2015届天津市高三第一次六校联考数学(理)试卷
2015年-高考试卷及答案解析-数学-理科-天津(精校版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津理）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知全集，集合，集合，则集合（A）（B）（C）（D）2. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（A）3 （B）4 （C）18 （D）403. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（A）（B）6 （C）14 （D）184. 设，则“ ”是“ ”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件5. 如图，在圆中，是弦的三等分点，弦分别经过点 .若，则线段的长为（A）（B）3 （C）（D）6. 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）7. 已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为（A）（B）（C）（D）8. 已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 .10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为.11. 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .12. 在的展开式中，的系数为 .13. 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，则的值为 .14 在等腰梯形中,已知 ,动点和分别在线段和, 则 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (I) 设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；(II) 设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱,,,,且点和分别为的中点.(I)求证：(II)求二面角的正弦值；(III)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长18. （本小题满分13分）已知数列满足，且成等差数列.(I)求的值和的通项公式；(II)设，求数列的前项和.19. （本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆截得的线段的长为c，.(I)求直线的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数，其中.(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程有两个正实根，求证： .2015年普通高等学校招生全国统一考试答案（天津理）1. 答案： A解析：,所以.2. 答案： C解析：画出不等式组所表示的可行域，由图知，当目标函数经过点时，有最大值18.3. 答案： B解析： 输入；不成立；不成立；成立；输出.4. 答案： A解析：或.5. 答案： A解析：由相交弦定理可知，，又因为是弦的三等分点，所以，所以.6. 答案： D解析：双曲线的渐近线方程为，由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则，由此可得.解析： 因为函数为偶函数，所以，即，所以，所以.8. 答案： D解析： 由得，所以，即,则恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.9. 答案：解析：是纯度数，所以，即.10. 答案：解析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥，则该几何体的体积.解析：两曲线的交点坐标为，所以它们所围成的封闭图形的面积 .12. 答案：解析： 展开式的通项为，由得，则，所以该项系数.13. 答案： 8解析：因为，所以，又，解方程组得，由余弦定理得：，所以.14. 答案：解析：因为,，所以：，，当且仅当即时的最小值为.15. 答案与解析：（I）解：由已知，有=所以，的最小正周期T=(II) 解：因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，.所以，在区间上的最大值为，最小值为.16. 答案与解析：（I）解：由已知，有所以，事件A发生的概率为.（II）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.所以，随见变量的分布列为1234随机变量的数学期望17. 答案及解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得,,,,.又因为分别为和的中点，得,.(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量. =.由 此可得=0，又因为直线平面，所以∥平面.（II）解：，.设为平面的法向量，则即不妨设，可得.设为平面的法向量，则又，得不妨设，可得.因此有，于是.所以，二面角的正弦值为.（III）解：依题意，可设，其中，则，从而。
2015年高考理数真题试卷(天津卷)【答案加解析】
2015年高考理数真题试卷（天津卷）一.选择题：在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的1.（2015·天津）已知全集，集合，集合，则集合( )A. B. C. D.2.（2015·天津）设变量,满足约束条件，则目标函数的最大值为( )A. 3B. 4C. 18D. 403.（2015·天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A. -10B. 6C. 14D. 184.（2015·天津）设，则“ ”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. (2015·天津)如图，在圆中，，是弦的三等分点，弦,分别经过点,.若，则线段的长为( )A. B. 3 C. D.6. （2015·天津）已知双曲线的一条渐近线过点,且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.7. （2015·天津）已知定义在上的函数(为实数）为偶函数，记,则的大小关系为（）A. B. C. D.8. （2015·天津）已知函数函数,其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. （2015天津）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为________ 。
10. （2015天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为________11. （2015天津）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为________ 。
12. （2015天津）在的展开式中，的系数为________ 。
13. （2015天津）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为,则的值为________ 。
14. （2015天津）在等腰梯形中，已知,动点和分别在线段和上，且则的最小值为________ 。
2015年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年天津市高考数学试卷（理科）参考答案和试题分析一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由全集U及B，求出B的补集，找出A和B补集的交集即可；解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴∁U B={2，5，8}，则A∩∁U B={2，5}．故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（）A．3B．4C．18 D．40考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及使用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+6y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（0，3）将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．故选：C．点评：本题主要考查线性规划的使用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5分）（2015•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10 B．6C．14 D．18考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．4．（5分）（2015•天津）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件和充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．5．（5分）（2015•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3C．D．考点：和圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．解答：解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，∴2×4=AM•2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，∴3×NE=4×2，∴NE=．故选：A．点评：本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．6．（5分）（2015•天津）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质和方程．分析：由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．解答：解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．点评：本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程和几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2015•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及使用．分析：根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|﹣1，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．解答：解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．点评：考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的使用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．8．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：创新题型；函数的性质及使用．分析：求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．解答：解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的分析式，利用数形结合是解决本题的关键．二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•天津）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为﹣2．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．解答：解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，得，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题．10．（5分）（2015•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系和距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱和两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱和两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；∴该几何体的体积为V几何体=2×π•12×1+π•12•2=π．故答案为：π．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的使用问题，是基础题目．11．（5分）（2015•天津）曲线y=x2和y=x所围成的封闭图形的面积为．考点：定积分在求面积中的使用．专题：计算题；导数的概念及使用．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x和曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是．故答案为：．点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．12．（5分）（2015•天津）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为．考点：二项式定理的使用．专题：计算题；二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．解答：解：（x ﹣）6的展开式的通项公式为T r+1=•（x ）6﹣r •（﹣）r =（﹣）r ••x 6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x 2的系数为×=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的使用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 13．