最新动物集群运动行为模型系列之八

动物集群运动行为模型系列之八动物集群运动行为研究摘要以集群现象为研究对象的群体系统是一个由大量自治个体组成的集合，在无集中式控制和全模型的情况下，一般通过个体的局部感知作用和相应的反应行为使得整体呈现出复杂的涌现行为。

本文着重解决了动物群的迁徙、逃避捕食者以及觅食等群体行为。

针对问题一，研究群体迁徙行为，在考虑靠近规则、对齐规则、避免碰撞规则的基础上，建立了一个个体自身运动受视野范围内其他个体共同作用的模型。

在模型中主要考虑了个体的位置变化、瞬时速度大小和方向。

通过每一时间间隔的变化，观察最后的运动趋势。

通过计算机仿真得到个体运动行为图，经过一段时间，各个个体运动趋向于同一方向，并向集群质心靠拢。

针对问题二，研究逃避捕食者的运动行为，通过分析个体与捕食者间的相对位置变化，来判断每个个体的运动速度大小和方向，模拟出动物群躲避捕食者的运动路线图。

针对问题三，研究觅食行为，在迁徙模型的基础上，当种群中出现一些带有引导信息的个体时，研究对整个种群的影响，考虑带信息的个体运动是不受其他个体影响的。

通过仿真，对误差数据进行分析，研究领导者占不同比例时，觅食行为的结果，当领导者比例至少为12%时，才能成功觅食。

关键字：集群运动迁徙模型躲避模型觅食模型智能仿真一、问题重述1.1 问题背景自然界中存在着大量的群体运动现象，在宏观上，天体（恒星，行星，星云等）之间的聚集形成星系的运动，大气层中的水汽聚集形成大气运动，以及生物界中的鸟群、鱼群、蚁群等的运动。

在微观上，细菌等微生物以及人类的黑色素细胞也会进行群体运动，奇怪的是，尽管生物群体中的个体具有有限的感知能力和智力水平，整个群体却能表现出复杂的运动行为，例如保持群体成员间在运动速度和方向上的同步，朝同一目标（食物、栖息地等）行进，这些群体还可以形成特殊的空间结构以应对紧急情况（如躲避障碍物或逃避抵御捕食者）等。

以集群现象为研究对象的群体系统是一个由大量自治个体组成的集合，在无集中式控制和全模型的情况下，一般通过个体的局部感知作用和相应的反应行为使得整体呈现出复杂的涌现行为。

如何对这种集群行为进行数学建模，并将其应用与人工世界，是目前复杂性科学的前沿课题。

研究群集系统具有实际意义，一方面，它是理解生物复杂性的一个途径，另一方面，可以借鉴生物的智慧，把分布式策略用在自治多代理系统（如多机器人或自治飞行器系统）的控制、协调以及编队控制中。

这些系统的共同特点是：个体自治、无全局通讯、无集中式控制。

通过设计一定的控制规律，可以使系统整体呈现出所期望的涌现行为。

群集的研究还有可能用来解释群集智能的产生，每一个个体并不是非常智慧的主体，但它们之间通过协作却可以展现出一定的智能行为，因此在工程上具有潜在的应用价值。

1.2 目标任务观察给出的图片和视频资料，或者在网上搜索相关资料观察，思考动物集群运动的机理，建立数学模型刻画动物集群运动、躲避威胁等行为，例如，可以考虑以下问题的分析建模：(1). 建立数学模型模拟动物的集群运动。

(2). 建立数学模型刻画鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼的运动行为。

(3). 假定动物群中有一部分个体是信息丰富者 (如掌握食物源位置信息，掌握迁徙路线信息) ，请建模分析它们对于群运动行为的影响，解释群运动方向决策如何达成。

二、模型假设（1）、假设个体运动只受其视野范围内其它个体运动的影响。

（2）、假设不考虑个体形状的差别。

（3）、假设不考虑个体转弯需要的时间。

（4）、假设领导者的运动是不受其它个体影响的。

（5）、假设迁徙和觅食的过程中，忽略虑捕食者的存在。

三、符号说明2 D t∆i tλ四、模型的建立与求解4.1 迁徙模型建立与求解4.1.1问题分析为了模拟动物的集群运动，考虑物体的运动规律，在群体运动中每个个体的行为会受到其他个体的影响。

根据这种影响，建立一个位置和速度的改变模型，通过对不同时刻不同个体的位置以及运动方向等信息的描述就可以判断整个群体的运动规律，进而分析集群运动的一致性。

4.1.2模型原则以集群形式为生存策略的群居性动物组成的群体系统是一个由大量自治个体组成的集合。

这种系统的特点是其每个个体进行集中式控制并建立全局模型。

而Vicsek 模型通过个体的局部感知作用和周围其他个体对其影响形成对个体的位置和速度的确定，最终完成对整体的描述。

每个个体的行为由下面的三条简单规则控制：（1）靠近规则的实现：每个个体都有向邻居中心靠拢的特性，邻居中心观察范围内各个体所在位置的平均值()ip p i N N =∈∑，010arctan y y D x x -=-，(,)p x y 为邻居平均值，000(,)p x y 为当前个体的位置，i p 为当前各个邻居的位置，1D 为当前个体的方向。

（2）对齐规则的实现：个体会和它的邻居朝同一个方向游动。

公式表示为2()iQ D i N N =∈∑，i Q 为各个邻居的方向，N 为邻居的个数，2D 为邻居的平均方向。

（3）避免碰撞规则的实现：当个体和它的邻居靠的太近的时（距离小于碰撞距离），应自动避开。

公式表示为030arctan ()ii y y D M i M x x -=∈-∑，3D 为小于碰撞距离的邻居到当前个体方向的平均值，M 为邻居中小于碰撞距离的邻居个数。

