2020年山东省新高考数学模拟试卷(一)
2020年新高考数学全国卷1(山东)附答案解析版
弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切 点，四边形 DEFG 为矩形， BC⊥DG ，垂足为 C ， tanODC 3 ， BH∥DG ，
5
EF 12 cm ，DE 2 cm ，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，
P(B) 0.82 ， P A B 0.96 ，所以 P( A B) P( A) P(B) P( A B) 0.6 0.82 0.96 0.46 ，所以该
中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46% ．故选C．
【考点】事件的概率公式 6. 【答案】B
【解析】因为 R0 3.28 ，T 6 ， R0 1 rT ，所以r
D.若 m 0 ， n＞0 ，则 C 是两条直线
10.下图是函数 y sin x 的部分图像，则 sin x
（）
A. sin(x π） 3
C.cos(2x π） 6
B. sin( π 2x) 3
D. cos(5π 2x) 6
数学试卷 第 2 页（共 6 页）
11.已知a＞0 ， b＞0 ，且 a b 1，则 A. a2 b2≥ 1 2
【考点】集合并集
【考查能力】基本分析求解
2. 【答案】D
【解析】 2 i 1 2i
122ii1122ii
5i 5
i
，故选
D．
【考点】复数除法
【考查能力】分析求解
3．【答案】C
【解析】首先从 6 名同学中选 1 名去甲场馆，方法数有C16；然后从其余 5 名同学中选 2 名去乙场馆，方法
数有C 2 ；最后剩下的 3 名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有C1 C2 6 10 60 种．故选：C．
2020年山东省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年山东省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷数学试题(含解析)
按秘密级事项管理★启用前2020 年普通高等学校招生考试全国统一考试（模拟卷）数 学注意事项：1.答卷前考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时 选出每个小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动 用 橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。
回答非选择题时将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共 8 小题每小题 5 分共 40 分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 A = {(x , y ) | x + y = 2} B = {(x , y ) | y = x 2}则 A B =A. {(1,1)}B. {(-2, 4)}C. {(1,1), (-2, 4)}D. ∅2.已知 a + bi (a , b ∈ R ) 是1- i的共轭复数 则 a + b =1+ iA. -1B. -1 2C. 1 2D. 13.设向量 a = (1,1) b = (-1, 3) c = (2,1)且 (a - b ) ⊥ c则=A. 3B. 2C. -24. ( 1 - x )10的展开式中 x 4的系数是xD. -3A. -210B. -120C. 120D. 2105.已知三棱锥 S - ABC 中 ∠SAB = ∠ABC =, S B = 4, S C = 22, AB = 2, BC = 6则三棱锥 S - ABC 的体积是133 2 A.4 B. 6C. 4D. 66.已知点 A 为曲线 y = x + 4(x > 0) 上的动点 xB 为圆 (x - 2)2 + y 2 = 1上的动点 则| AB | 的最小值是A. 3B. 4C. 3D. 47.设命题 P ：所有正方形都是平行四边形。
则 ⌝p 为A. 所有正方形都不是平行四边形B. 有的平行四边形不是正方形C. 有的正方形不是平行四边形D. 不是正方形的四边形不是平行四边形8.若 a > b > c > 1 且 ac < b2则A. log a b > log b c > log c aB. log c b > log b a > log a cC. log b c > log a b > log c aD. log b a > log c b > log a c二、多项选择题：本题共 4 小题每小题 5 分共 20 分。
2020年山东省高考数学模拟试卷(含答案)20200610
2020年山东省高考数学模拟试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A ＝{（x ，y ）|x +y ＝2}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x 2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{（1，1）}B ．{（﹣2，4）}C ．{（1，1），（﹣2，4）}D ．∅2．（5分）已知a +bi （a ，b ∈R ）是1−i 1+i的共轭复数，则a +b ＝（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．13．（5分）设向量a →=（1，1），b →=（﹣1，3），c →=（2，1），且（a →−λb →）⊥c →，则λ＝（ ） A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣34．（5分）（1x−x ）10的展开式中x 4的系数是（ ） A ．﹣210B ．﹣120C ．120D ．2105．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 中，∠SAB ＝∠ABC =π2，SB ＝4，SC ＝2√13，AB ＝2，BC ＝6，则三棱锥S ﹣ABC 的体积是（ ） A ．4B ．6C ．4√3D ．6√36．（5分）已知点A 为曲线y ＝x +4x（x ＞0）上的动点，B 为圆（x ﹣2）2+y 2＝1上的动点，则|AB |的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．3√2D ．4√27．（5分）设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则￢p 为（ ） A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形 8．（5分）若a ＞b ＞c ＞1且ac ＜b 2，则（ ） A ．log a b ＞log b c ＞log c a B ．log c b ＞log b a ＞log a c C ．log b c ＞log a b ＞log c aD ．log b a ＞log c b ＞log a c 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得09．（5分）如图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年～2018年（ ） A ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C ．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D ．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大10．（5分）已知双曲线C 过点（3，√2）且渐近线为y ＝±√33x ，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为x 23−y 2＝1B ．C 的离心率为√3C ．曲线y ＝e x ﹣2﹣1经过C 的一个焦点D ．直线x −√2y −1＝0与C 有两个公共点11．（5分）正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点．则（ ）A ．直线D 1D 与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D．点C与点G到平面AEF的距离相等12．（5分）函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）与f（x+2）都为奇函数，则（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为周期函数C．f（x+3）为奇函数D．f（x+4）为偶函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选1名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有种．14．（5分）已知cos（α+π6）﹣sinα=4√35，则sin（α+11π6）＝．15．（5分）直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），且与C交于A，B两点，则p＝，1|AF|+1|BF|=．16．（5分）半径为2的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，则△ABC，△ACD与△ADB面积之和的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①b1+b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝﹣25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．设等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是等比数列，，b1＝a5，b2＝3，b5＝﹣81，是否存在k，使得S k＞S k+1且S k+1＜S k+2？18．（12分）在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC 且DF＝AC．（1）若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；（2）若∠ABC＝45°，且BD＝3CD，求cos∠CFB．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°．（1）证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；（2）若EF=12BC，求二面角B﹣SC﹣D的余弦值．20．（12分）下面给出了根据我国2012年～2018年水果人均占有量y（单位：kg）和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2012年～2018年的年份代码x分别为1～7）．（1）根据散点图分析y与x之间的相关关系；（2）根据散点图相应数据计算得∑7i=1y i＝1074，∑7i=1x i y i＝4517，求y关于x的线性回归方程；（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果（精确到0.01）附：回归方程y=b x+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1(x i−x)(y i−y)，a=y−b x．∑n i−1(x i−x)221．（12分）设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点（1，√32），且离心率为√32，F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF ⊥x 轴，⊙F 的半径为PF ． （1）求E 和⊙F 的方程；（2）若直线l ：y ＝k （x −√3）（k ＞0）与⊙F 交于A ，B 两点，与E 交于C ，D 两点，其中A ，C 在第一象限，是否存在k 使|AC |＝|BD |？若存在，求l 的方程：若不存在，说明理由．22．（12分）函数f （x ）=a+x1+x （x ＞0），曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线在y 轴上的截距为112．（1）求a ；（2）讨论g （x ）＝x （f （x ））2的单调性；（3）设a 1＝1，a n +1＝f （a n ），证明：2n ﹣2|2lna n ﹣ln 7|＜1．2020年山东省高考数学模拟试卷答案解析1．解：将（1，1）代入A ，B 成立，则（1，1）为A ∩B 中的元素．将（﹣2，4）代入A ，B 成立，则（﹣2，4）为A ∩B 中的元素．故选：C ． 2．【解答】解：1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ，∴a +bi ＝﹣（﹣i ）＝i ， ∴a ＝0，b ＝1， ∴a +b ＝1，故选：D ．3．【解答】解：因为a →−λb →=（1+λ，1﹣3λ），又因为（a →−λb →）⊥c →， 所以（1+λ，1﹣3λ）•（2，1）＝2+2λ+1﹣3λ＝0，解得λ＝3，故选：A ． 4．【解答】解：由二项式（1x−x ）10的展开式的通项T r +1=C 10r (1x)10−r (−x)r =(−1)r C 10r x2r−10得，令2r ﹣10＝4，得r ＝7，即展开式中x 4的系数是(−1)7C 107=−120，故选：B ．5【解答】解：如图，因为∠ABC =π2，所以AC =√AB 2+BC 2=2√10， 则SA 2+AC 2＝40+12＝52＝SC 2，所以SA ⊥AC ，又因为∠SAB =π2，即SA ⊥AB ，AB ∩AC ＝A ，SA ⊄平面ABC ，所以SA ⊥平面ABC ， 所以V S ﹣ABC =13•SA •S △ABC =13×2√3×12×2×6=4√3， 故选：C ．6．【解答】解：作出对勾函数y ＝x +4x （x ＞0）的图象如图：由图象知函数的最低点坐标为A （2，4），圆心坐标C （2，0），半径R ＝1，则由图象知当A ，B ，C 三点共线时，|AB |最小，此时最小值为4﹣1＝3， 即|AB |的最小值是3， 故选：A ．7．【解答】解：命题的否定为否定量词，否定结论．故￢p ，有的正方形不是平行四边形． 故选：C ．8．【解答】解：因为a ＞b ＞c ＞1，令a ＝16，b ＝8，c ＝2， 则log c a ＞1＞log a b 所以A ，C 错， 则log c b =3＞log b a =43故D 错，B 对． 故选：B ．9．【解答】解：由图知财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势，A 对． 由图知城乡居民储蓄年末余额的年增长速度高于财政预算内收入的年增长速度，B 错． 由图知财政预算内收入年平均增长量低于城乡居民储蓄年末余额年平均增长，C 错． 由图知城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大，D 对． 故选：AD ．10．【解答】解：设双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1，根据条件可知ba=√33，所以方程可化为x 23b 2−y 2b 2=1，将点（3，√2）代入得b 2＝1，所以a 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 23−y 2=1，故A对；离心率e =c a =√a 2+b 2a 2=√3+13=2√33，故B 错；双曲线C 的焦点为（2，0），（﹣2，0），将x ＝2代入得y ＝e 0﹣1＝0，所以C 对；联立{x 23−y 2=1x −√2y −1=0，整理得y 2﹣2√2y +2＝0，则△＝8﹣8＝0，故只有一个公共点，故D 错，故选：AC ．11．【解答】解：取DD 1 中点M ，则AM 为AF 在平面AA 1D 1D 上的射影， ∵AM 与DD 1 不垂直，∴AF 与DD 1不垂直，故A 错；取B 1C 1中点N ，连接A 1N ，GN ，可得平面A 1GN ∥平面AEF ，故B 正确； 把截面AEF 补形为四边形AEFD 1，由等腰梯形计算其面积S =98，故C 正确；假设C 与G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于H ，而H 不是CG 中点，则假设不成立，故D 错．故选：BC ．