（5分）（2015•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知△ABC 的面积为3，b ﹣c=2，cosA=﹣，则a 的值为 8 ．考点： 余弦定理． 专题： 解三角形． 分析：由cosA=﹣，A ∈（0，π），可得sinA=．利用S △ABC ==，化为bc=24，又b ﹣c=2，解得b ，c ．由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA 即可得出． 解答：解：∵A ∈（0，π），∴sinA==．∵S △ABC ==bc=，化为bc=24，又b ﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8． 故答案为：8． 点评：本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 14．（5分）（2015•天津）在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且=λ，=，则•的最小值为 ．考点：平面向量数量积的运算． 专题：创新题型；平面向量及使用． 分析： 利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值． 解答：解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=（）•（）=（）•（）==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°=1++﹣≥+=（当且仅当时等号成立）；故答案为：． 点评： 本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值． 三.解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）（2015•天津）已知函数f （x ）=sin 2x ﹣sin 2（x ﹣），x ∈R ．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．考点： 两角和和差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值． 专题： 三角函数的求值． 分析：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f （x ）=﹣sin （2x ﹣），由周期公式可得；（Ⅱ）由x ∈[﹣，]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．解答： 解：（Ⅰ）化简可得f （x ）=sin 2x ﹣sin 2（x ﹣）=（1﹣cos2x ）﹣[1﹣cos （2x ﹣）]=（1﹣cos2x ﹣1+cos2x+sin2x ）=（﹣cos2x+sin2x ）=sin （2x ﹣）∴f （x ）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x ∈[﹣，]，∴2x ﹣∈[﹣，]， ∴sin （2x ﹣）∈[﹣1，]，∴sin （2x ﹣）∈[﹣，]，∴f （x ）在区间[﹣，]内的最大值和最小值分别为，﹣点评： 本题考查两角和和差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题． 16．（13分）（2015•天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 考点：离散型随机变量的期望和方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率和统计．分析：（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．解答：解：（Ⅰ）由已知，有P（A）=，∴事件A发生的概率为；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．P（X=k）=（k=1，2，3，4）．∴随机变量X的分布列为：X 1 2 3 4P随机变量X的数学期望E（X）=．点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题．17．（13分）（2015•天津）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E 的长．考点：二面角的平面角及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面所成的角．专题：空间位置关系和距离；空间角．分析：（Ⅰ）以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量和的数量积为0，即得结论；（Ⅱ）通过计算平面ACD1的法向量和平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；（Ⅲ）通过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量和的夹角的余弦值为，计算即可．解答：（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z 轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，1，1），设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，﹣2，1），∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；（Ⅲ）解：由题意可设=λ，其中λ∈[0，1]，∴E=（0，λ，2），=（﹣1，λ+2，1），又∵=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，∴cos＜，＞===，整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣（舍），∴线段A1E的长为﹣2．点评：本题考查直线和平面平行和垂直、二面角、直线和平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（13分）（2015•天津）已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．考点：数列的求和．专题：等差数列和等比数列．分析：（1）通过a n+2=qa n、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知b n=，n∈N*，写出数列{b n}的前n项和T n、2T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．解答：解：（1）∵a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，∴a3=q，a5=q2，a4=2q，又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，∴2×3q=2+3q+q2，即q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍），∴a n=；（2）由（1）知b n===，n∈N*，记数列{b n}的前n项和为T n，则T n=1+2•+3•+4•+…+（n﹣1）•+n•，∴2T n=2+2+3•+4•+5•+…+（n﹣1）•+n•，两式相减，得T n=3++++…+﹣n•=3+﹣n•=3+1﹣﹣n•=4﹣．点评：本题考查求数列的通项和前n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（14分）（2015•天津）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．考点：直线和圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：创新题型；直线和圆；圆锥曲线的定义、性质和方程．分析：（Ⅰ）通过离心率为，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（Ⅱ）通过联立椭圆和直线FM的方程，可得M（c，c），利用|FM|=计算即可；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP和椭圆方程，分x∈（﹣，﹣1）和x∈（﹣1，0）两种情况讨论即可结论．解答：解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，∴d2+=，即（）2+=，解得k=，即直线FM的斜率为；（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c，∵点M在第一象限，∴M（c，c），∵|FM|=，∴=，解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，∵F（﹣1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又∵直线FP的斜率大于，∴＞，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），联立方程组，消去y并整理，得m2=﹣．①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，∴m=，∴m∈（，）；②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，∴m=﹣，∴m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．点评：本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线和圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数和方程思想解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）（2015•天津）已知函数f（x）=nx﹣x n，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f（x）和x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：压轴题；创新题型；导数的概念及使用；导数的综合使用．分析：（Ⅰ）由f（x）=nx﹣x n，可得f′（x），分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性．（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，0），则可求x0=n，f′（x0）=n﹣n2，可求g（x）=f′（x0）（x﹣x0），F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．由f′（x）=﹣nx n﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，可求F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，即可得证．（Ⅲ）设x1≤x2，设方程g（x）=a的根为，由（Ⅱ）可得x2≤．设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，设方程h（x）=a的根为，可得＜x1，从而可得：x2﹣x1＜﹣=，由n≥2，即2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，推得：2=x0，即可得证．解答：（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由f（x）=nx﹣x n，可得f′（x）=n﹣nx n﹣1=n（1﹣x n﹣1），其中n∈N•，且n≥2．下面分两种情况讨论：（1）当n为奇数时，令f′（x）=0，解得x=1，或x=﹣1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）（﹣1，1）（1，+∞）f′（x）﹣+ ﹣f（x）所以，f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）单调递增．（2）当n为偶数时，当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减；所以，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（Ⅱ）证明：设点P的坐标为（x0，0），则x0=n，f′（x0）=n﹣n2，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．由于f′（x）=﹣nx n﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，故F′（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为F′（x0）=0，所以当x∈（0，x0）时，F′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，所以F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以对应任意的正实数x，都有F（x）≤F（x0）=0，即对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）．（Ⅲ）证明：不妨设x1≤x2，由（Ⅱ）知g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0），设方程g（x）=a的根为，可得=，由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（），可得x2≤．类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，当x∈（0，+∞），f（x）﹣h（x）=﹣x n＜0，即对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＜h（x），设方程h（x）=a的根为，可得=，因为h（x）=nx在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（）=a=f（x1）＜h（x1），因此＜x1，由此可得：x2﹣x1＜﹣=，因为n≥2，所以2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，故：2=x0．所以：|x2﹣x1|＜+2．点评：本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力．。
