应用概率统计综合作业三精修订
吴赣昌编 《概率论与数理统计》(经管类三版) 第二章
吴赣昌经管类三版复习提要及课后习题解答习题2-2题型一：求随机变量的分布律、分布律的性质应用、由分布律求概率（题1-7）1. 设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，求λ，(1)P X ≥=2(03)P X <<=.解：122(1)2(0)1!2!2P X eeλλλλλλλλ--===⇒=⇒=>2、设随机变量的分布律为{}(1,2,3,4,5)15kP X k k ===，求（1）15{}22P X <<；（2）{13}P X ≤≤；（3）{3}P X > 解：由分布律的性质51{}1k P X k ===∑，得（1）15121{}{1}{2}2215155P X P x x <<==+==+=（2）312{13}155k k P X =≤≤==∑（3）3{3}1{3}1{13}5P X P X P X >=-≤=-≤≤=3、已知X 只取-1，0，1，2四个值，相应的概率为1357,,,24816c c c c，求常数c ，并计算{1|0}P X X <≠。
解：由分布律的性质有1357124816c c c c+++=，所以3716c ={1,0}{1}8{1|0}{0}{1}{1}{2}25P X X P X P X X P X P X P X P X <≠=-<≠===≠=-+=+=4、一袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，在袋中同时取5只球，以X 表示取出的3只球中的大号码，求X 的分布律。
解：由题意知，X 所有可能取到的值为3，4，5，由古典概率计算公式可得分布律为3511{3}10P X C===，23353{4}10C P X C ===，24356{5}10C P X C ===5、某加油站替出租公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元。
因为代出租汽车这项业务，每天加油站需多付职工的服务费60元。
概率统计简明教程课后习题答案(工程代数_同济大学版)
45 5 1 2 k 45 44 5 3! 99 P( A) n 50 49 48 2! 392 50 3
1 1 (2) A B x 0 x 或 1 x 2 B x x 2 4 (3) 因为 A B ，所以 AB ； 1 x 1 x 2 3 ; 2
1 1 1 3 3 (4) A B A x 0 x 或 x 2 x 0 x 或 x 1或 x 2 4. 用事件 A, B, C 4 2 4 2 2 的运算关系式表示下列事件： (1) A 出现， B, C 都不出现（记为 E1 ） ； (2) A, B 都出现， C 不出现（记为 E 2 ） ； (3) 所有三个事件都出现（记为 E3 ） ； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为 E 4 ） ； (5) 三个事件都不出现（记为 E5 ） ；
(6) E6 A B C AB C A BC A B C ；
(7) E7 ABC A B C ；(8) E8 AB AC BC . 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设 Ai 表示事件“第 i 次 抽到废品” ， i 1,2,3 ，试用 Ai 表示下列事件： (1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品； (4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。 解 (1) A1 A2 ； (2) A1 A2 A3 ； (3) A1 A2 A3 ； (4) A1 A2 A3 ； (5) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 . 6. 接连进行三次射击，设 Ai ={ 第 i 次射击命中 } ， i 1,2,3 ， B { 三次射击恰好命中二次 } ，
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x
1) 2
2y 1 (1/ 2)4 0,
32 y， 15
1 y 1 4 其他
21
第3章 多维随机变量及其分布
(3)
习题13
P{Y
1|X 4
1} 2
1/ 4
fY|X ( y,1/ 2)dy
1 32 ydy 1 1/ 4 15
P{Y 3 | X
4
1} 2
3/ 4 fY|X ( y,1/ 2)dy
0
2
1
3
1
3
(2) P{X 1,Y 3} dx dyf (x, y) dx dyf (x, y) 3k 3 / 8
0
2
(3) P{X 1.5}
1.5
dx
dyf (x, y)
1.5
dx
4
27 27
dyf (x, y) k
Y
0
2
4 32
(4) 4
2
2
4x
16 2
P{X Y 4} 0 dx2
5
/
2
,
0 y 1
0,
其他
习题13
19
第3章 多维随机变量及其分布
习题13
(1)
f X |Y (x | y)
f (x, y) fY ( y)
cx2 y
2 3
cy
5
/
2
3 x2 y 3/ 2，x2 2
y 1
0,
其他
f X |Y
(x
|
y
1) 2
3
x2
(
1
)3/
2
2 2
0,
3
2x2，x2 1 2
天津大学《应用统计学》在线作业一
《应用统计学》在线作业一-00001第1题. 按变量的性质和数据的多少划分，变量数列可分为（）。
选项A：等距数列与异距数列选项B：开口组数列与闭口组数列选项C：单项数列与组距数列选项D：等差数列与等比数列参考答案：C第2题. 设折中系数为0.7，这表明（）。
选项A：未来各种状态具有相同的概率选项B：最不理想的状态不可能出现选项C：最理想的状态出现的可能性较大选项D：最不理想的状态出现的可能性较大参考答案：C第3题. 当时间序列的长期趋势近似于水平趋势时，测定季节变动时（）。
选项A：要考虑长期趋势的影响选项B：可不考虑长期趋势的影响选项C：不能直接用原始资料平均法选项D：剔除长期趋势的影响参考答案：B第4题. 绘制产品质量控制图的关键是（）。
选项A：数据的选取和分组选项B：计算控制上下限和中心线选项C：计算各个样本数据选项D：确定使用哪种控制图参考答案：B第5题. 如果所有标志值的次数都增加一倍，而标志值不变，则算术平均数（）。
选项A：增加选项B：减少选项C：不变选项D：无法确定参考答案：C第6题. 样本均值与总体均值之间的差被称为（）。
选项A：抽样误差选项B：点估计选项C：均值的标准误差选项D：区间估计参考答案：A第7题. 实践中常用、理论上最重要的统计指数种类是（）。
选项A：动态对比指数选项B：空间对比指数选项C：计划完成情况指数选项D：静态对比指数参考答案：A第8题. 从编制原理的角度看，总指数的两种基本形式为（）。
选项A：综合指数和平均指数选项B：简单指数和平均指数选项C：算术平均数和调节平均数选项D：可变构成指数和不变构成指数参考答案：A第9题. 某工业企业产品年生产量为20万件，期末库存5.3万件，它们（）。
选项A：是时期指标选项B：是时点指标选项C：前者是时期指标，后者是时点指标选项D：前者是时点指标，后者是时期指标参考答案：C第10题. 环比发展速度与定基发展速度之间的关系是（）。
概率论与数理统计的作业及解答
概率论与数理统计作业及解答第一次作业★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为;E ABC ABC ABC ABC =+++或;ABAC BC =或;AB AC BC =或;AB ACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++(和A B +即并A B ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.221M mM C C --或1122(21)(1)m M m m MC C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率.A ={8只鞋子均不成双},B ={恰有2只鞋子成双},C ={恰有4只鞋子成双}.61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414872616()80()0.5594,143C C C P B C === 2212862616()30()0.2098.143C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求:(1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率.(1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392C C C == 5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求: (1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率.(1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4},9=(2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5},9=或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45}1.99=-=6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率.记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}.(1) 253101();12C P A C ==(2) 243101().20C P B C ==7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次,求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}.311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8()1(),9P D P B =-=3328(),327P E ==311(),327P F ==2()2().27P G P A ==☆.某班n 个男生m 个女生(m ≤n +1)随机排成一列, 计算任意两女生均不相邻的概率.☆.在[0, 1]线段上任取两点将线段截成三段, 计算三段可组成三角形的概率. 14第二次作业1. 设A , B 为随机事件, P (A )=0.92, P (B )=0.93, (|)0.85P B A =, 求:(1)(|)P A B , (2)()P A B ∪. (1) ()()0.85(|),()0.850.080.068,()10.92P AB P AB P B A P AB P A ====⨯=-()()()()()()P AB P A P AB P A P B P AB =-=-+0.920.930.0680.058,=-+=()0.058(|)0.83.()10.93P AB P A B P B ===-(2)()()()()P A B P A P B P AB =+-0.920.930.8620.988.=+-=2. 投两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率. 记事件A ={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B ={(1,6),(6,1)}. 21(|).63P B A ==★.在1—2000中任取一整数, 求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率. 记事件A ={能被5除尽}, B ={能被7除尽}.4001(),20005P A ==取整2000285,7⎡⎤=⎢⎥⎣⎦28557(),2000400P B ==200057,57⎡⎤=⎢⎥⨯⎣⎦57(),2000P AB = ()()1()1()()()P AB P AB P AB P A P B P AB ==-=--+1575710.686.54002000=--+=3. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B )、P (B |A )、P (A B ).()1/103(|),()7/1514P AB P A B P B ===()1/103(|),()4/158P AB P B A P A ===()()()()P A B P A P B P AB =+-47119.15151030=+-=4. 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2,若第一次落下未摔破,第二次落下时摔破的概率是7/10,若前二次落下未摔破,第三次落下时摔破的概率是9/10,试求落下三次而未摔破的概率．记事件i A ={第i 次落下时摔破},1,2,3.i = 1231213121793()()(|)(|)111.21010200P A A A P A P A A P A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5. 设在n 张彩票中有一张奖券,有3个人参加抽奖,分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率．记事件i A ={第i 个人摸到奖券},1,2,3.i =由古典概率直接得1231()()().P A P A P A n ===或212121111()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n-====-31231213121211()()()(|)(|).12n n P A P A A A P A P A A P A A A n n n n--====--或 第一个人中奖概率为11(),P A n=前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n +=+=解得21(),P A n=前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n ++=++=解得31().P A n=6. 甲、乙两人射击, 甲击中的概率为0.8, 乙击中的概率为0.7, 两人同时射击, 假定中靶与否是独立的.求(1)两人都中靶的概率; (2)甲中乙不中的概率; (3)甲不中乙中的概率. 