一笔画出图形

一笔画成的图形

一笔画成的图形
杨映江
一、故事发生在18世纪的哥尼斯城堡，
流经那里的一条河中有两小岛，还有七座桥把这两个小岛与河联系起来，那里风景优美，游人众多，在这美丽的地方，人们议论着一个有趣的故事：一个游人怎样才能不复地一次走遍七座桥，最后又回到出发点呢？
二、判断下面的图形能否笔画成笔
所谓的一笔画成，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复。
偶点和奇点：
奇点
偶点偶点
偶点
奇点
奇点奇点偶点
三、通过数学家欧拉的证明，得出了下面的结论：
• 1、凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
• 2、凡是只有两个奇点（其余的全为偶点）的连通图，一定可以一笔画成，画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
• 3、其它情况的图，都不能一笔画成。
观察下列图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为么？对于可以一笔画的图形，指明画法。
思考题：下列图是公园的平面图，要使游客能走遍每
条路而不重复，问出入口和出口应设在哪里？

二年级奥数.几何.一笔画问题(1)

如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。

那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。

能否一笔画成，先看是不是连通图形，不连通图形一定不能一笔画成。

连通图形，关键在于判别奇点、偶点的个数。

一、只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。

二、只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。

三、奇点超过两个，则不能一笔画。

对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。

【例1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（1）（2）（3）（4）【例2】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（1）（2）（3）（4）【例3】下面的各个小图形都是由点和线组成的．请你仔细观察后回答：一笔画问题发现不同知识框架例题精讲①与一条线相连的有哪些点?②与二条线相连的有哪些点?③与三条线相连的有哪些点?④与四条线或四条以上的线相连的有哪些点?【例4】下面各图能否一笔画成？（1）（2）（3）【例5】下面这几个字都能一笔写出来吗?【例6】下面这几个字母都能一笔写出来吗?【例7】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？【例8】下图中，至少要画几笔才能画成？【随练1】德国有个城市叫哥尼斯堡．城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这些桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处(见下图)．俗话说，“人是万物之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题：如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这七座桥怎么个走法?好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走．【随练2】在我国著名数学家陈景润写的《数学趣谈》一书中，有下面的这样一道题，大意是说：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了15座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出发，一次连续地通过所有的桥到达另一岸，可能吗?(每座桥只能走一次)AB CD 课堂检测【作业1】下面的图形都是由点和线组成的．请你仔细观察后回答：①与一条线相连的有哪些点?②与三条线相连的有哪些点?③与四条线或四条以上的线相连的有哪些点?【作业2】下面各图能否一笔画成？（1）（2）（3）（4）【作业3】下面这几个字母都能一笔写出来吗?【作业4】下面这几个字都能一笔写出来吗?【作业5】下图中，至少要画几笔才能画成？PONMLKJIHGFEDCBA家庭作业。

陈伟强-图形推理中“一笔画”问题

陈伟强-图形推理中“一笔画”问题精品文档--------------------------精品文档，可以编辑修改，等待你的下载，管理，教育文档------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- XC—图形推理中“一笔画”问题—陈伟强—20120929所谓“一笔画”，就是指能够一笔画成的图形。

“一笔画”题目隶属于线数量问题。

在早期的国考中有所涉及，虽然在前几年的考试中没有考到，但是在最近几次大型考试中又出现了这类考点，并且难度有所加大。

因此掌握好“一笔画”问题的解题方法和技巧，对于提高我们的做题速度和解题正确性有很大的帮助。

首先，我们来了解一下什么样的图能够一笔画成。

1. 全部都由偶点组成的联通图。

2. 只由两个奇点组成的联通图。

符合上面两个条件之一的图形都能够一笔画成。

这里面出现了两个概念:偶点和奇点。

所谓偶点就是由这个点发散出的线条数目是偶数(见图1);奇点就是由这个点发散出的线条数目是奇数(见图2)。

图1:偶点图2:奇点我们来看一个典型的一笔画图形:五角星(见图3)。

我们发现五角星中一共有十个交点。

外围有五个点，每个点都发散出两条线;中间有五个点，每个点都发散出四条线。

我们判断五角星都是由偶点组成，因此能够一笔画成。

图3:五角星了解一笔画图形的构成之后我们再来看看如何识别一个图形是不是“一笔精品文档--------------------------精品文档，可以编辑修改，等待你的下载，管理，教育文档------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 画”。