15年高考真题——理科数学(天津卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津）卷数学（理科） 一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U AB =ð ( ) （A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为( )（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）403．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为( )（A ）10- （B ）6 （C ）14 （D ）18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5．如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N 。
若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（ ） （A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）526．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -= （C ）22134x y -= （D ）22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()||21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f = ，()2log 5b f =，()2c f m =，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<8．已知函数()()()()22||222x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）()74,+∞ （B ）(),74-∞ （C ）()0,74 （D ）()74,2二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 。
2015天津高考理科数学试题及答案
2015天津高考理科数学试题及答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分参考公式：如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，P(A ∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．柱体的体积公式V 柱体=Sh 椎体的体积公式V = V=1/3Sh其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示椎体的底面积，h 表示柱体的高． h 表示棱柱的高．第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合 A ∩C u B（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为（A ）83 （B ）3（C ）103 （D ）52 （6）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= （7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52log 3,log 5,2a b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 . （14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 1,,9BE BC DF DC AE AF λλ==且则的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[-π/3,π/4]上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D 中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB ,12,5AC AA AD CD,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点. (I)求证： MN ∥平面ABCD (II)求二面角11D -AC B 的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a 成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b的左焦点为F -c （,0）,M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y截得的线段的长为c，. (I)求直线FM 的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x ,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n。
天津市六校2015届高三上第一次联考数学(理)试题及答案
2015届高三六校联考（一）数 学(理)第Ⅰ卷 选择题 (共40分)参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数z 为纯虚数，若i a z i +=-)2( (i 为虚数单位)，则实数a 的值为( ) A ．21-B ．2C ．2-D ．21 2．已知正数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤-010102y x y x y x ，则y x z )21()41(⋅=的最小值为（ ）A ．116B ．41C ．322 D ．43．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．已知0,0>>y x ，112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)4,2(-B ．)2,4(-C ．]4,2[-D ．]2,4[-5．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( )A ．455B ．355C ．255D ．556．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．16 B ．32 C ．48 D ．1447．设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于B A ,两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若μλ+=),(R ∈μλ，且81=λμ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．223 B ．2 C ．332 D ．2 8．已知函数⎩⎨⎧-=22)(xx x f )0()0(<≥x x ， 若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．),2[+∞ B ．),2[+∞ C ．]2,0( D ．]3,2[]1,2[ --第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．设Q P ,分别为直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x 531541（t 为参数）和曲线C ：)4cos(2πθρ+=上的点，则PQ的最小值为 ．10．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则31log (a 5＋a 7＋a 9)的值是 ．11．向平面区域Ω＝{(x ，y )|2π-≤x ≤2π，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos x 下方 的概率是 ．12．在平行四边形ABCD 中，N M ,分别是BC CD ,的中点，)1,3(,)2,1(==AN AM ，则=⋅ ．13．如图，已知P A 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于B 、C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E ． 若P A ＝23，∠APB ＝30°，则AE ＝________．14．函数ax x x f -=ln )(在区间]3,0(上有三个零点，则实数a 的取值范围是________．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . （I ）求)(x f 的单调递增区间；（II ）求)(x f 在]2,0[π上的最大值和最小值．16．（本题满分13分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为52,53,54，且各轮问题能否正确回答互不影响．（I ）求该同学被淘汰的概率；（II ）该同学在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． 17．（本题满分13分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明：PA //平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C DE B --的平面角的余弦值； （Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？ 证明你的结论． 18．（本题满分13分）已知数列}{},{n n b a 的每一项都是正数，8,411==b a 且1,,+n n n a b a 成等差数列，11,,++n n n b a b 成等比数列)(*N n ∈（Ⅰ）求22,b a ；（Ⅱ）求数列}{},{n n b a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，都有3211111121<-+-+-n a a a ．19．（本题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为23，且椭圆经过点)1,0(-A （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如果过点)53,0(H 的直线与椭圆E 交于N M ,两点（点N M ,与点A 不重合），①若AMN ∆是以MN 为底边的等腰三角形，求直线MN 的方程；②在y 轴上是否存在一点B ，使得BN BM ⊥，若存在求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（本题满分14分）设函数ax x x a x f 21ln )2()(++-=，x a xax x g ln )3(1)(-++=，R a ∈（Ⅰ）当0=a 时，求)(x g 的极值； （Ⅱ）当0≠a 时，求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数)(x F y =图象上任意不同的两点),(),,(2211y x B y x A ，如果对于函数)(x F y =图象上的点),(00y x M （其中2210x x x +=）总能使得)()(21x F x F -))((210'x x x F -=成立，则称函数具备性质“L”．试判断函数)()()(x g x f x F -=是否具备性质“L”，并说明理由．2015届高三六校联考（一）数学理科参考答案9．1025-9； 10．－5； 11．2π； 12．310； 13．1077； 14．)1,33ln [e三、解答题 15．(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x当226222πππππ+≤-≤-k x k 时，解得36ππππ+≤≤-k x k ，)62sin()(π-=∴x x f 的单调递增区间为)](3,6[Z k k k ∈+-ππππ.(Ⅱ)当]2,0[π∈x 时，656ππ≤≤-x ，1)62sin(21≤-≤-πx所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为2116．2557251232582511=⨯+⨯+⨯=∴ξE 17．解：法一：（I ）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，则(2,0,0)A ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(2,2,0)B)0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-=设 1(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则由 1100n D E n D B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0220y z x y +=⎧⎨+=⎩取1y =-，得1(1,1,1)n =-． ∵1220PA n ⋅=-=，1,//PA n PA BDE PA BDE ∴⊥⊄∴，又平面平面（II ）由（Ⅰ）知1(1,1,1)n =-是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量．设二面角C DE B --的平面角为θ，由图可知>=<21,n n θ ∴33,cos cos 21>=<=n n θ 故二面角B DE C --的余弦值为33． （Ⅲ）∵)1,1,0(),2,2,2(=-= ∴0220,.PB DE PB DE =+-=∴⊥假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设)10(<<=λλ， 则(2,2,2)PF λλλ=-，(2,2,22)DF DP PF λλλ=+=-由0PF DF ∙=得22442(22)0λλλλ+--= ∴PBPF 31)1,0(31=∈=，此时λ即在棱PB 上存在点F ，PB PF 31=，使得PB ⊥平面DEF ． 法二：（I ）连接AC ，AC 交BD 于O ，连接OE ．在PAC ∆中，OE 为中位线，∴OE //PAPA BDE ⊄又平面,∴PA //平面BDE ．（II ）PD ⊥底面ABCD ,∴ 平面PDC ⊥底面ABCD ，CD 为交线,BC ⊥CD∴平面BCE ⊥平面PDC ，PC 为交线, PD =DC ，E 是PC 的中点∴DE ⊥PC∴DE ⊥平面PBC ，∴ DE ⊥BE ∴BEC ∠即为二面角B DE C --的平面角．设PD DC a ==，在Rt BCE ∆中,33cos ,26,,22=∠∴===BEC a BE a BC a CE 故二面角B DE C --的余弦值为33．（Ⅲ）由（II ）可知DE ⊥平面PBC ，所以DE ⊥PB ，所以在平面PDE 内过D 作DF ⊥PB ，连EF ，则PB ⊥平面DEF ．在Rt PDB ∆中,PD a =，BD =，PB =，a PF 33=．所以在棱PB 上存在点F ，PB PF 31=，使得PB ⊥平面DEF ． 18．19．20．。
