遵义专版2017届中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题三图形变换问题的基本类型和解题策略第三节图形旋转

第三节图形旋转变换问题
,中考重难点突破)
旋转是图形的一种重要变换．在实际解题中，若我们能恰当地运用图形的旋转变换，往往能起到集中条件、开阔思路、化难为易的效果．图形的旋转变换，既要借助于推理，但更要借助于直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更敏锐，使这种观察更具眼力．
【例1】(2015莱芜中考)如图，已知△ABC 是等腰三角形，顶角∠BAC＝α(α＜60°)，D 是BC 边上的一点，连接AD ，线段AD 绕点A 顺时针旋转α到AE ，过点E 作BC 的平行线，交AB 于点F ，连接D E ，BE ，DF.
(1)求证：BE ＝CD ；
(2)若AD⊥BC，试判断四边形BDFE 的形状，并给出证明．
【解析】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质．
【学生解答】证明：(1)∵△ABC 是等腰三角形，顶角∠BAC＝α(α＜60°)，线段AD 绕点A 顺时针旋转α到AE ，∴∠DAE ＝α，AE ＝AD ，∴∠BAE ＝∠CAD ，又∵等腰△ABC ，∴AB ＝AC.在△ABE 和△ACD 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD，AE ＝AD ，
∴△ACD ≌△ABE(SAS )，∴BE ＝CD ；(2)∵AD⊥BC，∴BD ＝CD ，∴BE ＝BD ＝CD ，∠BAD ＝∠CAD，∴∠BAE ＝∠BAD，在△ABD 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AD ，∠BAE ＝∠BAD，AB ＝AB ，
∴△ABD ≌△ABE(SAS )，∴∠EBF ＝∠DBF，∵EF ∥BC ，∴∠DBF ＝∠EFB，∴∠EBF ＝∠EFB，∴EB ＝EF ，∴BD ＝BE ＝EF ，∴四边形BDFE 为菱形．
【例2】(2016吉林中考)(1)如图①，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以点B 为中心，把△ABC 逆时针旋转90°，得到△A 1BC 1；再以点C 为中心，把△ABC 顺时针旋转90°，得到△A 2B 1C.连接C 1B 1，则C 1B 1与BC 的位置关系为________；
(2)如图②，当△ABC 是锐角三角形，∠ABC ＝α(α≠60°)时，将△ABC 按照(1)中的方式旋转α.连接C 1B 1，探究C 1B 1与BC 的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
(3)如图③，在图②的基础上，连接B 1B ，若C 1B 1＝23
BC ，△C 1BB 1的面积为4，则△B 1BC 的面积为________．
【学生解答】解：(1)平行(或C1B1∥BC)；(2)C1B1∥BC.解法一：如图②，过点C1作C1D⊥BC于点D，过点B1作B1F⊥BC于点F，则C1D∥B1F，∠C1DB＝∠B1FC＝90°.由旋转可知，BC1＝BC＝CB1，∠C1BD＝∠B1CF.∴△C1BD≌△B1CF(AAS)．∴C1D＝B1F.又C1D∥B1F，∴四边形C1DFB1是平行四边形．∴C1B1∥BC.解法二：证明：如图③，过点C1作C1E∥B1C交BC于点E，则∠C1EB＝∠B1CB.由旋转可知，BC1＝BC＝B1C，∠C1BC＝∠B1CB.∴∠C1BC＝∠C1EB.∴C1B＝C1E.∴C1E＝B1C.又C1E∥B1C，∴四边形C1ECB1是平行四边形．∴C1B1∥BC；(3)6.
模拟题区
1．(2016遵义十一中二模)如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′(此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上)，A′B′交AD于点E，连接AA′、CE.求证：
(1)△ADA′≌△CDE；
(2)直线CE是线段AA′的垂直平分线．
证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴∠A ′DE ＝90°，根据旋转的性质可得：
∠EA′D＝45°，∴∠A ′ED ＝45°，∴A ′D ＝DE ，在△ADA′和△CDE
中⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADA ′＝∠EDC，A ′D ＝ED ，∴△ADA ′≌△CDE(SAS )；(2)∵AC＝A′C，∠ACE ＝∠A′CE，∴点C 在AA′的垂直平分线上，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠CAE ＝
45°，∵AC ＝A ′C ，CD ＝CB′，∴AB ′＝A′D，在△AEB′和△A′ED，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAB ′＝∠EA′D，∠AEB ′＝∠A′ED，AB ′＝A′D，
∴△AEB ′≌△A ′ED ，∴AE ＝A′E，∴点E 也在AA′的垂直平分线上，∴直线CE 是线段AA′的垂直平分线．
2.(2016遵义十二中三模)某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图(1)所示位置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，如图(2)，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P .
(1)求证：AM ＝AN ；
(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由．
解：(1)由题意，得AB ＝AF ，∠BAM ＝∠FAN ，在△ABM 和△AFN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FAN ＝∠BAM，AB ＝AF ，∠B ＝∠F，
∴△ABM ≌△AFN(ASA )，∴AM ＝AN ；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF 是菱形．理由：连接AP ，∵∠α＝30°，∴∠FAN ＝30°，∴∠FAB ＝120°.∵∠B ＝60°，∴∠B ＋∠F AB ＝180°，∴A F∥B P ，∴∠F ＝∠FPC＝60°，∴∠FPC ＝∠B＝60°，∴AB ∥FP .∴四边形ABPF 是平行四边形，∵AB ＝AF ，∴平行四边形ABPF 是菱形．
中考真题区
3．(2014河北中考)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°.得到△ADE，连接BD ，C E 交于点F.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求∠ACE 的度数；
(3)求证：四边形ABFE 是菱形．
解：(1)∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC ＝∠DAE＝40°，∴∠BAD ＝∠CAE＝100°，又∵AB＝
AC ，∴AB ＝AC ＝AD ＝AE ，在△ABD 与△AC E 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE，AD ＝AE ，
∴△ABD ≌△ACE(SAS )；(2)∵∠CAE＝100°，AC ＝AE ，∴∠ACE ＝12(180°－∠CAE)＝1
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(180°－100°)＝40°；(3)∵∠BAD＝∠CAE＝100°，AB ＝AC ＝AD ＝AE ，∴∠ABD ＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°.∵∠BAE ＝∠BAD＋∠DAE＝140°，∴∠BAE ＋∠ABD＝180°，∴AE∥BF，∠BAE ＋∠AEF＝180°，∴AB ∥E F.∴四边形ABFE 是平行四边形，∵AB ＝AE ，∴平行四边形ABFE 是菱形．
4．(2015永州中考)在同一平面内，△ABC 和△ABD 如图①放置，其中AB ＝BD.小明做了如下操作：
将△ABC 绕着边AC 的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD 绕着边AD 的中点旋转180°得到△DFA，如图②，请完成下列问题：
(1)试猜想四边形ABDF 是什么特殊四边形，并说明理由；
(2)连接EF ，CD ，如图③，求证：四边形CDEF 是平行四边形．
解：(1)四边形ABDF 是菱形．理由如下：∵△ABD 绕着边AD 的中点旋转180°得到△DFA，∴AB ＝DF ，BD ＝
FA ，∵AB ＝BD ，∴AB ＝BD ＝DF ＝FA ，∴四边形ABDF 是菱形；(2)∵四边形ABDF 是菱形，∴AB ∥DF ，且AB ＝DF ，∵△ABC 绕着边AC 的中点旋转180°得到△CEA，∴AB ＝CE ，BC ＝EA ，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AB ∥CE ，且AB ＝CE ，∴CE ∥FD ，CE ＝FD ，∴四边形CDEF 是平行四边形.。