集合之间的关系例题习题解答(二)

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高考数学专项：集合间的基本关系(习题作业)解析版

1.2集合间的基本关系一、单选题1．已知集合 |21,Z ,|21,Z A x x k k B x x k k ，则（）A ．A B B ．B AC ．A BD ．AB【答案】C【分析】由 |21,Z ,|21,Z A x x k k B x x k k ，知集合A 与集合B 都是奇数集，利用集合与集合间的关系，即可求出结果.【详解】因为集合 |21,Z A x x k k ，集合 |21,Z B x x k k ，所以集合A 与集合B 都是奇数集，所以A B ，故选：C.2．下列与集合 2023,1表示同一集合的是（）A ．2023,1B ． ,2023,1x y x y ∣C ．2202420230xx x ∣D ．2023,1x y 【答案】C.【详解】由2202420230x x 解得2023x 或1x ，所以22024202302023,1x x x ∣，C 正确；选项A 不是集合，选项D 是两条直线构成的集合，选项B 表示点集，故选：C3．下列各式：① 10,1,2 ，② 10,1,2 ，③ 0,1,20,1,2 ，④ 0,1,2 ，⑤ 2,1,00,1,2 ，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可．【详解】由元素与集合的关系可知 10,1,2 ，故①错误；由集合与集合的关系可知 10,1,2 ，故②错误；任何集合都是自身的子集，故③正确；空集是任何非空集合的子集，故④正确；集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；综上可得，只有①②错误．故选B ．4．给出下列关系式:① 10,1,2 ；② ⊆ 1,2,3；③ 11,2,3 ；④ 0,1,21,2,0 ，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据元素与集合的关系的定义，可知①正确；根据空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集，可判断②正确；集合与集合间的关系：与，而不是与，可判断③错误；根据集合中元素满足：互异性，无序性，确定性，可判断④正确.【详解】对于①，根据元素与集合的关系知， 10,1,2 ，所以①正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以②正确；对于③，集合与集合间的关系是包含与不包含的关系，所以 11,2,3 是错误的，故③错误；对于④，根据集合中元素的无序性和集合相等的定义知， 0,1,21,2,0 ，所以④正确.故选：A.5．有下列四个命题：① 0 ；② ③若N a ，则N a ；④2R210A x x x ∣集合有两个元素；⑤集合6N N B x x∣是有限集.；其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据空集的概念和性质得到①正确，根据元素和集合的关系得到②正确；举出反例得到③错误；求出 1A ，得到④错误；求出 1,2,3,6B ，判断⑤正确.【详解】①因为是任何集合的子集，所以 0 ，①正确；② 是的一个元素，故，②正确；③若0a ，满足N a ，N a ，故③错误；④ 1A ，集合有1个元素，故④错误；⑤集合 1,2,3,6B ，故是有限集，⑤正确.故选：C6．若集合 N ,P x x a 则（）A ．a PB ． a PC ． a PD ．a P【答案】D【分析】根据集合P ,判断元素a 是否在集合P 内即可选出结果.【详解】解:因为 N ,N P x x a ,所以a P .故选：D7．已知非空集合M满足:对任意x M ，总有2x M ，M .若{0,1,2,3,4,5}M ，则满足条件的M 的个数是（）A ．11B ．12C ．15D ．16【答案】A【分析】由题意得，集合M 是集合 2,3,4,5的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，即可求解.【详解】当M 中有元素0时，200M M ，当M 中有元素1时，2111M M ，所以0,1M M ，所以集合M 是集合 2,3,4,5的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，故满足题意的集合M 有 2352,32,53,43,52,3,5,,4,,,,,,4,5,， 3,4,5共11个.故选：A.8．若一个集合含有n 个元素，则称该集合为“n 元集合”.已知集合12,,3,42A，则其“2元子集”的个数为（）A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】A【分析】根据子集的定义即可求解.【详解】集合12,,3,42A的所有“2元子集”为12,2 ，{2,3} ，{2,4} ，1,32 ，1,42，3,4共6个.故选：A.9．设集合 |M x x A ，且}x B ，若{1,3,5,6,7}A ，{2,3,5}B ，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15【答案】B【分析】求得集合M ，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{M xx A ∣且}{1,6,7}x B ，其非空真子集的个数为3226 .故选：B10．已知非空集合M ⊆{1，2，3，4，5}，若a ∈M ，则6-a ∈M ，那么集合M 的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】由条件知集合M 的元素性质,分类讨论验证即可.【详解】∵a ∈M ，6-a ∈M ，M ⊆{1，2，3，4，5}，∴3在M 中可单独出现，1和5，2和4M 元素个数：一个元素时，为{3}；两个元素时，为{1，5}，{2，4}；三个元素时，为{3，1，5}，{3，2，4}；四个元素时，为{1，5，2，4}；五个元素时，为{1，5，3，2，4}，共7个.故选：C11．已知集合 0,4,M x ，20,N x ，若N M ，则实数x 组成的集合为（）A ． 0B ． 2,2C ． 2,1,2D ．2,0,1,2【答案】C【分析】根据集合的包含关系得集合之间元素的关系，列方程求解即可.【详解】N M ∵， 0,4,M x ，20,N x ，2404x x x 或204x x x x，解得2x 或2x 或1x ，故实数x 组成的集合为 2,1,2 .故选：C.12．集合70,N A x x x，则*6{|N ,}B y y A y的子集的个数为（）A ．4B ．8C ．15D ．16【答案】D【分析】先求出A ，再找出A 中6的正约数，可确定集合B ，进而得到答案．【详解】集合{|70A x x ，**N }|7,N {1,2,3,4,5,6x x x x ,*6{|N ,}1,2,3,6B y y A y，故B 有4216 个子集.故选：D ．13．已知集合260A xx x ∣， 10B x mx ∣，且B A ，则实数m 的取值构成的集合为（）A ．110,,23B ．11,23C ．11,23D ．110,,23【答案】D【分析】先解出集合A ，根据B A ，分类讨论求出实数m .【详解】2603,2A xx x ∣.因为B A ，所以B ， 3B ， 2B .当B 时，关于x 的方程10mx 无解，所以0m ；当 3B 时，3x 是关于x 的方程10mx 的根，所以13m；当 2B 时，=2x 是关于x 的方程10mx 的根，所以12m .故实数m 的取值构成的集合为110,,23.故选：D14．设集合 21|10P x x ax ， 22|20P x x ax ，21|0Q x x x b ，22|20Q x x x b ，其中a ，b R ，下列说法正确的是（）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的真子集，对任意的b ，1Q 是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断.【详解】解：对于集合21|10P x x ax ，22|20P x x ax 可得当1m P ，即210m am ，可得220m am ，即有2m P ，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；当5b 时，2150R Q x x x ，22250R Q x x x ，可得1Q 是2Q 的子集；当1b 时，2110R Q x x x ，22210{|1Q x x x x x 且R}x ，可得1Q 不是2Q 的子集；综上有，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集.故选：B.15．已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8}S ，对于它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素k 都乘以(1)k 再求和，例如{2,3,8}A ，则可求得和为238(1)2(1)3(1)87 ，对S A ．508B ．512C ．1020D ．1024【答案】B【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是72(12345678)512 .【详解】因为元素1,2,3,4,5,6,7,8在集合S 的所有非空子集中分别出现72次，则对S 的所有非空子集中元素k 执行乘以(1)k 再求和操作,则这些和的总和是7123456782[(1)1(1)2(1)3(1)4(1)5(1)6(1)7(1)8] 72(12345678)512 .故选B【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题.二、多选题16．下列关系式正确的为（）A ． 00B ． 0C ． ,,a b b aD ．0 【答案】CD【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断.【详解】对于A.元素与集合间是属于与不属于的关系，故A 错误；对于B.{0}含有一个元素0，不是空集，故B 错误；对于C.集合的元素具有无序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C 正确；对于D.空集是任何集合的子集，故D 正确.故选：CD ．17．已知集合*{|2}N M x x ，则以下关系正确的是（）A ．0MB ．2MC ． 0,1,2MD ．0,1,2M 【答案】AD【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系逐项判断即可.【详解】因为*{|2}N {1,2}M x x ，所以，0M ，故A 正确；2M ，故B 错误；M {0,1,2}，故C 错误，D 正确.故选：AD.18．下列说法正确的有（）A ．集合 1,2,4,5有16个真子集B ．对于任意集合A ，AC ．任何集合都有子集，但不一定有真子集D ．若A ，则A【答案】BCD【分析】根据集合的真子集个数公式判断A ；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断B 、C 、D.【详解】集合 1,2,4,5有4个元素，故其有42115 个真子集，故A 错误；空集是任何集合的子集，则A ，故B 正确；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C 正确；空集是任何非空集合的真子集，若 A ，则A，故D 正确.故选：BCD.19．下列各组中,M P 表示相同集合的是（）A ．3,1,1,3M P B ． 2,Z ,21,Z M xx n n P x x n n ∣∣C ．221,R ,1,R M yy x x P x x t t ∣∣D ．221,R ,,1,R M yy x x P x y y xx ∣∣【答案】ABC【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.【详解】对于A ，集合M ，P 含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合，A 是；对于B ，因为Z n ，则1Z n ，因此集合M ，P 都表示所有偶数组成的集合，B 是；对于C ，221,R 1,,1,R 1,M y y x x P x x t t ∣∣，即M P ，C 是；对于D ，因为集合M 的元素是实数，集合P 中元素是有序实数对，因此集合M ，P 是不同集合，D 不是.故选：ABC20．已知集合 1,3,0A ，23,B m ，若B A ，则实数m 的值为（）A ．0B ．1C ．1 D【答案】ABC【分析】由集合B 与集合A 的关系，对选项依次辨析即可.【详解】对于A ，0m 时， 3,0B ，有B A ，故选项A 正确；对于B ，1m 时， 3,1B ，有B A ，故选项B 正确；对于C ，1m 时， 3,1B ，有B A ，故选项C 正确；对于D ，m 时，23m ，集合B 不满足集合元素的互异性，故选项D 不正确.故选：ABC.21．给出下列四个结论，其中正确的结论有（）A ． 0B ．若a Z ，则a ZC ．集合 2,y y x x Q 是无限集D ．集合 12,x x x N 的子集共有4个【答案】BCD【分析】根据已知条件，结合空集、子集的定义，以及Z ，Q 的含义，即可求解．【详解】对于A ：是指不含任何元素的集合，故A 错误；对于B ：若Z a ，则Z a ，故B 正确；对于C ：有理数有无数个，则集合 2,y y x x Q 是无限集，故C 正确；对于D ：集合 12,0,1x x x N 元素个数为2个，故集合 12,x x x N 的子集共有224 个，故D 正确．故选：BCD ．22．已知集合 1,1A ，非空集合320B x x ax bx c ，下列条件能够使得B A 的是（）A ．3,3,1a b cB ．3,3,1a b c C ．1,1,1a b c D ．10a b c 且2(1)40a c 【答案】ACD【分析】把三次方程因式分解求根，即可化简集合B ，然后利用集合关系即可判断.【详解】对于选项A ，方程323310x x x ，因式分解得3(1)0x ，解得1x ，所以 1B ，满足B A ，所以选项A 正确；对于选项B ，方程323310x x x ，因式分解得2(1)(41)0x x x ，解得=1x 或2 x 所以 1,22B ，不满足B A ，所以选项B 错误；对于选项C ，方程3210x x x ，因式分解得2(1)(1)0x x ，解得1x ，所以 1,1B ，满足B A ，所以选项C 正确；对于选项D ，因为10a b c ，所以1x 是方程320x ax bx c 的解，所以方程320x ax bx c 变形为2(1)[(1)]0x x a x c ，因为2(1)40a c ，所以方程2(1)0x a x c 无解，所以方程2(1)[(1)]0x x a x c 有唯一解1x ，所以 1B ，满足B A ，所以选项D 正确；故选：ACD.23．