第27讲一笔画图形

第27讲一笔画图形一笔画的理论是由大数学家欧拉（Euler）建立的.他在建立这一理论的过程中方法新颖、独特，使人们折服、倾倒.并且为人类思想宝库奉献了一颗耀眼的珍珠，这颗珍珠将在人类的智慧史上放射着不灭的光辉. 同学们，你肯定想知道什么是一笔画吧？让我们从一个游戏开始.　问题27.1图27－1中有四个图形，你能一笔画出来吗？这就是一笔画问题.对以上四个图，经过几次试画读者不难发现：图（1）可一笔画成且从任一点出发均可回到出发点；图（2）可一笔画成但起点只能在D或B点且不能回到出发点；图（3）、（4）均不能一笔画成. 如果一个图形可以用笔不离纸且每条线都画到并不准重复，则这个图形就叫做一笔画图形. 关于一笔画问题有下面几个问题需要解决：（1）怎样简单地判断一个图形能否一笔画？（2）如果能一笔画，什么时候可回到出发点，什么时候又不能？（3）对不能回到起点的一笔画，应把何处作为起点？何处作为终点？（4）若一个图形不能一笔画，那么至少需要几笔画成？当图形较简单时（如图27－1），只要进行几次“试画”，就可以回答上述所有问题.但是，当图形较复杂时，要回答上述问题难度就大了. 同学们不信可以试试，如果你不看下文就能独立地解决这个问题，那么在这一问题上你就与大数学家欧拉一样聪明了. 下面我们开始研究一笔画问题. 让我们从产生这一问题的历史背景谈起吧！说起来还有一段引人入胜的故事呢！事情发生在公元18世纪普鲁士的哥尼斯堡城.一条河从这个城市穿过，河中有两个小岛把主流分成了两半.河上有七座桥连接两岛同河的两岸沟通（如图27－2）.这是个风景秀丽的地方，吸引了许多游人.人们在这里参观、散步.不知谁最先提出了一个问题：一个散步者怎样能一次走遍这七座桥，最后又回到出发点，而每座桥只走过一次，不许重复. 这一问题似乎不难，谁都愿意试一试，但没有一个胜利者.这下引起了许多优秀人才极大的兴趣和好奇心. 过了很久一段时间，这件事被瑞士大数学家欧拉知道了.欧拉头脑比较冷静，千百人的失败，使欧拉猜想：也许那样的走法根本不存在.经过艰辛的探索以后，他于1736年在圣彼得堡科学院作了一次报告，终于向人们解开了“七桥问题”之谜，并彻底地解决了一笔画的所有问题. 下面让我们来看看欧拉是怎么解决这一问题的，从而欣赏一下这位数学泰斗精彩绝妙的数学思维. 欧拉在对图形进行了深入细致的研究之后，发现任何图都是由点和线组成的.他把图中的点分成两类：若从一点发出的线的整目是偶数，就称为一个偶点，若是奇数就称为奇点.如图27－3，除B、J、D、F是奇点外，其它均为偶点.欧拉认为，分开的图形显然是不能一笔画的［如图27－1（4）］.一个连在一起的图（叫连通图），能不能一笔画与此图形中奇点的个数有关. 通过试画及进一步的研究欧拉认识到：研究一笔画问题时，如果我们细心地把所有可能的画法列成表格，可以逐一检查哪些（如果有的话）是满足要求的.然而这种解法太乏味且太困难了.因为可能的组合数目太大，而对于别的线数更多的图根本就不能用.如按照这样的办法分析就要引出许多与问题无关的枝节，这无疑是这种方法麻烦的原因.因此必须放弃它，去寻求另一种更专用、更本质、更广泛实用的简单方法. 欧拉先假定一个图形已经一笔画成，再考察其特点：它一定有一个起点B，一个终点E和一些中间点mi（图27－4）. （1）首先可断言所有中间点mi必为偶点，因为每次有一条线画进mi必有一条从mi画出的线与之配对. （2）如果B不与E重合，则B、E必为奇点.事实上，我们先从B画出去，即使中途画进B点，最后还是要画出去，所以画出B点的线总比画进来的线多一条，因而B是奇点.同样E也为奇点. （3）如果B与E重合，则B（即E）必为偶点.这是因为进、出B点的线一样多. 反过来可以证明：凡具备条件（1）、（2）、（3）的图形均可一笔画. 由此欧拉就得到了下面的结论：一笔画定理若一个连通图形奇点的个数为0或2时，其图形必为一笔画（反之亦然）.而且（1）当奇点个数为0时，可以取任一（偶）点为起点，最后仍回到这一点；（2）当奇点个数为2时，必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点. 应特别注意：欧拉解决这一问题时用的思维技巧是从结果入手考虑.人们称它为倒推法.问题27.2图27－5中的几个图形是否可一笔画？解图（1）中全为偶点.故可以一笔画. 图（2）中有6个奇点，故不能一笔画. 图（3）中有2个奇点，故可以一笔画. 到此，我们已圆满地回答了开始提出的问题（1）、（2）、（3），关于问题（4）有以下结论：多笔画定理有2n（n＞1）个奇点的连通图形，可以用n笔画完（彼此无公共线），而且至少要n次画完.问题27.3图27.3 图27－3和27－5（2）分别要几笔画完？理论的目的在于应用.和其它数学理论一样，一笔画是一种数学模型，要把它应用于实际，还必须学会把实际问题抽象、转化成这种模型.问题27.4图27.4图27－6是一个公园的平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、入口应设在哪里？解本问题相当于一笔画问题. 由于图中有两个奇点，由一笔画定理，只要将出、入口分别设在D、I两点，游客就可以从入口进入公园，不重复地走遍所有小径，而最后从出口处离开公园.问题27.5能否一笔画出一条线路，使它和图27－7的8条线段都相交且仅相交一次（并不在端点处相交）？分析本题的实质并不是研究图27－7本身的一笔画问题，而是研究图中虚线表达的图的一笔画问题.解图27－7中的8条实线段，把平面分成了5个部分，而把每个部分看成一个点，用①、②、③、④、⑤表示.那么画一条线与8条线段都只相交一次就相当于把这5个数字两两相连.从而原问题就转化成了图27－7中虚线图形的一笔画问题. 因为虚线图有4个奇点（①、②、③、④），由多笔画定理，它至少得2笔画成. 注意：本题的关键（题眼）是把5块区域看成5个点，从而把实际问题抽象成一笔画的问题. 下面我们再运用这种方法来解决著名的“七桥问题”.问题27.6一个散步者能否一次走遍图27－8（1）所示的七座桥且不许重复？解河流把地平面分成四个区域A、B、C、D，把这四个区域看成四个点.每两块区域之间有一座桥相通就相当于在相应的两点之间连一条线段，这样我们就把七桥问题抽象成了图27－8（2）的一笔画问题.因为本图有四个奇点，故原题中散步者的散步路线是不存在的.问题27.7图27－9（1）是某展览馆的平面图.每个房间都有一扇门通往馆外，每相邻两个房间之间各有一扇门相通.参观者能不能一次无重复地穿过每一扇门？如不能，关闭哪一扇门后就能无重复地穿过每一扇门了？并问出、入口在哪里？解本问题第一问与问题27.5、27.6解法相类似.5个展室加馆外，相当于6个区域，分别用①～⑥表示.把它们看成6个点，用一线段表示一扇门，就可得到图27－9（2）.此图有③、④、⑤、⑥4个奇点，所以不能一笔画成.即表明，参观者要想不重复地穿过每一扇门是不可能的. 第二问实际上是问在图（2）中去掉哪一段线就能使图形一笔画出.由于③、④、⑤、⑥均为奇点，只要关闭③、④之间的一扇门，就只剩下⑤、⑥两个奇点了.这时，只要把⑤、⑥分别当做出、入口，参观者就可以不重复地一次穿过其余各门了. 同样地，从图中易看出，关闭④、⑤，或⑤、⑥，或④、⑥，或③、⑥之间的任一扇门，参观者也可以如愿以偿. 我们还可以证明：在一个图中奇点的个数必定是偶数. 从本题的解法我们不难看到：在两个奇点之间去掉一条连线，这两个奇点就同时变为偶点.同样，在两个奇点之间增加一条连线，也可使这两个奇点同时成为偶点.问题27.8在奇点和偶点之间连一条线后，图中的奇、偶点个数有什么变化？以上讲了许多一笔画知识，也许学过后一些肯动脑筋的同学可能会想：一笔画知识除了做数学游戏外，还有什么实用价值呢？为了回答这个问题我们先介绍几个名词：对一个连通图，通常把从某点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路；把一笔画成回到出发点的欧拉路叫欧拉回路；具有欧拉回路的图叫做欧拉图. 现在城市的街道及公园、展馆的参观路线，严格地说来大多数都设计得杂乱无章.人们上、下班，参观游览，邮递员送信及各种车辆行驶都要走许多重复的路，且会漏掉许多事物.这样不但消耗了许多不必要的财力，而且浪费了大量的时间. 同学们，你们学了一笔画知识后，就可以当未来世界的设计师，把未来的城市街道设计成某种欧拉回路，并把公园、展馆设计成欧拉路.到那时，投递员叔叔再送邮件时，就可一次跑完所有街道最后回到邮局；人们参观公园只需走一趟就会对所有内容一览无余.在你们的劳动下，世界将会变得更美好.练习27 1.图27－10中的三个图形分别能用几笔画成？若能一笔画能否回到起点？ 2.图27-11能否一笔画？若不能，你能用什么办法使它成为一笔画？ 3.用剪刀能否一次连续剪下图27－12所示的纸片上的三个正方形和二个三角形？如能，怎么剪？ 4.图27-13是一座古籍展品馆，每两个相邻的展室之间都有一扇门相通.除中间的展室E外，每个展室都有门通向室外.如果你去参观，你如何设法使自己不重复地穿过每一道门？ 5.图27-14是蓬莱仙境区某处的地貌图，小河上有15座桥.问能不能设计一条路线，一次不重复地走遍所有的桥？。

