各省市中考数学分类汇总代数几何综合题

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人教版数学中考专题：代数几合综合问题含答案

人教版数学中考专题：代数几合综合问题含答案 Revised by BETTY on December 25,2020中考数学专题：代数几何综合问题一、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的 C点的坐标为______________．2.如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An（n为正整数）点时，则An的坐标是______．二，选择题3.如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A． B．B． D．C．D． 4. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）E．F．G．三、解答题H． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作I．PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．J．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗请说明理由；K．（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么L．（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．M．N．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）O．（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？P．（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值若有最小值，最小值是多少Q．R．7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．S．T．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．U．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．V．模型应用：W．（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；X．（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；Y．（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值．Z．8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．9.（1）求N点、M点的坐标；10.（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；11.（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；12.②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S 是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．13.14.9. 如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10. （2018成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a ＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y 轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系点F 是否在直线NE上请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【答案与解析】一、填空题1.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）2.【答案】（2×3n﹣1，0）.【解析】∵点B1、B2、B3、…、Bn在直线y=2x的图象上，∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）=108，…，∴An Bn=4×3n﹣1（n为正整数）．∵OAn =AnBn，∴点An的坐标为（2×3n﹣1，0）．故答案为：（2×3n﹣1，0）．二、选择题3.【答案】A.【解析】分两种情况：①当0≤t＜4时，作OG⊥AB于G，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，∵O是正方形ABCD的中心，∴AG=BG=OG=AB=2cm，∴S=APOG=×t×2=t（cm2），②当t≥4时，作OG⊥AB于G，如图2所示：S=△OAG的面积+梯形OGBP的面积=×2×2+（2+t﹣4）×2=t（cm2）；综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．4.【答案】A.三、解答题5.【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒∴AP=1，BQ=，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD==，∵PE∥BC，解得PE=，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=，∴∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=，∴解得t=（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，在 Rt△ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴ t=（秒）．综上所述，当 t=秒或t=秒时，△EDQ为直角三角形．6.【答案与解析】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当时，，，．∵，，∴，即（秒）．（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵，∴，．即，．，．，∴．即（）．由，得．∴当时，S有最小值，且7.【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36 解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S=﹣．最大9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为:；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE =k1x+b1，则，解得：，∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知xD ﹣xP=xA﹣xQ，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=yD +yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．。

中考数学复习专题代数与几何综合(含答案)

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5. 如图 2－5-16，在矩形 ABCD 中，AB=10。cm，BC=8cm．点 P 从 A 出发，沿 A→B→C→D 路线运动，到 D 停止；点 Q 从 D 出发，沿 D→C→B→A 路线运动，到 A 停止，若点 P、点 Q 同时出发，点 P 的速度为 1cm/s，点 Q 的速度为 2cm/s，a s 时点 P、点 Q 同时改变速度，点 P 的速度变为 bcm/s，点 Q 的速度变为 d cm/s，图 2－5－17 是点 P 出发 x 秒后△APD 的面积 S1（cm2）与 x（s）的函数关系图象；图 2－5－18 是点 Q 出发 xs 后面 AQD 的面积 S2（cm2）与 x（s）的函数关系图象． ⑴ 参照图 2－5－17，求 a、b 及图中 c 的值； ⑵ 求 d 的值； ⑶ 设点 P 离开点 A 的路程为 y1(cm)，点 Q 到点 A 还需走的路程为 y2(cm)，请分别写出动点 P、Q 改变速度后，y1、y2 与出发后的运动时间 x（s）的函数解析式，并求出 P、 Q 相遇时 x 的值． ⑷ 当点 Q 出发_______s 时，点 P、点 Q 在运动路线上相距的路程为 25cm．
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答案一、ABDCB DAACD
二、1、 3 2、 2 -1
三、1、（1）y=- 1 x2+x 2
3、 11
6
4、（-502，502）
（2）x 取最大整数为-1，∴ y=- 1 ×(-1)2-1=– 3 ∴AC= 3
2
2
2
由△BOQ∽△CAQ,可得 BO = OQ
AC AQ
C． y x
D． y 3 x 2
７．如图，反比例函数 y 4 的图象与直线 y 1 x 的

