毕业设计因子分析资料

第八章 因子分析§8.1 什么是因子分析及基本思想1904年Charles Spearman 发表一篇著名论文《对智力测验得分进行统计分析》视为因子分析的起点。

因子分析的形成和发展有相当长的历史，最早用以研究解决心理学和教育学方面的问题，由于计算量大，又缺少高速计算的设备使因子分析的应用和发展受到很大的限制，甚至停滞了很长时间。

后来由于电子计算机的出现，才使因子分析的理论研究和计算问题，有了很大的进展。

目前这一方法的应用范围已十分广泛，在经济学、社会学、考古学、生物学、医学、地质学以及体育科学等各个领域都取得了显著的成绩。

1 什么是因子分析因子分析是主成分分析的推广和发展，它也是将具有错综复杂关系的变量（或样品）综合为数量较少的几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，同时根据不同因子还可以对变量进行分类，它也是属于多元分析中处理降维的一种统计方法。

例如，某公司对100名招聘人员的知识和能力进行测试，出了50道题的试卷，其内容包括的面较广，但总的来讲可归纳为六个方面：语言表达能力、逻辑思维能力、判断事物的敏捷和果断程度、思想修养、兴趣爱好、生活常识等，我们将每一个方面称为因子，显然这里所说的因子不同于回归分析中因素，因为前者是比较抽象的一种概念，而后者有着极为明确的实际意义，如人口密度、工业总产值、产量等。

假设100人测试的分数{}100,,1, =i X i 可以用上述六个因子表示成线性函数：,1001,i 662211 =++++=i i i i i F a F a F a X ε其中61,,F F 表示六个因子，它对所有X i 是共有的因子，通常称为公共因子，它们的系数61,i i a a 称为因子载荷，它表示第i 个应试人员在六个因子方面的能力。

i ε是第i 个应试人的能力和知识不能被前六个因子包括的部分，称为特殊因子，通常假定),0(~2i i N σε，仔细观察这个模型与回归模型在形式上有些相似，实质很不同。

这里的61,,F F 的值未知的，并且有关参数的统计意义更不一样。

因子分析的任务，首先是估计出{}ij a 和方差{}2i σ，然后将这些抽象因子{}i F 赋予有实际背景和因子之间的相互关系，以达到降维和对原始变量进行分类的目的。

因子分析的内容十分丰富，本章仅介绍因子分析常用的两种类型：R 型因子分析（对变量作因子分析）和Q 型因子分析（对样品作因子分析）。

2 基本思想因子分析的基本思想是通过变量（或样品）的相关系数矩阵（对样品是相似系数矩阵）内部结构的研究，找出能控制所有变量（或样品）的少数几个随机变量去描述多个变量（或样品）之间的相关（相似）关系，但在这里，这少数几个随机变量是不可观测的，通常称为因子。

然后根据相关性（或相似性）的大小把变量（或样品）分组，使得同组内的变量（或样品）之间相关性（或相似性）较高，但不同组的变量相关性（或相似性）较低。

从全部计算过程来看作R 型因子分析与作Q 型因子分析都是一样的，只不过出发点不同，R 型从相关系数矩阵出发，Q 型从相似系数阵出发都是对同一批观测数据，可以根据其所要求的目的决定哪一类型的因子分析。

§8.2 因子分析的数学模型1 数学模型（正交因子模型） R 型因子分析数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=p m pm p p p m m m m F a F a F a X F a F a F a X F a F a F a X εεε 2211222221212112121111 用矩阵表示：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡p m pm p p m m p F F F a a a a a a a a a X X X εεε 212121222211121121简记为)1()1()()1(⨯⨯⨯⨯+=p m m p p F AX ε且满足：1）p m ≤ii ）0),(=εF Cov 即F 和ε是不相关的；iii ）mI F D =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10101)( 即F 1…F m 不相关且方差皆为1。

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2222100)(P D σσσε 即pεε,,1 不相关，且方差不同。

其中),(1'=p X X X 是可实测的p 个指标所构成p 维随机向量，),,(1'=m F F F 是不可观测的向量，F 称为X 的公共因子或潜因子，即前面所说的综合变量，可以把它们理解为在高维空间中的互相垂直的m 个坐标轴；a ij 称为因子载荷是第i 个变量在第j 个公共因子上的负荷，如果把变量X i 看成m 维因子空间中的一个向量，则ij a 表示X i 在坐标轴F j 上的投影，矩阵A 称为因子载荷矩阵；ε称为X 的特殊因子，通常理论上要求ε的协方差阵是对角阵，ε中包括了随机误差。

由上述模型满足的条件可知：m F F F ,,,21 是不相关的。

若m F F F ,,,21 相关时，则D(F)就不是对角阵，这时的模型称为斜交因子模型，本章将不讨论这种模型。

类似地，Q 型因子分析数学模型为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=nm nm n n n m m m m F a F a F a X F a F a F a X F a F a F a X εεε 2211222221212112121111 此时X 1, X 2, …, X n 表示n 个样品。

