归纳法在数学中的应用
小议“数学归纳法”在中学数学中的应用数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，用于证明与自然数有关的命题.一旦涉及无穷，总会花费人们大量的时间与精力，去研究它的真正意义.数学归纳法这个涉及“无穷”而无法直观感觉的概念，自然也需要一个漫长的认识过程.一般认为，归纳推理可以追溯到公元前6世纪的毕达哥拉斯时代.毕达哥拉斯对点子数的讨论是相当精彩的.他由有限个特殊情况而作出一般结论，具有明显的推理过程，但这些推理只是简单的列举，没有涉及归纳结果，因此是不完全的归纳推理.完整的归纳推理，即数学归纳法的早期例证是公元前3世纪欧几里得《几何原本》中对素数无限的证明.其中已经蕴含着归纳步骤和传递步骤的推理.16世纪中叶，意大利数学家莫罗利科(F·Maurolycus)对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究.莫罗利科认识到，对于一个与自然数有关的命题，为了检验其正确与否，若采取逐一代入数进行检验的方法，那不是严格意义上的数学证明，要把所有的自然数都检验一遍是不可能做得到的[1]，因为自然数有无穷多个.那么对于这类问题该如何解决呢?1575年，莫罗利科在他的《算术》一书中，明确地提出了“递归推理”这个思想方法.我国著名的数学家华罗庚曾说：“把数学归纳法学好了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益.”宏观来看，数学归纳法看似单一，可看作一个公式来证明命题，实则不然，它要求学生掌握必备的知识与技能，同时还要有一定的逻辑思维能力等.最后我们通过运用数学归纳法的了解和运用数学归纳II法解决一些与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等的证明，最终熟练掌握“归纳——猜想——证明[2]”这一思维方法，这也是中学数学课堂教学的一项重要内容.数学归纳法作为数学命题证明中的一种重要方法，有其独特的历史来源、基本原理、推理思想以及固定模式.“从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律，而在人类探索世界奥秘的奋斗中诞生和发展起来的任何一门学科，都将受到这一规律的制约．数学当然也不例外，同样要被纳入这一规律的模式之中．由于事物的特殊性中包括着普遍性，即所谓共性存在于个性之中，而相对于“一般”而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知．另一方面，由于“一般”概括了“特殊”，“普遍”比“特殊”更能反映事物的本质，因而当我们在处理问题的时候，若能置待解决的问题于更为普遍的情形中，进而通过对一般情形的研究去处理特殊情形的思考方式，不仅是可行的，而且是必要的．正因为如此，实践和归纳成了数学家寻找真理和发现真理的主要手段。
2.1(2)数学归纳法及其应用举例
第二章 极 限
一 数学归纳法
北京大峪中学高三数学组
数学归纳法及其应用举例
2.1数学归纳法及其应用举例
（2）
北京大峪中学高三数学组
数学归纳法及其应用举例
数学归纳法 1.先证明当n 取第一个值n0(如n0=1)时命题成立 2.假设当n=k(kN*,kn0)时命题成立，再证明当n=k+1 时命题也成立， 由1、2可知命题对大于等于n0的所有自然数都成立 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉
归纳假设，除l外的其他k条直线的交点个数为 f(k) k(k1)
∵任何两条直线不平行，
2
∴直线l必与平面内其它k条直线都相交(有k个交点)；
又∵已知任何三条直线不过同一点， ∴上面的k个交点两两不相同，且与平面内的其它 k ( k 1)
2 个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是
k(k1)k(k1)[k (1)1]
北京大峪中学高三数学组
课堂练习
p67
数学归纳法及其应用举例
北京大峪中学高三数学组
数学归纳法及其应用举例 •1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3
•2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
数学归纳法在中学数学中的应用
数学归纳法在中学数学中的应用篇一：数学归纳法在中学数学中的应用龙源期刊网.cn数学归纳法在中学数学中的应用作者：冀萍来源：《软件·教育现代化》2019年第05期[摘要]数学归纳法是根据归纳原理应用演绎推理的一种特殊的数学推理方法，它在许多数学问题的证明中起着重要作用。
本文主要阐述了数学归纳法的本源以及其它形式，并且列举出数学归纳法在解决数学问题方面的应用。
[关键词]数学归纳法本源命题篇二：数学归纳法在中学数学教学中的应用浅谈数学归纳法在中学数学教学中的应用摘要：数学归纳法是一种十分重要的数学论证方法，常用于与正整数有关命题的证明。
本文是从数学归纳法的概念、正确的应用数学归纳法、灵活的应用数学归纳法来说明数学归纳法在中学数学教学中的应用。
关键字：数学归纳法；正确、灵活的应用引言数学归纳法是一种十分重要的证明方法，在数学学习中的应用十分广泛，而首先使用数学归纳法的是意大利数学家马奥罗修勒斯，他在1575年的著作《算术》中，用数学归纳法证明了前n个正奇数之和是2n。
正是有了这个方法，我们在中学的数学学习中，数学归纳法被广泛用来解决一些数列、不等式、整除等问题。
一、数学归纳法的概念在介绍什么是数学归纳法的之前，我们先来看看我国著名数学家华罗庚是这样评价数学归纳法的：“把数学归纳法学好了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益。
[1]”由此可见数学归纳法是多么重要，那么究竟什么是数学归纳法呢？数学归纳法就是数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要是从特殊到一般的思想，它使我们能够在一些个别事例的基础上，对某个普遍规律做出判断，作为证明某些与自然数有关的命题的一种推论方法，在解数学题中有着广泛的应用。
在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
那么用数学归纳法论证的一般步骤是什么呢？第一步是证明命题n?n0时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n?k时命题成立，再证明当n?k?1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据。
浅议数学归纳法的应用
浅议数学归纳法的应用
数学归纳法是一种思维方式，它是从一般原理出发，到达特殊情况的规律性思维模型。
它具有可数的、可经验的推导，它的作用深远，在科学研究,学术分析及决策等方面都得到认可和应用。
下面就以列表的形式总结数学归纳法的应用：
一、在数学研究中的应用
1.可以从定理的初始情况开始，利用数学归纳法来证明定理，推导出新的定理。
2.可以根据定义形式推导出结论，从而解决问题。
二、在科学研究中的应用
1.可以利用它来构建模型。
2.可以用它来分析和预测实际问题，例如物理或营养等问题。
三、在社会学分析中的应用
1.可以用来解释不规则的社会现象，以及危机的滋生以及发展。
2.可以用它来探索社会变化规律并发现分布规律。
四、在计算机技术领域中的应用
1.可以用数学归纳法来识别微机程序的性质，从而优化程序的性能。
2.可以用数学归纳法来识别编程错误，从而及早改正错误并保证程序的安全运行。
总之，数学归纳法是一种有效的思维方式，它的作用不仅仅是在数学领域，而且还在科学研究、学术分析、社会学分析和计算机技术领域中都有其实际的应用，从而为社会的进步和发展做出了贡献。
数学归纳法的原理及应用
浅谈数学归纳法的原理及应用姓名：王磊峰单位：砀山县豆集学区范套小学浅谈数学归纳法的原理及应用摘要：数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种论证方法,也是数学证明中的一个强有力的工具，无论在初等数学还是高等数学中都有广泛的应用。
本文讨论了数学归纳法的理论依据、应用功能以及应用数学归纳法应注意的问题等。
关键词：数学归纳法；匹阿诺公理；应用；推理；命题；类型数学归纳法是数学中最基本也是最重要的证明方法之一，它在各个数学领域分支中都有极大的应用，因为使用面比较广，所以涉及的知识和技巧比较多，在本文中将介绍数学归纳法的产生、发展和确立并分别举例说明数学归纳法在各个方面的应用。
1数学归纳法的产生、发展和确立1.1数学归纳法的产生数学归纳法的产生经历了一个较长的历史时期，一般认为归纳推理可追溯公元六世纪的毕达哥拉斯时代。
这一时代杰出的数学家毕达哥拉斯利用点子数对级数求和问题进行了探讨，利用经过剖分后的正方形的直观形象，他确信无疑地得出：135+++ (2)-=，这里n n(21)有明显的推理过程，但这种推理只是简单枚举而没有碰到矛盾事实的归纳结果，因此是不完全的归纳推理，或者说只是一种寻求结论的手段，它只是作为一种猜想或假说，而不是可靠的，尽管如此，他仍为数学归纳法的产生奠定了一定的基础。
可靠的归纳推理是欧几里得对系数个数无穷的证明，虽然其中递推过程不甚明显，但基本思想却是按递推归纳原理指导的。
肯定地说，这一关于系数个数无穷的具体证明为后人对数学归纳法的认识提供了原形，促使人们加深了对数学归纳法的理解。
16世纪，经过文艺复兴洗礼的欧洲学者越来越意识到数学的重要性。
意大利数学家毛罗利科首先对全体自然数有关的命题的证明做了深入考察，他认为递归推理是指首先确定命题对于第一个自然数是真的，然后再去验证命题具有后继数也是真的。
于是，根据递推特性，命题对于第一个自然数的后继数为真，则对于第二个自然数也为真；对于第二个自然数为真，则对于第三个自然数也为真。
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法，它的基本思想是通过证明当某个命题对于某个特定的数成立时，就可以推出它对于下一个数也成立。
本文将探讨数学归纳法的应用，并通过实例进行解释。
一、数学归纳法的基本概念数学归纳法是一种基于数学归纳原理的证明方法。
它的基本思想是：首先证明当n等于某个特定值时，命题成立；然后假设当n=k时命题成立，通过这个假设，证明当n=k+1时命题也成立。
这样就完成了对于所有正整数的证明。
二、数学归纳法的步骤数学归纳法通常包含以下步骤：步骤一：基础步骤证明当n等于某个特定值时，命题成立。
这称为基础步骤，也是归纳法的起点。
步骤二：归纳假设假设当n=k时，命题成立。
这称为归纳假设，是归纳法的关键。
步骤三：归纳步骤通过归纳假设，证明当n=k+1时，命题也成立。
这称为归纳步骤，是归纳法的核心。
三、数学归纳法的应用举例下面通过两个例子，来具体说明数学归纳法的应用。
例子一：证明1+2+3+...+n=n(n+1)/2我们首先证明基础步骤，当n=1时，等式左边为1，等式右边为1(1+1)/2=1，两边相等，命题成立。
假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2成立，我们通过归纳步骤来证明当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2也成立。
根据归纳假设，1+2+3+...+k=k(k+1)/2，我们将等式两边加上(k+1)，得到1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)。
化简得到，1+2+3+...+k+(k+1)=(k^2+k+2k+2)/2=((k+1)(k+2))/2=(k+1)((k+1)+1)/2。
由此可见，当n=k+1时，命题也成立。
根据数学归纳法，对于所有的正整数n，等式1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立。
例子二：证明2^n>n^2对于所有n>=4成立首先证明基础步骤，当n=4时，等式左边为2^4=16，等式右边为4^2=16，两边相等，命题成立。
