最新高二数学上学期期末考试试卷含答案
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案

一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.直线x+2=0的倾斜角为()A. 0B. π4C. π3D. π2【答案】D【解析】解:直线x+2=0的斜率不存在,倾斜角为π2.故选:D.直线x+2=0与x轴垂直,斜率不存在,倾斜角为π2.本题考查了直线方程与倾斜角的应用问题,是基础题.2.抛物线y2=4x的准线方程为()A. x=−1B. x=1C. y=−1D. y=1【答案】A【解析】解:∵y2=4x,2p=4,p=2,∴抛物线y2=4x的准线方程为x=−1.故选:A.利用抛物线的基本性质,能求出抛物线y2=4x的准线方程.本题考查抛物线的简单性质,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.3.如果一个几何体的正视图是矩形,则这个几何体不可能是()A. 三棱柱B. 四棱柱C. 圆锥D. 圆柱【答案】C【解析】解:三棱柱,四棱柱(特别是长方体),圆柱的正视图都可以是矩形,圆锥不可能.几何体放置不同,则三视图也会发生改变.三棱柱,四棱柱(特别是长方体),圆柱的正视图都可以是矩形.几何体放置不同,则三视图也会发生改变.考查了学生的空间想象力.4.设a,b,c为实数,且a<b<0,则下列不等式正确的是()A. 1a <1bB. ac2<bc2C. ba>abD. a2>ab>b2【答案】D【解析】解:对于A:1a −1b=b−aab>0,A不正确;对于B:ac2<bc2在c=0时,不成立,B不正确;对于C:ba −ab=b2−a2ab=(b−a)(b+a)ab<0,C不正确.故选:D.A:作差判断不成立;B:c=0时不成立;C:作差判断不成立.本题考查了不等式的基本性质,属基础题.5.如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员参加11场比赛的得分情况画出的茎叶图.若甲运动员的中位数为a,乙运动员的众数为b,则a−b的值是()A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】A【解析】解:根据茎叶图知,甲运动员的中位数为a=19,乙运动员的众数为b=11,则a−b=19−11=8.故选:A.根据茎叶图中的数据写出甲的中位数a和乙的众数b,再求a−b.本题考查了利用茎叶图求中位数和众数的应用问题,是基础题.6.某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为x−和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()A. x−,s2+1002B. x−+100,s2+1002C. x−,s2D. x−+100,s2【答案】D【解析】解:由题意知y i=x i+100,则y−=110(x1+x2+⋯+x10+100×10)=110(x1+x2+⋯+x10)=x−+100,方差s2=110[(x1+100−(x−+100)2+(x2+100−(x−+100)2+⋯+(x10+100−(x−+100)2]=110[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(x10−x−)2]=s2.故选:D.根据变量之间均值和方差的关系和定义,直接代入即可得到结论.本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系,利用均值和方差的定义是解决本题的关键,要求熟练掌握相应的计算公式.7.已知双曲线x25−y2b2=1的焦点到渐近线的距离为2,则其虚轴长为()A. 1B. 4C. 3D. 0 【答案】B【解析】解:双曲线x25−y2b2=1的一个焦点设为(c,0),c>0,且c=√5+b2,一条渐近线的方程设为bx−√5y=0,b>0,由题意可得√b2+5=b=2,即有2b=4,故选:B.设出双曲线的一个焦点和一条渐近线方程,运用点到直线的距离公式可得b=2,可得虚轴长2b.本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程,考查点到直线的距离公式,以及运算能力,属于基础题.8.设α,β,γ是三个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,则下列说法正确的是()A. 若m//α,n//α,则m//nB. 若α⊥β,m⊥β,则m//αC. 若α⊥β,β⊥γ,则α//γD. 若m⊥α,n⊥α,则m//n【答案】D【解析】解:A中m,n还可能相交或异面;B中漏掉了m⊂α的情况;C中α,β也可能相交;D中同垂直于一个平面的两条直线平行,正确,故选:D.A,B,C中的结论都不完整,D中的结论有定理作保证,显然选D.此题考查了线面,面面的各种关系,难度较小.9.某市为调查某社区居民的家庭收入与年支出的关系,现随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据:若该社区居民家庭收入与年支出存在线性相关关系,且根据上表得到的回归直线方程是y^=b^x+a^,其中b^=0.76,据此估计,该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出约为()A. 11.4万元B. 11.8万元C. 12.0万元D. 12.2万元【答案】B【解析】解:x−=8.5+9+10+11+11.55=10,y−=6.2+7.5+8+8.5+9.85=8,再根据样本中心点(x−,y−)在回归直线上,所以8=0.76×10+â可得â=0.4,所以线性回归直线方程为y−=0.76x+0.4,当x=15时,y=0.76×15+0.4,解得y=11.8元.故选:B.先根据线性回归直线过样本中心点得â=0.4,从而得回归方程,在将x=15代入可求得y=11.8万元.本题考查了线性回归方程,属中档题.10.如图的程序框图的部分算法思路来源于我国古代内容极为丰富的数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入a,b的值分别为12,15,则输出的m=()A. 3B. 30C. 60D. 180【答案】C【解析】解:模拟程序的运行,可得a=12,b=15,t=12×15= 180,不满足条件a≥b,b=12−5=3满足条件a≥b,a=12−3=9满足条件a≥b,a=9−3=6满足条件a≥b,a=6−3=3此时,不满足条件a≠b,计算并输出m=180=60.故选:C.由3已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.11.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在C上,若以MF为直径的圆过点P(0,−2),则|PM|的值为()A. √5B. 5C. 2√5D. 10【答案】C【解析】解:抛物线C :y 2=4x 的焦点为F(1,0),设M(y 24,y),∵以MF 为直径的圆过点P(0,−2),∴PM ⊥PF ,∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗ =(y 24,y +2)⋅(1,2)=0,∴y 24+2(y +2)=0,解得y =−4,∴x M =(−4)24=4,M(4,−4);∴|PM|=√(4−0)2+(−4+2)2=2√5.故选:C .根据抛物线的方程求出焦点F ,利用直径对直角得出PM ⊥PF ,求出点M 的坐标,再计算|PM|的值.本题考查了圆的性质和抛物线的定义应用问题,也考查了推理能力与计算能力,是中档题.12. 已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)、F 2(c,0),A ,B 是圆(x +c)2+y 2=4c 2与双曲线C 位于x 轴上方的两个交点,且∠AF 1B =90∘,则双曲线C 的离心率为()A. √√2+1B. √2+1C. √2√2+1D. 2√2+1【答案】A【解析】解:圆(x +c)2+y 2=4c 2的圆心为(−c,0),半径为2c ,且|AF 1|=2c ,|BF 1|=2c ,由双曲线的定义可得|AF 2|=2a +2c ,|BF 2|=2c −2a ,设∠BF 1F 2=α,。
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一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1、下列四个命题: ①若22||a b a b >>,则 ,②若a >b c >d a -c >b -d ,,则,③若a >b ,c>d ,则a c>bd ④若00c c a b c ab>><>,,则 , 其中正确命题的个数有() A .1个 B .2个 C .3个 D .4个2、已知两直线:3230610x y x my +-=++=与互相平行,则它们之间的距离为()A .4B D 3、已知过两点P (-2,m ),Q (m ,4)的直线的倾斜角为1arctan 2,则实数m 的值为() A .2B .10C .-8D .04、经过三点的平面有( )A .1个B .无数多个C .1个或无数多个D .一个都没有 5、双曲线3x 2 -y 2 =3的渐近线方程是( )A .y = ±3xB .y = ±3x C .y =±31xD .y = ±33x 6、圆x 2 + y 2-2 x = 0和 x 2 + y 2 +4y = 0的位置关系是( )A .相离B .外切C .内切D .相交7、长轴在x 轴上,短半轴长为1,两准线之间的距离最近的椭圆的标准方程是( )A .1222=+y x B .1222=+y xC .1322=+y x D .1422=+y x8、已知F 1、F 2是双曲线16x 2 -9y 2 =144的焦点,P 为双曲线上一点,若 |PF 1||PF 2| =32, 则∠F 1PF 2 = ( )A .6π B .3πC .2π D .32π 9、设F 1、F 2为定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则动点M 的轨迹是 ()A .椭圆B .直线C .圆D .线段10、若点A 的坐标是(3,2),F 是抛物线y 2=2x 的焦点,点P在抛物线上移动,为使得|PA|+|PF|取得最小值,则P 点的坐标是( )A .(1,2)B .(2,1)C .(2,2)D .(0,1) 二、填空题 (本大题共5小题,每小题4分,共20分)11、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,异面直线A 1B 和AC 所成的角的大小是。
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高二上期末考试模拟试题数学(测试时间:120分钟 满分150分)一. 选择题(12×5分=60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,将正确结论的代号填入后面的表中)第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题;每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的.)1、设R b a ∈,,现给出下列5个条件:①2=+b a ;②2>+b a ;③222>+b a ;④1>ab ;⑤0log <b a ,其中能推出“a ,b 中至少有一个大于1”的条件为( )(A)②③④(B)②③④⑤(C)①②③⑤(D)②⑤2、若直线0=++c by ax 经过第一、二、三象限,则( )(A)0,0>>bc ab (B)0,0<>bc ab (C)0,0><bc ab (D)0,0<<bc ab3、若不等式组⎩⎨⎧<->-ax a x 2412的解集非空,则实数a 的取值范围是( )(A) (-1,3) (B)(-3,1) (C)(-∞,-1) (D)(-∞,-3)∪(1,+∞)4、“a >1”是直线0=-x a y 与直线a x y =-有且仅有两个交点的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5、AB 是过抛物线y x =2的焦点弦,且4=AB ,则AB 的中点到直线01=+y 的距离是( )(A)25(B)2 (C)411(D)3 6、用一个与圆柱母线成︒60角的平面截圆柱,截口是一个椭圆,则此椭圆的离心率是( ) (A)22(B)21(C)23(D)337、已知25≥x , 则4254)(2-+-=x x x x f 有( )(A)最大值45(B)最小值45(C)最大值1 (D)最小值1 8、已知直线)2(2:-=-x k y l 与圆02222=--+y x y x 相切,则直线l 的一个方向向量v为 ( )(A)(2,-2) (B)(1,1) (C)(-3,2) (D)(1,21)9、已知函数42)6()(-+-=a x a x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,54上0)(>x f 恒成立,则a 的取值范围是( ) (A)),722(+∞(B)),310(+∞(C)]6,722((D)]6,310( 10、如图,函数)(x f y =的图象是中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆的两段弧,则不等式x x f x f +-<)()(的解集为 ( )(A ){}22,02|≤<<<-x x x 或(B ){}22,22|≤<-<≤-x x x 或 (C)⎭⎬⎫≤<⎩⎨⎧-<≤-222,222|x x x 或 (D ){}0,22|≠<<-x x x 且11、已知动点),(y x P 满足y x y x 43)2()1(1022+=-+-,则此动点P 的轨迹是( )(A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)两相交直线12、已知椭圆的一个焦点和对应的准线分别是抛物线22x y =的焦点与准线,则椭圆短轴的右端点的轨迹方程是( )(A))0(212>-=x y x (B))0)(1(22>-=x y x(C))0)(81(412>-=x y x (D))0)(41(212>-=x y x第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、若直线)0,0022>>=+-b a by ax (始终平分圆014222=+-++y x y x 的圆周,则ba 11+的最小值为14、),(y x P 是椭圆12322=+y x 上的动点,则y x 2-的的取值范围是15、已知一椭圆的两焦点为)0,5(),0,5(21F F -,有一斜率为98-的直线被椭圆所截得的弦的中点为(2,1),则此椭圆方程为 16、给出下列四个命题①两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等;②过点),(00y x 与圆222r y x =+相切的直线方程为200r y y x x =+;③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆;④抛物线上任意一点M 到焦点的距离等于该点M 到准线的距离。
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案
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一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.设集合M={4,5,6,8},集合N={3,5,7,8},那么M∪N等于( )A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8} C. {3,5,7,8} D.{4,5,6,8}2.在等比数列{}n a中,已知1=2a,2=4a,那么4=a( ) A.6 B.8C.16 D.323.设向量7(5)=-,a,(4)6=--,b,则=a b( ) A.58-B.2-C.2 D.224.函数2siny x x=∈R,的最大值为( )A.2-B.1-C.1 D.25.lg 2516-2lg59+lg3281等于( )A.lg 2B.lg 3C.lg 4 D.lg 56.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体是( ) A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥7.执行如图所示的程序框图,输出的结果是( )(第7题图)A.3 B.9C.27 D.648.指数函数()01x且的图像必过定点( )y a a a=>≠A.()01,00,B.()C.()11,10,D.()9.经过点(02)P,且斜率为2的直线方程为( )A.220x y--=x y++=B.220C.220x y+-=x y-+=D.22010.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a b、、c,若1245,,,==b c A则a的长为( )A.1 B2C3.2二、填空题(本大题共4题,每题4分,共16分)11.若函数()2100 x x f x x x +⎧=⎨>⎩,,,,≤则()2f =. 12.已知向量a =(2,1),b =(1,5),则2+a b 的坐标为. 13.若cos α=-45,α是第三象限角,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=. 14.不等式223x x -++≥0的解集为.三、解答题(本大题共4题,共44分)15.(14分)已知函数1()f x x x =+,(Ⅰ) 证明()f x 在[1,)+∞上是增函数;(Ⅱ) 求()f x 在[1,4]上的最大值及最小值.16.已知{a n }是一个等差数列,且a 2=1,a 5=-5.(1)求{a n}的通项公式a n;(2)求{a n}前n项和S n的最大值.17.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD, AB∥CD,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC;(2)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.18.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标.(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.。
数学期末考试试卷及答案(高二上学期)
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数学期末考试试卷及答案(高二上学期)一、选择题(共40分,每小题2分)1. 一次函数y = 2x - 3的图象是直线,下列说法正确的是()。
A. 过点(-3, 3)B. 过点(0, -3)C. 过点(3, 0)D. 过点(0, 3)答案:C2. 已知函数y = ax² + bx + c的图象经过点(1, 4),则a + b + c的值为()。
A. 4B. 6C. 8D. 10答案:B3. 在直角坐标系中,已知点A(2, 3),点B在x轴上,且AB = 5,则点B的坐标为()。
A. (2, 0)B. (0, -3)C. (7, 0)D. (-3, 0)答案:A4. 设函数f(x) = 2x + 3,g(x) = x² - 4,则f(g(2))的值为()。
A. 3B. 7C. 9D. 11答案:C5. 函数y = x² - 6x + 8的图象是一条抛物线,下列说法正确的是()。
A. 开口向上B. 开口向下C. 与x轴平行D. 与y轴平行答案:A二、解答题(共60分)6. 解方程组:2x - y = 3x + y = 5解答:将第一式两边同时加上第二式得到:2x - y + x + y = 3 + 53x = 8x = 8/3将x的值代入第二式得到:8/3 + y = 5y = 5 - 8/3y = 15/3 - 8/3y = 7/3因此,方程组的解为x = 8/3,y = 7/3。
7. 某商品原价为120元,现在打8折出售,求出售价格。
解答:打8折即为原价乘以0.8,所以出售价格为120元 × 0.8 = 96元。
8. 某数的5倍减去6等于30,求这个数。
解答:设这个数为x,则根据题意可以列出方程:5x - 6 = 305x = 30 + 65x = 36x = 36/5因此,这个数为36/5。
9. 已知等差数列的首项为3,公差为4,求第10项。
解答:第10项可以通过首项加上9倍公差来计算:第10项 = 3 + 9 × 4= 3 + 36= 39因此,第10项为39。
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案
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一、选择题1、数列}{n a 的首项为2,且41-=-n n a a (n ≥2),则通项公式是: A 、n a n 46-= B 、24-=n a n C 、1+=n a n D 、n a n 24-=2、已知数列}{n a 的通项公式为nn n n a )5(43-+=,前n 项的和为n S ,则=∞→nn SlimA 、87- B 、7259-C 、0D 、54- 3、经过点(5、10)且与原点距离为5的直线的斜率是: A 、43B 、2C 、21D 、43或不存在 4、以原点圆心,且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是:A 、522=+y x B 、2522=+y x C 、422=+y x D 、1622=+y x 5、方程01)2()1(22=-++++m y m mx 所表示的图形是一个圆,则常数m 的值是:A 、2B 、-1C 、2或-1D 、不存在 6、直线02)()32(22=--+-+m y m m x m m 与直线01=--y x 平行,则m 的值是:A 、1B 、-1C 、1或-1D 、不存在7、椭圆1121622=+y x 上的点P 到右焦点距离为38,则P 点的横坐标是:A 、38B 、83C 、316D 、37 8、给出下列四条不等式:①2)1(-x >2)(x ②2)1(-x >x ③x ≥0 ④x >12)1(-x >x 2)1(-x >x以上不等式中与不等式x x >-1同解的有 A 、①③ B 、②④ C 、③ D 、④9、等差数列{}n a 中23=a ,公差1=d ,n S 为前n 项的和,要使+++321321S S S …+nS n 的值最大,则n 为: A 、7 B 、8 C 、9 D 、8或910、数列{}n a 满足21=a ,++=21a a a n …+1-n a (n ≥2),则20a 等于: A 、172 B 、182 C 、192 D 、220 二、填空题:11、直线x y 21=关于直线x y 2=对称的直线方程是__________12、不等式2<|12-x |<8的解集是_________________13、与直线0543=+-y x 垂直, 且与圆4)2()1(22=++-y x 相切的直线方程是_____。