2015~2016学年天津高三上学期理科六校联考期中数学试卷
2015~2016学年天津高三上学期理科六校联考期中数学试卷选择爱智康1.A. B. C. D.设全集，集合，，则（）．U =R A ={x −1<0}∣∣x 2B ={x |x (x −2)⩾0}A ∩(B )=∁U {x |0<x <2}{x |0<x <1}{x |0⩽x <1}{x |−1<x <0}2.A. B. C. D.设，，向量，，且，，则（）．x y ∈R =(x ,1)a =(1,y )b =(2,−4)c ⊥a c //b c |+|=a b 5√10−−√25√103.A. B. C. D.设，则（）．sin (+θ)=π413sin 2θ=−79−1919794.A. B. C. D.已知集合，，命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（ ）．A ={x |lo x <−1}g 4B ={x |⩽}2x 2√p :∀x ∈A <2x 3x q :∃x ∈B =1−x 3x 2p ∧q ¬p ∧q p ∧¬q ¬p ∧¬q5.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件等比数列中，，则“”是“”的（）．{}a n >0a 1<a 1a 4<a 3a 56.A. B. C. D.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则、、的大小关系是（ ）．f (x )R (0,+∞)a =f (−)3√b =f ()log 312c =f ()43a b c a <c <b b <a <c b <c <a c <b <a7.函数的部分图象如图所示，其中，两点之间的距离为，那么下列说法正确的是（）．f (x )=2sin (ωx +φ)A B 5填空爱智康A.B.C.D.函数的最小正周期为 是函数的一条对称轴函数向右平移一个单位长度后所得的函数为偶函数f (x )8f (3)=−12x =32f (x )f (x )8.A. B. C. D.已知函数，若恒成立，则的取值范围是（）．f (x )={−+2x ,x ⩽0x 2ln(x +1),x >0|f (x )|⩾ax −1a [−2,0][−2,1][−4,0][−4,1]9.设，若曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，则．a >0y =x √x =a y =0a 2a =10.已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则．{}a n 3a 112a 32a 2=+a 11a 13+a 8a 1011.函数在上为减函数，则实数的取值范围．f (x )=lo (2−a )g a x 2(0,1)a 12.如图，在中，若，，，则实数．△ABC =2BE −→−EA −→−=2AD −→−DC −→−=λ(−)DE −→−CA −→−BC −→−λ=13.定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，给出下列关于的判断：①是周期函数；R f (x )f (x +1)=−f (x )[−1,0]f (x )f (x )解答爱智康②关于直线对称；③在上是增函数；④在上是减函数；⑤．其中正确的序号是 ．f (x )x =1f (x )[0,1]f (x )[1,2]f (2)=f (0)14.已知函数是定义域为的偶函数．当时，，若关于的方程，，有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是．y =f (x )R x ⩾0f (x )={(0⩽x ⩽2)516x 2+1(x >2)()12x x +af (x )+b =0[f (x )]2a b ∈R 6a 15.（1）（2）已知函数，，其图象的相邻两个最高点之间的距离为．求函数的单调递增区间．在区间上的最小值为，求函数，的值域．f (x )=sin (2ωx −)−4ωx +a π6sin 2(ω>0)πf (x )f (x )[0,]π2−32f (x )x ∈R 16.（1）（2）在等差数列中，，前项和满足条件，，，，求数列的通项公式和．记，求数列的前项和．{}a n =1a 1n S n =4S 2n S nn =12⋯{}a n S n =⋅b n a n 2n −1{}b n n T n 17.（1）（2） 中，，，所对的边分别为，，，,，且．求的大小．若，求的面积并判断的形状．△ABC A B C a b c =(1,2)m =(cos 2A ,)n cos 2A 2⋅=1m n A b +c =2a =23√△ABC △ABC 18.数列（1）（2）（3） 满足，．设，求证是等比数列．求数列的通项公式．设，数列的前项和为，求证：．{}a n =2a 1=+6+6(n ∈)a n +1a 2n a n N ∗=lo (+3)C n g 5a n {}C n {}a n =−b n 1−6a n 1+6a 2n a n{}b n n T n <−T n 1419.（1）（2）（3）已知函数．当时，求函数的单调区间．若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围．当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．f (x )=a +ln(x +1)x 2a =−14f (x )f (x )[1,+∞)a x ∈[0,+∞)f (x )−x ⩽0a 20.（1）（2）已知函数，．若函数在区间无零点，求实数的最小值．若对任意给定的，在上方程总存在两个不等的实根，求实数的取值范围．f (x )=(2−a )x −2(1+ln x )+a g (x )=e x e xf (x )(0,)12a ∈(0,e]x 0(0,e]f (x )=g ()x 0a。
2015天津高考数学(理科)试题(卷)与图片版答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（理工类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，{}2,3,5,6A = ，{}1,3,4,6,7B = ，则集合 为（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩ ，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为 （A ）83 （B ）3（C ）103 （D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=（7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52log 3,log 5,2a b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率； (II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,5AC AA AD CD ====,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD P 平面； (II)求二面角11D -AC B -的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长 18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为F -c （,0）,离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM|=3. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n<+-。
【真题】2015-2016年天津市六校联考高三(上)期末数学试卷(理科)与答案
2015-2016学年天津市六校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，M={2，3，4，6}，N={1，4，5}，则{1，5}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∩N D．M∩∁U N2．（5分）若{b n}满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3 B．4 C．7 D．23．（5分）执行如图的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 B．C．1 D．﹣14．（5分）如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=2，BC=，∠CAB=120°，则∠AOB对应的劣弧长为（）A．πB．C．D．5．（5分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，cosA=，b=2，面积S=3，则a为（）A．B． C． D．6．（5分）给出下列命题：①若a，b，m都是正数，且，则a＜b；②若f'（x）是f（x）的导函数，若∀x∈R，f'（x）≥0，则f（1）＜f（2）一定成立；③命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是真命题；④“|x|≤1，且|y|≤1”是“|x+y|≤2”的充分不必要条件．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④7．（5分）已知双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）的交点为：A、B，A、B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（）A．+1 B．3 C．D．28．（5分）已知定义在R上的函数，当x∈[0，2]时，f（x）=8（1﹣|x﹣1|），且对任意的实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，且n≥2），都有f（x）=，若方程f（x）=|log a x|有且仅有四个实数解，则实数a的取值范围为（）A．B．C．（2，10）D．[2，10]二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上）9．（5分）若复数的实部和虚部互为相反数，则b=．10．（5分）如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是．11．（5分）如图，函数y=x2与y=kx（k＞0）的图象所围成的阴影部分的面积为，则k=．12．（5分）一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为．13．（5分）圆O中，弦，则的值为．14．（5分）已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为．三、解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1，且f（x）的周期为2．（Ⅰ）当时，求f（x）的最值；（Ⅱ）若，求的值．16．（13分）在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知a2=2，S5=15．公比为2的等比数列{b n}满足b2+b4=60．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．17．（13分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上，且SF=2FE．（1）求证：AF⊥平面SBC；（2）在线段上DE上是否存在点G，使二面角G﹣AF﹣E的大小为30°？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由．18．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，且以双曲线=1的实轴为短轴，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．19．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+（﹣1）n（n∈N*）．（1）若b n=a2n﹣1﹣，求证：数列{b n}是等比数列并求其通项公式；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+＜3．20．（14分）已知函数h（x）=﹣2ax+lnx．（1）当a=1时，求h（x）在（2，h（2））处的切线方程；（2）令f（x）=x2+h（x）已知函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1•x2＞，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在x0∈[1+，2]，使不等式f（x0）+ln（a+1）＞m（a2﹣1）﹣（a+1）+2ln2对任意a（取值范围内的值）恒成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年天津市六校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，M={2，3，4，6}，N={1，4，5}，则{1，5}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∩N D．M∩∁U N【解答】解：∵1、5∉M，故排除B、D，A显然不符合条件，故选：C．2．（5分）若{b n}满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3 B．4 C．7 D．2【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=x+2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3．故选：A．3．（5分）执行如图的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 B．C．1 D．﹣1【解答】解：框图首先给变量S，k赋值S=2，k=1．