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １１浅谈数学归纳法在中学数学中的应用浅谈数学归纳法在中学数学中的应用Һ李英爽㊀郭㊀微㊀（北华大学数学统计学院，吉林㊀吉林㊀１３２０１３）㊀㊀ʌ摘要ɔ在中学数学中，数学归纳法是比较常用的证明方法，虽然它仅适用于一些与正整数相关的数学命题，但是在中学数学中的地位十分重要．为了帮助学生更好地了解数学归纳法的主要应用，本文首先介绍了数学归纳法的概念，然后给出了数学归纳法在解决问题时采用的步骤，最后列出数学归纳法在中学数学中的主要应用并举出相关的例子进行说明．ʌ关键词ɔ数学归纳法；中学数学；应用数学归纳法表面看着很简单，形式固定，但是很多学生难以理解其本质．有的同学在使用数学归纳法时完全靠生硬的记忆，不能掌握其真正的思想．那么，应该怎样理解数学归纳法的主要思想，解决问题时数学归纳法分哪几步，在中学数学中它都有哪些应用？本文就是在理解数学归纳法的概念，了解数学归纳法解题步骤的基础上，论述数学归纳法在中学数学中的主要应用，帮助学生使用数学归纳法证明一些复杂的命题．一㊁数学归纳法的概念数学归纳法是一种数学证明方法，主要用于证明某个命题在自然数范围内成立．在自然数之外的一些数学定理的证明也可以使用数学归纳法．数学归纳法在中学数学中是一种比较严谨的推理方法，主要用来解决与整数相关的数学问题，如证明一些等式和公式成立．二㊁数学归纳法的步骤数学归纳法在应用时分两步进行：第一步，证明命题在常数的情况下成立．从数学的角度看，命题在常数的情况下成立，那么命题在特殊的情况下也成立，这是证明命题成立的基础，是最基本的步骤，在实际解决问题中，通常用 １ 作为证明命题的起点．第二步，证明命题在任意常数下都成立．在实际解决问题中，我们通常采用未知数ｋ来代表一般情况．在ｎ＝ｋ的情况下命题成立，然后推导出ｎ＝ｋ＋１的时候命题也成立．这是证明命题成立关键的一步，同时它也代表着所要证明的结论具有普遍性．在归纳分析的时候，要将特殊的情况推广到一般的情况才能证明命题的正确．总的来说，数学归纳法的基本思路就是通过归纳总结来证明命题的成立．数学归纳法的第一步是很容易进行验证的，就是证明命题在特殊情况下成立．但归纳法的第二步是有点难度的，也是最核心的步骤．利用数学归纳法证明命题时，只有在这两步同时成立的情况下，才能证明命题正确．下面我们来探讨一下数学归纳法在中学数学中比较常见的应用，加深学生对数学归纳法的理解．三㊁数学归纳法的应用数学归纳法可以解决很多类型的问题．下面主要介绍数学归纳法在恒等式和不等式证明中的应用，以及在数列㊁几何问题㊁整除性问题中的应用．（一）数学归纳法在恒等式证明中的应用利用数学归纳法进行恒等式证明时，整个过程只需做到等式两侧的数值相等．例１㊀证明：ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋ ＋（３ｎ－２）＝（２ｎ－１）２（ｎɪＮ∗）．证明㊀当ｎ＝１时，左边＝１＝（２ˑ１－１）２＝右边，等式成立．假设当ｎ＝ｋ时，等式同样成立，即ｋ＋（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋ ＋（３ｋ－２）＝（２ｋ－１）２，则当ｎ＝ｋ＋１时，有㊀（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋ ＋（３ｋ－２）＋（３ｋ－１）＋３ｋ＋（３ｋ＋１）＝［ｋ＋（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋ ＋（３ｋ－２）］＋８ｋ＝（２ｋ－１）２＋８ｋ＝４ｋ２＋４ｋ＋１＝（２ｋ＋１）２＝［２（ｋ＋１）－１］２，也就是说，当ｎ＝ｋ＋１时等式成立，所以等式对于任意一个正整数ｎ都满足．（二）数学归纳法在不等式证明中的应用应用数学归纳法解决不等式的证明问题时，可以对不等式两边的形式观察分析，特别是不等式左边的形式，然后再找出当ｎ＝ｋ和ｎ＝ｋ＋１时左式的差异，弄清这些是解决这类问题的关键．例２㊀证明：１＋１３＋１５＋ ＋１２ｎ－１ɤ２ｎ－１（ｎɪＮ∗）．证明㊀当ｎ＝１时，不等式显然成立．假设当ｎ＝ｋｋȡ１，ｋɪＮ∗()时，不等式同样成立，即１＋１３＋１５＋ ＋１２ｋ－１ɤ２ｋ－１，则当ｎ＝ｋ＋１时，左边＝１＋１３＋１５＋ ＋１２ｋ－１＋１２ｋ＋１ɤ２ｋ－１＋１２ｋ＋１＝２ｋ－１２ｋ＋１＋１２ｋ＋１ɤ（２ｋ－１）＋（２ｋ＋１）２＋１２ｋ＋１. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １１＝２ｋ＋１２ｋ＋１＝２ｋ＋１，即ｎ＝ｋ＋１时，不等式成立．所以不等式对于任意一个正整数ｎ都成立．（三）数学归纳法在数列中的应用有时应用数学归纳法解决数列的有关问题时，相对于其他方法思路可能要更通畅一些．例３㊀设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ．已知ａ１＝１，２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３（ｎɪＮ∗），求：（１）ａ２的值；（２）数列｛ａｎ｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明；（３）求数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ．解㊀（１）将ｎ＝１代入２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３（ｎɪＮ∗），得ａ２＝４．（２）由于ａ１＝１，２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３（ｎɪＮ∗），可以求出ａ２＝４，ａ３＝９，ａ４＝１６，ａ５＝２５，ａ６＝３６， 由此猜想：ａｎ＝ｎ２．下面用数学归纳法进行证明：１）当ｎ＝１时，ａ１＝１２＝１，命题成立．２）假设当ｎ＝ｋ（ｋɪＮ∗）时命题成立，即ａｋ＝ｋ２成立，则当ｎ＝ｋ＋１时，有㊀ａｋ＋１＝２Ｓｋｋ＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝２ａ１＋ａ２＋ ＋ａｋ()ｋ＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝２１２＋２２＋ ＋ｋ２()ｋ＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝２ｋˑｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）６＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝ｋ２＋２ｋ＋１＝（ｋ＋１）２．即当ｎ＝ｋ＋１时命题也成立．综上可知，ａｎ＝ｎ２对于任何ｎɪＮ∗都成立．（３）由（２）知ａｎ＝ｎ２（ｎɪＮ∗），则ａｎ＋１＝ｎ＋１()２＝ｎ２＋２ｎ＋１，又因为２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３，则Ｓｎ＝ｎ２㊃ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３()＝ｎ２㊃ｎ２＋２ｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３()＝ｎ２㊃２３ｎ２＋ｎ＋１３()＝１３ｎ３＋ｎ２２＋ｎ６．（四）数学归纳法在几何问题中的应用数学归纳法不仅适用于平面的几何问题，也适用于部分立体几何问题．下面举例说明数学归纳法在几何问题中的应用．例４㊀设多个圆心在同一条直线且两两相交的半圆，试求：这些半圆的交点最多将半圆分割成多少个圆弧？解㊀设半圆个数为ｎ，最多分割圆弧的个数为函数ｆ（ｎ），如图１所示，可知当ｎ＝２时，ｆ（ｎ）＝ｆ（２）＝４＝２２．当ｎ＝３时，为了让三个半圆相交得到的圆弧最多，就应该让第三个半圆和前两个半圆都相交，如图２所示，可得ｆ（３）＝９＝３２．同理可知，当ｎ＝４时，ｆ（４）＝１６＝４２．因此猜想有ｎ个半圆时，最多可以将半圆分割成ｆ（ｎ）＝ｎ２个圆弧．图１㊀㊀㊀图２用数学归纳法进行证明：当ｎ＝２时命题成立．假设当ｎ＝ｋ时命题成立，即ｆ（ｋ）＝ｋ２．也就是说，当直线一边有ｋ个两两相交的半圆时，最多可以分割成ｋ２个圆弧．当ｎ＝ｋ＋１时，求第ｋ＋１个半圆与之前的ｋ个半圆都相交时可以得到最多的圆弧．此时，原来前ｋ的半圆都被第ｋ＋１个半圆割出了一条新圆弧，有ｋ条圆弧，第ｋ＋１个半圆都被原来所有的半圆分割成了ｋ＋１个圆弧，因此ｆ（ｋ＋１）＝ｋ２＋ｋ＋ｋ＋１＝（ｋ＋１）２，故当ｎ＝ｋ＋１时命题成立．即当有ｎ个半圆时，可以将半圆最多分成ｆ（ｎ）＝ｎ２个圆弧．（五）数学归纳法在整除性问题中的应用利用数学归纳法解决整除性问题，首先需要知道一些整除性方面的知识，即如果ａ能被ｃ整除，那么ａ的倍数ｎａ也能被ｃ整除；如果ａ，ｂ都能被ｃ整除，那么它们的和或差ａʃｂ也能被ｃ整除．例５㊀证明：ｆ（ｎ）＝（３ｎ＋１）㊃７ｎ－１（ｎɪＮ∗）能被９整除．证明㊀当ｎ＝１时，ｆ（１）＝（３＋１）㊃７－１＝２７，２７显然能被９整除，故命题成立．假设当ｎ＝ｋ时，原命题成立，即ｆ（ｋ）＝（３ｋ＋１）㊃７ｋ－１能被９整除，则ｆ（ｋ＋１）－ｆ（ｋ）＝［（３ｋ＋４）㊃７（ｋ＋１）－１］－［（３ｋ＋１）㊃７ｋ－１］＝９㊃（２ｋ＋３）㊃７ｋ，故ｆ（ｋ＋１）＝ｆ（ｋ）＋９㊃（２ｋ＋３）㊃７ｋ能被９整除．综上可知，对于一切ｎɪＮ∗原命题都恒成立．结束语数学归纳法是中学数学中比较重要的学习内容，是证明命题成立的重要方法之一，它的核心就是递推思想，它可以很好地弥补不完全归纳法的不足，在多个教学环节得到了广泛应用．ʌ参考文献ɔ［１］田定京．数学归纳法在高考数列题中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１３，（２１）：７９．［２］王治平．例谈数学归纳法的应用［Ｊ］．高中数学教与学，２０１７，（１）：４５－４６．［３］张搏翰．数学归纳法在几何解题中的应用［Ｊ］．中学数学，２０１７，（１１）：７３－７４．. All Rights Reserved.。
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用数学归纳法是一种常用的数学证明方法，用于证明一类问题的成立。
它是将研究对象分为基本情况和归纳步骤两个部分，通过证明基本情况的成立和归纳步骤的正确性来证明问题的成立。
数学归纳法的应用非常广泛，它能够深入到各个学科的研究领域，为解决问题提供了重要的工具。
首先，我们来了解一下数学归纳法的基本思想和步骤。
数学归纳法是基于自然数的性质展开推理的方法，它的基本思想是，如果一个命题在自然数1上成立，并且对于任意一个自然数n成立时，它在自然数n+1上也成立，那么这个命题对于所有自然数都成立。
数学归纳法的证明一般分为三个步骤：基本情况的证明、归纳步骤的证明和总结。
数学归纳法的最基本形式是强归纳法，也称为完全归纳法。
强归纳法的证明分为两个步骤：基本情况的证明和归纳步骤的证明。
基本情况的证明是证明命题在某个基本情况上成立，通常是在n=1时成立。
归纳步骤的证明是证明，如果命题在n=k上成立时，在n=k+1上也成立。
通过这两个步骤的证明，就可以得出结论，命题对于所有自然数成立。
数学归纳法的应用非常广泛，下面我们来看几个具体的例子。
首先是最简单的例子，证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
我们首先证明基本情况，当n=1时，等式成立。
然后我们假设当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
接下来我们证明，在n=k+1时等式也成立，即1+2+3+...+k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
我们将左边的等式拆分成两部分，前面的1+2+3+...+k，根据我们的假设等于k(k+1)/2，后面的(k+1)直接合并到(k(k+1)/2)的后面，得到(k(k+1)/2)+(k+1) = (k+1)(k+2)/2，证明了当n=k+1时等式成立。
最后通过基本情况和归纳步骤的证明，我们得出结论：1+2+3+...+n = n(n+1)/2 对于所有自然数n 成立。
除了数列求和的例子，数学归纳法还可以应用于证明不等式、恒等式等各种数学问题。
浅谈数学归纳法
浅谈数学归纳法作者：战逸耕高建华来源：《青年时代》2016年第15期摘要：数学归纳法在中学数学中具有重要地位，它对中学数学学习有很大帮助，本文就在学习数学归纳法的过程中出现的困难及怎样学好数学归纳法，进行了深入的剖析和讲解，以帮助学同学们更加科学的认识和应用数学归纳法。
关键词：数学归纳法；命题；递推数学归纳法中学数学中具有重要地位，在一些数学命题的证明中是一种重要方法，对于很多呈现规律性的命题，一般都可以采用数学归纳法进行证明。
在运用数学归纳法的过程中，很多同学经常对数学归纳法存在一些疑惑：一方面是它的方法本质不容易掌握，另一方面是归纳证明的步骤有时很难切入。
一般用数学归纳法证明一个命题时，必须包括两个基本程序：第一：证明当取第一个值时命题成立；第二：假设当取第个值时命题成立，证明当取第个值时命题也成立。
这两个步骤证明完毕，即可判定定此命题对成立。
这里的第一步是论证命题的基础；第二步是证明过程的核心，称为归纳步骤，第二步是证明命题的正确性是否能否从特殊情况推广到一般情况的依据。
这两个证明步骤相辅相成，密切相关。
缺少哪一步都会使得证明不完整。
如果只有基础步骤而没有归纳步骤，那就失去了一般性，从而使得论断的普遍性是不可靠的相反，假如只有归纳的步骤而没有基础步骤，则使得归纳中的假设步骤就会失去了依据，也会使归纳步骤的证明失去意义，即使归纳步骤得到证明，证明的结果也失去了可靠的依据，所以还是不能证明原命题的正确正确性。