河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
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石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学(答案在最后)(时间120分钟,满分150)注意事项:本试卷分为第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷(选择题,共60分)一、单项选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.直线10+-=的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中,平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ,()2,1,0B -,()1,2,0C -,则D 的坐标为()A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为,则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列,且1231a a a ++=,234+2a a a +=,则678a a a ++=()A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,将第一次向上的点数记为m ,第二次向上的点数记为n ,则2n m n <≤的概率等于()A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍,则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入,故又称为“兔子数列”,即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数,斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足:121a a ==,()*21N n n n a a a n ++=+∈,则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第()项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中,3AB AC BD CD ====,4AD BC ==,E 是BC 的中点,F 满足14AF AD =,则异面直线AE ,CF 所成角的余弦值为()A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.)9.袋子中有六个大小质地相同的小球,编号分别为1,2,3,4,5,6,从中随机摸出两个球,设事件A 为摸出的小球编号都为奇数,事件B 为摸出的小球编号之和为偶数,事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数,则下列说法全部正确的是()A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C :22162x y +=的左右焦点分别为1F ,2F ,P 是椭圆C 上的动点,点()1,1A ,则下列结论正确的是()A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ,(2,1,1)b =-,则下列说法不正确的是()A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b,则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ,直线l 的方向向量是b,则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上,教师引导学生构造新数列:在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造,第1次得到数列1,3,2;第2次得到数列1,4,3,5,2;…;第()*n n ∈N次得到数列1,123,,,,k x x x x ,2;…记1212n k a x x x =+++++ ,数列{}n a 的前n 项为n S ,则()A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,AB a =,AD b =,1AA c = ,点M 是11A D 的中点,点N 是1CA 上的点,且115CN CA = ,若MN xa yb zc =++,则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中,每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率,用1,2,3,4,5,6表示下雨,7,8,9,0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180,792,454,417,165,809,798,386,196,206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ,若2132n n S n T n +=+,则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C :()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点,若点P 是线段AB 的中点,则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题(本大题共6道小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.已知直线l 经过点()3,4P .(1)若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量,求直线l 的方程;(2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求直线l 的方程.18.已知圆C :()22222320x x y y λλλ+-+++-=.(1)当2λ=时,求直线y x =被圆C 截得的弦长;(2)若直线y x =与圆C 没有公共点,求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式;(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图,在四棱锥P ABCD -中,PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.(1)证明:平面PAC ⊥平面PBC .(2)若AD AB ⊥,求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲,乙两人进行围棋比赛,采取积分制,规则如下:每胜1局得1分,负1局或平局都不得分,积分先达到2分者获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,则积分多的一方获胜;若第四周结束,没有人积分达到2分,且积分相等,则比赛最终打平.假设在每局比赛中,甲胜的概率为12,负的概率为13,且每局比赛之间的胜负相互独立.(1)求第三局结束时乙获胜的概率;(2)求甲获胜的概率.22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点,过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ,两点(异于点A ),当直线l 的斜率不存在时,3PQ =.(1)求椭圆C 的方程;(2)求APQ △面积的取值范围.石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学(时间120分钟,满分150)注意事项:本试卷分为第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷(选择题,共60分)一、单项选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.直线10+-=的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得:y =+,所以直线的斜率为k =,所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选:C2.空间直角坐标系O xyz -中,平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ,()2,1,0B -,()1,2,0C -,则D 的坐标为()A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =,计算即可.【详解】结合题意:设D 的坐标为(),,x y z ,因为()1,2,3A ,()2,1,0B -,()1,2,0C -,所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ,因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =,所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩,解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以D 的坐标为()2,5,3-.故选:B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意,设圆的半径为r ,求出圆心到直线0x y +=的距离,由直线与圆的位置关系可得r 的值,即可得圆的标准方程,变形可得答案.【详解】根据题意,设圆的半径为r ,圆心坐标为()2,2,到直线0x y +=的距离d ==,该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=,则圆的方程为22221)6()(x y -+-=,变形可得224480x y x y +---=,故选:A.4.设{}n a 是等比数列,且1231a a a ++=,234+2a a a +=,则678a a a ++=()A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值,再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则()2123111a a a a q q++=++=,()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==,因此,()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选:D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算,属于基础题.5.将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,将第一次向上的点数记为m ,第二次向上的点数记为n ,则2n m n <≤的概率等于()A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意,利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数,结合古典概型的概率计算公式,即可求解.【详解】由题意,将一颗骰子先后抛掷2次,第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =,1,2,3,4,5,6n =,共有6636⨯=种结果,其中满足2n m n <≤的有:(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5),,共有9种结果,由古典概型的概率计算公式,可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选:D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍,则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ,即可得答案.【详解】由题意,3x 0=x 0+2p ,∴x 0=4p ∴222p =∵p >0,∴p=2.故选D .【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质.考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用,属于基础题.7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入,故又称为“兔子数列”,即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数,斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足:121a a ==,()*21N n n n a a a n ++=+∈,则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第()项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意,结合121a a ==,()*21N n n n a a a n ++=+∈,利用累加法,即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足:121a a ==,()*21N n n n a a a n ++=+∈,则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选:C.8.在三棱锥A BCD -中,3AB AC BD CD ====,4AD BC ==,E 是BC 的中点,F 满足14AF AD =,则异面直线AE ,CF 所成角的余弦值为()A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -,计算长方体的长宽高,建立空间直角坐标系,利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ,CF 所成角的余弦值.【详解】解:三棱锥A BCD -中,由于3AB AC BD CD ====,4AD BC ==,则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -,则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===,则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==,解得1,a b c ===,如图以C 为原点,,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系,则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ,所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭,则(AE =-,(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅,则异面直线AE ,CF所成角的余弦值为10.故选:D .二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.)9.袋子中有六个大小质地相同的小球,编号分别为1,2,3,4,5,6,从中随机摸出两个球,设事件A 为摸出的小球编号都为奇数,事件B 为摸出的小球编号之和为偶数,事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数,则下列说法全部正确的是()A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数,共三种情况,由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系,再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知,事件A 为摸出的小球编号都为奇数,事件B 为摸出的小球编号之和为偶数,即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数,故事件A ,B 不互斥,故A 错误;事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数,即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数,其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数,故B ,C 是对立事件,故C 正确;事件A ,C 不会同时发生,故A ,C 是互斥事件,故B 正确;每次摸出两个小球,所有基本事件为:()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6,共有15个,所以由古典概型可得31()155P A ==,62()155P B ==,31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠,故事件A 与B 不相互独立,故D 错误.故选:BC.10.已知椭圆C :22162x y +=的左右焦点分别为1F ,2F ,P 是椭圆C 上的动点,点()1,1A ,则下列结论正确的是()A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项,根据椭圆定义求出答案;B 选项,数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时,12PF F △面积最大,求出最大值;C 选项,由ce a=直接求解即可;D 选项,作出辅助线,结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-,当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值,得到答案.【详解】A 选项,由题意得2a b c ====,由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确;B 选项,当P 在上顶点或下顶点时,12PF F △面积最大,最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误;C 选项,离心率3c e a ===,C 正确;D 选项,因为2211162+<,所以点()1,1A 在椭圆内,连接2PF ,由椭圆定义可知12PF PF +=,故12PF PF =,故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-,当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值,最小值为2AF -==,所以1PF PA +最小值为D 正确.故选:ACD11.已知向量()1,2,2a = ,(2,1,1)b =-,则下列说法不正确的是()A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b,则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ,直线l 的方向向量是b,则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理,可判定A 错误;根据投影向量的求法,可判定B 正确;根据20a b ⋅=≠,可判定C 错误;根据线面角的空间的向量求法,可判定D 错误.【详解】对于A 中,设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-,可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩,此时,方程组无解,所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面,所以A 错误;对于B 中,由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-,可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭,所以B 正确;对于C 中,若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b,因为20a b ⋅=≠ ,所以a 与b不垂直,所以平面α与平面β不垂直,所以C 错误;对于D 中,若平面α的法向量是a ,直线l 的方向向量是b,设直线l 与平面α所成角为θ,其中π02θ≤≤,则·sin cos ,a b a b a b θ===,所以cos 9θ==,所以D 错误.故选:ACD.12.