函数概念的产生及其历史演变
函数概念发展的历史过程
函数概念发展的历史过程函数的概念在数学上被广泛应用，它是描述自变量和因变量之间关系的一种数学工具。
在数学的发展历史上，函数的概念经历了漫长的发展过程，从最初的平面几何到现代的抽象代数，函数的概念不断得到丰富和深化。
本文将从古希腊时期的几何学开始，对函数的概念发展历史进行全面梳理。
古希腊时期的函数概念古希腊的几何学家在研究曲线的运动过程中，开始对函数的概念进行初步的探讨。
在古希腊时期，数学家们主要从几何的角度来研究函数，如阿基米德、亚历山大的庞德等人。
他们主要关注几何图形的变化规律，即自变量和因变量之间的关系。
在这一时期，函数的概念主要是从曲线的运动、几何图形的变化中产生，并没有形成系统的数学理论。
17世纪的微积分学在17世纪，微积分学的发展推动了函数概念的进一步深化。
牛顿和莱布尼兹等数学家发展了微积分学，首次明确地提出了函数的概念，并将其作为研究曲线和图形的基本工具。
微积分学将函数的概念与导数、积分等概念结合起来，形成了现代函数论的雏形。
在这一时期，函数的概念逐渐从几何的范畴中脱离出来，成为了一种独立的数学对象。
19世纪的分析学19世纪是函数概念发展的一个重要时期，分析学的兴起推动了函数概念的进一步发展。
在这一时期，柯西、魏尔斯特拉斯等数学家对函数的性质进行了深入研究，提出了连续性、可导性等概念，逐渐建立起了现代函数论的基本框架。
函数的概念开始从简单的数学工具演变为一种抽象的数学对象，其研究不再局限于几何或微积分学的范畴，而是成为了一种独立的数学分支。
20世纪的抽象代数与拓扑学20世纪是函数概念发展的一个新阶段，随着抽象代数和拓扑学的兴起，函数的研究逐渐从实数域扩展到了更一般的数学结构。
在这一时期，泛函分析、代数拓扑等新的数学分支涌现出来，为函数概念的进一步深化提供了新的视角。
函数不再局限于实数域或复数域，而是被推广到了更一般的数学结构上，如度量空间、拓扑空间等。
函数概念在数学应用中的发展除了在纯数学理论中的发展，函数的概念在数学应用中也得到了广泛的应用。
函数的由来函数的由来简介
函数的由来函数的由来简介“函数”一词最初是由德国数学家莱布尼茨在17世纪首先采用的，当时莱布尼茨用“函数”这个词来表示变量的幂，即2，3，…，接下来莱布尼茨又将“函数”这个词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量．“函数”这个词从此逐渐盛行起来．瑞士数学家雅克・柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义．1718年，雅克・柏努意的弟弟约翰・柏努意这样定义函数：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数．换句话说，由和常量所构成的任一式子都可称之为关于函数．1775年，欧拉把函数定义为：“如果一些变量：以其中一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数”．由此可以看出，莱布尼兹和欧拉所引入的函数概念，都还是和解析表达式、曲线表达式等概念纠缠在一起．首屈一指的法国数学家柯西引入了新的函数定义：“在一些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中其中一变数的值，其它变数的值也可随之而确定时，则将最初的变数称之为‘自变数’，其它各变数则称为‘函数’”．在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词．1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“函数是这样的一个数，它对于每一个都有确定的值，并且随着其中一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义指出了对应关系，即条件的必要性，利用这个关系可以求出每一个对应值。
1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是函数．”德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“对于每一个值，y总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立，y之间的对应方法如何，均将y称的函数．”我国清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数．”中国古代的人还用“天、地、人、物”4个字来表示4个不同的未知数或变量，显然，函数在李善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量，则该式子叫做函数”．从上面函数概念的演变中，我们可以知道，理解函数的定义必须抓住函数的本质属性，变量y称的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式．由此，就有了我们课本上的函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与y，并且对于每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，y是函数．。
函数的发展历程