一笔画图形说明

一、一筆畫圖形說明：
一筆畫圖形簡單來說就是可以不重復且一次完成的圖形，日常生活中可以用來確地自己是否重復走過同樣地點
二、如何快數分辨一筆畫圖形
可以靠圖形中的「點」來分辨，其中有奇數點和偶數點兩大類，奇數點是有1、3、5、7、9、等奇數條線組成的點；偶數點就是由2、4、6、8、10、等偶數條線組成的點。

快數分辨時可以看奇數點有沒有超過2個，如果有的話就不是一筆畫圖形了，偶數點不限有幾個。

三、一筆畫圖形的起終點
奇數點不可能有1、3、5、7、9等個，所以2個的奇數點在一個圖中的話，奇數點1是起點1是終點；偶數點存在的一筆畫圖不管有幾個全部都可以是起點和終點(需要全部都是偶數點才行)
四、快速分辨不是一筆畫圖需要幾筆畫
無法一筆畫的圖形是因為奇數點超過2個引起的，而奇數點也無法是奇數個，所以只要把奇數點除以2就能快數分辨了。

例：當奇數點是6個時就必須要3筆畫：算式6÷2=3
五、研究動機
對一筆畫圖原本就有興趣，再加上課業需求所以研究了起來。

六、研究心得
研究時遇到許許多多的問題後發現：即使小小的圖形也有許多要動腦的問題和討論的，因為這樣我覺得不管甚麼都是能研究討論的。

製作人：林家宇。

一笔画问题

上下对折再左右对折成轮胎形状图A两两相连的区域可以不经过其它区域到达任何一个区域。P。J希伍德以毕生精力研究四色定理，并且证明了5色定理，稀伍德考察了一般曲面着色问题提出一个推测：在有P>1个洞的封闭曲面上，足以为任何地图着色的最小数等于（左图上下对折再左右对折就是一个轮胎，7个区域两两相连，可以一笔画）。
一笔画问题
数学定理
01 定义
目录
02 例子
03 一笔画的规律
04 相关名词含义
05 欧拉图
06 一笔画定理
传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而存在一些几何问题，它们所研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关，比如一笔画问题就是如此。即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复。例如汉字“日”和“中”字都可一笔画，而 “田”和“目”则不能。两两相连区域可一笔画，例如，平面4个区域两两相连区域可一笔划；轮胎状上7个两两相连区域可一笔画；我们可以构造一个多维空间的无穷个两两相连区域一笔划。
比如附图：（a）为⑴情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。
相关名词含义
◎顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。
◎奇顶点：指数为奇数的顶点。 ◎偶顶点：指数为偶数的顶点
一笔画的规律
数学家欧拉找到一笔画的规律是：
⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。图B的平面图
⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