设集合{}22|,,M a a x y x y ==-ÎZ ，则对任意的整数n ，形如4,41,42,43n n n n +++的数中，是集合M 中的元素的有A ．4nB ．41nC ．42nD ．43n 【答案】ABD【分析】将4,41,43n n n 分别表示成两个数的平方差，故都是集合M 中的元素，再用反证法证明42n M +Ï.【详解】∵224(1)(1)n n n =+--，∴4n M Î.∵2241(21)(2)n n n +=+-，∴41n M +Î.∵2243(22)(21)n n n +=+-+，∴43n M +Î.若42n M +Î，则存在,Z x y Î使得2242x y n -=+，则42()(),n x y x y x y +=+-+和x y 的奇偶性相同.若x y 和x y 都是奇数，则()()x y x y 为奇数，而42n 是偶数，不成立；若x y 和x y 都是偶数，则()()x y x y 能被4整除，而42n 不能被4整除，不成立，∴42n M +Ï.故选ABD.【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质P ，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.三、填空题24．满足 ,,,a M a b c d Ü的集合M 共有___________个.【答案】7【分析】根据集合的基本关系，可得集合M 包含 a ，且集合M 是 ,,,a b c d 的真子集，即可得出集合M 的个数.【详解】由题意可得， ,,,a M a b c d Ü,所以集合M 包含 a ，且集合M 是 ,,,a b c d 的真子集，所以 M a 或 ,M a b 或 ,M a c 或 ,M a d 或 ,,M a b c 或 ,,M a b d 或,,M a c d ,即集合M 共有7个.故答案为：725．已知集合21,20,R A B x x x a x ，且A B ，则实数a 的值是_________．【答案】-3【分析】根据A B 得出1x 是方程220x x a 的解，将1x 代入方程220x x a 中进行计算，即可得出结果.【详解】因为 1A ，220B x x x a ，A B ，所以1x 是方程220x x a 的解，即21210a ，解得3a .经检验，3a 符合题意，所以3a .故答案为：3 .26．设,a b R ， 1,P a ， 23,Q a b ，若P Q ，则a b ______．【答案】0或4【分析】由集合相等，建立方程组求解即可.【详解】当231a a b时，1,1a b ，满足P Q ，则0a b ；当231a a b时，3,1a b ，满足P Q ，则4a b ；故答案为：0或427．已知 2230M x x x ， 210,R N x x ax a ，且N M ，则a 的取值范围为_________．【答案】{|22}a a 【分析】求得集合 1,3M ，根据NM ，分N 和N 两种情况讨论，即可求解.【详解】由题意，集合 22301,3M xx x ∣，当N 时，即240a ，解得22a ，此时满足NM ，当N 时，要使得N M ，则1N 或3N ，当1N 时，可得2(1)10a ，即2a ，此时{1}N ，满足NM ；当3N 时，可得23310a ，即103a ，此时1{3,}3N ，不满足N M ，综上可知，实数a 的取值范围为{|22}a a .故答案为：{|22}a a .28．给定集合 1,2,3,4,5,6,7,8S ，对于x S ，如果11x S x S ,，那么x 是S 的一个“好元素”，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．【答案】6【分析】根据题意，要使S 的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可．【详解】若不含好元素，则集合S 中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有 1,2,3,2,3,43,4,545,6,5,6,7,6,7,8{},{},,，共有6个.故答案为：6．四、解答题29．设集合{|16}A x x ，{|121}B x m x m ，且B A ．(1)求实数m 的取值范围；(2)当x N 时，求集合A 的子集的个数．【答案】(1){|2m m 或502m}(2)128【分析】（1）按照集合B 是空集和不是空集分类讨论求解；（2）确定集合A 中元素（个数），然后可得子集个数．（1）当121m m 即2m 时，B ，符合题意；当B 时，有12111216m m m m ，解得502m ．综上实数m 的取值范围是{|2m m 或50}2m ；（2）当x N 时，{0,1,2,3,4,5,6}A ，所以集合A 的子集个数为72128 个．30．已知{|15},{|1},RA x xB x a x a a (1)当N x 时，写出集合A 的所有子集，共有多少个？(2)若B A ，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)25a .【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；（2）由集合间的关系列出关于a 的不等式，求解即可.（1）当N x 时，{2,3,4}A =,所以集合A 的子集有,{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{3,4,5} ，所以共有8个子集.（2）因为B A ，所以115a a，解得25a ，所以实数a 的取值范围为25a ．31．设集合 |25A x x ， |121B x m x m .（1）若B A ，求实数m 的取值范围；（2）当x Z 时，求A 的非空真子集个数；（3）当x R 时，不存在元素x 使x A 与x B 同时成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1） 3|m m （2）254（3）|24m m m 或【分析】（1）对集合B 分空集和非空集两种情况讨论得解；（2）当x Z 时， 2,1,0,1,2,3,4,5A ，再求A 的非空真子集个数；（3）分B 和B 两种情况讨论得解.【详解】（1）当121m m ，即2m 时，B ，满足B A .当121m m ，即2m 时，要使B A 成立，只需12,215,m m即23m .综上，当B A 时，m 的取值范围是 3|m m .（2）当x Z 时， 2,1,0,1,2,3,4,5A ，∴集合A 的非空真子集个数为822254 .（3）∵x R ，且 |25A x x ， |121B x m x m ，又不存在元素x 使x A 与x B 同时成立，∴当B ，即121m m ，得2m 时，符合题意；当B ，即121m m ，得2m 时，2,15,m m 或2,212,m m解得4m .综上，所求m 的取值范围是 |24m m m 或.【点睛】本题主要考查集合的关系和真子集的个数的计算，考查集合的元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.32．已知2|3100A x x x ，{|121}B x m x m ，B A ，求m 的取值范围.【答案】,3 【解析】先求解出集合A ，然后根据B A 分别考虑B 和B 的情况，由此求解出m 的取值范围.【详解】因为23100x x ，所以25x ，所以 25A x x ，当B 时，B A 满足，此时211m m ，所以2m ；当B 时，若B A ，则有21112215m m m m，所以23m ，综上可知：3m ，即 ,3m .【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数范围，其中涉及分类讨论的思想，难度一般.根据集合的包含关系求解参数范围时，一定要注意分析集合为空集的情况.33．（1）已知集合 222,133A a a a a ,，当1A ，求2020a 的值；（2）已知集合2202020190A x x x ， B x x a ，若A B ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1；（2） 2019, .【解析】（1）分21a ， 211a ，2331a a 三种情况，分别求得a 的值，再代入验证集合中的元素是否满足互异性可得答案；（2）先求得集合A ，借助数轴可得a 的取值范围．【详解】（1）若21a ，则1a ， 1,0,1A ，不合题意；若 211a ，则0a 或-2，当0a 时， 2,1,3A ，当2a 时， 0,1,1A ，不合题意；若2331a a ，则1a 或-2，都不合题意；因此0a ，所以020201 ．（2） 12019A x x ，A B ∵，∴借助数轴可得2019a，a 的取值范围为 2019, ．【点睛】易错点点睛：由已知集合间的关系，元素与集合间的关系求参数的值时，注意将求得的参数的值代入集合中验证：集合中的元素是否满足互异性.34．已知集合 2|8120A x x x ， 21,23B a a ，2|60C x ax x (1)若集合=A B ，求实数a 的值；(2)若集合C A ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)=5a (2)124a 或=0a 【分析】（1）先化简集合2|8120A x x x ，然后根据条件=A B 即可确定实数a 的值；（2）由条件集合C A 知，集合中至多有2个元素，对集合2|60C x ax x 中的元素个数进行分类讨论即可.（1）易知集合2|8120A x x x 2,6，由=A B 得：212236a a 或216232a a ，解得：=5a .（2）（1）当=0a 时 6C 满足C A ；（2）当0a 时①当Δ1240a 即124a时，C 满足C A ，124a .②当Δ1240a 即124a 时， 21601224C x x x∣，不满足C A .③当Δ1240a 即124a 时，满足C A ，只能=C A ，18612a a无解.综上所述：124a 或=0a .35．已知集合A 为非空数集，定义： ,,,,,S xx a b a b A T x x a b a b A ∣∣(1)若集合 1,3A ，请直接写出集合,S T ：(2)若集合 12341234,,,,A x x x x x x x x ，且T A ，求证：1423x x x x ；【答案】(1)2,4,6,0,2S T (2)见解析【分析】（1）根据题目中的定义直接写出两个集合即可；（2）由 12341234,,,,A x x x x x x x x ，可得4131210x x x x x x ，写出a b 的所有可能取值，再根据集合相等的定义即可得证.（1）解：因为 1,3A ，,,,,,S x x a b a b A T x x a b a b A ∣∣，所以 2,4,6,0,2S T ；（2）证明：由 12341234,,,,,A x x x x x x x x ,,T x x a b a b A ∣，得4131210x x x x x x ，则a b 可取2132433141420,,,,,,x x x x x x x x x x x x ，又因为T A ，所以 2131410,,,T x x x x x x ，剩下的元素满足3243214231x x x x x x x x x x ，所以1423x x x x .36．已知集合22,,Z A x x m n m n .(1)判断8，9，10是否属于集合A ；(2)集合 |21,Z B x x k k ,证明：B 是A 的真子集.【答案】(1)8A ，9A ，10A .(2)证明见解析【分析】（1）根据集合A 的定义即可判断；（2）由 22211k k k 即可证明.【详解】（1）∵22831 ，22954 ，∴8A ，9A ，假设2210m n ，m ，Z n ，则 10m n m n ，且0m n m n ，∵1011025 ，||+||=10||||=1m n m n 或||+||=5||||=2m n m n ，显然均无整数解，∴10A ，∴8A ，9A ，10A .（2）∵集合 |21,Z B x x k k ，则恒有 22211k k k ，∴21k A ，∴即一切奇数都属于A ，故B 是A 的子集.又∵8A ，8B ，所以B 是A 的真子集.37．已知222|280,|120A x x x B x x ax a .(1)若A B ，求a 的值；(2)若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2(2)4a 或4a <-或2a .【分析】（1）先求出集合A ，再利用条件A B ，根据集合与集合间的包含关系，即可求出a 值；（2）对集合B 进行分类讨论：B 和B ，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出a 的范围；【详解】（1）由方程228=0x x ，解得2x 或4x 所以 2,4A ，又A B ，22|120B x x ax a ，所以 2,4B ，即方程22120x ax a 的两根为12x 或24x ，利用韦达定理得到：24a ，即2a ；（2）由已知得 2,4A ，又B A ，所以B 时，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a 或4a <-；当B 时，若B 中仅有一个元素，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a ，当4a 时， 2B ，满足条件；当4a 时， 2B ，不满足条件；若B 中有两个元素，则B A ，利用韦达定理得到，224(2)412a a，解得2a ，满足条件.综上，实数a 的取值范围是4a 或4a <-或2a .38．已知集合 2,6A .(1)若集合 2+123B a a ，，且A B ，求a 的值；(2)若集合260C x ax x ，且A 与C 有包含关系，求a 的取值范围.【答案】(1)5(2)1024a a a或【分析】（1）利用集合相等的条件求a 的值；（2）由A 与C 有包含关系得C A ，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可.【详解】（1）因为 2,6A ，且A B ，所以212236a a 或223216a a ，解得1a a或55a a ，故5a .（2）因为A 与C 有包含关系， 2,6A ，260C x ax x 至多只有两个元素，所以C A .当0a 时， 6C ，满足题意；当0a 时，当C 时，1460a ，解得124a ，满足题意；当 2C 时，1460a 且22260a ，此时无解；当 6C 时，1460a 且26660a ，此时无解；当 2,6C 时，1460a 且2266602260a a，此时无解；综上，a 的取值范围为1024a a a或.。