在数学课堂上,教师引导学生构造新数列:在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造,第1次得到数列1,3,2;第2次得到数列1,4,3,5,2;…;第()*n n ∈N次得到数列1,123,,,,k x x x x ,2;…记1212n k a x x x =+++++ ,数列{}n a 的前n 项为n S ,则()A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果,寻找规律,再进行推理运算即可.【详解】由题意可知,第1次得到数列1,3,2,此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2,此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2,此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此时15k =第n 次得到数列1,123,,,,k x x x x ,2此时21n k =-所以12n k +=,故A 项正确;结合A 项中列出的数列可得:123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-,故B 项正确;由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+,故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-,故D 项正确.故选:ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果,寻找规律,对于复杂问题,著名数学家华罗庚指出:善于“退”,足够的“退”,退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去,这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,AB a =,AD b =,1AA c = ,点M 是11A D 的中点,点N 是1CA 上的点,且115CN CA = ,若MN xa yb zc =++,则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算,以{},,a b c为基底,用基向量表示MN ,再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点,点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ,由空间向量基本定理得,434,,5105x y z ===-,则310x y z ++=.故答案为:310.14.天气预报预测在今后的三天中,每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率,用1,2,3,4,5,6表示下雨,7,8,9,0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180,792,454,417,165,809,798,386,196,206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417,386,196,206,得到答案.【详解】10组随机数中,表示三天中恰有两天下雨的有417,386,196,206,故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为:2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ,若2132n n S n T n +=+,则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式,将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子,转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质,考查了等差数列前n 项和公式,考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说,若m n p q +=+,则有m n p q a a a a +=+,而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=,可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C :()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点,若点P 是线段AB 的中点,则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=,根据题意和渐近线方程得到l b k a <,故01b a <<,从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩,两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-,若12x x =,则AB 的中点在x 轴上,不合要求,若12x x =-,则AB 的中点在y 轴上,不合要求,所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+,因为()1,1P 为AB 的中点,所以1212212y y x x +==+,故22l b k a=,因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±,要想直线l 与双曲线C :()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点,则l b k a <,即22b ba a <,解得01b a <<,所以离心率(c e a ==.故答案为:(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题,常用点差法,该法计算量小,模式化强,易于掌握,若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时,也可以用点差法的升级版—定比点差法,解法快捷.四、解答题(本大题共6道小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.已知直线l 经过点()3,4P .(1)若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量,求直线l 的方程;(2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求直线l 的方程.【答案】(1)2100x y +-=;(2)70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】(1)根据给定的方向向量,求出直线的斜率,利用直线的点斜式方程求解即得.(2)由已知,按截距是否为0,结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量,得直线l 的斜率2k =-,又l 经过点()3,4P ,则l 方程为:()423y x -=--,即:2100x y +-=,所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意,当直线l 过原点时,而直线l 又过点()3,4P ,则直线l 的方程为43y x =,即430x y -=;当直线l 不过原点时,设直线l 的方程为x y a +=,则有34a +=,解得7a =,即直线l 的方程为70x y +-=,所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C :()22222320x x y y λλλ+-+++-=.(1)当2λ=时,求直线y x =被圆C 截得的弦长;(2)若直线y x =与圆C 没有公共点,求λ的取值范围.【答案】(1)(2)11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】(1)求出圆心和半径,得到圆心到直线的距离,利用垂径定理求出弦长;(2)求出圆心和半径,根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式,求出答案.【小问1详解】当2λ=时,圆C :22410x y y ++-=,圆心()0,2C -,半径r =,所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点,则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦,22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立,因为直线y x =与圆C 没有公共点,圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+,即22210λλ--<,解得:1122λ-<<,故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式;(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(Ⅰ)2n n a =.(Ⅱ)2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析:(Ⅰ)列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量;(Ⅱ)用错位相减法求和.试题解析:(Ⅰ)设{}n a 的公比为q ,由题意知:22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >,解得:12,2a q ==,所以2n n a =.(Ⅱ)由题意知:121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+,又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=,因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.(2)用错位相减法求和时,应注意:在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“S n -qS n ”的表达式,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.20.如图,在四棱锥P ABCD -中,PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.(1)证明:平面PAC ⊥平面PBC .(2)若AD AB ⊥,求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)4515【解析】【分析】(1)先证明线面垂直,再应用面面垂直判定定理证明即可;(2)应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ,所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中,因为1,2BC AC ==,所以2225AC BC AB +==,所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ,所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=,PB BC ⊂,平面PBC ,所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ,所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ,所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由(1)知AC ⊥平面PBC ,所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r,可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩,令2y =,得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ,则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲,乙两人进行围棋比赛,采取积分制,规则如下:每胜1局得1分,负1局或平局都不得分,积分先达到2分者获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,则积分多的一方获胜;若第四周结束,没有人积分达到2分,且积分相等,则比赛最终打平.假设在每局比赛中,甲胜的概率为12,负的概率为13,且每局比赛之间的胜负相互独立.(1)求第三局结束时乙获胜的概率;(2)求甲获胜的概率.【答案】(1)427(2)265432【解析】【分析】(1)对乙来说共有两种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜),根据独立事件的乘法公式即可求解.(2)以比赛结束时的场数进行分类,在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知,乙每局获胜的概率为13,不获胜的概率为23.若第三局结束乙获胜,则乙第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”.若第二局结束甲获胜,则甲两局连胜,此时的概率1111224P =⨯=.若第三局结束甲获胜,则甲第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=.若第四局结束甲得两分获胜,则甲第四局必定获胜,前三局为1胜2平或1胜1平1负,总共有9种情况:(胜,平,平,胜),(平,胜,平,胜),(平,平,胜,胜),(胜,平,负,胜),(胜,负,平,胜),(平,胜,负,胜),(负,胜,平,胜),(平,负,胜,胜),(负,平,胜,胜).此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜,则乙的积分为0分,总共有4种情况:(胜,平,平,平),(平,胜,平,平),(平,平,胜,平),(平,平,平,胜).此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点,过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ,两点(异于点A ),当直线l 的斜率不存在时,3PQ =.(1)求椭圆C 的方程;(2)求APQ △面积的取值范围.【答案】(1)22143x y +=;(2)90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】(1)根据给定条件,确定椭圆C 过点3(1,)2,再代入求解作答.(2)设出直线l 的方程,与椭圆C 的方程联立,结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系,再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意,2a =,当直线l 的斜率不存在时,由3PQ =,得直线l 过点3(1,)2,于是219144b+=,解得23b =,所以椭圆C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】依题意,直线l 不垂直于y 轴,设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+,由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=,则12122269,3434t y y y y t t --+==++,APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++,令1u =≥,对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增,则134u u+≥,即4≥,从而189012<≤+,当且仅当0t =时取等号,故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】思路点睛:圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题,可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量,建立函数关系求解作答.。
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案

一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.在等差数列{a n}中,已知a4=3,a12=19,则公差d为()A. 2B. 1C. −2D. −1【答案】A【解析】解:∵在等差数列{a n}中,a4=3,a12=19,∴公差d=19−3 12−4=168=2.故选:A.利用等差数列的通项公式直接求解.本题考查等差数列的公差的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.在△ABC中,AB=AC=2,且∠B=π6,则边BC=()A. 2B. 4C. √3D. 2√3【答案】D【解析】解:∵AB=AC=2,且∠B=π6,∴∠C=∠B=π6,∠A=2π3,∴由正弦定理ACsin∠B =BCsin∠A,可得:2sinπ6=BCsin2π3,可得:BC=2×√3212=2√3.故选:D.由已知利用等腰三角形的性质可求∠A=2π3,由正弦定理即可解得BC的值.本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.3.在等比数列{a n}中,已知公比q=2,前n项和为S n,若S2=3,S3=7,则它的前5项之和S5为()A. 62B. 15C. 31D. 21【答案】C【解析】解:在等比数列{a n}中,公比q=2,前n项和为S n,S2=3,S3=7,∴{a1(1−22)1−2=3a1(1−23)1−2=7,解得a1=1,∴它的前5项之和S5=1×(1−25)1−2=31.故选:C.利用等比数列前n项和公式列方程组,求出a1=1,由此能求出它的前5项之和S5.本题考查年平均增长率的求法,考查年平均增长率的性质、计算公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4.已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b=2√3,a=2,∠B=60∘,则∠A=()A. 120∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘【答案】D【解析】解:在△ABC中,由正弦定理得asinA =bsinB,∴sinA=asinBb=2×√32 2√3=12.∵a<b,∴A<B,即A是锐角.∴A=30∘.故选:D.由已知及正弦定理可求得sinA的值,由a<b,可知A是锐角,从而确定∠A的值.本题考查了正弦定理的应用,是基础题.5.已知椭圆x225+y216=1的两个焦点为F1,F2,过F1的直线与椭圆交于A,B两点,则△ABF2的周长为()A. 20B. 10C. 16D. 8【答案】A【解析】解:根据椭圆的定义:|AF1|+|AF2|=2a=10;|BF1|+ |BF2|=2a=10;△ABF1的周长为:|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a=20.故选:A.利用椭圆的定义:椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a;把三角形的周长转化成椭圆上的点到焦点的距离问题解决.本题考查了椭圆的定义,解题的关键是把三角形的周长问题转化成椭圆上的点到焦点的距离问题,利用椭圆的定义解决.6.已知双曲线C的中心在坐标原点,渐近线方程为y=±2x,且它的个焦点为(√5,0),则双曲线C的实轴长为()A. 1B. 2C. 4D. 2√5【答案】B【解析】解:双曲线C的中心在坐标原点,渐近线方程为y=±2x,且它的一个焦点为(√5,0),所以c=√5,ba =2,可得c2−a2a2=4,解得a=1,所以双曲线的实轴长为2.故选:B.一条渐近线方程是y=±2x,焦点为(√5,0),转化求解双曲线的实轴长即可.本题给出焦点在x坐标轴上的双曲线满足的条件,求双曲线的标准方程.着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题.7.下列命题中正确的是()A. 若a,b∈R,则ba +ab≥2√ba⋅ab=2B. 若x>0,则x+1x>2C.若x<0,则x+4x ≥−2√x⋅4x=−4D. 若x∈R,则2x+2−x≥2√2x⋅2−x=2【答案】D【解析】解:A选项必须保证a,b,同号.B选项应取到等号,若x>0,则x+1x≥2,C选项应该为≤,故选:D.由基本不等式成立的条件,正、定、等,可知答案选D.本题考查基本不等式的性质,属于简单题.8. 在等差数列{a n }中,已知a 2+a 5+a 12+a 15=36,则S 16=() A. 288B. 144C. 572D. 72 【答案】B【解析】解:a 2+a 5+a 12+a 15=2(a 2+a 15)=36,∴a 1+a 16=a 2+a 15=18,∴S 16=16(a 1+a 16)2=8×18=144,故选:B .根据等差数列的性质和求和公式计算即可.本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质,属于基础题9. 含2n +1个项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为() A.2n+1nB.n+1nC.n−1nD.n+12n【答案】B【解析】解:依题意,奇数项的和S 奇数=a 1+a 3+⋯+a 2n+1=(n+1)(a 1+a 2n+1)2=(n+1)×2a n+12=(n +1)a n+1,同理可得S 偶数=na n+1;∴S 奇数S偶数=n+1n.故选:B .利用等差数列的求和公式与等差数列的性质即可求得该题中奇数项的和与偶数项的和之比.