函数的发展历程一、古希腊时期古希腊数学家希腊斯科特·伯涅劳斯（Scctonius）在公元前4世纪就提出了函数的概念。
他用字母表示一个量，并用等式将这个量和另一个量联系在一起。
例如，他用f(x)表示x的平方，即f(x)=x^2。
但是，他并没有将函数作为独立的数学概念来看待，只是作为一种辅助工具。
二、17世纪17世纪是函数发展的重要时期。
著名数学家斯特林（Stevin）在其著作《五十个数学问题》中提出了函数的概念。
他指出，函数是一种可以用数学公式表示的规律，即f(x)=x^2。
三、18世纪18世纪是函数发展的关键时期。
著名数学家莫尔（Leibniz）在公元1694年提出了微积分的概念。
他认为，微积分是一种研究变化的工具，可以用来研究连续函数的变化。
这为函数研究开辟了新的天地。
四、19世纪19世纪是函数发展的全盛时期。
著名数学家高斯（Gauss）在公元1801年提出了高维空间的概念。
他认为，高维空间是一个可以用函数表示的数学模型，即可以用函数来描述多维空间的性质。
这为函数的研究提供了更加广阔的空间。
五、20世纪20世纪是函数发展的高潮时期。
著名数学家华罗庚（Huang Qiu-Guang）在公元1943年提出了泛函分析的概念。
他认为，泛函分析是一种研究函数性质的数学方法，可以用来研究连续函数和离散函数的性质。
这为函数的研究提供了更加丰富的内容。
六、21世纪21世纪是函数发展的新时期。
计算机技术的发展使得函数在计算机科学和工程领域中发挥着越来越重要的作用。
函数也被广泛用于数据挖掘和人工智能领域，为科学技术的发展做出了重要贡献。
综上，函数作为一种独立的数学概念，在古希腊时期就已经提出，但是直到17世纪才得到正式的定义。
随着时间的推移，函数在数学和工程领域的应用越来越广泛，为科学技术的发展做出了巨大贡献。
函数概念的产生及其历史演变
《第二章函数》整体学程指导集合作为近现代数学的“基本语言”被引入高中数学课程体系，利用它可以简洁、准确地表述一些数学对象。
本章是集合语言应用的一个重要载体，是学习完集合语言后应用语言表述数学问题、研究数学问题和解决数学问题的一次重要实践和有力尝试。
函数分为两个部分：函数的概念及基本性质（第二章）；指数函数、对数函数和幂函数（第三章）;函数的概念和基本性质（单调性、奇偶性）解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概念）、巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映射遵循概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研究函数的这几个性质？水浒传里有108将，但是只对武松、鲁智深、林冲等十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。
函数（Function）本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。
基本初等函数（指数、对数、幂函数）解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的有力尝试，在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。
数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解）（数学发展的两条主线都涉及了）社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题）第一节：函数概念的起源及其历史演变我们要参观的景点：（The scenery we’ll visit）1. 函数的概念是什么？（What？）2. 为什么要建立函数的概念？（Why ?）3. 函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程？（How？）景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的？函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。
案例1：圆的面积S与圆半径r的关系；案例2：锐角α与锐角β互余，α与β的关系；案例3：气体的质量一定时，它的体积V与它的密度ρ之间的关系；【思考1】上述的每一个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？【思考3】综合思考1和思考2的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？【早期函数概念】十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
函数概念的历史发展(完整版)
函数概念的历史发展（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）函数概念的历史发展众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们学生更深刻、更全面地理解函数的本职，并且从中得到有益的方法论启示。
1 函数概念的产生阶段—变量说马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。