刚接触数学归纳法的同学对于证明的过程和步骤往往会缺少深刻的理解，只是照搬书中和老师所教的方法，在用数学归纳法证明问题时，总感觉不知为何如此，只知其然不知其所以然，以为这种方法只是流于形式，证和不证好像没什么不同，这种思想是进一步学好其他数学知识的的绊脚石，同学们只有认清原理，理解方法的本质，才能学好用好数学归纳法，才能有信心学好其他数学知识。
下面我们深入分析同学们在学习中所产生的疑惑。
一种疑惑是：对基础步骤中只须证明时命题成立感到不可理解，认为应多证明几个自然数，才会呈现规律性。
浅谈数学归纳法在中学数学教学中的应用
浅谈数学归纳法在中学数学教学中的应用作者：卞艳妮来源：《新课程·中旬》2012年第11期摘要：数学归纳法作为一种数学证明方法有着广泛的应用，它不仅可以用来证明与自然数n有关的初等代数问题，在高等代数、几何、离散数学、概率论甚至是物理、生物、计算机等方面的应用也相当突出。
在用数学归纳法证明以上问题时，不仅思路清晰，大大降低了问题的复杂性，又能找出相应的递推关系，非常奏效。
关键词：数学归纳法；数学教学；证明；应用数学归纳法是高中数学中一种常用的论证方法，它虽然有一定的局限性，只适用和正整数有关的命题，但它在中学数学中的作用是不可或缺的。
因此，它不仅是高考数学的一个重要考点，也是一个难点。
在看似简单易懂、形式固定的外表下，它却使得很多学生不能真正掌握，难以理解其内在实质。
有些学生仅仅只是生硬地记忆和牵强地套用形式，没有真正体会到数学归纳法的核心思想。
我们应该怎样理解数学归纳法，在高中数学中又有哪些方面的应用呢？在哪些类型的题上使用可以更加方便？数学归纳法又有哪些局限性？我们应该怎样具体问题具体分析，更好地学习和利用数学归纳法呢？当然，数学归纳法在很多时候也会使解题变得复杂繁琐，因此我们要理解其实质，真正掌握正确运用数学归纳法的能力。
下面我们来探讨一下数学归纳法在中学数学中的应用。
一、应用数学归纳法证明恒等式应用数学归纳法证明的恒等式，包括与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、组合数公式及其恒等式等，证明过程中只要实现等式左右两边相等即可。
例1.用数学归纳法证明：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2（n∈N*）证明：（1）当n=1时，左边=1=（2×1-1）=右边，等式成立。
（2）假设n=k时，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）…（3k-2）=（2k-1）2那么，当n=k+1时有（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）=［k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）］+8k=（2k-1）2+8k=4k2+4k+1=（2k+1）2=［2（k+1）-1］2即当n=k+1时，等式也成立，对于任意正整数n，等式都成立。
数学归纳法在中学数学中的应用
但是 ， 如果 有这 样 一个 保证 ： 当第 一次 摸 出红 玻璃 球 时 ，
２ ． １ 不 一定从 １ 开始 ，也 就是数 学归纳 法里 的两句话 可 以改 ≥ｋ ｏ ） 时这 个命 题 正
当， ｌ 。 时这个 命题 正确 ； 假设 当 ， ｌ 下 一次摸 出的也 一定是红玻 璃球 。那么 ， 就不必 非礼 去一个一 成 ： 确 ， 那 么当 ｎ ＝ ｋ ＋ ｌ时这个 命题也 正确 。 个 地摸 了 ， 只要 第一次 摸 出来的确 是红玻 璃球 ， 就可 以不 在检
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数 学归纳 法在 中学数 学 中的应 用
山西 省 寿 阳 县第 一 中学 校（ ０ ４ ５ ４ ０ ０ ）冀 萍
［ 摘 要］ 数 学归纳 法是根 据归纳原理 应用 演绎推理 的 一种特 殊 的数 学推理 方法 ， 它在 许 多数学 问题 的证 明 中起 着 重要作用 。本 文主 要阐 本源 命 题
ｉ １ －
例： 证 明 差 数列 的 通项 公 式 ａ ｎ ＝ ａ ， ＋ （ —Ｊ ） ｄ （ ）（ 口 是 而 下一 步就是 要在 第 ｋ 号命题 成立 的前提 下 ， 证 明第 斛ｌ 首项 ， ｄ是 公差 ） 上 ，１ ， 证 明分析 ： 当ｎ ＝ ｌ 时， ａ ｌ ＝ ａ ｌ ， （ ） 式成 立 假设 当 ｎ ＝ ｋ时 ， （ ） 式 成立 ，
数学归纳法在中学数学中的应用
数学归纳法在中学数学中的应用作者：张先达来源：《经济研究导刊》2011年第14期摘要：文章详尽阐述了数学归纳法在高中数学中的一些相关应用，通过对它基本形式的学习和理解，对数学归纳法在解决和正整数相关的类型题中的作用做出肯定。
对与正整数有关的恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等，用相应的实例进行解析说明在各类型中数学归纳法的具体应用。
在很多时候学生的错误就是在于不能真正理解数学归纳法和存在的一些数学归纳法应用的思维定势。
我们应该去除学生在学习归纳法时的这些弊端，充分了解它的好处和局限，更好的去应用它来帮助我们解决相应的问题。
关键词：归纳法；应用数学；教学中图分类号：FG633.6 文献标志码：Ａ文章编号：１６７３－２９１Ｘ（２０11）14－０304－02数学归纳法是高中数学中一种常用的论证方法，它虽然有一定的局限性，只适用和正整数有关的命题，但它在中学数学中的作用是不可或缺的。
因此，它不仅是高考数学的一个考点，也是一个难点。
在看似简单易懂，形式固定的外表下，它却使得很多学生不能真正掌握，难以理解其实质。
有些同学仅仅只是生硬的记忆和牵强的套用，没有真正体会到数学归纳法的核心思想。
我们应该怎样理解数学归纳法，在高中数学中又有哪些方面的应用？在哪些类型题上使用可以更加方便？数学归纳法又有哪些局限性？我们应该怎样具体问题具体分析，更好的学习和利用数学归纳法呢？在本文中通过对数学归纳法基本形式理解的基础上，进一步论述了在解决很多和自然数函数有关的整式、不等式、整除和几何等问题时数学归纳法的应用。
当然数学归纳法，在很多时候也会使解题变的复杂繁琐，因此我们要理解其实质，真正掌握正确运用数学归纳法的能力。
数学归纳法的基本形式：（1）验证当n取第一个值时，命题正确：（2）假设n＝k时命题正确，证明n＝k+1时命题也正确：（3）根据（1）（2）断定命题对于全体自然数都正确。
例1：证明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2（n∈N*）证明：（1）当n＝1时，左边＝1＝右边，等式显然成立。
浅谈数学归纳法和在中学数学中的应用2
目录1、数学归纳法----------------------------------------------------------21.1归纳法定义 --------------------------------------------------------21.2数学归纳法表现的数学思想 -----------------------------------------3从特别到一般 ------------------------------------------------3递推思想 ----------------------------------------------------3 2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧 -------------------------------------42.1重申 -------------------------------------------------------------4两条缺一不行 ------------------------------------------------42.2技巧 -------------------------------------------------------------5认真用好归纳假定 --------------------------------------------5学会重新看起 ------------------------------------------------5在起点上下功夫 ----------------------------------------------6正确选用起点和过渡 ------------------------------------------7选用适合的归纳假定形式 --------------------------------------8 3、数学归纳法在中学数学中的应用 ----------------------------------------83.1证明有关自然数的等式 ---------------------------------------------83.2证明有关自然数的不等式 ------------------------------------------103.3证明不等式 ------------------------------------------------------103.4在函数迭代中的应用 ----------------------------------------------113.5在几何中的应用 --------------------------------------------------133.6在摆列、组合中的应用 --------------------------------------------153.7在数列中的应用 --------------------------------------------------153.8有关整除的问题 --------------------------------------------------16浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用福雄西南大学数学与统计学院，400715纲要 : 数学知识发生过程就是归纳思想应用过程，解题中应用归纳思想,不单能由此发现给定问题的解题规律，并且能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的命题．本文先表达了归纳的意义、种类，从而议论以归纳法为主要工具，去探究和发现数学识题的解题门路．数学归纳法作为由特别归纳出一般的一种思想方法，拥有两种基本义义，第一数学归纳法是一种推理方法，称为归纳推理，它能够为我们提出猜想，为论证供给基础和依照．其次归纳是一种研究方法，归纳是一种又创建性的探究式思想方法，能开发智力，拓宽思路，引出猜想，它在发现问题和探究解题门路的过程中起侧重要作用．数学归纳法可依照它的归纳事物能否完整分为两种基本形式——不完整归纳和完整归纳．本文还介绍了在数学解题过程中归纳发现的思虑方法：利用归纳法发现和提出数学猜想，利用归纳法发现问题的结论，运用归纳法发现解题门路等．