记事件A ={甲中靶},B ={乙中靶}. (1) ()()()0.70.70.56,P AB P A P B ==⨯=(2) ()()()0.80.560.24,P AB P A P AB =-=-= (3) ()()()0.70.560.14.P AB P B P AB =-=-=★7. 袋中有a 个红球, b 个黑球, 有放回从袋中摸球, 计算以下事件的概率: (1)A ={在n 次摸球中有k 次摸到红球}; (2)B ={第k 次首次摸到红球};(3)C ={第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}.(1) ();()k n kk n kk k nnna b a b P A C C a b a b a b --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(2) 11();()k k kb a ab P B a b a b a b --⎛⎫== ⎪+++⎝⎭ (3) 1111().()rk rr k rr r k k ka b a b P C CCa b a b a b ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭8.一射手对一目标独立地射击4次, 已知他至少命中一次的概率为80.81求该射手射击一次命中目标的概率.设射击一次命中目标的概率为,1.p q p =-4801121,,1.818133q q p q =-===-= 9. 设某种高射炮命中目标的概率为0.6, 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标.(10.6)10.99,n -<-0.40.01,n <由50.40.01024,=60.40.01,<得 6.n ≥ ☆.证明一般加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nn n n i i i i j ij ki i i i ji j kP A P A P A A P A A A P A -===<<<=-+++-∑∑∑证明 只需证分块111,,k k n k i i i i i i A A A A A A +⊂只计算1次概率．(1,,n i i 是1,,n 的一个排列,1,2,,.k n =)分块概率重数为1,,k i i A A 中任取1个-任取2个1(1)k -++-任取k 个,即121(1)1k k k k k C C C --++-=⇔ 121(1)(11)0.k k k k k k C C C -+++-=-=将,互换可得对偶加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nnn n i i i ij ij k i i i i ji j kP A P A P A A P AA A P A -===<<<=-+++-∑∑∑☆.证明 若A , B 独立, A , C 独立, 则A , B ∪C 独立的充要条件是A , BC 独立. 证明(())()()()()P A B C P AB AC P AB P AC P ABC ==+- ()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- 充分性:⇐(())()()()()(),P A B C P A P B P A P C P ABC =+-代入()()()P ABC P A P BC = ()(()()())P A P B P C P BC =+-()(),P A P B C = 即,A B C 独立. 必要性:⇒(())()()P A B C P A P B C =()(()()())P A P B P C P BC =+-()()()()()()P A P B P A P C P A P BC =+-()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- ()()(),P ABC P A P BC =即,A BC 独立.☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立． 证明 因为[()]()()()()()()()()()()()[()()()()]()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC P A P C P B P C P A P B P C P A P B P A P B P C P A B P C ==+-=+-=+-=[()]()()()()[()()]()()()P AB C P ABC P A P B P C P A P B P C P AB P C ==== [()]()()()()()()()()[()()]()()()P A B C P AC B P AC P ABC P A P C P A P B P C P A P AB P C P A B P C -=-=-=-=-=-所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立. 第三次作业1. 在做一道有4个答案的选择题时, 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测. 设他知道问题的正确答案的概率为p , 分别就p =0.6和p =0.3两种情形求下列事件概率: (1)学生答对该选择题; (2)已知学生答对了选择题,求学生确实知道正确答案的概率. 记事件A ={知道问题正确答案},B ={答对选择题}.(1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+113,444p pp -=+=+ 当0.6p =时,13130.67()0.7,444410p P B ⨯=+=+== 当0.3p =时,13130.319()0.475.444440p P B ⨯=+=+==(2) 由贝叶斯公式得()4(|),13()1344P AB p pP A B p P B p ===++ 当0.6p =时,440.66(|),13130.67p P A B p ⨯===++⨯ 当0.3p =时,440.312(|).13130.319p P A B p ⨯===++⨯ 2. 某单位同时装有两种报警系统A 与B , 当报警系统A 单独使用时, 其有效的概率为0.70; 当报警系统B 单独使用时, 其有效的概率为0.80.在报警系统A 有效的条件下, 报警系统B 有效的概率为0.84.计算以下概率: (1)两种报警系统都有效的概率; (2)在报警系统B 有效的条件下, 报警系统A 有效的概率; (3)两种报警系统都失灵的概率.()0.7,()0.8,(|)0.84.P A P B P B A === (1) ()()(|)0.70.840.588,P AB P A P B A ==⨯=(2) ()0.588(|)0.735,()0.8P AB P A B P B === (3) ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+10.70.80.5880.088.=--+=☆.为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B . 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0. 92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85,. 求: (1)发生意外时, 两个报警系统至少有一个有效的概率; (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率.3. 设有甲、乙两袋, 甲袋中有n 只白球, m 只红球; 乙袋中有N 只白球, M 只红球. 从甲袋中任取一球放入乙袋, 在从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率是多少. 记事件A ={从甲袋中取到白球},B ={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+111n N m Nn m N M n m N M +=+++++++().()(1)n N n m n m N M ++=+++☆.设有五个袋子, 其中两个袋子, 每袋有2个白球, 3个黑球. 另外两个袋子, 每袋有1个白球, 4个黑球, 还有一个袋子有4个白球, 1个黑球. (1)从五个袋子中任挑一袋, 并从这袋中任取一球, 求此球为白球的概率. (2)从不同的三个袋中任挑一袋, 并由其中任取一球, 结果是白球, 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？★4. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号 “·” 及 “-”. 由于通信系统受到于扰, 当发出信号 “·” 时, 收报台分别以概率0.8及0.2收到信息 “·” 及 “-”; 又当发出信号 “-” 时, 收报台分别以概率0.9及0.l 收到信号 “-” 及 “·”. 求: (1)收报台收到 “·”的概率;(2)收报台收到“-”的概率;(3)当收报台收到 “·” 时, 发报台确系发出信号 “·” 的概率;(4)收到 “-” 时, 确系发出 “-” 的概率.记事件B ={收到信号 “·”},1A ={发出信号 “·”},2A ={发出信号“-”}.(1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=;52.01.04.0)2.01(6.0=⨯+-⨯= (2) ()1()10.520.48;P B P B =-=-=(3) 1111()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.60.8120.923;0.5213⨯=== (4)2222()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.40.930.75.0.484⨯=== 5. 对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品合格率为90%, 而机器发生某一故障时, 产品合格率为30%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为75%. (1)求机器产品合格率,(2)已知某日早上第一件产品是合格品, 求机器调整良好的概率. 记事件B ={产品合格},A ={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+0.750.90.250.30.75,=⨯+⨯=(2) 由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P AB P A P B A P A B P B P B ==0.750.90.9.0.75⨯== ☆.系统(A), (B), (C)图如下, 系统(A), (B)由4个元件组成, 系统(C)由5个元件组成, 每个元件的可靠性为p , 即元件正常工作的概率为p , 试求整个系统的可靠性.(A) (B) (C) 记事件A ={元件5正常},B ={系统正常}.(A) 222(|)(1(1)(1))(44),P B A p p p p p =---=-+ (B) 2222(|)1(1)(1)(2),P B A p p p p =---=- (C) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+2222(44)(1)(2)p p p p p p p =⋅-++-- 23452252.p p p p =+-+第四次作业1. 在15个同型零件中有2个次品, 从中任取3个, 以X 表示取出的次品的个数, 求X 的分布律.2213315(),0,1,2.k k C C P X k k C -=== X0 1 2 P 22/35 12/35 1/35☆.经销一批水果, 第一天售出的概率是0.5, 每公斤获利8元, 第二天售出的概率是0.4, 每公斤获利5元, 第三天售出的概率是0.1, 每公斤亏损3元. 求经销这批水果每公斤赢利X X3- 5 8 P 0.1 0.4 0.50,3,(3)(3)0.1,35,()(5)(3)(5)0.10.40.5,58,(8)1,8.x F P X x F x F P X P X x F x <-⎧⎪-==-=-≤<⎪=⎨==-+==+=≤<⎪⎪=≥⎩2. 抛掷一枚不均匀的硬币, 每次出现正面的概率为2/3, 连续抛掷8次, 以X 表示出现正面的次数, 求X 的分布律.(8,2/3),X B n p ==8821(),0,1,,8.33k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35, 以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数, 写出X 的分布律, 并计算X 取偶数的概率.(0.35),X G p =11()0.350.65,1,2.k k P X k pq k --===⨯= ()+()=1,()()=,P X P X P X P X q ⎧⎪⎨⎪⎩奇偶偶奇 解得0.6513()=0.394.110.6533q P X q ==++偶4. 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机, 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1,求在同一时刻:(1)恰有2个刷卡机被使用的概率;(2)至少有3个刷卡机被使用的概率; (3)至多有3个刷卡机被使用的概率;(4)至少有一个刷卡机被使用的概率. 在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).X B n p ==(1) 2224(2)0.10.90.00486,P X C ==⨯⨯= (2) 3344(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P X P X P X C ≥==+==⨯⨯+= (3) 4(3)1(4)10.10.9999,P X P X ≤=-==-=(4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P X P X ≥=-==-=-=5. 某汽车从起点驶出时有40名乘客, 设沿途共有4个停靠站, 且该车只下不上. 