判断1＜2016，执行S==﹣1，k=1+1=2；判断2＜2016，执行S==，k=2+1=3；判断3＜2016，执行S==2，k=3+1=4；判断4＜2016，执行S==﹣1，k=4+1=5；…程序依次执行，由上看出，程序每循环3次S的值重复出现1次．而由框图看出，当k=2015时还满足判断框中的条件，执行循环，当k=2016时，跳出循环．又2015=671×3+2．所以当计算出k=2015时，算出的S的值为．此时2016不满足2016＜2016，跳出循环，输出S的值为．故选：B．4．（5分）如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=2，BC=，∠CAB=120°，则∠AOB对应的劣弧长为（）A．πB．C．D．【解答】解：由正弦定理知：=，=，∴sin∠ACB==，∴，∴∠AOB=，∴OB=，∴∠AOB对应的劣弧长：=π．故选：C．5．（5分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，cosA=，b=2，面积S=3，则a为（）A．B． C． D．【解答】解：在△ABC中cosA=，∴sinA==，∵b=2，面积S=3，∴S=bcsinA，∴3=×2c×，解得c=5，∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，=b2+c2﹣2bccosA=13，即a=．故选：D．6．（5分）给出下列命题：①若a，b，m都是正数，且，则a＜b；②若f'（x）是f（x）的导函数，若∀x∈R，f'（x）≥0，则f（1）＜f（2）一定成立；③命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是真命题；④“|x|≤1，且|y|≤1”是“|x+y|≤2”的充分不必要条件．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【解答】解：①若a，b，m都是正数，且，则等价为ab+bm＞ab+am，即bm＞am，则b＞a，即a＜b；成立，故①正确，②若f′（x）是f（x）的导函数，若∀x∈R，f'（x）≥0，则f（1）＜f（2）不一定成立，比如f（x）=3，f′（x）=0，满足∀x∈R，f'（x）≥0，但f（1）=f（2），故②错误；③命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣2x+1≥0，∵（x﹣1）2≥0恒成立，故③正确；④若“|x|≤1，且|y|≤1”，则﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，则﹣2≤x+y≤2，即|x+y|≤2成立，反之，若x=3，y=﹣3，满足|x+y|≤2，但|x|≤1，且|y|≤1不成立，即“|x|≤1，且|y|≤1”是“|x+y|≤2”的充分不必要条件，故④正确，故选：D．7．（5分）已知双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）的交点为：A、B，A、B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（）A．+1 B．3 C．D．2【解答】解：∵双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）的交点为：A、B，A、B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长等于双曲线的虚轴长，∴|AB|=2p=2b，即p=b，∴A（），把A（）代入双曲线，得，整理，得：b2=8a2，∴c2=a2+b2=9a2，∴c=3a，∴e==3．故选：B．8．（5分）已知定义在R上的函数，当x∈[0，2]时，f（x）=8（1﹣|x﹣1|），且对任意的实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，且n≥2），都有f（x）=，若方程f（x）=|log a x|有且仅有四个实数解，则实数a的取值范围为（）A．B．C．（2，10）D．[2，10]【解答】解：当x∈[0，2]时，f（x）=8（1﹣|x﹣1|），当n=2时，x∈[2，6]，此时﹣1∈[0，2]，则f（x）=f（﹣1）=×8（1﹣|﹣1﹣1|）=4（1﹣|﹣2|），当n=3时，x∈[6，14]，此时﹣1∈[2，6]，则f（x）=f（﹣1）=×4（1﹣|﹣|）=2（1﹣|﹣|），分别作出函数f（x）和y=|log a x|的图象，若0＜a＜1，则此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件．若a＞1，在（0，1）上两个函数有一个交点，要使方程f（x）=|log a x|有且仅有四个实数解，则等价为当x＞1时，两个函数有3个交点，由图象知当对数函数图象经过A时，两个图象只有2个交点，当图象经过点B 时，两个函数有4个交点，则要使两个函数有3个交点，则对数函数图象必须在A点以下，B点以上，∵f（4）=4，f（10）=2，∴A（4，2），B（10，2），即满足，即，解得，即2＜a2＜10，∵a＞1，∴＜a＜，故则a的取值范围为是（，），故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上）9．（5分）若复数的实部和虚部互为相反数，则b=．【解答】解：，由题意可得：2﹣2b=b+4，解得：b=．故答案为：．10．（5分）如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是21．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数和为2n∴2n=128解得n=7∴展开式的通项为T r=+1令7﹣=﹣3，解得r=6∴展开式中的系数为3C76=21故答案为：21．11．（5分）如图，函数y=x2与y=kx（k＞0）的图象所围成的阴影部分的面积为，则k=3．【解答】解：直线方程与抛物线方程联立解得x=0，x=k，得到积分区间为[0，k]，由题意得：∫0k（kx﹣x2）dx=（x2﹣x3）|0k=﹣==，即k3=27，解得k=3．故答案为：312．（5分）一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为15+．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体为：以正视图为底面的棱柱；高为1，∴几何体的表面积为：2（1+1+1+）+（8+）=15+．故答案为：15+．13．（5分）圆O中，弦，则的值为．【解答】解如图所示，过点O作OD⊥BC交BC于点D，连接AD．则D为BC的中点，．．又，，∴=====．故答案为：．14．（5分）已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为．【解答】解：∵实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，∴=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．∴k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的直线的斜率．设直线l：y=k（x﹣2），则，化为，解得．∴的取值范围为．故答案为：．三、解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1，且f（x）的周期为2．（Ⅰ）当时，求f（x）的最值；（Ⅱ）若，求的值．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵=，…（1分）∵T=2，∴，…（2分）∴，…（3分）∵，∴，∴，…（4分）∴，…（5分）当时，f（x）有最小值，当时，f（x）有最大值2．…（6分）（Ⅱ）由，所以，所以，…（8分）而，…（10分）所以，…（12分）即．…（13分）16．（13分）在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知a2=2，S5=15．公比为2的等比数列{b n}满足b2+b4=60．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=2，S5=15，∴，解得，∴a n=1+（n﹣1）=n．∵公比为2的等比数列{b n}满足b2+b4=60．∴=60，解得b1=6，∴b n=6×2n﹣1=3×2n．（Ⅱ）==•，则T n=．令R n=+…+．则=++…++．两式作差得：=+…+﹣=﹣=1﹣﹣．∴R n=2﹣．故T n=．17．（13分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上，且SF=2FE．（1）求证：AF⊥平面SBC；（2）在线段上DE上是否存在点G，使二面角G﹣AF﹣E的大小为30°？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC的中点，得．因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AE．在Rt△SAE中，，所以．因此AE2=EF•SE，又因为∠AEF=∠AES，所以△EFA∽△EAS，则∠AFE=∠SAE=90°，即AF⊥SE．因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥BC，又BC⊥AE，所以BC⊥底面SAE，则BC⊥AF．又SE∩BC=E，所以AF⊥平面SBC．（2）结论：在线段上DE上存在点G使二面角G﹣AF﹣E的大小为30°，此时DG=．理由如下：假设满足条件的点G存在，并设DG=t．过点G作GM⊥AE交AE于点M，又由SA⊥GM，AE∩SA=A，得GM⊥平面SAE．作MN⊥AF交AF于点N，连结NG，则AF⊥NG．于是∠GNM为二面角G﹣AF﹣E的平面角，即∠GNM=30°，由此可得．由MN∥EF，得，于是有，．在Rt△GMN中，MG=MNtan30°，即，解得．于是满足条件的点G存在，且．18．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，且以双曲线=1的实轴为短轴，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的焦距为4，∴c=2，又以双曲线的实轴为短轴，∴b=2，a==2，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（1+2k2）x2+4kx﹣6=0，∴x1+x2=，x1x2=，由（1）知右焦点F坐标为（2，0），∵右焦点F在圆内部，∴＜0，∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＜0，即x1x2﹣2（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+1＜0，∴＜0，∴k＜．19．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+（﹣1）n（n∈N*）．（1）若b n=a2n﹣1﹣，求证：数列{b n}是等比数列并求其通项公式；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+＜3．【解答】（本小题满分15分）解：（1）=，…（2分），又．所以{b n}是首项为，公比为4的等比数列，且．…（5分）（2）由（1）可知，…（7分）．…（9分）所以，或…（10分）（3）∴．===…（12分）当n=2k时，=当n=2k﹣1时，＜＜3∴++…+＜3．…（15分）20．（14分）已知函数h（x）=﹣2ax+lnx．（1）当a=1时，求h（x）在（2，h（2））处的切线方程；（2）令f（x）=x2+h（x）已知函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1•x2＞，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在x0∈[1+，2]，使不等式f（x0）+ln（a+1）＞m（a2﹣1）﹣（a+1）+2ln2对任意a（取值范围内的值）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，h（x）=﹣2x+lnx，h′（x）=﹣2+，x=2时，h′（2）=﹣，h（2）=﹣4+ln2，∴h（x）在（2，h（2））处的切线方程为y+4﹣ln2=﹣（x﹣2），化简得：3x+2y﹣2ln2+2=0；（2）对函数求导可得，f′（x）=（x＞0），令f′（x）=0可得ax2﹣2ax+1=0∴，解得a的取值范围为（1，2）．…（6分）（3）由ax2﹣2ax+1=0，解得x1=1﹣，x2=1+，而f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增∵1＜a＜2，∴x2=1+＜1+，∴f （x ）在[1+，2]单调递增∴在[1+，2]上，f （x ）max =f （2）=﹣2a +ln2．∴∃x 0∈[1+，2]，使不等式f （x 0）+ln （a +1）＞m （a 2﹣1）﹣（a +1）+2ln2对∀a ∈M 恒成立，等价于不等式﹣2a +ln2+ln （a +1）＞m （a 2﹣1）﹣（a +1）+2ln2恒成立 即不等式ln （a +1）﹣ma 2﹣a +m ﹣ln2+1＞0对任意的a （1＜a ＜2）恒成立． 令g （a ）=ln （a +1）﹣ma 2﹣a +m ﹣ln2+1，则g （1）=0，g′（a ）=，①当m ≥0时，g′（a ）＜0，g （a ）在（1，2）上递减． g （a ）＜g （1）=0，不合题意． ②当m ＜0时，g′（a ）=，∵1＜a ＜2 若﹣（1+）＞1，即﹣＜m ＜0时，则g （a ）在（1，2）上先递减，∵g （1）=0，∴1＜a ＜2时，g （a ）＞0不能恒成立； 若﹣（1+）≤1，即m ≤﹣时，则g （a ）在（1，2）上单调递增，∴g （a ）＞g （1）=0恒成立， ∴m 的取值范围为（﹣∞，﹣]．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下)x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx x(q)0x①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2015年天津高考理科数学试题及解析0 (10)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(天津卷)本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ·棱柱的体积公式V ＝Sh ． 其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高．·圆锥的体积公式V ＝13Sh ． 其中S 表示圆锥的底面面积， h 表示圆锥的高．第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分．