重点词：数学归纳法；不完整归纳法；完整归纳法The simple discussion about mathematical induction and using in highschool mathWei FuxiongSchool of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, ChinaAbstract:The occurrence process of mathematical knowledge is precisely the application process of inductive ing inductive thinking in problem solving,not only can find a given law for this problem solving,but also can find new objective laws based on practise,put forward a new proposition.This article first describes the significance and type of induction,and then discuss induction as the main tool, to explore and discover mathematical problem solving approach. Mathematical induction, as summarized by the general as a special way of thinking, has two basic meanings, the first mathematical induction is a kind of reasoning, known as inductive reasoning, it can bring up us suppose ,Provide the basis and foundation for the argument. Second, induction is a research method, induction is a creative exploration of another type ofthinking, can develop intelligence, broaden thinking, leads to speculation, it plays an important role in finding the problem and ways to explore the process of problem solving. Mathematical induction, in accordance with its general matter is completely divided into two basic forms - incomplete induction and complete induction. This article also describes the process of mathematics problem solving way of inductive methods of discovery: using mathematical induction to find and put forward mathematical suppose, using induction to find conclusions of the problems, using induction to find problem-solving approach.Key words:Mathematical induction;incomplete induction ;complete induction1、数学归纳法1.1 归纳法定义大家知道，数学中的很多命题都和正整数 n 有关，这里所说的 n，常常是指随意的一个自然数，所以，这样的一个问题也就是一整数命题．在数学识题中，每一类问题都有一种特意的方法来解决．数学归纳法能够说是解决有关整数问题的一种工具．归纳法是从个其余论断归纳出一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依靠于各个个别论断的正确性，它能够分为完整归纳法和不完整归纳法两种，完整归纳法只限制于有限个元素，而不完整归纳法得出的结论不必定拥有靠谱性，数学归纳法属于完整归纳法．归纳法的基础是察看与实践，它是人类认识自然、总结生活、生产经验、办理科学实验资料的一种十分重要而有广泛应用的思想方法．在生活和生产实质中，归纳法也有宽泛应用．流行于我国各地的农谚如“瑞雪兆丰年”、“霜下东风一日晴”等，就是农民依据多年的实践经验进行归纳的结果．物理学家、化学家的最基本的研究手段是实验和归纳．比如化学中的元素周期表，就是用归纳法发现真谛的典型例证．再比如气象工作者、水文工作者依照累积的历史资料作气象展望，水文预告，用的就是归纳法．这些归纳法却不可以用完整归纳法．数学归纳法是一种特别的论证方法，他使我们能够在一些个别实例的基础上，对某个广泛规律做出论断．固然说数学归纳法合用于有关整数的问题，但是它在好多半学识题中都有重要的作用，在中学数学中，好多不等式问题、几何问题、函数迭代问题、整除性问题用它来解决都能收到很好的成效．数学归纳法证明问题的步骤是：证明一个与正整数有关的命题重点步骤以下：(1)证明当 n 取第一个值n0时结论正确；(2)假定当n＝k ( k N ，k≥n0)时结论正确,证明当n＝k＋1时结论也正确．达成这两个步骤后 ,就能够判定数题对从ｎ开始的全部正整数n 都正确．1.2数学归纳法表现的数学思想从特别到一般“从特别到一般”与“由一般到特别”乃是人类认识客观世界的一个广泛规律，而在人类探究世界神秘的奋斗中出生和发展起来的任何一门学科，都将遇到这一规律的限制．数学自然也不例外，相同要被归入这一规律的模式之中．因为事物的特别性中包含着广泛性，即所谓共性存在于个性之中，而有关于“一般”而言，特别的事物常常显得简单、直观和详细，并为人们所熟知．另一方面，因为“一般”归纳了“特别”，“广泛”比“特别”更能反应事物的实质，因此当我们在办理问题的时候，若能置待解决的问题于更加广泛的情况中，从而经过对一般情况的研究去办理特别情况的思虑方式，不单是可行的，并且是必需的．正因为这样，实践和归纳成了数学家找寻真谛和发现真谛的主要手段．如勾股定理，多面体的面顶棱公式，前 n 个自然数的立方和公式，二项睁开式和辉三角形等，无一不是察看、实验和归纳的结果．伟大的数学家欧拉曾说“数学这门科学，相同需要察看、实验”．不足为奇，大数学家高斯也曾说过，他的很多定理都是靠归纳法发现的，证明不过一个补行的手续．纵观古今，科学的发展史其实也是一部察看史、一部猜想史，更是一部论证史．数学的发展更是这样的．科学结论的获得大概包含以下几个阶段：察看、实践→推行→猜想一般性结论→论证结论．而数学归纳法恰好是论证结论的最正确方法．这与数学大师所说的“先从少量的案例中探究出规律来，再从理论上论证这一规律的一般性，这是人们认识自然的客观法例之一”的看法大概相同．递推思想此中（ 1）是递推的基础，没有它归纳假定就失掉了依照，递推就没有奠定．（2）是递推的依据，有了它无穷次递推成为可能．所以数学归纳法的两个步骤缺一不行．数学归纳法证题的两个步骤固然都是重要的但在证题时第一步较易第二步证明较难．解决的重点就是做从 k 到 k＋ 1 的转变工作 , 而这类转变工作常常波及到代数、三角、几何等知识 , 有时还要用不一样的方式进行．学生常常感觉很困难 , 苦思冥想都难以达成这一步．针对这个问题本文把中学数学教材及一些常赐教课参照资料顶用数学归纳法证明的各样问题进行整理分类并以若干比较典型、比较困难的问题作为示例,商讨数学归纳法在中学数学中的应用．2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧2.1重申两条缺一不行在这里，一定重申一下，在数学归纳法的步骤里，两条缺一不行．不要认为，一个命题在 n＝1 的时候，正确；在 n＝2 的时候，正确；在 n＝3 的时候也正确，就正确了．老实说，不要说当 n＝ 3 的时候正确还不算数，就算当 n＝1000 的时候正确，或许 1 万的时候正确，能否是对全部自然数都建立，还得证了然再说．不如举两个例子：例 1 费马（ Fermat）是 17 世纪法国有名的数学家，他曾认为，当n ∈N 时，2n n＝，，，，作了考证后获得的．因为当2 ＋１必定都是质数，这是他对01234n ＝ 0，1，2，3，4 时，它的值分别等于3，5，17，257，65537．这五个数都是素数．后225＋１＝ 4 294 967 297＝来， 18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证了然6 700 417×641，从而否认了费马的推断．没想到当 n＝5 这一结论便不建立．以后，有人还证了然当 n＝ 6， 7，8，9 的时候，式子的值也都不是素数．因而可知，数学归纳法的第（ 2）步是至关重要的．例2全部的正整数都相等．这个命题明显是荒唐的，但是当我们丢开“当n＝ 1 的时候，这个命题是正确的”无论，那么能够用数学归纳法来“证明”它．这里，第k 号命题是：“第k－ 1个正整数等于第k 个正整数”，就是k－1＝k，两边都加上1，获得k＝k＋1．这就是说第k 个正整数等于第k＋1 个正整数，这不就证了然全部的正整数都相等吗？错误就在于我们没有考虑当n＝ 1 的状况．因而可知，考证初始值对数学归纳法证明问题时是特别重要的．2.2技巧认真用好归纳假定假如说在用数学归纳法证题时．归纳过渡是解题的重点，那么归纳假定就是过渡的基础，数学归纳法之所以显得有生命力，就是因为它避开了直接接触n 的随意性，而把证明过程变为为一个“连环套”，使得人们在考证当n＝ｎ建立以后，要再在“n＝k已建立”的假定基础上，证出“当 n＝k＋1 时，命题也建立”就行了．这就意味着只需要再往前迈出一步就够了，因此大大减少了论证中的不确立性，既然这样，运用归纳假定自然极为重要．我们甚至能够说，“如何想方设法地创建条件以利用归纳假定？”的问题，正是论证者们在此应多考虑的最中心的问题．例 3 在一块平川上站有 n 个人．对每一个人来说，他到其余人的距离均不相问．每人郁有一支水枪．当发出火灾信号时，每人都用水枪击中距他近来的人．证明，当 n 为奇数时，此中起码有一人身上是干的．证 : n ＝1 时，结论明显建立．设命题对“n＝2k 一 1 建立，要证当 n＝2k 十 1 时命题也建立．设 A 与 B 两人之间的距离在全部的两人间的距离中为最小．取消A，B 两人，则由归纳假定知，在剩下的2k 一 1 个人中间，起码有一人 C 的身上是干的．再把A,B 两人加进去，因为 AC AB，BC AB,所以 A， B 两人都不会用水枪去击C，从而 C 身上仍旧是干的．所以对全部奇数n 命题都建立．在这个问题中，先撤出两人是为了使用归纳假定( 依照老例，这叫做“退” ) ．但在退出以后，还应再进；因为我们的目标是解决k 十 1 的情况．既然“退”是为“进”服务的，所以在“退”的时候就应该为“进”作好安排．我们之所以撤出 A 和 B，而不撤出他人，就是为了能方便地将他们再加进去．学会重新看起为了实现归纳过渡，一定利用归纳假定．但是，为了归纳假定，有时需要各样技巧．那么，如何才能知道该使用什么技巧呢？这里用得着数学大师华罗庚教授的话：“擅长‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失掉重要性的地方，是学好数学的一个诀窍！”在数学归纳法中，最原始而不失重要性的地方，即是最开头的几步，往常也就是n＝1，2，3 的情况．凡是有些经验的人都知道，像这些简单的情况议论是最合算也是最靠谱的．事实上，在好多问题中，假如真实把这些最开头的几步看破了，弄清楚了，想认真了，那么解决整个问题的方法也就有了．例 4 设正数数列｛ a ｎ ｝知足关系式 a n 2≤ a ｎ －aｎ＋１ ，证明，对全部正整数 n 有a ｎ ＜１．ｎ证明： n ＝1 的情况明显，而当 n ＝2 时，因为，１2（1－２ 1），a ２ ≤ a １ － a 1 ＝ ４ － 2a１＜2知断言也建立．假定当n＝ｋ的时候，断言建立，即a ＜１．则当＝ｋ＋1的时ｋｋn2１－（ 1２１1 １ ２ k －１ k －１１ ．知候，有，aｋ＋１ ≤ a ｋ － a k＝ 2 －a ｋ）≤ －（ 2 － ）＝ ２ ＜ ２ ＝４ ４ ｋ kk －１ k ＋１１ 断言也建立．所以由数学归纳法原理知对全部正整数n ，都有 a n ＜．ｎ在上边的论证中，“ n ＝2”并未在归纳过渡中发挥作用，所以按理说来是不用考证2 这一步的．但是，它却启迪了我们如何将（a １ － a １）改写成一种便于使用归纳假定的形式，而这类启迪对推行归纳过渡是特别重要的．在起点上下功夫起点状况的重要性其实不不过表此刻为归纳过渡供给启迪， 因此应该注意愿起点状况议论．之所以重申向起点状况议论，不过因为，一般来说起点状况多属详细考证，难度往常不大，所以简单忽视对以后面的归纳过渡的启迪意义．但是有时，我们也会碰到一些问题，在归纳的第一步上就很难，需要特别认真的下一番功夫．这时，常常需要宽阔思路，找寻合理的切入点，有时还需用到一些其余的知识．例 5证明，对全部自然数 n ，都存在自然数 x ｎ 和 y ｎ 使得２ ２ ｎx ｎ ＋ y ｎ ＝ 1993证明：当 n ＝1 时，取 １ ， １ 即可，此因x ＝43y ＝1222 184914419934312假定当 n ＝ｋ时，存在自然数 xk 和yｋ ，使得xk2＝ 1993ｋ，2＋ y k（1993x２21993k 2）（1993 y ）＝．那么明显就有ｋ＋ｋ足见可取xk 2＝1993xk，yk 2＝1993 yk，这就是说只需 n＝ｋ时断言建立，即可推得n＝k+2 断言也建立．但因为我们只证了然n＝ 1 时断言建立，所以联合“ n＝k”“ n＝k＋2”，我们仅证了然 n 为奇数时断言建立．为了得出 n 为偶数时的结论，我们还应证明 n＝2 时断言建立．注意到 432122199322，所以只需令x2＝ 4312 ＝1705 ，y2＝ 2 43222212＝1032 ，那么就有x2＋y2＝ 17051032222＝ 4312＋ 4 432 122＝ 432122 219932可见当 n＝ 2 时断言也建立，于是联合“ n＝ｋ”“n＝ｋ＋ 2”，便知断言对全部偶自然数 n 也建立．综合上述，知对全部自然数n 断言都建立．这个例子告诉我们：为了便于归纳，能够不限制于“ n＝k” “n＝ k＋1”（即一步一跨），而能够因题制宜，采纳大跨度跳跃，但此时应注意相应地增加起点，一般来说，采纳多大跨度，就应该设多少个起点．