数形结合思想在初中数学教学中渗透

数形结合思想在初中数学教学中渗透

内容提要：数形结合思想是初中课本中的基本的数学思想，在初中数学教学和解题中起着十分重要的角色。本文结合了本人的一些教学体会，讲述分析了如何充分的利用数形结合思想在教学中的运用以及去解常见数学题目，本文主要分为三个部分来分析：数转化为形，形转化为数，数形结合。使学生充分认识“数”和“形”之间的内在联系，把问题化繁为简，化难为易，使学生在学习数学知识中，充分了解和掌握数形结合这种解决问题的策略和方法。

关键字：数形结合，思想，解题

数形结合思想，就是根据数与形之间的一一对应关系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，优化解题途径的思想。[1]

在初中教学中经常用到数形结合思想。如有理数内容体现着数形结合思想。数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的一个重要方面。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，帮助七年级学生正确理解有理数的性质及其运算法则。

又如应用题内容隐含着数形结合思想。列方程解应用题的难点是如何根据

题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图。这里隐含着数形结合的思想方法。例如，北师大版七年级数学上册的第五章第七节课题是“能追上小明吗”，是一个研究行程问题的课题，教学中，老师必须渗透数形结合的思想方法，依据题意画出相应的示意图，才能帮助七年级学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。

再如不等式内容蕴藏着数形结合思想。北师大版八年级数学下册第一章内容是“一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深八年级学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的思想方法。在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效，也让学生理解的更深刻。

函数及其图象内容凸显了数形结合思想。由于在直角坐标系中，有序实数对（x ，y）与点P的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然。一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助。因此，函数及其图象内容凸显了数形结合的思想方法。教学时老师若注重了数形结合思想方法的渗透，将会收到事半功倍的效果。

如果说上述的例子是初中代数的内容体现了数形结合思想，那么初中几何教学中也离不开数形结合思想。如比较两条线段（或两个角）的大小，我们常用的方法是重叠法和度量法，重叠法是几何方法，顾名思义将两条线段（或两个角）放在一起比较长短（大小），度量法是代数方法，即用刻度尺（量角器）测量两条线段的长度（两个角的大小）。体现了数形结合思想。

又如勾股定理蕴藏着数形结合思想。学生在学习勾股定理的内容时，书本上给出了勾股定理的无字证明，即移动几块图形就能很直观地证明出勾股定理的222c b a =+（c 为斜边）这个数量关系成立。

下面我们来谈谈如何充分利用数和形的关系去解决常见数学问题。

一、运用图形的直观解决数量关系

由于数和形是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而形具有形 象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把数的对应——形找出来，利用图形来解决问题。

例1、分解因式：22b a -

这个分解因式的题目非常简单，是同学们非常熟悉的公式——平方差公式：))((22b a b a b a -+=-，有时也就是直接用这个公式来套用进行分解因式的。但是有不少学生却不能理解))((22b a b a b a -+=-这个公式？有些同学虽说理解，但也

是从整式乘法公式22))((b a b a b a -=-+的逆用来理解的，相当于死记硬背来掌握的。理解平方差公式))((22b a b a b a -+=-，我们可以从几何图形出发来理解。

如左图，在边长为a 的正方形纸板中剪去一个边长为b 的小正方形后，剩

余图形的面积是(22b a -)，把左图的剪下小正方形后的剩余图形拼在一起，得到

右图，是一个长方形，其长为(a+b ），宽为(a-b),面积为(a+b)(a-b),所以可以

得到

))((22b a b a b a -+=-。 其实除了理解平方差公式的意义可以用几何图形面积来帮助分析外，还有

完全平方公式等其它的整式乘法公式或分解因式公式，可以用几何图形面积来帮助理解其意义。

例2、方程x

x x 2252=++-的正根的个数为（ ）。

A 、 3

B 、 2

C 、1

D 、0

分析：直接化分式方程为

整式方程，确定方程根的个数，

是十分困难的事，结合问题特

征，要将“数”转达化成

“形”去研究。

解：把方程化为抛物线

y 1=252++-x x 与双曲线y 2=x 2

在x>0的范围内，两函数图象有两个交点。

通过这种“数”与“形”的转化，使本来很难解的题目，变得解起来得心

应手了。解此类题目，主要是我们是否能够把代数问题转化为几何问题，把握得很好。也就是说，这些代数问题怎样转化到几何性质问题上来，才是解题的关键。

二、利用数量关系揭示几何图形的性质

虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别

对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正