小学数学《一笔画》练习题(含答案)精选全文

可编辑修改精选全文完整版小学数学《一笔画》练习题（含答案）什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.判断图形能否一笔画的规律：（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；（3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．（一）一笔画以及多笔画【例1】观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.(f)(e)(d)JIH G F ED C BAJ K IHGFED CB A分析：（a ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点A 、B ；画法为A →头部→翅膀→尾部→翅膀→嘴. （b ）图：不能一笔画，因为此图不是连通图.（c ）图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A 、B 、C 、D.（d ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：A →C →D →A →B →E →F →G →H →I →J →K →B. （e ）图：可以一笔画，因为没有奇点；画法可以是：A →B →C →D →E →F →G →H →I →J →B →D →F →H →J →A.（f ）图：不能一笔画出，因为图中有八个奇点.[注意]在上面能够一笔画出的图中，画法并不是惟一的.事实上，对于有两个奇点的图来说，任一个奇点都可以作为起点，以另一个奇点作为终点；对于没有奇点的图来说，任一个偶点都可以作为起点，最后仍以这点作为终点.[巩固]判断下列图a、图b、图c能否一笔画．E分析：图a是一个连通的图形，图中只有点A和点F两个奇点，所以它能一笔画，其中一种画法如下：A —M—N—A—F—B—C—B—K—C—D—E—D—L—E—F．‘图b是一个不连通的图形，所以不能一笔画．图c是连通图，图中所有点都是偶点，所以能一笔画．其中一种画法如下：A—B—C—D—E—F—D—A—F —C—A．【例2】右图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达 C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？分析：本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达C，而且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C.容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和.仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达C.[巩固]在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？分析：许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题.这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复.可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜.问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题.图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D却不能，因此E点的蚂蚁获胜.[数学小游戏] 用一笔画成四条线段把所有的点连起来，怎样画?分析：通过试画，似乎不可以画，但通过仔细观察，对照一笔画的规律，便可发现，若添上两个辅助点，就可画成．如右图：FE DCB ADCBA我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成.公式如下：奇点数÷2=笔画数，即2n ÷2=n.【例3】判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．IH G FED CBA 图aH G I KLJ F EDCBA 图b DC HG EFBA图c分析：图a ：原图有四个奇点，所以不能一笔画，在B,D 两点之间加一条线后，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图d 所示．画法：H →A →B →C →D →E →F →I →D →B →I →H →G →F ．图b ：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．去掉K ，L 两点之间的连线，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图e 所示．画法：B →C →D →E →F →→J →H →G →I →A →B →K →I →L →E ．图c ：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．在B ，C 两点之间加一条线后，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图f 所示．画法：A →E →D →H →A →B →F →C →G →B →C →D注意：a 、b 、c 三个图都是连通的图形，但由于每个图的奇点个数均超过两个，所以都不能一笔画．图dA BCD EFG H IH GI KLJ F EDCB A 图eDC HG EFBA图f[前铺]观察下面的图，看各至少用几笔画成？分析：（1）图中有8个奇点，因此需用4笔画成. （2）图中有12个奇点，需6笔画成. （3）图是无奇点的连通图，可一笔画成.DC BA(2)(1)FEC DB A分析：图（1）中有6个奇点，因此可添上两条（或3条）边后可改为一笔画；又因为这个图中，把这6个奇点任意分为3对后，最多只有两对奇点间有边相连，因此，可去掉两条边后改为一笔画，举例如图（3）～（6）.图（2）中有4个奇点，因此，可添上2条（或1条）边后改为一笔画；又因为把奇点按A 与B ，C 与D （或A 与D ，B 与C ）分为两对后，每对间均有边相连，因此，可去掉两条（或1条）边后改为一笔画.举例如图（7）～（8）.说明：图（6）运用了两种方法，去掉边BC ，添上边AD 与EF.（二）一笔画的实际应用【例5】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功?：这个有趣的问题引起了著名数学家欧拉的注意，他证明了七桥问题中提到的走法根本不存在．下面，我们考虑如下两个问题：(1)如果再架一座桥，游人能否走遍所有这八座桥?若能，这座桥应架在何处?若不能，请说明理由． (2)架设几座桥可以使游人走遍所有的桥回到出发地?而得到一个由四个点和七条线组成的图形(如图b)．在图b 中，点A ，B ，C ，D 四个点均为奇点，显然不能一笔画出这个图形．若将其中的两个奇点改成偶点，即在某两个奇点之间连一条线，这样奇点个数由四个变为两个，此时，图形可以一笔画出．如我们可以选择奇点B ，D ，在B ，D 之间连一条线(架一座桥)，如图c ．在图c 中只有点A 和C 两个奇点，那么我们可以以A 为起点，C 为终点将图形一笔画出．其中一种画法为：A →C →A →B →A →D →B →D →C所以，如果在河岸B 与小岛D 之间架一座桥，游人就可以不重复地走遍所有的桥．（2）在(1)的基础上，再在另外两个奇点A 与C 之间连一条线(即架一座桥)，使这两个奇点也变成偶点，如图d ．那么A ，B ，C ，D 四个点均为偶点，所以图d 可以一笔画出，并且可以以任意点为起点，最后仍回到这个点．其中一种画法为：A →C →A →C →D →A →B →D →B →A这表明：在河岸B 与小岛D 之间架一座桥后，再在小岛A 与河岸C 之间架一座桥，共架设两座桥，就可以使游人不重复地走遍所有的桥并回到出发地．[巩固]如图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸.问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？分析：用点表示小岛与河岸，用连接两点的线表示连接相应两地的桥，如图，有2个奇点，所以该图可以一笔画，即可以一次不重复地走遍这七座桥.例如右下图的走法.EDCBA【例6】有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右图中的点表示村庄，线段表示道路.邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？分析：图中有两个奇点，所以该图可以一笔画，但因为邮局所在点为奇点，所以要一笔画就不可能回到邮局.又图中A,B,C,D,E,F,G,H,I,J十点均有4条线段与之相连，如果我们将上图一笔画的话，就要经过以上十点各两次，这也不满足题目的要求，所以要将这些点相连的线段去掉一些，使得与这些点相连的线段均只有两条，并且将两个奇点也变成只有两条线段与之相连，这样得到的图形即可一笔画，又只经过每个点一次，并且可以回到邮局，一种可行路线如下：邮局I JHGF E D C B A 邮局邮局【例7】右图是某博物馆的平面图，相邻两个展厅之间有一扇门相通，每一个展厅都有一门通往馆外．问参观者能否不重复地一次穿过每一扇门?若能，请找出一条可行路径；若不能，请说明理由．如果允许关闭某一扇门，问参观者能否不重复地穿过每一扇开着的门?分析：我们把展厅A,B,C,D,E 及馆外F 看成某个图中的点，把两个展厅之间的门看作是连接表示这两个展厅的点的线．根据题中条件知，馆外F 与A ，B ，C ，D ，E 各展厅相通，这样将点F 与点A ，B ，C ，D ，E 用线连接；展厅A 与展厅B ，C ，D 相通，将点A 与点B ，C ，D 用线连接；展厅B 除与A 相通外，它还与D ，E 展厅相通，将B 与D ，E 连接；除此之外，展厅C ，D 相通，展厅D ，E 相通，将点C ，D 连接，再将点D ，E 连接(如图a)．于是本题要解决的问题就变成了能否将图a 一笔画的问题．可以看出：图a 中共有六个点，其中有四个奇点，它们分别为C ，D ，E ，F ，由一笔画的规律可知，图a 不能一笔画．也就是说，参观者不能够不重复地一次穿过每一扇门．如果允许关闭某一扇门，这相当于在图a 中去掉一条线，那么参观者就有可能不重复地一次穿过每一扇门．我们知道，在图a 中有四个奇点C ，D ，E ，F 为了把图a 改成一笔画图形，我们设法减少奇点个数，使奇点数变为两个．为此，我们可以去掉一条连接两个奇点的线，如去掉E 与F 间的连线，相应的图a 就变成了图b ．在图b 中，除了原来的C 和D 是奇点外，其余点全部是偶点，故图b 可以一笔画．其中一种画法为：C →F →D →E →B →F →A →B →D →A →C →D ．上面的分析表明，如果关闭连接E 、F 两展厅之间的门，参观者就可以不重复地一次穿过每一扇开着的门．本题与七桥问题类似，只是将行人过桥换成了参观者穿过每一扇门．我们将这个问题转化为一笔画问题来研究．[前铺]右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由.如果能，应从哪开始走？ FFF F E C D BA EB A分析：我们将每个展室看成一个点，室外看成点E ，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到下图.能否不重复地穿过每扇门的问题，变为下图是否一笔画问题.EDC BA图中只有A ，D 两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A 或D 展室开始走. 【例8】已知长方体木块的长是80厘米，宽40厘米，高80厘米(如右图)，并且要求蜘蛛在爬行过程中只能前进，不能后退，同一条棱不能爬两次．请问这只蜘蛛最多要爬行多少厘米?分析：图中八个顶点均为奇点，所以不能一笔画，要使其能一笔画，至少要去掉三条棱，使上图只有两个奇点，就可以满足一笔画的条件．长方体的棱长总和一定，(80+80+40)×4=800(厘米)，因此去掉的三条棱越短，蜘蛛爬过的距离就越远．所以我们去掉三条棱长为40厘米的棱，于是可知，蜘蛛爬行的最远距离为： 800-40×3=680(厘米)．蜘蛛的爬行路径为：G →F →C →D →G →H →A →B →E →H(如右图)．[注意]这是一个立体图形，它有八个顶点，我们把长方体的棱看作顶点与顶点之间的连线，蜘蛛只能前进不能后退，并且每一条棱不能爬两次，这实质上是一个一笔画问题．【例9】右图是某小区的街道分布图，街道长度如图所示(单位：公里)，图中各点表示不同楼的代号．一辆垃圾清扫车从垃圾站(垃圾站位于C 楼与D 楼之间的P 处)出发要清扫完所有街道后仍回到垃圾站，问怎样走路线最短，最短路线是多少公里?分析：为了少走冤枉路和节省时间，题目中要求最短路线，根据一笔画原理，我们知道一笔画路线就是最短路线．本题要求清扫车从P点出发，仍回到P 点．通过观察上图可知，图中有六个奇点，根据一笔画规律可知，清扫车想清扫完所有街道而又不走重复的路是不可能的．要使清扫车从P 点出发，最后仍回到P 点，就必须把图中所有的奇点都变成偶点，即在两奇点之间添加一条线．在实际问题中，就是清扫车在哪些街道上重复走的问题，由于每条街道的长度不同，因此需要我们考虑清扫车重复走哪条街道才使总路线最短．为使六个奇点都变成偶点，我们可以有下图中的四种方法表示清扫车所走的重复路线，其中填虚线的地方表示的是重复路线．重复的路程分别为：图a ：2×2+3=7；图b ：3+4×2=11；图C ：3×3=9；图d ：3+6×2=15．显然，重复走的路线最短，总路程就最短．从上述计算中就可找到最短路线图，即下面四个图中的图a ．408080H G F ED C BA804080H GFED CBA图b 图a图d图c在图a 中，所有点均为偶点，是一笔画图形．清扫车可按如下路径走：P →D →G →D →E →F →G →H →L →H →C →B →L →M →A →B →C →P ，全程为：(1+2+4+2)×2+3×5+2×2+3=40(公里)．【例10】邮递员李文投送邮件的街道以及街道的长度如右图所示(单位：千米)，每天小李要从邮局出发，走遍所有街道后回到邮局．请你帮他设计一条最短路线，并计算出这条路线有多少千米?分析：本题仍可以用一笔画图形的方法来解决．在图a 中共有六个奇点E ，F ，G ，H ，I ，J ，把这些奇点配对，每对之间用虚线连接(如图a)，其中要用到D 点，这样图中就没有奇点了，从而可以不重复地走遍所有的街道．由于邮递员李文要重复走一些路段，因此重复走的路越短越好，即添上去的重复线段的总长度越短越好．在图a 中H 与E 之间有重叠，这样势必会增加李文所走路程的长度，应作调整．经调整后，将重叠部分去掉便得图b ．在图b 的圈形闭路IHGJI 中，I ，J ，G ，H 各点没有连线时是奇点，连线后变成偶点，增加长度为50×2=100千米．而如果连IJ 和HG ，增加的长度仅为10×2=20，由此可知图b 需继续作调整，改成图c ，这种连接方法是最好的，它使李文行走的路线最短．根据以上分析，为了保证添上去的线段之和最短，应遵循下面的两条原则：(1)连线不能有重叠的线段；(2)在每一个圈形闭路上，连线长度之和不能超过这个闭路总圈长的一半．经过分析可以知道，图c 的连接方法能使邮递员李文行走路线最短，而且能保证李文从邮局出发又回到邮局．这时他的行走路线为：邮局→A →I →J →I →H →G →H →E →D →F →D →G →J →B →C →D →E →邮局他行走的全程为： (50+15)×4+20×4+10×6+20×2=440(千米)．图a图b图c[小结]本题中采用的方法叫做“奇偶点图上作业法”，用这种方法来确定最短路线比较简便实用．此方法可以用下面的口诀来描述：画出路线图，确定奇偶点；奇点对对连，连线不重叠；闭路添连线.不得过半圈．[巩固]右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度.清晨，洒水车从A 出发，要洒遍所有的街道，最后再回到A.问：如何设计洒水路线最合理？分析：这又是一个最短路线的问题.通过分析可以知道：在洒水路线中，K 是中间点，因此必须成为偶点，这样洒水车必须重复走KC 这条边（如下左图）.至此，奇点的个数并未减少，仍是6个.容易得出，洒水车必须重复走的路线有：GF 、IJ 、BC.即洒水路线如下右图.全程45＋3+6=54（里）.1. （例1）判断下列各图能否一笔画．图aG I H F ECD BA图bF ED CBA分析：图a 中九个点全是偶点，因此可以一笔画，其中一种画法为：A →F →B →G →C →H →D →E →H →l →→F →G →l →E →A ．图b 中A ，B ，C ，D 四个点均为奇点，故不可以一笔画．图c 中，只有A,C 为奇点，故可一笔画．其中一种画法为：A →D →E →C →H →N →G →M →F →A →B →C ．2. （例3）下列各图至少要用几笔画完？分析：（1）4笔；（2）4笔；（3）2笔；（4）1笔；（5）1笔；（6）1笔.3.（例6）右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？分析：把每个展室看作一个结点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有边相连.这样，展厅的平面图就转化成了我们数学中的图，一个实际问题也就转化为这个图（如下图）能否一笔画成的问题了，即能否从A出发，一笔画完此图，最后再回到A.上图（b）中，所有的结点都是偶点，因此，一定可以以A作为起点和终点而一笔画完此图.也即游人可以从入口进，一次不重复地穿过所有的门，最后从出口出来.下面仅给出一种参观路线：A→E→B→C→E→F→C→D→F→A.4.（例7）一辆清洁车清扫街道，每段街道长1公里，清洁车由A出发，走遍所有的街道再回到A.怎样走路程最短，全程多少公里？分析：清洁车走的路径为： ABCNPBCDEFMNEFGHOLMHOIJKPLJKA. 即：清洁车必须至少重复走4段1公里的街道，如下图.最短路线全程为28公里.5.（例10）一个邮递员的投递范围如右图，图上的数字表示各段街道的长度.请你设计一条最短的投递路线，并求出全程是多少？分析：邮递员的投递路线如下图，即：路线为：ABCDEDOBOMNLKLGLNEFGHIMOJIJA.最短路线的全程为39+9=48.。