每个乘客在每个站下车的概率相等, 并且相互独立, 试求: (1)全在终点站下车的概率; (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率; (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率. 记事件A ={任一乘客在终点站下车},乘客在终点站下车人数(40,1/4).X B n p ==(1) 40231(40)8.271810,4P X -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭(2) 403940140313433(2)1(0)(1)1144434P X P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.0001340880.999865912.=-=(3) 记事件B ={任一乘客在后两站下车},乘客在后两站下车人数(40,1/2).Y B n p ==2020202040404011(20)0.1268.222C P Y C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(精确值)应用斯特林公式!2,nn n n e π⎛⎫ ⎪⎝⎭2020202040404011(20)222C P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24040!(20!)2= 402204040202e e ⎫⎪⎝⎭⎫⎫⎪⎪⎪⎭⎭0.1262.=其中 1.7724538509.π==参:贝努利分布的正态近似.6. 已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002, 有2000件瓷器运到, 求: (1)恰有2个受损的概率; (2)小于2个受损的概率; (3)多于2个受损的概率; (4)至少有1个受损的概率. 受损瓷器件数(2000,0.002),X B n p ==近似为泊松分布(4).P n p λ=⨯=(1) 2441480.146525,2!P e e --=== (2) 4424150.0915782,1!P e e --⎛⎫=+== ⎪⎝⎭(3) 431211130.761897,P P P e-=--=-= (4) 4410.981684.P e -=-=7. 某产品表面上疵点的个数X 服从参数为1.2的泊松分布, 规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品, 求产品的合格品率.产品合格品率2 1.2 1.21.2 1.212.920.879487.1!2!P e e --⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭ ★8. 设随机变量X求:X 的分布函数, 以及概率(||5).X ≤ 随机变量X 的分布函数为0,3,(3)(3)0.2,35,()(5)(3)(5)0.20.50.7,58,(8)1,8.x F P X x F x F P X P X x F x <-⎧⎪-==-=-≤<⎪=⎨==-+==+=≤<⎪⎪=≥⎩(36)(5)0.5,P X P X <≤===(1)(5)(8)0.50.30.8,P X P X P X >==+==+=(5)(||5)(5)(3)(5)0.20.50.7,P X P X F P X P X ≤=≤===-+==+=第五次作业1. 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位: 小时), 其密度函数是2,00.5()0,kx x x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他试求: (1)系数k ; (2)X 的分布函数; (3)在15分钟内完成一道作业的概率; (4)在10到20分钟之间完成一道作业的概率. (1) 0.50.523200111(0.5),21,32248kk F kx xdx x x k ⎛⎫==+=+=+= ⎪⎝⎭⎰(2) 23200,01()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.x x F x P X x x xdx x x x F x <⎧⎪⎪=≤=+=+≤<⎨⎪=≥⎪⎩⎰(3) 322011119()2170.140625,442464x F P X x x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰(4) 3212316111111129217.6336424108P X F F x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤=-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰2. 设连续型随机变量X 服从区间[-a , a ](a >0)上的均匀分布, 且已知概率1(1)3P X >=, 求: (1)常数a ; (2)概率1()3P X <.(1) 1111(1),3,223aa P X dx a a a ->====⎰(2) 13311115()3.36639P X dx -⎛⎫<==+= ⎪⎝⎭⎰3. 设某元件的寿命X 服从参数为θ 的指数分布, 且已知概率P (X >50)=e -4, 试求:(1)参数θ 的值; (2)概率P (25<X <100) . 补分布()()|,0.x x xx xS x P X x e dx e ex θθθθ+∞--+∞->==-=>⎰ (1) 504502(50)(50),0.08,25x S P X e dx e e θθθθ+∞---=>=====⎰(2) 由()(),,0,rxr S rx e S x r x θ-==>取50,x =依次令1,2,2r =得12282(25)(25)(50),(100)(100)(50)S P X S e S P X S e --=>===>==0.0003354563,=其中 2.7182818284.e28(25100)(25)(100)P X P X P X e e --<<=>->=- 0.135334650.00033545630.1349991937.=-= 4. 某种型号灯泡的使用寿命X (小时)服从参数为1800的指数分布, 求: (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率; (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率. (1) 1312008002(1200)0.2231301602,P X ee-⨯->===1.6487212707001.= (2) 932(1200)0.0111089965.P X e->==5. 设X ~N (0, 1), 求: P (X <0.61), P (-2.62<X <1.25), P (X ≥1.34), P (|X |>2.13). (1) (0.61)(0.61)0.72907,P X <=Φ=(2) ( 2.62 1.25)(1.25)( 2.62)(1.25)(2.62)1P X -<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-0.894359956010.88995,=+-=(3) ( 1.34)1(1.34)10.909880.09012,P X >=-Φ=-=(4)(|| 2.13)22(2.13)220.983410.03318.P X >=-Φ=-⨯=6. 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X ~N (4,19). 设飞机上午10: 10从甲地起飞, 求: (1)飞机下午2: 30以后到达乙地的概率; (2)飞机下午2: 10以前到达乙地的概率; (3)飞机在下午1: 40至2: 20之间到达乙地的概率.(1) 131331/34111(1)10.841340.15866,331/3P X P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2) (4)(0)0.5,P X <=Φ=(3) 72525/647/24261/31/3P X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13122⎛⎫⎛⎫=Φ+Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.691460.9331910.62465.=+-=★7. 设某校高三女学生的身高X ~N (162, 25), 求: (1)从中任取1个女学生, 求其身高超过165的概率; (2)从中任取1个女学生, 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率; (3)从中任取6个女学生, 求其中至少有2个身高超过165的概率.(1) 162165162(165)0.61(0.6)10.72580.2742,55X P X P --⎛⎫>=>==-Φ=-=⎪⎝⎭ (2) 162(|162|5)12(1)120.8413410.6827,5X P X P ⎛-⎫-<=<=Φ-=⨯-= ⎪⎝⎭(3) 记事件A ={任一女生身高超过165}, ()(165)0.2742,p P A P X ==>= 随机变量Y 贝努利分布(6,0.2742),B n p ==6156(2)1(0)(1)1(1)(1)0.52257.P Y P Y P Y p C p p ≥=-=-==----=第六次作业★1.设随机变量X 的分布律为(1)求Y =|X |的分布律; (2)求Y =X 2+X 的分布律. (1)(2)★.定理X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则()Y g X =是连续型变量,密度为(())|()|,()(),()0,XY f x y x y g x y g x f y αβ'=<<=⎧=⎨⎩极小值极大值其它. 证明 1)若()0,x x y ''=>{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≤()()(()())()(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≤= 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=<<2)若()0,x x y ''=<{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≥()()(()())()1(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≥=- 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=-<<因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y αβ'=<< 或证明()(),()0,()()(()())()1(),()0,X Y XP X x F x g x F y P Y y P g X g x P X x F x g x '≤=>⎧=≤=≤=⎨'≥=-<⎩ 两边对y 求导,(),()(),X Y X dF x dxdx dyf y dF x dx dx dy ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩或两边微分()(),()()()(),X X Y Y X XdF x f x dx dF y f y dy dF x f x dx =⎧==⎨-=-⎩(),()(),X Y X dx f x dy f y dxf x dy ⎧⎪=⎨-⎪⎩(())|()|,.X f x y x y y αβ'=<<2. 设随机变量X 的密度函数是f X (x ), 求下列随机变量函数的密度函数: (1)Y =tan X ; (2)1Y X=; (3)Y =|X |. (1) 反函数()arctan ,x y y ='21(),1x y y =+由连续型随机变量函数的密度公式得 '21()(())|()|(arctan ).1Y X Xf y f x y x y f y y ==+ 或 反函数支()arctan ,i x y i y i π=+为整数，'21(),1i x y y =+'21()(())|()|(arctan ).1Y X i iX i i f y f x y x y f i y y π+∞+∞=-∞=-∞==++∑∑(2) 1,X Y =反函数1,y x y='211()()().Y X y y X f y f x x f y y ==(3) ()()(||)()()()Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y =≤=≤=-≤≤=--. 两边对y 求导得Y 的密度函数为()()(),0.Y X X f y f y f y y =+->★3. 设随机变量X ~U [-2, 2], 求Y =4X 2-1的密度函数.2()()(41)(115,Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=≤=-≤≤两边对y 求导得随机变量Y 的密度为()115.Y f y y =-≤≤ 或解反函数支12()()x y x y =='''112211()(())|()|(())|()|2(())()115.Y X X X f y f x y x y f x y x y f x y x y y =+==-≤≤★4. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布, 求Y =X 2的密度函数(Weibull 分布). 当0y ≤时, 2Y X =的分布()0Y F y =,当0y >时,2()()()(Y X F y P Y y P X y P X F =≤=≤=≤= 两边对y 求导得()Y X f y f '==0,()0.Y y f y >=⎩或反函数y x='()()0.Y X y y f y f x x y ==>★5. 