正确选用起点和过渡我们已经知道，在数学归纳法的基本形式之下，第一次往常是由考证n＝n0做起，这叫做“起步”，ｎ叫做“起点”，在往常状况下，起点一般只有一个，第二步则是由“ n＝k”跨到“ n＝k＋1”，即每次跨一步．换句话说，往常是以“跨度” 1 行进，那么这能否是说，这类安排起点和跨度的方式就必定是不可以改变的呢？其实不是的！人们完整能够依据问题的需要，对起点和跨度作灵巧和适合的安排，可是需要注意的是，绝对不可以造成逻辑上的破绽．起点是特别重要的，对起点及起点邻近的一些命题的观察，不单能够考证 n＝ｎ时建立．并且能帮我们发现推行归纳过渡的方法．而选用起点方法好多，需要视详细问题而定，在此就不阐述了．例 6随意n条直均能重合成一条直．个命是荒的，当 n＝ 2 就不可以建立．但假如我忽了一点，而采纳以下的“ 明”，那么就有可能陷于荒而于解脱：当 n＝ 1 ，命然建立．假当 n＝ k ，命已建立．那么当 n＝ k＋ 1 ，能够先此中 k 条直重合一条直，再条直同剩下的一条重合一条直，即知命也可建立．所以随意 n 条直均能重合成一条直．个“ 明”中的上的破绽，就在于在行渡，需要用到“可将随意两条直重合一条直”的断，而一断倒是未加明，并且在事上也是不可以加以明的．由此可，真观察起点邻近的命，并其建立与否，是何等之重要！但是，能否是在每一个的明中，都需要第一起点邻近的一命，其实不是的．终究能否需要以及需要几个，完整取决于命自己的特色，特别是取决于在行渡的需要．取适合的假形式我已知道，在数学法的基本形式中，假是以“假当n＝k ，命建立”的形式出的．其，其实不是假的独一形式．在必需的候，能够将假中的“ n＝ k”改写“ n≤ k”．事上，在好多的明中，人就是么做的，有些人把采纳种假形式的数学法称作第二法．第二数学法在好多的明中我来方便．因为第二数学法在中学教材中并未说起，高考也不作要求，不过在中有所要求，所以在此不例子．若感趣，可参照《漫数学法用技巧》一．3、数学归纳法在中学数学中的应用3.1证明有关自然数的等式例 7明前 n 个自然数的和s1n ＝1＋2＋3＋⋯＋n＝n n 1．2明：1、 s11＝1＝1 1 1，命建立．２2、假s1n ＝1＋2＋3＋⋯＋n＝n n 1，2s1n1＝ 1＋2＋3＋⋯＋ n ＋（ n ＋1）＝n n 1＋（ n ＋1）2n 1 n2＝２n 1n1 1＝２．命 明完 ．例 8明前 n 个自然数的平方和 s 2n ＝ 12 ＋ 22＋⋯n2＝ n n 1 2n 1 ．６明： 1、 s 21２ ＝ 1 1 1 2 1．＝１６2、假 s 2n＝ n n1 2n 1 ，６s n 1＝ n n 1 2n 12 ＋ n 12６＝ n 1 n 11 2 n 1 1 ，６命 明完 ．２２例 9明：前 n 个自然数的立方和 s 3nｎ（ｎ＋１）＝４．121 2明： 1、 s 31 ＝ 131＝．４２ ２2、假 s 3n ＝ ｎ（ｎ＋１），４２２3s 3 n1ｎ（ｎ＋１）＋n＝４1n 1 2 n 1 1 2＝４，命 明完 ．3.2 证明有关自然数的不等式n例 10（ 奴利不等式）用数学 法 明： 1等于 0，n 是大于 1 的自然数．n ， 里且不明： 1、 于 n ＝ 2，因2，故不等式是正确的．2、假 不等式 于n=k 是正确的， 里ｋ是某一个自然数，就是 ，k，由假得，1，从而有1ｋ， 当 n=k+1k11是正确的， 可由不等式两 各乘以 111 k获得，上不等k12k 2，便可式可改写1k1 k，将上边不等式右 舍去正知所求 不等式是正确的．例 11n 大于 1 的自然数，求 ：1 ＋ 1 ＋⋯＋11 ．n 1 n 2 nn 24明： 1、当 n ＝2 ，1121 ．命 建立．2 222 、假 当 n ＝ｋ ，命 建立， 当 n ＝k+1 ，1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1nn 1 n 2 n＝ 1 ＋ 1 ＋⋯1kk 1 k 11 1 k1 2＝（1＋ 1＋⋯＋1 ）＋（1 ＋ 1 －1）k 1k 2k k2k 1 2k 2 k 1 ＝（ 1＋ 1 2 ＋⋯＋ 1 ）＋（1 － 1 ）k 1 k k k2k 1 2k 2由 假 知1 ＋ 1＋⋯＋ 11 ，而 1 － 1，k 1 k 2k k 24 2k 1 2k 2所以1 ＋ 1 ＋⋯1 1 ，k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 24此即 明当 n ＝ k ＋ 1 ，命 也建立，所以 于任何大于 1 的自然数命 都建立．3.3 证明不等式例 12aaL a０ b bL b０．（ n>1）１２ｎ和 １ ２ｎ求证：a 1b 1a 2b2La nb n a 1 b n a 2 b n 1 L a n b 1证明： 1、当 n ＝2 时，因a－ a０ bb０，所以１ ２， １ － ２a 1 a 2b 1 b 2０，即a 1b 1a 2b 2a 1b 2a 2 b1，命题明显建立．当 n ＝ 3 时，由 a1 a 3 b 1 b 3．可知命题也建立．2、假定当 n=k的 时 候 命 题 成 立 ， 则 当 n=k+2 时 ，a a k 2bbk 2０ ，即 a 1 b 1ak 2 b k 2a 1bk 2ak 2b1，可 以推 出，１ １a 1b 1 a 2 b 2 La k 1 bk 1＝ a 1b 1a k 2 bk 2a 2b 2 a 3b 3 La k 1bk 1a 1bk 2a k 2b1a 2bk 1a 3b k La k 1b2故当 n=k+2 时，命题建立，于是关于随意大于1 的自然数 n ，原不等式建立．3.4 在函数迭代中的应用一些比较简单的函数，它的 n 次迭代表达式，能够依据定义直接代入计算，归纳出一般规律后，再用数学归纳法予以证明．所以，直接求法的实质，就是数学归纳法．其n中，重点是经过不完整归纳法，找出fx的一般表达式．n例 13 f xqx ，求fx．解：由定义，f xqx ．22fx f f xq qxq x，3223f x f fxf q xq x ．一般地，由不完整归纳可猜想，nx nx ．f q事实上，因为假定上式建立，则有，n 1x f f nf xnf q xnq q xn 1q x．n所以，由数学归纳法知，f x例 14 f x x2，求 f nx．解：由定义， f x x2，f 2f f xxf 3f f2x xq n x对全部的自然数n 都建立．f222x22x x，f2223x x，一般地，可猜得，f n2nx x ．假定上式建立，则有f n 1n xx f ff x2n2 n 1．xnx2n由数学归纳法知，f x对全部自然数 n 都建立．3.5在几何中的应用例 15Ａ、一条直被它的n 个点分红几个部分？解：用F1n表示所分部分的个数，然有F1nn 1 ．Ｂ、一个平面被它上边的n 条直分红多少个部分？（里每两条直订交，但每三条直没有交点，即n 条斜交直）解： 1、一条直将平面分红两个部分．2、假我已知道n 条斜交直将平面分红F2n个部分，而考，n＋1 条斜交直的状况．原来的 n 条将平面区分红F2n个部分；第 n＋1 条直 l ，依据假，与其余 n 条直订交于 n 个不一样的点，些交点将直 l 区分 n＋1 个部分（Ａ）．直l 切割平面上原有的n＋1 个部分，所以在原有的基上又增添了F 1n＝n＋1个．所以，F2n 1＝F2n＋F1n＝F2n＋n＋1．我用数 n－ 1， n－ 2，⋯， 2，1 取代等式中的 n，获得：F 2n＝F2n 1＋n，F 2n 1＝F2n 2＋n－1，⋯⋯⋯F 23＝F22＋3，F 22＝F21＋2．将以上等式相加，因F21＝2，我有，F 2n＝F21＋［n＋（n－1）＋⋯＋2］＝1＋［ n＋（ n－1）＋⋯＋ 2＋1］＝1＋n n 12ｎ2+ｎ+２＝２．Ｃ、空 被 n 个平面（ 些平面每三个订交于一点，但每四个没有交点，即n 各斜交平面）区分红多少个部分？解： 1、一个平面将空 分红两个部分．2 、假 我 已 知道空 被n 个斜交平面区分红F 3nn ＋ 1 个斜交平面的情况．原来的 n 个平面将空 区分F3n个部分，而后考个部分， n 个平面ｎ2+ｎ +２与第 n ＋1 个平面订交于 n 条斜交 ，所以将它区分Fn ＝２个部分（2Ｂ）．所以，我 获得以下关系：２ｎ＋ｎ＋２F 3n 1＝F 3n＋F 2n＝F3 n ＋２我 用 n －1，n －2，⋯， 2，1 取代 n ，有：F 3 n ＝ F3 n 1 ＋ n 1 2+ n 1 + ２２F 3n 1＝F3 n 2 ＋n 2 2+ n 2 +２２⋯⋯ ⋯２F 3 ＝F2 ＋ ２ +２ +２２33２F 2 ＝ F1１＋１＋２＋２33将 些等式相加，得：F 3 n ＝ F3 1 ＋ 1２２ ２］＋2 ［（ｎ－１）＋（ｎ－２） ＋⋯＋１1［（ n －1）＋（ n － 2）＋⋯＋ 1］＋12ｎ22n n 1 2n 1＋n n 1 ＋n －1＝2＋４12n 1n2n 6＝６．3.6 在摆列、组合中的应用因为数学 法能够解决有关自然数的 ， 而摆列 合与自然数亲密有关， 所以，在摆列 合的多 ，都能够用数学 法来 明．比方教材中出 的摆列数公式、合数公式、自然数 n 的 乘公式，二 式定理等重要公式，都能用数学 法加以 明．下边我 一个 的例子．例 16 明： n 个元素的全摆列的种数能够按以下公式求得：Pn ＝ 1 2 3 ⋯ nn ! （ n 是自然数）．明： 1、 于 n ＝1，上式 然是正确的， P 111! ．2、假 于 n ＝ k ，它是正确的，即 Pkk ! ．当 n=k+1 ，假定我 已 成了 k 个元素的全部可能的全摆列， 它 的种数是 Pk 种，在每一种 k 个元素的全摆列中，我 加入第 k ＋1 个元素， 第 k ＋ 1 个元素的放法有k ＋ 1 种 ， 由 分 步数 原 理 ， 可 得 ： k ＋ 1 个 元 素 的 全 排 列 数 Pk 1＝Pk k 1k !k 1k1 ! ．从而，当 n ＝ｋ＋ 1 上式也正确．所以， 全部自然数 n 它都正确，命 明完 ．3.7 在数列中的应用数列是中学数学的一个重要容，此中等差数列、等比数列尤 重要，它与高中数学中的好多知 都有 系，作 解决整数 的数学 法，同 能够用来解决一些有关数列的知 ．如等差数列、等比数列的通 公式以及前n 和公式的 明都需要用数学法，下边我 看几个例子．例 17明：等比数列 ｛ a n ｝的通 公式 a n ＝ a 1qn 1．（此中 a1 是数列的首 ，q 公比）明： 1、当 n ＝1 ，等式建立，因 a1 ＝a 1q＝ a1 ．2、假 ， 于 n ＝ k 它能建立： ak k1a 1 q．当 n=k+1 ，由等比数列的定 可得，k 1ak 1= q ak ＝ｑ a 1q＝ a 1 q k．从而，通项公式对全部自然数n 都建立．证明完成．例 18试证明：等差数列的前 n 项和由以下公式表示：n n 1 dSn ＝na1 ＋．2证明： 1、当 n ＝1 时，公式是正确的， S 1 ＝ a1 ．2、假定当 n ＝ｋ时公式正确，即k k 1 dSk ＝ka1 ＋2，当 n ＝k+1 时，S k 1 ＝ S k ＋ak 1kak k1 d＝ 1 ＋a＋ kd＋ １2k1 a 1 k k 1 d＝ ＋．2所以，对全部自然数 n 的值，前 n 项和公式都是建立的．3.8有关整除的问题例 19求证：关于整数 n0 下边的式子能被 133 整除；n212 2 n111证明： 1、当 n ＝0 时，上式等于 133，明显能被 133 整除．2、假定当 n ＝k 时， k 2 2k 11112能被 133 整除．当 n ＝k+1 时，我们有，k1 22 k 1 1111211k21＋122 k 11＝ 1111k22 k1144k22 k 12 k 1＝ 111111 12133 12＝ 11 11 k 2122 k 1133 122 k 1依据我们所作的假定，第一个加数能被133 整除，第二个加数里面含有因数133，所以，他们的和，也就是原表达式在n＝ k+1 的时候也能被 133 整除．结论证明完成．因为整除问题在中学数学中不是常有题型，只有在比赛中有所表现，所以我们不在列举其余例子，其实，这一类问题的解题模式都可拜见上例．感兴趣的能够参照比赛方面的书本，在里面能够找到好多这方面的问题．参照文件：[1] 史久一，朱梧槚著．化归与归纳·类比·猜想．理工大学，2008.[2]华罗庚著．数学归纳法．教育，1964．[3](联 ) 索明斯基著．数学归纳法．中国青年，1954.[4]淳著．漫话数学归纳法．中国科学技术大学，2001.[5]L· J·格拉维娜 ,I · M·雅格咯姆著．莫斯科米尔，1979.[6]吴志翔著．证明不等式．人民，1982.[7]吴之季，严镇军，杜锡录等著．归纳·递归·迭代. 人民教育， 1990.[8](联 ) 伊·亚·杰朴著 . 数学归纳法 . 人民教育， 1958.致：经过半年的繁忙和工作，本次毕业设计已经靠近结尾，作为一个本科生的毕业设计，因为经验的贫乏，不免有很多考虑不周到的地方，假如没有导师的敦促指导，以及一同工作的同学们的支持，想要达成这个设计是难以想象的．在这里第一要感我的导师天然老师．老师平常里工作众多，但在我做毕业设计的每个阶段，从出门实习到查阅资料，题目确实定和改正，草稿中期检查，后期详尽设计，最后定稿等整个过程中都赐予了我尽心的指导．我的思路较为复杂烦杂，但是老师仍旧仔细地纠正论文中的错误．除了敬重老师的专业水平外，他的治学谨慎和科学研究的精神也是我永久学习的楷模，并将踊跃影响我此后的学习和工作．其次要感和我一同作毕业设计的同组同学，他们在本次设计中勤劳工作、战胜困难的精神感动了我，也给了我设计好毕业论文的动力．假如没有他们的努力工作，此次论文设计的达成将变得特别困难．最后还要感大学四年来全部的老师，为我们打下数学专业知识的基础；同时还要感全部的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓舞．此次毕业论文设计才会顺利达成．。