专题2 集合间的基本关系(解析版)

专题2 集合间的基本关系题组1 集合的包含关系1.已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是()A.P＝QB.P QC.P QD.P∩Q＝∅【答案】B【解析】P＝{x|y＝}＝[－1，＋∞)，Q＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，所以Q P.2.集合M＝，N＝，则M与N的关系为()A.M＝NB.M⊆NC.N⊆MD. 无法判断【答案】C【解析】M中，x＝＋＝N中，x＝k＋＝n＋，k＝n∈Z，∴N⊆M.3.指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.【答案】(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N M.题组2 子集及其运算4.设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是()A.A⊆BB.B⊆AC.B∈AD.A＝B【答案】C【解析】∵A＝{x|x⊆B}，∴A＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A.5.已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，C⊆A，C⊆B，则集合C最多含有________个元素.【答案】3【解析】由题意知C最多含有3个元素：4,5,6.6.已知集合M满足关系{a，b}⊆M⊆{a，b，c，d，e}，写出所有的集合M.【答案】满足条件的集合M可以是以下集合：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，b，c，d，e}，共8个，题组3 子集个数7.若集合A＝{1,2,3}，若集合B⊆A，则满足条件的集合B有()A. 3个B. 7个C. 8个D. 9个【答案】C【解析】由集合B⊆A，则B是A的子集，则满足条件的B有23＝8个，故选C.8.若M⊆P，M⊆Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是()A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M⊆C，这样的集合M共有22＝4个.9.定义集合运算A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，设A＝{0,1,2}，B＝{3,4,5}，则集合A◇B的子集个数为()A. 32B. 31C. 30D. 14【答案】A【解析】∵A＝{0,1,2}，B＝{3,4,5}.又∵A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，∴A◇B＝{3,4,5,6,7}，由于集合A◇B中共有5个元素，故集合A◇B的所有子集的个数为25＝32个.故选A.10.已知a为不等于零的实数，那么集合M＝{x|x2－2(a＋1)x＋1＝0，x∈R}的子集的个数为()A. 1B. 2C. 4D. 1或2或4【答案】D【解析】当Δ＝4(a＋1)2－4＞0时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，所以集合M 的元素有两个，则集合M子集的个数为22＝4个；当Δ＝4(a＋1)2－4＝0即a＝－2时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0有两个相等的实数根，所以集合M 的元素有一个，则集合M子集的个数为21＝2个；当Δ＝4(a＋1)2－4＜0时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0没有实数根，所以集合M为空集，则集合M 的子集的个数为1个.综上，集合M的子集个数为：1或2或4.故选D.11.已知M＝{a|a≤－2或a≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】由(a－2)(a2－3)＝0，可得a＝2或a＝±，∵a∈M，M＝{a|a≤－2或a≥2}，∴A＝{2}.∴A的子集有：∅，{2}.集合A的子集共有2个.故选B.12.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“好元素”.给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()A. 6个B. 12个C. 9个D. 5个【答案】A【解析】要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，(要是不连在一起，分开的那个数就是“好元素”)，故不含“好元素”的集合共有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6种可能.故选A.13.若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为()A. 15B. 16C. 28D. 25【答案】A【解析】具有伙伴关系的元素组有－1,1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，穷举可知个数共15个.故选A.题组4 真子集及其运算14.已知A＝{x|<－1}，B＝{x|x2－4x－m≥0}，若A B，则实数m的取值范围是()A.m≥0B.m≤－3C. －3≤m≤0D.m≤－3或m≥0【答案】B15.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a满足()A.a＜3B.a≤3C.a＞3D.a≥3【答案】D【解析】由A B，结合数轴，得a≥3.16.已知集合A满足{0,1}A{0,1,2,3}，写出满足条件的所有的集合A.【答案】满足条件的集合A即为集合{2,3}的非空真子集，∴集合A有{0,1,2}，{0,1,3}.17.已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围.【答案】(1)若A B，由图可知a＞2.(2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2.题组5 真子集个数18.已知集合A＝{1,2,3,4}，那么A的真子集的个数是()A. 15B. 16C. 3D. 4【答案】A【解析】根据集合的元素数目与真子集个数的关系，n元素的真子集有2n－1个，集合A有4个元素，则其真子集个数为24－1＝15，故选A.19.已知集合S＝{x∈N|－2＜x－1＜4，且x≠1}，则集合S的真子集的个数是()A. 32B. 31C. 16D. 15【答案】D【解析】根据题意，－2＜x－1＜4可化为－1＜x＜5；则集合S＝{x∈N|－2＜x－1＜4，且x≠1}＝{x∈N|－1＜x＜5，且x≠1}＝{0,2,3,4}.其子集共24－1＝16－1＝15个.故选D.20.已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}的非空真子集的个数为()A. 1B. 2C. 4D. 不确定【答案】B【解析】∵集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}，a为给定的实数，关于方程x2－3x－a2＋2＝0，∵Δ＝(－3)2－4(2－a2)＝4a2＋1＞0，∴方程有两个不同的实根，∴集合M中有两个元素，∴集合M的非空真子集的个数为：22－2＝2，故选B.题组6 集合相等的概念21.已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，E＝{x|y＝x2＋1}，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，G＝{x|x≥1}，则()A.P＝FB.Q＝EC.E＝FD.Q＝G【答案】D【解析】∵P＝{y＝x2＋1}是单元素集，集合中的元素是y＝x2＋1，Q＝{y|y＝x2＋1≥1}＝{y|y≥1}，E＝{x|y＝x2＋1}＝R，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，集合中的元素是点坐标，G＝{x|x≥1}.∴Q＝G.故选D.22.设集合A＝{x|y＝x2－4}，B＝{y|y＝x2－4}，C＝{(x，y)|y＝x2－4}，则下列关系：①A∩C＝空集；②A＝C；③A＝B；④B＝C，其中不正确的共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】集合A是数集，它是二次函数y＝x2－4的自变量组成的集合，即A＝R，集合B也是数集，它是二次函数y＝x2－4的值域，即B＝{y|y≥－4}；而集合C是点集，是二次函数图象上所有点组成的集合.因此②③④都不正确.故选C.23.已知集合M＝{a,2,3＋a}，集合N＝{3,2，a2}.若集合M＝N.则a等于()A. 1B. 3C. 0D. 0或1【答案】C【解析】由M＝N得①或②解①得a∈∅，解②得a＝0，此时M＝{0,2,3}，N＝{0,2,3}，满足M＝N.故选C.24.含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a＋b,0}，则a2 009＋b2 009的值为()A. 0B. －1C. 1D. ±1【答案】B【解析】根据题意，对于{a，，1}，有a≠1，a≠0；又有{a，，1}＝{a2，a＋b,0}，则有a＝0或＝0；又由a≠0，故b＝0；代入集合中.可得{a,1,0}＝{a2，a,0}，必有a2＝1，又由a≠1，则a＝－1；则a2 009＋b2 009＝－1，选B.题组7 空集的性质及运算25.下面四个集合中，表示空集的是()A. {0}B. {x|x2＋1＝0，x∈R}C. {x|x2－1＞0，x∈R}D. {(x，y)|x2＋y2＝0，x∈R，y∈R}【答案】B【解析】∵方程x2＋1＝0无实数解，∴{x|x2＋1＝0，x∈R}表示空集.故选B.26.在以下五个写法中：①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈∅；⑤0∩∅＝∅，写法正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】②③正确.27.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}.(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围.【答案】(1)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0化为－3x＋2＝0，解集非空；当a≠0时，要使A是空集，则Δ＝(－3)2－8a＜0，解得a＞.∴使A是空集的a的取值范围是(，＋∞).(2)当a＝0，集合A中有一个元素；当a≠0时，若A中有两个元素，则Δ＝(－3)2－8a＞0，解得a＜.综上，使A中至多只有一个元素的a的取值范围是a＝0或a≥.。

高考数学复习典型题型专题讲解与练习2 集合间的基本关系(解析版)

高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题2 集合间的基本关系题型一判断集合的子集（真子集）个数1．设全集{}2250,Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（）A ．3B ．4C ．7D ．8 【答案】D【解析】由不等式2250x x -≤，解得502x ≤≤，即{}{}2250,0,1,2Q x x x x N =-≤∈=又由P Q ⊆，可得满足条件的集合P 的个数为328=．故选：D2．已知集合{}220|A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．∅ 【答案】B【解析】由集合A 仅有两个子集可知集合A 仅有一个元素.当0m =时,可得方程的解为0x =,此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集当0m ≠时,方程220mx x m -+=有两个相等的实数根,则()22240m ∆=--=,解得1m =或1m =-,代入可解得集合{}1A =或{}1A =-.满足集合A 仅有两个子集综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1- 故选:B3．非空集合P 满足下列两个条件：（1）P ⊊{1，2，3，4，5}，（2）若元素a ∈P ，则6﹣a ∈P ，则集合P 个数是__．【答案】6【解析】根据条件：若元素a ∈P ，则6﹣a ∈P ，将集合{1，2，3，4，5}的元素分成三组：3、1和5、2和4．因为P ⊊{1，2，3，4，5}，当P 中元素只有一个时，P ＝{3}；当P 中元素只有二个时，P ＝{1，5}或{2，4}；当P 中元素只有三个时，P ＝{3，1，5}或{3，2，4}；当P 中元素只有四个时，P ＝{2，4，1，5}；当P 中元素有五个时，P ＝{3，2，4，1，5}不满足题意；综上所述得：则集合P 个数是：6．故答案为：6．4．定义集合运算：{}|,,⊗==-∈∈A B z z x y x A y B ，若集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B ⊗的真子集的个数为_____．【答案】7【解析】由题知：{}3,2,1⊗=---A B 所以集合A B ⊗的真子集个数为3217-=. 故答案为：7题型二判断两个集合的包含关系及参数问题 1．已知集合2|10Ax x ，则下列式子表示正确的有（）①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】因为2{|10}A x x =-=，{1A ∴=-，1}，对于①，1A ∈显然正确；对于②，{1}A -∈，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对；对于③，A ∅⊆，根据空集是任何集合的子集知正确；对于④，{1，1}A -⊆．根据子集的定义知正确．故选：C ．2．已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（） A ．{1}B ．{}3C ．{1,1}-D ．{3,3} 【答案】C【解析】因为B A ⊆，所以21m =，得1m =±，所以实数m 的取值集合为{1,1}-. 故选：C3．若集合A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（）A ．1＜a ＜2B ．1≤a ≤2C．1＜a ＜3D ．1≤a ≤3 【答案】B【解析】∵A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0}，且A ⊆B ， ∴a ＞0，则B ＝{x |a ＜x ＜3a }，∴233a a ≤⎧⎨≥⎩，解得1≤a ≤2，故选：B.4．已知集合{}25A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是____. 【答案】3m ≤【解析】依题意得：当B =∅时，121m m +≥-，即2m ≤.当B ≠∅时，12112215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m <≤.综上，3m ≤.5．写出下列每组中集合之间的关系：（1）A ={x |-3≤x <5}，B ={x |-1<x <2}．（2）A ={x |x =2n -1，n ∈N *}，B ={x |x =2n +1，n ∈N *}．（3）A ={x |x 是平行四边形}，B ={x |x 是菱形}，C ={x |x 是四边形}，D ={x |x 是正方形}．（4）A ={x |-1≤x <3，x ∈Z }，B ={x |x =y ，y ∈A }．【答案】（1）BA ；（2）BA ；（3）DB AC ；（4）B A ．【解析】（1）将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有BA ；（2）当n ∈N *时，由x =2n -1知x =1，3，5，7，9，…．由x =2n +1知x =3，5，7，9，…．故A ={1，3，5，7，9，…}，B ={3，5，7，9，…}，因此B A ；（3）由图形的特点可画出Venn 图，如图所示，从而可得DB AC ；（4）依题意可得：A ={-1，0，1，2}，B ={0，1，2}，所以B A ．6．已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B xm x m =<<-．（1）当1m =-时，求A B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围；（3）若A B =∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}23A B x x ⋃=-<<；（2）2m ≤-；（3）0m ≥．【解析】（1）当1m =-时，{}22B x x =-<<，则{}23A B x x ⋃=-<<；（2）由A B ⊆知122113m m m m ->⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，解得2m ≤-，即m 的取值范围是(],2-∞-；（3）由A B =∅得①若21m m ，即13m ≥时，B =∅符合题意；②若21mm ，即13m <时，需1311m m ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或1323m m ⎧<⎪⎨⎪≥⎩．得103m ≤<或m ∈∅，即103m ≤<．综上知0m ≥题型三两个集合相等求参数1．已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】B【解析】因为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，所以201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩，当1a =时，不满足集合元素的互异性，故1a =-，0b =，()2019201920192019101a b +=-+=-，故选：B.2．设a 、b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=__________．【答案】2【解析】{}1,,0,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，由于b a-有意义，则0a ≠，则有0a b +=，所以，1b a-=-.根据题意有10b a b ba a ⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，因此，()112b a -=--=.故答案为2.3．已知{}2,,2,4,59∈=-+a x R A x x ，{}23,B x ax a =++，{}2(1)3,1C x a x =++-.求：（1）使2B ∈，BA 的 ,a x 的值；（2）使B C =的 ,a x 的值.【答案】（1）2x =，23a =-或=3x ，74=-a ；（2）1x =-，6=-a 或=3x ，2a =- 【解析】（1）因为2B ∈，所以22++=x ax a 又因为BA ，所以259=3-+x x ，解得2x =或=3x当2x =时，422++=a a ，解得23a =-当=3x 时，932++=a a ，解得74=-a所以，2x =，23a =-或=3x ，74=-a ；（2）B C =，221(1)33x ax a x a x ⎧++=∴⎨++-=⎩，解得16x a =-⎧⎨=-⎩或32x a =⎧⎨=-⎩所以，1x =-，6=-a 或=3x ，2a =-.4．由a ，b a，1组成的集合中有3个元素，该集合与由2a ，a+b ，0组成的集合是同一个集合，求20202020a b +的值. 【答案】1【解析】由题意可得集合,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和集合{}2,,0a a b +为相等集合，则由集合中元素的特点和相等集合的概念可得20110b a a a ba a a ⎧=⎪⎪=+⎪⎨=⎪⎪≠⎪≠⎩联立解得：10a b =-⎧⎨=⎩，所以202020202020(1)01a b +=-+=.5．已知集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B a a b =+，若A B =，求20182019a b +的值．【答案】1【解析】解：因为集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B a a b =+，要使b a有意义，则0a ≠又A B =，由集合相等的充要条件及集合中元素的互异性可得2110a a b a⎧⎪=⎪≠⎨⎪⎪=⎩，即10a b =-⎧⎨=⎩，即 20182019a b +=20182019(1)01-+=，故20182019a b +=1.题型四空集性质及应用1．已知集合{}2|320,A x ax x a =∈-+=∈R R .（1）若集合A 是空集，求a 的取值范围；（2）若集合A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个集合A 写出来.【答案】（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）0a =，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或98a =，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 【解析】解析（1）要使集合A 为空集，则方程2320ax x -+=无实数根，当0a =时，得23x =不满足题意；则有0980a a ≠⎧⎨∆=-<⎩解得98a >.故a 的取值范围是9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当0a =时，方程为320x -+=，解得23x =为一个解满足题意，此时23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当0a ≠时，方程为一元二次方程，此时集合A 中只有一个元素的条件是980a ∆=-=，解得98a =，此时43x =，则得43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.综上可得：0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.2．已知集合A ={x |ax 2+2x +1=0，a ∈R }，（1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素；（2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）1a >；（3）0a =或1a ≥【解析】（1）若A 中只有一个元素，则方程ax 2+2x +1=0有且只有一个实根，当a =0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x =-12，当a ≠0，此时△=4-4a =0，解得：a =1，此时x =-1，（2）若A 是空集，则方程ax 2+2x +1=0无解，此时△=4-4a ＜0，解得：a ＞1. （3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是：a =0或a ≥1. 题型五根据集合相等关系进行计算1．设,R a b ∈，集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -等于（） A ．1-B ．1C ．2-D ．2 【答案】D【解析】两个集合相等，则集合中的元素相同，0a ≠ ，所以0a b +=，则1ba=-，那么1b =，和1a =-，所以2b a -=.故选：D2．已知集合{}13A x =,,，{}21B x =-,. （1）若集合{}14M y =,,，A M =，求x y +的值；（2）是否存在实数x ，使得B A ⊆?若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）19x y +=；（2）不存在实数x ，见解析【解析】（1）由题可知4,3,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以16,3,x y =⎧⎨=⎩所以19x y +=.（2）假设存在实数x 使得B A ⊆，则23x -=或2x x -=.若23x -=，则1x =-，此时x 没有意义，舍去.若2x x -=，则()()222x x -=，化简得2540x x -+=，解得1x =或4x =（舍），当1x =时，不符合集合中元素的互异性，舍去. 故不存在实数x ，使得B A ⊆. 3．已知关于x 的方程322126x x a x -+-=-与2136x a x a+--=有相同的解集，求a 的值及方程的解集.【答案】1a =，方程的解集为{1} 【解析】解：方程322126x x a x -+-=-化为63(32)62x x x a --=--，整理，得13152x a =-，解得15213ax -=. 方程2136x a x a+--=化为2(2)()6x a x a +--=, 整理，得336x a =-+，解得2x a =-+.11 / 11 由题意，得152213a a -=-+，解得1a =，所以1x =. 综上，1a =，方程的解集为{1}.4．已知关于x 的方程442313a x x ++=-的解集为A ，关于x 的方程340x a --=的解集为B ，若A B =，求a 的值. 【答案】1a =-【解析】解：由方程442313a x x ++=-，解得4413a x +=+，即4413a A +⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，由方程340x a --=，解得43a x +=，即43a B +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 又A B =，所以444133a a +++=，解得1a =-. 5．若{0,1,2}{1,||,1}a a a a -=--+，求a 的值.【答案】1a =或1a =-.【解析】由题意知，()1当10a -=时，1a =，此时{0,1,2}{0,1,2}-=-符合题意； ()2当11a -=-时，0a =，此时{0,1,0}-不符合集合中元素的互异性，（舍去）； ()3当12a a -=时，1a =-，此时{0,1,2}{2,1,0}--=--，符合题意；综上可知，1a =或1a =-.。