2020年中考数学试卷分类汇编代数几何综合

代数几何综合1、（2013年潍坊市压轴题）如图，抛物线c bx ax y ++=2关于直线1=x 对称，与坐标轴同学们：一分耕耘一分收获，只要我们能做到有永不言败+勤奋学习+有远大的理想+坚定的信念，坚强的意志，明确的目标，相信你在学习和生活也一定会收获成功（可删除）交于C B A 、、三点，且4=AB ,点⎪⎭⎫ ⎝⎛232，D 在抛物线上，直线是一次函数()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),由点D(2，1.5)在抛物线上，所以⎩⎨⎧=++=+-5.1240c b a c b a ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又12=-a b ，即b=-2a,代入上式解得a =-0.5,b =1,从而c=1.5,所以23212++-=x x y . （2）由（1）知23212++-=x x y ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,令kx -2=1.5,得l 与CD 的交点F(23,27k )，令kx -2=0，得l 与x 轴的交点E(0,2k)，根据S 四边形OEFC =S 四边形EBDF 得：OE+CF=DF+BE, 即：,511),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得（3）由（1）知,2)1(21232122+--=++-=x x x y 所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为221x y -= 假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1, 所以1111PN PM NN MM =,………………(1) 不妨设M(x M ,y M )在点N(x N ,y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上，则（1）式变为NMN M y t y t x x --=-,又y M =k x M -2, y N =k x N -2, 所以（t+2）(x M +x N )=2k x M x N,……(2) 把y=kx-2(k ≠0)代入221x y -=中，整理得x 2+2kx-4=0, 所以x M +x N =-2k, x M x N =-4,代入（2）得t=2,符合条件，故在y 轴上存在一点P （0,2），使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称.考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成2、（绵阳市2013年）如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点C 的坐标为（0，-2），交x 轴于A 、B 两点，其中A （-1，0），直线l ：x =m （m ＞1）与x 轴交于D （1）求二次函数的解析式和B 的坐标；（2）在直线l 上找点P （P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q ，使△BP Q 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）①二次函数y=ax 2+bx+c 图象的顶点C 的坐标为（0，-2），c = -2 , - b2a = 0 , b=0 ,点A(-1,0)、点B 是二次函数y=ax 2-2 的图象与x 轴的交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x 2-2；②点B 与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B 的坐标为（1，0）；（2）∠BOC=∠PDB=90º，点P 在直线x=m 上，设点P 的坐标为（m,p ）, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ，A B C D O x y l①当△BOC ∽△PDB 时，OB OC = DP DB ,12= |p|m-1 ,p= m-12 或p = 1- m2 ,点P 的坐标为（m ，m-12 ）或（m ，1- m2）；②当△BOC ∽△BDP 时， OB OC = DB DP ，12= m-1|p|，p=2m-2或p=2-2m,点P 的坐标为（m ，2m-2）或（m ，2-2m ）；综上所述点P 的坐标为（m ，m-12 ）、（m ，1- m2 ）、（m ，2m-2）或（m ，2-2m ）；（3）不存在满足条件的点Q 点Q 在第一象限内的抛物线y=2x 2-2上，令点Q 的坐标为（x, 2x 2-2），x>1, 过点Q 作QE ⊥直线l , 垂足为E ，△BPQ 为等腰直角三角形，PB=PQ ，∠PEQ=∠PDB ， ∠EPQ=∠DBP ，△PEQ ≌△BDP ，QE=PD ，PE=BD ，① 当P 的坐标为（m ，m-12 ）时，m-x = m-12 ， m=0 m=12x 2-2- m-12 = m-1, x= 12 x=1与x>1矛盾,此时点Q 不满足题设条件；② 当P 的坐标为（m ，1- m2）时，x-m= m-12 m=- 29 m=12x 2-2- 1- m 2 = m-1, x=- 56 x=1与x>1矛盾,此时点Q 不满足题设条件；③ 当P 的坐标为（m ，2m-2）时，m-x =2m-2 m= 92m=12x 2-2-(2m-2) = m-1, x=- 52 x=1与x>1矛盾,此时点Q 不满足题设条件； ④当P 的坐标为（m ，2-2m ）时，x- m = 2m-2 m= 518 m=12x 2-2-(2-2m) = m-1 x=- 76 x=1与x>1矛盾,此时点Q 不满足题设条件；综上所述，不存在满足条件的点Q3、（2013•昆明压轴题）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC 边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x﹣2）2+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=，N′P=AQ=3，将y=﹣代入得：﹣=﹣x2+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标．解答：解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x；（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：，故直线AC解析式为y=﹣x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，则点D坐标为（1，）；（3）存在，分两种情况考虑：①当点M在x轴上方时，如答图1所示：四边形ADMN 为平行四边形，DM∥AN，DM=AN ，由对称性得到M （3，），即DM=2，故AN=2， ∴N 1（2，0），N 2（6，0）；②当点M 在x 轴下方时，如答图2所示：过点D 作DQ⊥x 轴于点Q ，过点M 作MP⊥x 轴于点P ，可得△ADQ≌△NMP， ∴MP=DQ=，NP=AQ=3，将y M =﹣代入抛物线解析式得：﹣=﹣x 2+3x ，解得：x M =2﹣或x M =2+， ∴x N =x M ﹣3=﹣﹣1或﹣1， ∴N 3（﹣﹣1，0），N 4（﹣1，0）．综上所述，满足条件的点N 有四个：N 1（2，0），N 2（6，0），N 3（﹣﹣1，0），N 4（﹣1，0）．点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题． 4、（2013陕西）在平面直角坐标系中，一个二次函灵敏的图象经过点A （1，0）、B （3，0）两点．（1）写出这个二次函数的对称轴；（2）设这个二次函数的顶点为D ，与y 轴交于点C ，它的对称轴与x 轴交于点E ，连接AD 、DE 和DB ，当△AOC 与△DEB 相似时，求这个二次函数的表达式[提示：如果一个二次函数的图象与x 轴的交点为)0,(),0,(21x B x A A ，那么它的表达式可表示为：))((21x x x x a y --=]考点：此题在陕西的中考中也较固定，第（1）问主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，抛物线的对称性等简单问题第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括最短距离与面积的最值等（等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似，全等等问题考查问题的综合能力要求较高，基本上都是转化为求点的坐标的过程（第24题图）y -1 O x 2 -1 1 12 3 -2 3解析：本题中（1）由抛物线的轴对称性可知，与x 轴的两个交点关于对称轴对称，易求出对称轴；（2）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点D 与E 的坐标表示出来，从而将两个三角形的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题；解：（1）对称轴为直线：x=2（2）∵A （1，0）、B （3，0），所以设)3)(1(--=x x a y 即a ax ax y 342+-=当x=0时，y=3a ，当x=2时，y=a - ∴C （0，3a ），D(2,-a) ∴OC=|3a|, ∵A （1，0）、E （2，0）， ∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a| 在△AOC 与△DEB 中， ∵∠AOC=∠DEB=90° ∴当EBDEOC AO =时，△AOC ∽△DEB ∴1|||3|1a a =时，解得33=a 或33-=a 当DEEBOC AO =时，△AOC ∽△BED ∴||1|3|1a a =时，此方程无解，综上所得：所求二次函数的表达式为：3334332+-=x x y 或3334332-+-=x x y5、（2013成都市压轴题）在平面直角坐标系中，已知抛物线21y 2x bx c =-++（b,c 为常数）的顶点为P,等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，-1），C 的坐标为（4,3），直角顶点B 在第四象限（1）如图，若该抛物线过A,B 两点，求抛物线的函数表达式；（2）平（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q.i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上点，当以M,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出所有符合条件的M 的坐标；ii ）取BC 的中点N,连接NP,BQ 试探究PQNP BQ+是否存在最大值？若存在，求出该最大值；所不存在，请说明理由解析：（1）A(0,-1) C(4,3) 则｜AC ｜=22(40)(13)42-+--=ABC 为等腰直角三角形 ∴AB=BC=4 ∴B 点(4,-1)将A,B 代入抛物线方程有1116412c b c =-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩⇒12c b =-⎧⎨=⎩ ∴21212y x x =-+- （2）当顶点P 在直线AC 上滑动时，平移后抛物线与AC 另一交点Q 就是A 点沿直线AC 滑动同样的单位下面给予证明：原抛物线2211(44)1(2)122y x x x =--++=--+ 顶点P 为(2,1) 设平移后顶点P 为(a,a-1),则平移后抛物线21()12y x a a '=--+- 联立y=x-1(直线AC 方程)得Q 点为（a-2,a-3）∴｜PQ ｜=22即实际上是线段AP 在直线AC 上的滑动.ⅰ）点M 在直线AC 下方，且M,P,Q 构成等腰直角三角形，那么先考虑使MP,Q 构成等腰直角三角形的M 点的轨迹，再求其轨迹与抛物线的交点以确定M 点.①若∠M 为直角，则M 点轨迹即为AC 下方距AC 为MH 且与AC 平行的直线l 又知｜PQ ｜=22，则｜MH ｜2｜PM ｜=2直线l 即为AC 向下平移｜PM ｜=2个单位 L:y=x-3 联立21212y x x =-+- 得x=15M 点为（1+5，5-2）或（1-5，-5-2）②若∠P=或∠Q 为直角，即PQ 为直角边，MQ ⊥PQ 且，MQ=PQ=22或MP ⊥PQ,且MP=PQ=22,∴M 点轨迹是AC 下方距AC 为22且与AC 平行直线L 直线L 即为AC 向下平移｜MP ｜=4个单位 L:y=x-5 联立21212y x x =-+-得x=4或x=-2 ∴M 点为(4,-1)或（-2，-7）综上所有符合条件的点M 为（1+5，5-2）（4,-1）；（1-5，-5-2）,（-2，-7）ⅱ)知PQ=22PQMP BQ+有最大值，即NP+BQ 有最小值如下图，取AB 中点M ，连结QM,NM,知N 为中点∴MN 为AC 边中位线，∴MN ∥AC 且MN=12AC=22=PQ ∴MN PQ ∴MNPQ 为平行四边形即PN=QM ∴QB+PN=BQ+MQ此时，作B 点关于AC 对称的点B ′,连B Q ',B M 'B M '交AC 于点H ，易知B Q '=BQ∴BQ+PN=B Q '+MQ ≥B M '(三角形两边之和大于第三边) 仅当Q 与H 重合时，取等号即BQ+PN 最小值存在且最小值为B M ' 连结A B '知ABB '∆为等腰直角三角形A B '=4，AM=12AB=2 ∴由勾股定理得25B M '= ∴PQ NP BQ +2210525=6、（2013山西压轴题，26，14分）（本题14分）综合与探究：如图,抛物线213442yx x 与x 轴交于A,B 两点(点B 在点A 的右侧)与y 轴交于点C,连接BC,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q（1）求点A,B,C 的坐标（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD ，BC 于点M,N 试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点 Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）当y=0时，2134042x x ，解得，122,8x x∵点B 在点A 的右侧，∴点A,B 的坐标分别为：（-2，0），（8，0）当x=0时，y=-4∴点C 的坐标为（0，-4），（2）由菱形的对称性可知，点D 的坐标为（0，4）. 设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则480b k b .解得，k=12，b=4. ∴直线BD 的解析式为142yx .∵l⊥x 轴，∴点M ，Q 的坐标分别是（m ，142m ），（m ，213442m m ）如图，当MQ=DC 时，四边形CQMD 是平行四边形. ∴（142m ）-(213442m m )=4-(-4) 化简得：240m m .解得，m 1=0，（舍去）m 2=4.∴当m=4时，四边形CQMD 是平行四边形. 此时，四边形CQBM 是平行四边形.解法一：∵m=4，∴点P 是OB 中点.∵l⊥x 轴，∴l∥y 轴. ∴△BPM∽△BOD.∴12BP BM BO BD .∴BM=DM. ∵四边形CQMD 是平行四边形，∴DM CQ∴BM CQ.∴四边形CQBM 为平行四边形. 解法二：设直线BC 的解析式为y=k 1x+b 1，则111480b k b .解得，k 1=12，b 1=-4 ∴直线BC 的解析式为y=12x-4 又∵l⊥x 轴交BC 于点N.∴x=4时，y=-2. ∴点N 的坐标为（4，-2）由上面可知，点M,Q 的坐标分别为：（4，2），Q(4,-6).∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.∴MN=QN.又∵四边形CQMD 是平行四边形.∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，又∠1=∠2，∴△BMN≌△CQN.∴BN=CN. ∴四边形CQBM 为平行四边形.（3）抛物线上存在两个这样的点Q ，分别是Q 1（-2，0），Q 2（6，-4）.7、（2013•内江）如图，在等边△ABC 中，AB=3，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE∥BC，将△ADE 沿DE 翻折，与梯形BCED 重叠的部分记作图形L ．（1）求△ABC 的面积；（2）设AD=x ，图形L 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）已知图形L 的顶点均在⊙O 上，当图形L 的面积最大时，求⊙O 的面积．考点：相似形综合题．分析：（1）作AH⊥BC 于H ，根据勾股定理就可以求出AH ，由三角形的面积公式就可以求出其值；（2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y 与x 之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x ＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE 的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式；（3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值．解答：解：（1）如图3，作AH⊥BC于H，∴∠AHB=90°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3．∵∠AHB=90°，∴BH=BC=在Rt△ABC中，由勾股定理，得AH=．∴S△ABC==；（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE．作AG⊥DE于G，∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，∴DG=x，AG=x，∴y==x2，∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∴x=1.5时，y最大=，如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，∵AD=x，∴BD=DM=3﹣x，∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3，∴MG=（3﹣x），∴y=，=﹣；（3），如图4，∵y=﹣；∴y=﹣（x2﹣4x）﹣，y=﹣（x﹣2）2+，∵a=﹣＜0，开口向下，∴x=2时，y最大=，∵＞，∴y最大时，x=2，∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．∴DO=OE=1，∴DM=DO．∵∠MDO=60°，∴△MDO是等边三角形，∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1．∴MO=OE，∠MOE=120°，∴∠OME=30°，∴∠DME=90°，∴DE是直径，S⊙O=π×12=π．点评：本题考查了等边三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键．8、（2013•新疆压轴题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△A CE的最大面积及E点的坐标．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F 的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=52，y=﹣34，∴点E的坐标为（52，﹣34），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=94，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为94×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（52，﹣34）．点评：本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．9、（2013凉山州压轴题）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x+4．∵点M的横坐标为m，点M在AC上，∴M点的坐标为（m，﹣ m+4），∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2+x+4上，∴点P的坐标为（m，﹣ m2+m+4），∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，即PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）；（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣ m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，∴△PCM为直角三角形；②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM，∴△PCM为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．10、（2013•曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x 轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值．在计算四边形CAEB面积时，利用S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO，可以简化计算；（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△D BE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．解答：解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，解得：b=﹣3，c=4，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4．（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m．∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，∴点E坐标为（m，8+m）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴8+m=﹣m2﹣3m+4，解得m=﹣2．∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6，S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+（6+4）×2﹣×2×4=12．（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，则D（m，4+m）．∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似∴△DBE必为等腰直角三角形．i）若∠BED=90°，则BE=DE，∵BE=OC=﹣m，∴DE=BE=﹣m，∴CE=4+m﹣m=4，∴E（m，4）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴4=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3，∴D（﹣3，1）；ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣m，在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m，∴CE=4+m﹣2m=4﹣m，∴E（m，4﹣m）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2，∴D（﹣2，2）．综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分（第26题图）'类讨论，这是本题的难点．11、(2013年临沂压轴题)如图，抛物线经过5(1,0),(5,0),(0,)2A B C --三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A,C,M,N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：解：（1）设抛物线的解2y ax bx c =++，根据题意，得0,2550,5.2a b c a b c c ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪=-⎩，解得1,22,5.2a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩∴抛物线的解析式为：2152.22y x x =-- ………(3分) （2）由题意知，点A 关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC 交抛物线的对称轴于点P ，则P 点即为所求.设直线BC 的解析式为y kx b =+，由题意，得50,5.2k b b +=⎧⎪⎨=-⎪⎩解得 1,25.2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线BC 的解析式为15.22y x =- …………(6分) ∵抛物线215222y x x =--的对称轴是2x =，∴当2x =时，153.222y x =-=-∴点P 的坐标是3(2,)2-. …………(7分)（3）存在 …………………………(8分)(i)当存在的点N 在x 轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM 是平行四边形，∴CN ∥x 轴，∴点C 与点N 关于对称轴x=2对称，∵C 点的坐标为5(0,)2-，∴点N 的坐标为5(4,).2- ………………………(11分)（II ）当存在的点'N 在x 轴上方时，如图所示，作'N H x ⊥轴于点H ，∵四边形''ACM N 是平行四边形，∴'''',AC M N N M H CAO =∠=∠, ∴Rt △CAO ≌Rt △''N M H ,∴'N H OC =. ∵点C 的坐标为'55(0,),22N H -∴=,即N 点的纵坐标为52， ∴21552,222x x --=即24100x x --= 解得12214,214.x x =+=-∴点'N 的坐标为5(214,)2-和5(214,)2+.综上所述，满足题目条件的点N 共有三个，分别为5(4,).2-，5(214,)2+，5(214,)2- ………………………(13分)12、（2013•宁波压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（﹣4，0），点P 在射线AB 上运动，连结CP 与y 轴交于点D ，连结BD ．过P ，D ，B 三点作⊙Q 与y 轴的另一个交点为E ，延长DQ 交⊙Q 于点F ，连结EF ，BF ．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．分析：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把（4，0）代入即可；（2）①先证出△BOD≌△COD，得出∠BOD=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，②先连结PE，根据∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF=DE，即y=x；（3）当=2时，过点F作FH⊥OB于点H，则∠DBO=∠BFH，再证出△BOD∽△FHB，===2，得出FH=2，OD=2BH，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4﹣OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD 的解析式为y=x+，最后根据求出点P的坐标即可；当=时，连结EB，先证出△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得△BOD∽△FGB，===，得出FG=8，OD=BG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根据即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=﹣1，则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，又∵OD=OD，∴△BOD≌△COD，∴∠BOD=∠CDO，∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP，②连结PE，∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴∠DPE=45°，∴∠DFE=∠DPE=45°，∵DF是⊙Q的直径，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF=DE，即y=x；（3）当BD：BF=2：1时，过点F作FH⊥OB于点H，∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，∴∠DBO=∠BFH，又∵∠DOB=∠BHF=90°，∴△BOD∽△FHB，∴===2，∴FH=2，OD=2BH，∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，∴四边形OEFH是矩形，∴OE=FH=2，∴EF=OH=4﹣OD，∵DE=E F，∴2+OD=4﹣OD，解得：OD=，∴点D的坐标为（0，），∴直线CD的解析式为y=x+，由得：，则点P的坐标为（2，2）；当=时，连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，∵∠DEP=∠DPA，∴∠DBE=∠DAP=45°，∴△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，精品1 同理可得：△BOD∽△FGB，∴===，∴FG=8，OD=BG，∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，∴四边形OEFG是矩形，∴OE=FG=8，∴EF=OG=4+2OD，∵DE=EF，∴8﹣OD=4+2OD，OD=43，∴点D的坐标为（0，﹣43），直线CD的解析式为：y=﹣13x﹣43，由得：，∴点P的坐标为（8，﹣4），综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，﹣4）．点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组．13、（2013四川南充压轴题，21，8分）如图，二次函数y=x2+bx－3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）. （1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.解析：（1）把点（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得2b2－5b－1=（b－2）2+b（b－2）－3b+3，……………1′解得b=2.∴抛物线的解析式为y=x2+2x－3. ……………2′（2）由x2+2x－3=0，得x=－3或x=1.∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.抛物线的对称轴是直线x=－1，圆心M在直线x=－1上. ……………3′∴设M（－1，n），作MG⊥x轴于G，MH⊥y轴于H，连接MC、MB.∴MH=1，BG=2. ……………4′∵MB=MC，∴BG2+MG2=MH2+CH2，即4+n2=1+（3+n）2，解得n=－1，∴点M（－1，－1）……………5′（3）如图，由M（－1，－1），得MG=MH.∵MA=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH，∴∠1=∠2.由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME≌△DMF.若△DMF为等腰三角形，则△AME为等腰三角形. ……………6′设E （x ，0），△AME 为等腰三角形，分三种情况： ①AE =AM =5，则x=5－3，∴E （5－3，0）；②∵M 在AB 的垂直平分线上，∴MA =ME =MB ，∴E （1，0） ……………7′ ③点E 在AM 的垂直平分线上，则AE =ME .AE =x +3，ME 2=MG 2+EG 2=1+（－1－x ）2，∴（x +3）2=1+（－1－x ）2，解得x =47-，∴E （47-，0）.∴所求点E 的坐标为（5－3，0），（1，0），（47-，0） ……………8′14、（2013四川宜宾压轴题）如图，抛物线y 1=x 2﹣1交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y 2，两条抛物线相交于点C ．（1）请直接写出抛物线y 2的解析式；（2）若点P 是x 轴上一动点，且满足∠CPA =∠OBA ，求出所有满足条件的P 点坐标；（3）在第四象限内抛物线y 2上，是否存在点Q ，使得△QOC 中OC 边上的高h 有最大值？若存在，请求出点Q 的坐标及h 的最大值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可；（2）根据抛物线解析式求出点A 、B 的坐标，然后求出∠OBA =45°，再联立两抛物线解析式求出交点C 的坐标，再根据∠CPA =∠OBA 分点P 在点A 的左边和右边两种情况求解；（3）先求出直线OC的解析式为y=x，设与OC平行的直线y=x+b，与抛物线y2联立消掉y得到关于x的一元二次方程，再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根，然后利用根的判别式△=0列式求出b的值，从而得到直线的解析式，再求出与x轴的交点E的坐标，得到OE的长度，再过点C作CD⊥x轴于D，然后根据∠COD的正弦值求解即可得到h的值．解答：解：（1）抛物线y1=x2﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1），所以，抛物线y2的解析式为y2=（x﹣4）2﹣1；（2）x=0时，y=﹣1，y=0时，x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，所以，点A（1，0），B（0，﹣1），∴∠OBA=45°，联立，解得，∴点C的坐标为（2，3），∵∠CPA=∠OBA，∴点P在点A的左边时，坐标为（﹣1，0），在点A的右边时，坐标为（5，0），所以，点P的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（3）存在．∵点C（2，3），∴直线OC的解析式为y=x，设与OC平行的直线y=x+b，联立，消掉y得，2x2﹣19x+30﹣2b=0，当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值，此时x1=x2=×（﹣）=，。

2021年全国中考数学真题分类汇编：代数几何综合压轴题（含答案）

2021年全国中考数学真题分类汇编：代数几何综合压轴题（含答案）2019年中考数学真题分类汇编：代数几何综合压轴题一、选择题1.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：①OA＝BC＝2；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0 ）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、解答题1.已知抛物线的对称轴为直线x=1，其图像与轴相交于、两点，与轴交于点。

（1）求，的值；（2）直线l与轴交于点。

①如图1，若l∥轴，且与线段及抛物线分别相交于点、，点关于直线的对称点为，求四边形面积的最大值；②如图2，若直线l与线段相交于点，当△PCQ∽△CAP时，求直线l的表达式。