数学归纳法原理的拓展和应用
数学归纳法原理的拓展和应用数学归纳法是一种重要的数学方法，它被广泛应用于证明各种数学命题。
这种方法可以用来证明无穷序列的性质，只需要检查这个序列的前n项是否满足某种性质，就可以推断出这个序列的所有项都满足这个性质。
数学归纳法的原理是，如果一个序列的前n项都满足某种性质，那么我们可以推断出这个序列的所有项都满足这个性质。
这个原理可以通过一个简单的例子来说明：考虑一个序列{an}，如果a1=1，a2=2，a3=3，那么我们可以推断出这个序列的每一项都是正整数。
因为当n=3时，序列的项都是正整数，那么我们可以推断出当n为任意正整数时，序列的项都是正整数。
数学归纳法可以用来证明各种数学命题，下面列举几个常见的应用：证明无穷序列的和是有限的：例如，我们可以用数学归纳法证明调和级数的和是有限的。
这个证明过程如下：我们检查当n=1时，1/1=1是一个有限的数。
然后，我们假设当n=k时，1/1+1/2+...+1/k是一个有限的数。
那么当n=k+1时，1/1+1/2+...+1/k+1/(k+1)也是一个有限的数。
因此，我们可以推断出对于所有的正整数n，调和级数的和都是有限的。
证明等差数列的求和公式：例如，我们可以用数学归纳法证明等差数列的求和公式：S_n=na_1+(n(n-1))/2d。
这个证明过程如下：我们检查当n=1时，S_1=a_1是一个成立的等式。
然后，我们假设当n=k时，S_k=ka_1+(k(k-1))/2d是一个成立的等式。
那么当n=k+1时，S_(k+1)=S_k+(a_1+...+a_k)+a_(k+1)=[ka_1+(k(k-1))/2d]+(a_1+. ..+a_k)+a_(k+1)=(k+1)a_1+[(k+1)k]/2d，也是一个成立的等式。
因此，我们可以推断出对于所有的正整数n，等差数列的求和公式都是成立的。
证明几何级数的和是有限的：例如，我们可以用数学归纳法证明几何级数的和是有限的。
数学归纳法在中学数学中的应用探讨
数学归纳法在中学数学中的应用探讨数学归纳法在中学数学中的应用
指推理法可以为知识复杂性建立系统性和有效性，数学归纳法作为一种关键的推理法，其在中学数学教学中可以起到举足轻重的作用。
数学归纳法在中学数学教学中，通常是以一些数学定理为主切入点，对它进行可能推广应用之前，首先使用此推理法对其进行分析验证，要求学生先把定理的个别情况验证通过，即把特殊情况用归纳法证明为已知的定理，然后以此作为准备，证明一般情况，实现一般性地理解和把握定理的所有情形，及其运用的实践活动，通过掌握其实践应用，进而感受到其前提定义，把握定理的思想。
此外，数学归纳法还可以帮助学生从具体例子中发现出其与反例把握归纳法的概念本质，引起其重视和记忆，并及时、定期地归纳（概括）出规律，在实践和科学的基础上，及时归纳（或总结）出重要的全局性知识，如定义、原理等，使学习过程变得更有效，使大家能够快速地掌握知识，增加理解与掌握能力。
最后，数学归纳法在中学数学中的应用极大地拓展了学生的思维，提高了相关思维能力，有效地帮助他们获得数学定理并把握数学知识，进而有效地锻炼其素质和启发精神。
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目录1、数学归纳法---------------------------------------------------------- 31.1 归纳法定义-------------------------------------------------------- 31.2 数学归纳法体现的数学思想----------------------------------------- 41.2.1 从特殊到一般------------------------------------------------ 41.2.2 递推思想---------------------------------------------------- 42、数学归纳法在中学数学中的应用技巧------------------------------------- 52.1 强调------------------------------------------------------------- 52.1.1 两条缺一不可------------------------------------------------ 52.2 技巧------------------------------------------------------------- 62.2.1 认真用好归纳假设-------------------------------------------- 62.2.2 学会从头看起------------------------------------------------ 62.2.3 在起点上下功夫---------------------------------------------- 72.2.4 正确选取起点和过渡------------------------------------------ 82.2.5 选取适当的归纳假设形式-------------------------------------- 93、数学归纳法在中学数学中的应用 ---------------------------------------- 93.1 证明有关自然数的等式--------------------------------------------- 93.2 证明有关自然数的不等式------------------------------------------ 113.3 证明不等式------------------------------------------------------ 113.4 在函数迭代中的应用---------------------------------------------- 123.5 在几何中的应用-------------------------------------------------- 143.6 在排列、组合中的应用-------------------------------------------- 163.7 在数列中的应用-------------------------------------------------- 163.8 有关整除的问题-------------------------------------------------- 17浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用魏福雄西南大学数学与统计学院，重庆400715摘要:数学知识发生过程就是归纳思想应用过程，解题中应用归纳思想,不仅能由此发现给定问题的解题规律，而且能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的命题．本文先叙述了归纳的意义、类型，进而讨论以归纳法为主要工具，去探索和发现数学问题的解题途径．数学归纳法作为由特殊概括出一般的一种思维方法，具有两种基本意义，首先数学归纳法是一种推理方法，称为归纳推理，它可以为我们提出猜想，为论证提供基础和依据．其次归纳是一种研究方法，归纳是一种又创造性的探索式思维方法，能开发智力，拓宽思路，引出猜想，它在发现问题和探索解题途径的过程中起着重要作用．数学归纳法可按照它的概括事物是否完全分为两种基本形式——不完全归纳和完全归纳．本文还介绍了在数学解题过程中归纳发现的思考方法：利用归纳法发现和提出数学猜想，利用归纳法发现问题的结论，运用归纳法发现解题途径等．关键词：数学归纳法；不完全归纳法；完全归纳法The simple discussion about mathematical induction and using in highschool mathWei FuxiongSchool of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, ChinaAbstract:The occurrence process of mathematical knowledge is precisely the application process of inductive ing inductive thinking in problem solving,not only can find a given law for this problem solving,but also can find new objective laws based on practise,put forward a new proposition.This article first describes the significance and type of induction,and then discuss induction as the main tool, to explore and discover mathematical problem solving approach.Mathematical induction, as summarized by the general as a special way of thinking, has two basic meanings, the first mathematical induction is a kind of reasoning, known as inductive reasoning, it can bring up us suppose ,Provide the basis and foundation for the argument. Second, induction is a research method, induction is a creative exploration of another type ofthinking, can develop intelligence, broaden thinking, leads to speculation, it plays an important role in finding the problem and ways to explore the process of problem solving. Mathematical induction, in accordance with its general matter is completely divided into two basic forms - incomplete induction and complete induction. This article also describes the process of mathematics problem solving way of inductive methods of discovery: using mathematical induction to find and put forward mathematical suppose, using induction to find conclusions of the problems, using induction to find problem-solving approach.Key words:Mathematical induction;incomplete induction ;complete induction1、数学归纳法1.1 归纳法定义大家知道，数学中的许多命题都和正整数n有关，这里所说的n，往往是指任意的一个自然数，因此，这样的一个问题也就是一整数命题．在数学问题中，每一类问题都有一种专门的方法来解决．数学归纳法可以说是解决有关整数问题的一种工具．归纳法是从个别的论断归结出一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法．归纳法的基础是观察与实践，它是人类认识自然、总结生活、生产经验、处理科学实验材料的一种十分重要而有普遍应用的思想方法．在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．