1.2 集合之间的关系

1.子集对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或（B⊇A），读作“A包含于B”或“B包含A”.我们规定，空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集.2.相等的集合对于两个集合A和B，如果A⊆B且B⊆A，那么叫做集合A与集合B相等，记作A=B，读作“集合A等于集合B”.因此，如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等.3.真子集对于两个集合A、B，如果A⊆B，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⫋B，读作“A真包含于B”.4.子集的个数5.韦恩图（文氏图）【例题】判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）A⊆A；（2）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；（3）∅⊆A；（4）A⫋B，B⫋C，则A⫋C.【例题】在下面写法中，错误写法的个数是（）①{0}∈{0,1}；②∅⫋{0}；③{0,-1,1}={1,-1,0};④0∈∅；⑤{（0,0）}={0}.A.2B.3C.4D.5【判别】a与{a}，{0}与∅之间有何区别？【例题】已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0}的子集个数为 . 【例题】设集合A={1,2,3}，B={x|x⊆A}，求集合B.【例题】设集合A={1,2,3}，B={x|x∈A}，求集合B.【例题】已知A={x|x2-2x-3=0}，B={x|ax-1=0}，若B⫋A，试求a的值.【例题】已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0<x<5,x∈N}，则满足A⫋C⫋B的集合的个数是（）A.1B.2C.3D.4【例题】已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a-1}.（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A⫋B，求a的范围.。

《集合间的基本关系》习题

For personal use only in study and research; not forcommercial use《集合间的基本关系》习题一、选择题1．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅⊂≠A ，则A≠∅，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．－1C ．0,1D ．－1,0,13．设B ＝{1,2}，A ＝{x|x ⊆B}，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A4．下列五个写法：①{0}∈{0,1}；②∅⊂≠{0}；③{0，－1,1}{－1,0,1}；④0∈∅；⑤ {(0,0)}＝{0}，其中写法错误的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．55.}0352|{2=--=x x x M ，}1|{==mx x N ，若M N ≠⊂，则m 的取值集合为（）A.{2}-B.13⎧⎫⎨⎬⎩⎭C.12,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D.12,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭6. 满足{1,2,3}{1,2,3,4,5,6}M ⊂⊂≠≠的集合的个数为（）A.5B.6C.7D.8二、填空题7．满足{1}ÜA{1,2,3}的集合A的个数是________．8．已知集合A＝{x|x＝a＋16，a∈Z}，B＝{x|x＝b2－13，b∈Z}，C＝{x|x＝c2＋16，c∈Z}，则A、B、C之间的关系是________．9．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.三、解答题10．下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，分别是哪种图形的集合？11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．12设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}，若B⊆A，求a的值答案一、选择题1.B 解析：空集只有一个子集，就是它本身，空集是任何非空集合的真子集，故仅④是正确的．2.D 解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈)仅有一个根或两个相等的根．(1)当a ＝0时,方程为2x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．(2)当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.3. D 解析:∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，，∴A ＝{x|x ⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，}，∴B ∈A.4. B 解析：只有②③正确.5. D 解析： 1{,3},2M =- （1）0,N m =∅⇒=（2）1{}2,2N m =-⇒=-（3）1{3},3N m =⇒= ∴ 的取值集合为12,0,.3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 6. B 解析：集合M 真包含集合}3,2,1{，M 中一定有元素1，2，3且除此之外至少还有一个元素. 又集合M 真包含于集合}6,5,4,3,2,1{，所以M 中最少有4个元素，最多有5个元素，集合M 的个数等于集合}6,5,4{非空真子集的个数，即6223=-.二、填空题7. 3 解析：A 中一定有元素1，所以A 可以为{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．8. A ÜB ＝C 解析：用列举法寻找规律．9. 1 解析：∵BA ，∴m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴ m ＝1.当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}，满足BA.三、解答题10.解:观察Venn 图，得B 、C 、D 、E 均是A 的子集，且有E ÜD ，D ÜC.梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A ＝{四边形}；梯形不是平行四边形，而菱形、正方形是平行四边形，故B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}；正方形是菱形，故D ＝{菱形}，E ＝{正方形}．11.解：由A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x|－2≤x≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝，则m ＋1>2m －1，即m<2，此时满足B ⊆A.②若B≠，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m>－5，m≤4，m≥3.故3≤m≤4， ∴m 的取值范围是[3,4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈，即不存在m 值使得A ＝B.12.解:(方法一) A ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，由B ⊆A ，得B ＝，或B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2,3}.因为Δ＝(2a ＋1)2－4a 2－4a ＝1>0，所以B 必有两个元素．则B ＝{2,3}，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立，所以a ＝2.综上所述：a ＝2.(方法二) A ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，B ＝{x|x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}＝{x|(x －a)(x －a －1)＝0}＝{a ，a ＋1}，因为a≠a ＋1，所以当B ⊆A 时，只有a ＝2且a ＋1＝3.所以a ＝2仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

高中数学集合之间的关系例题解析新课标人教版必修1(B)

集合之间的关系例题解析
【例1】已知集合M 满足｛1，2｝⊆M ⊆｛1，2，3，4，5｝，求满足条件的集合M 的个数．
解析：由已知集合M 中的元素至少含有1，2两个元素，至多含有1，2，3，4，5五个元素，所以满足条件的集合M 的个数，即为集合｛3，4，5｝子集的个数：23=8．当然也可以根据集合中所含元素的个数进行分类，得到问题的结果．
点评：本题主要考查对子集的概念的理解，让学生体会转化的思想、分类讨论思想方法等．
【例2】设集合A ＝｛x ，x 2，xy ｝，B =｛1，x ，y ｝，且A =B ，求实数x 、y 的值．
解析：由A =B ，得⎩⎨⎧==.,12y xy x ① 或⎩
⎨⎧==.,12xy y x ② 由①可得⎩⎨⎧==,,01y x 由②得⎩⎨⎧==.,11y x （舍），所以⎩⎨⎧==.
,01y x 点评：应深入理解集合中元素的互异性，体会分类讨论的思想方法．
【例3】已知集合A =｛x ｜－2≤x ≤5｝，B =｛x ｜m ＋1≤x ≤2m －1｝，满足B ⊆A ，求实数m 的取值范围．
解析：由于B ⊆A ，我们应该考虑B =φ，B ≠φ两种情况，①B =φ时，m ＋1＞2m —1，m
＜2；②B ≠φ时，我们可以把集合A 、B 标在数轴上，于是有⎪⎩
⎪⎨⎧-≤+-≥+≤-.12121512,,m m m m 解得2≤m ≤3．综
上得m ≤3即为所求．
点评：本题的求解，一要应用数形结合的思想把集合在数轴上直观表示，二要根据B 的不同情况进行分类讨论，应特别注意B =φ，防止遗漏．。

新高考数学复习考点知识提升专题训练2---集合间的基本关系

新高考数学复习考点知识提升专题训练（二）集合间的基本关系(一)基础落实1．下列说法正确的是( ) A ．Q ⊆Z B ．N ∈R C ．N ⊆QD ．Z ⊆N *解析：选C N 表示自然数集，N *表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，因为Z ⊆Q ，N ⊆R ，N ⊆Q ，N *⊆Z ，所以A 、B 、D 错误，C 正确，故选C.2．若x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪yx＝1，则集合A ，B 间的关系为( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝BD ．A ⊆B解析：选B ∵B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪y x ＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，∴BA .3．下列集合中，是集合{1,2}的真子集的是( ) A ．{1,2} B ．∅ C ．{∅}D ．{1,2,3}解析：选B 由题意得：集合{1,2}的真子集为∅，{1}，{2}，故选B. 4．(多选)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，则有( ) A ．∅⊆A B ．－2∈A C ．{0,2}⊆AD ．A ⊆{y |y <3}解析：选ACD 由于空集是任何集合的子集，故A 正确，因为A ＝{0,2}，所以C 、D 正确，B 错误．故选A 、C 、D.5．已知集合M {4,7,8}，且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个D ．6个解析：选D ∵M {4,7,8}，且M 中至多有一个偶数，∴M 可能为∅，{4}，{7}，{8}，{4,7}，{7,8}，共6个，故选D.6．集合A ＝{x ∈N |1≤x <4}的真子集的个数是________．解析：∵A ＝{x ∈N |1≤x <4}＝{1,2,3}，∴A ＝{x ∈N |1≤x <4}的真子集为：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．答案：77．已知∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________．解析：因为∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，即Δ＝1－4a ≥0，解得a ≤14.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ≤148．若集合A ＝{x ∈N |x 2<24}，B ＝{a }，B ⊆A ，则a 的最大值为________．解析：因为自然数集中只有x ＝0,1,2,3,4满足x 2<24，所以A ＝{x ∈N |x 2<24}＝{0,1,2,3,4}，又因为B ＝{a }⊆A ，所以a ∈{0,1,2,3,4}，a 的最大值为4. 答案：49．写出下列每对集合之间的关系： (1)A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,5}； (2)C ＝{x |x 2＝1}，D ＝{x ||x |＝1}； (3)E ＝{x |x <3}，F ＝{x |－1<x ≤2}；(4)G ＝{x |x 是对角线相等且互相平分的四边形}，H ＝{x |x 是有一个内角为直角的平行四边形}．解：(1)因为B 的每个元素都属于A ，而4∈A 且4∉B ，所以B A .(2)不难看出，C和D包含的元素都是1和－1，所以C＝D.(3)在数轴上表示出集合E和F，如图所示：由图可知F E.(4)如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此G⊆H.反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G，因此H⊆G.综上可知，G＝H.10．集合A＝{x|x－4＝0}，集合B＝{x|x2－2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A⊆B，求实数a的值．解：A＝{4}，因为A⊆B，故4∈B，所以16－8(a＋1)＋a2－1＝0，整理得a2－8a＋7＝0，解得a＝1或a＝7.(二)综合应用1．设A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，若A⊆B，则m的取值范围是()A．{m|m＞3} B．{m|m≥3}C．{m|m＜3} D．{m|m≤3}解析：选B因为A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.2．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．A BD ．A B解析：选D 对于集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，当k ＝2m (m ∈Z )时，A ＝{x |x ＝6m ，m ∈Z }，当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，A ＝{x |x ＝6m ＋3，m ∈Z }，又B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，即A B .3．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x ＋1∈Z ，x ∈Z 的真子集个数是________．解析：因为当x ＝－3时，2x ＋1＝－1∈Z ；当x ＝－2时，2x ＋1＝－2∈Z ；当x ＝0时，2x ＋1＝2∈Z ；当x ＝1时，2x ＋1＝1∈Z ，所以满足集合A ＝{－3，－2,0,1}，真子集个数为24－1＝15. 答案：154．已知集合A ，B ，C ，且A ⊆B ，A ⊆C ，若B ＝{1,2,3,4}，C ＝{0,1,2,3}，则所有满足要求的集合A 的各个元素之和为________．解析：∵集合A ，B ，C ，且A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{1,2,3,4}，C ＝{0,1,2,3}， ∴集合A 是两个集合的子集，集合B ，C 的公共元素是1,2,3，∴满足上述条件的集合A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，∴所有满足要求的集合A的各个元素之和为：4(1＋2＋3)＝24.答案：245．已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，存在非空集合C，使C中每个元素加上2就变成了A的一个子集且C中每个元素减去2就变成了B的一个子集，你能确定出集合C的个数是多少吗？解：假设存在满足条件的集合C，则C≠∅，将A中元素都减2，B中元素都加2，则C⊆{0,2,4,6,7}且C⊆{3,4,5,7,10}，由于两个集合的共同元素构成的集合为{4,7}，故非空集合C是{4,7}的子集，即C＝{4,7}或{4}或{7}．故这样的集合有3个．(三)创新发展1．设A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2}，请写出一个满足B⊆C⊆A的集合C＝________.解析：∵A＝{1,2,3,4}，若B⊆C⊆A，∴C＝{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2}或{1,2,3,4}，答案：{1,2,3}(答案不唯一)2．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B，若存在，求出对应的a的值；若不存在，说明理由．(2)若A⊆B成立，列举出对应的实数对(a，b)构成的集合．解：(1)不存在满足题意的实数a .理由如下： ∵A ＝{a －4，a ＋4}，若对于任意实数b 都有A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝2，a ＋4＝1，方程组均无解．∴不存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B . (2)由(1)知，若A ⊆B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝2，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝b ，a ＋4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝b ，a ＋4＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－7或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－6.∴(a ，b )构成的集合为{(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)}．。