12【解答】解：∵f （x +1）与f （x +2）都为奇函数，∴f （﹣x +1）＝﹣f （x +1）①，f （﹣x +2）＝﹣f （x +2）②，∴由①可得f [﹣（x +1）+1]＝﹣f （x +1+1），即f （﹣x ）＝﹣f （x +2）③， ∴由②③得f （﹣x ）＝f （﹣x +2），所以f （x ）的周期为2， ∴f （x ）＝f （x +2），则f （x ）为奇函数，∴f （x +1）＝f （x +3），则f （x +3）为奇函数，故选：ABC ．13【解答】解：由排列组合中的分步原理，从复活选手中挑选1名选手为攻擂者，共C 61=6种选法，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，共C 61=6种选法，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有6×6＝36种选法， 即攻擂者、守擂者的不同构成方式共有36种，故答案为：36．14．【解答】解：∵cos （α+π6）﹣sin α=√32cos α−12sin α﹣sin α=√3（12cos α−√32sin α）=√3cos（α+π3）=4√35， ∴cos （α+π3）=45．则sin （α+11π6）＝sin （α−π6）＝﹣cos （α−π6+π2）＝﹣cos （α+π3）=−45， 故答案为：−45．15．【解答】解：由题意，抛物线C 的焦点F （1，0）， ∴p2=1，故p ＝2．∴抛物线C 的方程为：y 2＝4x ．则可设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由抛物线的定义，可知：|AF |＝x 1+1，|BF |＝x 2+1． ①当斜率不存在时，x 1＝x 2＝1． ∴1|AF|+1|BF|=1x 1+1+1x 2+1=12+12=1．②当斜率存在时，设直线l 斜率为k （k ≠0），则直线方程为：y ＝k （x ﹣1）． 联立{y =k(x −1)y 2=4x，整理，得k 2x 2﹣2（k 2+2）x +k 2＝0，∴{△=4(k 2+2)2−4k 4=16(k 2+1)＞0x 1+x 2=2(k 2+2)k 2x 1⋅x 2=1．∴1|AF|+1|BF|=1x 1+1+1x 2+1=x 1+x 2+2x 1x 2+x 1+x 2+1=x 1+x 2+2x 1+x 2+2=1．综合①②，可知：1|AF|+1|BF|=1．故答案为：2；1．16．【解答】解：半径为2的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且AB ，AC ，AD 两两垂直， 如图所示则设四面体ABCD 置于长方体模型中，外接球的半径为2，故x2+y2+z2＝16，S＝S△ABC+S△ACD+S△ABD=12yz+12xy+12xz，由于2（x2+y2+z2）﹣4S＝（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2≥0，所以4S≤2•16＝32，故S≤8，故答案为：8．17．【解答】解：因为在等比数列{b n}中，b2＝3，b5＝﹣81，所以其公比q＝﹣3，从而b n=b2(−3)n−2=3×(−3)n−2，从而a5＝b1＝﹣1．若存在k，使得S k＞S k+1，即S k＞S k+a k+1，从而a k+1＜0；同理，若使S k+1＜S k+2，即S k+1＜S k+1+a k+2，从而a k+2＞0．若选①：由b1+b3＝a2，得a2＝﹣1﹣9＝﹣10，所以a n＝3n﹣16，当k＝4时满足a5＜0，且a6＞0成立；若选②：由a4＝b4＝27，且a5＝﹣1，所以数列{a n}为递减数列，故不存在a k+1＜0，且a k+2＞0；若选③：由S5=−25=5(a1+a5)2=5a3，解得a3＝﹣5，从而a n＝2n﹣11，所以当n＝4时，能使a5＜0，a6＞0成立．18．【解答】解：（1）如图所示在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC，所以S△ABC=12⋅AB⋅AC，S△CDF=12⋅CD⋅DF，且△CDF的面积等于△ABC的面积，由于DF＝AC，所以CD＝AB，D为BC的中点，故BC＝2AC，所以∠ABC＝60°．（2）如图所示：设AB＝k，由于∠A＝90°，∠ABC＝45°，BD＝3DC，DF＝AC，所以AC＝k，CB=√2k，BD=3√24k，DF＝k，由于DF⊥BC，所以CF2＝CD2+DF2，则CF=3√24k．且BF2＝BD2+DF2，解得BF=√344k，在△CBF中，利用余弦定理cos∠CBF=CF2+BF2−BC22⋅CF⋅BF=98k2+178k2−2k22⋅3√24k⋅√344k=5√1751．19．【解答】解：（1）取SB中点M，连接FM和MA，则四边形FMAE为平行四边形，∵EF与底面所成角度为45°，∴AM与底面所成角度为45°，即∠MAB＝45°，则△SAB为等腰直角三角形，则AM ⊥SB ，AM ⊥BC ，即AM ⊥面SBC ，EF ⊥面SBC ，则EF ⊥SC ，EF ⊥BC ，EF ⊥AD ，即EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线． （2）若EF =12BC ，设BC ＝2，则EF ＝1，则EM ＝FM =√22，CD ＝AB =√2，SA =√2，D （0，2，0），B （√2，0，0），则SC →=（√2，2，−√2），BC →=（0，2，0），CD →=（−√2，0，0），设面BCS 的法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅SC →=√2a +2b −√2c =0n →⋅BC →=2b =0，则{b =0a =c ，取a ＝c ＝1，则n →=（1，0，1） 设面SCD 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅SD →=√2x +2y −√2z =0m →⋅CD →=−√2x =0，则{x =02y =√2z，取z =√2，则y ＝1，则m →=（0，1，√2），则cos θ=m →⋅n→|m →||n →|=√2√2⋅√3=√33，由图象知二面角B ﹣SC ﹣D 为钝二面角．则二面角B ﹣SC ﹣D 的余弦值为−√33．20．【解答】解：（1）根据散点图可知，散点均匀的分布在一条直线附近，且随着x 的增大，y 增大，故y 与x 成线性相关，且为正相关；（2）依题意，x =17（1+2+3+4+5+6+7）＝4，y =17∑ 7i=1y i =17×1074≈153.43， b =∑ 71x i y i −7xy ∑ 71x i 2−7x2=∑ 71x 1y i −7x×y ∑ 71x i 2−7x2=4517−7×154.43×4140−7×42≈7.89， a =y −b x =154.43﹣7.89×4＝121.87，所以y 关于x 的线性回归方程为：y =7.89x +121.87；（3）由残差图可以看出，残差对应点分布在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好，回归方程的预报精度较高．21．【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1，∵椭圆的离心率e =√32，∴c a =√32，∵a 2＝b 2+c 2，∴a ＝2b ，将点（1，√32）代入椭圆的方程得：1a 2+34b2=1， 联立a ＝2b 解得：{a =2b =1，∴椭圆E 的方程为：x 24+y 2=1，∴F （√3，0），∵PF ⊥x 轴，∴P （√3，±12），∴⊙F 的方程为：(x −√3)2+y 2=14； （2）由A 、B 在圆上得|AF |＝|BF |＝|PF |＝r =12，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），|CF |=√(x 1−√3)2+y 12=2−√32x 1同理：|DF|=2−√32x 2，若|AC |＝|BD |，则|AC |+|BC |＝|BD |+|BC |，即|AB |＝|CD |＝1， ∴4−√32(x 1+x 2)=1，由{x 24+y 2=1y =k(x −√3)得(4k 2+1)x 2−8√3k 2x +12k 2−4=0， ∴x 1+x 2=8√3k24k 2+1∴4−12k24k 2+1=1得12k 2＝12k 2+3，无解，故不存在．22．【解答】解：（1）函数f （x ）=a+x 1+x （x ＞0）的导数为f ′（x ）=1−a(x+1)2， 曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为1−a 4，切点为（1，a+12），切线方程为y −a+12=1−a 4（x ﹣1）， 代入（0，112）可得112−a+12=1−a 4（0﹣1），解得a ＝7；（2）g （x ）＝x （f （x ））2＝x •（7+x 1+x）2=x 3+14x 2+49x(x+1)2，g ′（x ）=(x+7)[(x−2)2+3](x+1)3，当x ＞0时，g ′（x ）＞0，可得g （x ）在（0，+∞）递增；（3）要证2n ﹣2|2lna n ﹣ln 7|＜1，只需证|lna n −12ln 7|＜12n−1，即为|lnn √7|12n−1，只要证|lnn+1√7|12|lnn√7|由f （x ）在（0，+∞）递减，a n ＞0，若a n ＞√7，a n +1＝f （a n ）＜f （√7）=√7，此时n+1√7＜1n √7， 只要证ln √7a n+1＜ln （n √7）12，即为√7a n+1＜（n √7）12，即a n a n +12＞7√7，此时a n ＞√7，由（2）知a n a n +12＝g （a n ）＞g （√7）＝7√7； 若a n ＜√7，a n +1＝f （a n ）＞f （√7）=√7，此时n √71n+1√7， 只要证ln n+1√7＜ln （√7a n）12，即为n+1√7＜（√7a n ）12，即a n a n +12＜7√7，此时a n ＜√7，由（2）知a n a n +12＝g （a n ）＜g （√7）＝7√7； 若a n =√7，不等式显然成立． 综上可得|ln n+1√7|12|lnn√7|（n ≥1，n ∈N *）成立，则|lnn√7|12n−1•|ln1√7|=12n−1•12ln 7，由12ln 7＜12lne 2＝1，可得|lnn√7|12n−1，则2n ﹣2|2lna n ﹣ln 7|＜1成立．。
2020年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题一含答案
2020年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（一）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}20M x x x =-≥，{}2N x x =<，则MN =（ ）A ．{}0x x ≤B ．{}12x x ≤<C ．{}012x x x ≤≤<或D ．{}01x x ≤≤ 2．已知i 为虚数单位，则复数131ii-+的虚部为（ ） A ．2- B ．2i - C ．2 D ．2i3．设a R ∈，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设向量a ，b 满足()3,1a b +=，1a b ⋅=，则a b -=（ ）A ．2BC ． D5．在6⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154 B ．154- C ．38 D ．38-6．已知函数()()1f x x x =+，则不等式()()220f x f x +->的解集为（ ） A ．()2,1- B ．()1,2- C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),21,-∞-+∞7．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作直线与C 及其渐近线分别交于Q ，P 两点，且Q 为2PF 的中点．若等腰三角形12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距．则C 的离心率为（ ）A ．27-+ B ．43 C ．27+ D ．328．将函数sin 2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,124ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是（ ）注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A ．互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多 10．对于实数a ，b ，m ，下列说法正确的是（ ） A ．若22am bm >，则a b >B ．若a b >，则a a b b >C ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ D ．若0a b >>且ln ln a b =，则()23,a b +∈+∞11．已知函数()122log x f x x =-，且实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <．若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x b < D ．0x c < 12．已知函数()ln f x x =，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则（ ）A12= B ．12128x x < C ．1232x x +< D ．2212512x x +> 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知cos 5θ=-，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2θ=________． 14．一组数据的平均数是8，方差是16，若将这组数据中的每一个数据都减去4，得到一组新数据，则所得新数据的平均数与方差的和是________．15．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点．60ABC ∠=︒，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥РABC -的体积为1V ，三棱锥O ABC -的体积为2V ．若12V V 的最大值为3．则球O 的表面积为________．16．已知直线:2l y x b =+与抛物线()2:20C y px p =>相交于A ，B 两点，且5AB =，直线l 经过C的焦点．则p =________，若M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为________．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，试从下列①②条件中任选一个作为已 知条件并完成下列（1）（2）两问的解答． ①sin sin in sin s C A A b a cB--=+； ②2cos cos cos c C a B b A =+．（1）求角C ；（2）若c =，a b +=ABC 的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列．满足15a =．且2a ，9a ，30a 成等比数列． （1）求{}30a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N +-=∈，且13b =，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A ．（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求二面角D BC A --的余弦值．20．（12分）设点()A ，)B ，直线AP 和BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，点M 和N 是轨迹C 上不同的两点，且满足//AP OM ，//BP ON ，求证：MON 的面积为定值．21．（12分）为了应对新型冠状病毒肺炎带来的强传染性，外出佩戴口罩成为必要．某工厂生产N 95型口罩并成箱包装，每箱200件，每一箱口罩出厂前要对产品进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率为()01p p <<，且每件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有两件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现对一箱口罩检验了20件，结果恰有2件不合格．