小学数学一笔画课件

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03
一笔画问题的解题方法
逐步推理法
总结词
通过逐步推理，按照一定的逻辑顺序，确定笔画的路径。
详细描述
逐步推理法是一种常用的解题方法，它通过逐步分析图形的特点和规律，推断出笔画的路径。这种方法需要有一定的逻辑推理能力，对于一些较为复杂的图形，需要仔细分析其结构，找出正确的笔画路径。
奇偶点分析法
拉回路是指一条通过图形的每条边且每条边只通过一次的闭合路径。
02
奇点与偶点
在图形中，如果一个节点发出的线条数是奇数，则该节点称为奇点；如
果一个节点发出的线条数是偶数，则该节点称为偶点。
03
哈密顿路径和哈密顿回路
哈密顿路径是指一条通过图形的每条边且每条边只通过一次的路径，但
不一定是闭合路径；哈密顿回路是指一条通过图形的每条边且每条边只
计算机科学
一笔画问题在计算机科学中也有广泛应用，例如在计算机图形学、算法设计等领域。
实际应用
一笔画问题在现实生活中也有很多应用，如地图的绘制、电路设计、交通规划等。
02
一笔画问题的数学原理
欧拉公式
欧拉公式
对于一个连通图，其边数和顶点数的关系可以用公式(V - E + F = 2)来表示，其中(V)表示顶点数，(E)表示边数，(F)表示面数。这个公式是解决一笔画问题的重要依据。
问题的能力。
创新的一笔画问题
总结词
创意问题，挑战性
VS
详细描述
创新的一笔画问题通常涉及更为复杂和创意的图形，如不规则多边形、立体图形等，这类问题旨在激发学生的创造力和挑战精神。同时，这类问题也可能涉及到数学中的其他知识点，如平面几何、立体几何等。