本题考查等差数列的性质,着重考查等差数列的求和公式与等差数列的性质的综合应用,属于中档题.10. 已知点M 在抛物线x 2=4y 上,则点M 到直线y =x −3的最小距离为() A. 1B. 2C. √2D. 3 【答案】C【解析】解:设与直线y =x −3平行的直线方程为:y =x −m ,设切点坐标(s,t),x 2=4y 可得:y ′=12x ,可得12s =1,可得s =2,则t =1,所以点M 到直线y =x −3的最小距离为:√2=√2.故选:C .设出直线的平行线方程,利用函数的导数,求解切点坐标,利用点到直线的距离公式求解即可.本题主要考查了抛物线的简单性质,两点距离公式的应用.解此类题设宜先画出图象,进而利用数形结合的思想解决问题.11. 设a >1,则关于x 的不等式(1−a)(x −a)(x −1a )<0的解集是()A. (−∞,a)∪(1a,+∞)B. (a,+∞)C. (a,1a )D. (−∞,1a)∪(a,+∞)【答案】D【解析】解:a >1时,1−a <0,且a >1a ,则关于x 的不等式(1−a)(x −a)(x −1a )<0可化为(x −a)(x −1a )>0,解得x <1a 或x >a ,所以不等式的解集为(−∞,1a )∪(a,+∞).故选:D .根据题意,把不等式化为(x −a)(x −1a )>0,求出解集即可.本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题.12. 已知直线与抛物线y 2=2px(p >0)交于A ,B 两点,且OA ⊥OB ,OD ⊥AB 交AB 于D ,点D 的坐标为(2,1),则p 的值为() A. 52B. 23C. 54D. 32 【答案】C【解析】解:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),∵直线OD 斜率为12,OD ⊥AB ,∴直线AB 斜率为−2,故直线AB 方程为2x +y −5=0…(1)将(1)代入抛物线方程得y 2+py −5p =0,则y 1y 2=−5p ,∵y 12=2px 1,y 22=2px 2,则(y 1y 2)2=4p 2x 1x 2,故x 1x 2=254,∵OA ⊥OB ∴x 1x 2+y 1y 2=0,∵p >0,∴p =54.故选:C .设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由直线OD 斜率为12,OD ⊥AB ,知直线AB 方程为2x +y −5=0,代入抛物线方程得y 2+py −5p =0,从而得到y 1y 2=−5p ,再由OA ⊥OB ,能求出p .本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用. 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 设x 、y 满足约束条件{0≤x ≤10≤y ≤22y −x ≥1,且z =2y −2x +4,则z的最大值为______. 【答案】8【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:由z =2y −2x +4得y =x +z 2−2,平移直线y =x +z2−2,由图象可知当直线y =x +z2−2经过点A(0,2)时,直线y =x +z2−2的截距最大,此时z 最大,z max =2×2+4=8.即z 的最大值是8,故答案为:8.作出不等式组对应的平面区域,由z =2y −2x +4得y =x +z2−2,利用数形结合即可的得到结论.本题主要考查线性规划的应用,利用z 的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键. 14. 命题:“若A ∪B =A ,则A ∩B =B ”的否命题是______. 【答案】若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B【解析】解:“若A ∪B =A ,则A ∩B =B ”的否命题: “若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B ”故答案为:若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B .对所给命题的条件和结论分别否定,即:A ∪B ≠A 和A ∩B ≠B ,作为否命题的条件和结论.本题考查了否命题的定义,属于基础题.。
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案
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最新高二数学上学期期末考试试卷含答案一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.若曲线x22?k +y22+k=1表示椭圆,则k的取值范围是()A. k>2B. k<?2C. ?2<k<2< p="">D. ?2<k<0或0<k<2< p="">2.下列说法错误的是()A. 棱柱的侧面都是平行四边形B. 所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥C. 用一个平面去截正方体,截面图形可能是五边形D. 将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥3.已知直线l1的方程为2x+(5+m)y=8,直线l2的方程为(3+m)x+4y=5-3m,若l1∥l2,则m=()A. ?1或?7B. ?1C. ?7D. ?34.已知圆O1:x2+y2-4x+4y-41=0,圆O2:(x+1)2+(y-2)2=4,则两圆的位置关系为()A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切5.某空间几何体的三视图如图所示,该几何体是()A. 三棱柱B. 三棱锥C. 四棱柱D. 四棱锥6.下列命题中,真命题的个数是()①若“p∨q”为真命题,则“p∧q”为真命题;②“?a∈(0,+∞),函数y=a x在定义域内单调递增”的否定;③l为直线,α,β为两个不同的平面,若l⊥β,α⊥β,则l∥α;④“?x∈R,x2≥0”的否定为“?x0?R,x02<0”.A. .1B. .2C. .3D. .47. 已知F 1,F 2是双曲线x 216?y 29=1的左右焦点,P 是双曲线右支上一点,M 是PF 1的中点,若|OM |=1,则|PF 1|是()A. 10B. 8C. 6D. 48. 在正四面体P -ABC 中,M 是棱PA 的中点,则异面直线MB 与AC 所成角的余弦值为()A. 16B. √36C. 13D. √33 9. 对于直线m ,n 和平面α,β,则α∥β的一个充分条件是()A. .m ?α,n ?β,m//β,n//αB. m//n ,m//α,n//βC. m//n ,m ⊥α,n ⊥βD. m ⊥n ,m ⊥α,n ⊥β10. 已知直线l 2:3x -4y -6=0,直线l 2:y =-2,抛物线x 2=4y 上的动点P 到直线l 1与直线l 2距离之和的最小值是()A. 2B. 3C. 4D. 33811. 实数xy 满足x =√1?y 2,则x+y+3x+1的最小值是()A. 34B. 74C. 2D. 3 12. 如图,表面积为12π的球O 内切于正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,则平面ACD 1截球O 的截面面积为()A. √2πB. √3πC. 2πD. 4π二、填空题(本大题共3小题,共15.0分)13. 已知直线l 1的方向向量为a=(3,2,1),直线l 2的方向向量为b ? =(0,m ,-4),且l 1⊥l 2,则实数m 的值为______.14. 已知命题“?x 0∈[1,2],x 02-2ax 0+1>0”是真命题,则实数a 的取值范围为______.15.已知双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,P,Q为双曲线上关于原点对称的两点,若PF ?QF =0,且∠POF<π6,则该双曲线的离心率的取值范围为______.三、解答题(本大题共7小题,共75.0分)16.直线√3x-y+1=0的倾斜角为______.17.已知p:x2-4ax+3a2<0(a>0),q:8x?1<1,且¬q是¬p 的充分不必要条件,求a的取值范围.18.如图,已知点E是正方形ABCD边AD的中点,现将△ABE沿BE所在直线翻折成到△A'BE,使AC=BC,并连接A'C,A'D.(1)求证:DE∥平面A'BC;(2)求证:A'E⊥平面A'BC.19.已知物线C:y2=2px(p>0)过点M(4,-4√2).(1)求抛物线C的方程;(2)设F为抛物线C的焦点,直线l:y=2x-8与抛物线C交于A,B两点,求△FAB的面积.20.已知动直线l1:x+my-2m=0与动直线l2:mx-y-4m+2=0相交于点M,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(-1,0)作曲线C的两条切线,切点分别为A,B,求直线AB的方程.21.如图,在四棱锥P-ABCD中,E是PC的中点,底面ABCD为矩形,AB=4,AD=2,PA=PD,且平面PAD⊥平面ABCD,平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证:EF∥平面PAB;(2)若PB与平面ABCD所成角的正弦值为2√2121,求二面角P-AE-B 的余弦值.22.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),且过点(2√3,√3).(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为M,过点F且斜率为-1的直线与l交于点N,若|FN||MN|=2√23sin∠FON(O为坐标原点),求k的值.答案和解析1.【答案】D【解析】解:∵曲线表示椭圆,∴,解得-2<k<2,且k≠0.故选:D.曲线表示椭圆,列出不等式组,解出即可得出.本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.2.【答案】B【解析】解:由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形,则A正确;所有面都是三角形的多面体不一定是三棱锥,比如正八面体的各个面都是正三角形,则B错误;用一个平面去截正方体,与正方体的五个面相交,可得截面图形是五边形,则C正确;由圆锥的定义可得直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥,则D正确.故选:B.由棱柱的性质可判断A;可举正八面体可判断B;用一个平面去截正方体,与正方体的五个面相交,可判断C;由圆锥的定义可判断D.本题考查空间多面体和旋转体的定义,考查定义法的运用,考查判断能力和推理能力,属于基础题.3.【答案】C【解析】解:由(5+m)(3+m)-8=0,化为:m2+8m+7=0,解得m=-1,-7.经过验证m=-1时,两条直线重合,舍去.∴m=-7.故选:C.由(5+m)(3+m)-8=0,解得m.经过验证即可得出.本题考查了直线平行、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4.【答案】D【解析】解:由于圆O1:x2+y2-4x+4y-41=0,即(x-2)2+(y+2)2=49,表示以C1(2,-2)为圆心,半径等于7的圆.圆O2:(x+1)2+(y-2)2=4,表示以C2(-1,2)为圆心,半径等于2的圆.由于两圆的圆心距等于=5=7-2.故两个圆相内切.故选:D.把圆的方程化为标准形式,求出圆心和半径,根据两圆的圆心距等于5,与半径差的关系,可得两个圆关系.本题主要考查圆的标准方程,圆和圆的位置关系,圆的标准方程的求法,点到直线的距离公式、弦长公式的应用,属于中档题.5.【答案】D【解析】解:根据三视图知,该几何体是一个立放的四棱锥,如图所示;故选:D.根据三视图知该几何体是一个立放的四棱锥.本题考查了利用三视图判断几何体结构特征的应用问题,是基础题.6.【答案】A【解析】解:①若“p∨q”为真命题,可知两个命题至少一个是真命题,判断为“p∧q”为真命题;不正确;②“?a∈(0,+∞),函数y=a x在定义域内单调递增”的否定:“?a∈(0,+∞),函数y=a x在定义域内单调递减”;例如a=,y=x在定义域内单调递减;所以②正确,③l为直线,α,β为两个不同的平面,若l⊥β,α⊥β,则l∥α;也可能l?α,所以③不正确;④“?x ∈R,x2≥0”的否定为“?x0?R,x02<0”.不满足命题的否定形式,所以④不正确;只有②是真命题;故选:A.利用复合命题的真假判断①的正误;利用指数函数的单调性判断②的正误;直线与平面垂直关系判断③的正误;命题的否定判断④的正误;本</k<0或0<k<2<></k<2<>。
高二数学上学期期末考试试题(及答案)
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高二数学上学期期末考试试题(及答案)高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷(选择题)1.在三角形ABC中,已知a+b=c-2ab,则C=()。
A。
2π/3 B。
π/3 C。
π D。
3π/4改写:在三角形ABC中,已知a+b=c-2ab,求C的大小。
答案:B2.在三角形ABC中,已知cosAcosB=p,求以下条件p的充要条件。
A。
充要条件B。
充分不必要条件C。
必要不充分条件D。
既非充分也非必要条件改写:在三角形ABC中,已知cosAcosB=p,求p的充要条件。
答案:B3.已知等比数列{an}中,a2a10=6a6,等差数列{bn}中,b4+b6=a6,则数列{bn}的前9项和为()。
A。
9 B。
27 C。
54 D。
72改写:已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件,求{bn}的前9项和。
答案:C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n,则数列{a1}的前n 项和为()。
A。
n^2/(n-1) B。
n(n+1)/(2n+1) C。
3(2n+3)/(2n+1) D。
3(n+1)/(n-1)改写:已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n,求数列{a1}的前n项和。
答案:B5.设 2x-2y-5≤2,3x+y-10≥3,则z=x+y的最小值为()。
A。
10 B。
8 C。
5 D。
2改写:已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3,求z=x+y的最小值。
答案:C6.对于曲线C:x^2/4+y^2/k^2=1,给出下面四个命题:①曲线C不可能表示椭圆;②“14”的必要不充分条件;④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。
其中真命题的个数为()。
A。
0个 B。
1个 C。
2个 D。
3个改写:对于曲线C:x^2/4+y^2/k^2=1,判断下列命题的真假,并统计真命题的个数。
答案:C7.对于曲线C:x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B,则三角形ABM的周长为()。
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解:抛物线 的焦点为 ,可得双曲线的 ,即 ,由 ,解得 ,则双曲线的方程为 .故选:D.求得抛物线的焦点,可得双曲线的c,由离心率公式和a,b,c的关系,解方程可得a,b,进而得到双曲线的方程.本题考查双曲线和抛物线的方程和性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
5.设m、n是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,下列命题中正确的是
A. , , B. , , C. , , D. , ,
【答案】A
【解析】解:由m、n是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,知:在A中, , , ,则由线面平行的性质定理得 ,故A正确;在B中, , , ,则n与 相交、平行或 ,故B错误;在C中, , , ,由 与 相交或平行,故C错误;在D中, , ,则m与n平行或异面,故D错误.故选:A.在A中,由线面平行的性质定理得 ;在B中,则n与 相交、平行或 ;在C中,由 与 相交或平行;在D中,m与n平行或异面.本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.
6.已知双曲线 ,直线l交双曲线于A、B两点,若线段AB的中点坐标为 ,则直线l的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解:设以点 为中点的弦与双曲线交于 , ,则 , ,分别把 , 代入双曲线方程双曲线 ,再相减可得 , , 点 为中点的弦所在直线方程为 ,整理得: .故选:C.设以点 为中点的弦与双曲线交于 , ,则 , ,分别把 , 代入双曲线 ,再相减可得 , ,求出k,然后求解直线l的方程即可.本题考查了双曲线与直线的位置关系,点差法处理中点弦问题,属于中档题.
最新高二数学上学期期末考试试卷 含答案

一、选择题(本大题共12小题,共60.0分) 1. 命题“∀x >1,x 2−x >0”的否定是()A. ∃x 0≤1,x 02−x 0>0B. ∃x 0>1,x 02−x 0≤0C. ∀x >1,x 2−x ≤0D. ∀x ≤1,x 2−x >0 【答案】B【解析】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“∀x >1,x 2−x >0”的否定是:∃x 0>1,x 02−x 0≤0.故选:B .利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基本知识的考查. 2. 椭圆点x 26+y 28=1的离心率为()A. 12B. 14C. 13D. √33【答案】A 【解析】解:椭圆点x 26+y 28=1,可得a =2√2,b =√b ,c =√2,可得e =c a=√22√2=12.故选:A .求出椭圆的长半轴以及半焦距的大小,然后求解离心率即可.本题考查椭圆的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.3. 过点P(3,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有() A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条 【答案】C【解析】解:设直线在x 、y 轴上的截距分别为a 和−a(a ≠0),则直线l 的方程为xa −ya =1,∵直线过点A(3,4),∴3a −4a =1,解得:a =−1,此时直线l 的方程为x −y +1=0;当a =0时,直线过原点,设直线方程为y=kx,过点A(3,4),此时直线l的方程为y=43x,即4x−3y=0;综上,直线l的方程有2条.故选:C.过点A且在x、y轴上的截距互为相反数的直线有2条,分别求出即可.本题考查了直线的截距式方程应用问题,容易疏忽过原点的情况,是基础题.4.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为34,焦距为10,则双曲线C的方程为()A. x232−y218=1B. x23−y24=1C. x29−y216=1D. x216−y29=1【答案】D【解析】解:∵焦距为10,c=5,∴曲线的焦点坐标为(±5,0),∵双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为34,∴ba=34,25=a2+b2,解得a=4,b=3,所求的双曲线方程为:x216−y29=1.故选:D.利用双曲线的渐近线的斜率,转化求出双曲线实半轴与虚半轴的长,即可得到双曲线方程.本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用,双曲线方程的求法,考查计算能力.5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】解:由三视图还原原几何体如图,该几何体为组合体,下半部分为正方体,棱长为2,上半部分为直三棱柱,高为2,底面是等腰直角三角形,直角边长为√2,则该几何体的体积V=2×2×2+1×√2×√2×2=10.故选:C.由2三视图还原原几何体,该几何体为组合体,下半部分为正方体,棱长为2,上半部分为直三棱柱,高为2,底面是等腰直角三角形,直角边长为√2,再由正方体与棱柱的体积公式求解.本题考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,是中档题.6.“m=−3”是“直线(m+1)x+y+1=0与直线2x+(m+2)y+2=0互相平行”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解:直线(m+1)x+y+1=0与直线2x+(m+2)y+ 2=0互相平行,∴(m+1)(m+2)−1×2=0,∴m(m+3)=0解得m=−3或m=0,故m=−3”是“直线(m+1)x+y+1=0与直线2x+(m+2)y+2=0互相平行”的充分不必要条件,故选:A.根据直线平行的等价,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据直线平行的等价条件求出m 是解决本题的关键.7. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为AD ,C 1D 1的中点,O 为侧面BCC 1B 1的中心,则异面直线MN 与OD 1所成角的余弦值为() A. 16B. 14C. −16D. −14 【答案】A【解析】解:如图,以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),N(0,1,2),O(1,2,1),D 1 (0,0,2),∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2),OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,1).