设随机变量X~N (0, 1), 求(1)Y =e X 的密度函数; (2)Y =X 2的密度函数(Gamma 分布). (1) 当0y ≤时, e X Y =的分布()0Y F y =,当0y >时,()()(e )(ln )(ln ),X Y F y P Y y P y P X y y =≤=≤=≤=Φ 因而Y 的密度为''1()(ln )(ln )(ln )(ln ),Y f y y y y y y ϕϕ=Φ=={}2(ln ),0,2()0.Y y y f y ->=⎩ 或 反函数ln ,X Y =ln ,y x y ='1()()(ln )Y y y f y x x y y ϕϕ=={}2(ln ),0.2y y =-> (2) 当0y ≤时,()0Y F y =;当0Y >时,2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤=-.两边对y 求导得Y的密度函数为2,0,()0.yY y f y ->=⎩或反函数支12()()x y x y ==''21122()(())|()|(())|()|,0.y Y X X f y f x y x y f x y x y y -=+=> 6. 设随机变量X 的密度函数是21,1()0,1X x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩, 求Y =ln X 的概率密度. 反函数,y y x e ='()()(),0.y y y Y X y y X f y f x x f e e e y -===>第七次作业☆.将8个球随机地丢入编号为1, 2, 3, 4, 5的五个盒子中去, 设X 为落入1号盒的球的个数, Y 为落入2号盒的球的个数, 试求X 和Y 的联合分布律.1. 袋中装有标上号码1, 2, 2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球,. 以X , Y 分别记第一、二次取到球上的号码数, 求: (1)(X , Y )的联合分布律(设袋中各球被取机会相等); (2)X , Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立？ (1)(X , Y )的联合分布律为(1,1)0,P X Y ===1(1,2)(2,1)(2,2).3P X Y P X Y P X Y =========(2) X , Y 的分布律相同,12(1),(2).33P X P X ====(3) X 与Y 不独立.2. 设二维连续型变量(,)X Y 的联合分布函数35(1)(1),,0,(,)0,.x y e e x y F x y --⎧-->=⎨⎩其它求(,)X Y 联合密度.2(,)(,),f x y F x y x y ∂=∂∂3515,,0,(,)0,.x y e x y f x y --⎧>=⎨⎩其它★3. 设二维随机变量(X , Y )服从D 上的均匀分布, 其中D 是抛物线y =x 2和x =y 2所围成的区域, 试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数, 并判断Y X ,是否独立.分布区域面积213123200211,333x S x dx x x ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰联合密度213,1,(,)0,.x y f x y S ⎧=<<⎪=⎨⎪⎩其它边缘X的密度为22()),01,X x f x dy x x ==<<边缘Y的密度为22()),0 1.Y yf y dy y y ==<<(,)()(),X Y f x y f x f y ≠⋅因此X 与Y 不独立.或(,)f x y 非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X 与Y 不独立.4. 设二维离散型变量),(Y X 联合分布列是问,p q 取何值时X 与Y两行成比例1/151/52,1/53/103q p ===解得12,.1015p q ==★5.设(,)X Y 的联合密度为2,11,0,(,)0,.y Ax e x y f x y -⎧-<<>=⎨⎩其它求:(1)常数A ;(2)概率1(0,1);2P X Y <<>(3)边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (4)X 与Y 是否相互独立？(1) 2220()(,),11,y y X f x f x y dy Ax e dy Axe dy Ax x +∞+∞+∞--====-<<⎰⎰⎰112112()1,3X f x dx Ax dx A --===⎰⎰3.2A = (2) 112201113(0,1)(0)(1).22216y e P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰ (3) 23(),11,2X f x x x =-<<111221113()(,),0.2y y y Y f y f x y dx Ax e dx e x dx e y ------====>⎰⎰⎰(4)由23,11,0()()(,),20,yX Y x e x y f x f y f x y -⎧-<<>⎪⋅==⎨⎪⎩其它得X 与Y 独立. 或因为2(,),11,0,y f x y Ax e x y -=-<<>可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在矩形区域上,所以X 与Y 相互独立.由此得(),0;y Y f y e y -=>2(),11,X f x Ax x =-<<112112()1,3X f x dx Ax dx A --===⎰⎰3.2A = 112201113(0,1)(0)(1).22216ye P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰6. 设X 服从均匀分布(0,0.2),U Y 的密度为55,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它.且,X Y 独立.求:(1)X 的密度;(2) (,)X Y 的联合密度. (1)X 的密度为()5,00.2,X f x x =≤≤(2)(,)X Y 的联合密度为525,00.2,0,(,)0,y e x y f x y -⎧≤≤>=⎨⎩其它.第八次作业★1.求函数(1)Z 1=X +Y , (2) Z 2=min{X , Y }, (3) Z 3=max{X , Y }的分布律.(1) 11(0)(0),6P Z P X Y =====1111(1)(0,1)(1,0),362P Z P X Y P X Y ====+===+=1111(2)(0,2)(1,1),12126P Z P X Y P X Y ====+===+=11(3)(1,2).6P Z P X Y =====(2) 2111(1)(1,1)(1,2),1264P Z P X Y P X Y ====+===+=223(0)1(1).4P Z P Z ==-==(3) 31(0)(0),6P Z P X Y =====31117(1)(0,1)(1,1)(1,0),312612P Z P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=3111(2)(0,2)(1,2).1264P Z P X Y P X Y ====+===+=2. 设随机变量(求函数Z =X /Y 的分布律.(/1)(1)(1)0.250.250.5,P Z X Y P X Y P X Y =====+==-=+= (/1)1(/1)0.5.P Z X Y P Z X Y ==-=-===3. 设X 与Y 相互独立, 概率密度分别为220()00,xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩0()00,y Y e y f y x -⎧>=⎨≤⎩试求Z =X +Y 的概率密度.()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-⎰⎰20222(1),0.z zx z x z x z z e e dx e e dx e e z --+----===->⎰⎰★4. 设X ~U (0, 1), Y ~E (1), 且X 与Y 独立, 求函数Z =X +Y 的密度函数.,01,0,(,)0,y e x y f x y -⎧<<>=⎨⎩其它,当01z <≤时,()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-⎰⎰01,zz z x z xz x e dx e e -+-+-====-⎰当1z >时,11110()(,)()().zz x z xz z Z X Y x f z f x z x dx f x f z x dx e dx e e e -+-+--==-=-===-⎰⎰⎰因此11,01,(),1,0,.z z z Z e z f z e e z ---⎧-≤≤⎪=->⎨⎪⎩其它★5. 设随机变量(X , Y )的概率密度为()101,0(,)10x y e x y f x y e -+-⎧⎪<<<<+∞=⎨-⎪⎩其它(1)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (2)求函数U =max (X , Y )的分布函数; (3)求函数V =min (X ,Y )的分布函数.(1) 1,01,()10,xX e x f x e --⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它.,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它. (2) 11000,0,1()(),01,111,1xx x x X X x e e F x f x dx dx x e e x ----≤⎧⎪-⎪===<<⎨--⎪≥⎪⎩⎰⎰.min{,1}10,0,1,01x x e x e --≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩. 0,0,()1,0Y yy F y e y -≤⎧=⎨->⎩.21(1),01,()()()11,1x U X Y x e x F x F x F x e e x ---⎧-<<⎪==-⎨⎪-≥⎩.min{,1}1(1)(1),0.1x x e e x e -----=>-(3) 111,0,()1(),01,10,1x X X x e eS x F x x e x ---≤⎧⎪-⎪-=<<⎨-⎪≥⎪⎩.min{,1}111,0,,01x x e e x e---≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩. 1,0,()1(),0Y Y y y S y F y e y -≤⎧-=⎨>⎩.112111()11,01,()1()()111,1x x x xV X Y e e e e e e x F x S x S x e ex ---------⎧---+-=<<⎪=-=--⎨⎪≥⎩.1min{,1}111,01x x x e e e x e --------+=>-.6. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.随机变量2(160,20),X N 180160(180)(1)0.84134,20P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭没有一只寿命小于180小时的概率为444(180)(1(1))(10.84134)0.00063368.P X >=-Φ=-=第九次作业★1.试求: E (X ), E (X 2+5), E (|X |).20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i iEX x p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑22(5)57.2,E X EX +=+=||||20.110.210.320.130.1 1.2.i i iE X x p ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑2. 设随机变量X 的概率密度为0 0,() 01, 1.x x f x x x Ae x -⎧≤⎪=<≤⎨⎪>⎩求: (1)常数A ; (2)X 的数学期望.(1) 1100111(),2x f x dx xdx Ae dx Ae +∞+∞--==+=+⎰⎰⎰,2e A =(2) 12100114()2.2323x e e EX xf x dx x dx xe dx e +∞+∞--==+=+⨯=⎰⎰⎰★3. 设球的直径D 在[a , b ]上均匀分布,试求: (1)球的表面积的数学期望(表面积2D π);(2)球的体积的数学期望(体积316D π).(1) 22222()();3ba x E D ED dx a ab b b a ππππ===++-⎰ (2) 33322()().6624b a x E D ED dx a b a b b a ππππ⎛⎫===++ ⎪-⎝⎭⎰ ★4.求E (X ), E (Y ), E (XY ).2(0.10.050.050.1)2(0.10.150.050.1)i i iEX x p ==-⨯++++⨯+++∑20.320.350.1,=-⨯+⨯=1(0.10.050.1)2(0.050.15)j j jEY y p ==⨯+++⨯+∑3(0.050.10.05)4(0.10.20.05) 2.65,+⨯+++⨯++=,()i j i j ijE XY x y p =∑∑2(10.120.0530.0540.01)2(10.120.1530.0540.05)=-⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯ 1.5 1.50.=-+=★5. 设随机变量X 和Y 独立, 且具有概率密度为2,01,()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它,3(1)3,1,()0, 1.y Y e y f y y --⎧>=⎨≤⎩(1)求(25)E X Y +; (2)求2()E X Y .(1) 112002()2,3X EX xf x dx x dx ===⎰⎰3(1)114()3,3y Y EY yf y dy ye dy +∞+∞--===⎰⎰或随机变量1Z Y =-指数分布(3),E 141,,33EZ EY EY =-==24(25)25258.33E X Y EX EY +=+=⨯+⨯=(2) 11223001()2,2X EX x f x dx x dx ===⎰⎰由X 和Y 独立得22142().233E X Y EX EY ==⨯=第十次作业1. 