实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。
但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。
哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，到了16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。
在这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。
在伽利略的《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数的思想，他用文字和比例的语言表述函数关系。
例如，他提出：“两个等体积圆柱体的面积之比，等于它们高度之比的平方根。
”“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度之比的反比。
”他又说：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。
”这些描述非常清楚地表明伽利略已涉及并讨论变量和函数，但他并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。
几乎与此同时，许多数学家，如托里拆利、瓦里斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹等，从不同角度对函数进行了不同程度的研究.有的数学家是把一些具体的函数看成曲线进行研究,尽管当时还没有建立实连续的概念,但数学家却默认曲线都是连续的。
托里拆利就曾对曲线()0≥y ex进行过研究；而瓦里斯在他的《动学》中研究过正弦曲=xae线，并注意到了这一函数的周期性。
函数的起源与发展
函数的起源与发展函数是数学领域中的重要概念，起源于古希腊数学，发展至今已经成为现代数学的基石之一。
本文将探讨函数的起源及其发展历程。
一、起源：古希腊的函数概念函数的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧多克索斯（Euclid）的著作《几何原本》中。
他在书上首次提出了“比例”这一概念，将其应用于几何学中。
比例即表示两个量之间的关系，这种关系可以表示为一个方程。
欧多克索斯认为，比例是由特定规律决定的，这种规律可以用图形表示。
此后，亚历山大的赛尼库斯（Heron of Alexandria）提出了函数的概念。
他将比例的概念扩展到变量之间的关系，提出了函数的定义：“当一个量由其他量决定时，我们称这个量是其他量的函数。
”赛尼库斯以几何图像的方式表示函数，将其作为几何问题的解决方法。
二、发展：函数的发展与数学分析的崛起函数的概念在古希腊数学时代虽然已有初步的形成，但真正的发展要追溯到十七世纪的科学革命时期。
牛顿（Isaac Newton）和莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）两位伟大的数学家和物理学家几乎同时独立地发展了微积分学，从而为函数的研究奠定了基础。
牛顿和莱布尼茨将函数视为一种能够以无穷小的变化率来描述的数学对象。
他们引进了导数和积分的概念，并将其作为函数变化率和面积的度量。
他们的工作将函数的研究提升到了一个新的高度，使得函数成为数学分析的核心内容。
随着数学分析的发展，函数的研究也变得更加丰富和深入。
欧拉（Leonhard Euler）提出了指数函数和对数函数的概念，并发展了复变函数的理论。
拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）和柯西（Augustin-Louis Cauchy）等数学家也在函数的研究方面做出了重要贡献。
函数的研究不仅局限于实数领域，还拓展到复数、向量、矩阵等多个数学领域。
三、应用：函数在科学和工程中的重要性函数作为一种描述变化规律的数学工具，在科学和工程领域具有广泛的应用。
函数概念的形成与发展
函数概念的发展简史1、函数概念的萌芽时期（自然函数、代数函数时期）[1]函数思想是随着数学开始研究事物的运动变化而出现的。
而事实上，早期的数学是不研究事物的运动变化的。
古希腊科学家亚里士多德曾经认为，数学研究的是抽象的概念，而抽象的概念来自事物静止不动的属性。
例如，数学中的数、线、形等数学对象都不包括运动，运动变化是物理学研究的对象等等。
受其影响，直至14世纪，数学家们才逐渐开始研究物体的运动问题。
到了16世纪，由于实践的需要，自然科学开始转向对运动的研究，自然中各种变化和各种变化着的物理量之间的关系也就成为数学家关注的对象。
伽利略就是最早开展这方面研究的科学家之一，在他的著作里多处使用比例的语言表达了量与量之间的依赖关系。
例如，从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，这正是函数概念所表达的思想意义。
16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题时，发现了量的变化及量与量之间的依赖关系，并在数学中引进了变量思想，在他的《几何学》中指出：所谓变量是指：“不知的和未定的量”，成为数学发展的里程碑，也为函数概念的产生奠定了思想基础。
直到17世纪下半期，牛顿—莱布尼兹的微积分问世时，数学上还没有明确的函数概念。