集合间的关系练习题及答案

【补充练习】1.判断正误:(1)空集没有子集. ()(2)空集是任何一个集合的真子集. ()(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ()(4)若BA,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B. ()分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错.对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A,则xA时也必有xB.2.集合A={x|-1<x<3,x∈Z},写出A的真子集.分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的子集有2n个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集.解：因-1<x<3,x∈Z,故x=0,1,2,即a={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}.真子集:、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7个.3.(1)下列命题正确的是()A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为()①{1}∈{0,1,2}②{1,-3}={-3,1}③{0,1,2}{1,0,2}④∈{0,1,2}⑤∈{0}A.5B.2C.3D.4(3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是()A.aMB.aMC.{a}∈MD.{a}M分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确,无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排除D.(2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.①应是{1}{0,1,2},④应是{0,1,2},⑤应是{0}.故错误的有①④⑤.(3)M={x|3<x<4},a=π.因3<a<4,故a是M的一个元素.{a}是{x|3<x<4}的子集,那么{a}M.答案：(1)C(2)C(3)D4.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系:(1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z};(2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.解：(1)因A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},故A、B都是由奇数构成的,即A=B. (2)因A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z},又x=4n=2·2n,在x=2m 中,m 可以取奇数,也可以取偶数;而在x=4n 中,2n 只能是偶数.故集合A 、B 的元素都是偶数.但B 中元素是由A 中部分元素构成,则有BA.点评：此题是集合中较抽象的题目.要注意其元素的合理寻求.5.已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足QP,求a 所取的一切值.解：因P={x|x2+x-6=0}={2,-3},当a=0时,Q={x|ax+1=0}=,QP 成立.又当a ≠0时,Q={x|ax+1=0}={a 1-},要QP 成立,则有a 1-=2或a 1-=-3,a=21-或a=31. 综上所述,a=0或a=21-或a=31. 点评：这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论.本题易漏掉a=0,ax+1=0无解,即Q 为空集的情况,而当Q=时,满足QP.6.已知集合A={x ∈R|x2-3x+4=0},B={x ∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0},要使APB,求满足条件的集合P.解：由A={x ∈R|x2-3x+4=0}=,B={x ∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}={-1,1,-4},由A PB 知集合P 非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P 为{1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}.点评：要解决该题,必须确定满足条件的集合P 的元素,而做到这点,必须明确A 、B,充分把握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件.7.设A={0,1},B={x|xA},则A 与B 应具有何种关系？解：因A={0,1},B={x|xA},故x 为,{0},{1},{0,1},即{0,1}是B 中一元素.故A ∈B.点评：注意该题的特殊性,一集合是另一集合的元素.8.集合A={x|-2≤x ≤5},B={x|m+1≤x ≤2m-1},(1)若BA,求实数m 的取值范围;(2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集个数;(3)当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围.解：(1)当m+1>2m-1即m<2时,B=满足BA.当m+1≤2m-1即m ≥2时,要使BA 成立,需⎩⎨⎧>+-≥+51,121m m m 可得2≤m ≤3.综上所得实数m 的取值范围m ≤3. (2)当x ∈Z 时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},所以,A 的非空真子集个数为2上标8-2=254.(3)∵x ∈R,且A={x|-2≤x ≤5},B={x|m+1≤x ≤2m-1},又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立. 则①若B ≠即m+1>2m-1,得m<2时满足条件;②若B ≠,则要满足条件有:⎩⎨⎧>+-≤+51,121m m m 或⎩⎨⎧-<--≤+212,121m m m 解之,得m>4. 综上有m<2或m>4.点评：此问题解决要注意：不应忽略;找A 中的元素;分类讨论思想的运用.。

集合间的基本关系练习题及答案

1．集合{a，b}的子集有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】集合{a，b}的子集有Ø，{a}，{b}，{a，b}共4个，故选D.2．下列各式中，正确的是()A．23∈{x|x≤3} B．23∉{x|x≤3} C．23⊆{x|x≤3} D．{23≤3【解析】23表示一个元素，{x|x≤3}表示一个集合，但23不在集合中，故23∉{x|x≤3}，A、C不正确，又集合{23{x|x≤3}，故D不正确．3．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C.则集合A的个数是________．【解析】若A＝Ø，则满足A⊆B，A⊆C；若A≠Ø，由A⊆B，A⊆C知A是由属于B且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，b}．4．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，求实数a的取值集合．【解析】将数集A表示在数轴上(如图所示)，要满足A⊆B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为{a|a≥4}．一、选择题(每小题5分，共20分)1．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是()A．5 B．6 C．7 D．8【解析】由题意知A＝{0,1,2}，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C.2．在下列各式中错误的个数是()①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}A．1 B．2 C．3 D．4【解析】①正确；②错．因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系；③正确；④正确．两个集合的元素完全一样．故选A.3．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．C．．A⊆B【解析】如图所示，，由图可知，故选C.4．下列说法： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若，则A ≠Ø.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】 ①空集是它自身的子集；②当集合为空集时说法错误；③空集不是它自身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错，④正确．故选B.二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵2－x ＋a ＝0}，∴方程x2－x ＋a ＝0有实根，∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，a ≤14.6．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m2}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.【解析】 ∵B ⊆A ，∴m2＝2m －1，即(m －1)2＝0∴m ＝1，当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}满足B ⊆A.【答案】 1三、解答题(每小题10分，共20分)7．设集合A ＝{x ，y}，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x ，y.【解析】从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性．因为A ＝B ，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去．综上知：x ＝1，y ＝0.8．若集合M ＝{x|x2＋x －6＝0}，N ＝{x|(x －2)(x －a)＝0}，且N ⊆M ，求实数a 的值．【解析】由x2＋x －6＝0，得x ＝2或x ＝－3.因此，M ＝{2，－3}．若a ＝2，则N ＝{2}，此时；若a ＝－3，则N ＝{2，－3}，此时N ＝M ；若a ≠2且a ≠－3，则N ＝{2，a}，此时N 不是M 的子集，故所求实数a 的值为2或－3.9．(10分)已知集合M ＝{x|x ＝m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x|x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝{x|x ＝p 2＋16，p ∈Z }，请探求集合M 、N 、P 之间的关系．【解析】 M ＝{x|x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x|x ＝6m ＋16，m ∈Z }．N ＝{x|x ＝n 2－13，n ∈Z } ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝3n －26，n ∈Z P ＝{x|x ＝p 2＋16，p ∈Z } ＝{x|x ＝3p ＋16，p ∈Z }．∵3n －2＝3(n －1)＋1，n ∈Z .∴3n －2,3p ＋1都是3的整数倍加1，从而N ＝P.而6m ＋1＝3×2m ＋1是3的偶数倍加1， ∴＝P .。

集合间的基本关系(经典练习及答案详解)

集合间的基本关系1．(2020年福建高一期中)现有四个判断：2⊆{1,2}；∅∈{0}；{ 5 }⊆Q ；∅{0}．其中正确的个数是( )A ．2B ．1C ．4D ．3 【答案】B 【解析】元素与集合之间不能用包含关系，故2⊆{1,2}错误；∅与{0}是集合之间的关系，不能用“∈”，故∅∈{0}错误；因为 5 ∉Q ，所以{5}⊆Q 错误；空集是任何非空集合的真子集，故∅{0}正确．故选B ．2．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅【答案】B 【解析】因为A ⊇B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤3，a ＋2≥5.所以3≤a ≤4. 3．(2021年北京期末)下列正确表示集合M ＝{x |x 2－x ＝0}和N ＝{－1,0,1}关系的Venn 图是( )A BC D 【答案】D 【解析】由x 2－x ＝0，解得x ＝0或1，所以M N .故选D ．4．(2020年铜仁高一期中)设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪ 62＋x ∈N ，则集合B 的子集个数为( ) A ．3B ．4C ．8D ．16【答案】D 【解析】根据题意，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪ 62＋x ∈N ＝{－1,0,1,4}，有4个元素，其子集有24＝16个．故选D ．5．(2021年昆明期中)下列各式中，正确的个数是( )①{0}∈{0,2,4}；②{0,2,4}⊆{4,2,0}；③∅⊆{0,2,4}；④∅＝{0}；⑤{0,2}＝{(0,2)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,2,4}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,2}是含有两个元素0与2的集合，而{(0,2)}是以有序数组(0,2)为元素的单元素集合，所以{0,2}与{(0,2)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③正确．6．用符号“∈”或“⊆”填空：若A＝{2,4,6}，则4______A，{2,6}______A．【答案】∈⊆【解析】因为集合A中有4这个元素，所以4∈A，因为2∈A,6∈A，所以{2,6}⊆A．故答案为∈，⊆.7．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．【答案】6【解析】集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．8．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是________．【答案】m≥3【解析】将数集A在数轴上表示出来，如图所示，要满足A⊆B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.9．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，求a的值．解：因为B⊆A，所以a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.经检验，满足题意．当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不合题意．综上所述，a＝－1或a＝2.B级——能力提升练10．(多选)图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，则()A．A为小说B．B为文学作品C ．C 为散文D ．D 为叙事散文【答案】AB 【解析】由Venn 图可得A B ，C D B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．11．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ＝BC ．A BD ．A B【答案】D 【解析】对于x ＝3k (k ∈Z )，当k ＝2m (m ∈Z )时，x ＝6m (m ∈Z )；当k ＝2m －1(m ∈Z )时，x ＝6m －3(m ∈Z )．由此可知A B ．12．(2020年太原高一期中)设集合A ＝{a ，b }，B ＝{0，a 2，－b 2}，若A ⊆B ，则a －b ＝( )A ．－2B ．2C ．－2或2D ．0【答案】C 【解析】因为集合A ＝{a ，b }，B ＝{0，a 2，－b 2}，且A ⊆B ，易知a ≠0且b ≠0.当 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝a 2，b ＝－b 2时，因为a ≠0且b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，此时集合A ＝{1，－1}，集合B ＝{0,1，－1}，符合题意，所以a －b ＝2；当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－b 2，b ＝a 2时，因为a ≠0且b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，此时集合A ＝{1，－1}，集合B ＝{0,1，－1}，符合题意，所以a －b ＝－2.综上所求，a －b ＝2或－2.故选C ．13．(2020年宁波高一期中)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |y ＝12x ＋3∈Z ，则列举法表示集合A ＝________，集合A 的真子集有________个．【答案】{0,1,3,9} 15 【解析】因为集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪ y ＝12x ＋3∈Z ，所以列举法表示集合A ＝{0,1,3,9}，集合A 的真子集有24－1＝15个．故答案为{0,1,3,9},15.14．(2020年安康高一期中)定义集合运算：A ⊗B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊗B 的真子集的个数为________．【答案】7 【解析】因为A ⊗B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }，A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，所以集合A ⊗B ＝{2,3,4}，所以集合A ⊗B 的真子集的个数为23－1＝7.15．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：(1)若A B ，由图可知a >2.故a 的取值范围为{a |a >2}．(2)若B ⊆A ，由图可知1≤a ≤2.故a 的取值范围为{a |1≤a ≤2}．C 级——探究创新练16．已知集合P ＝{x |x 2－3x ＋b ＝0}，Q ＝{x |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}．(1)若b ＝4，是否存在集合M 使得PM ⊆Q ？若存在，求出所有符合题意的集合M ，若不存在，请说明理由；(2)P 能否成为Q 的一个子集？若能，求出b 的值或取值范围，若不能，请说明理由．解：(1)因为集合Q ＝{x |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}＝{x |(x ＋1)(x ＋4)(x －1)＝0}＝{－1,1，－4}，当b ＝4时，集合P ＝∅，再由 P M ⊆Q 可得，M 是Q 的非空子集，共有 23－1＝7 个，分别为{－1}，{1}，{－4}，{－1,1}，{－1,4}，{1,4}，{－1，1，－4}．(2)因为P ⊆Q ，对于方程x 2－3x ＋b ＝0，当P ＝∅，Δ＝9－4b ＜0时，有b ＞94. 当P ≠∅，Δ＝9－4b ≥0时，方程x 2－3x ＋b ＝0有实数根，且实数根是－1,1，－4中的数，若－1是方程x 2－3x ＋b ＝0的实数根，则有b ＝－4，此时P ＝{－1,4}，不满足P ⊆Q ，故舍去；若1是方程x 2－3x ＋b ＝0的实数根，则有b ＝2，此时P ＝{1,2}，不满足P ⊆Q ，故舍去；若－4是方程x 2－3x ＋b ＝0的实数根，则有b ＝－28，此时P ＝{－4,7}，不满足P ⊆Q ，故舍去．综上可得，实数b 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫b ⎪⎪b ＞94.。