下面的图形可以一笔画成吗

二年级秋季班第九讲一笔画习题基础班1. 下面的图形可以一笔画成吗？如果可以，请你用一笔画成。

2. 判断下列各图能否一笔画出，并说明理由。

※3. 邮递员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程多少千米？4. 有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右上图中的点表示村庄，线段表示道路。

邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？5. 一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？6.下图是商场的平面图，顾客可以从六个门进出商场，怎样走才能不重复地走遍商场的每条通道？7.一只蚂蚁由A点出发，到达B点，必须不重复地经过每一条线，你能想出好办法吗？8.一辆清洁车清扫街道，每段街道长1千米，清洁车由A点出发，走遍所有的街道再回到A点，怎样走路程最短，全程多少千米？9.游人在林间小路上（见图）散步，问能否一次不重复地走遍所有的路线后回到出发点？如不能，应选择怎样的路线才能使全程最短？最短路程是多少？（单位：千米）10.一张纸上画有如下所示的图，你能否用剪刀连续剪下图中的三个正方形和两个三角形？※11.上图是某个花房的平面图，它由六间展室组成，每相邻两室有一门相同，请你设计一个出口，使参观者能够从入口处进去，一次不重复地经过所有的门，最后由出口走出花房。

习题答案1 .2.答案略3．50千米，走法见左下图。

4.见下图。

5.最多爬行34厘米。

提示：8个点都是奇点，故至少要少爬4条棱。

少爬3厘米的棱和4厘米的棱各两条是最合理的(见右图)。

6 只有C、D两点是单数点，因此能从C门进，D门出。

或从D门进，C门出，才能不重复地走遍商场的每条通道.7 蚂蚁可以这样走：8图中有8个单数点，两个单数点之间线段要重复走，清洁车至少必须重复走4段1千米的街道，所走的路线如下图所示，全程最短路线是28千米。

举一反三——一笔画成

律：奇点数为0或2。从几点数开始画起。奇点数：从该点引出的线的数目为奇数。
2.下面图形可以一笔画成吗？说明理由
奇点数有4个，不能一笔画成。
奇点数有2个，能一笔画成。
练习：下面个图能否一笔画成？如果能，请画出
奇点数有0个，可以一笔画成
3.将下图加最少的线改成一笔画成图形
4.将下图去掉最少的线改成一笔画成图形
5.下图中的线段代表小路，请同学们想一想：能够不重复地爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎么爬？
6.下图是儿童乐园平面图，出入口应该设在哪里才能不重复地走遍每条路？
练习：下图是商场的平面图，顾客可以从A,B,C,D,E,F六个门进入商城，怎样才能不重复地逛完商场。
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有趣的一笔画问题

精心整理有趣的一笔画问题一笔画问题的提出：一笔画是一个大问题，为了更好的解决这个问题，我们从生活提出一笔画问题。

我们先看一个公路检查员的问题：他为了检查几个城市之间的若干公路，希望在这些城市和公路组成的公路系统中找出一条路线，使他能不重复地恰好通过每条公路一笔画问题是一个简单的数学游戏，即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复？例如汉字‘日’和‘中’字都可以一笔画的，而‘田’和‘目’则不能。

(在日本动画片一休中，是采用对折纸张的方法画出‘田’和‘目’的一笔画）也是可取之处。

一笔画图形的规律和判别：著名的哥尼斯堡七桥问题实质上就是一个一笔画问题。

欧拉最终证明了这个图形是不能一笔画成的，并在关于七桥问题的报告中得到了任一网络图能否一笔画的判别法则。

欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。

连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的．但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。

能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。

数学家欧拉找到一笔画的规律是：1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

3．其他情况的图都不能一笔画出。

（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成）比如附图：（a）为（1）情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。

补充：相关名词的含义◎顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。

◎奇顶点：指数为奇数的顶点。

◎偶顶点：指数为偶数的顶点七桥问题与欧拉定理：这是一段与数学有关的故事。

在十八世纪的时候，普鲁士的哥尼斯堡有一个公园，公园里有一条河勒格尔河穿过，河有两条支流，河上有两个小岛，将整个城市分割成四块，当地的人为了交通方便，就建了七座桥作连接把两个岛与河岸联系起来(见下图)。

《一笔画》课件

例1：判断下列图形能否一笔画
不连通的图形不能一笔画
图1 图2 图3
连通的图形有可能一笔画
图4 图5
两条相交的线处都有一个
交点。
数一数下列图形各有几个交点？
（4
）个
（ 2
）个
（9
）个
（ 5
）个
交点分为两种
①从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。如：
● ● ●
②从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。如：
必须从一个单数点为起点，以另一单数点为终点。（4）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。
哥尼斯堡中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥，再回到出发点？
小岛A
小岛B
“一笔画”是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形，他是一种有趣的数学游戏，那么什么样的图形可以一笔画成呢？试一试，画一画，发挥你的想象力，发现一笔画的规律。
● ●
●
例2：观察下列图形，完成统计表
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图形序号
单点个数
双点个数
能否一笔画
图1 图2 图3 图4 图5 图6 图7
图8
总结：不连通的图形不能一笔画
单数点个数超过两个的图形不能一笔画
全都是双数点的连通图可以一笔画有两个单数点的连通图可以一笔画
画时以任一点为起点，最后仍回到该点画时以一个单数点为起点，另一个为终点
连通的图形有可能一笔画
例3：判断下列图形能否一笔画

第一讲一笔画问题

中小学课外辅导YAZHI EDUCATION第一讲一笔画问题小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。

那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。

典型例题例【1】（1）（2）（3）（4）分析图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。

经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。

图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。

图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。

通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。

由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。

相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。

再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。

而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。

这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。

例【2】下面各图能否一笔画成？（1）（2）（3）分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。

关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由A B C AD C。

图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。

要想一笔画，需从经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。

中小学课外辅导 YAZHI EDUCATION 解图（1）、（2）可以一笔画。

但必须从奇点出发，由另一点结束。

如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。

例【3】分析图（1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由A 开始或由B 开始到B 结束或到A 结束。