把“函数”（function）一词最早用作数学术语的是莱布尼兹，当时，莱布尼兹用“函数”（function）一词表示幂，如都叫函数。
后来又用函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。
例如曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等。
从这个定义看出，莱布尼兹利用几何概念，在几何的范围内揭示了某些量之间的依存关系。
可以说出现了函数概念的一点端倪，但函数的一般定义仍没有诞生。
原因在于：数学家们一直在同具体的函数打交道，对具体函数或求导，或积分，讨论各种各样的具体问题，并没有感到有定义一般函数概念的需要。
\2、函数概念的初步形成（解析函数时期）[2] 18世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义”的发展。
函数概念的产生与发展
函数概念的产生与发展函数的概念产生于古希腊的数学领域，随着数学发展逐渐完善和发展。
在古希腊时代，数学主要是以几何学为基础，对于直线、圆、三角形等几何图形的研究较为深入。
然而在研究几何图形的过程中，人们发现需要研究更一般的曲线来解决一些问题。
于是，人们开始研究曲线的性质和方程，这就是函数概念的起源。
最早提出函数概念的是古希腊的柯尼多斯（Conon），他在《席知布拉斯》（Spherics）一书中，使用了“曲面上的曲线”概念，也就是我们现在所称的函数。
在柯尼多斯的研究中，函数是用来描述曲面上点的位置，他通过截面的思想来研究曲线。
然而，他并未对函数的性质和变化进行详细的研究。
在早期的数学研究中，函数的概念并不被广泛使用。
直到16世纪，随着代数学的发展，人们开始更加系统地研究函数。
法国数学家弗朗西斯·维埃特（François Viète）是最早引入函数概念的数学家之一、他在《代数最湮</em>〉》一书中，首次将函数描述为数之间的关系，他将函数视为是一个等式中的未知量，并提出了函数的运算规则。
18世纪的数学家欧拉（Leonhard Euler）和拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）等人进一步完善了函数的概念和理论。
欧拉在《分析概论》一书中，提出了复变函数的概念，研究了函数的连续性和收敛性等问题。
拉格朗日在《分析学》一书中，提出了拉格朗日乘数法和最优化问题的理论，对函数的极值问题进行了深入研究。
到了19世纪，函数的概念得到了进一步的发展和推广。
高斯（Carl Friedrich Gauss）提出了研究函数性质的代数方法，他在《复数的算术及代数原理》中，提出了函数的代数特征。
柯西（Augustin-Louis Cauchy）在《复变函数论》一书中，研究了复变函数的连续性和可微性，开创了复变函数论的研究方向。
魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）则在极限理论方面做出了巨大贡献，他引入了极限的严格定义和连续函数的定义。
函数概念简明演变史及初高中函数定义
19世纪函数概念———对应关系下的函数
• 1823(?1821)年柯西，在某些变数间存在着 一定的关系，当一经给定其中某一变数的 值，其他变数的可随着而确定时，则将最 初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。
<不强调变化，自变量——古典定义>
• 1837年狄利克雷，对于在某区间上的每一 个确定的x值, y都有一个或多个确定的值, 那么y叫做x的函数。
函数概念简明演变史
18世纪函数概念———代数观念下的函数 • 1718年约翰· 贝努利，由任一变量和常数的任 一形式所构成的量.贝努利把变量x和常量按任 何方式构成的量叫“x的函数”。 <单一代数式> • 18世纪中叶欧拉，如果某些量以这样的的方 式依赖于另一些量，即当后面这些量变化时前 面这些变量也随之变化，则前面的量称为后面 变量的函数。 <不强调要用公式表示>
教学建议
<与高中函数概念相比，突破“数”的限制>
初高中函数概念比较
定义1：(浙教版2007.5，八年级上，P145) 在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于 x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y 是 x 的 函 数 (function) ， x 叫 做 自 变 量 (independent variable). 定义2：(人教版2007.1，必修1，P16) 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都 有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从 集合A到集合B的一个函数(function)，记作 y=f (x), x ∈A. 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 (domain)；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的 集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).