2.如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值．3.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P 为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC 于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4.已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．5.如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D 的坐标；（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．6.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图①，抛物线与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为6.（1）求的值；（2）求外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，点Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，的面积为，且，求点Q的坐标.（图①）（图②）8.已知抛物线y＝a （x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P的个数．9.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F 是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1 O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x 轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．10.如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y 轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．11.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t ＞0）秒．①若△AO C与△BMN相似，请直接写出t的值；②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．12.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．13.如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（-2，0），C（6，0）．（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P 作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为，①求点P的坐标；②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R 的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，在直角坐标系中，直线y ＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？16.抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．17.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2 ），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．18.已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．19.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D′在△ABC 内，求h的取值范围；（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC 与△ABC相似时，求△PQC的面积．20.如图，已知抛物线y＝ax2 +bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx +3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．答案1.【考点】矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2），∴OA＝BC＝2；故①正确；②∵点D为OA的中点，∴OD＝OA＝，∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；③如图，过点P作PF⊥OA 于F，FP的延长线交BC于E，∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，∴EF＝OC＝2，设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，在Rt△BEP中，tan∠CBO＝＝＝，∴BE＝PE＝a，∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），∵PD⊥PC，∴∠CPE+∠FPD＝90°，∵∠CPE+∠PCE＝90°，∴∠FPD＝∠ECP，∵∠CEP＝∠PFD＝90°，∴△CEP∽△PFD，∴＝，∴＝，∴FD＝，∴tan∠PDC＝＝＝，∴∠PDC＝60°，故③正确；④∵B（2，2），四边形OABC是矩形，∴OA＝2，AB＝2，∵tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝30°，当△ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，∴∠DOP＝∠DPO＝30°，∴∠ODP＝60°，∴∠ODC＝60°，∴OD＝OC＝，Ⅱ、OP＝OD，∴∠ODP＝∠OPD＝75°，∵∠COD＝∠CPD＝90°，∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，∴∠POD＝∠PDO＝30°，∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去，∴当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．故④正确，故选：D．2.【考点】二次函数极值问题、三角函数、相似三角形【解答】解：（1）由题可知解得（2）①由题可知，∴由（1）可知，∴：设，则∴∴∴当时，四边形的面积最大，最大值为②由（1）可知由∽可得∴∴由，可得∴作于点，设，则∴，∴即解得∴∴l：3.【考点】待定系数法、二次函数极值问题、三角函数、分类讨论思想【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4），当y＝0时，0＝﹣x2+x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（8，0），∴OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0），设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），∴PN＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°，作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（﹣t2+t）＝t＝﹣（t﹣6）2+，∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是；②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得，t1＝2，t2＝10，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，﹣），当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴sin∠P1AD＝＝；当P2的坐标为（10，﹣），则P2A＝＝，∴sin∠P2AD＝＝；由上可得，sin∠PAD的值是或．4.【考点】待定系数法、面积问题、三角函数、探究等腰三角形问题【解答】解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，则点B（﹣4，0），则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a （x2+2x﹣8），即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则tan∠ABC＝，则sin∠ABC＝，设点D（x，0），则点P（x，x2+x﹣2），点E（x，x﹣2），∵PE＝OD，∴PE＝（x2+x﹣2﹣x+2）＝（﹣x），解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0），即点D （﹣5，0）S△PBE＝×PE×BD＝（x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x）＝；（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，只存在：BD＝BM的情况，BD＝1＝BM，则yM＝﹣BMsin∠AB C＝﹣1×＝﹣，则xM＝﹣，故点M（﹣，﹣）．5.【考点】待定系数法、二次函数极值问题、点的存在性问题、一元二次方程、分类讨论【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，解得a ＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4．当y＝0时，﹣x2+x +4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．答：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），如图所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），则PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，∴S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC＝×8×4+PDOB＝16+×8（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x+16＝﹣（x﹣4）2+32∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32∵0＜x＜8，∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大．答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32．（3）设点M的坐标为（m，﹣++4）则点N的坐标为（m，﹣），∴MN＝|﹣++4﹣（﹣）|＝|﹣+2m|，又∵MN＝3，∴|﹣+2m|＝3，当0＜m＜8时，﹣+2m﹣3＝0，解得m1＝2，m2＝6，∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；当m＜0或m＞8时，﹣+2m+3＝0，解得m3＝4﹣2，m4＝4+2，∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．6.【考点】待定系数法、二次函数极值问题、相似三角形、分类讨论【解答】解：（1）由题意把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，，解得b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x 2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；（2）∵抛物线顶点C（﹣1 ，4），∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设抛物线对称轴与x轴交于点H，则H（﹣1，0），在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1，∴tan∠COH＝＝4，∵∠COH＝∠CAO+∠ACO，∴当∠ACO＝∠CDO 时，tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4，如图1，当点D在对称轴左侧时，∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO，∴△AOC∽△ACD，∴＝，∵AC＝＝2，AO＝1，∴＝，∴AD＝20，∴OD＝19，∴D（﹣19，0）；当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x＝1的对称点D''的坐标为（17，0），∴点D的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；（3）设P（a，﹣a2﹣2a+3），将P（a，﹣a2﹣2a+3），A（1，0）代入y＝kx+b，得，，解得，k＝﹣a﹣3，b＝a+3，∴yPA＝（﹣a﹣3）x+a+3，当x＝0时，y＝a+3，∴N（0，a+3），如图2，∵S△BPM＝S△BPA﹣S四边形BMNO﹣S△AON，S△EMN＝S△EBO﹣S 四边形BMNO，∴S△BPM﹣S△EMN＝S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON＝×4×（﹣a2﹣2a+3）﹣×3×3﹣×1×（a+3）＝﹣2a2﹣a＝﹣2（a+）2+，由二次函数的性质知，当a＝﹣时，S△BPM﹣S△EMN有最大值，∵△BMP和△EMN的面积分别为m、n，∴m﹣n的最大值为．7.【考点】待定系数法、二次函数极值问题、距离和最短问题、探究特殊角问题【解答】解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，∴B的坐标为（4，﹣），将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，解得b＝1，c＝，∴抛物线的解析式y＝；（2）设D（m，），则E（m，﹣m+），DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2，∴当m＝2时，DE有最大值为2，此时D（2，），作点A关于对称轴的对称点A''，连接A''D，与对称轴交于点P．PD+PA＝PD+PA''＝A''D，此时PD+PA最小，∵A（3，2），∴A''（﹣1，2），A''D＝＝，即PD+PA的最小值为；（3）作AH⊥y轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，∵抛物线的解析式y＝，∴M（1 ，4），∵A（3，2），∴AH＝MH＝2，H（1，2）∵∠AQM＝45°，∠AHM＝90°，∴∠AQM＝∠AHM，可知△AQM外接圆的圆心为H，∴QH＝HA＝HM＝2设Q（0，t），则＝2，t＝2+或2﹣∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2﹣）、Q2（0，2）．8.【考点】待定系数法、二次函数嵌圆类问题【解答】（1）解：由题意得由图知：所以A()，,=6∴（2）由（1）得A()，,∴直线AC得解析式为：AC中点坐标为∴AC的垂直平分线为：又∵AB的垂直平分线为：∴得外接圆圆心的坐标（-1，1）.（3）解：过点P做PD⊥x轴由题意得：PD=d，∴=2d∵的面积为∴，即A、D两点到PB得距离相等∴设PB直线解析式为;过点∴∴易得所以P(-4,-5),由题意及易得：∴BQ=AP=设Q（m，-1）()∴∴Q9.【考点】待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、分类讨论思想【解答】解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点D坐标（2，3）．（2）可能．如图1，∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），∴AB＝8，AD＝BD＝5，①当D E＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．②当DE＝EF时，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE＝AD＝5③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF ＝∠DAB＝∠DBA，△FDE∽△DAB，∴＝，∴＝＝，∵△AEF∽△BCE∴＝＝，∴EB＝AD＝，答：当BE的长为5或时，△CFE为等腰三角形．（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣2）2+3]+×3×（n﹣2）﹣×4×3＝﹣（n﹣4）2+，∵﹣＜0，∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，∵＝m，∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝＝，观察图象可知：当0＜m＜时，满足条件的点P的个数有4个，当m＝时，满足条件的点P的个数有3个，当m＞时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．10.【考点】待定系数法、相似三角形的判定和性质、探究面积问题、分类讨论思想【解答】解：（1）∵抛抛线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），∴抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9），∵点C（0，4）在抛物线上，∴4＝﹣27a，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+3）（x﹣9）＝﹣x2+x+4，∵CD垂直于y轴，C（0，4），令﹣x2+x+4＝4，解得，x＝0或x＝6，∴点D的坐标为（6，4）；（2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，∵点F是抛物线y＝﹣x2+x+4的顶点，∴F（3，），∴FH＝﹣4＝，∵GH∥A1O1，∴△FGH∽△FA1O1，∴，∴，解得，GH＝1，∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG ，∴S重叠部分＝﹣S△FGH＝A1O1?O1F﹣GH?FH＝＝；（3）①当0＜t≤3时，如图2所示，设O2C2交OD于点M，∵C2 O2∥DE，∴△OO2M∽△OED，∴，∴，∴O2M＝t，∴S＝＝OO2×O2M＝t×t＝t2；②当3＜t≤6时，如图3所示，设A 2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，将点D（6，4）代入y＝kx，得，k＝，∴yOD＝x，将点（t﹣3，0），（t，4）代入y＝kx+b，得，，解得，k＝，b＝﹣t+4，∴直线A2C2的解析式为：y＝x﹣t+4，联立yOD＝x与y＝x﹣t+4，得，x＝x﹣t+4，解得，x＝﹣6+2t，∴两直线交点M坐标为（﹣6+2t，﹣4+t），故点M到O2C2的距离为6﹣t，∵C2N∥OC，∴△DC2N∽△DCO，∴，∴，∴C2N＝（6﹣t），∴S＝＝﹣＝OA?OC ﹣C2N（6﹣t）＝×3×4﹣×（6﹣t）（6﹣t）＝﹣t2+4t﹣6；∴S与t的函数关系式为：S＝．11.【考点】待定系数法、探究特殊四边形问题、分类讨论思想、二次函数极值问题【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点横坐标为，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3 ）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝AB（yD﹣yE ）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD 面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．12.【考点】待定系数法、探究相似三角形问题、分类讨论思想、探究等腰三角形问题【解答】解：（1））∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，∴A（﹣1，0），B（3，0），代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴C点坐标为（0，3）；（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，则有：，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵点E、F关于直线x＝1对称，又E到对称轴的距离为1，∴EF＝2，∴F点的横坐标为2，将x＝2代入y＝﹣x+3中，得：y＝﹣2+3＝1，∴F（2，1）；（3）①如下图，MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t，△AOC与△BMN相似，则，即：，解得：t＝或﹣或3或1（舍去、﹣、3），故：t＝1；②∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3﹣2t），∵△BOQ 为等腰三角形，∴分三种情况讨论，第一种，当OQ＝BQ时，∵Q M⊥OB∴OM＝MB∴2t＝3﹣2t∴t＝；第二种，当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中∵∠OBQ＝45°，∴BQ＝，∴BO＝，即3＝，∴t＝；第三种，当OQ＝OB时，则点Q、C重合，此时t＝0而t＞0，故不符合题意综上述，当t＝或秒时，△BOQ为等腰三角形．13 .【考点】待定系数法、探究矩离和最短问题、分类讨论思想、探究特殊四边形问题【解答】解：（1）∵平行四边形OABC中，A（6，0），C（4，3）∴BC＝OA＝6，BC∥x轴∴xB＝xC+6＝10，yB＝yC ＝3，即B（10，3）设抛物线y＝ax2+bx+c经过点B、C、D（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x﹣（2）如图1，作点E关于x轴的对称点E''，连接E''F交x轴于点P∵C（4，3）∴OC＝∵BC∥OA∴∠OEC＝∠AOE∵OE平分∠AOC∴∠AOE＝∠COE∴∠OEC＝∠COE∴CE＝OC＝5∴xE＝xC+5＝9，即E（9，3）∴直线OE解析式为y＝x∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x＝﹣7∴F（7，）∵点E与点E''关于x轴对称，点P在x轴上∴E''（9，﹣3），PE＝PE''∴当点F、P、E''在同一直线上时，PE+PF＝PE''+PF＝FE''最小设直线E''F解析式为y＝kx+h∴解得：∴直线E''F：y＝﹣x+21当﹣x+21＝0时，解得：x＝∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为（，0）．（3）存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形．设AH与OE相交于点G（t，t），如图2∵AH⊥OE于点G，A（6，0）∴∠AGO＝90°∴AG2+OG2＝OA2∴（6﹣t）2+（t）2+t2+（t）2＝62 ∴解得：t1＝0（舍去），t2＝∴G（，）设直线AG解析式为y＝dx+e∴解得：∴直线AG：y＝﹣3x+18当y＝3时，﹣3x+ 18＝3，解得：x＝5∴H（5，3）∴HE＝9﹣5＝4，点H、E关于直线x＝7对称①当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2则HE∥MN，MN＝HE＝4∵点N在抛物线对称轴：直线x＝7上∴xM＝7+4或7﹣4，即xM＝11或3当x＝3时，yM ＝﹣×9+×9﹣＝∴M（3，）或（11，）②当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3则HE、MN互相平分∵直线x＝7平分HE，点F在直线x＝7上∴点M在直线x＝7上，即M为抛物线顶点∴yM＝﹣×49+×7﹣＝4∴M（7，4）综上所述，点M坐标为（3，）、（11，）或（7，4）．14.【考点】二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，一次函数的图象与性质，二元一次方程组的解法【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点B（-2，0），C（6，0）∴设交点式y=a（x+2）（x-6）∵抛物线过点A（0，6）∴-12a=6∴a=-∴抛物线解析式为y=-（x+2）（x-6）=-x2+2x+6=-（x-2）2+8∴抛物线对称轴为直线x=2．（2）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1∴∠PHD=90°∵点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧∴2＜m＜6，PH=n=-m2+2m+6，n＞0∵OA=OC=6，∠AOC=90°∴∠AC O=45°∵PD⊥AC于点E∴∠CED=90°∴∠CDE=90°-∠ACO=45°∴DH=PH=n∵PG∥AB∴∠PGH=∠ABO∴△PGH∽△ABO∴∴GH=n∴d=DH-GH=n-n=n=（-m2+2m+6）=-m2+m+4（2＜m＜6）（3）①∵S△PDG=DG?PH=∴n?n=解得：n1=，n2=-（舍去）∴-m2+2m+6=解得：m1=-1（舍去），m2=5∴点P坐标为（5，）②在抛物线上存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形．设直线AP解析式为y=kx+6把点P代入得：5k+6=∴k=-∴直线AP：y= -x+6i）若∠RAS=90°，如图2∵直线AC解析式为y=-x+6∴直线AR解析式为y=x+6?解得：（即点A）∴R（2，8）∵∠ASR=∠OAC=45°∴RS∥y轴∴xS=xR=2∴S（2，4）∴直线OM：y=2x∵?解得：∴M（，）ii）若∠ASR=90°，如图3∴∠SAR=∠ACO=45°∴AR∥x轴∴R（4，6）∵S在AR的垂直平分线上∴S（2，4）∴M（，）iii）若∠ARS=90°，如图4，∴∠SAR=∠ACO=45°，RS∥y轴∴AR∥x轴∴R（4，6）∴S（4，2）∴直线OM：y=x∵?解得：∴M（6，3）综上所述，M1（，），R1（2，8）；M2（，），R2（4，6）；M3（6，3），R3（4，6）．15.【考点】二次函数的图象与性质、二次函数极值问题、探究等腰三角形问题、分类讨论与数形结合思想【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12），即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，将点B、C 的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，设直线AC的中点为M（﹣，4），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，①当AC＝AQ 时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3）；②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，则QM＝MB＝，故点Q（，）；③当CQ＝AQ时，联立①②并解得：x＝（舍去）；故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；（3）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，PN＝PQsin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣m2+m，∵﹣＜0，∴PN有最大值，当m＝时，PN的最大值为：．17.【考点】二次函数的图象与性质、二次函面积问题、探究等腰三角形问题、分类讨论与数形结合思想【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+x+；（2）抛物线的对称轴为x＝1，则点C（2，2），设点P（2，m），将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：函数PB的表达式为：y＝﹣mx+…①，∵CE⊥PE，故直线C E表达式中的k值为，将点C的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE的表达式为：y＝…②，联立①②并解得：x＝2﹣，故点F （2﹣，0），S△PCF＝×PC×DF＝（2﹣m）（2﹣﹣2）＝5，解得：m ＝5或﹣3（舍去5），故点P（2，﹣3）；（3）由（2）确定的点F的坐标得：CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（）2+4，PF2＝（）2+m2，①当CP＝CF时，即：（2﹣m）＝（）2+4，解得：m＝0或（均舍去），②当CP＝PF时，（2﹣m）2＝（）2+m2，解得：m＝或3（舍去3），③当CF＝PF时，同理可得：m＝±2（舍去2），故点P（2，）或（2，﹣2）．18.【考点】二次函数的图象与性质、二次函极值问题、探究平行四边形问题、分类讨论与数形结合思想【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y ＝ax2+bx+2，可得a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；∴对称轴x＝1；（2）如图1：过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，设点D（1，y），∵C（0，2），B（3，0），∴在R t△CGD中，CD2＝CG2+GD2＝（2﹣y）2+1，∴在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2＝4+y2，在△BCD中，∵∠DCB＝∠CBD，∴CD＝BD，∴CD2＝BD2，∴（2﹣y）2+1＝4+y2，∴y＝，∴D（1，）；（3）如图2：过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于P，∴∠EQR＝∠QRP＝∠RPE＝90°，∴四边形QRPE是矩形，∵S△CEF＝S 矩形QRPE﹣S△CRF﹣S△EFP，∵E（x，y），C（0，2），F（1，1），∴S△CEF＝EQ?QR﹣×EQ?QC﹣CR?RF﹣FP?EP，∴S△CEF＝x（y﹣1）﹣x（y﹣2）﹣×1×1﹣（x﹣1）（y﹣1），∵y＝﹣x2+x+2，∴S△CEF＝﹣x2+x，∴当x＝时，面积有最大值是，此时E（，）；（4）存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，设N（1，n），M（x，y），①四边形CMNB是平行四边形时，＝，∴x＝﹣2，∴M（﹣2，﹣）；②四边形CNBM时平行四边形时，＝，∴x＝2，∴M（2，2）；③四边形CNNB时平行四边形时，＝，∴x＝4，∴M（4，﹣）；综上所述：M（2，2）或M（4，﹣）或M（﹣2，﹣）；19 .【考点】二次函数的图象与性质、探究面积问题、探究平行四边形问题、分类讨论与数形结合思想【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8…①，则点B（3，5），将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝2x﹣1；（2）存在，理由：二次函数对称轴为：x＝1，则点C（1，1），过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D（x，﹣x2+2x+8），点H（x，2x﹣1），∵S△DAC＝2S△DCM，则S△DAC＝DH（xC﹣xA）＝（﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝（9﹣1）（1﹣x）×2，解得：x＝﹣1或5（舍去5），故点D（﹣1 ，5）；（3）设点Q（m，0）、点P（s，t），t＝﹣s2+2s+8，①当AM是平行四边形的一条边时，点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，同理，点Q（m，0）向左平移4个单位向下平移16个单位为（m﹣4，﹣16），即为点P，即：m﹣4＝s，﹣6＝t，而t＝﹣s2+2s+8，解得：s＝6或﹣4，故点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）；②当AM是平行四边形的对角线时，由中点公式得：m+s＝﹣2，t＝2，而t＝﹣s2+2s+8，解得：s＝1，故点P（1，2）或（1﹣，2）；综上，点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣1 6）或（1，2）或（1﹣，2）．20.【考点】二次函数的图象与性质、探究相似三角形问题、分类讨论与数形结合思想【解答】解：（1）函数表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x +4，函数顶点D（，）；（2）物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线的顶点D′（﹣h，1），将点AC的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y＝4x+4，将点D′坐标代入直线AC的表达式得：1＝4（﹣h）+4，解得：h＝，故：0＜h；（3）过点P作y轴的平行线交抛物线和x轴于点Q、H∵OB＝OC＝4，∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠QPC，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，则AB＝5，BC＝4，AC＝，S△ABC ＝×5×4＝10，设点Q（m，﹣m2+3m+4），点P（m，﹣m+4），CP＝m，PQ＝﹣m2+3m+4+m﹣4＝﹣m2+4m，①当△CPQ∽△CBA，，即，解得：m＝，相似比为：，②当△CPQ∽△ABC，同理可得：相似比为：，利用面积比等于相似比的平方可得：S△PQC＝10×（）2＝或S△PQC＝10×（）2＝．21 .【考点】二次函数的图象与性质、二次函数极值问题、分类讨论与数形结合思想【解答】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，令y＝0，则x ＝﹣1或﹣5，即点C（﹣1，0）；（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x+1…②，设点G（t，t+1），则点P （t，t2+6t+5），S△PBC＝PG（xC﹣xB）＝（t+1﹣t2﹣6t﹣5）＝﹣t2﹣t﹣6，∵＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为；②设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式并解得：直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，联立③④并解得：x＝﹣2，即点H（﹣2，﹣2），同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤，联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4（舍去﹣4），故点P（﹣，﹣）；当点P（P′）在直线BC上方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），故点P（0，5）；故点P的坐标为P （﹣，﹣）或（0，5）．22.【考点】待定系数法、二次函数的图象与性质、二次函数极值问题、探究特殊三角形问题、分类讨论与数形结合思想【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直线AB解析式为y＝x+3∵点P在线段AB上方抛物线上∴设P （t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴F（t，t+3）∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF?OH+PF?BH＝PF?OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴对称轴为直线x＝﹣1∵PE∥x轴交抛物线于点E∴yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称∴＝﹣1∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|∵△P DE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t∴﹣t2﹣3t＝2+2t解得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．。