则cos <MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6×√6=16.∴异面直线MN 与OD 1所成角的余弦值为16.故选:A .以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,求出MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标,由数量积求夹角公式求解.本题考查利用空间向量求解异面直线所成角,关键是正确标出所用点的坐标,是中档题.8.已知直线l:(a−1)x+2ay+a+1=0(a∈R),圆C:(x−2)2+(y−1)2=9,则下列说法正确的是()A. l与C可能相切或相交B. l与C可能相离或相切C. l与C一定相交D. l与C可能相交或相离【答案】C【解析】解:由直线l:(a−1)x+2ay+a+1=0(a∈R)可得:a(x+2y+1)−(x−1)=0,由{x−1=0x+2y+1=0可得该直线所过的定点为(1,−1),检验可知,该点在圆内,故选:C.由直线系方程可得直线所过定点,检验可得点在圆内,故一定相交.此题考查了直线与圆的位置关系,难度不大.9.已知直线y=−√3(x−2)与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相交于M,与C的其中一个交点为N,若线段MN的中点在x轴上,则p=()A. 2B. 4C. 2√3D. 4√3【答案】B【解析】解:直线y=−√3(x−2)与x轴的交点为T(2,0),由抛物线的准线方程x=−p2,可得M(−p2,√3(2+p2)),由T为MN的中点,可得N(4+p2,−√3(2+p2)),代入抛物线的方程可得3(2+p 2)2=2p(4+p2),化为p2+8p−48=0,解得p=4(−12舍去),故选:B.求得直线与x轴的交点T(2,0),以及抛物线的准线方程,可得M的坐标,由中点坐标公式可得N的坐标,代入抛物线方程可得p的方程,解方程可得p的值.本题考查抛物线的方程和运用,同时考查中点坐标公式,考查方程思想和运算能力,属于基础题.10. 在三棱锥P −ABC 中,PC ⊥底面ABC ,∠BAC =90∘,AB =AC =4,∠PBC =60∘,则点C 到平面PAB 的距离是() A.3√427B. 4√427C. 5√427D. 6√427【答案】B【解析】解:∵在三棱锥P −ABC 中,PC ⊥底面ABC ,∠BAC =90∘,AB =AC =4,∠PBC =60∘,∴以A 为原点,AB 为x 轴,AC 为y 轴,过A 作平面ABC 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系,则C(0,4,0),P(0,4,4√6),A(0,0,0),B(4,0,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,0),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,4√6),设平面PAB 的法向量n ⃗ =(x,y ,z),则{n ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +4√6z =0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4x =0,取z =1,得n ⃗ =(0,−√6,1),∴点C 到平面PAB 的距离d =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n⃗⃗ |=√6√7=4√427.故选:B .以A 为原点,AB 为x 轴,AC 为y 轴,过A 作平面ABC 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点C 到平面PAB 的距离.本题考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题. 11. 点P 在椭圆C 1:x 24+y 23=1上,C 1的右焦点为F ,点Q 在圆C 2:x 2+y 2+6x −8y +21=0上,则|PQ|−|PF|的最小值为()A. 4√2−4B. 4−4√2C. 6−2√5D. 2√5−6 【答案】D【解析】解:点P 在椭圆C 1:x 24+y 23=1上,C 1的右焦点为F(1,0),左焦点E(−1,0),如图:圆C 2:x 2+y 2+6x −8y +21=0上,可得:(x +3)2+(y −4)2=4,圆心坐标(−3,4),半径为2.由椭圆的定义可得:|PE|+|PF|=2a =4,|PF|=4−|PE|,则|PQ|−|PF|=|PQ|+|PE|−4,由题意可得:|PQ|−|PF|的最小值为:|PQ|−|PF|=|PQ|+|PE|−4=|C 2E|−2−4=√(−3+1)2+(4−0)2−6=2√5−6,故选:D .利用椭圆方程求出焦点坐标,求出圆的圆心与半径,利用椭圆的定义,转化求解距离的最小值即可.本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆与圆的位置关系的应用,考查转化思想以及计算能力.12. 设双曲线M :y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的上顶点为A ,直线y =√a 2+b 2与M 交于B ,C 两点,过B ,C 分别作AC ,AB 的垂线交于点D 若D 到点(0,2√a 2+b 2)的距离不超过8√a 2+b 2−7a ,则M 的离心率的取值范围是()A. [√7+1,+∞)B. [√7−1,+∞)C. (1,√7+1]D. (1,√7−1] 【答案】D 【解析】解:记c =√a 2+b 2,由题意可得B(b2a,c),C(−b 2a,c),由双曲线的对称性可知D 点在y 轴上,设D(0,t),则c−tb 2a−0×c−a−b 2a−0=−1,则t =c −b 4a (c−a)=c −(c+a)2(c−a)a ,∴2c −[c −(c+a)2(c−a)a 2]≤8√a 2+b 2−7a =8c −7a ,∴(c+a)2(c−a)a 2≤7(c −a),∴c 2+2ac +a 2≤7a 2,即e 2+2e −6≤0,解得−1−√7≤e ≤−1+√7,∵e >1,∴e ∈(1,√7−1],故选:D .求出双曲线的渐近线方程,令x =c ,求得B ,C 的坐标,由双曲线的对称性知D 在x 轴上,设D(0,t),则c−tb 2a−0×c−a−b 2a−0=−1,利用D 到直线BC 的距离不超过8√a 2+b 2−7a ,建立不等式关系,结合双曲线离心率的定义,即可得出结论本题考查双曲线的方程和性质,考查三角形的垂心的概念,以及两直线垂直的条件:斜率之积为−1,考查运算能力,属于中档题. 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分) 13. 抛物线x 2=4√3y 的焦点坐标为______. 【答案】(0,√3)【解析】解:抛物线x 2=4√3y 的焦点坐标(0,√3).故答案为:(0,√3).直接利用抛物线的标准方程求解焦点坐标.本题考查抛物线的简单性质的应用,是基本知识的考查.14. 命题“当c >0时,若a >b ,则ac >bc.”的逆命题是______. 【答案】当c >0时,若ac >bc ,则a >b【解析】解:命题“当c >0时,若a >b ,则ac >bc.”的逆命题是当c >0时,若ac >bc ,则a >b ,故答案为:当c >0时,若ac >bc ,则a >b 根据原命题是若P ,则Q ,它的逆命题是若Q ,则P ,本题考查了四种命题之间的关系,解题时应根据原命题直接写出对应的逆命题15. 倾斜角为π3且在x 轴上的截距为a 的直线被圆(x +a)2+y 2=4所截得的弦长为2,则a =______. 【答案】±1【解析】解:倾斜角为π3且在x 轴上的截距为a 的直线方程为:y =√3(x −a),即√3x −y −√3a =0,圆心(−a,0)到直线的距离为:|2√3a 2|=|√3a|,∴3a 2+1=4,得a =±1,故答案为:±1设直线方程,求得圆心到直线的距离,再利用弦心距,半弦长,半径构成的直角三角形可得解.此题考查了圆的弦长问题,难度不大. 16. 已知在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,AB =1,BC =2,AA 1=4,E 是侧棱CC 1的中点,则直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值为______. 【答案】49【解析】解:在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,AB =1,BC =2,AA 1=4,E 是侧棱CC 1的中点,以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,A(2,0,0),E(0,1,2),A 1(2,0,4),D(0,0,0),EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−2),DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,4),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),]设平面A 1ED 的法向量n ⃗ =(x,y ,z),则{n ⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +4z =0n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +2z =0,取z =1,得n⃗ =(−2,−2,1),设直线AE 与平面A 1ED 所成角为θ,则sinθ=|EA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EA⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=43×3=49,∴直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值为49.故答案为:49.以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AE与平面A1ED所成角的正弦值.本题考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.已知椭圆W:x2m +y2n=1(m>0,n>0)的离心率为e,长轴为AB,短轴为CD.(1)若W的一个焦点为(3,0),|CD|=6,求W的方程;(2)若|AB|=10,e=35,求W的方程.【答案】解:(1)由已知可得,c=3,2b=6,b=3.∴a2=b2+c2=18.由题意可知,椭圆焦点在x轴上,则椭圆方程为x218+y29=1;(2)由已知可得,2a=10,则a=5,又e=ca =35,∴c=3,则b2=a2−c2=16.若椭圆焦点在x轴上,则椭圆方程为x225+y2 16=1.若椭圆焦点在y轴上,则椭圆方程为x216+y225=1.【解析】(1)由已知求得c与b的值,再由隐含条件求得a,则椭圆方程可求;(2)由已知求得a,结合离心率求得c,再由隐含条件求得b,然后分类写出椭圆方程.本题考查椭圆的简单性质,考查椭圆方程的求法,体现了分类讨论的数学思想方法,是基础题.18.已知p:方程x2m−2−y2m−6=1表示椭圆;q:双曲线x2−y2m=1的离心率e∈(1,2).(1)若p∧q是真命题,求m的取值范围;(2)若p∨q是真命题,p∧q是假命题,求m的取值范围.【答案】解:p :方程x 2m−2−y 2m−6=1表示椭圆;则x 2m−2+y 26−m=1,则{m −2>06−m >0m −2≠6−m ,得{m >2m <6m ≠4,得2<m <4或4<m <6,即p :2<m <4或4<m <6;q :双曲线x 2−y 2m=1的离心率e ∈(1,2).则a =1,b 2=m ,c 2=1+m ,得e 2=c 2a 2=1+m ∈(1,4),则m ∈(0,3),即0<m <3,则q :0<m <3,(1)若p ∧q 是真命题,则p ,q 都是真命题,则{0<m <32<m<4或4<m<6,得2<m <3.(2)若p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,则p ,q 一个为真命题,一个为假命题,若p 真q 假,则{m ≥3或m ≤02<m<4或4<m<6,得3≤m <4,若p假q 真,则{0<m <3m≥6或m≤2或m=4,此时0<m ≤2,综上0<m ≤2或3≤m <4.【解析】(1)求出命题p ,q 为真命题的等价条件,结合p ∧q 是真命题,则p ,q 同时为真命题,进行计算即可.(2)若p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,则p ,q 一个为真命题,一个为假命题,进行计算即可.本题主要考查复合命题真假关系的应用,求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键. 19. 如图,四棱锥P −ABCD 的底面是边长为4的菱形,∠BAD =π3,平面PAC ⊥平面ABCD ,PC ⊥PA ,M 为PC的中点.(1)证明:PA//平面BDM ;(2)若直线PA 与底面ABCD 所成角为π6,求三棱锥P −BDM 的体积.【答案】(1)证明:如图,设AC,BD 交于O,连接OM,在△APC中,PA//OM,又OM⊂平面BDM,PA⊄平面BDM,∴PA//平面BDM;(2)解:∵平面PAC⊥平面ABCD,∴∠PAC即为直线PA与底面ABCD所成的角,即∠PAC=π6,又PC⊥PA,∴PC=12AC,PA=√32AC,∵底面是边长为4的菱形,∠BAD=π3,∴AC=4√3,BD=4,∴PC=2√3,PA=6,∴PM=√3,OM=3,∵BD⊥AC,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC,BD⊥OM,又PC⊥PA,∴PC⊥OM,而BD,OM为平面MBD内两条相交线,∴PC⊥平面MBD,∴V P−BDM=13S△BDM×PM=13×12×4×3×√3=2√3.故三棱锥P−BDM的体积为:2√3.【解析】(1)利用中位线得线线平行,进而得线面平行;(2)利用两面垂直得到线面所成角,而后在直角三角形APC中可得相关线段长,从而求得底面积和高,得解.本题考查了线面平行,线面所成角,线面垂直,面面垂直,锥体体积等,是中档题.20.如图,四边形ABCD为正方形,BE//DF,且AB=BE=DF=√22EC,AB⊥平面BCE.(1)证明:平面AEC⊥平面BDFE;(2)求二面角A−FC−E的余弦值.【答案】证明:(1)∵四边形ABCD 为正方形,BE//DF ,且AB =BE =DF =√22EC ,AB ⊥平面BCE .∴四边形BDEF 是平行四边形,AB ⊥DF ,AD ⊥DC ,AC ⊥BD ,∵BE 2+BC 2=12EC 2+12EC 2=EC 2,∴BE ⊥BC ,∴BE ⊥平面ABCD ,∴AC ⊥BC ,∵BD ∩BE =B ,∴AC ⊥平面BDFE ,∵AC ⊂平面ACE ,∴平面AEC ⊥平面BDFE .解:(2)以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DF 为z轴,建立空间直角坐标系,设AB =BE =DF =√22EC =√2,则A(√2,0,0),C(0,√2,0),E(√2,√2,√2),F(0,0,√2),FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−√2),FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,−√2),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2,0),设平面AFC 的法向量n ⃗ =(x,y ,z),则{n ⃗ ⋅FA⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x −√2z =0n ⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y −√2z =0,取x =1,得n⃗ =(1,1,1),设平面EFC 的法向量m ⃗⃗⃗ =(x,y ,z),则{m ⃗⃗⃗ ⋅FE⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x +√2y =0m⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y −√2z =0,取x =1,得m⃗⃗⃗ =(1,−1,−1),设二面角A −FC −E 的平面角为θ,则cosθ=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3⋅√3=13.∴二面角A −FC −E 的余弦值为13.【解析】(1)推导出AB ⊥DF ,AD ⊥DC ,AC ⊥BD ,BE ⊥BC ,从而BE ⊥平面ABCD ,进而AC ⊥BC ,由此能证明AC ⊥平面BDFE ,从而平面AEC ⊥平面BDFE .(2)以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DF 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A −FC −E 的余弦值.本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题. 21. 已知过点M(2,3)的直线l 与抛物线E :y 2=8x 交于点A ,B .(1)若弦AB 的中点为M ,求直线l 的方程;(2)设O 为坐标原点,OA ⊥OB ,求|AB|.【答案】解:(1)由题意知直线的斜率存在,设直线l 的斜率为k ,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有y 12=8x 1,y 22=8x 2,两式作差可得:y 12−y 22=8(x 1−x 2),即y 1−y 2x1−x 2=8y 1+y 2=,∵y 1+y 2=2×3=6,∴k AB =43.则直线l 的方程为y −3=43(x −2),即4x −3y +1=0;(2)当AB ⊥x 轴时,不符合题意,故设直线l 方程为y =k(x −2)+3.{y 2=8xy=k(x−2)+3⇒ky 2−8y +24−16k =0.∴y 1y 2=24−16kk,y 1+y 2=8k ,x 1x 2=(y 1y 2)264=(24−16k)264k 2.∵OA ⊥OB ,∴x 1x 2+y 1y 2=0,∴24−16kk +(24−16k)264k 2=0,∵y 1y 2≠0,∴24−16k ≠0.解得k =−12|AB|=√1+1k |y 1−y 2|=√5⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=16√10.【解析】(1)由题意知直线的斜率存在,设直线l 的斜率为k ,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),利用点差法求得直线斜率,再由直线方程点斜式求解;(2)设直线l 方程为y =k(x −2)+3.由OA ⊥OB 解得k ,由|AB|=√1+1k 2|y 1−y 2|求解.本题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理得运用,考查等价转化问题的能力. 22. 设A 是圆O :x 2+y 2=16上的任意一点,l 是过点A 且与x 轴垂直的直线,B 是直线l 与x 轴的交点,点Q 在直线l 上,且满足4|BQ|=3|BA|.当点A 在圆O 上运动时,记点Q 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)已知直线y =kx −2(k ≠0)与曲线C 交于M ,N 两点,点M 关于y 轴的对称点为M ′,设P(0,−2),证明:直线M ′N 过定点,并求△PM ′N 面积的最大值.【答案】解:(1)设Q(x,y),A(x 0,y 0),∵4|BQ|=3|BA|,Q 在直线l 上,∴x 0=x ,|y 0|=43|y|.①∵点A 在圆x 2+y 2=16上运动,∴x 02+y 02=16.②将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 216+y 29=1.证明:(2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则M ′(−x 1,y 1),联立{x 216+y 29=1y =kx −2,得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0,∴x 1+x 2=64k 16k +9,x 1x 2=−8016k 2+9.∵直线M ′N 的斜率k M ′N =y 2−y1x 2+x 1,∴直线M ′N 的方程为y −y 1=y 2−y1x 2+x 1(x +x 1).令x =0,得y =y 2x 1+y 1x 2x 2+x 1=(kx 2−2)x 1+(kx 1−2)x 2x 2+x 1=2kx 1x 2x 2+x 1−2=−92,∴直线M ′N 过定点D(0,−92).△PM ′N 面积S△PM ‘N=12|PQ|⋅(x 1+x 2)=54×64k 16k 2+9=8016k+9k≤2√16k×k=103,当且仅当16k =9k ,即k =±34时取等号,∴△PM ′N 面积的最大值为103.【解析】(1)点A 在圆x 2+y 2=16上运动,引起点Q 的运动,我们可以由4|BQ|=3|BA|,得到点A 和点Q 坐标之间的关系式,并由点A 的坐标满足圆的方程得到点Q 坐标所满足的方程;(2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则M ′(−x 1,y 1),联立{x 216+y 29=1y =kx −2,得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0,利用直线的斜率,求直线M ′N 的方程,即可直线M ′N 过定点,并求出△PM ′N 面积的最大值.本题考查曲线方程的求法,考查直线过定噗的证明,考查三角形的面积的最大值的求法,考查椭圆、直线方程、韦达定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题.。