流行于我国各地的农谚如“瑞雪兆丰年”、“霜下东风一日晴”等，就是农民根据多年的实践经验进行归纳的结果．物理学家、化学家的最基本的研究手段是实验和归纳．例如化学中的元素周期表，就是用归纳法发现真理的典型例证．再例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．数学归纳法是一种特殊的论证方法，他使我们能够在一些个别实例的基础上，对某个普遍规律做出论断．虽然说数学归纳法适用于有关整数的问题，但是它在很多数学问题中都有重大的作用，在中学数学中，很多不等式问题、几何问题、函数迭代问题、整除性问题用它来解决都能收到很好的效果．数学归纳法证明问题的步骤是：证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1) 证明当n取第一个值n时结论正确；(2) 假设当n＝k (k∈N*，k≥0n) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确．完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从ｎ开始的所有正整数n都正确．1.2 数学归纳法体现的数学思想1.2.1 从特殊到一般“从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律，而在人类探索世界奥秘的奋斗中诞生和发展起来的任何一门学科，都将受到这一规律的制约．数学当然也不例外，同样要被纳入这一规律的模式之中．由于事物的特殊性中包括着普遍性，即所谓共性存在于个性之中，而相对于“一般”而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知．另一方面，由于“一般”概括了“特殊”，“普遍”比“特殊”更能反映事物的本质，因而当我们在处理问题的时候，若能置待解决的问题于更为普遍的情形中，进而通过对一般情形的研究去处理特殊情形的思考方式，不仅是可行的，而且是必要的．正因为如此，实践和归纳成了数学家寻找真理和发现真理的主要手段．如勾股定理，多面体的面顶棱公式，前n个自然数的立方和公式，二项展开式和杨辉三角形等，无一不是观察、实验和归纳的结果．伟大的数学家欧拉曾说“数学这门科学，同样需要观察、实验”．无独有偶，大数学家高斯也曾说过，他的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是一个补行的手续．纵观古今，科学的发展史其实也是一部观察史、一部猜想史，更是一部论证史．数学的发展更是这样的．科学结论的得到大致包含以下几个阶段：观察、实践→推广→猜测一般性结论→论证结论．而数学归纳法恰恰是论证结论的最佳方法．这与数学大师所说的“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上论证这一规律的一般性，这是人们认识自然的客观法则之一”的观点大致相同．1.2.2 递推思想其中（1）是递推的基础，没有它归纳假设就失去了依据，递推就没有奠基．（2）是递推的根据，有了它无限次递推成为可能．所以数学归纳法的两个步骤缺一不可．数学归纳法证题的两个步骤虽然都是重要的但在证题时第一步较易第二步证明较难．解决的关键就是做从k到k＋1的转化工作, 而这种转化工作往往涉及到代数、三角、几何等知识, 有时还要用不同的方式进行．学生往往感到很困难, 绞尽脑汁都难以完成这一步．针对这个问题本文把中学数学教材及一些常见教学参考资料中用数学归纳法证明的各种问题进行整理分类并以若干比较典型、比较困难的问题作为示例, 探讨数学归纳法在中学数学中的应用．2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧2.1 强调2.1.1 两条缺一不可在这里，必须强调一下，在数学归纳法的步骤里，两条缺一不可．不要认为，一个命题在n＝1的时候，正确；在n＝2的时候，正确；在n＝3的时候也正确，就正确了．老实说，不要说当n＝3的时候正确还不算数，就算当n＝1000的时候正确，或者1万的时候正确，是不是对一切自然数都成立，还得证明了再说．不妨举两个例子：例1 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n ∈N时，2 2n＋１一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．因为当n＝0，1，2，3，4时，它的值分别等于3，5，17，257，65537．这五个数都是素数．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了522＋１＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．后来，有人还证明了当n＝6，7，8，9的时候，式子的值也都不是素数．由此可见，数学归纳法的第（2）步是至关重要的．例2 所有的正整数都相等．这个命题显然是荒谬的，但是当我们丢开“当n＝1的时候，这个命题是正确的”不管，那么可以用数学归纳法来“证明”它．这里，第k号命题是：“第k－1个正整数等于第k个正整数”，就是k－1＝k，两边都加上1，得到k＝k＋1．这就是说第k 个正整数等于第k＋1个正整数，这不就证明了所有的正整数都相等吗？错误就在于我们没有考虑当n＝1的情况．由此可见，验证初始值对数学归纳法证明问题时是非常重要的．2.2 技巧2.2.1 认真用好归纳假设如果说在用数学归纳法证题时．归纳过渡是解题的关键，那么归纳假设就是过渡的基础，数学归纳法之所以显得有生命力，就是因为它避开了直接接触n的任意性，而把证明过程变成为一个“连环套”，使得人们在验证当n＝ｎ成立之后，要再在“n＝k已成立”的假设基础上，证出“当n＝k＋1时，命题也成立”就行了．这就意味着只需要再往前迈出一步就够了，因而大大减少了论证中的不确定性，既然如此，运用归纳假设当然极为重要．我们甚至可以说，“如何千方百计地创造条件以利用归纳假设？”的问题，正是论证者们在此应多考虑的最中心的问题．例3在一块平地上站有n个人．对每个人来说，他到其他人的距离均不相问．每人郁有一支水枪．当发出火灾信号时，每人都用水枪击中距他最近的人．证明，当n为奇数时，其中至少有一人身上是干的．证: n＝1时，结论显然成立．设命题对“n＝2k一1成立，要证当n＝2k十1时命题也成立．设A与B两人之间的距离在所有的两人间的距离中为最小．撤消A，B两人，则由归纳假设知，在剩下的2k一1个人中间，至少有一人C的身上是干的．再把A,B 两人加进去，由于AC>AB，BC>AB,所以A，B两人都不会用水枪去击C，从而C身上仍然是干的．所以对一切奇数n命题都成立．在这个问题中，先撤出两人是为了使用归纳假设(按照惯例，这叫做“退”)．但在退出之后，还应再进；因为我们的目标是解决k十1的情形．既然“退”是为“进”服务的，因此在“退”的时候就应当为“进”作好安排．我们之所以撤出A和B，而不撤出别人，就是为了能方便地将他们再加进去．2.2.2 学会从头看起为了实现归纳过渡，必须利用归纳假设．可是，为了归纳假设，有时需要各种技巧．那么，怎样才能知道该使用什么技巧呢？这里用得着数学大师华罗庚教授的话：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍！”在数学归纳法中，最原始而不失重要性的地方，便是最开头的几步，通常也就是n＝1，2，3的情形．凡是有些经验的人都知道，像这些简单的情形讨论是最合算也是最可靠的．事实上，在很多问题中，如果真正把这些最开头的几步看透了，弄清楚了，想仔细了，那么解决整个问题的办法也就有了．例4 设正数数列｛a ｎ｝满足关系式2n a ≤a ｎ－a ｎ＋１，证明，对一切正整数n 有a ｎ＜１ｎ． 证明：n ＝1的情形显然，而当n ＝2时，由于，a ２≤a １－21a ＝１４－12a ２１（－）＜12，知断言也成立．假设当n ＝ｋ的时候，断言成立，即a ｋ＜１ｋ．则当n ＝ｋ＋1的时候，有，a ｋ＋１≤a ｋ－2k a ＝１４－12a ２ｋ（－）≤１４－12２１（－）ｋ＝k ２k －１＜k ２k －１－１＝１k ＋１．知断言也成立．因此由数学归纳法原理知对一切正整数n ，都有n a ＜１ｎ． 在上面的论证中，“n ＝2”并未在归纳过渡中发挥作用，因此按理说来是不用验证这一步的．但是，它却启示了我们如何将（a １－2a １）改写成一种便于使用归纳假设的形式，而这种启示对实行归纳过渡是非常重要的．2.2.3 在起点上下功夫起点情况的重要性并不仅仅表现在为归纳过渡提供启示，因而应当注意向起点情况讨论．之所以强调向起点情况讨论，只是因为，一般来说起点情况多属具体验证，难度通常不大，因此容易忽略对其后面的归纳过渡的启发意义．但是有时，我们也会遇到一些问题，在归纳的第一步上就很难，需要非常认真的下一番功夫．这时，往往需要开阔思路，寻找合理的切入点，有时还需用到一些其它的知识．例5 证明，对一切自然数n ，都存在自然数x ｎ和y ｎ使得 x ２２ｎｎ＋y ＝1993ｎ 证明：当n ＝1时，取43x １＝，12y １＝即可，此因 22431218491441993+=+=假设当n ＝ｋ时，存在自然数k x 和y ｋ，使得2k x ＋2k y ＝1993ｋ，那么显然就有1993x ２ｋ（）＋21993y ｋ（）＝21993k +． 足见可取21993k k x x +＝，21993k k y y +＝，这就是说只要n ＝ｋ时断言成立，即可推得n ＝k+2断言也成立．但由于我们只证明了n ＝1时断言成立，因此结合“n ＝k ”⇒“n ＝k ＋2”，我们仅证明了n 为奇数时断言成立．为了得出n 为偶数时的结论， 我们还应证明n ＝2时断言成立．注意到2243121993+= ，因此只要令 222121705x -＝43＝，2y ＝243121032⋅⋅＝，那么就有22x ＋22y ＝2217051032+＝()2224312-＋2244312⋅⋅＝()222243121993+=可见当n ＝2时断言也成立，于是结合“n ＝ｋ”⇒“n ＝ｋ＋2”，便知断言对一切偶自然数n 也成立．综合上述，知对一切自然数n 断言都成立．这个例子告诉我们：为了便于归纳，可以不局限于“n ＝k ”⇒“n ＝k ＋1”（即一步一跨），而可以因题制宜，采用大跨度跳跃，但此时应注意相应地增多起点，一般来说，采用多大跨度，就应当设多少个起点．2.2.4 正确选取起点和过渡我们已经知道，在数学归纳法的基本形式之下，第一次通常是由验证n ＝0n 做起，这叫做“起步”，0ｎ叫做“起点”，在通常情况下，起点一般只有一个，第二步则是由“n ＝k ”跨到“n ＝k ＋1”，即每次跨一步．换句话说，通常是以“跨度”1前进，那么这是不是说，这种安排起点和跨度的方式就一定是不能改变的呢？并不是的！人们完全可以根据问题的需要，对起点和跨度作灵活和适当的安排，不过需要注意的是，绝对不能造成逻辑上的漏洞．起点是非常重要的，对起点及起点附近的一些命题的考察，不仅可以验证n ＝0ｎ时成立．而且能帮我们发现实行归纳过渡的方法．而选取起点方法很多，需要视具体问题而定，在此就不论述了．例6 任意n 条直线均能重合成一条直线．这个命题是荒谬的，当n ＝2时就不能成立．但如果我们忽视了这一点，而采用如下的“证明”，那么就有可能陷于荒谬而难于解脱：当n ＝1时，命题显然成立．假设当n ＝k 时，命题已经成立．那么当n ＝k ＋1时，可以先让其中k 条直线重合为一条直线，再让这条直线同剩下的一条重合为一条直线，即知命题也可成立．所以任意n 条直线均能重合成一条直线．这个“证明”中的逻辑上的漏洞，就在于在进行归纳过渡时，需要用到“可将任意两条直线重合为一条直线”的论断，而这一论断却是未加证明，而且在事实上也是不能加以证明的．由此可见，认真考察起点附近的命题，并验证其成立与否，是何等之重要！但是，是不是在每一个问题的证明中，都需要首先验证起点附近的一连贯命题，并不是的．究竟是否需要验证以及需要验证几个，完全取决于命题自身的特点，尤其是取决于在进行归纳过渡时的需要．2.2.5 选取适当的归纳假设形式我们已经知道，在数学归纳法的基本形式中，归纳假设总是以“假设当n ＝k 时，命题成立”的形式出现的．其实，这并不是归纳假设的唯一形式．在必要的时候，可以将归纳假设中的“n ＝k ”改写为“n ≤k ”．事实上，在对很多问题的证明中，人们就是这么做的，有些人还把采用这种假设形式的数学归纳法称作第二归纳法．第二数学归纳法在很多问题的证明中为我们带来方便．由于第二数学归纳法在中学教材中并未提及，高考也不作要求，只是在竞赛中有所要求，所以在此不举例子．若感兴趣，可参考《漫话数学归纳法应用技巧》一书．3、 数学归纳法在中学数学中的应用3.1 证明有关自然数的等式例7 证明前n 个自然数的和()1s n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝()12n n +． 证明：1、()11s ＝1＝()111+２，命题成立． 