以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（ⅰ）若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱口罩的检验费用和赔偿费用的和记为X ，求()E X ． （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为依据，是否应该对该箱余下的所有口罩做检验？ 22．（12分）已知定义在区间()0,2上的函数()ln mf x xx =+，m R ∈． （1）证明：当1m =时，()1f x ≥；（2）若曲线()y f x =过点()1,0A 的切线有两条，求实数m 的取值范围．参考答案1．C 由20x x -≥，解得1x ≥或0x ≤，所以集合{}10M x x x =≥≤或．因为{}2N x x =<，所以{}012MN x x x =≤≤<或．故选C ．2．A()()()()1311324121112i i i i i i i i -----===--++-，∴复数131ii -+的虚部为2-．故选A ． 3．A 直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，则21a =且51a≠-，解得1a =±，所以当1a =±时，满足两直线平行，则“1a =-”是“两条直线平行”的充分不必要条件．故选A ．4．B 因为()3,1a b +=，所以231a b +=+=22410416a b a b a b -=+-⋅=-⨯=，所以6a b -=．故选B ．5． D 由二项式定理可得62⎛⎫- ⎝的通项为()()663166120,1,2,3,62r r rrr r rrT C C x r---+⎛⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎝⎝⎭，令32r-=，则1r=，所以2x的系数为()6111613228C-⎛⎫⨯-=-⎪⎝⎭．故选D．6．D ()()1f x x x=+，()()()1f x x x f x∴-=-+=-，()f x∴为定义域R上的奇函数．又当0x>时，()()21f X x x x x=+=+为增函数，()f x∴在R上单调递增．由()()220f x f x+->知，()()()222f x f x f x>--=-，22x x∴>-，即220x x+->，解得2x<-或1x>．故选D．7．C 连接1QF，由12PF F为等腰三角形且Q为2PF的中点，由2PF c=知12QF PF⊥，且22cQF=．由双曲线的定义知122cQF a=+，在12Rt FQF中，()2222222c ca c⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得双曲线C的离心率e=．故选C．8．C 函数sin2y x=的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到函数()()sin22f x xϕ=-的图象，则当0,4xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，222,22xπϕϕϕ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦．由函数()f x在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，可知，()2222222kk Zkππϕππϕπ⎧-+≤-⎪⎪∈⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()4k k Zkππϕπ-≤-∈≤．又由02πϕ<<，可知04ππ<≤①．函数()f x的所有零点满足()22x k k Zϕπ-=∈，即()12k Zx kπϕ=+∈，由最大负零点在5,126ππ⎛⎫--⎪⎝⎭内，得()511226Zk kπππϕ-+<-∈<，即()51112262Zk k kπππϕπ--<<-∈-，由02πϕ<<可知，当1k=-时，123ππϕ<<②．由①②可得，ϕ的取值范围为,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦．故选C．9．ABC 由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，超过20%，所以互联网行业从业人员（包括“90后”“80后”“80前”）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56%17%9.52%⨯=，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C 正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D 不一定正确．故选ABC ．10．ABCD 对实数a ，b ，m ．22am bm >，a b ∴>，A 正确；a b >，分三种情况，当0a b >>时，a ab b >成立；当0a b >>时，a a b b >成立；当0a b >>时，a a b b >成立，a a b b ∴>成立，B 正确；0b a >>，0m >，()()()()()0()a m b a b m b a ma m a ab bm ab am b m b b b m b b m b b m +-+-++---===+++∴>+，C 正确；若0a b >>，且ln ln a b =，1a b ∴=，且1a >．122a b a a ∴+=+，设()()121f a a a a=+>，()2120a f a =-'>，()f a ∴在区间()1,+∞上单调递增，当1a →时，()3f a →，()3f a ∴>，即()23,a b +∈+∞，D 正确．11．ABC 由()122log x f x x =-，可知函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增．因为实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <，则()f a ，()f b ，()f c 可能都小于0或有1个小于0，2个大于0，如图．则A ，B ，C 可能成立，0x c >，D 不可能成立．12．AD 由题意知()()10f x x x'=->，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，所以()()12f x f x ''=，1211x x =，12+=，A 正确；由基本不等式及12x x ≠，可得12=>，即12256x x >，B 错误；1232x x +>>，C 错误；2212122512x x x x +>>，D 正确．故选AD ．13．解析：（方法一）因为cos 5θ=-，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 5θ=，所以22222sin 22sin cos 4an 2cos 2cos t sin 3θθθθθθθ⎛ ⎝⎭====-⎛- ⎝⎭⎝⎭．（方法二）因为cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin θ=，所以tan 2θ=-，所以()()22222tan 4tan 21tan 312θθθ⨯-===---． 答案：4314．解析：因为原数据平均数是8，方差为16，将这组数据中的每一个数据都减去4，所以新数据的平均数为4，方差不变仍为16，所以新数据的方差与平均数的和为20． 答案：2015．解析：如图所示，设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则1OO ⊥平面ABC ．设球O 的半径为R ，1OO d =，则22sin sin 60ABC AC r ===︒∠，即r =．当P ，O ，1O 三点共线时，12max3V R d V d ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即2R d =．由222R d r =+，得2169R =，所以球O 的表面积26449S R ππ==． 答案：649π16．解析：由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-．∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222y x p y px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由一元二次方程根与系数的关系得1232px x +=，又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =，∴抛物线2:4C y x =．设()00,M x y ，由题意知204y x =，则()()()2222200000334188x y x x MN x =-+=-+=-+≥，当01x =时，2MN 取得最小值8，MN ∴的最小值为答案：2 17．解：（1）选择①， 根据正弦定理得a c a bb a c--=+， 从而可得222a c ab b -=-，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 解得1cos 2C =， 因为()0,C π∈， 故3C π=（5分）选择②， 根据正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=．即()sin 2sin cos A B C C +=， 即sin 2sin cos C C C =， 因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，从而有1cos 2C =， 故3C π=． （5分）（2）根据余弦定理得2222cos c a b ab C =+-．得225a b ab =+-， 即()253a b ab =+-， 解得2ab =， 又因为ABC 的面积为12sin ab C ， 所以ABC． （10分） 18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠． 因为2a ，9a ，30a 成等比数列， 所以()()()2111298a d a d a d ++=+．又15a =，解得2d =或0d =（舍），所以23n a n =+． （4分） （2）依题意得123n n b b n +-=+，即121n n b b n --=+（2n ≥且*n N ∈）， 所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+()()()221321215322n n n n n n ++=++-+++==+． （7分）13b =对上式也成立，所以()2n b n n =+，即()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． （9分） 所以11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()1113232124211122n nn n n ⎛⎫=+ +--=-+++⎝⎭+⎪． （12分） 19．（1）证明：因为侧面11ABBA 是矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点，所以AD =．在1Rt ABB 中，11tan 2AB AB B BB ∠==，在Rt ABD 中，tan ABD AD AB ==∠，所以1AB B ABD ∠=∠．又1190BAB AB B ∠+∠=︒，所以190BAB ABD ∠+∠=︒，所以在AOB 中，90BOA ∠=︒，即1BD AB ⊥，又CO ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，所以1CO AB ⊥，又BD CO O =，所以1AB ⊥平面BCD ．又BC ⊂平面BCD ，所以1BC AB ⊥． （6分）（2）解：由（1）可知OD ，1OB ，OC 两两垂直．如图，以O 为坐标原点，分别以OD ，1OB ，OC 所在直线为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，则0,,03A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以33AB ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝=⎭，0,33AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()DB =-，BC ⎛= ⎝⎭．设平面ABC 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0033x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令1x =，得y =，z =，则(11,2,n =．又平面BCD 的一个法向量为()20,1,0n =，设二面角D BC A --的大小为θ，由题图可知θ为锐角，则12122cos 55n n n n θ⋅===⋅，所以二面角D BC A --的余弦值是5． （12分） 20．（1）解：设点P 的坐标为(),x y ，由题意知23AP BP k k ==-⋅， 化简得点P的轨迹方程为(22132x y x +=≠． （4分） （2）证明：由题意知，直线AP ，BP 斜率存在且不为0， 又由已知得23AP BP k k =-⋅， 因为//AP OM ，//BP ON ，所以23OM ON k k =-⋅． 设直线MN 的方程为x my t =+，代入C 的方程得()222234260m y mty t +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ， 则122423mt y y m +=-+，21222623t y y m -=+， （6分） 又()212122222121212262363OM ON y y y y t k x x m y y y t k mt y t m -⋅====-+++-，得22223t m =+． 所以12111222MONS t y y t t =-===，即MON 的面积为定值2（12分） 21．解：（1）从这箱产品中任取20件检验，每件产品为不合格品的概率为()01p p <<，且每件产品是否为不合格品相互独立．因此设X 为不合格口罩数，X 符合二项分布．所以()()1822201f p C p p =-，所以()()()1722021110f p C p p p '=--，故当00.1p =时，()f p 取最大值． （5分）（2）（ⅰ）设剩余180件口罩中不合格品为Y ，则()~180,0.1Y B ，()18E Y =，则检验费用和赔偿费用之和为20225X Y =⨯+，()()4025E X E Y =+，所以()490E X =． （9分）（ⅱ）整箱检验费用为2200400⨯=元，因为()490400E X =>，所以需要对余下的所有口罩做检验． （12分）22．（1）证明：当1m =时，()1ln f x x x=+ ． ()22111x f x x x x-'=-+=， ()f x ∴在(]0,1上单调递减，在[)1,2上单调递增，()()min 11f x f ∴==，()1f x ∴≥． （3分）（2）解：当0m =时，()ln f x x =，()0,2x ∈，可知不符合题意．当0m ≠时，设切点为()()00,x f x （显然01x ≠），又切线过点()1,0A ，()()()00001f x f x x '∴-=-，即()()0001f x f x x '=-， 000200ln 1mx m x x x x +=∴--， 整理得0200l 10n 21x m m x x ++--=． （*） 由题意，得方程（*）在区间()0,2上有两个不同的实数解． （5分）（方法一）令()221ln 1m m g x x x x+=+--， ()()()321x m x g x x --'=．①当21m =，即12m =时，()g x 在()0,2上单调递增，∴此时不满足要求． （6分） ②当21m >，即12m >时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减或在()0,1，()2,2m 上单调递增，在()1,2m 上单调递减，而()()1120g me e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()10g m =>，()3212ln 21ln 2048m g +=+->->，()12ln 204g m m m=+>， ()g x ∴在区间()0,1上有唯一的零点，在区间()1,2上无零点．