一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． i 是虚数单位，复数7i3i-=+( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－2＋i D ．－2－i2．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为－25时，输出x 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．94．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．在(2x 2－1x)5的二项展开式中，x 的系数为( ) A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－406．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A ．725B ．725-C ．725±D ．24257．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2．设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ．若32BQ CP ⋅=-，则λ＝( )A ．12B ．12±C ．12±D ．32-±8．设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．［11B ．(－∞，11)C ．［22-2+］D ．(－∞，2-2+，＋∞)第Ⅱ卷本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取__________所学校，中学中抽取__________所学校．10．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________ m 3．11．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝__________．12．已知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ．若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝__________．13．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ．过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，32EF =，则线段CD 的长为__________．14．已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)＋sin(2x －π3)＋2cos 2x －1，x ∈R ． (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )在区间［π4-，π4］上的最大值和最小值． 16．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望 E (ξ)．17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1．(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．18．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n ∈N *)．19．设椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； (2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k满足||k >．20．已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a ＞0． (1)求a 的值；(2)若对任意的x ∈［0，＋∞)，有f (x )≤kx 2成立，求实数k 的最小值； (3)证明1221ni i =-∑－ln(2n ＋1)＜2(n ∈N *)．1． B 227i (7i)(3i)217i 3i i 2010i 2i 3i (3i)(3i)9i 10-----+-====-++--． 2． A φ＝0时，f (x )＝cos x ，f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数；若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1，∴cos φ＝±1，∴φ＝k π(k ∈Z )．∴是充分而不必要条件．3． C x ＝|－25|＞1，x 1＝4；x ＝|4|＞1，x －1＝1； x ＝|1|＞1不成立， ∴x ＝2×1＋1＝3．4．B f ′(x )＝2x ln2＋3x 2，在(0,1)上f ′(x )＞0恒成立， ∴f (x )在区间(0,1)上单调递增．又∵f (0)＝20＋03－2＝－1＜0，f (1)＝21＋13－2＝1＞0， ∴f (x )在区间(0,1)上存在一个零点．5． D T r ＋1＝5C r(2x 2)5－r (1x-)r ＝(－1)r 25－r 5C rx 10－3r ， ∴当10－3r ＝1时，r ＝3．∴(－1)325－335C ＝－40．6． A 在△ABC 中，由正弦定理：sin sin b c B C =，∴，sin sin C cB b=∴sin28sin 5B B =，∴4cos 5B =．∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725．7． A 设AB =a ，AC =b ，则|a |=|b |=2，且〈a ，b 〉=π3．()1BQ AQ AB λ=-=--b a ，CP AP AC λ=-=-a b ．BQ CP ⋅=［(1－λ)b －a ］·(λa －b )=［λ(1－λ)+1］a ·b －λa 2－(1－λ)b 2 =(λ－λ2+1)×2－4λ－4(1－λ) =－2λ2+2λ－2=32-． 即(2λ－1)2=0，∴12λ=． 8．)D 直线与圆相切，1=，∴||m n +=mn ＝m ＋n ＋1，设m ＋n ＝t ，则22()24m n t mn +≤=，∴t ＋1≤24t ，∴t 2－4t －4≥0，解得：2t ≤2t ≥+9．答案：18 9解析：共有学校150＋75＋25＝250所，∴小学中应抽取：1503018250⨯=所，中学中应抽取：75309250⨯=所． 10．答案：18＋9π解析：由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6 m,3 m,1 m 的长方体，底部为两个直径为3 m 的球．∴该几何体的体积为：V ＝6×3×1＋2×343π()32⨯＝18＋9π(m 3)． 11．答案：－1 1解析：A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，∴|x ＋2|＜3． ∴－3＜x ＋2＜3，∴－5＜x ＜1．又∵B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，∴－1是方程(x －m )(x －2)＝0的根，n 是区间(－5,1)的右端点， ∴m ＝－1，n ＝1． 12．答案：2解析：由参数方程22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数)，p ＞0，可得曲线方程为：y 2＝2px (p ＞0)．∵|EF |＝|MF |，且|MF |＝|ME |(抛物线定义)， ∴△MEF 为等边三角形， E 的横坐标为2p-，M 的横坐标为3． ∴EM 中点的横坐标为：322p -，与F 的横坐标2p 相同， ∴3222p p -=，∴p ＝2． 13．答案：43解析：在圆中，由相交弦定理： AF ·FB ＝EF ·FC ，∴2AF FBFC EF⋅==， 由三角形相似，FC AFBD AB =， ∴83FC AB BD AF ⋅==． 由切割弦定理：DB 2＝DC ·DA ，又DA ＝4CD ，∴4DC 2＝DB 2＝649． ∴43DC =． 14．答案：(0,1)∪(1,4)解析：21,1|1||1||1||1|,111x x x x x y x x x x +>⎧-+-===⎨-+<--⎩函数y =kx －2过定点(0，－2)，由数形结合：k AB ＜k ＜1或1＜k ＜k AC ， ∴0＜k ＜1或1＜k ＜4． 15．解：(1)f (x )＝sin2x ·cos π3＋cos2x ·sin π3＋sin2x ·cos π3－cos2x ·sin π3＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x π)4x +． 所以，f (x )的最小正周期2ππ2T ==． (2)因为f (x )在区间［π4-，π8］上是增函数，在区间［π8，π4］上是减函数，又π()14f -=-，π()8f =π()14f =，故函数f (x )在区间［π4-，π4］，最小值为－1．16．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23． 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)， 则4412()C ()()33iiii P A -=． (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率22224128()C ()()3327P A ==． (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4．由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝3344441211C ()()C ()3339+=． 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19． (3)ξ的所有可能取值为0,2,4．由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故 P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781．所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望148()024********E ξ=⨯+⨯+⨯=． 17．解法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B (12-，12,0)，P (0,0,2)．(1)证明：易得PC =(0,1，－2)，AD =(2,0,0)， 于是0PC AD ⋅=，所以PC ⊥AD ．(2)PC =(0,1，－2)，CD =(2，－1,0)． 设平面PCD 的法向量n =(x ，y ，z )，则00,PC CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 即2020,y z x y -=⎧⎨-=⎩，不妨令z =1， 可得n =(1,2,1)．可取平面P AC 的法向量m =(1,0,0)．于是cos 6⋅===⋅〈，〉m n m n m n ，从而sin =〈，〉m n ． 所以二面角A －PC －D ． (3)设点E的坐标为(0,0，h )，其中h ∈［0,2］，由此得11()22BE h =，－，．由CD =(2，－1,0)，故3cos 1BE CD BE CD BE CD⋅===⋅〈，〉cos30=︒=10h =，即10AE =．解法二：(1)证明：由P A ⊥平面ABCD ，可得P A ⊥AD ，又由AD ⊥AC ，P A ∩AC =A ，故AD ⊥平面P AC ．又PC 平面P AC ，所以PC ⊥AD ．(2)如图，作AH ⊥PC 于点H ，连接DH ．由PC ⊥AD ，PC ⊥AH ，可得PC ⊥平面ADH ．因此DH ⊥PC ，从而∠AHD 为二面角A －PC －D 的平面角． 在Rt △P AC 中，P A ＝2，AC ＝1，由此得AH =由(1)知AD ⊥AH ，故在Rt △DAH 中，5DH ==．因此sin 6AD AHD DH ∠==．所以二面角A －PC －D 的正弦值为6． (3)如图，因为∠ADC ＜45°，故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交，设交点为F ，连接BE ，EF ．故∠EBF 或其补角为异面直线BE 与CD 所成的角．由于BF ∥CD ，故∠AFB =∠ADC ．在Rt △DAC 中，CD =sinADC ∠=，故sinAFB ∠=在△AFB 中，由sin sin BF ABFAB AFB =∠∠，AB =，sin ∠F AB ＝sin135°＝2，可得2BF =． 由余弦定理，BF 2＝AB 2＋AF 2－2AB ·AF ·cos ∠F AB ， 可得12AF =． 设AE ＝h ．在Rt △EAF 中，EF ==在Rt △BAE 中，BE == 在△EBF 中，因为EF ＜BE ，从而∠EBF ＝30°，由余弦定理得222cos302BE BF EF BE BF+-︒=⋅，可解得h =．所以AE =．18．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ．由条件，得方程组3323227,86210,d q d q ⎧++=⎨+-=⎩解得3,2.d q =⎧⎨=⎩ 所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *．(2)证明：(方法一) 由(1)得T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，①2T n ＝22a n ＋23a n －1＋…＋2n a 2＋2n ＋1a 1．② 由②－①，得T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝112(12)12n ---＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n －6n －10．而－2a n ＋10b n －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n －6n －10，故T n ＋12＝－2a n ＋10b n ，n ∈N *．(方法二：数学归纳法)①当n ＝1时，T 1＋12＝a 1b 1＋12＝16，－2a 1＋10b 1＝16，故等式成立； ②假设当n ＝k 时等式成立，即T k ＋12＝－2a k ＋10b k ，则当n ＝k ＋1时有： T k ＋1＝a k ＋1b 1＋a k b 2＋a k －1b 3＋…＋a 1b k ＋1 ＝a k ＋1b 1＋q (a k b 1＋a k －1b 2＋…＋a 1b k ) ＝a k ＋1b 1＋qT k＝a k ＋1b 1＋q (－2a k ＋10b k －12) ＝2a k ＋1－4(a k ＋1－3)＋10b k ＋1－24 ＝－2a k ＋1＋10b k ＋1－12，即T k ＋1＋12＝－2a k ＋1＋10b k ＋1，因此n ＝k ＋1时等式也成立． 