2、假设()1s n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝()12n n+，则()11s n +＝1＋2＋3＋…＋n ＋（n ＋1） ＝ ()12n n +＋（n ＋1） ＝()()12n n ++２ ＝()()[]111n n +++２．命题证明完毕． 例8 证明前n 个自然数的平方和()2s n ＝21＋22＋ (2)n ＝()()121n n n ++６． 证明：1、()21s ＝２１＝()()11121++６． 2、假设()2n s ＝()()121n n n ++６，则 ()21n s +＝()()121n n n ++６＋()21n + ＝()()()111211n n n +++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦６，命题证明完毕． 例9 证明：前n 个自然数的立方和()3s n ＝２２ｎ（ｎ＋１）４．证明：1、()31s ＝31 ＝()22111+４．2、假设()3s n ＝２２ｎ（ｎ＋１）４，则()31s n +＝２２ｎ（ｎ＋１）４＋()31n +＝()()22111n n ⎡⎤+++⎣⎦４，命题证明完毕．3.2 证明有关自然数的不等式例10（贝奴利不等式）用数学归纳法证明：()1n+∂>1+n ∂，这里∂-1>且不等于0，n 是大于1的自然数．证明：1、对于n ＝2，因2∂>0，故不等式是正确的．2、假设不等式对于n=k 是正确的，这里ｋ是某一个自然数，就是说，()1k+∂>1+∂ｋ，当n=k+1时，由归纳假设得，10+∂>，从而有()()()1111k k ++∂>+∂+∂是正确的，这可由不等式两边各乘以()1+∂得到，上不等式可改写()()1211k k k ++∂>1++∂+∂，将上面不等式右边舍去正项2k ∂，就可知所求证不等式是正确的．例11 设n 为大于1的自然数，求证：11n +＋12n +＋…＋1n n +1243>． 证明：1、当n ＝2时，111222273+=>+1+214．命题成立． 2、假设当n ＝ｋ时，命题成立，则当n ＝k+1时，11n +＋12n +＋…＋1n n +＝111k ++＋112k ++＋ (1)11k k +++＝（11k +＋12k +＋…＋1k k +）＋（121k +＋122k +－11k +）＝（11k +＋12k +＋…＋1k k +）＋（121k +－122k +）由归纳假设知11k +＋12k +＋…＋1k k +1243>，而121k +－122k +>0，所以111k ++＋112k ++＋ (1)11k k +++1243>，此即说明当n ＝k ＋1时，命题也成立，因此对于任何大于1的自然数命题都成立．3.3 证明不等式例12 设a a a >>>１２ｎ０和b b b >>>１２ｎ０．（n>1）求证：11221211n n n n n a b a b a b a b a b a b -+++>++证明：1、当n ＝2时，因a １－a >２０，b １－b >２０，所以()()1212a a b b -->０，即11221221a b a b a b a b +>+，命题显然成立．当n ＝3时，由()()13130a a b b -->．可知命题也成立．2、假设当n=k的时候命题成立，则当n=k+2时，()()22k k a a b b ++--１１>０，即11221221k k k k a b a b a b a b +++++>+，可以推出，112211k k a b a b a b +++++＝()()1122223311k k k k a b a b a b a b a b +++++++++ >()()122121312k k k k k a b a b a b a b a b +++++++++故当n=k+2时，命题成立，于是对于任意大于1的自然数n ，原不等式成立．3.4 在函数迭代中的应用一些比较简单的函数，它的n 次迭代表达式，可以根据定义直接代入计算，归纳出一般规律后，再用数学归纳法予以证明．所以，直接求法的本质，就是数学归纳法．其中，关键是通过不完全归纳法，找出[]()n f x 的一般表达式．例13 ()f x qx =，求[]()n fx ．解：由定义，()f x qx =． []()2fx =()[]f f x ()2q qx q x ==，[]()3fx []()223ff x f q x q x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 一般地，由不完全归纳可猜测，[]()n fx =nq x ．事实上，因为假定上式成立，则有，[]()[]()1n n fx ff x +=⎡⎤⎣⎦()nfq x=()nq q x = 1n qx += ．所以，由数学归纳法知，[]()n fx =nqx 对所有的自然数n 都成立．例14()2f x x=，求[]()n fx ．解：由定义，()2f x x =，[]()2f x ()[]()()22222f f x f x x x====，[]()3fx []()()23222f f x f x x==⎡⎤=⎣⎦，一般地，可猜得，[]()n fx 2nx=．假定上式成立，则有 []()1n fx +[]()nf f x ⎡⎤=⎣⎦()2nf x=12n x += ．由数学归纳法知，[]()n f x 2nx=对所有自然数n 都成立．3.5 在几何中的应用例15Ａ、一条直线被它的n 个点分成几个部分？ 解：用()1F n 表示所分部分的个数，显然有()1F n1n =+．Ｂ、一个平面被它上面的n 条直线分成多少个部分？（这里每两条直线相交，但每 三条直线没有交点，即n 条斜交直线）解：1、一条直线将平面分成两个部分．2、假设我们已经知道n 条斜交直线将平面分成()2F n 个部分，进而考虑，n ＋1条斜交直线的情况．原先的n 条将平面划分成()2F n 个部分；第n ＋1条直线l ，根据假设，与其余n 条直线相交于n 个不同的点，这些交点将直线l 划分为n ＋1个部分（见Ａ）．则直线l 切割平面上原有的n ＋1个部分，因此在原有的基础上又增加了()1F n ＝n ＋1个．所以，()21F n +＝()2F n ＋()1F n ＝()2F n ＋n ＋1．我们用数n －1，n －2，…，2，1代替等式中的n ，得到：()2F n ＝()21F n -＋n ， ()21F n -＝()22F n -＋n －1，… … …()23F ＝()22F ＋3， ()22F ＝()21F ＋2．将以上等式相加，因为()21F ＝2，我们有，()2F n ＝()21F ＋［n ＋（n －1）＋ (2)＝1＋［n ＋（n －1）＋…＋2＋1］ ＝1＋()12n n + ＝2+ｎｎ+２２．Ｃ、空间被n 个平面（这些平面每三个相交于一点，但每四个没有交点，即n 各斜交平面）划分成多少个部分？解：1、一个平面将空间分成两个部分．2、假设我们已经知道空间被n 个斜交平面划分成()3F n 个部分，然后考虑 n ＋1个斜交平面的情形．原先的n 个平面将空间划分为()3F n 个部分，这n 个平 面与第n ＋1个平面π相交于n 条斜交线，因此将它划分为()2F n ＝2+ｎｎ+２２个部分（见Ｂ）．因此，我们得到以下关系：()31F n +＝()3F n ＋()2F n ＝()3F n ＋２ｎ＋ｎ＋２２我们用n －1，n －2，…，2，1代替n ，有：()3F n ＝()31F n -＋()()211n n --++２２()31F n -＝()32F n -＋()()222n n --++２２… … …()33F ＝()32F ＋２２+２+２２()32F ＝()31F ＋２１＋１＋２２将这些等式相加，得：()3F n ＝()31F ＋12［２（ｎ－１）＋２（ｎ－２）＋…＋２１］＋12［（n －1）＋（n －2）＋…＋1］＋[]122⋅ｎ ＝2＋()()12112n n --n ＋()1n n -４＋n －1 ＝()()216n n n +-+６．3.6 在排列、组合中的应用由于数学归纳法可以解决有关自然数的问题，而排列组合与自然数密切相关，所以，在排列组合的许多结论，都可以用数学归纳法来证明．比如教材中出现的排列数公式、组合数公式、自然数n 的阶乘公式，二项式定理等重要公式，都能用数学归纳法加以证明．下面我们举一个简单的例子．例16 证明：n 个元素的全排列的种数可以按下列公式求得：n P ＝123⋅⋅⋅…!n n ⋅= （n 是自然数）． 证明：1、对于n ＝1，上式显然是正确的，1P 11!==． 2、假设对于n ＝k 时，它是正确的，即k P !k =．当n=k+1时，假定我们已经组成了k 个元素的一切可能的全排列，它们的种数是k P 种，在每一种k 个元素的全排列中，我们加入第k ＋1个元素，则第k ＋1个元素的放法有 k ＋1种，由分步计数原理，可得：k ＋1个元素的全排列数1k P +＝kP ⋅()1k +!k =⋅()1k +()1!k =+．从而，当n ＝ｋ＋1时上式也正确．因此，对一切自然数n 它都正确，命题证明完毕．3.7 在数列中的应用数列是中学数学的一个重要内容，其中等差数列、等比数列尤为重要，它与高中数学中的很多知识都有联系，作为解决整数问题的数学归纳法，同样可以用来解决一些有关数列的知识．如等差数列、等比数列的通项公式以及前n 项和公式的证明都需要用数学归纳法，下面我们看几个例子．例17 试证明：等比数列｛n a ｝的通项公式为n a ＝11n a q-．（其中1a 是数列的首项，q 为公比）证明：1、当n ＝1时，等式成立，因1a ＝01a q＝1a ．2、假设，对于n ＝k 它能成立：11k k a a q-=．当n=k+1时，由等比数列的定义可得，1q k k a a +=＝ｑ11k a q-＝1ka q．从而，通项公式对一切自然数n 都成立．证明完毕． 例18 试证明：等差数列的前n 项和由下列公式表示：n S ＝1na ＋()12n n d-． 证明：1、当n ＝1时，公式是正确的，1S ＝1a ． 2、假设当n ＝ｋ时公式正确，即 k S ＝1ka ＋()12k k d-，当n ＝k+1时，1k S +＝k S ＋1k a +＝1ka ＋()12k k d-＋a １＋kd＝()11k a +＋()12k k d+ ．因此，对一切自然数n 的值，前n 项和公式都是成立的．3.8 有关整除的问题例19 求证：对于整数n ≥0下面的式子能被133整除；2211112n n +++证明：1、当n ＝0时，上式等于133，显然能被133整除． 2、假设当n ＝k 时，2211112k k +++能被133整除．当n ＝k+1时，我们有，()()()211122121111121112k k k k ++++++++=+＋＝2211111144k k +++12⋅⋅＝221211111111213312k k k +++++⋅⋅⋅＝()21 22111111213312k k k+++++⋅根据我们所作的假设，第一个加数能被133整除，第二个加数里面含有因数133，因此，他们的和，也就是原表达式在n＝k+1的时候也能被133整除．结论证明完毕．由于整除问题在中学数学中不是常见题型，只有在竞赛中有所体现，所以我们不在列举其他例子，其实，这一类问题的解题模式都可参见上例．感兴趣的可以参考竞赛方面的书籍，在里面可以找到很多这方面的问题．参考文献：[1]史久一，朱梧槚著．化归与归纳·类比·猜想．大连理工大学出版社，2008.[2]华罗庚著．数学归纳法．上海教育出版社，1964．[3](苏联)索明斯基著．数学归纳法．中国青年出版社，1954.[4]苏淳著．漫话数学归纳法．中国科学技术大学出版社，2001.[5]L·J·格拉维娜,I·M·雅格咯姆著．莫斯科米尔出版社，1979.[6]吴志翔著．证明不等式．河北人民出版社，1982.[7]吴之季，严镇军，杜锡录等著．归纳·递归·迭代.人民教育出版社，1990.[8](苏联)伊·亚·杰朴著.数学归纳法.人民教育出版社，1958.致谢：经过半年的忙碌和工作，本次毕业设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的．在这里首先要感谢我的导师张天然老师．张老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从外出实习到查阅资料，题目的确定和修改，初稿中期检查，后期详细设计，最终定稿等整个过程中都给予了我悉心的指导．我的思路较为复杂烦琐，但是张老师仍然细心地纠正论文中的错误．除了敬佩张老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作．其次要感谢和我一起作毕业设计的同组同学，他们在本次设计中勤奋工作、克服困难的精神打动了我，也给了我设计好毕业论文的动力．如果没有他们的努力工作，此次论文设计的完成将变得非常困难．最后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下数学专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励．此次毕业论文设计才会顺利完成．。