∴此时不满足要求． （8分）③当021m <<，即102m <<，()g x 在()0,2m 上单调递增，在()2,1m 上单调递减，在()1,2上单调递增． ()21ln 10m e e m m g e e m +-⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，()10g m =>，()20g m >，()20g >， ()g x ∴在区间()0,2上有唯一的零点，∴此时不满足要求． （10分）④当0m <时，()g x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增．()()1120g me e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，()10g m =<，()322ln 24m g -=+． 当()20g ≤，即24ln 23m -≤时，()g x 在区间()0,2上有唯一的零点，此时不满足要求． 当()20g >，即24ln 203m -<<时，()g x 在区间()0,1和()1,2上各有一个零点，设为1x ，2x ． 此时，()21m f x x x '=-，显然()f x '在区间()0,2上单调递减． ()()12f x f x ''∴≠，∴此时满足要求．综上所述，实数m 的取值范围是24ln 2,03-⎛⎫ ⎪⎝⎭． （12分） （方法二）关于0x 的方程()0020021110ln x x x m x -+-+=在区间()0,2内有两个不同的实数解，显然12不是方程的解，故原问题等价于22l 12n x x x x m x+-=-在区间()0,2内有两个不同的实数解． 设()()22112l 2ln 1n x x x x x x x s x x x x +-+-==--，02x <<，12x ≠， 则()()()2ln 11212x x x x s x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=-，02x <<，12x ≠． 令()2ln 1h x x x =+，02x <<，12x ≠， 则()221221x h x x x x -'=-+=， 故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()12ln 402h x h ⎛⎫∴>=-> ⎪⎝⎭． ∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0s x '>．当()1,2x ∈时，()0s x '<， 从而当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()s x 单调递增， 当()1,2x ∈时，()s x 单调递减． （9分）令()1ln t x x x x =+-，02x <<，12x ≠，()ln t x x '∴=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0t x '<，当()1,2x ∈时，()0t x '>， ()()10t x t ∴≥=．∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0s x >， 当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0s x ≤． 而当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()10s x s ≤=，当x 从12右侧趋近12时，()s x →-∞，作出()s x 的大致图象如图所示， 故22l 12n x x x x m x +-=-在区间()0,2内有两解()20s m ⇔<<，解得24ln 203m -<<，即实数m 的取值范围是24ln 2,03-⎛⎫ ⎪⎝⎭． （12分）。
山东省2020年高考模拟考试数学试题 Word版含答案
山东省2020年普通高等院校统一招生模拟考试高三教学质量检测数学试题2020．02本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a b r r ，满足()()1,2a b a b a b ==+⊥-u u r u u r r r r r，则向量a b r r 与的夹角为 A ．45oB ．60oC ．90oD ．120o4．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a = A ．23B ．32C ．43D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是A ．4B ．3C ．2D ．16．在ABC ∆中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，若，则 A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．22y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省2020年高考数学模拟考试题与答案
山东省2020年高考数学模拟考试试题及答案按珈密级苇项管理*启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷）数学asw 项：1. 答卷前，考生务必将口己的姓名、考生号等填遞在答题卡和试卷指定位匿匕工回答选择题时，选岀每小题答案屁用铅抠把答题R上对应题冃的答案折号涂熾如磁动,用橡皮掠干净后，再选涂苴他答案标号*回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
另在本试卷上无效，生考试结束存*将本试卷和答題卡…井交回。
—、单项选择题：本趣共$小舐每小題§分・共豹分。
在每小题给出的四个选琐中，只有一项是符合髒目要求的“1, 迎集合/訂（工』）ix+?=2｝, 则*n七A. ｛（ij）｝氐｛（一签4）｝ C HM）J-2f4）｝6 02. 已知◎牛bi⑷b左R）是上二的共扳复数・则a^b =1 +1A- -1 B.-丄C- ；D・ 12 23* Bt向fi4-（.1,1）t A = c»（2,!）> 且（■-几血）丄―则丄“A. 3 氐2 G -2-34. 幵式中『抽系数足xA.-210B. -12QC. 120D. 2105+已知三按锥$_仙C中，ZSAB = ZABC= y * 5^-4• SC = 1J\3. XB = 2,5C = 6, 则三棱锥S 亠ABC的体积是A. 4B. 6 G 4巧D+ M6. 己知点丄为曲纯y二工+毀工:>0）上前动点，月为圆2F +/=!上的动点’则皿鋼X的最小值是九3 B•斗G迈 D. 4^27, 设命題戸所有正方形都是平行叫边母*则「卩为d所宿疋方形罰不長平行四边形B-有的平行四边底不是正方舷C”有的iE方形不是平行四边形 D.不是正方形的四边彫不是平行四边形数学试题第1页：（共5贡）数学试題第2页（共5页〉数学试題第2页（共5页〉8. 若>1 且 MC F ・则4. log 」、1隅疋、teg 評 C. log f c> lo£fl 5> lo 空 a二、多項远择题*本题共4」卜駆•毎小题5^-共20分・存毎小额给岀的选项中、右 多项精合倾目蓉求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选措的得0分“ 9. 下国为茱地桜2006年〜2018年地方財政预算内收入、城乡居民储齧年未余额折线2财政预篇内收入*城乡居民储蓄年朮余额肉呈増怅趋势 R.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C. 赃政预畀内收入年平均增长虽局于城乡居民储蔷年末余额年平均增机帚 D, 城乡居艮储蓄年末余鈿与财政预算内收入的差報逐年增大w.已知艰曲线＜?过点Q 品且渐近钱为丿=±¥厂则下列结论正确的是A, C 的方程为■- / -I B ・0的离心翠为J5 C ・曲线经过C 的一于焦点 D.直线"逅厂1“与C 有两个公共点11正方陣」肌也GO 的梭长为1・E , F 、（?分别为5C, CC 「1?鸟的中点•则扎直线与直线曲垂直 B.直^Afi 与平面*防平行C 平面/EF 截正方体所得的載画面积为? D.点C?与点石到平而*EF 曲聊离相諄B- log"〉k 唱』a lug/ D, log/A 】0£ 占 > log/城乡尿民储雷叶朿 ♦余额C 百亿元】 亠地方财政预算内 收入f 百亿元）根据该折线I ］可Sb 该地区2006年-2018年\2.函数/(巧的定义域为K, fi7(^ + 1) f(x^2)都为奇函数，则A. 奇函数氐/V)为周期雷数C /(x + 3)为奇函数 D. /(I +4)X J®^I数三填空駆本题共4小题、每小题3分，共20分。
2020年山东省新高考数学第一次模拟模拟检测试卷 含解析
2020年新高考数学第一次模拟试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝{x|x＞0}B．A∩B＝{x|x＞1}C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∪B＝R2．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．设x∈R，则“2x＞8”是“|x|＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C．2015年与2018年艺体达线人数相同D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加5．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（，），则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣6．2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（）A．B．C．D．7．已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若△FAB的面积等于，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．8．设函数则下列结论中正确的是（）A．对任意实数a，函数f（x）的最小值为B．对任意实数a，函数f（x）的最小值都不是C．当且仅当时，函数f（x）的最小值为D．当且仅当时，函数f（x）的最小值为二、多项选择题（共4小题）9．已知空间中不同直线m、n和不同平面α、β，下列命题中是真命题的是（）A．若m、n互为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βC．若n⊥α，m∥α，则n⊥mD．若α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β10．如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ+3μ，则（）A．P为线段OC的中点时，μ＝B．P为线段OC的中点时，μ＝C．无论μ取何值，恒有λ＝D．存在μ∈R，λ＝11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且满足a1＞0，S11＝S18，则对S n描述正确的有（）A．S14是唯一最大值B．S15是最大值C．S29＝0D．S1是最小值12．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的零点构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[]上是增函数B．其图象关于直线x＝对称C．函数g（x）是偶函数D．在区间[]上的值域为[﹣，2]三、填空题（共4小题）13．若函数f（x）＝x﹣alnx在点（1，1）处的切线方程为y＝2x﹣1，则实数a＝．14．数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝a n+ln（1+），则a10＝．15．已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，的值为；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值为．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤）17．在△ABC中，3sin A＝2sin B，．（1）求cos2C；（2）若AC﹣BC＝1，求△ABC的周长．18．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径5859616263646566676869707173合计/mm件数11356193318442121100经计算，样本的平均值μ＝65，标准差＝2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E （Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．19．已知等差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．20．如图在直角△ABC中，B为直角，AB＝2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将△AEF 沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；（Ⅱ）若DE⊥BE，求二面角E﹣MF﹣C的余弦值．21．如图，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，设A，B分别为椭圆C的右顶点，下顶点，△OAB的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）已知不经过点A的直线l：y＝kx+m（k≠0，m∈R）交椭圆于P，Q两点，线段PQ 的中点为M，若|PQ|＝2|AM|，求证：直线l过定点．22．已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；（2）设x0是f（x）的极小值点，且f（x0）≥0，证明：f（x0）≥2（x02﹣x03）．参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题网要求的）1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝{x|x＞0}B．A∩B＝{x|x＞1}C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∪B＝R【分析】可解出集合B，然后进行交集、并集的运算即可．解：B＝{x|x＞0}，A＝{x|x＞1}；∴A∩B＝{x|x＞1}，A∪B＝{x|x＞0}．故选：B．2．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（1﹣i）z＝2i，得z＝，∴．故选：A．3．设x∈R，则“2x＞8”是“|x|＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：由2x＞8得x＞3，由“|x|＞3”得x＞3或x＜﹣3，即“2x＞8”是“|x|＞3”的充分不必要条件，故选：A．4．某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C．2015年与2018年艺体达线人数相同D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【分析】作差比较可得．解：设2015年高考考生人数为x，则2018年高考考生人数为1.5线，由24%• 1.5x﹣28%•x＝8%•x＞0，故选项A不正确；由（40%• 1.5x﹣32%•x）÷32%•x＝，故选项B不正确；由8%• 1.5x﹣8%•x＝4%•x＞0，故选项C不正确；由28%• 1.5x﹣32%•x＝42%•x＞0，故选项D正确．故选：D．5．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（，），则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得sinα和cosα的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．解：平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（，），|OP|＝1，∴sinα＝，cosα＝，则sin2α＝2sinαcosα＝，故选：B．6．2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（）A．B．C．D．【分析】用对立事件解决，设A＝{小张和小王至多1人被抽中}，B＝{小张和小王都被抽中}，A，B互为对立事件，B包含一个基本事件，代入概率公式即可．解：小王和小李至多1人被抽中的反面为，小王和小李都被抽中．