由①和②，可知对任意n ∈N *，T n ＋12＝－2a n ＋10b n 成立． 19．解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有2200221x y a b+=① 由A (－a,0)，B (a,0)，得00AP y k x a =+，00BP y k x a=-． 由k AP ·k BP ＝12-，可得x 02＝a 2－2y 02，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 02＝0．由于y 0≠0，故a 2＝2b 2．于是222212a b e a -==，所以椭圆的离心率e = (2)证明：(方法一)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得00220022,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 0并整理得2220222a b x k a b =+．②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0， 得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2．整理得(1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0．而x 0≠0，于是021ax k -=+，代入②，整理得 (1＋k 2)2＝4k 2(a b)2＋4．由a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3．所以||k >．(方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)，由点P 在椭圆上，有22200221x k x a b +=．因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以22200221x k x a a+<，即(1＋k 2)x 02＜a 2．③ 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2，整理得(1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0，于是0221ax k -=+． 代入③，得(1＋k 2)2224(1)a k +＜a 2，解得k 2＞3，所以||k >20．解：(1)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)．11()1x a f x x a x a+-'=-=++． 由f ′(x )＝0，得x ＝1－a ＞－a ．当x因此，f (x )在a ＝1．(2)当k ≤0时，取x ＝1，有f (1)＝1－ln2＞0，故k ≤0不合题意．当k ＞0时，令g (x )＝f (x )－kx 2，即g (x )＝x －ln(x ＋1)－kx 2．g ′(x )＝1xx +－2kx ＝[]2(12)1x kx k x ---+．令g ′(x )＝0，得x 1＝0，21212kx k-=>-． ①当12k ≥时，1202kk-≤，g ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g (x )在［0，＋∞)上单调递减．从而对于任意的x ∈［0，＋∞)，总有g (x )≤g (0)＝0，即f (x )≤kx 2在［0，＋∞)上恒成立，故12k ≥符合题意． ②当0＜k ＜12时，1202k k ->，对于x ∈(0，122k k -)，g ′(x )＞0，故g (x )在(0，122kk-)内单调递增．因此当取x 0∈(0，122k k-)时，g (x 0)＞g (0)＝0，即f (x 0)≤kx 02不成立． 故0＜k ＜12不合题意． 综上，k 的最小值为12． (3)证明：当n ＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成立． 当n ≥2时，11222()ln(1)212121n n i i f i i i ==⎡⎤=-+⎢⎥---⎣⎦∑∑ ＝[]112ln(21)ln(21)21n n i i i i i ==-+---∑∑ ＝1221n i i =-∑－ln(2n ＋1)．在(2)中取12k =，得f (x )≤22x (x ≥0)，从而 2222()21(21)(23)(21)f i i i i ≤<----(i ∈N *，i ≥2)， 所以有1221n i i =-∑－ln(2n ＋1) ＝1222()(2)()2121n n i i f f f i i ===+--∑∑ ＜2－ln3＋22(23)(21)n i i i =--∑ ＝2－ln3＋211()2321n i i i =---∑＝2－ln3＋1－121n -＜2． 综上，1221n i i =-∑－ln(2n ＋1)＜2，n ∈N *．。
2015年天津市高考数学(理科)真题及答案解析
2015年天津市高考数学真题（理科）一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合U A C B=I （ ）A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件20.30.230.x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．10-B ．6C ．14D ．184．设x R ∈，则“|2|1x -＜”是“220x x +-＞”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，N M ，是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点N M ，，若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221x y a b-=（0b 0a ＞，＞）的一条渐近线过点（23，），且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则b c a ，，的大小关系为（ ）A ．a b c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜8．已知函数22||()22x x f x x x -≤⎧=⎨-⎩，2，（），＞，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7()4+∞，B ．7()4-∞，C ．7(0)4， D ．7(2)4，二、填空题9．i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 ． 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为 ． 13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为 ． 14．在等腰梯形ABCD 中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=︒。
2015年高考理科数学天津卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+. ·如果事件A ，B 相互独立，()()()P AB P A P B =.·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.·椎体的体积公式13V Sh =.其中S 表示椎体的底面面积，h 表示椎体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{2,3,5,6}A =，集合{1,3,4,6,7}B =，则集合A U B =ð（ ）A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}2．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y ≥，≥，≤，+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．－10B ．6C ．14D ．18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM =2，MD =4，CN =3，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=7．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知函数22|| ,2()(2) ,2x xf x x x ≤，＞，-⎧=⎨-⎩函数2g x b f x （）（）=--，其中b R ∈.若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7,4（）+∞ B ．7,4（）-∞ C ．70,4（）D ．7,24（）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页）数学试卷 第5页（共18页）数学试卷 第6页（共18页）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为___________. 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为___________3m .11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为___________.12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为_________.13．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为_________.14．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，ABC ∠=60.动点E 和F分别在线段BC 和DC 上，BE BC 且λ=，19DF DC λ=，则 AE AF 的最小值为_________.三、 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数22sin sin 6f x x x （）（）π=--，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD 底面⊥，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角11D AC B --的正弦值.（III ）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1EA 的长.18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2()n n n a qa q q *N 为实数，且1，+=≠∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2221log ,nn n a b n a *N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为0F c （-,）,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4bx y =截得的线段的长为c，|FM（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（III ）设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中,2n n *N ≥∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（III ）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实数根1x ，2x ，求证：21|-|21ax x n<+-.数学试卷 第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页）数学试卷 第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð，所以{2,5}U A B =ð，故选A ．【提示】由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可． 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】不等式组2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18．【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【考点】线性规划的最值求解问题第2题图 3.【答案】B【解析】模拟法：输入20S =，1i =；21i =⨯，20218S =-=，25>不成立；224i =⨯=，18414S =-=，45>不成立；248i =⨯=，1486S =-=，85>成立；输出6，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当8i =时满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为6． 【考点】程序框图．AM MB CM MD =，CN NE AN NB =，又因为AM MB AN NB =，所以CN NE CM MD =， 2833CM MD CN ⨯=，故选A ． 【提示】由相交弦定理求出AM ，再利用相交弦定理求NE 即可． 4数学试卷 第10页（共18页）数学试卷 第11页（共18页）数学试卷 第12页（共18页）19D F D λ=，1DC AB =，1191999CF DF DC DC DC DC AB λλλλ--=-=-==AE AB BE AB BCλ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， 22191919()1181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19194121cos1201818λλλλλλ++=⨯+++⨯⨯⨯︒ 117218λλ+=时，AE AF 有最小值，18数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）可得(0,0,1)n =为平面的一个法向量，0,MN ⎛=- 由此可得，0MN n =， ⊄平面ABCD MN ∥平面ABCD ．（Ⅱ）1(1,AD =-，(2,0,0)AC =，设(,n x y =1110n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0=，不妨设1z =，可得(0,1,1)n =设2(,,)n x y z =为平面2120n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =20x =⎩不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-，121210,10||||n n n n n n ==-2310,10n n =， 所以二面角1D AC -10（Ⅲ）依题意，可设11AE A B λ=，其中从而(1,NE =-，又(0,0,1)n =为平面,||||(1)NE n NE n NE n ==-30λ-=，72-，所以线段1A E 的长为72-．为坐标原点，以的一个法向量与MN 的数量积为（Ⅲ）通过设AE A B λ=，利用平面的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝（Ⅰ）由已知有2213c a =数学试卷 第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页）数学试卷 第18页（共18页）22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝。