高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)
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高二上学期期末考试数学试卷含答案(全卷满分:120 分 考试用时:120 分钟)一、选择题(本大题共12小题,共60分)1.某社区有500户家庭,其中高收入家庭125户,中等收入家庭280户,低收入家庭95户,为了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取1个容量为100户的样本,记作①;某学校高三年级有12名足球运动员,要从中选出3人调查学习负担情况,记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是( )A. ①用随机抽样法,②用系统抽样法B. ①用系统抽样法,②用分层抽样法C. ①用分层抽样法,②用随机抽样法D. ①用分层抽样法,②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行,则m 的值为( )A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时,2v 的值为( )A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图,如果输入的3N =,那么输出的S =( )A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件) 若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为( )A. 5,5B. 3,5C. 3,7D. 5,7 6.若点P (3,4)和点Q (a ,b )关于直线10x y --=对称,则( )A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点(0,2),被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是( )A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中,以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为( )A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45,则k 的值为( ) A .-21B .21C .-1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x +2y -2=0的最大距离是( ) A .3 B.11 C .2 2D.1012.2=,若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点,则k 的取值范围是( )A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题(本大题共4小题,共20分)13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ .14.已知x 与y 之间的一组数据:,已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+,则a 的值为______ .15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则2z x y =-的最小值为______.16.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,焦距为2c. 若直线y =3(x +c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题10分)已知直线l 的方程为210x y -+=. (1)求过点A (3,2),且与直线l 垂直的直线1l 的方程; (2)求与直线l 平行,且到点P (3,0)的距离2l 的方程.18.(本小题12分)设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<(0a >);命题:q 实数x 满足32x x -+<0. (1)若1a =且p ∧q 为真,求实数x 的取值范围;(2)若¬q 是¬p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1), …[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中的a 值;(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由; (3)估计居民月均用水量的中位数.20.(本小题12分)某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.记两次记录的数分别为x 、y . 奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.21.(本小题12分)已知曲线方程为:22240x y x y m +--+=. (1)若此曲线是圆,求m 的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点,且OM⊥ON(O 为坐标原点),求m 的值.22.(本小题12分)已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点,且点3(1,)2P 在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程;(2)直线:l y kx m =+(m >0)与椭圆C 有且仅有一个公共点,且与x 轴和y 轴分别交于点M ,N ,当△OMN 面积取最小值时,求此时直线l 的方程.数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.(1)设与直线l :2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为:x +2y +m =0,-------------------------2分把点A (3,2)代入可得,3+2×2+m =0,解得m =-7.-------------------------------4分 ∴过点A (3,2)且与直线l 垂直的直线1l 方程为:x +2y -7=0;----------------------5分(2)设与直线l :2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为:2x -y +c =0,----------------------------7分∵点P (3,0)到直线2l =,解得c =-1或-11.-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为:2x -y -1=0或2x -y -11=0.-------------------------------------------10分18.(1)由x 2-4ax +3a 2<0得(x -3a )(x -a )<0,又a >0,所以a <x <3a ,.------------------------------------------------------2分 当a =1时,1<x <3,即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.由实数x 满足302x x -<+ 得-2<x <3,即q 为真时实数x 的取值范围是-2<x <3.------4分 若p ∧q 为真,则p 真且q 真,所以实数x 的取值范围是1<x <3.---------------------------------------------- 6分(2)¬q 是¬p 的充分不必要条件,即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a >0,及3a ≤3得0<a ≤1,所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.-------------------------------------------------12分19.(1)∵1=(0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04)×0.5,------------------------2分整理可得:2=1.4+2a ,∴解得:a =0.3-----------------------------------------------------------------4分(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万,理由如下:由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为(0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12,又样本容量为30万-----6分 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万.---------------------------8分 (3)根据频率分布直方图,得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47<0.5, 0.47+0.5×0.52=0.73>0.5,∴中位数应在(2,2.5]组内,设出未知数x ,---------------------------------------10分 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5, 解得x =0.06;∴中位数是2+0.06=2.06.--------------------------------------------------------12分 20.(1)两次记录的数为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个, ----------------------------2分 满足xy ≤3,有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共5个, ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516; -------------------------------------------------------6分 (2)满足xy ≥8,(2,4),(3,4),(4,2),(4,3),(3,3),(4,4)共6个, ----8分∴小亮获得水杯的概率为616; --------------------------------------------------------9分 小亮获得饮料的概率为5651161616--=,----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率.-------------------------------------------------12分21.(1)由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0.整理得:(x -1)2+(y -2)2=5-m ,------------------------------------------------2分 又曲线为圆,则5-m >0,解得:m <5.------------------------------------------------------------------4分(2)设直线x +2y -4=0与圆:x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M (x 1,y 1)N (x 2,y 2).则:22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩,消去x 整理得:5y 2-16y +8+m =0, 则:1212168,55m y y y y ++==,------------------------------------------------6分 由OM ⊥ON (O 为坐标原点),可得x 1x 2+y 1y 2=0,-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1,x 2=4-2y 2,则(4-2y 1)(4-2y 2)+y 1y 2=0.---------------------------------------------------10分 解得:85m =,故m 的值为85.--------------------------------------------------12分 22.(1)∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点,且点3(1,)2P 在椭圆C 上,∴依题意,1c =,又3242a ==,故2a =.---------------------2分由222b c a +=得b 2=3.-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.-----------------------------------------------4分(2)由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消y 得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2-12=0,由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知,△=64k 2m 2-4(4k 2+3)(4m 2-12)=0,整理得m 2=4k 2+3.-----------------------------6分 由条件可得k ≠0,(,0)mM k-,N (0,m ). 所以.①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①,得.因为|k |>0,所以,-------------------------------10分当且仅当34k k=,则,即时等号成立,S △OMN 有最小值.-----11分因为m 2=4k 2+3,所以m 2=6,又m >0,解得.故所求直线方程为或.----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分,共4页,满分150分。
高二数学上学期期末考试题精选及答案

高二数学上学期期末考试题精选及答案一、选择题1. 有七名同学站成一排拍毕业照,其中甲必须站在正中间,乙和丙两位同学必须站在一起,则不同的站法一共有()A. 180种B. 90种C. 60种D. 30种答案:B2. 若函数f(x) = x^3 + ax + b在区间(-∞,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是()A. a ≥ 0B. a ≤ 0C. a > 0D. a < 0答案:C3. 若函数f(x) = 2x - k(x - 2)^2 在区间(1,+∞)上是减函数,则实数k的取值范围是()A. k ≤ 0B. k > 0C. k < 0D. k ≥ 0答案:C4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + c,若f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,则实数c的取值范围是()A. c ≥ 0B. c ≤ 0C. c > 0D. c < 0答案:A二、填空题5. 若函数f(x) = |x - 2| + |x + 1| 的最小值为3,则实数x的取值范围是______。
答案:x ∈ [-1, 2]6. 已知函数f(x) = x^3 - 6x + 9,求f(x)的单调递增区间为______。
答案:(-∞, 2] ∪ [3, +∞)7. 若函数f(x) = x^2 + mx + 1 在区间(1,+∞)上是减函数,则实数m的取值范围是______。
答案:m < -28. 已知函数f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 1,求f(x)的单调递减区间为______。
答案:[0, 2/3]三、解答题9. 设函数f(x) = x^3 - 6x + a,其中a是常数。
(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围。
答案:(1)f(x)的单调递增区间为:(-∞, 2] ∪ [3, +∞)(2)由于f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f'(x) ≤ 0,即3x^2 - 6 ≤ 0。
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案

一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.与命题“若x=3,则x2−2x−3=0”等价的命题是()A. 若x≠3,则x2−2x−3≠0B. 若x=3,则x2−2x−3≠0C. 若x2−2x−3≠0,则x≠3D. 若x2−2x−3≠0,则x= 3【答案】C【解析】解:原命题与逆否命题属于等价命题,此命题的逆否命题是:若x2−2x−3≠0,则x≠3.故选:C.原命题与逆否命题属于等价命题,写出命题的逆否命题得答案.本题考查了四种命题间的逆否关系,是基础题.2.在等比数列{a n}中,若a2,a9是方程x2−x−6=0的两根,则a5⋅a6的值为()A. 6B. −6C. −1D. 1【答案】B【解析】解:∵在等比数列{a n}中,a2,a9是方程x2−x−6=0的两根,∴a5⋅a6=a2⋅a9=−6.∴a5⋅a6的值为−6.故选:B.利用韦达定理和等比数列的通项公式直接求解.本题考查等比数列中两项积的求法,考查韦达定理和等比数列的通项公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.设x<a<0,则下列不等式一定成立的是()A. x2<ax<a2B. x2>ax>a2C. x2<a2<axD. x2>a2>ax【答案】B【解析】解∵x <a <0,∴ax >a 2,x 2>ax ,∴x 2>ax >a 2故选:B .直接利用不等式性质a >b ,在两边同时乘以一个负数时,不等式改变方向即可判断.本题主要考查了不等式的性质的简单应用,属于基础试题.4. 命题“∀x ∈R ,e x >x ”的否定是()A. ∃x ∈R ,e x <x B. ∀x ∈R ,e x <x C. ∀x ∈R ,e x ≤x D. ∃x ∈R ,e x ≤x【答案】D【解析】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“∀x ∈R ,e >x ”的否定是:∃x ∈R ,e x ≤x .故选:D .直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可.本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.5. 不等式2x+1x−3≤0的解集为()A. {x|−12≤x ≤3}B. {x|−12<x <3}C. {x|−12≤x <3}D. {x|x ≤12或x ≥3} 【答案】C【解析】解:不等式等价为{x −3≠0(2x+1)(x−3)≤0,得{−12≤≤x ≤3x ≠3,即|−12≤x <3,即不等式的解集为{x|−12≤x <3},故选:C .将分式不等式转化为一元二次不等式,进行求解即可.本题主要考查分式不等式的求解,利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键.6. 命题甲:x =−2是命题乙:x 2=4的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解:x2=4⇔x=±2,∵x=−2⇒x=±2,x=±2推不出x=−2,∴x=−2是x2=4的充分不必要条件.故选:A.把x2=4转化为x=±2,由x=−2⇒x=±2,x=±2推不出x=−2,得x=−2是x2=4的充分不必要条件.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.7.△ABC中,a,b,C分别是角A,B、C所对应的边,a=4,b=4√3,A=30∘,则B=()A. 60∘或120∘B. 60∘C. 30∘或150∘D. 30∘【答案】A【解析】解:由a=4,b=4√3,A=30∘,可得B>A=30∘;正弦定理:asinA =bsinB,可得412=4√3sinB解得:sinB=√32;∵0<B<π,∴B=60∘或120∘;故选:A.根据正弦定理和大边对大角,可得答案.本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用,考查运算能力,属于基础题.8.设实数a=√5−√3.b=√3−1,c=√7−√5,则()A. b>a>cB. c>b>aC. a>b>cD. c>a>b【答案】A【解析】解:√5−√3=√5+√3.√3−1=√3+1,√7−√5=√7+√5,∵√3+1<√3+√5<√5+√7,∴√3+1>√5+√3>√7+√5,即b >a >c ,故选:A .利用分子有理化进行化简,结合不等式的性质进行判断即可.本题主要考查不等式的大小比较,利用分子有理化进行化简是解决本题的关键.9. 已知x ,y 满足约束条件{x −y +4≥0x ≤2x +y −2≥0,则z =x +3y 的最小值为()A. 0B. 2C. 6D. 8【答案】B【解析】解:x ,y 满足约束条件{x −y +4≥0x ≤2x +y −2≥0表示的区域如图:由z =x +3y ,当直线经过图中A(2,0)时,直线在y 轴上的截距最小,所以最小值为2;故选:B .画出不等式组表示的平面区域,利用目标函数的几何意义求最大值.本题考查了简单线性规划问题;正确画出可行域,利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键.10. 