2019-2020年中考数学全国部分地区几何综合题真题汇编(含答案解析)

几何综合专题1．（2019浙江温州24题）如图，在平面直角坐标系中，直线142y x=-+分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长；（2）设点Q2为(m，n)，当17nm=tan∠EOF时，求点Q2的坐标；（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD 交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．2.（2019浙江绍兴24题）如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M,N分别在边AB,CD上，点E,F分别在BC,AD上，MN,EF交于点P，记k=MN∶EF.（1）若a∶b的值是1，当MN⊥EF时，求k的值.（2）若a ∶b 的值是21，求k 的最大值和最小值. （3）若k 的值是3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE 时，求a ∶b 的值.3.（2019浙江绍兴23题）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂长AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，AD=30，DM=10.（1）在旋转过程中：①当A,D,M 三点在同一直线上时，求AM 的长；②当A,D,M 三点在同一直角三角形的顶点时，求AM 的长.（2）若摆动臂AD 顺时针旋转90°，点D 的位置由△ABC 外的点D 1转到其内的点D 2处，连结D 1D 2，如图2，此时∠AD 2C=135°，CD 2=60，求BD 2的长.4.（2019浙江宁波25题）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点. 求证：四边形ABEF是邻余四边形。

中考数学试卷题目分类汇总

一、选择题1. 数与代数- 实数的运算- 代数式的化简- 分式的运算- 根据方程求未知数- 解不等式及不等式组- 函数的性质与应用2. 几何与图形- 直线、射线、线段的概念及性质- 角的概念及性质- 平行线、相交线、垂直线的判定- 四边形、多边形的概念及性质- 圆的概念及性质- 三角形的概念及性质，如三角形全等、相似3. 统计与概率- 数据的收集、整理、描述- 平均数、中位数、众数的计算- 概率的基本概念及计算- 事件的相互关系及概率的运算二、填空题1. 数与代数- 实数的性质及运算- 代数式的化简及求值 - 分式的化简及运算- 根据方程求未知数- 解不等式及不等式组2. 几何与图形- 几何图形的性质及判定 - 几何图形的变换- 几何问题的解决方法 - 圆的相关计算3. 统计与概率- 数据的描述及分析- 概率的计算与应用三、解答题1. 数与代数- 复杂方程的求解- 函数问题及实际应用 - 代数问题的综合应用 - 函数与几何的结合问题2. 几何与图形- 几何图形的证明- 几何问题的解决方法 - 几何图形的应用- 几何问题的综合应用3. 统计与概率- 统计数据的分析及处理- 概率的计算与应用- 统计与概率的实际问题四、实验题1. 数与代数- 使用计算器进行计算- 利用计算机软件进行数据处理2. 几何与图形- 利用计算机软件绘制几何图形- 利用计算机软件进行几何问题的探究3. 统计与概率- 利用计算机软件进行数据分析- 利用计算机软件进行概率问题的探究五、应用题1. 数与代数- 生活、生产、科技等领域的实际问题 - 经济、金融、物理等领域的实际问题2. 几何与图形- 建筑设计、城市规划等领域的实际问题 - 物理实验、天文观测等领域的实际问题3. 统计与概率- 社会调查、市场分析等领域的实际问题- 医学研究、生物统计等领域的实际问题总结：中考数学试卷题目分类汇总涵盖了数与代数、几何与图形、统计与概率三个主要模块，旨在考查学生对数学知识的掌握程度、应用能力及创新思维。

代数式及整式(46题)(原卷版)—2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)

代数式及整式（46题）一、单选题1．（2024·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（）A ．2352a a a +=B ．236a a a ×=C ．()325a a =D ．2(1)a a a a +=+2．（2024·江苏常州·中考真题）计算222a a -的结果是（）A ．2B ．2aC ．23aD ．42a 3．（2024·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（）A ．33a b ab+=B ．325a a a ×=C ．()8240a a a a ÷=≠D ．()222a b a b -=-4．（2024·四川雅安·中考真题）下列运算正确的是（）A ．34a b ab +=B ．()325a a =C ．326a a a ×=D ．54a a a ÷=5．（2024·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（）A ．325a a a +=B ．32a a a -=C ．()325a a =D ．523a a a ÷=6．（2024·湖北·中考真题）223x x ×的值是（）A ．25xB ．35xC ．26xD ．36x 7．（2024·湖北武汉·中考真题）下列计算正确的是（）A ．236a a a ×=B ．()1432a a =C ．()2236a a =D ．()2211a a +=+8．（2024·福建·中考真题）下列运算正确的是（）A ．339a a a ×=B ．422a a a ÷=C ．()235a a =D ．2222a a -=9．（2024·广东·中考真题）下列计算正确的是（）A ．2510a a a ×=B ．824a a a ÷=C ．257a a a -+=D ．()5210a a =10．（2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：2x ，23x ，34x ，45x ，56x ，L ，第n 个代数式是（）A ．2n xB ．()1n n x -C ．1n nx +D ．()1n n x +11．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（）A ．90B ．91C ．92D ．9312．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：22(1)2a a a --=（）A ．aB ．a -C ．2aD ．2a-13．（2024·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（）A ．()2233x x =B ．336x y xy +=C ．()222x y x y +=+D ．()()2224x x x +-=-14．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（）A ．642x x x ÷=B =C ．325()x x =D ．222()x y x y +=+15．（2024·山东·中考真题）下列运算正确的是（）A ．437a a a +=B ．()2211a a -=-C ．()2332a b a b =D ．()2212a a a a +=+16．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（）A ．22223x y xy x y-=-B ．82224422x y x y x ÷=C ．()()22x y x y x y ---=-D ．()22346x y x y =17．（2024·四川·中考真题）下列计算正确的是（）A ．()2222a a +=+B ．2a a a +=C ．23515a a a ×=D ．()222a b a b +=+18．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（）A ．24B ．36C ．40D ．4419．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列计算正确的是（）A ．()341226a a -=-B ．253a a a -÷=C ．111a a a a +-=D ．()()2233a b a ab b a b +-+=+20．（2024·吉林长春·中考真题）下列运算一定正确的是（）A ．236a a a ×=B ．236a a a ×=C ．()222ab a b =D ．()235a a =21．（2024·青海·中考真题）计算1220x x -的结果是（）A ．8xB ．8x -C ．8-D ．2x 22．（2024·四川广安·中考真题）下列运算中，正确的是（）A ．235a a a +=B ．()32628a a -=-C ．22(1)1a a -=-D ．842a a a ÷=23．（2024·四川德阳·中考真题）下列计算正确的是（）A ．236a a a ×=B ．()a b a b--=-+C ．()211a a a +=+D ．222()a b a b +=+24．（2024·四川南充·中考真题）下列计算正确的是（）A ．235a a a +=B ．842a a a ÷=C ．236a a a ×=D ．()326327a a =25．（2024·四川泸州·中考真题）下列运算正确的是（）A ．34325a a a +=B ．236326a a a ×=C ．()23624a a -=D ．62344a a a ÷=26．（2024·四川达州·中考真题）下列计算正确的是（）A ．235a a a +=B ．()22224a a a +=++C ．()3236928ab a b -=-D ．1262a a a ÷=27．（2024·四川宜宾·中考真题）下列计算正确的是（）A ．2a a a +=B ．532a a -=C ．2326x x x ×=D ．32()()x x x-÷-=28．（2024·四川遂宁·中考真题）下列运算结果正确的是（）A ．321a a -=B ．236a a a ×=C ．()44a a -=-D ．()()2339a a a +-=-29．（2024·四川广安·中考真题）代数式3x -的意义可以是（）A ．3-与x 的和B ．3-与x 的差C ．3-与x 的积D ．3-与x 的商二、填空题30．（2024·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H 与杯子数量n 的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示H = ．①杯子底部到杯沿底边的高h ；②杯口直径D ；③杯底直径d ；④杯沿高a ．31．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上234y xy +-，结果是2325xy y +-，则这个多项式为．32．（2024·山东济宁·中考真题）已知2210a b -+=，则241b a +的值是．33．（2024·四川广安·中考真题）若2230x x --=，则2241x x -+= ．34．（2024·吉林长春·中考真题）单项式22a b -的次数是．35．（2024·上海·中考真题）计算()()a b b a +-= ．36．（2024·江苏苏州·中考真题）计算：32x x ×= ．37．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知1a a +=，则221a a +的值是．38．（2024·四川·中考真题）已知223x x +=，那么2245x x +-的值是．39．（2024·山东泰安·中考真题）单项式23ab -的次数是．40．（2024·四川乐山·中考真题）计算：2a a += .三、解答题41．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：()()211x x x +-+，其中1x =．42．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值：(4)(2)(2)x y x x y x y -++-，其中12x =，2y =．43．（2024·重庆·中考真题）计算：(1)()()()312a a a a -+-+；(2)22241244x x x x -æö+÷ç÷--+èø．44．（2024·四川南充·中考真题）先化简，再求值：()23(2)3x x x x +-+÷，其中2 x =-．45．（2024·内蒙古通辽·中考真题）先化简，再求值：()()()()224+--+-a b a b a b a b ，其中2==a b ．46．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：()()()2233m m m m m --++-，其中52m =．。