设离散型随机变量试求: (1) D (X ); (2) D (-3X +2) .(1) 20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i iEX x p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222.20.4 2.04.DX EX E X =-=-= (2) 2(32)(3)9 2.0418.36.D X DX -+=-=⨯=★2. 设随机变量X 具有概率密度为22,02,()0,Ax x x f x ⎧+<<=⎨⎩其他，试求: (1)常数A ; (2)E (X ); (3) D (X ); (4) D (2X -3) .(1) 22081()(2)4,3f x dx Ax x dx A +∞-∞==+=+⎰⎰解得9.8A =-(2) 22095()(2).86EX xf x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰(3) 22222094()(2),85EX x f x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰2224519.56180DX EX E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭(4) 21919(23)24.18045D X DX -==⨯= ★3. 设二维随机变量(,)X Y 联合概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他，试求: (1),X Y 的协方差和相关系数A ; (2)(21).D X Y -+(1) 103()(,)(2),01,2X f x f x y dy x y dy x x +∞-∞==--=-<<⎰⎰由,x y 的对称性3(),0 1.2Y f y y y =-<<1035(),212X EX xf x dx x x dx EY +∞-∞⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎰⎰12222031(),24X EX x f x dx x x dx EY +∞-∞⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎰⎰2221511,412144DX EX E X DY ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭11001()(,)(2),6E XY xyf x y dydx xy x y dydx +∞+∞-∞-∞==--=⎰⎰⎰⎰ 因此2151(,)(),612144Cov X Y E XY EXEY ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭,1.11X Y ρ==-(2) 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DX Cov X Y +=++得(21)(2)()2(2,)D X Y D X D Y Cov X Y -+=+-+-22592(1)22(1)(,).144DX DY Cov X Y =+-+⨯⨯-⨯=★4. 设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律试求,,,EX DX EY DY 以及X 和Y 的相关系数. (1) X 的分布列为由变量X 分布对称得0,EX =或10.4500.4510.450,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=∑22222(1)0.4500.4510.450.9,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=∑220.9.DX EX E X =-=(2) Y 的分布列为(,)X Y 取值关于原点中心对称由变量Y 分布对称得0,EY =或20.20.250.2520.20,j j iEY y p ==-⨯-++⨯=∑222222(2)0.2(1)0.2510.2520.2 2.1,j j iEY y p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯=∑22 2.1.DY EY E Y =-=(3) 由二维变量(,)X Y 的联合分布列关于两坐标轴对称得,()0,i j i j ijE XY x y p ==∑∑(,)()0,Cov X Y E XY EXEY =-=因此,0.X Y ρ==5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布(2)P ,随机变量Y 服从区间(0,6)上的均匀分布(0,6),U 且,X Y 的相关系数,X Y ρ=记2,Z X Y =-求,.EZ DZ (1) 2,EX =063,2EY +==(2)2223 4.EZ E X Y EX EY =-=-=-⨯=-(2) 2(60)2, 3.12DX DY -===由,X Y ρ==得(,)1,Cov X Y = 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DY Cov X Y +=++得2(2)(2)2(,2)(2)4(,)10.DZ D X Y DX D Y Cov X Y DX DY Cov X Y =-=+-+-=+--=第十一次作业★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大: 掷1000次均匀硬币, 出现正面的次数在400到600次之间.出现正面的次数~(1000,0.5),X B n p == 10000.5500,EX np ==⨯=10000.50.5250,DX npq ==⨯⨯=应用切比雪夫不等式,有239(400600)(|500|100)1.10040DX P X P X ≤≤=-≤≥-=2. 若每次射击目标命中的概率为0.1, 不断地对靶进行射击, 求在500次射击中, 击中目标的次数在区间(49, 55)内的概率.击中目标的次数~(500,0.1),X B np ==5000.150,EX np ==⨯=5000.10.945.DX npq ==⨯⨯=根据中心极限定理,X 近似服从正态分布(50,45).N EX DX ==(4955)P X P ≤≤=≤≤1≈Φ-Φ=Φ+Φ-⎝⎭⎝⎭ (0.74)(0.15)10.77040.559610.33.=Φ+Φ-=+-=★3. 计算器在进行加法时, 将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布, (1)若将1500个数相加, 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.(1) 误差变量,1,2,.i X i =⋅⋅⋅独立同均匀分布(0.5,0.5),X U -10,.12EX DX ==由独立变量方差的可加性150011500125,12i i D X =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑15001i i X =∑近似(0,125).N15001||15i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑15001|5ii P X =⎧⎪=>=⎨⎪⎪⎩⎭∑2222(1.34)220.90990.1802.5⎛≈-Φ=-Φ=-⨯= ⎝⎭(2) 1||10n i i P X =⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∑1||n i P X =⎧⎪=<=⎨⎪⎩210.90,⎛≈Φ-≥ ⎝0.95,⎛Φ≥ ⎝1.645,≥2124.4345.1.645n ≤= 因此,最多可有4个数相加,误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.★4. 一个系统由n 个相互独立的部件所组成, 每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为0.90. 至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行, 问n 至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于0.95.正常工作的部件数~(,),X B n p 其中0.9.p =0.9,EX np n ==0.09.DX npq n ==(0.8)P X n≥P ⎛=≥==⎭0.95,≈Φ≥⎝⎭1.645,24.354.n ≥≥因此n 至少取25.★5. 有一大批电子元件装箱运往外地, 正品率为0.8, 为保证以0.95的概率使箱内正品数多于1000只, 问箱内至少要装多少只元件？正品数~(,),X B n p 其中0.8.p =0.8,EX np n ==0.16.DX npq n ==(1000)P X≥P =≥=0.95,≈Φ≥1.645,0.810000.n ≥-≥ 解得1637.65,n ≥因此n 至少取1638.★.贝努利分布的正态近似.投掷一枚均匀硬币40次出现正面次数20X =的概率. 正面次数(40,1/2),X B n p ==400.520,400.50.510.EX np DX npq ==⨯===⨯⨯= 离散值20X =近似为连续分组区间19.520.5,X <<(20)(19.520.5)P X P X =<<0.16P ⎫=<=⎪⎭2((0.16)0.5)2(0.56360.5)0.1272.=Φ-=⨯-= 第十二次作业★1. 设X 1, X 2, ⋅⋅⋅, X 10为来自N (0, 0.32)的一个样本, 求概率1021{ 1.44}i i P X =>∑.标准化变量(0,1),1,2,...,10.0.3iXN i =由卡方分布的定义,10222211~(10).0.3ii Xχχ==∑1021 1.44i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑10222211 1.44(10)160.1,0.30.3i i P X χ=⎧⎫==>=≈⎨⎬⎩⎭∑ 略大,卡方分布上侧分位数20.1(10)15.9872.χ= ★2. 设X 1, X 2, X 3, X 4, X 5是来自正态总体X ~(0, 1)容量为5的样本, 试求常数c , 使得统计量t 分布, 并求其自由度.由独立正态分布的可加性,12(0,2),X X N +标准化变量(0,1),U N =由卡方分布的定义,22222345~(3),X X X χχ=++U 与2χ独立.由t 分布的定义,(3),T t ===因此c =自由度为3.★3. 设112,,,n X X X 为来自N (μ1, σ2)的样本,212,,,nY Y Y 为来自N (μ2, σ2)的样本, 且两样本相互独立, 2212,S S分别为两个样本方差,222112212(1)(1)2pn S n S S n n -+-=+-. 试证明22().p E S σ=证 由221112(1)~(1),n S n χσ--及()211(1)1E n n χ-=-得()2211112(1)(1)1,n S E E n n χσ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭221.ES σ= 类似地222.ES σ=222112212(1)(1)2pn S n S ES E n n ⎛⎫-+-= ⎪+-⎝⎭22212121212(1)(1).22n n ES ES n n n n σ--=+=+-+- ★4. 设1,...,n X X 为总体2(,)N μσ的简单样本,样本均值和样本方差依次为2,.X S 求满足下式的k 值:()0.95.P X kS μ>+=统计量(1),X T t n =-0.05(1)X P T t n ⎛⎫=>--= ⎪⎝⎭0.05(0.95.P X t n μ⎛>--= ⎝因此k = ☆.设正态总体2(,)N μσ的容量为12n =的简单样本为112,...,X X ,样本均值和样本方差依次为2,.X S 求满足下式的k 值:()0.95.P X kS μ>+= 正态总体样本方差未知,统计量(1),12.X T t n n =-=。
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应用统计学习题及答案简答题1.简述普查和抽样调查的特点。
答：普查是指为某一特定目的而专门组织的全面调查，它具有以下几个特点：（1）普查通常具有周期性。
（2）普查一般需要规定统一的标准调查时间，以避免调查数据的重复或遗漏，保证普查结果的准确性。
（3）普查的数据一般比较准确，规划程度也较高。
（4）普查的使用范围比较窄。
抽样调查指从调查对象的总体中随机抽取一部分单位作为样本进行调查，并根据样本调查结果来推断总体数量特征的一种数据收集方法。
它具有以下几个特点：（1）经济性。
这是抽样调查最显著的一个特点。
（2）时效性强。
抽样调查可以迅速、及时地获得所需要的信息。
（3）适应面广。
它适用于对各个领域、各种问题的调查。
（4）准确性高。
2.为什么要计算离散系数？答：离散系数是指一组数据的标准差与其相应得均值之比，也称为变异系数。
对于平均水平不同或计量单位不同的不同组别的变量值，是不能用方差和标准差比较离散程度的。
为消除变量值水平高低和计量单位不同对离散程度测度值的影响，需要计算离散系数。
离散系数的作用主要是用于比较不同总体或样本数据的离散程度。
离散系数大的说明数据的离散程度也就大，离散系数小的说明数据的离散程度也就小。
3、加权算术平均数受哪几个因素的影响？若报告期与基期相比各组平均数没变，则总平均数的变动情况可能会怎样？请说明原因。
答：加权算术平均数受各组平均数喝次数结构（权数）两因素的影响。
若报告期与基期相比各组平均数没变，则总平均数的变动受次数结构（权数）变动的影响，可能不变、上升、下降。
如果各组次数结构不变，则总平均数；如果组平均数高的组次数比例上升，组平均数低的组次数比例下降，则总平均数上升；如果组平均数低的组次数比例上升，组平均数高的组次数比例下降，则总平均数下降。
4.解释相关关系的含义，说明相关关系的特点。
答：变量之间存在的不确定的数量关系为相关关系。
相关关系的特点：一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定，当变量x取某个值时，变量y的取值可能有几个；变量之间的相关关系不能用函数关系进行描述，但也不是无任何规律可循。