设A＝{小张和小王至多1人被抽中}，B＝{小张和小王都被抽中}，则B包含1个基本事件，∴p（A）＝1﹣p（B）＝1﹣＝．故选：D．7．已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若△FAB的面积等于，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，利用三角形的面积转化求解即可．解：抛物线y2＝8x的准线：x＝﹣2，双曲线的两条渐近线y ＝x，抛物线y2＝8x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B 两点，可得|AB|＝，△FAB的面积等于，F为抛物线的焦点（2，0）可得：＝8，可得b＝，所以b2＝3a2＝c2﹣a2，可得e＝＝2．故选：C．8．设函数则下列结论中正确的是（）A．对任意实数a，函数f（x）的最小值为B．对任意实数a，函数f（x）的最小值都不是C．当且仅当时，函数f（x）的最小值为D．当且仅当时，函数f（x）的最小值为【分析】运用指数函数的值域，以及二次函数的值域求法，注意对称轴和区间的关系，即可得到所求结论．解：当x≤a时，f（x）＝e x∈（0，e a]，当x＞a时，f（x）＝x2﹣x+a＝（x﹣）2+a﹣，要使f（x）取得最小值a﹣，即为x＝处取得，从而a＜，又当x≤a时，f（x）∈（0，e a]，可得a﹣≤0，可得a≤，故选：D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求.全部选对的得5分，部分选对的程3分，有选错的得0分）9．已知空间中不同直线m、n和不同平面α、β，下列命题中是真命题的是（）A．若m、n互为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βC．若n⊥α，m∥α，则n⊥mD．若α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β【分析】利用直线与直线的位置关系，以及直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，判断选项的正误即可．解：由m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在①中，若m、n互为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β，①是真命题；α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故错误；在②中，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β，或α与β相交或平行，故②错误；在③中n⊥α，m∥α，则n⊥m，故③是真命题；在④中，α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β，也可能n⊂β，故④错误．故选：AC．10．如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ+3μ，则（）A．P为线段OC的中点时，μ＝B．P为线段OC的中点时，μ＝C．无论μ取何值，恒有λ＝D．存在μ∈R，λ＝【分析】运用向量的加法表示；再应用平面向量基本定理得λ和μ．解：＝+＝+λ＝+λ（）＝（1﹣λ）+λ，因为与共线，所以＝，解得λ＝，故C正确，D错误；当P为OC中点时，则＝，则1﹣λ＝μ，λ＝×3μ，解得μ＝，故A正确，B错误；故选：AC．11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且满足a1＞0，S11＝S18，则对S n描述正确的有（）A．S14是唯一最大值B．S15是最大值C．S29＝0D．S1是最小值【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且满足a1＞0，S11＝S18，∴d＜0，11a1+55d＝18a1+d，化为：a1+14d＝0＝a15．∴S29＝29a15＝0．S14，S15都是最大值．故选：BC．12．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的零点构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[]上是增函数B．其图象关于直线x＝对称C．函数g（x）是偶函数D．在区间[]上的值域为[﹣，2]【分析】由三角函数图象的平移得：g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin2x，由三角函数图象的性质得：y＝g（x）是在[，]为减函数，其图象关于直线x＝（k∈Z）对称的奇函数，由三角函数的值域得：当x时，2x∈[，]，函数g（x）值域为[﹣，2]，得解解：f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+），由函数f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，则周期T＝π，即ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin2x，易得：y＝g（x）是在[，]为减函数，其图象关于直线x＝（k∈Z）对称的奇函数，故选项A，B，C错误，当x时，2x∈[，]，函数g（x）的值域为[﹣，2]，故选项D正确，故选：D．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）＝x﹣alnx在点（1，1）处的切线方程为y＝2x﹣1，则实数a＝﹣1．【分析】求出原函数的导函数，再由f′（1）＝2列式求解a值．解：∵函数f（x）＝x﹣alnx的导数为f′（x）＝1﹣，∴在点（1，1）处的切线斜率为f′（1）＝1﹣a，又∵在点（1，1）处的切线方程为y＝2x﹣1，∴1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故答案为：﹣1．14．数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝a n+ln（1+），则a10＝3+ln10．【分析】通过数列的递推关系式，利用累积法，结合对数运算法则，转化求解即可．解：数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝a n+ln（1+），a2＝a1+ln（1+1），a3＝a2+ln（1+），a4＝a3+ln（1+），…a10＝a9+ln（1+），累积可得a10＝a1+ln2+ln+ln+…+ln＝3+ln10．故答案为：3+ln10．15．已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为【分析】设正四棱柱的高为h，结合过正四棱柱的圆锥的轴截面，根据三角形相似得到正四棱柱底面边长和高的关系，用h表示出正四棱柱的体积，求最值即可．解：依题意，如图为过正四棱柱的圆锥的轴截面，设正四棱柱的高为h，底面边长为a，则O，O1分别为AC，A1C1的中点，所以A1C1＝，EF＝2，△SA1C1∽△AEF，所以，即，所以a＝，（0＜h＜2）所以正四棱柱的体积V＝a2h＝＝，令V'＝＝（h﹣2）（3h﹣2）＝0，得h＝，或者h＝2（舍）．当时，V'＞0，当时，V'＜0，所以当时，V（h）单调递增，当时，V（h）单调递减，故当h＝时，V有最大值，此时a＝＝．故填：．16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，的值为2；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值为﹣2．【分析】利用斜率的数量积直接求解的值；利用，判断P所在的位置，求解最小值即可．解：矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，＝||cos∠POB＝2×1＝2；当点P沿着BC，CD与DA 边运动时，的最小值，＝||cos∠POB，P应该在线段AD 上，此时＝||cos∠POB＝2×（﹣1）＝﹣2；故答案为：2；﹣2．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤）17．在△ABC中，3sin A＝2sin B ，．（1）求cos2C；（2）若AC﹣BC＝1，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2C ＝的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．（2）由正弦定理可得：3a＝2b，结合b﹣a＝1，即可解得a，b的值，由（1）可得cos C ＝，利用余弦定理可求c的值，即可得解△ABC的周长．解：（1）∵，∴cos2C ＝＝，∴cos2C＝2cos2C﹣1＝2×﹣1＝﹣．（2）∵3sin A＝2sin B，∴由正弦定理可得：3a＝2b，又∵AC﹣BC＝1，即：b﹣a＝1，∴解得：a＝2，b＝3，∵由（1）可得：cos C ＝，∴由余弦定理可得：c ＝＝＝，∴△ABC的周长a+b+c＝5+．18．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径5859616263646566676869707173合计/mm件数11356193318442121100经计算，样本的平均值μ＝65，标准差＝2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E （Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）＝2×＝；（ⅱ）确定Z的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望E（Z）．解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝P（62.8＜X≤67.2）＝0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝P（60.6＜X≤69.4）＝0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝P（58.4＜X≤71.6）＝0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）＝2×＝；…（ⅱ）由题意可知Z的分布列为Z012P故E（Z）＝0×+1×+2×＝．…19．已知等差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．【分析】（1）因为{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列，可得，即，解得a1．利用通项公式即可得出．（2）利用错位相减法即可得出．解：（1）因为{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列，所以，即，解得a1＝1．………………所以a n＝a1+（n﹣1）d＝n．………………………………………（2），………两式相减得………所以………………………所以．…………………………………20．如图在直角△ABC中，B为直角，AB＝2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将△AEF 沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；（Ⅱ）若DE⊥BE，求二面角E﹣MF﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，四边形EFMN是平行四边形，由EF⊥BE，EF⊥DE，得EF⊥平面BDE，从而EF⊥EN，MF⊥MN，求出MF⊥CD，由此能证明MF⊥平面BCD．（Ⅱ）以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣MF﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，∵MN，EF，∴四边形EFMN是平行四边形，∵EF⊥BE，EF⊥DE，BE∩EF＝E，∴EF⊥平面BDE，∴EF⊥EN，∴MF⊥MN，在△DFC中，DF＝FC，又∵M为CD的中点，∴MF⊥CD，又∵MF∩MN＝M，∴MF⊥平面BCD．解：（Ⅱ）∵DE⊥BE，DE⊥EF，BE∩EF＝E，∴DE⊥平面BEF，以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BC＝2，则E（0，0，0），F（0，1，0），C（﹣2，2，0），M（﹣1，1，1），∴＝（0，1，0），＝（﹣1，0，1），＝（2，﹣1，0），设面EMF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，1），同理，得平面CMF的法向量＝（1，2，1），设二面角E﹣MF﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角E﹣MF﹣C的余弦值为．21．如图，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，设A，B分别为椭圆C的右顶点，下顶点，△OAB的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）已知不经过点A的直线l：y＝kx+m（k≠0，m∈R）交椭圆于P，Q两点，线段PQ 的中点为M，若|PQ|＝2|AM|，求证：直线l过定点．【分析】（1）由离心率和三角形OAB的面积及a，b，c之间的距离求出a，b的值，进而求出椭圆的方程．（2）设P，Q的坐标，因为线段PQ的中点为M，若|PQ|＝2|AM|，可得以PQ为直径的圆过A点，即所以＝0，求得k，m的关系进而切线直线l的方程，可得过的定点的坐标，将过的A点舍弃．解：（1）有题意可得＝，＝1，c2＝a2﹣b2，解得：a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）证明：由（1）可得A（2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线与椭圆联立可得：，整理可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，△＞0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝+2m＝，因为线段PQ的中点为M，若|PQ|＝2|AM|，所以可得以PQ为直径的圆过A点所以＝0，（x1﹣2，y1）（x2﹣2，y2）＝0，可得x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2＝0，即4（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4＝0，可得12k2+16km+5m2＝0，解得：k＝﹣，k＝﹣m，所以直线为：y＝﹣m（x﹣2），或y＝﹣（x﹣），所以直线l过定点（2，0）或（，0），而直线不过A点，所以直线l过（，0）．22．已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；（2）设x0是f（x）的极小值点，且f（x0）≥0，证明：f（x0）≥2（x02﹣x03）．【分析】（1）先求得导函数，根据定义域为（0，+∞），可构造函数g（x）＝xe x﹣1﹣a，通过求导及分类讨论，即可求得a的取值范围．（2）由（1）令﹣a＝0，通过分离参数得a＝，同时求对数，根据函数f（x0）≥0，可得1﹣x0﹣lnx0≥0．构造函数g（x）＝1﹣x﹣lnx及H（x）＝x﹣lnx ﹣1，由导数即可判断H（x）的单调情况，进而求得H（x）的最小值，结合f（x0）＝（1﹣x0﹣lnx0）即可证明不等式成立．解：（1）∵函数f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．∴．令g（x）＝xe x﹣1﹣a，则g′（x）＝（x+1）e x﹣1＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵当x→0时，g（x）→﹣a，当x→+∞时，g（x）→+∞．∴当a≤0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，不存在极值点；当a＞0时，g（x）的值域为（﹣a，+∞），必存在x0＞0，使g（x0）＝0．∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴f（x）存在极小值点．综上可知实数a的取值范围是（0，+∞）．证明：（2）由（1）知﹣a＝0，即a＝．∴lna＝lnx0+x0﹣1，f（x0）＝（1﹣x0﹣lnx0）．由f（x0）≥0，得1﹣x0﹣lnx0≥0．令g（x）＝1﹣x﹣lnx，由题意g（x）在区间（0，+∞）上单调递减．又g（1）＝0，∴由f（x0）≥0，得0＜x0≤1，令H（x）＝x﹣lnx﹣1，（x＞0），则H′（x）＝1﹣＝，当x＞1时，H′（x）＞0，函数H（x）单调递增；当0＜x＜1时，H′（x）＜0，函数H（x）单调递减；∴当x＝1时，函数H（x）取最小值H（1）＝0，∴H（x）＝x﹣lnx﹣1≥0，即x﹣1≥lnx，即e x﹣1≥x，∴，1﹣x0﹣lnx0≥1﹣x0﹣（x0﹣1）＝2（1﹣x0）≥0，∴f（x0）＝（1﹣x0﹣lnx0）≥•2（1﹣x0）＝2（﹣），∴f（x0）≥2（x02﹣x03）．。