1.2 集合之间的关系(含答案)

【课堂例题】例1。

设,,A B C 是三个集合，若A B ⊆且B C ⊆，试证A C ⊆.例2。

试判定下列两个集合的包含关系或相等关系并简述理由。

（1）∅ {|23}x x -<<-;（2）{|5}x x > {|6}x x >；（3）{|n n 是12的正约数} {1,2,3,4,6,8,12}；(4){|n n 是4的正整数倍} {|2,}n n k k Z +=∈.例3.求出所有符合条件的集合C（1）{1,2,3}C ⊆；(2){,}Ca b ;（3）{1,2,3}{1,2,3,4,5}C ⊆.（选用)例4.已知{|21,},{|A x x k k Z B x x ==+∈=是被4除余3的整数},判断,A B 之间的关系并证明之。

.【知识再现】1。

对于两个集合A 与B ,（1）如果，那么集合A 叫做集合B 的子集,记作________或________，读作或者_________________；（2)如果A 是B 的子集并且___________________________________，那么集合A 与集合B 相等，记作 ;(3）如果A 是B 的子集并且___________________________________,那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作____________或______________.2。

空集∅是__________________的子集；空集∅是__________________的真子集。

【基础训练】1.(1）下列写法正确的是（）（A){0}∅ （B ）0∅ (C ）{0}∅∈ (D ）0∈∅(2)下列四个关于空集的命题中：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ⊂∅≠,则.A ≠∅ 其中正确的个数是（）（A)0 （B ）1 （C ）2 （D ）32.用恰当的符号填空（,,=⊆⊇）（1）{1,3,5} {5,1,3}； (2）{|(3)(2)0}x x x -+= 3{|0}3x x x -=+；（3）{|2}x x > {|2}x x ≥; （4）{|,}2n x x n Z =∈ 1{|,}2x x n n Z =+∈。

集合之间的关系例题习题解答(二)

例题3讲解
例题3：已知集合P={x/x＜-1或x＞4} , Q={x/a+1≤x≤2a-1},若Q⊊P，求a的取值。解： ①当Q=Ø 时，显然有Q⊊P，此时有a+1＞2a-1 解得：a ＜2. a+1≤ 2a-1 a+1 ≤2a-1 ②当Q≠Ø 时，需或 2a-1 ＜-1
a+1 ＞4
解得：a ＞3
所以，若Q⊊P，则a的取值是： a ＜2或a ＞3
例题4、含三个实数的集合可表示为｛a，b/a， 1}，也可以表示为｛a2，a+b，0}，则 a2010+b2010的值是？解：因为b/a成立，则a不为0，则b/a为0，则b 为0。若a的平方=a则a=1或a=0(舍) 若a的平方=1 则a=-1或a=1 所以a的集合为{-1 ，1} 所以原式为1
例题5、含有三个实数的集合可表示为{a，ba， 1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2009+b2009 的值为（）A．0；B．-1；C．1； D．±1 解：根据题意，对于{a，ba，1}，有a≠1，a≠0；又有{a，ba，1}={a2，a+b，0}，则有a=0或ba=0；又由a≠0；故b=0；代入集合中．可得{a，1，0}={a2，a，0}，必有a2=1，又由a≠1，则a=-1；则a2009+b2009=-1，选B．
例题6、已知集合A={x/x＜-1或x＞2},B={x+k＜ 0},若B⊆A，则实数k的取值范围是（）。解：A={x/x<-1, 或 x>2}, A为两个区间 B={x/ x<-k}， B为一个区间 B⊆A, 则只能是x<-k位于区间x<-1内，即- k≤-1, 得k≥1

集合间的关系(精炼)(解析版)

1.2 集合间的关系【题组一集合关系的判断】1．（2020·浙江高一课时练习）下列关系中，正确的个数是（）. ①{}00∈；②∅ {0}，；③{}(){}0,10,1⊆；④(){}(){},,a b b a =.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①，0是集合{}0中的元素，即{}00∈，故正确；对于②，空集是任何非空集合的真子集，故∅ {0}，故正确；对于③，集合{}0,1中的元素为0，1，集合(){}0,1中的元素为()0,1，故错误；对于④，集合(){},a b 中的元素为(),a b ，集合(){},b a 中的元素为(),b a ，故错误.故选：B2．（2020·浙江高一课时练习）设,x y ∈R ，{(,)|}A x y y x ==，(,)|1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A ，B 的关系是________. 【答案】B A【解析】由集合{(,)|}A x y y x ==可得集合A 中元素代表直线y x =上所有的点，由(,)|1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，∵1y x =可化为(0)y x x =≠，可得集合B 中元素代表y x =上除去(0,0)点的两条射线，则可得集合B 是集合A 的真子集，即B A.故答案为：B A. 3．（2020·浙江高一单元测试）已知集合1A={x|x=(21),}9k k Z +∈，41B={x|x=,}99k k Z ±∈，则集合A ，B 之间的关系为________．【答案】A=B【解析】对于集合A ，k=2n 时，()14141,999n x n n Z =+=+∈ ，当k=2n -1时，()141421,999n x n n Z =-+=-∈ 即集合A=41,99n x x n Z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭ ,由B=41,99k x x k Z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭可知A=B ，故填：A=B. 【题组二（真）子集的个数】1．（2020·湖南天元株洲二中高二月考（文））下列集合中，是集合{}2|5A x x x =<的真子集的是（） A ．{}2,5 B ．()6+∞， C ．()0,5 D ．()1,5【答案】D【解析】(0,5)A =, 真子集就是比A 范围小的集合;故选D2．（2020·湖南雁峰衡阳市八中高一月考）集合{}2x x <的真子集可以是（） A ．[)2,+∞ B ．(),2-∞ C ．(]0,2 D ．{}1,0,1-【答案】D【解析】因为{}2|2x x ∉<，则可排除A,C ；由(){},22x x -∞=<，可排除B ；故选:D.3．（2020·全国高三月考（文））已知集合{|(1)(3)0}A x x x =-+≤，则下列集合中是集合A 的真子集．．．的是（）A ．1{|}3x x ≤≤-B ．{|13}x x -≤≤C ．{0,1,2,3}D ．{2,0,1}-【答案】D【解析】因为{|(1)(3)0}{|31}A x x x x x =-+≤=-≤≤，由集合的子集和真子集的概念知选项D 正确.故选：D.4．（2019·全国高三二模（文））集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个 B ．3个 C ．4个 D ．7个【答案】B【解析】由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=，所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ．5．（2020·陕西新城西安中学高三一模（文））已知集合M 满足{}1,2M ⊆ {}1,2,3,4，则集合M 的个数是（） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】由于集合M 满足{}1,2M ⊆ {}1,2,3,4，所以集合M 的可能取值为{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4，共3种可能.故选：B6．（2020·全国高一月考）若集合{}1,2A =，{}0,1,2,3,4B =，则满足A M B ⊆⊆的集合M 的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】集合{}1,2A =，{}0,1,2,3,4B =，则满足A M B ⊆⊆的集合M 有：{}1,2、{}0,1,2、{}1,2,3、{}1,2,4、{}0,1,2,3、{}0,1,2,4、{}1,2,3,4、{}0,1,2,3,4，共8个.故选：D. 【点睛】本题考查集合子集的列举，属于基础题.7．（2019·五华云南师大附中高三月考（文））已知集合41M x x N x ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭，，则M 的非空子集的个数是（） A ．15 B ．16C ．7D ．8【答案】C【解析】{}1,2,3M =,所以M 的非空子集为{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3共7个，故选C.8．（2020·浙江高一课时练习）已知A ⊆{0,1,2,3}，且A 中至少有一个奇数，则这样的集合A 共有（） A ．11个 B ．12个C ．15个D ．16个【答案】B【解析】根据题意，分A 中有1个奇数或2个奇数两种情况讨论，由排列组合知识易得每种情况下的集合A 数目，由分步计数原理计算可得答案解：根据题意，A 中至少有一个奇数，包含两种情况，A 中有1个奇数或2个奇数，若A 中含1个奇数，有C 21×22=8， A 中含2个奇数：C 22×22=4，由分类计数原理可得．共有8+4=12种情况；故选B ．【题组三集合相等与空集】1．下列集合中表示同一集合的是（）A ．(){}3,2M =，(){}2,3N =B ．{}3,2M =，{}2,3N =C ．(){},1M x y x y =+=，{}1N y x y =+= D ．{}1,2M =，(){}1,2N =【答案】B【解析】对于A 选项，点()3,2和点()2,3不是同一个点，则M N ；对于B 选项，集合M 和N 中的元素相同，则MN ；对于C 选项，集合M 为点集，集合N 为数集，则M N ；对于D 选项，集合M 为数集，集合N 为点集，则M N .故选：B.2．已知集合2{0,1,}=A a ，{1,0,23}=+B a ，若A B =，则a 等于（） A ．-1或3 B ．0或-1C ．3D ．-1【答案】C【解析】由于A B =，故223a a =+，解得1a =-或3a =.当1a =-时，21a =，与集合元素互异性矛盾，故1a =-不正确.经检验可知3a =符合.故选C.3．已知,a b R R ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192020a b +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B 【解析】∵{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，又0a ≠，00b b a ∴=⇒=，2{,0,1}{,,0}a a a ∴=，211a a =⇒=±当1,0a b ==时，,,1{1,0,1}b a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，不符合集合元素的互异性，故舍去；当1,0a b =-=时，{1,0,1}{1,1,0}-=-，符合题意.∴201920201a b +=-.故选：B4．已知集合{}1,2A =，()(){}|10,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为（） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-2【答案】A【解析】由题意得()(){}{}|10,1,B x x x a a R a =--=∈=，因为A B =，所以2a =. 故选：A5．（2020·上海市进才中学高二期末）已知集合{}121Q x k x k =+≤≤-=∅，则实数k 的取值范围是________．【答案】(),2-∞ 【解析】{}121Q x k x k =+≤≤-=∅，121k k ∴+>-，解得2k <.因此，实数k 的取值范围是(),2-∞.故答案为：(),2-∞. 【题组四已知集合关系求参数】1．（2020·全国高一）已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（）A ．2B ．0C ．0或2D ．1【答案】B【解析】由题意，集合2{|}{0,1}A x x x ===，因为A B ⊆，所以0m =，故选B. 2．（2020·浙江高一单元测试）若{}2{1,4,},1,A x B x ==且B A ⊆，则x =（）． A ．2± B ．2±或0C ．2±或1或0D ．2±或±1或0【答案】B【解析】因为B A ⊆，所以24x =或2x x =，所以2x =±、1或0．根据集合中元素的互异性得2x =±或0.故选：B3．（2019·浙江南湖嘉兴一中高一月考）设集合{}{}|32,|2121A x x B x k x k =-≤≤=-≤≤+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是____________．【答案】1|12k k ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】：依题意可得13211{{1121222k k k k k ≥--≤-⇒⇒-≤≤+≤≤．4．（2020·天津市第五中学高二期中）已知集合{}2|20,A x ax x a a R =++=∈，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是( )A ．1B ．1-C ．0，1D ．1-，0，1【答案】D【解析】集合A 有且仅有两个子集,即为∅和集合A 本身,故集合A 中的元素只有一个,即方程220ax x a ++=只有一个解,当0a =时, 原方程为20x =,即0x =,符合题意；当0a ≠时，令22240a ∆=-=,1a ∴=± 综上,1a =-，0a =或1a =可符合题意故选D5．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（文））已知集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是____．【答案】(],3-∞【解析】根据题意得：当 B =∅时，121m m +≥-，即2m ≤.当B ≠∅时，12112215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m <≤.综上，3m ≤.故答案为：(],3-∞.6．（2020·全国高一）{}223|0 A x x x =--=，{}|1B x ax ==，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合M =______________【答案】11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】∵B A ⊆，{}{}22|1,330 A x x x =--=-=若0a =，则B =∅，满足题意，当0a ≠，{}1|1B x ax a ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，，∴11a =-或13a=， ∴1a =-或13a =∴B A ⊆∴综上所述11,0,3M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭故答案为：11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.7．（2020·全国高一）若集合A 满足{}121,3,,A x y x N y N x **≠⎧⎫⊆⊂=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 的个数有_______个. 【答案】15 【解析】因为{}12,,1,2,3,4,6,12x y x N y N x **⎧⎫=∈∈=⎨⎬⎩⎭， {}121,3,,A x y x N y N x **≠⎧⎫⊆⊂=∈∈⎨⎬⎩⎭，所以集合A 中含有1,3这两个元素，那么集合A 的个数就相当于集合{}2,4,6,12的真子集个数，即42115-=个.故答案为：158．（2020·浙江高一课时练习）已知集合{|12},{|||1}A x ax B x x =<<=<，是否存在实数a ，使得A B ⊆.若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】存在；0a =或2a ≥或2a ≤-.【解析】∵{}|11B x x =-<<，而集合A 与a 的取值范围有关. ①当0a =时，A =∅，显然A B ⊆.②当0a >时，12A x x a a ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭， ∵A B ⊆，如图1所示，∴11,21,aa⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴2a ≥.③当0a <时，21A xx a a ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∵A B ⊆，如图2所示，∴11,21,aa⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∴2a -.综上可知，所求实数a 的取值范围为0a =或2a ≥或2a ≤-.9．（2020·浙江高一单元测试）设集合A {x |a 1x 2a,a R}=-<<∈，不等式2x 2x 80--<的解集为B ．()1当a 0=时，求集合A ，B ；()2当A B ⊆时，求实数a 的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2. 【解析】（1）当0a =时，{}10A x x =-<<2280x x --< {}24B x x ⇒=-<<（2）若A B ⊆，则有：①当A =∅，即21a a ≤-，即1a ≤-时，符合题意，②当A ≠∅，即21a a >-，即1a >-时，有1224a a -≥-⎧⎨≤⎩ 12a a ≥-⎧⇒⎨≤⎩解得：12a -<≤ 综合①②得：2a ≤10（2020·全国高一课时练习）若关于x 的方程2210x x m +-+=的解集为空集，试判断关于x 的方程2121x mx m ++=的解集情况．【答案】两个不等的实数根【解析】∵方程2210x x m +-+=的解集为空集， ∴此方程的判别式2241(1)0m ∆=-⨯⨯-+<，解得0m <．而方程2121x mx m ++=的根的判别式2241(121)484m m m m '∆=-⨯⨯-=-+．∵0m <，∴20,480m m >->． ∴24840m m -+>，即0'∆>，∴方程2121++=有两个不等的实数根，x mx m即方程的解集中含有两个元素．。