【初三数学】代数几何综合题(含答案)(共15页)

代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。

例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ）（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。

解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90∴∆∆BOP PAC ~∴=PO AC BOPA，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287，Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。

关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。

练习1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。

（4分）B2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O 的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。

全国各地中考数学试卷分类汇编：综合性问题

综合性问题一．选择题1．（2013湖北省鄂州市，5，3分）下列命题正确的个数是（） ①若代数式有意义，则x 的取值范围为x ≤1且x ≠0．②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元． ③若反比例函数（m 为常数），当x ＞0时，y 随x 增大而增大，则一次函数y=﹣2x+m的图象一定不经过第一象限．④若函数的图象关于y 轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y=3，y=2x+1，y=x 2中偶函数的个数为2个． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4考点：命题与定理．分析：根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案．解答：解：①若代数式有意义，则x 的取值范围为x ＜1且x ≠0，原命题错误；②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元正确． ③若反比例函数（m 为常数）的增减性需要根据m 的符号讨论，原命题错误；④若函数的图象关于y 轴对称，则函数称为偶函数，三个函数中只有y=x 2中偶函数，原命题错误，故选C ．点评：本题考查了命题与定理的知识，在判断一个命题正误的时候可以举出反例2 1．（2013山东临沂，11，3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1（1，0），A 2（2，0），B 1（0，1），B 2（0，2），分别以A 1，A 2，B 1，B 2其中的任意两点与点．．O ．为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（）A ．34B ．13C ．23D ．12【答案】：D ．O x y B 1 A 1 A 2B 2【解析】有△OA 1B 1，△QA 2B 2，△QA 1B 2，△QA 2B 1，等腰三角形有两个，所以概率是12。

8.9 2020中考数学复习：《代数与几何综合》近8年全国中考题型大全(含答案)