山东省2020年高考数学模拟考试试题及答案
山东省2020年高考数学模拟考试试题及答案参考答案一、单项选择题1. 一看就是两个交点，所以需要算吗？C2. 分母实数化，别忘了“共轭”，D3. 简单的向量坐标运算，A4. 球盒模型（考点闯关班里有讲），37分配，B5. 在一个长方体中画图即可（出题人就是从长方体出发凑的题，其实就是一个鳖臑bie nao ）C6. 画个图，一目了然，A7. 关键是把“所有”翻译成“任取”，C8. 用6、4、2特值即可（更高级的，可以用极限特值8-、4、2，绝招班里有讲），B二、多项选择题9. 这个，主要考语文，AD10. 注意相同渐近线的双曲线设法，2222x y a bλ-=，D 选项可用头哥口诀（直线平方……）AC11. B 选项构造二面平行，C 选项注意把面补全为AEFD1（也可通过排除法选出），D 选项CG中点明显不在面上，BC12. 利用函数平移的思想找对称中心，ABC三、填空题13. 确定不是小学题？3614. 竟然考和差化积，头哥告诉过你们记不住公式怎么办，不过这题直接展开也可以，45- 15. 利用焦半径公式，或者更快的用特殊位置，或者更更快用极限特殊位置（绝招班有讲），2，116. 根据对称之美原则（绝招班有讲），8（老实讲，选择填空所有题都可以不动笔直接口算出来的呀~~~）四、解答题17. 故弄玄虚，都是等差等比的基本运算，选①，先算等比的通项()13n n b -=--，再算等差的通项316n a n =-，4k =，同理②不存在，③ m.cksdu 牛逼 4k =18. （1）根据三角形面积很容易得出两边之比，再用正弦定理即可，60°（2）设AC=4x （想想为什么不直接设为x ？），将三角形CFB 三边表示出来，再用余弦19. （1）取SB 中点M ，易知AM//EF ，且MAB=45°，可得AS=AB ，易证AM ⊥面SBC ，进一步得证（2）可设AB=AS=a ，，建系求解即可，20. （1）正相关（2）公式都给了，怕啥，但是需要把公式自己化简一下，ˆ121.867.89yx =+ （3）两侧分布均匀，且最大差距控制在1%左右，拟合效果较好21. （1）没啥可说的，2214x y +=，(2214x y -+= （2）单一关参模型，条件转化为AB=CD=1（绝招班里有讲），剩下就是计算了，无解，所以不存在22. （1）送分的（求导可用头哥口诀），7（2）考求导，没啥意思，注意定义域，单增()0,+∞（3）有点意思，详细点写由递推公式易知1n a ≥由(11711n n n n n a a a a a +-+-==++知若n a，则1n a +；若n a >，则1n a +<又11a =<，所以n为奇数时n a <，n为偶数时n a >1）n为奇数时，n a <，1n a +>，由（2）的单增可知 ()2221n n n n a a a f a +=<=可知22111ln ln 0ln 277n n n n a a a a ++<<⇒>>⇒>2）n为偶数时，n a >，1n a +<2）的单增可知()2221n n n n a a a f a +=>=2211771ln 02ln n n a a ++>>⇒>>⇒>由1）212<所以111117ln ln22lnn nna---⎛⎫⎛⎫=≤<⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以222ln ln71nna-⋅-<证毕注：奉劝大家千万不要求通项公式，当然利用不动点也能求出来)(((117711nn na--⎛⎫-⎝⎭=-，只是接下来你就要崩溃了吧~~~。
山东省济宁市2020届高三数学第一次高考模拟试题 理(2020济宁一模,无答案)
山东省济宁市2020届高三第一次模拟考试数学（理工类）试题2020.03本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
注意事项：1.第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.参考公式：柱体的体积公式：V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 锥体的体积公式：Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 圆柱的侧面积公式：cl S =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长. 球的表面积公式：24R S π=，其中R 是球的半径.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{x N x U *∈=＜}6，集合(){}5,3,3,1==B A ，则()B A C U ⋃等于 A.{}4,1 B.{}5,1 C.{}5,2 D.{}4,22.已知i 是虚数单位，复数()iz 31-=()i -3， z 是z 的共轭复数，则 z 的虚部为 A.4 B.—4 C.2D.—2 3.已知2:;41x q x p ：≤+ ＜65-x .则p 是q 成立的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A.π5B.π6C.π7D.π85.在ABC ∆中，o 30,1,3===B AC AB 则ABC ∆的面积等于A.23B.43C.23或43D.23或3 6.已知(x y x 182=+＞0，y ＞)0，则y x +的最小值为 A.20 B.18C.16D.14 7.已知n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32的展开式中二项式系数的和为16，则展开式中含x 项的系数为 A. 2500B.240C.224D.14 8.函数()ππ≤≤-=x e y x sin 的图象大致为9.若等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足CA CB CM 3131+=，则⋅等于 A.32 B.32-C.2D. 2- 10.已知抛物线y x 122=的焦点与双曲线132-=-y ax 的一个焦点重合，则以此抛物线的焦点为圆心，双曲线的离心率为半径的圆的方程是A.()9322=-+y xB.()3322=+-y xC.()3322=-+y xD.()9322=+-y x 11.已知平面向量()()()y x c b a ,,1,2,2.1===，且满足.0,0≥≥y x 若,1,1≥⋅≥⋅c b c a ()c b a z ⋅+-=，则A.z 有最小值2-B.z 有最大值2-C.z 有最小值3-D.z 有最大值3-12.已知定义域为R 的函数()x f 既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23,0x 时，()023,sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x x f π，则函数()x f 在区间[]6,0上的零点个数是A.9B.7C.5D.3第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：1.第II 卷共2页，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔，要字体工整，笔迹清晰，严格在题号所指示的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4小题，共16分，将答案填写在答题纸上.13.执行如图所示的程序框图，那么输出的S 的值是_____▲______. 14.如图，圆222:π=+y x O 内的正弦曲线x y sin =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），在圆O 内随机取一个点A ，则点A 取自区域M 内的概率是_____▲______.15.已知数列{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为数列{}n a 的前n 项和，*N n ∈，则S 13的值为_____▲______.16.给出下列命题：①命题“x x R x -∈∃2,＞0”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ”； ②命题“若2am ＜2bm ，则a ＜b ”的逆命题是真命题；③()x f 是()()+∞⋃∞-,00,上的奇函数，x ＞0时的解析式是().2*=x f 则x ＜0时的解析式为()x x f --=2；④若随机变量(),,1~2σξN 且()3.010=≤≤ξP ，则().2.02=≥ξP 其中真命题的序号是_____▲______.（写出所有你认为正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+----=2021cos cos sin 32πϕϕϕϕx x x x f 为偶函数.（I ）求函数()x f 的最小正周期及单调减区间；（II ）把函数()x f 的图象向右平移6π个单位（纵坐标不变），得到函数()x g 的图象，求函数()x g 的对称中心.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为A n ，且满足;63,6951==+A a a 数列{}n b 的前n 项和为B n ，且满足()*12N n b B n n ∈-=. （I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式a b ，b n ；（II ）设n n n b a c ⋅=求数列{}n c 的前n 项和S n .19.（本小题满分12分）某高中社团进行社会实验，对[]55,25岁的人群随机抽取1000人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”.通过调查得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在[)45,40岁、[)50,45岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的40%、30%.请完成以下问题：（I ）求[)45,40岁与[)50,45岁年龄段“时尚族”的人数；（II ）从[)45,40岁和[)50,45岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取9人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，已选取的3名领队中年龄在[)45,40岁的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX.20.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥ABCD P -，底面ABCD 为菱形，⊥PA 平面ABCD ，∠ABC=60°，E 、F 分别是BC ，PC 的中点，AB=2，AP=2.（I ）求证：AE ;PD ⊥（II ）求二面角C AF E --的余弦值.21.（本小题满分12分） 已知椭圆(a b y a x C 1:2222=+＞b ＞)0的离心率为21，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）设点P （4，0），A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 与另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点.22.（本小题满分14分）已知函数()()()x e x g x f b x ax x g '=++=,213123，其中e 为自然对数的底数 （I ）若函数()x g 在点()()1,1g 处的切线与直线012=+-y x 垂直，求实数a 的值； （II ）若()x f 在[]1,1-上是单调增函数，求实数a 的取值范围；（III ）当a =0时，求整数k 的所有值，使方程()2+=x x f 在[]1,+k k 上有解.。
山东省2020新高考模拟考试数学答案
山东省模拟考试答案解析1、C[解析]C y x y x xy y x ，故选或解得根据题意⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+421122本题考查集合运算以及求解曲线的交点，本质是解一元二次方程，属于基础题。
2、D [解析]Db a b a i bi a i i i i i i 故选所以，所以根据题意,1,1,0,)1)(1()1(112=+===+-=-+-=+-本题考查复数的运算以及共轭复数的概念，属于基础题。
3、A [解析]Ac b c a c b a ，故选所以根据题意0,0)32(3)(==+--=∙-∙=∙-λλλλ本题考查向量垂直的坐标运算，属于基础题。
4、B [解析]()()BT x r r x C x C T r x x r r r r rr r 故选的系数所以得到由项是的展开式中第根据题意,120,74102,1211)1(84102101010110-===--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+---+本题考查二项式定理中二项展开式的系数问题，属于基础题。
5、C [解析]CV ABC S AS ABCAS AS AC SC AS AC SC AS SB AB AS AB SAB AC BC AB BC AB ABC ABC S ，故选的高为三棱锥面得再由又，又3432631,32,32,4,2,2,102,6,22222=⨯⨯=∴-∴⊥∴⊥∴=+==∴==⊥∴=∠=∴==⊥∴=∠- ππ本题考查立体几何中求三棱锥的体积，考查同学们的空间想象能力，属于基础题。
6、A [解析]()A AB B A y x x xx y 故选有最小值时，由数形结合易知当的图象，和圆（角坐标系中作出根据题意，可在同一直,3)1,2(),4,2(2)20422=+->+=本题考查圆锥曲线中圆的最值问题，属于基础题。
7、C [解析]根据全称命题和特称命题的关系，全称命题的否定是特称命题，故选C 本题考查全称命题的否定，属于基础题。
2020年山东省新高考数学模拟试卷(一)