2015年天津高考理科数学试题及参考答案
2015年天津高考理科数学试题及参考答案第I 卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 参考公式：如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立， P(A ∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高． h 表示锥体的高． 第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合 A ∩C u B=（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40 （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 （A ）10- （B ）6 （C ）14 （D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为 （A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -= （C ）22134x y -= （D ）22143x y -= （7）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是 （A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 . （10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）， 则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .（12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .（13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F分别在线段BC 和DC 上, 1,,9BE BC DF DC AE AF λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg 且则的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,5AC AA AD CD ====,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证： MN ∥平面ABCD(II)求二面角11D AC B --的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和.19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为F -c （,0）,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c，.(I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21ax x n<+-.参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
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2015届高三六校联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数z 为纯虚数，若i a z i +=-)2( (i 为虚数单位)，则实数a 的值为( ) A ．21-B ．2C ．2-D ．21 2．已知正数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤-010102y x y x y x ，则y x z )21()41(⋅=的最小值为（ ）A ．116B ．41C ．322 D ．43．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．已知0,0>>y x ，112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A ．)4,2(-B ．)2,4(-C ．]4,2[-D ．]2,4[-5．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( )A ．455B ．355C ．255D ．556．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．16 B ．32 C ．48 D ．1447．设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于B A ,两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若μλ+=),(R ∈μλ，且81=λμ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．223 B ．2 C ．332 D ．2 8．已知函数⎩⎨⎧-=22)(xx x f )0()0(<≥x x ， 若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．),2[+∞ B ．),2[+∞ C ．]2,0( D ．]3,2[]1,2[ --第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．设Q P ,分别为直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x 531541（t 为参数）和曲线C ：)4cos(2πθρ+=上的点，则PQ的最小值为 ．10．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则31log (a 5＋a 7＋a 9)的值是 ．11．向平面区域Ω＝{(x ，y )|2π-≤x ≤2π，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos x 下方 的概率是 ．12．在平行四边形ABCD 中，N M ,分别是BC CD ,的中点，)1,3(,)2,1(==，则=⋅ ．13．如图，已知P A 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O于B 、C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E ． 若P A ＝23，∠APB ＝30°，则AE ＝________．14．函数ax x x f -=ln )(在区间]3,0(上有三个零点，则实数a 的取值范围是________．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . （I ）求)(x f 的单调递增区间；（II ）求)(x f 在]2,0[π上的最大值和最小值．16．（本题满分13分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为52,53,54，且各轮问题能否正确回答互不影响． （I ）求该同学被淘汰的概率；（II ）该同学在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． 17．（本题满分13分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明：PA //平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C DE B --的平面角的余弦值； （Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？ 证明你的结论． 18．（本题满分13分）已知数列}{},{n n b a 的每一项都是正数，8,411==b a 且1,,+n n n a b a 成等差数列，11,,++n n n b a b 成等比数列)(*N n ∈（Ⅰ）求22,b a ；（Ⅱ）求数列}{},{n n b a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n ，都有3211111121<-+-+-n a a a ．19．（本题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为23，且椭圆经过点)1,0(-A （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如果过点)53,0(H 的直线与椭圆E 交于N M ,两点（点N M ,与点A 不重合），①若AMN ∆是以MN 为底边的等腰三角形，求直线MN 的方程；②在y 轴上是否存在一点B ，使得BN BM ⊥，若存在求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（本题满分14分）设函数ax x x a x f 21ln )2()(++-=，x a xax x g ln )3(1)(-++=，R a ∈ （Ⅰ）当0=a 时，求)(x g 的极值； （Ⅱ）当0≠a 时，求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数)(x F y =图象上任意不同的两点),(),,(2211y x B y x A ，如果对于函数)(x F y =图象上的点),(00y x M （其中2210x x x +=）总能使得)()(21x F x F -))((210'x x x F -=成立，则称函数具备性质“L”．试判断函数)()()(x g x f x F -=是否具备性质“L”，并说明理由．2015届高三六校联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题: 每小题5分，共30分.9．1025-9； 10．－5； 11．2π； 12．310； 13．1077； 14．)1,33ln [e 三、解答题15．(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x当226222πππππ+≤-≤-k x k 时，解得36ππππ+≤≤-k x k ，)62sin()(π-=∴x x f 的单调递增区间为)](3,6[Z k k k ∈+-ππππ.(Ⅱ)当]2,0[π∈x 时，656ππ≤≤-x ，1)62sin(21≤-≤-πx所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为2116．2557251232582511=⨯+⨯+⨯=∴ξE 17．解：法一：（I ）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，则(2,0,0)A ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(2,2,0)B)0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-=设 1(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则由 1100n D E n D B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0220y z x y +=⎧⎨+=⎩取1y =-，得1(1,1,1)n =-． ∵1220PA n ⋅=-=，1,//PA n PA BDE PA BDE ∴⊥⊄∴，又平面平面（II ）由（Ⅰ）知1(1,1,1)n =-是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量．设二面角C DE B --的平面角为θ，由图可知>=<21,n n θ ∴33,cos cos 21>=<=n n θ 故二面角B DE C --的余弦值为33． （Ⅲ）∵)1,1,0(),2,2,2(=-= ∴0220,.PB DE PB DE =+-=∴⊥假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设)10(<<=λλ， 则(2,2,2)PF λλλ=-，(2,2,22)DF DP PF λλλ=+=-由0PF DF ∙=得22442(22)0λλλλ+--= ∴PBPF 31)1,0(31=∈=，此时λ即在棱PB 上存在点F ，PB PF 31=，使得PB ⊥平面DEF ． 法二：（I ）连接AC ，AC 交BD 于O ，连接OE ．在PAC ∆中，OE 为中位线，∴OE //PAPA BDE ⊄又平面,∴PA //平面BDE ．（II ）PD ⊥底面ABCD ,∴ 平面PDC ⊥底面ABCD ，CD 为交线,BC ⊥CD∴平面BCE ⊥平面PDC ，PC 为交线, PD =DC ，E 是PC 的中点∴DE ⊥PC∴DE ⊥平面PBC ，∴ DE ⊥BE ∴BEC ∠即为二面角B DE C --的平面角．设PD DC a ==，在Rt BCE ∆中,33cos ,26,,22=∠∴===BEC a BE a BC a CE 故二面角B DE C --的余弦值为33．（Ⅲ）由（II ）可知DE ⊥平面PBC ，所以DE ⊥PB ，所以在平面PDE 内过D 作DF ⊥PB ，连EF ，则PB ⊥平面DEF ．在Rt PDB ∆中,PD a =，BD =，PB =，a PF 33=．所以在棱PB 上存在点F ，PB PF 31，使得PB ⊥平面DEF ． 18．19．20．。