《应用概率统计》综合作业三
《应用概率统计》综合作业三一、填空题（每小题2分，共20分）1．在天平上重复称量一重为a 的物品，测量结果为1X ，2X ，…，n X ，各次结果相互独立且服从正态分布)2.0,(2a N ，各次称量结果的算术平均值记为n X ，为使95.0)1.0(≥<-a X P n ，则n 的值最小应取自然数 16 .2．设1X ，2X ，…，n X 是来自正态总体)4,(2μN 的容量为10的简单随机样本，2S 为样本方差，已知1.0)(2=>a s P ，则a = 1 .3．设随机变量Y 服从自由度为n 的t 分布，则随机变量2Y 服从自由度为 (1,n) 的 F分布.4．设总体X 服从正态分布),12(2σN ，抽取容量为25的简单随机样本，测得样本方差为57.52=S ，则样本均值X 小于12.5的概率为 4/25 .5．从正态分布),(2σμN 中随机抽取容量为16的随机样本，且σμ,未知，则概率=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤041.222σS P 1 .6．设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=，其他，0，10 ， )1()，(x x x f a αα其中1->α，1X ，2X ，…，n X 是取自总体X 的随机样本，则参数α的极大似然估计值为.7．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，其中μ未知而2σ已知，为使总体均值μ的置信度为α-1的置信区间的长度等于L ，则需抽取的样本容量n 最少为 u=(x -u0)×sqrt(n)/σ. 8．设某种零件的直径（mm ）服从正态分布)，(2σμN ，从这批零件中随机地抽取16个零件，测得样本均值为075.12=X ，样本方差00244.02=S ，则均值μ的置信度为0.95的置信区间为 （1025.75-21.315,1025.75+21.315）-（1004435,1047.065） .9．在假设检验中，若2σ未知，原假设00： μμ=H ，备择假设01： μμ>H 时，检验的拒绝域为 .10．一大企业雇用的员工人数非常多，为了探讨员工的工龄X （年）对员工的月薪Y （百元）的影响，随机抽访了25名员工，并由记录结果得：∑==251100i iX，∑==2512000i i Y ，∑==2512510i iX，∑==2519650i i i Y X ，则Y 对X 的线性回归方程为 y=11.47+2.62x .二、选择题（每小题2分，共20分）1．设1X ，2X ，…，n X 是来自正态总体),0(~2σN X 的一个简单随机样本，X 为其样本均值，令212)(σ∑=-=ni iX XY ，则Y ～（ D ）（A ）)1(2-n χ （B ）)(2n χ （C ）),(σμN （D ）),(2nN σμ2．设1X ，2X ，…，n X 是来自正态总体),(~2σμN X 的简单随机样本，X 为样本均值，记（ ）∑=--=n i i X X n S 1221)(11，∑=-=n i i X X n S 1222)(1， ∑=--=n i i X n S 1223)(11μ，∑=-=n i i X n S 1224)(1μ， 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ B ）（A ）1/1--=n S X T μ （B ）1/2--=n S X T μ （C ）nS X T /3μ-=（D ）nS X T /4μ-=3．设1X ，2X ，3X ，4X 是来自正态总体)2,(~2μN X 的简单随机样本，若令2432212)43()2(X X X X a Y -+-=，则当2Y 服从2χ分布时，必有（ D ）（A ）91=a ；1441=b （B ）1441=a ；91=b （C ）1001=a ；201=b （D ）201=a ；1001=b4．设简单随机样本1X ，2X ，…，n X 来自于正态总体),(~2σμN X ，则样本的二阶原点矩∑==n i i X n A 1221的数学期望为（ D ）（A ）241σ （B ）221σ （C ）2σ （D ）22σ5．设随机变量X 服从自由度为（n ，n ）的F 分布，已知α满足条件05.0)(=>αX P ，则)1(α>X P 的值为（ C ）（A ）0.025 （B ）0.05 （C ）0.95 （D ）0.9756．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，1X ，2X ，…，n X 是从X 中抽取的简单随机样本，其中μ，2σ未知，则μ的)%1(100α-的置信区间（ A ） （A ）（n S z X 2α-，n S z X 2α+） （B ）（n S n t X )1(2--α，n Sn t X )1(2-+α） （C ）（nz X σα2-，nz X σα2+） （D ）（n S n t X )(2α-，n Sn t X )(2α+） 7．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，其中μ未知，2σ未知，1X ，2X ，…，n X 是简单随机样本，记∑==ni i X n X 11，则当μ的置信区间为（nz X σ05.0-，n z X σ05.0+）时，其置信水平为（ C ）（A ）0.90 （B ）0.95 （C ）0.975 （D ）0.05 8．从总体中抽取简单随机样本1X ，2X ，3X ，易证估计量3211613121ˆX X X ++=μ，3212414121ˆX X X ++=μ3213613131ˆX X X ++=μ，3214525251ˆX X X ++=μ 均是总体均值μ的无偏估计量，则其中最有效的估计量是（ B ）（A ）1ˆμ（B ）2ˆμ （C ）3ˆμ （D ）4ˆμ 9．从一批零件中随机地抽取100件测量其直径，测得平均直径为5.2cm ，标准差为1.6cm ，现想知道这批零件的直径是否符合标准5cm ，采用t 检验法，并取统计量为10/6.12.5-=X t ，则在显著性水平α下，其接受域为（ D ）（A ）)99(2αt t < （B ）)100(2αt t < （C ） )99(2αt t ≥ （D ） )100(2αt t ≥10．在假设检验中，方差2σ已知，00： μμ=H （ B ） （A ）若备择假设01： μμ≠H ，则其拒绝域为)2(/10αμ-≥-=n t n S X T（B ）若备择假设01： μμ≠H ，则其拒绝域为20/ασμu n X U ≥-=（C ）若备择假设01： μμ>H ，则其拒绝域为ασμu nX U ≥-=/0（D ）若备择假设01： μμ>H ，则其拒绝域为ασμu nX U -≤-=/0三、（10分）现有一批种子，其中良种数占61，从中任选6000粒，问能从0.99的概率保证其中良种所占的比例与61相差多少？这时相应的良种数在哪一个范围？解答：这个问题属于“二项分布”，且n=6000, p=1/6 。
(2021年整理)概率论与数理统计(经管类)综合试题1-5_(课程代码_4183)
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Ⅱ、综合测试题概率论与数理统计(经管类）综合试题一（课程代码 4183）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列选项正确的是 （ B ）.A 。
AB A B +=+ B.()A B B A B +-=-C 。
（A-B ）+B =A D. AB AB =2。
设()0,()0P A P B >>，则下列各式中正确的是 （ D )。
A 。
P (A -B )=P （A )-P (B ） B.P （AB ）=P （A )P (B ）C. P (A +B )=P （A ）+P （B ）D. P (A +B )=P （A ）+P （B )-P (AB )3。
同时抛掷3枚硬币,则至多有1枚硬币正面向上的概率是 （ D )。
A. 18B. 16C. 14D. 124.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 （ B ）。
A.1120 B. 160 C. 15 D. 125。
设随机事件A ，B 满足B A ⊂，则下列选项正确的是 ( A ）。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案
0x
0
x0
y 1
0
1x
y
1
0.25
0
0.5 1 x
y
1
1
= ⎜⎛ x 2 − 1 x 4 ⎟⎞ = 1 ； ⎝ 2 ⎠0 2
（4）当 x < 0 或 y < 0 时，F (x, y) = P (∅) = 0， 当 0 ≤ x < 1 且 0 ≤ y < 1 时，
0
1x
∫ ∫ ∫ ∫ F(x, y) = P{X ≤ x, Y ≤ y} =
x
2udu
= u2
x
=
x2 ；
0
0
0
00
0
当 x ≥ 1 且 0 ≤ y < 1 时，
∫ ∫ ∫ ∫ F(x, y) = P{X ≤ x, Y ≤ y} =
1
du
y
4uvdv =
1 du ⋅ 2uv 2
y
=
1 2uy 2 du = u 2 y 2 1
= y2 ；
0
0
0
00
0
当 x ≥ 1 且 y ≥ 1 时，F (x, y) = P (Ω) = 1，
1
0.0019 0.0227 0.0927 0.1562 0.0918
0
2
0.0066 0.0549 0.1416 0.1132
0 0
3
0.0102 0.0539 0.0661
0 0 0
4
0.0073 0.0182
0 0 0 0
5
0.0019 0 0 0 0 0
（2）(X, Y )服从多项分布，X, Y 的全部可能取值分别为 0, 1, 2, 3, 4, 5，
统计与概率培训作业(陈月玲)
计的意义，会用简单 识 到 统 计 数 据 比
的 方 法 收 集 和 整 理 较大，如果还用 1
数据。 格表示 1 格单位，
2、使学生初步认识 就不方便了。）
条形统计图（1 格表
示 2 格单位），能根
据统计图中的数据
提出并回答简单的
问题。
3、通过对学生身边
形统计图。 简单的数据分析，进 计图。
一步体会统计在现
在要求方面：
实生活中的作用，理 （1）加强对学生
解数学与生活的紧 进行提出问题、解
密联系。
决问题能力的培
养。
（2）要让学
生初步了解不同
形式的条形统计
图的使用条件。
四 ① 认识两种 1、使学生体验数据 在内容方面：加强
上 复式条形 的收集、整理、描述 例题和习题的开
计图回答简单的问 （1）不但要了解复
题。
式折线统计图的特
3、根据数据的变化 点，更要区别单、
进行数据分析和合 复式折线统计图的
理的推测。
特点。
4、能根据需要，选 （2）要能根据需要
择条形折线统计图 选择条形或折线统
直观、有效地表示 计图。
数据。
4、三上、五上可能性教学内容与要求有什么不同？
年 教学内容
统计与概率培训作业
（广州市白云区江村小学 陈月玲）
让学生经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程是学习统计知识的首要目
标。因此计算给定数据的
年级 教学内容
教学要求
不同点
统计量等就不应当成为评
一下 简单统计表 使学生初步认识 主 要 是 对 单 一 对 价的主要内容，而应该重
广东省广州市天河中学高考数学一轮复习古典概型02课件
(2)从日用品 x1，x2，x3，y1，y2 中任取两件，所有可能的结果 为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2， y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}． 设事件 A 表示“从日用品 x1，x2，x3，y1，y2 中任取两件，其 等级系数相等”，则 A 包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}， {x2，x3}，{y1，y2}，共 4 个． 又基本事件的总数为 10， 故所求的概率 P(A)＝140＝0.4.
(1)估计该校男生的人数； (2)估计该校学生身高在 170～185 cm 之间的概率；
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(3)从样本中身高在 180～190 cm 之间的男生中任选 2 人，求 至少有 1 人身高在 185～190 cm 之间的概率． 解 (1)样本中男生人数为 40，由分层抽样比例为 10%估计全 校男生人数为 400. (2)由统计图知，样本中身高在 170～185 cm 之间的学生有 14 ＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为 70，所以样本中学生身 高在 170～185 cm 之间的频率 f＝3750＝0.5.故由 f 估计该校学生 身高在 170～185 cm 之间的概率 p＝0.5.
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古典概型概率的综合(zōnghé)应用
例 3 (2011·广东)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等 级系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X1 2 3 45 f a 0.2 0.45 b c (1)若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件， 等级系数为 5 的恰有 2 件，求 a，b，c 的值； (2)在(1)的条件下，将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1，x2， x3，等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1，y2，现从 x1，x2， x3，y1，y2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出 的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的 等级系数恰好相等的概率．
《应用概率统计》综合作业一