2020年山东省新高考数学模拟试卷（一）、单项选择题（本题共 8小题，每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题网要求的）A .充分不必要条件B .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件比该校考生的升学情况，统计了该校 2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图:则下列结论正确的是 （ ）A .与2015年相比，2018年一本达线人数减少B .与2015年相比，2018年二本达线人数增加了 0.5倍C . 2015年与2018年艺体达线人数相同D .与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加5. （ 5分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 的顶点与原点0重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点 P （i ,3—），则 sin 2 （ ）22A .丄 R 3B .C . 1n 3 D .2 2 2 26. （5 分）2019 年 1 月 1 日，济南轨道交通 1号线试运行， 济南轨道交通集团面向广大市民1. （5分）已知集合 xA {x|x 1} ,B {x|21},2. 3. A . A | （5分）（5分）B {x|x 已知复数 0} B . z 满足（1 则“ 2x A | B {x|x 1}C .i ）z 2i （i 为虚数单位） C .8”是“ |x|3 ”的（A UB ，则z{x|x1} D . A U B R4. （5分）某中学2018年的高考考生人数是 2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对 C .充要条件=b1却1呂年高考数据统计%% % % % % % % % 05 0 5 o 5 o 5 o一丰芝或 二車w 鱼 臣谆艺睦 不上理5 罩 丰 不开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁 APP 抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（ ）B. 13 C . 29. （5分）已知空间中不同直线 m 、n 和不同平面 、，下列命题中是真命题的是 （ ）A 若 m 、n 互为异面直线， m// , n//, m/ / , n// ，贝U //B . 若 m n , m ,n // ，则C . 若 n,m// ，则n m D若,m,n//m ，则 n / /10. （5分）如图所示，点A , B , C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P , uuur uuu uur ujc uur若 AP AB , OCOA 3 OB ，则（）1 B .- C . 2D. ?33 62 22y 8x 的准线与双曲线x rb 2 1(a 0,b 0）的两条渐近线分别交7. （ 5分）已知抛物线FAB 的面积等于 & 3，则双曲线的离心率为（于A , B 两点，F 为抛物线的焦点，若& （ 5分）设函数f （x ） 则下列结论中正确的是 a.A .对任意实数a ，函数f （x ）的最小值为aB .对任意实数a ，函数f （x ）的最小值都不是1 C .当且仅当a,-时，函数f （x ）的最小值为21D •当且仅当a,-时，函数f （x ）的最小值为4、多项选择题（本题共 4小题，每小题5分,- 4 1 a —41 a -41 a —4 共20分•在每小题给出的选项中，有多项符 合题日要求•全部选对的得5分，部分选对的程 3分，有选错的得0分）2 x x a,x12. （5分）已知函数f （x ） sin x 3cos x （ 0）的零点构成一个公差为的等差数列,2把函数f （x ）的图象沿X 轴向右平移 —个单位，得到函数g （x ）的图象关于函数g （x ），下列6 说法正确的是（）A .在［―,］上是增函数4 2 B .其图象关于直线x 对称2 C .函数g （x ）是偶函数D •在区间H,—］上的值域为［3 , 2］6 3三、填空题（本题共 4小题，每小题5分，共20分）13. （5分）若函数f （x ） x alnx 在点（1,1）处的切线方程为 y 2x 1，则实数a __________ .11 A . P 为线段OC 的中点时， — B .1 P 为线段0C 的中点时，-23 3 C .无论取何值，恒有3 D .存在R ,1 4211. （5分）设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , 公差为d ，且满足d 0, S 1 S 8，则对 S描述正确的有（）A . S 4是唯一最大值B . S 5是最大值C . S 29 0D . S 是最小值14. ______________________________________________________ （5 分）数列｛a n｝满足a 3 ,a. 1 a n ln（1 -），则印。
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2020年山东省新高考数学模拟试卷（一）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题网要求的）1．（5分）已知集合{|1}A x x =>，{|21}x B x =>，则( )A ．{|0}AB x x =>I B ．{|1}A B x x =>IC ．{|1}A B x x =>UD ．A B R =U 2．（5分）已知复数z 满足(1)2(i z i i -=为虚数单位），则(z = ) A ．1i --B ．1i -+C ．1i +D ．1i -3．（5分）设x R ∈，则“28x >”是“||3x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图： 则下列结论正确的是( )A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ．2015年与2018年艺体达线人数相同D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加5．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点1(2P 3，则sin 2(α= )A ．12B 3C ．12-D ．3 6．（5分）2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP 抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为( ) A ．16 B ．13C ．23D ．567．（5分）已知抛物线28y x =的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB ∆的面积等于，则双曲线的离心率为()A ．3B C ．2D ．8．（5分）设函数2,,(),.x e x a f x x x a x a ⎧=⎨-+>⎩„则下列结论中正确的是( )A ．对任意实数a ，函数()f x 的最小值为14a -B ．对任意实数a ，函数()f x 的最小值都不是14a - C ．当且仅当12a „时，函数()f x 的最小值为14a - D ．当且仅当14a „时，函数()f x 的最小值为14a - 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求.全部选对的得5分，部分选对的程3分，有选错的得0分）9．（5分）已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下列命题中是真命题的是( ) A ．若m 、n 互为异面直线，//m α，//n α，//m β，//n β，则//αβ B ．若m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥ C ．若n α⊥，//m α，则n m ⊥ D ．若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则//n β10．（5分）如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P ，若AP AB λ=u u u r u u u r，3OC OA OB μμ=+u u u r u u u r u u u r ，则( )A ．P 为线段OC 的中点时，12μ= B ．P 为线段OC 的中点时，13μ=C ．无论μ取何值，恒有34λ=D ．存在R μ∈，12λ=11．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有( ) A ．14S 是唯一最大值 B ．15S 是最大值C ．290S =D ．1S 是最小值12．（5分）已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象关于函数()g x ，下列说法正确的是( ) A ．在[,]42ππ上是增函数B ．其图象关于直线2x π=对称C ．函数()g x 是偶函数D ．在区间2[,]63ππ上的值域为[3-2]三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若函数()f x x alnx =-在点(1,1)处的切线方程为21y x =-，则实数a = ．14．（5分）数列{}n a 满足13a =，11(1)n n a a ln n+=++，则10a = ．15．（5分）已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为16．（5分）如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上时，AB OP u u u r u u u r g 的值为 ；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP u u u r u u u rg 的最小值为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤） 17．（10分）在ABC ∆中，3sin 2sin A B =，tan 35C = （1）求cos2C ；（2）若1AC BC -=，求ABC ∆的周长．18．（12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径/mm5859616263646566676869707173 合计件数 11356193318442121100经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2=，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判(p 表示相应事件的频率）：①()0.6826p X μσμσ-<+剠．②(22)0.9544P X μσμσ-<+剠③(33)0.9974P X μσμσ-<+剠．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M 的性能等级． （2）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品()i 从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ； ()ii 从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望()E Z ．19．（12分）已知等差数列{}n a 的公差是1，且1a ，3a ，9a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列2nn a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 20．（12分）如图在直角ABC ∆中，B 为直角，2AB BC =，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接BD ，CD ，M 为CD 的中点． （Ⅰ）证明：MF ⊥面BCD ；（Ⅱ）若DE BE ⊥，求二面角E MF C --的余弦值．21．（12分）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，设A ，B 分别为椭圆C 的右顶点，下顶点，OAB ∆的面积为1． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过点A 的直线:(0,)l y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，若||2||PQ AM =，求证：直线l 过定点．22．（12分）已知函数1()()x f x xe a x lnx -=-+，a R ∈． （1）若()f x 存在极小值，求实数a 的取值范围；（2）设0x 是()f x 的极小值点，且0()0f x …，证明：23000()2()f x x x -…．2020年山东省新高考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题网要求的）1．（5分）已知集合{|1}A x x =>，{|21}x B x =>，则( )A ．{|0}AB x x =>I B ．{|1}A B x x =>IC ．{|1}A B x x =>UD ．A B R =U 【解答】解：{|0}B x x =>，{|1}A x x =>； {|1}A B x x ∴=>I ，{|0}A B x x =>U ．故选：B ．2．（5分）已知复数z 满足(1)2(i z i i -=为虚数单位），则(z = ) A ．1i --B ．1i -+C ．1i +D ．1i -【解答】解：由(1)2i z i -=，得22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+， ∴1z i =--．故选：A ．3．（5分）设x R ∈，则“28x >”是“||3x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由28x >得3x >，由“||3x >”得3x >或3x <-， 即“28x >”是“||3x >”的充分不必要条件， 故选：A ．4．（5分）某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图： 则下列结论正确的是( )A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C．2015年与2018年艺体达线人数相同D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【解答】解：设2015年高考考生人数为x，则2018年高考考生人数为1.5线，由24%1.528%8%0x x x-=>g g g，故选项A不正确；由7(40%1.532%)32%8x x x-÷=g g g，故选项B不正确；由8%1.58%4%0x x x-=>g g g，故选项C不正确；由28%1.532%42%0x x x-=>g g g，故选项D正确．故选：D．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点1(2P3，则sin2(α=)A．12B3C．12-D．3【解答】解：平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点1(2P3)，||1OP=，3 sinα∴，1 cos2α=，则3 sin22sin cosααα==故选：B．6．（5分）2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为( ) A ．16 B ．13C ．23D ．56【解答】解：小王和小李至多1人被抽中的反面为，小王和小李都被抽中．设{A =小张和小王至多1人被抽中}，{B =小张和小王都被抽中}，则B 包含1个基本事件，p ∴（A ）1p =-（B ）241516C =-=． 故选：D ．7．（5分）已知抛物线28y x =的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB ∆的面积等于，则双曲线的离心率为() A ．3BC ．2 D．【解答】解：抛物线28y x =的准线：2x =-，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线by x a =±，抛物线28y x =的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于A ，B 两点，可得4||bAB a=，FAB ∆的面积等于F 为抛物线的焦点(2,0)可得：14(22)2ba ⨯⨯+=，可得b =，所以22223b a c a ==-，可得2ce a==． 故选：C ．8．（5分）设函数2,,(),.x e x a f x x x a x a ⎧=⎨-+>⎩„则下列结论中正确的是( )A ．对任意实数a ，函数()f x 的最小值为14a -B ．对任意实数a ，函数()f x 的最小值都不是14a - C ．当且仅当12a „时，函数()f x 的最小值为14a - D ．当且仅当14a „时，函数()f x 的最小值为14a - 【解答】解：当x a „时，()(0x f x e =∈，]a e ，当x a >时，2211()()24f x x x a x a =-+=-+-，要使()f x 取得最小值14a -，即为12x =处取得，从而12a <，又当x a „时，()(0f x ∈，]a e ， 可得104a -„，可得14a „，故选：D ．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求.全部选对的得5分，部分选对的程3分，有选错的得0分）9．（5分）已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下列命题中是真命题的是( ) A ．若m 、n 互为异面直线，//m α，//n α，//m β，//n β，则//αβ B ．若m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥ C ．若n α⊥，//m α，则n m ⊥ D ．若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则//n β【解答】解：由m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在①中，若m 、n 互为异面直线，//m α，//n α，//m β，//n β，则//αβ，①是真命题；//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面，故错误；在②中，m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥，或α与β相交或平行，故②错误； 在③中n α⊥，//m α，则n m ⊥，故③是真命题；在④中，αβ⊥，m α⊥，//n m ，则//n β，也可能n β⊂，故④错误． 