图（2）有10个奇点，大于2，不能一笔画成。

图（3）有4个奇点，1个偶点，因此也不能一笔画成。

解图（1）的画法见下图。

例【4】下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？分析图（1）有4个奇点，所以不能一笔画出。

十一笔画和迷宫

十一笔画和迷宫1．一笔画(1)一笔画就是指能一笔画成的图形。

注意，这里要求：①下笔后笔不能离开纸；②每条线都只能画一次而不许重复；③画时，任何两条线不许交叉而过。

下面两图都是一笔画，其中右图是一种较特殊的一笔画，它最后又画回到起始点。

下面几个图形，你能一笔画成吗？(2)一笔画问题是由十八世纪的大数学家欧拉提出并解决的。

原苏联有个城市加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，城中有一条河，河上有两个岛，两岸与两岛之间共架有七座桥(下图)。

当时的居民热衷于讨论这样一个问题：一个散步者怎样才能不重复地一次走遍所有的七座桥，而回到出发点？这个问题似乎不难，所以谁都愿意试一试，但结果谁也下不了结论。

问题提到了欧拉那里。

千百人的失败使欧拉想到，也许那样的走法根本就不存在。

后来，他用数学方法证实了自己的猜想。

欧拉把七桥问题中的岛A、C，陆地B、D当作4个点，于是上图就变成了下图。

七桥问题也就变成了能否一笔画出下图的问题。

经过欧拉的研究，终于找到了鉴别一个图形能否一笔画成的简便方法。

下面就简要地介绍一下这个方法的基本思想。

可以想象，凡是一笔画，一定有一个起点、一个终点，还有一些其他的中间点。

起点可以由几条线汇合，但是画图时，总是先从它画出去，然后进来出去几次(进出一次，得到两条线：进来是一条线，出去也是一条线)，而最后一次是出去的，所以集中在起点的线只能是一条、三条、五条，……，即是奇数条。

终点是先画进去，然后出去进来几次，而最后一次是进来的，所以集中在终点的线也只能是奇数条。

至于中间各点，则应是进去出来的次数相等，即每一点上都只能有偶数条线。

如果起点与终点重合，即最后又画回到起点，那么所有的点上就都有偶数条的线了。

这样一分析就可以知道，能一笔画的图形，其中有奇数条线的顶点的个数只能是0或2。

上图中有4个顶点，每个顶点都有奇数条线，因此它不能一笔画，也就是要不重复地一次走遍哥尼斯堡七桥是不可能的。

现在请你想一想：①在七桥问题中，如果允许你再架一座桥，那么你能否不重复地一次走遍这八座桥？这座桥应架在哪里？②下图中哪些能一笔画？哪些不能一笔画？能一笔画的，怎样画？(3)下图是两个花园的平面图，其中有不少小路，你能分别走遍这两个花园的小路，而线路既不重复又不交叉吗？(4)下图表示一座彩牌，它是用一根彩绳扎成的，且线路没有一处重复。

