五年级奥数第02讲-等差数列(学)

学科教师辅导讲义

知识梳理

一、数列的概念

按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。

如：2、5、8、11、14、17、20、L从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列

100、95、90、85、80、L从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列

二、等差数列与公差

一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。

三、常用公式

等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2

项数=（末项-首项）÷公差+1

末项=首项+公差⨯（项数-1）

首项=末项-公差⨯（项数-1）

公差=（末项-首项）÷（项数-1）

等差数列（奇数个数）的总和=中间项⨯项数

中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．

典例分析

考点一：等差数列的基本认识

例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

①6，10，14，18，22， (98)

②1，2，1，2，3，4，5，6；

③1，2，4，8，16，32，64；

④9，8，7，6，5，4，3，2；

⑤3，3，3，3，3，3，3，3；

⑥1，0，1，0，l，0，1，0；

例2、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？

例3、已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？

例4、2、4、6、8、10、12、L是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．例5、5、8、11、14、17、20、L，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？

例2、在11～45这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少？

例3、如图2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N=5时，按这种方式摆下去，当N=5时，共需要火柴棍根。

例4、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有___________个小圈。

P(Practice-Oriented)——实战演练

实战演练

➢课堂狙击

1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？

8、观察下列四个算式：201 =20，202 =10，104 =52 ， 52 8 =5

16 。从中找出规律，写出第五个算式： 。

9、若干个硬币排成左下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差（大数减小数），如

对于a ，差为7-5=2，所有差的总和为 。

1、（2005年，第3届，希望杯，4年级，1试）从1开始的奇数：1，3，5，7，……其中第100个奇数是_____。

2、（2006年，第4届，希望杯，4年级，1试）观察下列算式： 2＋4＝6＝2×3， 2＋4＋6＝12＝3×4 2＋4＋6＋8＝20＝4×5 ……

然后计算：2＋4＋6＋……＋100＝ 。

3、（2005年，第3届，走美杯，5年级，决赛）从正整数1～N 中去掉一个数，剩下的(N 一1)个数的平均值是15.9，去掉的数是_____。

直击赛场

一、等差数列的定义

⑴定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．

⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示

末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；

公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ． 二、等差数列的相关公式

（1）三个重要的公式

① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+

-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =-

-⨯（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 ③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2

（2） 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首

项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．

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名师点拨

重点回顾

➢本节课我学到了

➢我需要努力的地方是