8.9 代数与几何综合一、选择题1. (2016 广西玉林市) 如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF=45°，AE=AF，则有下列结论：①∠1=∠2=22.5°；②点C到EF的距离是；③△ECF的周长为2；④BE+DF＞EF．其中正确的结论是．（写出所有正确结论的序号）2. (2019 重庆市綦江县) （4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD ⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8 B．4 C．2+4 D．3+23. (2019 四川省遂宁市) （4分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝．其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④１２二、填空题4. (2019 浙江省台州市) （5分）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，A ，B ，C 分别为直线l 1，l 2，l 3上的动点，连接AB ，BC ，AC ，线段AC 交直线l 2于点D ．设直线l 1，l 2之间的距离为m ，直线l 2，l 3之间的距离为n ，若∠ABC ＝90°，BD ＝4，且＝，则m +n 的最大值为．5. (2019 广西防城港市) （3分）如图，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，60AOC ∠=︒，210ACD ABD ∠+∠=︒，则线段AB ，AC ，BD之间的等量关系式为．三、应用题6. (2012 福建省莆田市) (1)如图①，在Rt ABC △中，90ABC ∠=°，BD AC ⊥于点D ．求证：2AB AD AC =•；(2)如图②，在Rt ABC △中，90ABC ∠=°，点D 为BC 边上的点，BE AD ⊥于点E ，延长BE 交AC 于点F ．若1AB BD BC DC ==，求AFFC的值； (3)在Rt ABC △中，90ABC ∠=°，点D 为直线．．BC 上的动点．．(点D 不与B 、C 重合)，直线BE AD ⊥于点E ，交直线AC 于点F ．若AB BD n BC DC ==，请探究并直接写出AFFC所有可能的值(用含n 的式子表示)，不必证明．7. (2014 福建省漳州市)阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）（1）理解与应用如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为．（2）类比与推理如图3，矩形ABCD的对角线AC， BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；（3）拓展与延伸如图4，⊙O的半径为4，A，B，C， D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．３４8. (2015 四川省绵阳市) 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，G 是AD 延长线时的一点，且DG=AD ，动点M 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿着A →C →G 的路线向G 点匀速运动（M 不与A ，G 重合），设运动时间为t 秒，连接BM 并延长AG 于N ．（1）是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形？若存在，分析点M 的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N 在AD 边上时，若BN ⊥HN ，NH 交∠CDG 的平分线于H ，求证：BN=HN ；（3）过点M 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ，矩形AEMF 与△ACG 重叠部分的面积为S ，求S 的最大值．9. (2015 四川省自贡市) 在△ABC 中，,cos 3AB AC 5ABC 5==∠=,将△ABC 绕点C 顺时针旋转，得到△11A B C .⑴.如图①，当点1B 在线段BA 延长线上时. ①.求证：11BB CA P ；②.求△1AB C 的面积；⑵. 如图②，点E 是BC 上的中点，点F 为线段AB 上的动点，在△ABC 绕点C 顺时针旋转过程中，点F 的对应点是1F ，求线段1EF 长度的最大值与最小值的差.A 1B 1ACB①F 1A 1B 1ACBF ②10. (2015 浙江省衢州市) 如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，S△ABC=，动点P从A 点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH．（1）求tanA的值；（2）设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值．11. (2016 广西贵港市) 如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．５６（2）如图3，连接BD 交AE 于点M ，交AF 于点N ．请探究并猜想：线段BM ，MN ，ND 之间有什么数量关系？并说明理由．四、复合题12. (2012 新疆乌鲁木齐) 如图，已知点(120)A -，，(30)B ，，点C 在y 轴的正半轴上，且90ACB ∠=°．（1）求点C 的坐标；（2）求Rt ACB △的角平分线CD 所在直线l 的解析式；（3）在l 上求出满足12PBC ACB S S =△△的点P 的坐标；（4）已知点M 在l 上，在平面内是否存在点N ，使以O C M N 、、、为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．13. (2013 湖北省荆门市) 如图1，正方形ABCD 的边长为2，点M 是BC 的中点，７P 是线段MC 上的一个动点(不与M ，C 重合)，以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O的切线，交AD 于点F ，切点为E ． (1)求证：OF ∥BE ；(2)设BP ＝x ，AF ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； (3)延长DC ，FP 交于点G ，连接OE 并延长交直线DC 于H (图2)，问是否存在点P ，使△EFO ∽△EHG (E ，F ，O 分别与E ，H ，G 为对应点)，如果存在，试求(2)中x 和y 的值，如果不存在，请说明理由．14. (2017 吉林省长春市) 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm ．点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿边AB 向终点B 运动．过点P 作PQ ⊥AB 交折线ACB 于点Q ，D 为PQ 中点，以DQ 为边向右侧作正方形DEFQ ．设正方形DEFQ 与△ABC 重叠部分图形的面积是y （cm 2），点P 的运动时间为x （s ）．（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．15. (2017 山东省日照市) 如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．８16. (2018 四川省达州市) （11分）阅读下列材料：已知：如图1，等边△A1A2A3内接于⊙O，点P是上的任意一点，连接PA1，PA2，PA3，可证：PA1+PA2=PA3，从而得到：是定值．（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；证明：如图1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延长线于点M．∵△A1A2A3是等边三角形，∴∠A3A1A2=60°，∴∠A3A1P=∠A2A1M又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，∴△A1A3P≌△A1A2M∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．９∴，是定值．（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”，其余条件不变，请问：还是定值吗？为什么？（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”，其余条件不变，则= （只写出结果）．17. (2018 浙江省温州市) （14分）如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P 作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E．（1）求证：∠BPD=∠BAC．（2）连接EB，ED，当tan∠MAN=2，AB=2时，在点P的整个运动过程中．①若∠BDE=45°，求PD的长．②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长．（3）连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN=1，OC∥BE时，记△OFP的面积为S1，△CFE的面积为S2，请写出的值．１０五、开放题18. (2013 黑龙江省大庆市) 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AB 为垂直于底边的腰，AD =1，BC =2，AB =3，点E 为CD 上异于C 、D 的一个动点，过点E 作AB 的垂线，垂足为F ，△ADE 、△AEB 、△BCE 的面积分别为1S 、2S 、3S . （1）设AF x =，试用x 表示1S 与3S 的乘积1S 3S ，并求1S 3S 的最大值；（2）设AFt FB=，试用t 表示EF 的长；（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，22134S S S =.六、动态几何19. (2019 浙江省温州市) （14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x +4分别交x 轴、y 轴于点B ，C ，正方形AOCD 的顶点D 在第二象限内，E 是BC 中点，OF ⊥DE 于点F ，连结OE ．动点P 在AO 上从点A 向终点O 匀速运动，同时，动点Q 在直线BC 上从某一点Q 1向终点Q 2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B 的坐标和OE 的长（2）设点Q 2为（m ，n ），当＝tan ∠EOF 时，求点Q 2的坐标．（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s 关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．七、阅读理解与信息迁移20. (2014 江西省抚州市) 试题背景已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1 =d3 = 1，d2 = 2 . 我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.探究1 ⑴如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE l⊥于点E,BE的反向延长线交直线于点F. 求正方形ABCD的边长.探究2 ⑵矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽 = 2 ：1 ，则矩形ABCD的宽为 . (直接写出结果即可)探究3 ⑶如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，AE⊥k于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线、于点G、M. 求证：EC DF=.拓展⑷如图3，l∥k，等边三角形ABC的顶点A、B分别落在直线l、k上，AB⊥k于点B，且AB=4 ，∠ACD=90°，直线CD分别交直线l、k于点G、M，点D、E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD=AE，DH l⊥于点H.猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？并说明此时BC∥DE的理由.参考答案一、选择题1. 考点四边形综合题．分析先证明Rt△ABE≌Rt△ADF得到∠1=∠2，易得∠1=∠2=∠22.5°，于是可对①进行判断；连结EF、AC，它们相交于点H，如图，利用Rt△ABE≌Rt△ADF 得到BE=DF，则CE=CF，接着判断AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，于是利用角平分线的性质定理得到EB=EH，FD=FH，则可对③④进行判断；设BE=x，则EF=2x，CE=1﹣x，利用等腰直角三角形的性质得到2x=（1﹣x），解得x=﹣1，则可对④进行判断．解答解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠1=∠2，∵∠EAF=45°，∴∠1=∠2=∠22.5°，所以①正确；连结EF、AC，它们相交于点H，如图，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE=DF，而BC=DC，∴CE=CF，而AE=AF，∴AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，∴EB=EH，FD=FH，∴BE+DF=EH+HF=EF，所以④错误；∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CED+BE+CF+DF=CB+CD=1+1=2，所以③正确；设BE=x，则EF=2x，CE=1﹣x，∵△CEF为等腰直角三角形，∴EF=CE，即2x=（1﹣x），解得x=﹣1，∴EF=2（﹣1），∴CH=EF=﹣1，所以②正确．故答案为①②③．2.分析先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．解答解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．点评本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．3.分析由等边三角形及正方形的性质求出∠CPD＝∠CDP＝75°、∠PCB＝∠CPB ＝60°，从而判断①；证∠DBP＝∠DPB＝135°可判断②；作QE⊥CD，设QE＝DE＝x，则QD＝x，CQ＝2QE＝2x，CE＝x，由CE+DE＝CD求出x，从而求得DQ、BQ的长，据此可判断③，证DP＝DQ＝，根据S△BDP＝BD•PD sin∠BDP 求解可判断④．解答解：∵△PBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠PCB＝∠CPB＝60°，∠PCD＝30°，BC＝PC＝CD，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，则∠BPD＝∠BPC+∠CPD＝135°，故①正确；∵∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠DBP＝∠DPB＝135°，又∵∠PDB＝∠BDH，∴△BDP∽△HDB，故②正确；如图，过点Q作QE⊥CD于E，设QE＝DE＝x，则QD＝x，CQ＝2QE＝2x，∴CE＝x，由CE+DE＝CD知x+x＝1，解得x＝，∴QD＝x＝，∵BD＝，∴BQ＝BD﹣DQ＝﹣＝，则DQ：BQ＝：≠1：2，故③错误；∵∠CDP＝75°，∠CDQ＝45°，∴∠PDQ＝30°，又∵∠CPD＝75°，∴∠DPQ＝∠DQP＝75°，∴DP＝DQ＝，∴S△BDP＝BD•PD sin∠BDP＝×××＝，故④正确；故选：D．点评本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形和正方形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定等知识点．二、填空题4. 解答解：过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE＝x，CF＝y，BN＝x，BM＝y，∵BD＝4，∴DM＝y﹣4，DN＝4﹣x，∵∠ABC＝∠AEB＝∠BFC＝∠CMD＝∠AND＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，∴△ABE∽△BFC，∴，即＝，∴xy＝mn，∵∠ADN＝∠CDM，∴△CMD∽△AND，∴＝，即＝，∴y＝﹣x+10，∵＝，∴n＝m，∴（m +n ）最大＝m ，∴当m 最大时，（m +n ）最大＝m ，∵mn ＝xy ＝x （﹣x +10）＝﹣x 2+10x ＝m 2， ∴当x ＝﹣＝时，mn 最大＝＝m 2，∴m 最大＝，∴m +n 的最大值为×＝．故答案为：．5. 分析过点A 作//AE CD ，截取AE CD =，连接BE 、DE ，则四边形ACDE 是平行四边形，得出DE AC =，ACD AED ∠=∠，证明ABE ∆为等边三角形得出BE AB =，求得360()90BDE AED ABD EAB ∠=︒-∠+∠-∠=︒，由勾股定理得出222BE DE BD =+，即可得出结果．解答解：过点A 作//AE CD ，截取AE CD =，连接BE 、DE ，如图所示：则四边形ACDE 是平行四边形，DE AC ∴=，ACD AED ∠=∠， 60AOC ∠=︒Q ，AB CD =， 60EAB ∴∠=︒，CD AE AB ==，ABE ∴∆为等边三角形，BE AB ∴=，210ACD ABD ∠+∠=︒Q ，210AED ABD ∴∠+∠=︒，360()3602106090BDE AED ABD EAB ∴∠=︒-∠+∠-∠=︒-︒-︒=︒，222BE DE BD ∴=+，222AB AC BD ∴=+；故答案为：222AB AC BD =+．点评本题考查了勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、四边形内角和等知识，熟练掌握平行四边形的性质、通过作辅助线构建等边三角形与直角三角形是解题的关键．三、应用题6. 1）证明：如图①，∵BD AC ⊥，90ABC ∠=°，∴∠ADB ＝∠ABC.又∵ ∠A ＝∠A ，∴△ADB ∽△ABC ．∴ AB AD AC AB=，∴ 2AB AD AC =•．（2）解：方法一：如图②，过点C 作CG AD ⊥交AD 的延长线于点G ．∵BE AD ⊥，∴ 90CGD BED ∠=∠=°，CG BF ∥．又∵1AB BD BC DC== ∴22AB BC BD DC ===，BD DC =．又∵BDE CDG ∠=∠，∴BDE CDG △≌△．∴12ED GD EG ==．由（1）可得：2AB AE AD =•，2BD DE AD =•．∴ 2222(2)4AE AB BD DE BD BD === ，∴4AE DE =， ∴422AE DE EG DE ==．又∵CG BF ∥，2AF AE FC EG==．方法二：如图③，过点D 作DG BF ∥交AC 于点G ． ∴1AB BD BC DC ==， 12BD DC BC ==，AB BC =． ∵DG BF ∥，∴2FC BC FG BD ==，2FC FG =．由（1）可知： 2AB AE AD =•，2BD DE AD =•．∴22224AE AB BC DE BD BD ===． ∵DG BF ∥，∴4AF AE FG ED ==，∴22AF AF FC FG==．（3） ①当点D 在BC 边上时，AF FC的值为2n n +. ②当点D 在BC 延长线上时，AF FC的值为2n n -． ③当点D 在BC 延长线上时，AF FC 的值为2n n -．（注：写对一种得1分，写对二种得3分，写对三种得5分）7.解：（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．∵AB=BC=2，∴AC=2．∴OA=．∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE+PF=OA=．（2）如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．∵AB=4，AD=3，∴BD=5．∴OA=OB=OC=OD=．∵PE∥OB，PF∥AO，∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．∴，．∴==1．∴+=1．∴EP+FP=．∴PE+PF的值为．（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图4．∵DG与⊙O相切，∴∠GDA=∠ABD．∵∠ADG=30°，∴∠ABD=30°．∴∠AOD=2∠ABD=60°．∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD=OA=4．同理可得：BC=4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴，．∴==1．∴=1．∴PE+PF=4．∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4．8.分析：(1）四种情况：当点M为AC的中点时，AM=BM；当点M与点C重合时，AB=BM；当点M在AC上，且AM=2时，AM=AB；当点M为CG的中点时，AM=BM；△ABM为等腰三角形；（2）在AB上截取AK=AN，连接KN；由正方形的性质得出∠ADC=90°，AB=AD，∠CDG=90°，得出BK=DN，先证出∠BKN=∠NDH，再证出∠ABN=∠DNH，由ASA证明△BNK≌△NHD，得出BN=NH即可；（3）①当M在AC上时，即0＜t≤2时，△AMF为等腰直角三角形，得出AF=FM=t，求出S=AF•FM=t2；当t=2时，即可求出S的最大值；②当M在CG上时，即2＜t＜4时，先证明△ACD≌△GCD，得出∠ACD=∠GCD=45°，求出∠ACM=90°，证出△MFG为等腰直角三角形，得出FG=MG•cos45°=4﹣t，得出S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG，S为t的二次函数，即可求出结果．解答：（1）解：存在；当点M为AC的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形；当点M与点C重合时，AB=BM，则△ABM为等腰三角形；当点M在AC上，且AM=2时，AM=AB，则△ABM为等腰三角形；当点M为CG的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形；（2）证明：在AB上截取AK=AN，连接KN；如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，AB=AD，∴∠CDG=90°，∵BK=AB﹣AK，ND=AD﹣AN，∴BK=DN，∵DH平分∠CDG，∴∠CDH=45°，∴∠NDH=90°+45°=135°，∴∠BKN=180°﹣∠AKN=135°，∴∠BKN=∠NDH，在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90°，又∵BN⊥NH，即∠BNH=90°，∴∠ANB+∠DNH=180°﹣∠BNH=90°，∴∠ABN=∠DNH，在△BNK和△NHD中，，∴△BNK≌△NHD（ASA），∴BN=NH；（3）解：①当M在AC上时，即0＜t≤2时，△AMF为等腰直角三角形，∵AM=t，∴AF=FM=t，∴S=AF•FM=×t×t=t2；当t=2时，S的最大值=×（2）2=2；②当M在CG上时，即2＜t＜4时，如图2所示：CM=t﹣AC=t﹣2，MG=4﹣t，在△ACD和△GCD中，，∴△ACD≌△GCD（SAS），∴∠ACD=∠GCD=45°，∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°，∴∠G=90°﹣∠GCD=45°，∴△MFG为等腰直角三角形，∴FG=MG•cos45°=（4﹣t）•=4﹣t，∴S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG=×4×2﹣×CM×CM﹣×FG×FG =4﹣（t﹣2）2﹣（4﹣）2=﹣+4t﹣8=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S的最大值为．点评：本题是相似形综合题目，考查了等腰三角形的判定、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数以及三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形全等和等腰直角三角形才能得出结果．9.分析：（1）①根据旋转的性质和平行线的性质证明；②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，根据三角函数和三角形的面积公式解答；（2）过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，和以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，得出最大和最小值解答即可．解答：解：（1）①证明：∵AB=AC，B1C=BC，∴∠1=∠B，∠B=∠ACB，∵∠2=∠ACB（旋转角相等），∴∠1=∠2，∴BB1∥CA1；②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图①：∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，∵cos∠ABC=，AB=5，∴BF=3，∴BC=6，∴B1C=BC=6，∵CE⊥AB，∴BE=B1E=，∴BB1=，CE=，∴AB1=，∴△AB1C的面积为：；（2）如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值，此时在Rt△BFC中，CF=，∴CF1=，∴EF1的最小值为；如图，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，EF1有最大值；此时EF1=EC+CF1=3+6=9，∴线段EF1的最大值与最小值的差为．点评：此题考查几何变换问题，关键是根据旋转的性质和三角形的面积公式进行解答．10.分析：（1）如图1，过点B作BM⊥AC于点M，利用面积法求得BM的长度，利用勾股定理得到AM的长度，最后由锐角三角函数的定义进行解答；（2）如图2，过点P作PN⊥AC于点N．利用（1）中的结论和勾股定理得到PN2+NQ2=PQ2，所以由正方形的面积公式得到S关于t的二次函数，利用二次函数的顶点坐标公式和二次函数图象的性质来求其最值；（3）需要分类讨论：当点E在边HG上、点F在边HG上、点P边QH（或点E在QC上）、点F边C上时相对应的t的值．解答：解：（1）如图1，过点B作BM⊥AC于点M，∵AC=9，S△ABC=，∴AC•BM=，即×9•BM=，解得BM=3．由勾股定理，得AM===4，则tanA==；（2）存在．如图2，过点P作PN⊥AC于点N．依题意得AP=CQ=5t．∵tanA=，∴AN=4t，PN=3t．∴QN=AC﹣AN﹣CQ=9﹣9t．根据勾股定理得到：PN2+NQ2=PQ2，S正方形PQEF=PQ2=（3t）2+（9﹣9t）2=90t2﹣162t+81（0＜t＜）．∵﹣==在t的取值范围之内，∴S最小值===；（3）①如图3，当点E在边HG上时，t1=；②如图4，当点F在边HG上时，t2=；③如图5，当点P边QH（或点E在QC上）时，t3=1④如图6，当点F边C上时，t4=．点评：本题考查了四边形综合题．其中涉及到了三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理以及二次函数的最值的求法．其中，解答（3）题时，要分类讨论，做到不重不漏，结合图形解题，更形象、直观．11.考点四边形综合题．分析（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下来在证明∠GAE=∠FAE，然后依据SAS证明△GAE≌△FAE即可；②由全等三角形的性质可知：AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，接下来，在Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可；（2）将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．在△NM′D中依据勾股定理可证明NM′2=ND2+DM′2，接下来证明△AMN≌△ANM′，于的得到MN=NM′，最后再由BM=DM′证明即可．解答解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．]∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE．②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．解得：x=6．∴AB=6．∴AH=6．（3）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°．由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．∴∠NDM′=90°．∴NM′2=ND2+DM′2．∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAM′=45°．在△AMN和△ANM′中，，∴△AMN≌△ANM′．∴MN=NM′．又∵BM=DM ′， ∴MN 2=ND 2+BM 2．四、复合题12. 解：（1）由AOC COB △∽△，可得236OC OA OB =⨯=，6OC ∴= 又点C 在y 轴的正半轴上，故点C 的坐标是(06)，；（2）过点D 作DE BC ⊥于点E ，设DB 的长为m ，在Rt DEB △中，sin 5AC DE DB B m m AB =•=•=，cos 5BE DB B m =•=在Rt DEC △中，45DCE ∠=°，于是，5CE DE m ==由CE BE BC +=m +=5m = 又由OA OB >，知点D 在线段OA 上，3OB =，所以2OD =，故点(20)D -，；设直线l 的解析式为：y kx b =+，把(06)C ，和(20)D -，代入y kx b =+中，得620b k b =⎧⎨-+=⎩，解之，得36k b =⎧⎨=⎩，故直线l 的解析式为：36y x =+；（3）①取AB 的中点( 4.50)F -，，过点F 作BC 的平行线交直线l 于点1P ，连接CF ．易知112P BC FBC ACB S S S ==△△△，∴点1P 为符合题意的点．直线1P 可由直线BC 向左平移BF 个单位得到（即向左平移7.5个单位）而直线BC 的解析式为26y x =-+，直线1P F 的解析式为2(7.5)6y x =-++即29y x =--，由2936y x y x =--⎧⎨=+⎩得到点1(33)P --，②在直线l 上取点2P 使21P C PC =，此时有2112P BC P BC ACB S S S ==△△△，∴点2P 符合题意．由21P C PC =，可得2P 的坐标为(315)，， ∴点(33)P --，或(315)P ，可使12PBC ACB S S =△△；（4）点N 分别为(13)，，18655⎛⎫- ⎪⎝⎭，，55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，13. (1)证明：连接OE ．∵FE ，FA 是⊙O 的切线，∴∠OAF ＝∠OEF ＝90°．又∵FO ＝FO ，OA ＝OE ．∴△FAO ≌△FEO ． ∴∠AOF ＝∠EOF ＝12∠AOE ． ∵∠ABE ＝12∠AOE ，∴∠AOF ＝∠ABE ． ∴OF ∥BE ．(2)过F 作FQ ⊥BC 于Q ，∴PQ ＝BP －AF ＝x －y ，PF ＝PE ＋EF ＝x ＋y ．在Rt △PFQ 中，FQ 2＋PQ 2＝PF 2． ∴22＋(x －y )2＝(x ＋y )2．化简得y ＝1x (1＜x ＜2)． (3)存在这样的P 点．∠EOF ＝∠AOF ，∴∠EHG ＝∠EOA ＝2∠EOF ． ∵OH ⊥FG ，∴∠OEF ＝∠HEG ＝90°．当∠EFO＝∠EHG＝2∠EOF时，即∠EOF＝30°时，△EFO∽△EHG．此时Rt△AFO中，y＝AF＝OA·tan30°＝3．∴x＝1y＝3．∴当x＝3，y＝3时，△EFO∽△EHG．14.答案（1）x；（2）x=45；（3）见解析；（4）1＜x＜32．（3）如图②，当0＜x≤45时，根据正方形的面积公式得到y=x2；如图③，当45＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH=12AB=2，根据正方形和三角形面积公式得到y=﹣232x2+20x﹣8；如图④，当1＜x＜2时，PQ=4﹣2x，根据三角形的面积公式得到结论；（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，得到x=1，当Q为BC的中点时，2得到x=32，于是得到结论．试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，∴∠AQP=45°，∴PQ=AP=2x，∵D为PQ中点，∴DQ=x，∵D为PQ中点，∴DQ=x，∴GP=2x，∴2x+x+2x=4，∴x=45；（3）如图②，当0＜x≤45时，y=S正方形DEFQ=DQ2=x2，∴y=x2；如图③，当45＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH=12AB=2，∵PQ=AP=2x，CK=2﹣2x，∴MQ=2CK=4﹣4x，FM=x﹣（4﹣4x）=5x﹣4，∴y=S正方形DEFQ﹣S△MNF=DQ2﹣12FM2，∴y=x2﹣12（5x﹣4）2=﹣232x2+20x﹣8，∴y=﹣232x2+20x﹣8；∴DQ=2﹣x，∴y=S△DEQ=12DQ2，∴y=12（2﹣x）2，∴y=12x2﹣2x+2；（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，即2x=2，∴x=1，当Q为BC的中点时，2，PB=1，∴AP=3，∴2x=3，∴x=3，2∴边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围为：1＜x＜3．2考点：四边形综合题．15.答案(1) CD=3， P（2，﹣1）；(2) y=x2﹣4x+3；(3) 存在满足条件的点Q，2其坐标为（2，﹣1）．试题分析：（1）连接OC，由勾股定理可求得MN的长，则可求得OC的长，由垂径定理可求得OD的长，在Rt△OCD中，可求得CD的长，则可求得PD的长，可求得P点坐标；（2）可设抛物线的解析式为顶点式，再把N点坐标代入可求得抛物线解析式；（3）由抛物线解析式可求得A、B的坐标，由S四边形OPMN=8S△QAB可求得点Q到x轴的距离，且点Q只能在x轴的下方，则可求得Q点的坐标，再证明△QAB∽△OBN即可．试题解析：（1）如图，连接OC，∵M（4，0），N（0，3），∴OM=4，ON=3，∴MN=5，∴OC=12MN=52，∵CD为抛物线对称轴，∴OD=MD=2，在Rt△OCD中，由勾股定理可得=32，∴PD=PC﹣CD=52﹣32=1，∴P（2，﹣1）；（2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），∴设抛物线的函数表达式为y=a（x﹣2）2﹣1，∵抛物线过N（0，3），∴3=a（0﹣2）2﹣1，解得a=1，∴抛物线的函数表达式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；（3）在y=x2﹣4x+3中，令y=0可得0=x2﹣4x+3，解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∵ON=3，OM=4，PD=1，∴S四边形OPMN=S△OMP+S△OMN=12OM•PD+12OM•ON=12×4×1+12×4×3=8=8S△QAB，∴S△QAB=1，设Q点纵坐标为y，则12×2×|y|=1，解得y=1或y=﹣1，当y=1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去，当y=﹣1时，可知P点即为所求的Q点，∵D为AB的中点，∴AD=BD=QD，∴△QAB为等腰直角三角形，∵ON=OB=3，∴△OBN为等腰直角三角形，∴△QAB∽△OBN，学-科网综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．考点：二次函数综合题．16.分析（2）结论：是定值．在A4P上截取AH=A2P，连接HA1．想办法证明PA 4=A4+PH=PA2+PA1，同法可证：PA3=PA1+PA2，推出（+1）（PA1+PA2）=PA 3+PA4，可得PA1+PA2=（﹣1）（PA3+PA4），延长即可解决问题；（3）结论：则=．如图3﹣1中，延长PA1到H，使得A1H=PA2，连接A4H，A4A2，A4A1．由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形，推出PH=PA4，即PA1+PA2=PA4，如图3﹣2中，延长PA5到H，使得A5H=PA3．同法可证：△A4HP是顶角为108°的等腰三角形，推出PH=PA4，即PA5+PA3=PA4，延长即可解决问题；解答解：（1）如图1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延长线于点M．∵△A1A2A3是等边三角形，∴∠A3A1A2=60°，∴∠A3A1P=∠A2A1M又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，∴△A1A3P≌△A1A2M∴PA3=MA2，∵PM=PA1，∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．∴，是定值．（2）结论：是定值．理由：在A4P上截取AH=A2P，连接HA1．∵四边形A1A2A3A4是正方形，∴A4A1=A2A1，∵∠A1A4H=∠A1A2P，A4H=A2P，∴△A1A4H=△A1A2P，∴A1H=PA1，∠A4A1H=∠A2A1P，∴∠HA1P=∠A4A1A2=90°∴△HA1P的等腰直角三角形，∴PA 4=A4+PH=PA2+PA1，同法可证：PA 3=PA1+PA2，∴（+1）（PA1+PA2）=PA3+PA4，∴PA1+PA2=（﹣1）（PA3+PA4），∴=．（3）结论：则=．理由：如图3﹣1中，延长PA1到H，使得A1H=PA2，连接A4H，A4A2，A4A1．由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形，∴PH=PA4，即PA1+PA2=PA4，如图3﹣2中，延长PA5到H，使得A5H=PA3．同法可证：△A4HP是顶角为108°的等腰三角形，∴PH=PA4，即PA5+PA3=PA4，∴=．故答案为．17.分析（1）由PB⊥AM、PC⊥AN知∠ABP=∠ACP=90°，据此得∠BAC+∠BPC=180°，根据∠BPD+∠BPC=180°即可得证；（2）①由∠APB=∠BDE=45°、∠ABP=90°知BP=AB=2，根据tan∠BAC=tan∠BPD==2知BP=PD，据此可得答案；②根据等腰三角形的定义分BD=BE、BE=DE 及BD=DE三种情况分类讨论求解可得；（3）作OH⊥DC，由tan∠BPD=tan∠MAN=1知BD=PD，据此设BD=PD=2a、PC=2b，从而得出OH=a、CH=a+2b、AC=4a+2b，证△ACP∽△CHO得=，据此得出a=b 及CP=2a、CH=3a、OC=a，再证△CPF∽△COH，得=，据此求得CF=a、OF=a，证OF为△PBE的中位线知EF=PF，从而依据=可得答案．解答解：（1）∵PB⊥AM、PC⊥AN，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BAC+∠BPC=180°，又∠BPD+∠BPC=180°，∴∠BPD=∠BAC；（2）①如图1，∵∠APB=∠BDE=45°，∠ABP=90°，∴BP=AB=2，∵∠BPD=∠BAC，∴tan∠BPD=tan∠BAC，∴=2，∴BP=PD，∴PD=2；②当BD=BE时，∠BED=∠BDE，∴∠BPD=∠BPE=∠BAC，∴tan∠BPE=2，∵AB=2，∴BP=，∴BD=2；当BE=DE时，∠EBD=∠EDB，∵∠APB=∠BDE、∠DBE=∠APC，∴∠APB=∠APC，∴AC=AB=2，过点B作BG⊥AC于点G，得四边形BGCD是矩形，∵AB=2、tan∠BAC=2，∴AG=2，∴BD=CG=2﹣2；当BD=DE时，∠DEB=∠DBE=∠APC，∵∠DEB=∠DPB=∠BAC，∴∠APC=∠BAC，设PD=x，则BD=2x，∴=2，∴，∴x=，∴BD=2x=3，综上所述，当BD=2、3或2﹣2时，△BDE为等腰三角形；（3）如图3，过点O作OH⊥DC于点H，∵tan∠BPD=tan∠MAN=1，∴BD=PD，设BD=PD=2a、PC=2b，则OH=a、CH=a+2b、AC=4a+2b，∵OC∥BE且∠BEP=90°，∴∠PFC=90°，∴∠PAC+∠APC=∠OCH+∠APC=90°，∴∠OCH=∠PAC，∴△ACP∽△CHO，∴=，即OH•AC=CH•PC，∴a（4a+2b）=2b（a+2b），∴a=b，即CP=2a、CH=3a，则OC=a，∵△CPF∽△COH，∴=，即=，则CF=a，OF=OC﹣CF=a，∵BE ∥OC 且BO=PO ， ∴OF 为△PBE 的中位线， ∴EF=PF ， ∴==．五、开放题18. 解：（1）∵11122S AD AF x ==g ，3112(3)322S BC BF x x ==⨯⨯-=-g . ∴131(3)2S S x x =-=221139(3)()2224x x x ⎡⎤-+=--+⎢⎥⎣⎦2139()(03)228x x =--+<<. 当32x =时，13S S 取最大值98（不写03x <<，扣1分）. （2）作DM ⊥BC ，垂足为M ，DM 与EF 交于点N .∵AFt FB=，∴AF tFB =. 又∵BM =MC =AD =1，∴1NE DN AF AF tFB tMC DM AB AF FB tFB FB t =====+++. ∴1tNE t =+.∴EF =FN +NE =21111t t t t ++=++. （3）∵AB =AF +FB =（t +1）FB =3， ∴31FB t =+. ∴31t AF tFB t ==+. ∴111332212(1)t tS AD AF t t ==⨯=++g ， 3113322211S BC FB t t ==⨯⨯=++g ，211213(21)32212(1)t t S AB FE t t ++==⨯⨯=++g . ∴221322299(21)2(1)4(1)t t S S S t t +==++，，∴2229(21)944(1)2(1)t t t t +=⨯++，化简得24410t t -+=，解得12t =.（第（3）问，由13ABCD S S S --梯形得到2S ，可酌情给分）六、动态几何19. 分析（1）令y ＝0，可得B 的坐标，利用勾股定理可得BC 的长；（2）如图1，作辅助线，证明△CDN ∽△MEN ，得CN ＝MN ＝1，计算EN 的长，根据面积法可得OF 的长，利用勾股定理得OF 的长，由＝tan ∠EOF 和n ＝﹣m +4，可得结论；（3）①先设s 关于t 成一次函数关系，设s ＝kt +b ，根据当点P 运动到AO 中点时，点Q 恰好与点C 重合，得t ＝2时，CD ＝4，DQ 3＝2，s ＝2，根据Q 3（﹣4，6），Q 2（6，1），可得t ＝4时，s ＝5，利用待定系数法可得s 关于t 的函数表达式； ②分三种情况：（i ）当PQ ∥OE 时，如图2，根据cos ∠QBH ＝＝＝＝，表示BH 的长，根据AB ＝12，列方程可得t 的值；（ii ）当PQ ∥OF 时，如图3，根据tan ∠HPQ ＝tan ∠CDN ＝，列方程为2t ﹣2＝，可得t 的值．（iii ）由图形可知PQ 不可能与EF 平行．解答解：（1）令y ＝0，则﹣x +4＝0，∴x＝8，∴B（8，0），∵C（0，4），∴OC＝4，OB＝8，在Rt△BOC中，BC＝＝4；（2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD，∵E是BC的中点∴M是OC的中点∴EM＝OB＝4，OE＝BC＝2∵∠CDN＝∠NEM，∠CND＝∠MNE∴△CDN∽△MEN，∴＝1，∴CN＝MN＝1，∴EN＝＝，∵S△ONE＝EN•OF＝ON•EM，∴OF＝＝，由勾股定理得：EF＝＝＝，。