第27讲一笔画图形

第27讲一笔画图形一笔画的理论是由大数学家欧拉（Euler）建立的.他在建立这一理论的过程中方法新颖、独特，使人们折服、倾倒.并且为人类思想宝库奉献了一颗耀眼的珍珠，这颗珍珠将在人类的智慧史上放射着不灭的光辉. 同学们，你肯定想知道什么是一笔画吧？让我们从一个游戏开始.　问题27.1图27－1中有四个图形，你能一笔画出来吗？这就是一笔画问题.对以上四个图，经过几次试画读者不难发现：图（1）可一笔画成且从任一点出发均可回到出发点；图（2）可一笔画成但起点只能在D或B点且不能回到出发点；图（3）、（4）均不能一笔画成. 如果一个图形可以用笔不离纸且每条线都画到并不准重复，则这个图形就叫做一笔画图形. 关于一笔画问题有下面几个问题需要解决：（1）怎样简单地判断一个图形能否一笔画？（2）如果能一笔画，什么时候可回到出发点，什么时候又不能？（3）对不能回到起点的一笔画，应把何处作为起点？何处作为终点？（4）若一个图形不能一笔画，那么至少需要几笔画成？当图形较简单时（如图27－1），只要进行几次“试画”，就可以回答上述所有问题.但是，当图形较复杂时，要回答上述问题难度就大了. 同学们不信可以试试，如果你不看下文就能独立地解决这个问题，那么在这一问题上你就与大数学家欧拉一样聪明了. 下面我们开始研究一笔画问题. 让我们从产生这一问题的历史背景谈起吧！说起来还有一段引人入胜的故事呢！事情发生在公元18世纪普鲁士的哥尼斯堡城.一条河从这个城市穿过，河中有两个小岛把主流分成了两半.河上有七座桥连接两岛同河的两岸沟通（如图27－2）.这是个风景秀丽的地方，吸引了许多游人.人们在这里参观、散步.不知谁最先提出了一个问题：一个散步者怎样能一次走遍这七座桥，最后又回到出发点，而每座桥只走过一次，不许重复. 这一问题似乎不难，谁都愿意试一试，但没有一个胜利者.这下引起了许多优秀人才极大的兴趣和好奇心. 过了很久一段时间，这件事被瑞士大数学家欧拉知道了.欧拉头脑比较冷静，千百人的失败，使欧拉猜想：也许那样的走法根本不存在.经过艰辛的探索以后，他于1736年在圣彼得堡科学院作了一次报告，终于向人们解开了“七桥问题”之谜，并彻底地解决了一笔画的所有问题. 下面让我们来看看欧拉是怎么解决这一问题的，从而欣赏一下这位数学泰斗精彩绝妙的数学思维. 欧拉在对图形进行了深入细致的研究之后，发现任何图都是由点和线组成的.他把图中的点分成两类：若从一点发出的线的整目是偶数，就称为一个偶点，若是奇数就称为奇点.如图27－3，除B、J、D、F是奇点外，其它均为偶点.欧拉认为，分开的图形显然是不能一笔画的［如图27－1（4）］.一个连在一起的图（叫连通图），能不能一笔画与此图形中奇点的个数有关. 通过试画及进一步的研究欧拉认识到：研究一笔画问题时，如果我们细心地把所有可能的画法列成表格，可以逐一检查哪些（如果有的话）是满足要求的.然而这种解法太乏味且太困难了.因为可能的组合数目太大，而对于别的线数更多的图根本就不能用.如按照这样的办法分析就要引出许多与问题无关的枝节，这无疑是这种方法麻烦的原因.因此必须放弃它，去寻求另一种更专用、更本质、更广泛实用的简单方法. 欧拉先假定一个图形已经一笔画成，再考察其特点：它一定有一个起点B，一个终点E和一些中间点mi（图27－4）. （1）首先可断言所有中间点mi必为偶点，因为每次有一条线画进mi必有一条从mi画出的线与之配对. （2）如果B不与E重合，则B、E必为奇点.事实上，我们先从B画出去，即使中途画进B点，最后还是要画出去，所以画出B点的线总比画进来的线多一条，因而B是奇点.同样E也为奇点. （3）如果B与E重合，则B（即E）必为偶点.这是因为进、出B点的线一样多. 反过来可以证明：凡具备条件（1）、（2）、（3）的图形均可一笔画. 由此欧拉就得到了下面的结论：一笔画定理若一个连通图形奇点的个数为0或2时，其图形必为一笔画（反之亦然）.而且（1）当奇点个数为0时，可以取任一（偶）点为起点，最后仍回到这一点；（2）当奇点个数为2时，必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点. 应特别注意：欧拉解决这一问题时用的思维技巧是从结果入手考虑.人们称它为倒推法.问题27.2图27－5中的几个图形是否可一笔画？解图（1）中全为偶点.故可以一笔画. 图（2）中有6个奇点，故不能一笔画. 图（3）中有2个奇点，故可以一笔画. 到此，我们已圆满地回答了开始提出的问题（1）、（2）、（3），关于问题（4）有以下结论：多笔画定理有2n（n＞1）个奇点的连通图形，可以用n笔画完（彼此无公共线），而且至少要n次画完.问题27.3图27.3 图27－3和27－5（2）分别要几笔画完？理论的目的在于应用.和其它数学理论一样，一笔画是一种数学模型，要把它应用于实际，还必须学会把实际问题抽象、转化成这种模型.问题27.4图27.4图27－6是一个公园的平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、入口应设在哪里？解本问题相当于一笔画问题. 由于图中有两个奇点，由一笔画定理，只要将出、入口分别设在D、I两点，游客就可以从入口进入公园，不重复地走遍所有小径，而最后从出口处离开公园.问题27.5能否一笔画出一条线路，使它和图27－7的8条线段都相交且仅相交一次（并不在端点处相交）？分析本题的实质并不是研究图27－7本身的一笔画问题，而是研究图中虚线表达的图的一笔画问题.解图27－7中的8条实线段，把平面分成了5个部分，而把每个部分看成一个点，用①、②、③、④、⑤表示.那么画一条线与8条线段都只相交一次就相当于把这5个数字两两相连.从而原问题就转化成了图27－7中虚线图形的一笔画问题. 因为虚线图有4个奇点（①、②、③、④），由多笔画定理，它至少得2笔画成. 注意：本题的关键（题眼）是把5块区域看成5个点，从而把实际问题抽象成一笔画的问题. 下面我们再运用这种方法来解决著名的“七桥问题”.问题27.6一个散步者能否一次走遍图27－8（1）所示的七座桥且不许重复？解河流把地平面分成四个区域A、B、C、D，把这四个区域看成四个点.每两块区域之间有一座桥相通就相当于在相应的两点之间连一条线段，这样我们就把七桥问题抽象成了图27－8（2）的一笔画问题.因为本图有四个奇点，故原题中散步者的散步路线是不存在的.问题27.7图27－9（1）是某展览馆的平面图.每个房间都有一扇门通往馆外，每相邻两个房间之间各有一扇门相通.参观者能不能一次无重复地穿过每一扇门？如不能，关闭哪一扇门后就能无重复地穿过每一扇门了？并问出、入口在哪里？解本问题第一问与问题27.5、27.6解法相类似.5个展室加馆外，相当于6个区域，分别用①～⑥表示.把它们看成6个点，用一线段表示一扇门，就可得到图27－9（2）.此图有③、④、⑤、⑥4个奇点，所以不能一笔画成.即表明，参观者要想不重复地穿过每一扇门是不可能的. 第二问实际上是问在图（2）中去掉哪一段线就能使图形一笔画出.由于③、④、⑤、⑥均为奇点，只要关闭③、④之间的一扇门，就只剩下⑤、⑥两个奇点了.这时，只要把⑤、⑥分别当做出、入口，参观者就可以不重复地一次穿过其余各门了. 同样地，从图中易看出，关闭④、⑤，或⑤、⑥，或④、⑥，或③、⑥之间的任一扇门，参观者也可以如愿以偿. 我们还可以证明：在一个图中奇点的个数必定是偶数. 从本题的解法我们不难看到：在两个奇点之间去掉一条连线，这两个奇点就同时变为偶点.同样，在两个奇点之间增加一条连线，也可使这两个奇点同时成为偶点.问题27.8在奇点和偶点之间连一条线后，图中的奇、偶点个数有什么变化？以上讲了许多一笔画知识，也许学过后一些肯动脑筋的同学可能会想：一笔画知识除了做数学游戏外，还有什么实用价值呢？为了回答这个问题我们先介绍几个名词：对一个连通图，通常把从某点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路；把一笔画成回到出发点的欧拉路叫欧拉回路；具有欧拉回路的图叫做欧拉图. 现在城市的街道及公园、展馆的参观路线，严格地说来大多数都设计得杂乱无章.人们上、下班，参观游览，邮递员送信及各种车辆行驶都要走许多重复的路，且会漏掉许多事物.这样不但消耗了许多不必要的财力，而且浪费了大量的时间. 同学们，你们学了一笔画知识后，就可以当未来世界的设计师，把未来的城市街道设计成某种欧拉回路，并把公园、展馆设计成欧拉路.到那时，投递员叔叔再送邮件时，就可一次跑完所有街道最后回到邮局；人们参观公园只需走一趟就会对所有内容一览无余.在你们的劳动下，世界将会变得更美好.练习27 1.图27－10中的三个图形分别能用几笔画成？若能一笔画能否回到起点？ 2.图27-11能否一笔画？若不能，你能用什么办法使它成为一笔画？ 3.用剪刀能否一次连续剪下图27－12所示的纸片上的三个正方形和二个三角形？如能，怎么剪？ 4.图27-13是一座古籍展品馆，每两个相邻的展室之间都有一扇门相通.除中间的展室E外，每个展室都有门通向室外.如果你去参观，你如何设法使自己不重复地穿过每一道门？ 5.图27-14是蓬莱仙境区某处的地貌图，小河上有15座桥.问能不能设计一条路线，一次不重复地走遍所有的桥？。

一笔画成的图形

二年级奥数.几何.一笔画问题(1)

陈伟强-图形推理中“一笔画”问题

第27讲 一笔画图形

一笔画图形说明

一笔画问题

小学数学《一笔画》练习题(含答案)精选全文

小学数学一笔画课件

下面的图形可以一笔画成吗

举一反三——一笔画成

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《一笔画》课件

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十 一笔画和迷宫

第27讲 一笔画图形

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