这三条规则是按照优先级从高到低排列的。

碰撞避免具有最高优先级而聚合具有最低优先级。

因此，通过定义静态优先级避免了可能的行为冲突。

4.1.3二维空间模型陆生动物中的群居性动物，如鹿群通常在平坦的地面运动。

通常可将其运动看作是二维空间的运动。

因此，先在二维空间建立集群运动的数学模型。

4.1.3.1坐标更新原则首先，本文将一个动物群体中的个体视为一个具有速度和初始位置的个体。

由于个体的运动不会发生突变，因此假设个体在很短的一段时间内遵循匀速直线运动。

所以本文将时间进行离散化处理。

当采样频率比较高时，离散的模型造成的误差可忽略不计。

在平面坐标系中，可知(1)t +时刻个体i 的位置(1)i x t +可由式(1)确定：()(1)()()1i i i x t x t v t t +=+∆其中，()i v t 为个体i 在时刻t 时的速度；t ∆是采样周期，用来减小个体运动时的步长，它的引入会使个体的运动轨迹更加平滑。

个体的初始位置是已知的，因此只要知道个体每一采样时刻对应的速度大小和方向，就可根据上式递推求出其运动轨迹。

最终，所有个体的轨迹都求得后，整个群体的集群运动便由模型求出。

4.1.3.2速度方向更新原则速度方向的确定：在二维空间内，个体的运动方向是会发生改变。

而集群动物中的个体聚集性很强，总尽可能地保持运动方向和速度大小一致。

所以，个体的运动不仅受自身意愿控制，还受周围临近的其他个体的运动状态影响。

因此在模型中，个体在某时刻的运动方向不仅与自身上一时刻的方向有关，还与其周围个体的运动方向有关。

首先分析周围个体的运动方向对其速度方向的影响。

个体对周围同伴的感知是局部范围的，他们只能与距离较近的同伴交换信息。

自然界中的动物主要依靠视觉和听觉感知和获取来自邻近同伴的运动方向，并且这种感知是有一定范围的。

根据生物学知识可知，动物的视觉范围是半径为0r ，角度为α的扇形（不同物种的r 和α取值不同），听觉的感知范围是一个半径为1r 的圆形区域（一般10r r >）。

所以定义一个以个体自身为圆心的，半径为1r 的圆形区域为感知范围。

也就是说，只有处在这个圆形的感知区域中的同伴才会对本个体的运动产生影响。

对个体i 产生影响的其他个体可构成下面这个集合。

{}1()()i ij t j d t r λ=<受距离影响，两个体的距离越近，互相影响的程度越大。

因此定义当个体i 与个体j 的距离为ij d 时，个体j 对个体i 的速度方向改变影响力大小为1()j ij t d θ，n 为集合()i t λ中元素的个数。

因此，整个感知区域内的个体对个体i 运动方向的影响力大小为： 111()1nj j ijij t d d θ=∑∑。

考虑到个体的运动方向还受自身上一时刻运动方向的影响，所以个体i 在(1)t +时刻的速度方向(1)i t θ+可由式(2)确定：()111(1)()()21n i i j j ijij t t t d d θαθβθ=+=+∑∑其中，()i t θ为个体i 在t 时刻的速度方向。

α和β为赋予两个不同影响因素的权值，有1αβ+=。

关于α和β值的确定比较复杂。

因为个体行为由初始状态（初始角度和位置）、邻域半径r 和运动速率v 确定，进一步每个个体的邻居由其他个体的位置决定，每个个体的角度由邻居的角度决定，同样角度也会影响位置，因此所有个体之间的位置和角度之间形成复杂的非线性关系。

下面对这两各参数取不同的值进行比较，观察其变化对个体方向变化的影响。

下图是根据一个由四个个体组成的集群的运动方向的改变过程。

()0.3a β=图 ()1b β=图图1：速度方向收敛示意图β取值的大小反映出其他个体对个体的影响力大小。

β值越大，个体的速度方向改变决策越依赖于其他个体的运动状态。

但由上面两图可以看出，不管β的取值是多少，集群中的个体最终都会聚合到同一个运动方向。

但当β的值增加时，个体的运动方向振荡比较严重。

4.1.3.3速度大小更新原则速度大小的确定：考虑到集群运动过程中，个体运动要尽量聚合到一起，但在聚合过程中速度控制不好可能会发生碰撞。

因此要避免碰撞并尽量聚合，则每个个体的运动速度要实现匹配。

当两个体距离较远时，后面的个体会加快速度，以缩短距离，提高聚合度。

而距离太近时，为防止某以个体速度突然改变而造成碰撞，后面的个体又会降低速度，以保持安全距离。

如下图所示：v ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩0d 安全距离图2：速度大小更新示意图个体的速度方向确定后，速度大小可由以下分析得出，在一维方向上单纯分析速度时，定义个体i 的速度i v 为：()0()3i v k d d v v=-+其中，0d 为前后两物体的安全距离，d 为两物体的实际距离，v 为前者的速度。

现假设安全距离00.2d =，则若两个体在一维空间同向运动，当前面的个体以1/m s 的速度运动时，后面的个体运动速度随两者的距离变化如下图所示。

图3：速度大小随距离变化示意图可见，当距离较大时，后者会以较高的速度接近前者，但随着两者距离的减小，后者的速度也会随之减小。

而前者的速度一直不变主要是因为后者并不再其视觉的感知区域。

()0.05a d =图 ()0.8b d =图图4：距离变化示意图由图(a)可知，当两个体的距离0.05d =时，后者会通过调节速度，最终平稳地使两者的距离增大到安全距离以避免发生碰撞；相应地由图(b)可知，当两个体的距离0.8d =时，后者会通过调节速度，最终平稳地使两者的距离减小到安全距离以提高聚合。