故选：AC ．10．（5分）如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P ，若AP AB λ=u u u r u u u r，3OC OA OB μμ=+u u u r u u u r u u u r ，则( )A ．P 为线段OC 的中点时，12μ=B ．P 为线段OC 的中点时，13μ=C ．无论μ取何值，恒有34λ=D ．存在R μ∈，12λ= 【解答】解：()(1)OP OA AP OA AB OA OB OA OA OB λλλλ=+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 因为OP u u u r 与OC u u u r 共线，所以13λλμμ-=，解得34λ=，故C 正确，D 错误； 当P 为OC 中点时，则12OP OC =u u u r u u u r ，则112λμ-=，132λμ=⨯，解得12μ=，故A 正确，B错误； 故选：AC ．11．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有( ) A ．14S 是唯一最大值 B ．15S 是最大值C ．290S =D ．1S 是最小值【解答】解：Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，0d ∴<，1118171155182a d a d ⨯+=+， 化为：115140a d a +==． 2915290S a ∴==． 14S ，15S 都是最大值．故选：BC ．12．（5分）已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象关于函数()g x ，下列说法正确的是( ) A ．在[,]42ππ上是增函数B ．其图象关于直线2x π=对称C ．函数()g x 是偶函数D ．在区间2[,]63ππ上的值域为[2]【解答】解：()sin 2sin()3f x x x x πωωω=+=+，由函数()f x 的零点构成一个公差为2π的等差数列， 则周期T π=，即2ω=，即()2sin(2)3f x x π=+，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象， 则()2sin[2()]2sin 263g x x x ππ=-+=，易得：()y g x =是在[4π，]2π为减函数，其图象关于直线()24k x k Z ππ=+∈对称的奇函数，故选项A ，B ，C 错误，当2[,]63x ππ∈时，2[3x π∈，4]3π，函数()g x 的值域为[2]，故选项D 正确， 故选：D ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若函数()f x x alnx =-在点(1,1)处的切线方程为21y x =-，则实数a = 1- ． 【解答】解：Q 函数()f x x alnx =-的导数为()1af x x'=-， ∴在点(1,1)处的切线斜率为f '（1）1a =-，又Q 在点(1,1)处的切线方程为21y x =-，12a ∴-=，解得1a =-，故答案为：1-．14．（5分）数列{}n a 满足13a =，11(1)n n a a ln n +=++，则10a = 310ln + ．【解答】解：数列{}n a 满足13a =，11(1)n n a a ln n +=++，21(11)a a ln =++，321(1)2a a ln =++，431(1)3a a ln =++，⋯1091(1)9a a ln =++，累积可得10134102310239a a ln ln ln ln ln =++++⋯+=+．故答案为：310ln +．15．（5分）已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为223【解答】解：依题意，如图为过正四棱柱的圆锥的轴截面，设正四棱柱的高为h ，底面边长为a ，则O ，1O 分别为AC ，11A C 的中点， 所以112A C a =，2EF =，△11SAC AEF ∆∽， 所以111AC SO AC SO=，即2222a h -=，所以2(2)2a h =-，(02)h << 所以正四棱柱的体积223221[(2)](44)22V a h h h h h h ==-=-+， 令211(384)(2)(32)022V h h h h '=-+=--=，得23h =，或者2h =（舍)．当203h <<时，0V '>，当223h <<时，0V '<， 所以当203h <<时，()V h 单调递增，当223h <<时，()V h 单调递减，故当23h =时，V 有最大值， 此时2222(2)233a =-=． 故填：223．16．（5分）如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上时，AB OP u u u r u u u r g 的值为 2 ；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP u u u r u u u rg的最小值为 ．【解答】解：矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上时，||||cos 212AB OP AB OP POB =∠=⨯=u u u r u u u r u u u r u u u rg； 当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP u u u r u u u rg 的最小值，||||cos AB OP AB OP POB =∠u u u r u u u r u u u r u u u r g ， P 应该在线段AD 上，此时||||cos 2(1)2AB OP AB OP POB =∠=⨯-=-u u u r u u u r u u u r u u u rg； 故答案为：2；2-．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤） 17．（10分）在ABC ∆中，3sin 2sin A B =，tan C = （1）求cos2C ；（2）若1AC BC -=，求ABC ∆的周长． 【解答】解：（1）Q tan C2211cos 136C tan C ∴==+， 2117cos22cos 1213618C C ∴=-=⨯-=-． （2）3sin 2sin A B =Q ，∴由正弦定理可得：32a b =，又1AC BC -=Q ，即：1b a -=， ∴解得：2a =，3b =，Q 由（1）可得：1cos 6C =， ∴由余弦定理可得：c ABC ∴∆的周长5a b c ++=．18．（12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2=，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判(p 表示相应事件的频率）：①()0.6826p X μσμσ-<+剠．②(22)0.9544P X μσμσ-<+剠③(33)0.9974P X μσμσ-<+剠．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M 的性能等级． （2）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品()i 从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ； ()ii 从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望()E Z ．【解答】解：（Ⅰ）()(62.867.2)0.80.6826P X P X μσμσ-<+=<=剟?，(22)(60.669.4)0.940.9544P X P X μσμσ-<+=<=剟?，(33)(58.471.6)0.980.9974P X P X μσμσ-<+=<=剟?，因为设备M 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；⋯（4分） （Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M 生产零件的次品率为0.06． （ⅰ）由题意可知6~(2,)100Y B ，于是63()210025E Y =⨯=；⋯（8分） （ⅱ）由题意可知Z 的分布列为故21129469462221001001003()01225C C C C E Z C C C =⨯+⨯+⨯=．⋯（12分）19．（12分）已知等差数列{}n a 的公差是1，且1a ，3a ，9a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列2nn a a⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）因为{}n a 是公差为1的等差数列，且1a ，3a ，9a 成等比数列，所以2319a a a =，即2111(2)(8)a a a +=+，解得11a =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） 所以1(1)n a a n d n =+-=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分） （2）12311111()2()3()()2222n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，231111111()2()(1)()()22222n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯⋯⋯⋯（6分） 两式相减得1231111111()()()()()222222n n n T n +=+++⋯+-⨯⋯⋯⋯（8分）所以11111()11122()11222212nnn n nnT n+++-=-⨯=--⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯-（11分）所以222n nnT+=-．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）20．（12分）如图在直角ABC∆中，B为直角，2AB BC=，E，F分别为AB，AC的中点，将AEF∆沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；（Ⅱ）若DE BE⊥，求二面角E MF C--的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，1//2MN BC=u u u rQ，1//2EF BC=，∴四边形EFMN是平行四边形，EF BE⊥Q，EF DE⊥，BE EF E=I，EF∴⊥平面BDE，EF EN∴⊥，MF MN∴⊥，在DFC∆中，DF FC=，又MQ为CD的中点，MF CD∴⊥，又MF M N M=Q I，MF∴⊥平面BCD．解：（Ⅱ）DE BE⊥Q，DE EF⊥，BE EF E=I，DE∴⊥平面BEF，以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设2BC=，则(0E，0，0)，(0F，1，0)，(2C-，2，0)，(1M-，1，1)，∴(0EF=u u u r，1，0)，(1FM=-u u u u r，0，1)，(2CF=u u u r，1-，0)，设面EM F的法向量(m x=r，y，)z，则00m EF y m FM x z ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g ，取1x =，得(1m =r ，0，1)， 同理，得平面CMF 的法向量(1n =r，2，1)，设二面角E MF C --的平面角为θ， 则3cos ||||3m n m n θ==r r g r r g ，∴二面角E MF C --的余弦值为33．21．（12分）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，设A ，B 分别为椭圆C 的右顶点，下顶点，OAB ∆的面积为1． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过点A 的直线:(0,)l y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，若||2||PQ AM =，求证：直线l 过定点．【解答】解：（1）有题意可得3c a =，112ab =，222c a b =-，解得：24a =，21b =， 所以椭圆的方程为：2214x y +=；（2）证明：由（1）可得(2,0)A ，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，直线与椭圆联立可得：22440y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得：222(14)8440k x kmx m +++-=，△0>， 122814km x x k+=-+，21224414m x x k -=+，212122282()221414k m m y y k x x m m k k -+=++=+=++，因为线段PQ 的中点为M ，若||2||PQ AM =，所以可得以PQ 为直径的圆过A 点 所以0AP AQ =u u u r u u u rg ， 1(2x -，12)(2y x -，2)0y =，可得1212122()40x x x x y y -+++=，即2212124(1)(2)()40k x x km x x m ++-+++=，可得22121650k km m ++=，解得：12k m =-，56k m =-，所以直线为：1(2)2y m x =--，或56()65y x =--，所以直线l 过定点(2,0)或6(5，0)，而直线不过A 点，所以直线l 过6(5，0)．22．（12分）已知函数1()()x f x xe a x lnx -=-+，a R ∈． （1）若()f x 存在极小值，求实数a 的取值范围；（2）设0x 是()f x 的极小值点，且0()0f x …，证明：23000()2()f x x x -…． 【解答】解：（1）Q 函数1()()x f x xe a x lnx -=-+，a R ∈． ∴11()(),(0)x x f x xe a x x-+'=->． 令1()x g x xe a -=-， 则1()(1)0x g x x e -'=+>， ()g x ∴在(0,)+∞上是增函数．又Q 当0x →时，()g x a →-，当x →+∞时，()g x →+∞．∴当0a „时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数，不存在极值点；当0a >时，()g x 的值域为(,)a -+∞，必存在00x >，使0()0g x =． ∴当0(0,)x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减；当0(x x ∈，)+∞时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增； ()f x ∴存在极小值点．综上可知实数a 的取值范围是(0,)+∞．证明：（2）由（1）知0100x x e a --=，即010x a x e -=．001lna lnx x ∴=+-，010000()(1)x f x x e x lnx -=--．由0()0f x …，得0010x lnx --…．令()1g x x lnx =--，由题意()g x 在区间(0,)+∞上单调递减． 又g （1）0=，∴由0()0f x …，得001x <„， 令()1H x x lnx =--，(0)x >，则11()1x H x x x-'=-=， 当1x >时，()0H x '>，函数()H x 单调递增； 当01x <<时，()0H x '<，函数()H x 单调递减； ∴当1x =时，函数()H x 取最小值H （1）0=，()10H x x lnx ∴=--…，即1x lnx -…，即1x e x -…， ∴0100x e x ->…，0000011(1)2(1)0x lnx x x x -----=-厖，0122300000000()(1)2(1)2()x f x x e x lnx x x x x -∴=---=-g …，23000()2()f x x x ∴-…．。