中考代数几何-综合题

中考代数几何综合题代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.方法点拨方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x 轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．类型一、方程与几何综合的问题1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3．问：线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似？若存在，这样的总共有几个？并求出AP的长；若不存在，请说明理由．【思路点拨】由于以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似时的对应点不能确定，故应分两种情况讨论．【答案与解析】解：存在．∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°，当△PAD∽△PBC时，∵AD=2，BC=3，设AP=x，PB=7-x，则∴．①当△ADP∽△BPC时，AD=2，BC=3，设设AP=x，PB=7-x，则∴AP=1或AP=6．②由①②可知，P点距离A点有三个位置：，AP=1，AP=6．【总结升华】本题考查的是相似三角形的判定，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．【变式】有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．（1）若BE=，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长；（2）点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）连接DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）画出正确的图形．（折痕MN必须与AB、AD相交）．设AM=t，则ME=t，MB=2-t，由BM2+BE2=ME2，得t=，即AM=．（2）如图（a），∵BE=x，设BM=a，则a2+x2=（2-a）2，a2+x2=4-4a+a2，∴a=，AM=2-BM=2-=．由△AMN∽△BEA，得，∴y=，∵0＜x≤2，0＜y≤5，x的取值范围为：，故x=1．（3）如图（b），若△AME与△DNE相似，不难得∠DNE=∠AME．又∵AM=ME，∴DN=NE=NA=，∴＝解得：x=1或x=4．又∵，故x=1．或者由∠DEN=∠AEM，得∠AED=90°，推出△ABE∽△ECD，从而得BE=1类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A （1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．答案与解析【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t，∴AP=t-1，∴AM=AP，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）＜ｔ＜．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有 -4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1，即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，∴＜ｔ＜４且＜ｔ＜，解得＜ｔ＜；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；综上所述， t的取值范围是：＜ｔ＜．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于，与轴交于A、B两点，点B的坐标为（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标.答案与解析举一反三【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B、C的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD后发现：S△OBD：S四边形ACDB=2：3，因此直线OM必须经过线段BD才有可能符合题干的要求；设直线OM与线段BD的交点为E，根据题干可知：△OBE、多边形OEDCA的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE的面积是四边形ACDB面积的，所以先求出四边形ABDC的面积，进而得到△OBE的面积后，可确定点E的坐标，首先求出直线OE（即直线OM）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M的坐标（注意点M的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P坐标；通过图示可发现，△CPB的面积可由四边形OCPB的面积减去△OCB的面积求得，首先设出点P的坐标，四边形OCPB的面积可由△OCP、△OPB的面积和得出．【答案与解析】解：（1）由题意，得：解得：所以，二次函数的解析式为：，顶点D的坐标为（-1，4）.（2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB的面积为9.直线BD的解析式为y=2x+6.设直线OM与直线BD 交于点E，则△OBE的面积可以为3或6.①当时，如图，易得E点坐标（-2，-2），直线OE的解析式为y=-x.设M 点坐标（x，-x），∴②当时，同理可得M点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接，设P点的坐标为，∵点P在抛物线上，∴，∴∵，∴当时，. △的面积有最大值∴当点P的坐标为时，△的面积有最大值，且最大值为【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M的位置，以免出现漏解的情况．【变式】如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB 于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.【答案】（1）由题意得B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝若直线经过点B（3，1）时，则b＝若直线经过点C（0，1）时，则b＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2，此时点E（3，），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )＝3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)•()＋×3()]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED,又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴a=.∴S四边形DNEM＝NE·DH＝．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．答案与解析【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F、P为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E、F、P为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解.【答案与解析】解：（1）E(3,1)；F(1,2)；（2）连结EF，在Rt△EBF中,∠B=90°，∴EF=.设点P的坐标为(0,n),n＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a≠0)．①如图1，当EF=PF时，EF2=PF2，∴12+(n-2)2=5，解得n1=0(舍去)，n2=4.∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP时，EP2=FP2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－(舍去)③当EF=EP时，EP=＜3，这种情况不存在.综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．（3）存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小．如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x轴、y轴交于点M、N，则点M、N就是所求. 连结NF、ME.∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3.∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′==5.又∵EF=，∴FN+MN+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值为5+.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA，再以等腰直角三角形ABA的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A BB，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n为正整数）．答案与解析举一反三【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S1、S2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n的表达式．【答案与解析】根据直角三角形的面积公式，得S1=；根据勾股定理，得：AB=，则S2=1=20；A1B=2，则S3=21，依此类推，发现：=．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求 3+32+33+…+3100的值．解：令 S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2），（2）-（1）得到：2S=3101-3∴S=∴3+32+33+ (3100)问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．答案与解析【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）．一、选择题1. 如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止那么在这个过程中线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A. 2B. 4－C．D．2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）二、填空题3. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．4. 如图，(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S2=______________；S n=__________________(用含的式子表示）．三、解答题5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．8. 如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．（1）求N点、M点的坐标；（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P 点的坐标；②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．9. 如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．（1）求此抛物线的解析式；（2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；（3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形？请直接写出符合条件的t值．11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.2.【答案】A.三、填空题3.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）4.【答案】；；【解析】由于各三角形为等边三角形,且各边长为2,过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线，垂足为M1、M2、M3∵△AB1C1是等边三角形，∴AD1=AC1.sin60°=2×=，∵△B1C1B2也是等边三角形，∴C1B1是∠AC1B2的角平分线，∴AD1=B2D1=，故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=；S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=；作AB∥B1C1，使AB=AB1，连接BB1，则B2，B3，…B n在一条直线上．∵B n C n∥AB，∴==，∴B n D n=.AD=，则D n C n=2﹣B n D n=2﹣=．△B n C n B n+1是边长是2的等边三角形，因而面积是：．△B n+1D n C n面积为S n=.=.=．即第n个图形的面积S n=．三、解答题5.【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒∴AP=1，BQ=1.25，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75，∵PE∥BC，解得PE=0.75，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，∴∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=1.25t-2，∴解得t=2.5（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，在Rt△ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴t=3.1（秒）．综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．6.【答案与解析】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当时，，，．∵，，∴，即（秒）．（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵，∴，．即，．，．，∴．即（）．由，得．∴当时，S有最小值，且7.【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S最大=﹣．9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为:；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0）、C（3，0），∴，解得a=﹣1，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）在直角梯形EFGH运动的过程中：①四边形MOHE构成矩形的情形，如图1所示：此时边GH落在x轴上时，点G与点D重合．由题意可知，EH，MO均与x轴垂直，且EH=MO=1，则此时四边形MOHE构成矩形．此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度．过点F作FN⊥x轴于点N，则有FN=EH=1，FN∥y轴，∴，即，解得DN=．在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===，∴t=；②四边形MOHE构成正方形的情形．由图1可知，OH=OD﹣DN﹣HN=4﹣﹣1=，即OH≠MO，所以此种情形不存在；③四边形MOHE构成菱形的情形，如图2所示：过点F作FN⊥x轴于点N，交GH于点T，过点H作HR⊥x轴于点R．易知FN ∥y轴，RN=EF=FT=1，HR=TN．设HR=x，则FN=FT+TN=FT+HR=1+x；∵FN∥y轴，∴，即，解得DN=（1+x）．∴OR=OD﹣RN﹣DN=4﹣1﹣（1+x）=﹣x．若四边形MOHE构成菱形，则OH=EH=1，在Rt△ORH中，由勾股定理得：OR2+HR2=OH2，即：（﹣x）2+x2=12，解得x=，∴FN=1+x=，DN=（1+x）=．在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===3．由此可见，四边形MOHE构成菱形的情形存在，此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度，∴t=3．综上所述，当t=s时，四边形MOHE构成矩形；当t=3s时，四边形MOHE构成菱形．（3）当t=s或t=s时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形．简答如下：（注：本题并无要求写出解题过程，以下仅作参考）由题意可知，AA′=2．以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形，则GK ∥AA′，且GK=AA′=2．①当直角梯形位于△OAD内部时，如图3所示：过点H作HS⊥y轴于点S，由对称轴为x=1可得KS=1，∴SG=KS+GK=3．由SG∥x轴，得，求得AS=，∴OS=OA﹣AS=，∴FN=FT+TN=FT+OS=，易知DN=FN=，在Rt△FND中，由勾股定理求得DF=；②当直角梯形位于△OAD外部时，如图4所示：设GK与y轴交于点S，则GS=SK=1，AS=，OS=OA+AS=．过点F作FN⊥x轴，交GH于点T，则FN=FT+NT=FT+OS=．在Rt△FGT中，FT=1，则TG=，FG=．由TG∥x轴，∴，解得DF=．由于在以上两种情形中，直角梯形EFGH平移的距离均为线段DF的长度，则综上所述，当t=s或t=s时以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．。