《应用概率统计》综合作业一一、填空题（每小题2分,共20分）1.已知随机事件A 的概率5.0）（=A P ,事件B 的概率6.0）（=B P ,条件概率8.0）｜（=A B P ，则事件B A 的概率=）（B A P 0.7 .2.设在三次独立试验中，随机事件A 在每次试验中出现的概率为31,则A 至少出现一次的概率为 1９/2７ ． 3.设随机事件A,B 及其和事件B A的概率分别是0.4,0.3和0.6，则积事件B A 的概率=）（B A P 0.３ .4．一批产品共有10个正品和两个次品，任意抽取两次，每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 1/5 ．5.设10件产品中有４件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有一件是不合格品，则另1件也是不合格品的概率为 ０．２ .6.设随机变量）,3（～2σN X ,且3.0)53(=<<X P ,则=<)1(X P0.2 . 7．设随机变量X 绝对值不大于１,且81)1-(==X P ,41)1(==X P ,则=<<)11-(X P 7／１6 .８．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=，其他，010，x 2)(f x x 以Y 表示对Ｘ的三次独立重复观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X 出现的次数,则{}2=Y P 9/６4 . ９.设随机变量X 的概率分布为2.0)1(==X P ,3.0)2(==X P ，5.0)3(==X P ，则随机变量X 的分布函数=)(x F ０.2｛ｘ=1} ,0.3{x=2｝ ,0.5{x=３｝ . 1０．设随机变量X 的密度函数为)1(1)(f 2x x +=π,求随机变量31X -=Y 的密度函数=)y (Y f 3/π[1+(1−y ）3] ．二、选择题(每小题2分,共20分）1．同时抛掷3枚均匀对称的硬币，则恰有２枚正面向上的概率为（ D ) (A ）0．5 （Ｂ）0.２５ （C)０．125 （D ）０.3７52．某人独立地投入三次篮球，每次投中的概率为0.3,则其最可能失败（没投中）的次数为（ A )（A ）２ (B)２或3 (C ）3 (Ｄ）1３.当随机事件Ａ与B 同时发生时,事件C 必发生,则下列各式中正确的是（ B ） （A ）1)()()(-+≤B P A PC P （B ）1)()()(-+≥B P A P C P(Ｃ）)()(AB P C P = （D))()(B A P C P =4．设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ,1)|()|(=+B A P B A P ,则( Ｂ ） （A ）事件Ａ和B 互不相容 (B ）事件Ａ和B 互相对立 （C ）事件A 和B 互不独立 （Ｄ）事件A 和B 相互独立 ５．设A 与B 是两个随机事件,且1)(0<<A P ，0)(>B P ,)|()|(A B P A B P =,则必有（C )（Ａ))|()|(B A P B A P = （B))|()|(B A P B A P ≠(Ｃ）)()()(B P A P AB P = (D ）)()()(B P A P AB P ≠ 6．设随机变量X 的密度函数为)(f x ,且)(f )(f x x =-,)(F x 为X 的分布函数,则对任意实数a ，有（ B ）（A)dx x f a⎰-=0)(1)-a (F （B ）dx x f a⎰-=0)(21)-a (F (C))a (F )-a (F = （D ）1)a (F 2)-a (F-= 7.设随机变量X 服从正态分布）,（2σμN ，则随着σ的增大,概率{}σμ<-XP为(C )（A ）单调增大 （B ）单调减少 （C ）保持不变 (Ｄ)增减不定 ８.设两个随机变量X 和Y 分别服从正态分布）4,（2μN 和）5,（2μN ,记{}41-≤=μX P P ，{}52+≥=μX P P ,则( A ）（A)对任意实数μ,都有21P P = （Ｂ)对任意实数μ,都有21P P < （C ）只对μ的个别值,才有21P P = (D ）对任意实数μ,都有21P P >9．设随机变量X 服从正态分布）4,0（N ,则=<)1(X P （B )（A ）dxx e81221-⎰π(Ｂ)dxxe41041-⎰ （Ｃ）2121-eπ（D ）dxx e221221-∞-⎰π10.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<=,5,1,50,251,0x ，0)(F 2x x x x 则=<<)53(X P （ Ｃ ) （A ）254 (B ）259 （C)2516(D)1三、(1０分）摆地摊的某赌主拿了8个白的、８个黑的围棋子放在一个签袋里，并规定凡愿摸彩者每人交一元钱作手续费,然后一次从口袋口摸出5个棋子，中彩情况如下： 摸棋子 5个白 4个白 ３个白其他彩金 ２０元2元纪念品（价值5角)同乐一次（无任何奖品)试计算：①获得2０元彩金的概率； ②获得2元彩金的概率; ③获得纪念品的概率；④按摸彩1000次统计,赌主可望净赚多少钱?1.２．3.4． 净赚大哟为1000-６92=３08元．四、（10分）已知连续型随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=-,0,0,0,)(22x x e Ax x f x 试求：(1）常数A ；（２）);20(，)2(<<=X P X P (３)X 的分布函数。
培优专题22 统计与概率的综合应用-解析版
培优专题22 统计与概率的综合应用【巩固训练】1．（2022·全国·九年级课时练习）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：用过的餐巾纸投放情况统计图：(1)此次调查一共随机采访了______名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为_____°；(2)补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；(3)若该校有4000名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；(4)李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．由表格可知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，所以恰好抽中A，B两人的概率为21 126=．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．2．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．参加四个社团活动人数统计表社团活动舞蹈篮球围棋足球人数503080参加四个社团活动人数扇形统计图请根据以上信息，回答下列问题：(1)抽取的学生共有人，其中参加围棋社的有人；(2)若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？(3)某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．3．（2021·甘肃·模拟预测）经典国学著作是中华民族文化教育的庞大载体，是民族生存的根基，为进一步培养学生的人文素养，某校举办了以“弘扬传统文化，品经典国学”为主题的诵读比赛，分“单人项目”和“双人项日”两种形式，诵读的篇目有四种类型：A．人生管理；B．家国情怀；C励志劝勉；D．山明水秀，且每种类型包含的篇目数相同，参赛者需从中随机抽取一篇进行诵读．(1)若小甘参加“单人项目”，求他抽中的篇目恰好属于“B．家国情怀”的概率；(2)张帆和李欣参加“双人项目”，比赛规定：同一小组的两名同学的篇目类型不能相同，且每人只能抽取一次，求他们恰好抽到“A、人生管理”和“C励志劝勉”类篇目的概率是多少？（画树状图或列表求解）´个小方格的雷区中，随机地埋4．（2022·河南郑州·七年级期末）如图为计算机“扫雷”游戏的画面，在99藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．´个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是______；(1)小明如果踩在99(2)如图，小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字3，它表示与这个小方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着3颗地雷．①若小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地面的概率是______；②小明和小亮约定：若第二步选择踩在A区域内的小方格，不踩雷则小明胜；若选择踩在A区域外的小方格，不踩雷则小亮胜，请用所学的概率的知识，通过计算来说明这个约定对谁有利．5．（2022·河南省实验中学八年级开学考试）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法：①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．②在此封闭图形旁边闭上眼晴向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：掷小石子落在不规则图形内的总次数50150300500…小石子落在圆内（含圆上）的次数m2059123203…小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n2991176293…m∶n0.6890.6940.6890.706(1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近（结果精确到0.1）．(2)若以小石子所落的有效区域为总数（即m＋n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在附近（结果精确到0.1）．(3)请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留p）【答案】(1)0.7(2)0.4(3)封闭图形的面积为10π平方米．【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值；（2）大量试验时，频率可估计概率；（3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．（1）解：20÷29≈0.69；59÷91≈0.65；123÷176≈0.70，…当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7；故答案为：0.7；（2）6．（2022·江苏·兴化市乐吾实验学校八年级阶段练习）自2009年以来，“中国·兴化千垛菜花旅游节”享誉全国．“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”所描绘的就是我市发达的油菜种植业．为了解某品种油菜籽的发芽情况，农业部门从该品种油菜籽中抽取了6批，在相同条件下进行发芽试验，有关数据如下：批次123456油菜籽粒数100400800100020005000发芽油菜籽粒数a31865279316044005发芽频率0.8500.7950.8150.793b0.801(1)分别求a 和b 的值；(2)请根据以上数据，直接写出该品种油菜籽发芽概率的估计值（精确到0.1）；(3)农业部门抽取的第7批油菜籽共有8000粒．请你根据问题（2）的结果，通过计算来估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数．【答案】(1)85a =，0.802b =(2)该品种油菜籽发芽概率的估计值为0.8(3)估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数为6400粒【分析】（1）用油菜籽粒数乘以发芽频率求得a 的值，用发芽油菜籽粒数除以油菜籽总数即可求得b 的值；（2）观察大量重复试验发芽的频率稳定到哪个常数附近即可用哪个数表示发芽概率；（3）用油菜籽总数乘以发芽概率即可求得发芽粒数．。
大连理工大学智慧树知到“工商管理”《应用统计》网课测试题答案3
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。
住在富人区的她大连理工大学智慧树知到“工商管理”《应用统计》网课测试题答案（图片大小可自由调整）第1卷一.综合考核(共15题)1.对于随机变量X服从均匀分布，即X～(1，4)，则D(X)=()。
A.1/3B.3/4C.1/4D.1/122.联合分布函数的性质有0≤F(x，y)≤1。
()A.错误B.正确3.某射手的命中率为2/3，他独立地向目标射击4次，则至少命中一次的概率为80/81。
()A.错误B.正确4.对于X服从二项分布B(n，p)，则E(X)=p。
()A.错误B.正确5.电路由元件A与两个并联的元件B、C串联而成，若A，B，C损坏与否是相互独立，且它们损坏的概率依次为0.3，0.2，0.1，则电路断路的概率是0.314。
()A.正确B.错误6.设P(A)=0.3，P(A∪B)=0.6。
若A和B互不相容，则P(B)=3/7。
()A.正确B.错误7.设一射手射击命中率稳定。
射手对靶独立进行3次射击，一次也未命中的概率为1/27，则该射手射击的命中率为1/3。
() A.正确B.错误8.某工厂生产的一种零件，其口径X(单位：mm)服从正态分布，现从某日生产的零件中随机抽取9个，分别测得其口径如下：14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.7，其样本均值=()。
A.14.9B.14.6C.14.7D.14.89.对于常数a，b，随机变量X，Y，有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。
()A.错误B.正确10.设A，B为随机事件，则(A∪B)A=()。
A.ABB.AC.BD.A∪B11.对于随机变量X均服从二项分布B(5，0.8)，则D(X)=()。
A.0.8B.4C.0.64D.0.2512.设总体X服从【-a，a】上的均匀分布(a>0)，X1，X2，...Xn为其样本，且，则A.0B.aC.2aD.113.如果在一次考试中，某班学生数学和外语的及格率都是0.7，且这两门课是否及格相互独立，现从该班任选一名学生，则该生数学和外语只有一门及格的概率为0.42。
《应用数理统计》吴翊 参考答案(前三章)
第一章 数理统计的基本概念P261.2 设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，1X ，2X ，…，n X 为X 的子样，求最大顺序统计量()n X 与最小顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。
