七(下)培优训练(二)实数(提高版)

培优训练二：实数（提高篇）

（一）【内容解析】

（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；

要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：①文字概念：若一个数x 的平方是a ，那么x 是a 的平方根；②符号概念：若a x =2，那么a x ±=；③逆向理解：若x 是a 的平方根，那么a x =2。 （2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数a ≥0⇔式子有意义；

②在算术平方根中，其结果a 是非负数，即a ≥0； ③计算中的性质1：a a =2)(（a ≥0）；

④计算中的性质2：⎩⎨⎧≤-≥==)

0()0(2a a a a a a ；

⑤在立方根中，33a a -=-（符号法则）

⑥计算中的性质3：a a =33)(；a a =3

3

（3）实数的分类：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩

⎪

⎨⎧负无理数正无理数无理数负无理数

零正有理数

有理数实数 ⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数零正无理数正有理数正实数实数

（二）【典例分析】

1、利用概念解题：

例1. 已知：18-+=b a M 是a +8的算术数平方根，423+--=b a b N 是b -3立方根，求N M +的平方根。

练习：1. 已知234323-=-=+y x y x ，

，求x y +的算术平方根与立方根。

2．若2a ＋1的平方根为±3，a －b ＋5的平方根为±2，求a+3b 的算术平方根。

例2、已知x 、y 互为倒数，c 、d 互为相反数，a 的绝对值为3，z 的算术平方根是5

，求22c d xy a

-++

的值。

2、利用性质解题：

例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．

变式：①已知2a －1和a －11是一个数的平方根，则这个数是 ；

②若2m －4与3m －1是同一个数两个平方根，则m 为 。 例2．若y =x -3＋

3-x ＋1，求（x ＋y ）x 的值

例3．x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

⑴ ⑵

⑶ ⑷

例4．已知321x -与323-y 互为相反数，求y

x

21+的值.

练习： 1.若一个正数a 的两个平方根分别为x +1和x +3，求a 2005的值。

2. 若（x －3）2

＋

1-y =0，求x ＋y 的平方根；

3. 已知,22421+-+-=x x y 求y

x 的值.

4. 当x 满足下列条件时，求x 的范围。 ① 2)2(x -=x －2 ②

x -3=3-x ③x =x

5. 若3

38

7

=-a ，则a 的值是

6. ①2y x -x 的取值范围是________；②5y x =-x 的取值范围是________；

③3y x =+x 的取值范围是________；④3

y x =

-中x 的取值范围是________； 7. 若x ＝521x -________33x =-，则x －1＝________．

3、利用取值范围解题：

例1. 已知有理数a 满足a a a =-+-20052004，求a -20042

的值。

例2. 已知实数x ，y 满足()2

1310x x y -++-=,

的值是 ．

例3.

已知x y

y +=则= 。

例4.

在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不相等的

实数，则22

22

3x xy y x xy y +--+的值是 。

4、利用估算比较大小、计算： 比较大小的常用方法还有： ①差值比较法：

如：比较1－2与1－3的大小。

解 ∵（1－2）－（1－3）=3－2＞0 ， ∴1－2＞1－3。 ②商值比较法（适用于两个正数） 如：比较

51-3与51

的大小。 解：∵51-3÷5

1

=3-1＜1 ∴

51-3＜5

1

③倒数法：倒数法的基本思路是：对任意两个正实数a ，b ，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当a

1＞b 1

时，a ＜b 。来比较a 与b 的大小。（以后介绍）

④取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。 如：当0

x ，x ，

x 1

的大小顺序是____________。 解：（特殊值法）取x =21，则：2x =41，x 1=2。∵41＜21＜2，∴2

x ＜x ＜x

1。

⑤估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再

进行比较。 例1．比较83-13与7

1

的大小

例2．若53+的小数部分是a ， 5-

3的小数部分是b ，求a+b

的值。

例3.

设A B =

=则A 、B 中数值较小的是 。

练习：1.估计10＋1的值是（）

（A）在2和3之间（B）在3和4之间（C）在4和5之间（D）在5和6之间

2．比较大小：①

21-

51；②3

（填“>”、“<”）

5、利用数形结合解题：

例1 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a+b|+2)

(a

b-的结果是（）

A、2b

B、2a

C、－2a

D、－2b

例2 如图，数轴上表示

1、2的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（）

A、2－1

B、1－2

C、2－2

D、2－2

例3 若实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简：

a b c a b c a

---+--．

练习：1.如果有理数a、b、c

a b b c

++

可以化简为( )

A．2c－a B．2a－2b C．－a D．a

2．如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中AB＝BC，如果

a b c

>>

，那么该数轴的原点O的位置应该在( )

A．点A的左边B．点A与点B之间

C．点B与点C之间D．点B与点C之间或点C的右边

C

A

6、实数的计算

例1.计算：①6(

6

1-6) ②1-2

-

2-3

2

-3+

练习：（1；（2）3π

-

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