中考数学分类汇编解析：代数几何综合

中考全国100份试卷分类汇编代数几何综合1、（潍坊市压轴题）如图，抛物线c bx ax y ++=2关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ,点⎪⎭⎫ ⎝⎛232，D 在抛物线上，直线是一次函数()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),由点D(2，1.5)在抛物线上，所以⎩⎨⎧=++=+-5.1240c b a c b a ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5, 又12=-a b ，即b=-2a,代入上式解得a =-0.5,b =1,从而c=1.5,所以23212++-=x x y . （2）由（1）知23212++-=x x y ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB, 令kx -2=1.5,得l 与CD 的交点F(23,27k )，令kx -2=0，得l 与x 轴的交点E(0,2k )，根据S 四边形OEFC =S 四边形EBDF 得：OE+CF=DF+BE,即：,511),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得（3）由（1）知,2)1(21232122+--=++-=x x x y 所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为221x y -=假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1, 所以1111PN PM NN MM =,………………(1) 不妨设M(x M ,y M )在点N(x N ,y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上，则（1）式变为NM N M y t y t x x --=-,又y M =k x M -2, y N =k x N -2, 所以（t+2）(x M +x N )=2k x M x N,……(2) 把y=kx-2(k ≠0)代入221x y -=中，整理得x 2+2kx-4=0, 所以x M +x N =-2k, x M x N =-4,代入（2）得t=2,符合条件，故在y 轴上存在一点P （0,2），使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称.考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。

中考数学代数综合型问题试题整理汇集(带答案)

中考数学代数综合型问题试题整理汇集(带答案)以下是查字典数学网为您推荐的中考数学代数综合型问题试题整理汇集(带答案)，希望本篇文章对您学习有所帮助。

中考数学代数综合型问题试题整理汇集(带答案)11. (2019山东莱芜， 11，3分)以下说法正确的有：①正八边形的每个内角都是135② 与是同类二次根式③长度等于半径的弦所对的圆周角为30④反比例函数，当x0时，y随的x增大而增大A. 1个B. 2个C. 3个D.4个【解析】正八边形的每个内角度数：180 ，①正确= ， = ，与是同类二次根式，②正确一条非直径的弦对两个圆周角，分别是一个锐角和一个钝角，长度等于半径的弦所对的圆周角为30错误反比例函数，当x0时，y随的x增大而增大，④正确【答案】C.【点评】掌握基础知识，记住当用的结论如正多边形的各个内角的计算、同类二次根式的识别判断、反比例函数的图象的性质。

对于一些多解问题，要做到思考问题全面.7. (2019山东日照，7，3分)下列命题错误的是 ( )A.若 a1，则(a-1) =-B. 若 =a-3 ，则a3C.依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形D. 的算术平方根是9解析：因为a1，所以1-a0，所以(a-1) = (a-1) = =- ,故A 正确;B中有a-30，a3，故B正确;因为菱形的对角线互相垂直，所以连接其各边中点得到的四边形是矩形，C也正确. =9，9的算术平方根是3，所以D错误.8、(2019深圳市 8 ，3分)下列命题：① 方程的解是② 4的平方根是2③ 有两边和一角相等的两个三角形全等④ 连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形其中是真命题的有( )个A. 4个B. 3个 C 2个 D. 1个【解析】：考查方程的解，平方根的意义，三角形全等的判定，中点四边形的性质【解答】：①漏了一个解;4的平方根是，不能用作三角形全等的判定由中点四边形的性质知，中点四边形一定是平行四边形。

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2016中考分类汇总（28）代几综合题（2016安徽）22．如图，二次函数bx=2的图象经过点)4,2(A与)0,6(B．axy+（1）求ba,的值；（2）点C是该二次函数图象上BA,两点之间的一动点，横坐标为)6x．写出四边形OACB的面积S关<x2(<于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．（2016龙东）28.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°且OA=AB，OB、OC的长分别是一元二次方程x2-11x+30=0的两个根(OB＞OC).（1）求点A和点B的坐标.（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P的直线a与y轴平行,直线a交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m，已知t=4时，直线a恰好过点C．当0＜t＜3时，求m 关于t的函数关系式．（3）当m=时，请你直接写出点P的坐标.（2016毕节）如图，已知抛物线bx x y +=2与直线42+=x y 交于A(a,8)、B 两点，点P 是抛物线上A 、B 之间的一个动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线AB 交于点C 和点E.（1）求抛物线的解析式；（2）若C 为AB 中点，求PC 的长；（3）如图，以PC,PE 为边构造矩形PCDE ，设点D 的坐标为（m,n ）,请求出m,n 之间的关系式。

（2016滨州）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数（2016长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°.点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFGH.设点E 运动的时间为t秒.（1）求线段EF的长.（用含t的代数式表示）（2）求点H与点D重合时t的值；（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S平方单位，求S与t 之间的函数关系式；（4）矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点'O.当'OO∥AD时，t的值为______；当'OO⊥AD时，t的值为______.(第23题)（2016长春）如图，在平面直角坐标系中.有抛物线2y a x h=-.()=-+和2(3)4y a x抛物线2y a x=-+经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于(3)4点是抛物线2=-+上一点，且在x轴上方.过点P作x轴的垂线交抛物y a x(3)4线2()=-于点'Q(不与点y a x h=-于点Q.过点Q作PQ的垂线交抛物线2()y a x hQ重合)，连结'PQ.设点P的横坐标为m.（1）求a的值.（2）当抛物线2=-经过原点时，设△'y a x h()PQQ与△OAB重叠部分图形的周长为l.①求'PQ QQ 的值. ②求l 与m 之间的函数关系式.（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、Q 、'Q 为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h 的值.(第24题)（2016长沙）如图，直线l ：y =－x +1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P ，Q 是直线l 上的两个动点，且点P 在第二象限，点Q 在第四象限，∠POQ=135°.(1) 求△AOB 的周长；(2) 设AQ=t >0.试用含t 的代数式表示点P 的坐标；(3) 当动点P ，Q 在直线l 上运动到使得△AOQ 与△BPO 的周长相等时，记作∠AOQ=m ，若过点A 的二次函数y =ax 2+bx +c 同时满足以下两个条件：① 6a +3b +2c =0;② 当m ≤x ≤m +2时，函数y 的最大值等于m 2，求二次项系数a 的值.（2016成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()213y a x =+-与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C （0，83-），顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H.过点H 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，点Q 在y 轴右侧.(1)求a 的值及点A 、B 的坐标；(2)当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3：7的两部分时，求直线l 的函数表达式；(3)当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否成为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．（2016达州）如图，已知抛物线y=ax2+2x+6（a≠0）交x轴与A，B两点（点A 在点B左侧），将直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置，边WZ经过抛物线上的点C（4，m），与抛物线的另一交点为点D，直尺被x轴截得的线段EF=2，且△CE F 的面积为6．（1）求该抛物线的解析式；（2）探究：在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使得△ACP的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移，设平移的时间为t秒，平移后的直尺为W′X′Y′Z′，其中边X′Y′所在的直线与x轴交于点M，与抛物线的其中一个交点为点N，请直接写出当t为何值时，可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．【考点】二次函数综合题；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质．（2016大庆）若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2与C2：u2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．（1）求抛物线C2的解析式．（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ 的最大值．（3）设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．【考点】二次函数综合题．顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，用含a的式子表示点B′的坐标（2016丹东）如图，抛物线bx=2过A（4，0），B（1，3）两点，点C、By+ax关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．（2016德州）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P 的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和判定，解本题的关键是判定△BCD 是直角三角形．（2016广安）如图，抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P 运动到直线AB 下方某一处时，过点P 作PM⊥AB，垂足为M ，连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点P 的坐标．（2016鄂州）如图在平面直角坐标系xoy 中，直线y ＝2x +4与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，抛物线C 1：c bx x y ++-=241过A 、B 两点，与x 轴另一交点为C 。

（1）求抛物线解析式及C 点坐标。

（2）向右平移抛物线C 1，使平移后的抛物线C 2恰好经过△ABC 的外心，抛物线C 1、C 2相交于点D ，求四边形AOCD 的面积。

（3）已知抛物线C 2的顶点为M ，设P 为抛物线C 1对称轴上一点，Q 为抛物线C 1上一点，是否存在以点M 、Q 、P 、B 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出P 点坐标，不存在，请说明理由。

图（1）图（2）（2016海南省）如图1，抛物线y=ax 2﹣6x+c 与x 轴交于点A （﹣5，0）、B （﹣1，0），与y 轴交于点C （0，﹣5），点P 是抛物线上的动点，连接PA 、PC ，PC 与x 轴交于点D ．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）若点P 的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC 的面积；（3）过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点H ，交直线AC 于点E ，如图2．①若∠APE=∠CPE，求证：；能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P 的坐标；若不能，请说明理由．（2016河南省）如图1，直线n x y +-=34交x 轴于点A ，交y 轴于点C （0,4）.抛物线c bx x y ++=232 经过点A ，交y 轴于点B （0，-2）.点P 为抛物线上一个动点，经过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m . （1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；（3）如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD ′P ′，且旋转角∠PBP ′=∠OAC ，当点P 的对应点P ′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标.（2016贺州）26．如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求A D的长；（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．（2016怀化）22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A （﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，O为坐标原点（1）求此抛物线的解析式；（2）若把抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC 内，求n的取值范围；（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．（2016衡阳）26．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．（1）求该抛物线的函数关系表达式．（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG 为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．（2016呼和浩特）25．已知二次函数y=ax 2﹣2ax+c （a ＜0）的最大值为4，且抛物线过点（，﹣），点P （t ，0）是x 轴上的动点，抛物线与y 轴交点为C ，顶点为D ．（1）求该二次函数的解析式，及顶点D 的坐标；（2）求|PC ﹣PD|的最大值及对应的点P 的坐标；（3）设Q （0，2t ）是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数y=a|x|2﹣2a|x|+c 的图象只有一个公共点，求t 的取值．（2016黄冈）24.如图，抛物线y=-21x 2+23x+2与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点. 设点P 的坐标为(m, 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q. (1)求点A ，点B ，点C 的坐标；(2)求直线BD的解析式；(3)当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；(4)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.（第24题）（2016济宁）22．如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x 轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．（1）求抛物线m 的解析式；（2）P 是l 上的一个动点，若以B ，E ，P 为顶点的三角形的周长最小，求点P 的坐标；（3）抛物线m 上是否存在一动点Q ，使以线段FQ 为直径的圆恰好经过点D ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2016江西）23．设抛物线的解析式为y = a x 2 , 过点B 1 (1, 0 )作x 轴的垂线，交抛物线于点A 1 (1, 2 )；过点B 2 (1, 0 )作x 轴的垂线，交抛物线于点A 2 ，… ；过点B n ((12)n −1 , 0 ) (n 为正整数 )作x 轴的垂线，交抛物线于点A n , 连接A n B n+1 , 得直角三角形A n B n B n+1 .(1)求a 的值；(2)直接写出线段A n B n ，B n B n+1 的长（用含n 的式子表示）；(3)在系列Rt ⊿A n B n B n+1 中，探究下列问题：○1当n 为何值时，Rt ⊿A n B n B n+1 是等腰直角三角形？ ○2设1≤k ＜m ≤n (k , m 均为正整数) ，问是否存在Rt ⊿A k B k B k+1 与Rt ⊿A m B m B m+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由.xyO（2016荆门）24．如图，直线y ＝－3x ＋23与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，两动点D ，E 分别从点A ，点B 同时出发向点O 运动(运动到点O 停止)，运动速度分别是1个单位长度/3个单位长度/秒，设运动时间为t 秒．以点A 为顶点的抛物线经过点E ，过点E 作x 轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G ，与AB 交于点F ．(1)求点A ，B 的坐标；(2)用含t 的代数式分别表示EF 和AF 的长；(3)当四边形ADEF 为菱形时，试判断△AFG 与△AGB 是否相似，并说明理由； (4)是否存在t 的值，使△ADF 是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；yxADCBO若不存在，请说明理由．（2016连云港）26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线bx ax y +=2经过两点(1-A ，)1，(2B ，)2。