在等差数列{a n }中,已知a 6+a 7<0,且S 11>0,则S n 中最大的是()A. S 5B. S 6C. S 7D. S 8【答案】B【解析】解:∵在等差数列{a n }中,a 6+a 7<0,且S 11>0,∴S 11=112(a 1+a 11)=11a 6>0,∴a 6>0,a 7<0,∴S n 中最大的是S 6.故选:B .由a 6+a 7<0,且S 11=112(a 1+a 11)=11a 6>0,得到a 6>0,a 7<0,由此能求出S n 中最大的是S 6.本题考查等差数列中前n 项和最大时项数的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.11. 如图,在四面体OABC 中,M 、N 分别在棱OA 、BC 上,且满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =NC⃗⃗⃗⃗⃗ ,点G 是线段MN 的中点,用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量OG⃗⃗⃗⃗⃗ 应为() A. OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【解析】解:∵在四面体OABC 中,M 、N 分别在棱OA 、BC 上,且满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点G 是线段MN 的中点,∴OG⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+14(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选:A .利用空间向量加法法则直接求解.本题考查命题真假的判断,考查空间向量加法法则等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.12.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,|MF|=5,线段MF中点的横坐标为52,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的焦点到准线的距离为()A. 4或8B. 2或8C. 2或4D. 4或16【答案】B【解析】解:∵抛物线C方程为y2=2px(p>0),∴焦点F(p2,0),准线方程为x=−p2,设M(x,y),由抛物线性质|MF|=x+p2=5,可得x=5−p2,因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为5−P2+P22=52,由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心纵坐标为2,则M点纵坐标为4,即M(5−p2,4),代入抛物线方程得p2−10p+16=0,所以p=2或p=8,则则C的焦点到准线距离为2或8.故选:B.求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义和准线和圆相切的条件,求出M(5−P2,4),代入抛物线方程得p2−10p+16=0,求出p.本题考查抛物线的定义和方程、性质,注意运用第一发和中位线定理和直线和圆相切,属于中档题.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知a⃗=(2,−1,2),b⃗ =(−4,2,x),且a⃗//b⃗ ,则x=______.【答案】解:∵a⃗//b⃗ ,∴2×2=−2×x∴x=−4.故答案为:−4【解析】利用向量共线的充要条件:坐标交叉相乘的积相等,列出方程求出x的值.解决向量共线问题,一般利用向量共线的充要条件:坐标交叉相乘的积相等找解决的思路.14.若一元二次不等式ax2−2x+2>0的解集是(−12,13),则a的值是______.【答案】−12【解析】解:一元二次不等式ax2−2x+2>0的解集是(−12,13 ),则−12和13是一元二次方程ax2−2x+2=0的实数根,∴−12×13=2a,解得a=−12.故答案为:−12.根据一元二次不等式和对应方程的关系,利用根与系数的关系求出a的值.本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题,是基础题.15.已知两个正实数x,y满足2x +1y=1,且恒有x+2y>m,则实数m的取值范围是______.【答案】(−∞,8)【解析】解:∵x>0,y>0,2x +1y=1,∴x+2y=(x+2y)(2x+1y)=2+2+4yx +xy≥4+2√4yx⋅xy=8,(当且仅当x=4,y=2时,取等号),x+2y>m恒成立等价于8>m,故答案为:(−∞,8).先用基本不等式求出x+2y的最小值8,然后解一元二次不等式得到结果.本题考查了基本不等式及其应,属基础题.16.当双线M:x2m −y2m+4=1的离心率取得最小值时,双曲线M的渐近线方程为______.【答案】y=±2x【解析】解:双曲线M:x2m −y2m2+4=1,显然m>0,双曲线的离心率e=√m2+m+4m =√m+4m+1≥√2√m×4m+1=√5,当且仅当m=2时取等号,此时双曲线M:x22−y28=1的双曲线的渐近线方程为:y=±2x.故答案为:y=±2x.求出双曲线的离心率的表达式,然后求解最小值,求出m,即可情况双曲线的渐近线方程.本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.已知{a n}为等差数列,且a3=−6,S6=−30.(1)求{a n}的通项公式;(2)若等比数列{b n}满足b1=8,b2=a1+a2+a3,求{b n}的前n项和公式.【答案】解:(1)∵{a n}为等差数列,设公差为d,由已知可得{6a1+15d=−30a1+2d=−6,解得a1=−10,d=2.∴a n=a1+(n−1)d=2n−12;(2)由b1=8,b2=a1+a2+a3=−10−8−6=−24,∴等比数列{b n}的公比q=b2b1=−3,∴{b n}的前n项和公式T n=b1(1−q n)1−q =8[1−(−3)n]1−(−3)=2−2⋅(−3)n.【解析】(1)设等差数列的公差为d,由已知列关于首项与公差的方程组,求得首项与公差,则{a n}的通项公式可求;(2)求出b2,进一步得到公比,再由等比数列的前n项和公式求解.本题考查等差数列的通项公式,考查等比数列的前n项和,是中档题.18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinC1−cosA=√3c.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若b+c=10,S△ABC=4√3,求a的值.【答案】解:(Ⅰ)由正弦定理可得:sinAsinC1−cosA=√3sinC,∵sinC≠0,∴sinA=√3(1−cosA),∴sinA+√3cosA=2sin(A+π3)=√3,可得:sin(A+π3)=√32,∵A+π3∈(π3,4π3),∴A+π3=2π3,可得:A=π3,(Ⅱ)∵S △ABC =4√3=12bcsinA =√34bc ,∴可得:bc =16,∵b +c =10,∴a =√b 2+c 2−2bccos π3=√(b +c)2−2bc −bc =2√13. 【解析】(Ⅰ)由正弦定理化简已知等式可得:sinAsinC 1−cosA =√3sinC ,结合sinC ≠0,利用两角和的正弦函数公式可求sin(A +π3)=√32,结合范围A +π3∈(π3,4π3),可求A 的值.(Ⅱ)利用三角形的面积公式可求bc =16,进而根据余弦定理即可解得a 的值.本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形的面积公式,余弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.19. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,底面ABC 为等腰直角三角形,AB ⊥AC ,AB =AC =2,AA 1=4,M 是侧棱CC 1上一点,设MC =h ,用空间向量知识解答下列问题.(Ⅰ)若h =1,证明:BM ⊥A 1C ;(Ⅱ)若h =2,求直线BA 1与平面ABM 所成的角的正弦值.【答案】证明:(Ⅰ)直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,底面ABC 为等腰直角三角形,AB ⊥AC ,AB =AC =2,AA 1=4,M 是侧棱CC 1上一点,设MC =h ,h =1,以A 为原点,AB 为x 轴,AC 为y 轴,AA 1为z 轴,建立空间直角坐标系,B(2,0,0),M(0,2,1),A 1(0,0,4),C(0,2,0),BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,1),A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−4),∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+4−4=0,∴BM ⊥A 1C.(Ⅱ)当h =2时,M(0,2,2),BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,4),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (2,0,0),AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2),设平面ABM 的法向量n ⃗ =(x,y ,z),则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0n⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0,取y =1,得n ⃗ =(0,1,−1),设直线BA 1与平面ABM 所成的角为θ,则sin θ=|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗ ||BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=√20⋅√2=√105.∴直线BA 1与平面ABM 所成的角的正弦值为√105.【解析】(Ⅰ)以A 为原点,AB 为x 轴,AC 为y 轴,AA 1为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明BM ⊥A 1C. (Ⅱ)当h =2时,求出平面ABM 的法向量,利用向量法能求出直线BA 1与平面ABM 所成的角的正弦值.本题考查线线垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.20. 已知椭圆C :x 2a +y 2b =1(a >b >0)过点(√3,√22),(√2,−1),直线l :x −my +1=0与椭圆C 交于M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)两点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)已知点A(−94,0),且A 、M 、N 三点不共线,证明:∠MAN 是锐角.【答案】解:(Ⅰ)将点(√3,√22)、(√2,−1)的坐标代入椭圆C 的方程得{3a 2+12b 2=12a2+1b 2=1,解得{b 2=2a 2=4,所以,椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1;(Ⅱ)将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立{x −my +1=0x 24+y 22=1,消去x 并化简得(m 2+2)y 2−2my −3=0,△>0恒成立,由韦达定理得y 1+y 2=2m m +2,y 1y 2=−3m +2.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+94,y 1)=(my 1+54,y 1),同理可得AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 2+54,y 2)所以,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1+54)(my 2+54)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+54m(y 1+y 2)+2516=−3(m 2+1)m 2+2−5m 22(m 2+2)+2516=17m 2+216(m 2+2)>0.由于A 、M 、N 三点不共线,因此,∠MAN 是锐角.【解析】(Ⅰ)将题干中两点坐标代入椭圆C 的方程,求出a 和b的值,即可得出椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立,列出韦达定理,利用向量数量积的坐标运算并代入韦达定理计算AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗ >0,并结合A 、M 、N 三点不共线,可证明出∠MAN 是锐角.本题考查直线与椭的综合问题,考查椭圆的方程,结合向量数量积的坐标运算进行考察,属于中等题.21. 如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为等边三角形,AD =DE =2AB ,F 为CD 的中点.(1)求证:AF//平面BCE ;(2)求二面角C −BE −D 的余弦值的大小.【答案】证明:(1)设AD =DE =2AB =2a ,以AC ,AB所在的直线分别作为x 轴、z轴,以过点A 在平面ACD 内和AC 垂直的直线作为y 轴,建立如图所示的坐标系,A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,√3a,0),E(a,√3a,2a).∵F 为CD 的中点,∴F(3a 2,√3a 2,0).AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32a,√3a 2,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,√3a,a),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a,0,−a),∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),AF ⊄平面BCE ,∴AF//平面BCE .解:(2)设平面BCE 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(x,y ,z),则{m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +√3ay +az =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2ax −az =0,令x =1,得m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,2).设平面BDE 的一个法向量n ⃗ =(x,y ,z),BD⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,√3a,−a),则{n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +√3ay +az =0n⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +√3ay −az =0,令x =√3,得n ⃗ =(√3,−1,0).∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=√64.故二面角C −BE −D 的余弦值为√64. 【解析】(1)设AD =DE =2AB =2a ,以AC ,AB 所在的直线分别作为x 轴、z 轴,以过点A 在平面ACD 内和AC 垂直的直线作为y 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明AF//平面BCE .(2)求出平面BCE 的一个法向量和设平面BDE 的一个法向量,利用向量法能证明二面角C −BE −D 的余弦值.本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.22. 已知抛物线E :x 2=2px(p >0)的焦点为F ,A(2,y 0)是抛物线E 上一点,且|AF|=2.(Ⅰ)求抛物线E 的标准方程;(Ⅱ)设点B 是抛物线E 上异于点A 的任意一点,直线AB 与直线y =x −3交于点P ,过点P 作x 轴的垂线交抛物线E 于点M ,设直线BM 的方程为y =kx +b ,k ,b 均为实数,请用k 的代数式表示b ,并说明直线BM 过定点.【答案】解:(Ⅰ)根据题意知,4=2py 0,…①因为|AF|=2,所以y 0+p 2=2,…②联立①②解得y 0=1,p =2;所以抛物线E 的标准方程为x 2=4y ;(Ⅱ)设B(x 1,y 1),M(x 2,y 2);又直线BM 的方程为y =kx +b ,代入x 2=4y ,得x 2−4kx −4b =0;由根与系数的关系,得x 1+x 2=4k ,x 1x 2=−4b ;…③由MP ⊥x 轴及点P 在直线y =x −3上,得P(x 2,x 2−3),则由A ,P ,B 三点共线,得x2−4x2−2=kx1+b−1x1−2,整理,得(k−1)x1x2−(2k−4)x1+(b+1)x2−2b−6=0;将③代入上式并整理,得(2−x1)(2k+b−3)=0,由点B的任意性,得2k+b−3=0,即b=3−2k,所以y=kx+ 3−2k=k(x−2)+3;即直线BM恒过定点(2,3).【解析】(Ⅰ)由题意,利用抛物线的定义与性质求得p的值,即可写出抛物线方程;(Ⅱ)设点B(x1,y1),M(x2,y2),由直线BM的方程和抛物线方程联立,消去y,利用根与系数的关系和A,P,B三点共线,化简整理可得BM的方程,从而求出直线BM所过的定点.本题考查了抛物线的性质和直线和抛物线的位置关系,以及直线过定点的应用问题,是中档题.。
高二(上学期)期末数学试卷及答案解析
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高二(上学期)期末数学试卷及答案解析(时间120分钟,满分150分)一、单选题(本大题共8小题,共40.0分)1.倾斜角为135°,在轴上的截距为的直线方程是()A. B. C. D.2.设双曲线上的点到点的距离为15,则点到的距离是()A. 7B. 23C. 7或23D. 5或233.命题甲:双曲线C的渐近线方程是:y=±;命题乙:双曲线C的方程是:,那么甲是乙的()A. 分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.对抛物线y2=4x,下列描述正确的是()A. 开口向上,焦点为(0,1)B. 开口向上,焦点为C. 开口向右,焦点为(1,0)D. 开口向右,焦点为5.已知a、b表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面.下列选项中说法正确的是()①若a∥b,b⊂α,则a∥α②若a⊥α,b⊥a,则b∥α③若a⊥α,b⊥β,a∥b则α∥β④若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥bA. ①②B. ③④C. ②③D. ③6.已知圆,则过点的最短弦所在直线的方程是()A. B. C. D.7.已知曲线C的方程为+=1,给定下列两个命题:p:若9<k<25,则曲线C为椭圆;q:若曲线C是焦点在x轴上的双曲线,则k<9;那么,下列命题为真命题的是()A. B.C. D.8.椭圆+=1上的点到直线(t为参数)的最大距离是()A. 3B.C. 2D.二、多选题(本大题共4小题,共20.0分)9.一个正方体纸盒展开后如图所示,则在原正方体纸盒中下列结论正确的是()A. B. 与所成的角为60°C. D. 与所成的角为60°10.已知双曲线,则下列说法正确的是()A. 离心率的最小值为4B. 当m=2时,离心率最小C. 离心率最小时,双曲线的标准方程为D. 离心率最小时,双曲线的渐近线方程为11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1B的中点,F为线段BC上的动点(不包括端点),则()A. 对任意的F点,三棱锥F-ADE与三棱锥A1-ADE的体积相等B. 对任意的F点过D,E,F三点的截面始终是梯形C. 存在点F,使得EF∥平面A1C1DD. 存在点F,使得EF⊥平面BDC112.已知抛物线的焦点为,,是抛物线上两点,则下列结论正确的是()A. 点的坐标为B. 若直线过点,则C. 若,则的最小值为D. 若,则线段的中点到轴的距离为三、单空题(本大题共4小题,共20.0分)13.过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为.14.设点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则l的斜率k的取值范围是.15.将边长为的正方形沿翻折成直二面角,若四点在同一个球面上,则该球的体积等于_______________.16.以椭圆=1的右焦点为圆心,且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为______.四、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.已知直线经过两条直线和的交点,且与直线垂直,求直线的方程.18.已知圆和点(1)若过点有且只有一条直线与圆相切,求实数的值,并求出切线方程;(2)若,过点作圆的两条弦,且互相垂直,求的最大值。
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案
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(1)求证:平面PAD 平面PCD
(2)求直线AM与平面PBC所成角的余弦值.