解：(){}{}()12nn i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤=⎡⎤⎣⎦ ，，，.()()()()1n n n f x F x n F x f x -'=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦.(){}{}1121i n F x P X x P X x X x X x =≤=->>> ，，，. {}{}{}121n P X x P X x P X x =->>>{}{}{}121111n P X x P X x P X x =-⎡-≤⎤⎡-≤⎤⎡-≤⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()11nF x =-⎡-⎤⎣⎦()()()()1111n f x F x n F x f x -'=⎡⎤=⎡-⎤⎣⎦⎣⎦.1.3 设总体X 服从正态分布()124N ，，今抽取容量为5的子样1X ，2X ，…，5X ，试问： （i ）子样的平均值X 大于13的概率为多少？（ii ）子样的极小值（最小顺序统计量）小于10的概率为多少？ （iii ）子样的极大值（最大顺序统计量）大于15的概率为多少？解：()~124X N ，，5n =，4~125X N ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，. （i ）{}{}()13113111 1.1210.86860.1314P X P X P φφ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪>=-≤=-=-=-=-=. （ii ）令{}min 12345min X X X X X X =，，，，，{}max 12345max X X X X X X =，，，，.{}{}{}min min 125101*********P X P X P X X X <=->=->>> ，，，{}{}{}5551111011101110i i i i P X P X P X ===->=-⎡-<⎤=-⎡-<⎤⎣⎦⎣⎦∏∏.()12~012X Y N -=，， {}{}121012*********X X P X P P P Y ---⎧⎫⎧⎫∴<=<=<-=<-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ {}()111110.84130.1587P Y φ=-<=-=-=.{}[]5min 10110.158710.42150.5785P X ∴<=--≈-=.（iii ）{}{}{}{}{}55max max 1251151151151515115115i i P X P X P X X X P X P X =>=-<=-<<<=-<=-⎡<⎤⎣⎦∏ ，，，.{}5max 1510.9331910.70770.2923P X ∴>=-≈-=.1.4 试证：（i ）()()()22211nni i i i x a x x n x a ==-=-+-∑∑对任意实数a 成立。
模块五第三学段统计与概率综合与实践内容分析
用这个数据估计全地区的电视观众喜欢这部电视 剧的比例是不合适的，因为学生、成年人、老年人喜 欢的电视剧往往不同。为了对全地区的电视观众喜欢 这部电视剧的情况进行估计，可以采用分层抽样方法， 比如，依据年龄分层，需要知道各年龄段人口的比例， 按照比例数分配样本数，而在各个层内则采取随机抽 样；或者依据职业分层，等等。教师应该了解分层抽 样，在本学段学生只需学习简单随机抽样方法。
思考问题：统计、数据分析观念的内涵是什么？
统计
统计学是关于收集和分析数据的科学和 艺术。
——《不列颠百科全书》
对于“数据”的理解
? 在义务教育阶段处理的数据主要是用数来表达 的，当然这些数都是有实际背景的。脱离实际 问题的单纯地数的研究是数与代数的内容，不 是统计的内容。但是，这些年随着信息的迅速 增长，我们需要扩大对数据的认识。
一个案例
例如：设计调查方法。 了解本年级的同学是否喜欢某电视剧。调查的结
果适用于学校的全体同学吗？适用于全地区的电视 观众吗？如果不适用，应当如何改进调查方法？
因为同一个年级的学生差异不大，采用简单随机抽样方 法比较合适。可以在上学时在学校门口随机问讯，也可以 按学号随机问讯。为了分析方便，需要把问题数字化，如 喜欢这部电视剧的记为1，不喜欢的记为0。
三个学段对应的案例
第三学段： 比较自己班级与别的班级同学的身 高状况。
[ 说明] 进一步，可以引导学生逐渐深入地进行数
据分析，可以要求学生把身高分段，画出频数 直方图，并引导学生讨论，通过直方图是否能 得到更多的信息。
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应用概率统计综合作业三集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#《应用概率统计》综合作业三一、填空题（每小题2分，共20分）1．在天平上重复称量一重为a 的物品，测量结果为1X ，2X ，…，n X ，各次结果相互独立且服从正态分布)2.0,(2a N ，各次称量结果的算术平均值记为n X ，为使95.0)1.0(≥<-a X P n ，则n 的值最小应取自然数 16 .2．设1X ，2X ，…，n X 是来自正态总体)4,(2μN 的容量为10的简单随机样本，2S 为样本方差，已知1.0)(2=>a s P ，则a = 1 .3．设随机变量Y 服从自由度为n 的t 分布，则随机变量2Y 服从自由度为 （1，n ） 的F 分布.4．设总体X 服从正态分布),12(2σN ，抽取容量为25的简单随机样本，测得样本方差为57.52=S ，则样本均值X 小于的概率为 4/25 .5．从正态分布),(2σμN 中随机抽取容量为16的随机样本，且σμ,未知，则概率=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤041.222σS P 1 .6．设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=，其他，0，10 ， )1()，(x x x f a αα其中1->α，1X ，2X ，…，n X 是取自总体X 的随机样本，则参数α的极大似然估计值为.7．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，其中μ未知而2σ已知，为使总体均值μ的置信度为α-1的置信区间的长度等于L ，则需抽取的样本容量n 最少为 u=(x-u0)×sqrt(n)/σ . 8．设某种零件的直径（mm ）服从正态分布)，(2σμN ，从这批零件中随机地抽取16个零件，测得样本均值为075.12=X ，样本方差00244.02=S ，则均值μ的置信度为的置信区间为 ：（，+）=（，）． .9．在假设检验中，若2σ未知，原假设00： μμ=H ，备择假设01： μμ>H 时，检验的拒绝域为 .10．一大企业雇用的员工人数非常多，为了探讨员工的工龄X （年）对员工的月薪Y （百元）的影响，随机抽访了25名员工，并由记录结果得：∑==251100i i X ，∑==2512000i iY，∑==2512510i iX ，∑==2519650i i i Y X ，则Y 对X 的线性回归方程为 y = ＋ .二、选择题（每小题2分，共20分）1．设1X ，2X ，…，n X 是来自正态总体),0(~2σN X 的一个简单随机样本，X 为其样本均值，令212)(σ∑=-=ni iX XY ，则Y ～（ D ）（A ）)1(2-n χ （B ）)(2n χ （C ）),(σμN （D ）),(2nN σμ2．设1X ，2X ，…，n X 是来自正态总体),(~2σμN X 的简单随机样本，X 为样本均值，记（ ）∑=--=n i i X X n S 1221)(11，∑=-=n i i X X n S 1222)(1， ∑=--=n i i X n S 1223)(11μ，∑=-=n i i X n S 1224)(1μ， 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ B ） （A ）1/1--=n S X T μ （B ）1/2--=n S X T μ （C ）nS X T /3μ-=（D ）nS X T /4μ-=3．设1X ，2X ，3X ，4X 是来自正态总体)2,(~2μN X 的简单随机样本，若令2432212)43()2(X X X X a Y -+-=，则当2Y 服从2χ分布时，必有（ D ）（A ）91=a ；1441=b （B ）1441=a ；91=b（C ）1001=a ；201=b （D ）201=a ；1001=b4．设简单随机样本1X ，2X ，…，n X 来自于正态总体),(~2σμN X ，则样本的二阶原点矩∑==n i i X n A 1221的数学期望为（ D ）（A ）241σ （B ）221σ （C ）2σ （D ）22σ5．设随机变量X 服从自由度为（n ，n ）的F 分布，已知α满足条件05.0)(=>αX P ，则)1(α>X P 的值为（C ）（A ） （B ） （C ） （D ）6．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，1X ，2X ，…，n X 是从X 中抽取的简单随机样本，其中μ，2σ未知，则μ的)%1(100α-的置信区间（A ） （A ）（n S z X 2α-，n S z X 2α+） （B ）（n S n t X )1(2--α，n Sn t X )1(2-+α） （C ）（nz X σα2-，nz X σα2+） （D ）（n S n t X )(2α-，n Sn t X )(2α+） 7．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，其中μ未知，2σ未知，1X ，2X ，…，n X 是简单随机样本，记∑==ni i X n X 11，则当μ的置信区间为（n z X σ05.0-，n z X σ05.0+）时，其置信水平为（ C ）（A ） （B ） （C ） （D ）8．从总体中抽取简单随机样本1X ，2X ，3X ，易证估计量3211613121ˆX X X ++=μ，3212414121ˆX X X ++=μ3213613131ˆX X X ++=μ，3214525251ˆX X X ++=μ 均是总体均值μ的无偏估计量，则其中最有效的估计量是（ B ）（A ）1ˆμ（B ）2ˆμ （C ）3ˆμ （D ）4ˆμ9．从一批零件中随机地抽取100件测量其直径，测得平均直径为，标准差为，现想知道这批零件的直径是否符合标准5cm ，采用t 检验法，并取统计量为10/6.12.5-=X t ，则在显着性水平α下，其接受域为（ D ）（A ）)99(2αt t < （B ）)100(2αt t < （C ） )99(2αt t ≥ （D ） )100(2αt t ≥10．在假设检验中，方差2σ已知，00： μμ=H （ B ） （A ）若备择假设01： μμ≠H ，则其拒绝域为)2(/10αμ-≥-=n t n S X T（B ）若备择假设01： μμ≠H ，则其拒绝域为20/ασμu n X U ≥-=（C ）若备择假设01： μμ>H ，则其拒绝域为ασμu nX U ≥-=/0（D ）若备择假设01： μμ>H ，则其拒绝域为ασμu nX U -≤-=/0三、（10分）现有一批种子，其中良种数占61，从中任选6000粒，问能从的概率保证其中良种所占的比例与61相差多少这时相应的良种数在哪一个范围 解答：这个问题属于“二项分布”，且n=6000, p=1/6。
故μ=E(X)=np=6000x1/6=1000, D(X)=σ²＝np(1-p)=6000x(1/6)x(1-1/6)=。
切比雪夫不等式为P{|X-μ|<ε}≥1-σ2/ε2。
我们取 ε=6000 x (1/100)=60粒。
所以，P{|X-μ|<ε}≥1－|。
切比雪夫不等式为P{|X-μ|<ε}≥1-σ2/ε2。
我们取 ε=6000 x (1/100)=60粒。
所以，P{|X-μ|<ε}≥1－|<ε}≥1-σ²/ε²。
我们取 ε=6000 x (1/100)=60粒。
所以，P{|。
切比雪夫不等式为P{|X-μ|<ε}≥1-σ2/ε2。
我们取 ε=6000 x (1/100)=60粒。
所以，P{|X-μ|<ε}≥1－|。
切比雪夫不等式为P{|X-μ|<ε}≥1-σ2/ε2。
我们取 ε=6000 x (1/100)=60粒。
所以，P{|X-μ|<ε}≥1－602 = 3600 = 。
换句话说，“任意选出6000粒种子的良种比例与1/6相比上下不超过1/100的概率”大于等于。
这个概率（）不算很低，也就是说，良种比例与1/6相比很可能不超过1／100。
四、（10分）设总体X 服从正态分布),(2σμN ，假如要以99%的概率保证偏差1.0<-μX ，试问：在2.02=σ时，样本容量n 应取多大五、（10分）设总体X 服从0-1分布：x x q p x X P -==1)(，1.0=x ；其中10<<p ，p q -=1，从总体X 中抽取样本1X ，2X ，…，n X ，求样本均值X 的期望和方差、样本方差2S 的期望.解答：E （ΣXi)=ΣE(Xi)=nE(X)=np E[（ΣXi)/n]=[ΣE(Xi)]/n=E(X)=pD[（ΣXi)/n]=[ΣD(Xi)]/n 2=D(X)/n=p(1-p)/n六、（10分）某商店为了解居民对某种商品的需求，调查了100家住户，得出每户每月平均需要量为10kg ，方差为9.设居民对某种商品的需求量服从正态分布，如果此种商品供应该地区10 000户居民，在01.0=α下，试求居民对该种商品的平均需求量进行区间估计；并依此考虑最少要准备多少商品才能以的概率满足需要七、（10分）某种零件的长度服从正态分布，它过去的均值为现换了新材料，为此从产品中随机抽取8个样品，测量长度为：20. 0问用新材料做的零件的平均长度是否起了变化（05.0=α）解答：(1)因为样本数据在上下波动，所以x 甲˙ˉˉˉˉˉˉ=+=，x 乙˙ˉˉˉˉˉˉ=+=， S 2甲=110[10×2]=(mm 2) S 2乙=110[10×2]=(mm 2)八、（10分）设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，1X ，2X ，…，n X 是从X 中抽取的简单随机样本，其中μ，2σ未知，选择常数c ，使统计量∑-=+-=1121)(n i i i X X c T 是2σ的无偏估计量.。