集合间的基本关系试题(含答案)

一、选择题1．对于集合A ，B ，“A ⊆B ”不成立的含义是( )A ．B 是A 的子集B ．A 中的元素都不是B 的元素C ．A 中至少有一个元素不属于BD ．B 中至少有一个元素不属于A[答案] C[解析] “A ⊆B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C.2．集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}，P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}那么( )A ．P MB ．M PC ．M ＝PD ．M P [答案] C[解析] 由xy >0知x 与y 同号，又x ＋y <0∴x 与y 同为负数∴⎩⎨⎧ x ＋y <0xy >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <0y <0∴M ＝P . 3．设集合A ＝{x |x 2＝1}，B ＝{x |x 是不大于3的自然数}，A ⊆C ，B ⊆C ，则集合C 中元素最少有( )A ．2个B ．4个C ．5个D ．6个[答案] C[解析] A ＝{－1,1}，B ＝{0,1,2,3}，∵A ⊆C ，B ⊆C ，∴集合C 中必含有A 与B 的全部元素－1,0,1,2,3，故C 中至少有5个元素．4．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ⊆A ，则满意条件的实数x 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析]∵B⊆A，∴x2∈A，又x2≠1∴x2＝3或x2＝x，∴x＝±3或x＝0.故选C.5．已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是()A．M P B．P MC．M＝P D．M、P互不包含[答案] D[解析]由于两集合代表元素不同，因此M与P互不包含，故选D.6．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}；集合A满意A⊆B，A⊆C.则满意条件的集合A的个数是()A．8 B．2C．4 D．1[答案] C[解析]∵A⊆B，A⊆C，∴集合A中的元素只能由a或b构成．∴这样的集合共有22＝4个．即：A＝∅，或A＝{a}，或A＝{b}或A＝{a，b}．7．设集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，则()A．M＝N B．M NC．M N D．M与N的关系不确定[答案] B[解析]解法1：用列举法，令k＝－2，－1,0,1,2…可得M＝{…－34，－14，14，34，54…}，N＝{…0，14，12，34，1…}，∴M N，故选B.解法2：集合M的元素为：x＝k2＋14＝2k＋14(k∈Z)，集合N的元素为：x＝k4＋12＝k＋24(k∈Z)，而2k＋1为奇数，k＋2为整数，∴M N，故选B.[点评]本题解法从分式的结构动身，运用整数的性质便利地获解．留意若k是随意整数，则k＋m(m是一个整数)也是随意整数，而2k＋1,2k－1均为随意奇数，2k 为随意偶数．8．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是()A．16 B．8C．7 D．4[答案] C[解析]因为0≤x<3，x∈N，∴x＝0,1,2，即A＝{0,1,2}，所以A的真子集个数为23－1＝7.9．(09·广东文)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()[答案] B[解析]由N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}得，N M，选B.10．假如集合A满意{0,2}A⊆{－1,0,1,2}，则这样的集合A个数为()A．5 B．4C．3 D．2[答案] C[解析]集合A里必含有元素0和2，且至少含有－1和1中的一个元素，故A＝{0,2,1}，{0,2，－1}或{0,2,1，－1}．二、填空题11．设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{矩形}，E＝{多边形}，则A 、B 、C 、D 、E 之间的关系是________．[答案] A D B C E[解析] 由各种图形的定义可得．12．集合M ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈N *}，P ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈N *}，则集合M 与集合P 的关系为________．[答案] M P[解析] P ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈N *}＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈N *}∵a ∈N * ∴a －2≥－1，且a －2∈Z ，即a －2∈{－1,0,1,2，…}，而M ＝{x |x ＝a 2＋1，a ∈N *}，∴M P .13．用适当的符号填空．(∈，∉，⊆，⊇，，，＝) a ________{b ，a }；a ________{(a ，b )}；{a ，b ，c }________{a ，b }；{2,4}________{2,3,4}；∅________{a }．[答案] ∈，∉，，， *14.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝a ＋16，a ∈Z ， B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }．则集合A ，B ，C 满意的关系是________(用⊆，，＝，∈，∉，⃘中的符号连接A ，B ，C )．[答案] A B ＝C[解析] 由b 2－13＝c 2＋16得b ＝c ＋1，∴对随意c ∈Z 有b ＝c ＋1∈Z .对随意b ∈Z ，有c ＝b －1∈Z ，∴B ＝C ，又当c ＝2a 时，有c 2＋16＝a ＋16，a ∈Z .∴A C .也可以用列举法视察它们之间的关系．15．(09·北京文)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，假如k－1∉A，那么k 是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的全部集合中，不含“孤立元”的集合共有______个．[答案] 6[解析]由题意，要使k为非“孤立元”，则对k∈A有k－1∈A.∴k最小取2.k－1∈A，k∈A，又A中共有三个元素，要使另一元素非“孤立元”，则其必为k ＋1.所以这三个元素为相邻的三个数．∴共有6个这样的集合．三、解答题16．已知A＝{x∈R|x＜－1或x＞5}，B＝{x∈R|a≤x＜a＋4}，若A B，求实数a的取值范围．[解析]如图∵A B，∴a＋4≤－1或者a＞5.即a≤－5或a＞5.17．已知A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋a<0}，当B⊆A时，求实数a的取值范围．[解析]∵A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋a<0}＝{x|x<－a 4}，∵A⊇B，∴－a4≤－1，即a≥4，所以a的取值范围是a≥4.18．A＝{2,4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3,1}，a、x∈R，求：(1)使A＝{2,3,4}的x的值；(2)使2∈B，B A成立的a、x的值；(3)使B＝C成立的a、x的值．[解析](1)∵A＝{2,3,4} ∴x2－5x＋9＝3解得x ＝2或3(2)若2∈B ，则x 2＋ax ＋a ＝2又B A ，所以x 2－5x ＋9＝3得x ＝2或3，将x ＝2或3分别代入x 2＋ax ＋a ＝2中得a ＝－23或－74(3)若B ＝C ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋a ＝1①x 2＋(a ＋1)x －3＝3② ①－②得：x ＝a ＋5 代入①解得a ＝－2或－6此时x ＝3或－1.*19.已知集合A ＝{2,4,6,8,9}，B ＝{1,2,3,5,8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集，若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C .[解析] 由题设条件知C ⊆{0,2,4,6,7}，C ⊆{3,4,5,7,10}，∴C ⊆{4,7}，∵C ≠∅，∴C ＝{4}，{7}或{4,7}．。

1.2 集合间的基本关系(原卷版附答案) (2).pdf

【解答】解：由已知可得 P {x | 2 x 10},
非空集合 S {x |1 m„ x„ 1 m} ,所以1 m„ 1 m , 2m… 0 ,所以 m… 0 , 若 S 是 P 的子集,
1 m„ 2 故 1 m…10 ,
m… 0
解得 0 m 3 ．
13．（2019 秋•临汾期末）已知集合 A {a , a 1} , B {2 , y} , C {x |1 x 1 4} ．（1）若 A B ,求 y 的值；（2）若 A C ,求 a 的取值范围．【分析】（1）若 a 2 ,则 A {1 , 2} ,若 a 1 2 ,则 a 3 , A {2 , 3} ,由此能求出 y 的值．（2）由 C {x |1 x 1 4} {x | 2 x 5} ,集合 A {a , a 1} , A C ,列出不等式组能求出 a 的取值范围．【解答】解：（1）若 a 2 ,则 A {1 , 2} , y 1．若 a 1 2 ,则 a 3 , A {2 , 3} , y 3 ．
( )
A． ( ,1]
B． [1 , )
C． ( , 1]
D．[1 , )
3．（2019 秋•龙凤区校级月考）设集合 A {x | ax2 ax 1 0} 若 A 为空集,则实数 a 的取值范围是 ( )
A． (4, 0)
B． (4 , 0]
C．[4 , 0)
D．[4 , 0]
4．（多选）（2019 秋•市中区校级月考）给出下列关系,其中正确的选项是 ( )
5．（2019
秋•桥东区校级月考）已知集合
A
1
,
a
,
2
,
B
{b
,
ba
,
1}
,若

集合关系练习题及答案

集合关系练习题及答案集合关系是数学中的一个重要概念，它涉及到集合之间的包含、相等、子集等关系。

以下是一些集合关系的练习题及答案，供同学们学习和练习。

# 练习题1：判断下列集合之间的关系设集合 A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，C = {1, 2, 3, 4}。

1. A 是否是 B 的子集？2. B 是否是 A 的子集？3. C 是否是 A 的子集？4. A 和 B 是否相等？# 答案1：1. A 不是 B 的子集，因为 A 中的元素 1 和 2 不在 B 中。

2. B 不是 A 的子集，因为 B 中的元素 4 和 5 不在 A 中。

3. C 是 A 的子集，因为 A 中的所有元素都在 C 中。

4. A 和 B 不相等，因为它们包含不同的元素。

# 练习题2：求集合的交集和并集设集合 D = {1, 2, 5}，E = {2, 3, 5, 7}。

1. 求 D 和 E 的交集。

2. 求 D 和 E 的并集。

# 答案2：1. D 和 E 的交集是 {2, 5}，因为这两个元素同时出现在 D 和 E 中。

2. D 和 E 的并集是 {1, 2, 3, 5, 7}，包含了 D 和 E 中的所有元素。

# 练习题3：使用韦恩图表示集合关系使用韦恩图表示以下集合的关系：集合 F = {1, 3, 5, 7}，G = {2, 4, 6, 8}，H = {3, 4, 5, 6}。

# 答案3：韦恩图是一种图形化表示集合之间关系的工具。

在这个例子中，F、G和 H 没有共同元素，因此它们的韦恩图将显示三个不相交的集合。

# 练习题4：求集合的补集设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，I = {2, 4, 6, 8}。

1. 求 I 在 U 中的补集。

2. 如果 J = {1, 3, 5, 7, 9}，求 J 在 U 中的补集。

# 答案4：1. I 在 U 中的补集是 {1, 3, 5, 7, 9}，因为这些元素在 U 中但不在 I 中。

第1章 1.1.2 集合间的基本关系(解析版)