20.(12分)已知函数
(1)求函数 的极值.
(2)若 ,求证: ;
21.(12分)设F1,F2分别是椭圆C: 的左右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N;
3.已知a,b是两条不同的直线,α是平面, ,那么a//α是“a//b”的( )
A.充分不必要条件B.充要条件
C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件
4.已知 ,则使不等式 都成立的x的取值集合是()
A. B. C. D.
5.若函数 在 处取得最小值,则m=()
A. B. C.4D.5
6.已知双曲线C: (a>0,b>0)的离心率为2, 且右焦点到一条渐近线的距离为 ,双曲线方程为()
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)设 为数列 的前n项和, ;
(1)求 及 ;
(2)判断这个数列是否是等差数列.
18.(12分)如图,在圆内接四边 形中,AB=1,AD=2,BD= ;
(1)求角C;
(2)若△DCB的面积 ,求△DCB的周长;
第Ⅰ卷
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)
1.如果a<0,b>0,那么下列不等式正确的是()
A.a2>b2B.a2<b2C. D.
2.在△ABC中,角A,B,C所在的对边分别为a,b,c,若 则sinC等于()
浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
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杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷(答案在最后)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知,抛物线方程为24x y =,则其准线方程为1y =-.故选:C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为()A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径,利用点到直线的距离以及半径关系,求解即可.【详解】由2240x y x +-=,得22(2)4x y -+=,圆心为(2,0),半径2r =,圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==,故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选:A3.设平面α内不共线的三点A ,B ,C 以及平面外一点P ,若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +,则x 的值为()A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面,但任意三点不共线,231x x x ∴+-+=,解得:13x=-.故选:C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ,()0,2,0B ,()2,0,2C ,则BC 边上的中线长为()A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ,()2,0,2C ,所以BC 的中点为()1,1,1,又()1,0,0A ,则BC =.故选:B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列,n S 是其前n 项和,且10a <,48S S =,则()A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式,结合选项计算依次判断即可.【详解】A :由48S S =,得1143874822a d a d ⨯⨯+=+,则1112a d =-,又10a <,所以11102a d =-<,得0d >,故A 错误;B :7111166022a a d d d d =+=-+=>,故B 错误;C :121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=,故C 正确;D :7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=,21(1)1222n n n n nS na d d --=+=,由21235n n -≥-,得15n ≤≤或7n ≥,即当15n ≤≤或7n ≥时,有7n S S ≥,故D 错误.故选:C6.用数学归纳法证明:()111212322n n f n +=++++≥ (*n ∈N )的过程中,从n k =到1n k =+时,()1f k +比()f k 共增加了()A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数,进而作差即得结论.【详解】因为()1111232n f n =++++ ,所以()1111232k f k =++++ ,共2k 项,则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项,所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项,故选:D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+,且12a =,则2024a =()A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=,结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+,所以1211122n n n n a a a a ++==+,所以11112n n a a +-=,又12a =,所以1112=a ,故数列1{}na 是以12为首项,以12为公差的等差数列,则1111(1)222n n n a =+-=,得2n a n=,所以20242120241012a ==.故选:A8.设双曲线Γ的中心为O ,右焦点为F ,点B 满足2FB OF =,若在双曲线Γ的右支上存在一点A ,使得OA OF =,且3OAB OBA ∠≥∠,则Γ的离心率的取值范围是()A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =,所以A 是以O 为圆心,为OF 半径的圆O 与Γ的交点,根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限.因为OA OF =,所以A 是以O 为圆心,为OF 半径的圆O 与Γ的交点.设Γ的左焦点为X ,则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠,122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠,即A FAB FB ≥∠∠,FA BF ≤在圆O 上上取一点C ,使FC B F =,则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤(a 是实半轴长),即()222224FC aC c C X F +≥=-(c 是半焦距),由2FB OF = ,得212c FB FO ==,得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥,又离心率ce a =,所以27480e e --≤,又1e >,所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦,故选:B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知()f x ,()g x 在R 上连续且可导,且()00'≠f x ,下列关于导数与极限的说法中正确的是()A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦,故A 错;()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆,故B 对;()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆,由导数的定义知C 对;()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆,故D 对;故选:BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ,则()A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q ,则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数,故A 正确;易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数,故B 正确;由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数,故C 错误;()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数,故D 正确.故选:ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点,直线l 交抛物线于,M N 两点,过点,M N 分别向准线2px =-作垂线,垂足分别为,P Q ,则下列说法正确的是()A.若直线l 过焦点F ,则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ,则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -,则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥,则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ,设直线l 方程为x my b =+,与抛物线方程联立,利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ,选项A :MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +,则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++,所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=,所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=,A 说法错误;选项B :由抛物线的定义可知MP MF =,NF NQ =,又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠,2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠,因为()212π∠+∠=,所以π122∠+∠=,即PF QF ⊥,B 说法正确;选项C :由题意可知直线l 斜率不为0,设直线l 方程为x my b =+,联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=,22480p m pb ∆=+>,所以122y y pb =-,由21228y y pb p =-=-解得4b p =,满足0∆>,所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ,C 说法正确;选项D :因为OM ON ⊥,所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=,所以221212022y y y y p p⋅+=①,将122y y pb =-,代入①得2b p =,满足0∆>,所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ,D 说法正确;故选:BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1),把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合,这个组合再转化成图3所示的几何体,若图3中每个正方体的棱长为1,则()A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点,则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ,以1A 为坐标原点,1A F 所在直线为x 轴,11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+,所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-,故A 正确;如图以1A为坐标原点,建立空间直角坐标系,则()0,1,1B -,()11,0,0D -,()1,0,1D --,()0,1,1Q -,()1,1,1C --,()0,0,1A -,()1,0,0F ,()1,1,0BD =-- ,()1,2,2CQ =- ,()11,0,1AD =- ,()2,1,1CF =-,对于B :因为M 为线段CQ 上的一个动点,设CM CQ λ=,[]0,1λ∈,则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--,所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+,所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ,故B 正确;对于C :CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==,所以点F到直线CQ的距离d ==,故C 错误;对于D:因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ,所以1sin ,6CQ AD ==,所以1tan ,CQ AD =,即异面直线CQ 与1AD ,故D 正确;故选:ABD .第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知()sin exf x =,则()f x '=_____________.【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=,故答案为:sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ,B 间的距离为3,动点P 满足2PA PB=,则△PAB 面积的最大值为_____________.【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程,再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴,以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系,设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -,因为2PA PB=,即2PA PB =,=,整理为:22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心,半径为2的圆,所以点P 到AB 距离的最大值是2,所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为:315.已知点P 是抛物线24y x =上动点,F 是抛物线的焦点,点A 的坐标为()1,0-,则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线,根据定义可得PF PM =,将所求PFPA最小,转化为sin PM PAM PA =∠的最小,结合图像分析出,当PA 与抛物线相切时,PAM ∠最小,联立直线与抛物线方程,根据判别式求出PA 斜率k ,进而可得PAM ∠的值,代入所求即可。
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第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.) 1.命题“若b a >,则c b c a +>+”的逆否命题为( ) A .若b a <,则c b c a +<+.B .若b a ≤,则c b c a +≤+. C .若c b c a +<+,则b a <. D .若c b c a +≤+,则b a ≤. 2.抛物线2y x =的焦点坐标是( )
A .()1,0
B .1
,04
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C .1
0,8⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D .1
0,4⎛⎫
⎪⎝
⎭
3.命题p :存在实数m ,使方程210x mx ++=有实数根,则“非p ”
形式的命题是( )
A .存在实数m ,使得方程210x mx ++=无实根.
B .不存在实数m ,使得方程210x mx ++=有实根.
C .对任意的实数m ,使得方程210x mx ++=有实根.
D .至多有一个实数m ,使得方程210x mx ++=有实根.
4. 顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线过点()2,3-,则它的方程是
( )
A .292x y =-或243y x =
B .292y x =-或243
x y = C .243x y =D .292
y x =-
5.函数2
221
x y x =+的导数是( )
A .()()
23
2
2
4141x x x y x
+-'=
+B .()()
22
2
2
4141x x x y x
+-'=
+
C .()()
23
2
2
2141x x x y x
+-'=
+D .()()
22
2
4141x x x
y x
+-'=
+
6.若椭圆
22
110036
x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6,则点P 到另一
个焦点F 2的距离是( )
A .4
B .194
C .94
D .14
7.,,A B C 是三个集合,那么“B A =”是“A C B C =”成立的( ) A .充分非必要条件. B .必要非充分条件. C .充要条件. D .既非充分也非必要条件.
8.已知:点()2,3-与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是5,则p 的值是( )
A .2
B .4
C .8
D .16 9.函数32y x x =-+的单调递减区间是( ) A .-∞(,)3
6
-
B .3
6
(
,)∞+
C .-∞(,3
6()36 -
,)∞+ D .3
6(-,
)3
6 10.抛物线x y 82=上的点),(00y x 到抛物线焦点的距离为3,则|y 0|=( )
A .2
B .22
C .2
D .4
11.以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是( )
A.222=-y x B .222=-x y C .422=-y x 或422=-x y D .222=-y x 或222=-x y
12.已知函数()y f x =
则()y f
x =的图象可能是(
)
A B C
D
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(每小题6分,共30分.)
13.用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题: (1)实数的平方大于等于0. ______________________.
(2)存在一对实数,使2x +3y +3>0成立.______________________. 14.离心率3
5
=
e ,一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是______________________.
15.曲线32x x y -=在点(1,1)处的切线方程为__________.
16.若直线l 过抛物线()20y ax a =>的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛
物线截得的线段长为4,则a =__________.
17. 过双曲线822=-y x 的右焦点2F 有一条弦PQ ,7PQ =,1F 是左焦点,
那么1F PQ ∆的周长为__________.
三、解答题(共60分)
18.已知命题P :“若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根”.
(1)写出命题P 的否命题;(4分)
(2)判断命题P 的否命题的真假, 并证明你的结论.(6分) 19.已知双曲线的一条渐近线方程是20x y -=
,若双曲线经过点
M ,求双曲线的标准方程.(12分)
20.已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点(1,3),求a 和b 的值.(14分)
21.求59623-+-=x x x y 的单调区间和极值.(10分)
22.一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三边组成,如图所示.一辆卡车
运载一个长方形的集装箱,此箱平放在车上与车同宽,车与箱的高度共计4.2米,箱宽3
(14分)
参考答案
一、选择题(每小题5分,共60分)
二、填空题(每小题6分,共30分)
13.(1)2
,0x R x ∀∈≥(2),,2330x y R x y ∃∈++> 14.22
120
59
x y +=
15. 20x y +-=16.4 17.2814+ 三、解答题(共60分.)
18.已知命题P :“若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根”.
(1)写出命题P 的否命题;(4分)
(2)判断命题P 的否命题的真假, 并证明你的结论.(6分) 18.解:(1)命题P 的否命题为:“若,0<ac 则二次方程02=++c bx ax 有实
根”.
(2)命题P 的否命题是真命题.
证明:20040ac ac b ac <⇒->⇒∆=->
⇒二次方程02=++c bx ax 有实根.
∴该命题是真命题.
19.已知双曲线的一条渐近线方程是20x y -=,若双曲线经过点
M ,求双曲线的标准方程.(12分)
解:由已知可知双曲线的两条渐近线为20x y ±=
因此可设所求双曲线为()2240x y λλ-=≠(6分) 将M 代入()
2240x y λλ-=≠,解得16λ=(4分) ∴双曲线方程为22416x y -=
∴标准方程为:22
1164
x y -=(2分)
20.已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点(1,3),求a 和b 的值.(14分)
解:∵直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点(1,3)。