因子分析的目的就是通过模型ε+=AF X 代替X ，由于n m p m <<,，从而达到简化变量维数的愿望。

因子分析和主成分分析有很多相似之处，在求解过程中二者都是从一个协方差阵（或相似系数阵）出发，但这两种模型是有区别的，主成分分析的数学模型实质上是一种变换，而因子分析模型是描述原指标X 协方差阵∑结构的一种模型，当p m =时，主不能考虑ε，此时因子分析也对应于一种变量变换，但在实际应用中，m 都小于p ，且为经济起见总是越小越好。

另外在主成分分析中每个主成分相应的系数ij a 是唯一确定的，即因子戴荷阵不是唯一的，若Γ为任一个m m ⨯阶正交阵，则因子模型ε+=AF X 可写成：ε+Γ'Γ=))((F A X ，仍满足约束条件，即0),(),(,)()(=Γ'=Γ'=ΓΓ'=Γ'εεF Cov F Cov I F D F D m ，所以F Γ'也是公共因子，ΓA 也是因子载荷阵。

因子载荷这个不唯一性，从表面上看是不利的，但后面将会看到当因子载荷阵A 的结构不够简化时，可对A 实行变换以达到简化目的，使新的因子更具有鲜明的实际意义。

从因子分析的数学模型上看，它与多变量回归分析也有类似之处，但本质的区别是因子分析模型作为“自变量”的F 是不可观测的。

2 因子模型中公共因子、因子载荷和变量共同度的统计意义 为了便于对因子分析计算结果做解释，将因子分析数学模型中各个量的统计意义加以说明是十分必要的。

假定因子模型中，各个变量以及公共因子、特殊因子都已经是标准化（均值为0，方差为1）的变量。

（1）因子戴荷的统计意义 已知模型：i m im j ij i i i F a F a F a F a X ε++++++= 2211两端后乘F j 得：j i j m im j ij j i j i j i F F F a F F a F F a F F a F X ε++++++= 12211于是)()()()()()(2211j i j m im j j ij j i j i j i F E F F E a F F E a F F E a F F E a F X E ε++++++=由于在标准化下有：1,0)(,1)(,0)(,0)(=====i i i VarX X E Var E F E εε因此j i j i F F j i F X j i F r F E r F F E r F X E j i j i εε===)(,)(,)(所以上式可写成：ij F F F im F F ij F F i F F i F X a r r a r a r a r a r j i j m j j j j i =++++++=ε 12121（因为各因子不相关，所以相关系数为0）故因子载荷ij a 的统计意义就是第i 个变量与第j 个公共因子的相关系数即表示X i 依赖F j 的份量（比重）。

因此用统计学的术语应该叫作权，但由于历史的原因，心理学家将它叫做载荷，即表示第i 个变量在第j 个公共因子上的负荷，它反映了第i 个变量在第j 个公共因子上的相对重要性。

（2）变量共同度的统计意义所谓变量X i 的共同度定义为因子载荷阵A 中第i 行元素的平方和，即∑===mj ij i ah 122p ,1,i为了说明它的统计意义，将下式两边求方差，即i m im i i i F a F a F a X ε++++= 2211)()()()()(2222121i m im i i i Var F Var a F Var a F Var a X Var ε++++= V222221i im i i a a a σ++++=22i i h σ+=由于X i 已标准化了，所以有221i i h σ+=此式说明变量X i 的方差由两部分组成：第一部分为共同度2i h ，它刻划全部公共因子对变量X i 的总方差所作的贡献，2i h 越接近1，说明该变量的几乎全部原始信息都被所选取的公共因子说明了，如97.02=i h 则说明X i 的97%的信息被m 个公共因子说明了，也就是说由原始变量空间转为因子空间转化的性质越好，保留原来信息量多，因此2i h 是X i 方差的重要组成部分。

当02≈i h 时，说明公共因子对X i 影响很小，主要由特殊因子i ε来描述。

第二部分2i σ是特定变量所产生的方差，称为特殊因子方差仅与变量X i 本身的变化有关，它是使X i 的方差为1的补充值。

（3）公因子F j 的方差贡献的统计意义 将因子载荷矩阵中各列元素的平方和记为∑===pi ij j aS 12p,1,j称S j 为公共因子F j 对X 的贡献，即S j 表示同一公共因子F j 对诸变量所提供的方差贡献之总和，它是衡量公共因子相对重要性指标。

§8.3 因子载荷阵的估计方法要建立某实际问题的因子模型，关键是要根据样本数据矩阵估计因子载荷矩阵A 。

对A 的估计方法有很多，这里仅介绍使用较为普遍的主成分法。

设随机向量),,(1'=p X X X 的协差阵为0,21>≥≥≥∑p λλλ 为∑的特征根，p e e ,,1 为对应的标准正交化特征向量（只要特征根不等，对应的单位特征向量一定是正交的），则根据线性代数知识∑可分解为：∑='='⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∑pi i i i p e e U U 1100λλλ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡''=p p p p e e e e λλλλ 1111),,(上面的分解式恰是公共因子与变量个数一样多且特殊因子的方差为0时，因子模型中协差阵的结构。