第1章 1.1.2 集合间的基本关系一．选择题1．已知集合{|6A x x =<且*}x N ∈，则A 的非空真子集的个数为A ．30B ．31C ．62D ．63【答案】A 【解析】集合{|6A x x =<且*}{1x N ∈=，2，3，4，5}，故A 的子集个数为5232=，非空真子集个数为30．故选A ．2．集合{|22}A x Z x =∈-<<的子集个数为A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】{|22}{1A x Z x =∈-<<=-，0，1}， ∴集合A 的子集个数为328=个，故选D ．3．已知集合{0A =，1}，{B m =，1，2}，若A B ⊆，则实数m 的值为A ．2B ．0C ．0或2D ．1【答案】B 【解析】集合{0A =，1}，{B m =，1，2}，A B ⊆，0m ∴=，故实数m 的值为0．故选B ．4．设集合{|21M x x k ==+，}k Z ∈，{|2N x x k ==+，}k Z ∈，则A ．M NB ．M N =C ．N MD ．M N =∅【答案】A 【解析】集合{|21M x x k ==+，}{k Z ∈=奇数}，{|2N x x k ==+，}{k Z ∈=整数}，M N ∴．故选A ．5．设a ，b R ∈，集合{1，a b +，}{0a =，b a ，}b ，则b a -= A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】C 【解析】根据题意，集合{1,,}{0,,}b a b a b a +=，又0a ≠，0a b ∴+=，即a b =-， ∴1b a=-， 1b =；故1a =-，1b =，则2b a -=，故选C ．6．已知集合22{(,)|3A x y x y =+，x N ∈，}y Z ∈，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】x N ∈， 0x ∴=时，1y =-，0，11x =时，1y =-，0，11x >时，不存在实数解x∴共有6种故选D ．7．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}y A x∈，则集合B 所含元素个数为A ．3B ．6C ．8D ．10 【答案】D 【解析】集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}y A x∈， {(1,2)B ∴=，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)}， ∴集合B 所含元素个数为10．故选D ．8．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ∅，则A ≠∅．其中正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】在①中，空集的子集是空集，故①错误；在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误；在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；在④中，若A ∅，则A ≠∅，故④正确．故选B ．9．已知集合{2A =-，3，1}，集合{3B =，2}m ，若B A ⊆，则实数m 的取值集合为A ．{1}B ．C ．{1，1}-D ．【答案】C【解析】{2A =-，3，1}，{3B =，2}m ，若B A ⊆，则21m =1m ∴=或1m =-实数m 的取值集合为{1，1}-故选C ．10．满足{1}{1X ⊆⊂，2，3，4，5}的集合X 有A ．15个B ．16个C ．18个D ．31个【答案】A 【解析】根据子集的定义，可得集合X 必定含有1这个元素，可能含有2、3、4、5，但不能是{1，2，3，4，5}．因此，满足条件的集合X 有：42115-=个．故选A ．二．填空题11．已知集合{0A =，2，3}，{|B x x a b ==，a ，}b A ∈，则集合B 的子集个数为．【答案】16【解析】{0A =，2，3}，{|B x x a b ==，a ，}b A ∈， {0B ∴=，4，6，9}．所以集合B 中的子集个数为4216=个．故答案为：16．12．已知集合{|13}A x x =-<<，{|}B x m x m =-<<，若B A ⊆，则m 的取值范围为．【答案】(-∞，1]【解析】集合{|13}A x x =-<<，{|}B x m x m =-<<，若B A ⊆，则A 集合应含有集合B 的所有元素，讨论B 集合：（1）当B =∅时，m m -，即：0m ，（2）当B ≠∅时，则由数形结合可知：需B 集合的端点a 满足： ①m m -<，②1m --，③3m ，三个条件同时成立．解得：01m <综上由（1）（2）可得实数m 的取值范围为：1m 即：(-∞，1]故答案为：(-∞，1]13．设集合{1A =-，}a ，{2B =，}b ，若A B =，则a b += ．【答案】1【解析】根据已知条件得：2a =，1b =-，1a b ∴+=；故答案为：1．14．设{1M =，2，3，⋯，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x A ∈时，15x A ∉，则A 中元素的个数最多是．【答案】1870【解析】199515133=⨯．故取出所有不是15的倍数的数，共1862个，这些数均符合要求．在所有15的倍数的数中，215的倍数有8个，这些数又可以取出，这样共取出了1870个．即||1870A ．又{k ，15}(9k k =，10，11，⋯，133)中的两个元素不能同时取出，故||199513381870A -+=．故答案为：1870．15．设集合{|32}A x x =-，{|2121}B x k x k =-+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是．【答案】112k - 【解析】2121k k -+恒成立，B ∴≠∅，因为A B ⊇，∴213212k k --⎧⎨+⎩，解得112k - 故答案为：112k-．三．解答题16．（1）已知集合2{|310A x ax x =-+=，}a R ∈，若A 中只有一个元素，求a 的取值范围．（2）集合2{|650}A x x x =-+<，{|3243}C x a x a =-<<-，若C A ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）0a =或94a =；（2）2a【解析】（1）若A 中只有一个元素，则方程2310ax x -+=有且只有一个实根当0a =时方程为一元一次方程，满足条件当0a ≠，此时△940a =-=，解得：94a =0a ∴=或94a =；（2）2{|650}{|15}A x x x x x =-+<=<<， C A ⊆，当C =∅时，3243a a ->-，解得1a <；当C ≠∅时∴321435a a -⎧⎨-⎩ 解得：2a .17．已知集合2{|40}A x x =-=，集合{|20}B x ax =-=，若B A ⊆，求实数a 的取值集合．【答案】{1，1-，0}【解析】2402x x -=⇒=±，则{2A =，2}-，若B A ⊆，则B 可能的情况有B =∅，{2}B =或{2}B =-，若B =∅，20ax -=无解，此时0a =，若{2}B =，20ax -=的解为2x =，有220a -=，解可得1a =，若{2}B =-，20ax -=的解为2x =-，有220a --=，解可得1a =-，综合可得a 的值为1，1-，0；则实数a 的取值集合为{1，1-，0}．18．已知集合2{|3100}A x x x =--．（Ⅰ）若{|621}B x m x m =--，A B ⊆，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若{|121}B x m x m =+-，B A ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）[3，4]；（Ⅱ）(-∞，3]．【解析】集合2{|3100}{|25}A x x x x x =--=-，（Ⅰ）A B ⊆，∴62215m m --⎧⎨-⎩，解得：34m ，∴实数m的取值范围为：[3，4]；（Ⅱ）B A⊆，①当B=∅时，121m m+>-，即2m<，②当B≠∅时，12112215m mmm+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩，解得：23m，综上所述，实数m的取值范围为：(-∞，3]．。

1 1.2 集合间的基本关系纯答案

1．2集合间的基本关系答案答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√答案：D解析：选B.因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以C⊆B.解析：选B.A，D选项各有一个元素，C项中有无穷多个元素，x2＋1＝0无实数解，故选B.解析：因为A⊆B，所以a＋3＝1，即a＝－2.答案：－2集合间关系的判断【解】(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A≠⊂B.(3)正方形是特殊的矩形，故A≠⊂B.(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N≠⊂M.1．解析：选B.解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N≠⊂M，其对应的Venn图如选项B所示．2．解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A≠⊂C；(3){2}≠⊂C；(4)2∈C.答案：(1)＝(2)≠⊂(3)≠⊂(4)∈子集、真子集的个数问题【解析】(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2，3}，{1，2，4}．(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.(3)由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，所以集合B的非空真子集的个数为：23－2＝6.【答案】 (1)B (2)C (3)B(变条件)解：当C 中含有两个元素时，C 为{2，3}；当C 中含有三个元素时，C 为{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，5}；当C 中含有四个元素时，C 为{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}；当C 中含有五个元素时，C 为{2，3，1，4，5}；所以满足条件的集合C 为{2，3}，{2，3，1}{2，3，4}，{2，3，5}，{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}，{2，3，1，4，5}．解析：若A 中含有一个奇数，则A 可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}；若A 中含有两个奇数，则A ＝{1，3}．答案：5由集合间的包含关系求参数【解析】由于B ⊆A ，结合数轴分析可知，m ≤4，又m >1，所以1<m ≤4.【答案】 1<m ≤41．解：若m ≤1，则B ＝∅，满足B ⊆A .若m >1，则由例题解析可知1<m ≤4.综上可知m ≤4.2．解：因为B ⊆A ，①当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m <2.综上得m ≥－1.3．解：因为B ⊆A ，所以m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，所以m ＝1，当m ＝1时，A ＝{－1，3，1}，B ＝{3，1}满足B ⊆A .所以m 的值为1.已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ≠⊂A ，求m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}．因为B ≠⊂A ，所以B ＝{－3}或B ＝{2}或B ＝∅.当B ＝{－3}时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13. 当B ＝{2}时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12. 当B ＝∅时，m ＝0.综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.1．解析：选D.空集有唯一一个子集，就是其本身，故A ，C 错误；空集是任何一个非空集合的真子集，故B 错误；由子集的概念知D 正确．2．解析：选D.集合A 是能被3整除的整数组成的集合，集合B 是能被6整除的整数组成的集合，所以B ≠⊂A .3．解析：选B.依题意a ∈M ，且M ≠⊂{a ，b ，c ，d }，因此M 中必含有元素a ，且可含有元素b ，c ，d 中的0个、1个或2个，即M 的个数等于集合{b ，c ，d }的真子集的个数，有23－1＝7(个)．4．解析：由题意得1－2a ＝3或1－2a ＝a ，解得a ＝－1或a ＝13. 当a ＝－1时，A ＝{1，3，－1}，B ＝{1，3}，符合条件．当a ＝13时， A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3，13，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，13，符合条件．所以a 的值为－1或13. 答案：－1或13[A 基础达标]1．解析：选D.由B ⊆A 和集合元素的互异性可知，X 可以取的值为1，2，6.2．解析：选B.根据题意，集合A ＝{x |x 2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个式子：对于①3∈A ，3是集合A 的元素，正确；②{－3}∈A ，{－3}是集合，有{－3}⊆A ，错误；③∅⊆A ，空集是任何集合的子集，正确；④{3，－3}⊆A ，任何集合都是其本身的子集，正确；共有3个正确．3．解析：选C.方程x 2－3x －a 2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a 2>0，所以方程有两个不相等的实数根，所以集合M 有2个元素，所以集合M 有22＝4个子集．4．解析：选C.因为k 2＋14＝14(2k ＋1)，k 4＋12＝14(k ＋2)，当k ∈Z 时，2k ＋1是奇数，k ＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以M ≠⊂N .故选C.5．解析：选D.由题意，当Q 为空集时，a ＝0，符合题意；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，得a ＝1或a ＝－1.所以a 的值为0，1或－1.6．解析：因为xy >0，所以x ，y 同号，又x ＋y <0，所以x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 也表示第三象限内的点，故M ＝P .答案：M ＝P7．解析：因为∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，即Δ＝1－4a ≥0，a ≤14. 答案：a ≤148．解析：集合A ，B 在数轴上表示如图，由A ≠⊂B 可求得a ≤－1，注意端点能否取到是正确求解的关键．答案：a ≤－19．解：(1)用列举法表示集合B ＝{1}，故B ≠⊂A .(2)因为Q 中n ∈Z ，所以n －1∈Z ，Q 与P 都表示偶数集，所以P ＝Q .(3)因为A ＝{x |x －3>2}＝{x |x >5}，B ＝{x |2x －5≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥52，所以利用数轴判断A ，B 的关系．如图所示，A ≠⊂B .(4)因为A ＝{x |x ＝a 2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈R }＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}，所以A ＝B .10．解：(1)若a ＝2，则A ＝{1，2}，所以y ＝1.若a －1＝2，则a ＝3，A ＝{2，3}，所以y ＝3，综上，y 的值为1或3.(2)因为C ＝{x |2<x <5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧2<a <5，2<a －1<5.所以3<a <5. [B 能力提升]11．解析：选D.因为x ⊆A ，所以B ＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A ＝{0，1}是集合B 中的元素，所以A ∈B ，故选D.12．已知A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |4x ＋m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围．解：集合A 在数轴上表示如图．要使A ⊇B ，则集合B 中的元素必须都是A 中的元素，即B 中元素必须都位于阴影部分内．那么由4x ＋m <0，即x <－m 4知，－m 4≤－2，即m ≥8，故实数m 的取值范围是m ≥8.13．解：(1)当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足题意；当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则有m ＋1≥－2且2m －1≤5，可得－3≤m ≤3，即2≤m ≤3.综上可知，当m ≤3时，B ⊆A .(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，故A 的非空真子集的个数为28－2＝254(个)．(3)因为x ∈R ，A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立，所以A ，B 没有公共元素．当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足题意；当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使A ，B 没有公共元素，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ＋1＞5或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1＜－2，解得m ＞4.综上所述，当m ＜2或m ＞4时，不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立．[C 拓展探究]14．解：由题意知C ⊆{0，2，4，6，7}，C ⊆{3，4，5，7，10}，所以C ⊆{4，7}．又因为C ≠∅，所以C ＝{4}，{7}或{4，7}．答案：{4}，{7}或{4，7}。

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