固体物理学：第五章 第四节 输运现象

V(k)是电子的群速度，f(k)是k空间的分布函数。
如果分布函数f(k)不受电场影响，则维持平衡态下的 分布函数：
由E(k)=E(-k)得到 分布函数是关于k对称的。
另外，
得到
它是关于k反对称的，因此，有5.4.2可知：
即在平衡态下，电流是0。
实际上，在外场E的作用下，电子在k空间将一恒定 速度往-E方向漂移：
第五章 金属电子论
§5.4 输运现象
如果系统中存在温度、浓度、电势等强度量的不均 匀性，那么将导致能量、粒子束、电荷数等广延量 的流动，这就是输运现象。
晶体某个方向存在温度梯度、浓度梯度，电势梯度， 则输运过程中的热流通量、粒子流通量、电流通量 有如下关系：
这就是所谓的热导、扩散和电导现象，其系数分别是热导 系数，扩散系数和热导系数，它们取决于晶体的内禀性质。
如上图的实线所示。对于非平衡分布函数有：
它不是k的对称函数。
假定外场并不影响能带结构v(k)=-v(-k)，那么
此时样品中有电流流过。 晶体中，除了点阵周期势对电子的散射之外，没有另 外的碰撞机制，那么整个分布函数将在k空间无休止 地漂移。导致布洛赫振荡。 电阻的来源一定时晶体中存在非周期因素，包括
假定τ是每个小区域的驰豫时间，T是整个系统的驰 豫时间，我们关心的时间尺度是
一般分布函数除了是k的函数外，也是空间坐标r，时 间t的函数，写为f(k,r,t)，它表示一个系统中的粒 子t时刻在（k,r)六维空间中的分布概率。 考虑分布函数f(k,r,t)随时间的变化，一方面系统位 置空间的不均匀性和外场的作用导致分布函数的漂移， 另一方面，碰撞也可以导致分布函数的变化，这两方 面要分开处理：
是k’态未被占据的概率
从所有k’态散射到k态的净增概率为：
两部分的差就是碰撞导致的分布函数的变化
碰
把5.4.14和5.4.17代入5.4.11：
这就是描述分布函数随时间变化的波尔兹曼方程。
对于定态问题：
得到定态波尔兹曼方程
在5.4.18和5.4.19中
分别是温度梯度和化学势梯度。 考虑到纯粹的电导到问题，不存在温度梯度和化学势 梯度，而F=-eE，则有
1. 晶格振动引起的声子对电子的无规散射，它是 温度的函数。
2. 晶体中的缺陷和杂质对电子ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ无规散射。
电导过程中，一方面，电子的外场下被加速，使得系统偏离平 衡位置。另一方面，散射使电子失去在外场中获得的定向运动。 这种不可逆的因素产生两种效应，一是能量耗散，二是使得系 统趋于平衡。
在恒定电场下，漂移和碰撞的共同作用使得系统处于一种定态， 假定碰撞的平均驰豫时间是τ，那么分布函数偏离平衡态： 得到一个非平衡态的定态分布函数。
漂
碰
1. 漂移
f(k,r,t)看做相空间(k,r)中的流体密度，那么 分别是k坐标和r坐标的漂移速度分量，根据流体 力学中的连续性方程，有
漂
因为
漂
漂移描述了两次碰撞间的纯动力学行为， 并不导致不可逆因素。
2. 碰撞 碰撞对应于不可逆过程，它迫使系统趋于平衡分布。 由于声子或杂志的散射，粒子可以从k态跃迁至k’态. 假定θ(k’,k)和θ(k,k’)分别是单位时间有k到k’和由k’到k 得散射概率。假定散射过程中电子的自旋不变，那么 在单位时间从k态散射到所有自旋相同的k’的净减概 率为
二、波尔兹曼方程
一旦确定非平衡态分布函数f(k)，就可以计算电流 密度。波尔兹曼方程就是考虑分布函数在漂移和碰 撞作用下的变化规律而建立的，它是处理一切输运 问题的出发点。
我们讨论的是近平衡态的情况，即系统中每个宏观 小，微观大的区域达到平衡态，但整个系统处于非 平衡态。这种局域平衡的假设，是处理非平衡态问 题的基础。
上述唯象方程意味着输运过程是一个扩散过程，能量、离 子和电荷不是简单地从样品一段直接到达另一端，而是受 到频繁地碰撞，否则无论样品多长，通量都将不依赖于温 度、浓度和电势梯度，而仅仅依赖于样品两端的温度、浓 度和电势差。
一、非平衡态分布函数
自由电子模型下的漂移速度理论出发，讨论了电导问 题，这是一个非常简单的理论。严格地应该考虑到晶 体的能带结构以及电子按照能量的分布，电导公式：