函数概念的产生及其历史演变
《第二章函数》整体学程指导集合作为近现代数学的“基本语言”被引入高中数学课程体系，利用它可以简洁、准确地表述一些数学对象。
本章是集合语言应用的一个重要载体，是学习完集合语言后应用语言表述数学问题、研究数学问题和解决数学问题的一次重要实践和有力尝试。
函数分为两个部分：函数的概念及基本性质（第二章）；指数函数、对数函数和幂函数（第三章）;函数的概念和基本性质（单调性、奇偶性）解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概念）、巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映射遵循概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研究函数的这几个性质？水浒传里有108将，但是只对武松、鲁智深、林冲等十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。
函数（Function）本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。
基本初等函数（指数、对数、幂函数）解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的有力尝试，在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。
数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解）（数学发展的两条主线都涉及了）社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题）第一节：函数概念的起源及其历史演变我们要参观的景点：（The scenery we’ll visit）1. 函数的概念是什么？（What？）2. 为什么要建立函数的概念？（Why ?）3. 函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程？（How？）景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的？函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。
案例1：圆的面积S与圆半径r的关系；案例2：锐角α与锐角β互余，α与β的关系；案例3：气体的质量一定时，它的体积V与它的密度ρ之间的关系；【思考1】上述的每一个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？【思考3】综合思考1和思考2的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？【早期函数概念】十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
函数概念的发展历程
函数概念的发展历程函数的概念是数学中重要的基本概念之一，它的发展历程可以追溯到古希腊时期。
本文将详细介绍函数概念的发展历程。
1.古希腊阶段（公元前6世纪-公元前3世纪）在古希腊时期，人们已经开始研究直线、圆和曲线等几何概念。
但是，他们并没有明确讨论函数的概念。
然而，他们开始研究变化的概念，比如速度和加速度，这种变化可以被看作是一些量随着时间的变化而变化。
阿基米德（Archimedes）是古希腊数学家中首次涉及变化和速度的人之一，他使用无穷小的思想来研究速度和曲线的切线。
2.印度数学阶段（公元5世纪-公元7世纪）在印度，数学家Aryabhata（公元476年 - 公元550年）和Brahmagupta（公元598年 - 公元668年）开始研究分析几何和负数的概念。
他们还研究了三角函数，并将其称为"jya"或"kojya"，这些函数是角的正弦和余弦。
尽管他们没有明确将这些函数称为“函数”，但他们的研究为后来函数概念的发展奠定了基础。
3.集合论阶段（18世纪）在17世纪，数学家逐渐开始研究关于连续性、极限和变化的问题。
然而，真正将函数概念系统化的是18世纪的数学家和哲学家。
法国数学家René Descartes（1596年 - 1650年）是最早提出函数概念的人之一、他将函数定义为一个表达式或者规则，它将输入映射到输出。
与此同时，数学家Leonhard Euler（1707年 - 1783年）对函数的概念进行了更详细的研究，并提出了极限和连续性的概念。
17世纪英国数学家IsaacNewton（1643年 - 1727年）和德国数学家Gottfried Leibniz（1646年- 1716年）发明了微积分，这一方法论为函数研究提供了强有力的工具。
4.现代函数论阶段（19世纪）19世纪是函数概念发展的重要时期，特别是在实分析和复分析的领域。
实分析是关于实数和函数的研究，而复分析是关于复数和函数的研究。
函数概念的形成与演变
康托尔
从康托尔(Cantor， 从康托尔(Cantor，德， (Cantor 1845－1918)创立的集合论 1845－1918)创立的集合论 在数学中占有重要地位之后， 在数学中占有重要地位之后， 维布伦(Veblen (Veblen， 维布伦(Veblen，美，1880 1960)用 集合” 对应” －1960)用“集合”和“对应”的 概念给出了近代函数定义， 概念给出了近代函数定义， 通过集合概念， 通过集合概念，把函数的对 应关系、 应关系、定义域及值域进一 步具体化了，且打破了“ 步具体化了，且打破了“变 量是数”的极限， 量是数”的极限，变量可以 是数， 是数，也可以是其它对象 向量、 （点、线、面、体、向量、 矩阵等）。 矩阵等）。
在公元十六世纪之前， 公元十六世纪之前， 数学上占统治地位的是常量 数学，其特点是用孤立、 数学，其特点是用孤立、静 止的观点去研究事物。 止的观点去研究事物。具体 的函数在数学中比比皆是， 的函数在数学中比比皆是， 但没有一般的函数概念。 但没有一般的函数概念。
法國於1996年發行，紀念笛卡爾四百週年誕辰
函数概念的定义经过三百多年的 锤炼、变革， 锤炼、变革，形成了函数的现代定义 形式， 形式，但这并不意味着函数概念发展 的历史终结， 世纪 年代， 世纪40年代 的历史终结，20世纪 年代，物理学 研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ 研究的需要发现了一种叫做 － 函数，它只在一点处不为零， 函数，它只在一点处不为零，而它在 全直线上的积分却等于1， 全直线上的积分却等于 ，这在原来的 函数和积分的定义下是不可思议的， 函数和积分的定义下是不可思议的， 但由于广义函数概念的引入，把函数、 但由于广义函数概念的引入，把函数、 测度及以上所述的Dirac－δ函数等概 测度及以上所述的 － 函数等概 念统一了起来。因此， 念统一了起来。因此，随着以数学为 基础的其他学科的发展， 基础的其他学科的发展，函数的概念 还会继续扩展。 还会继续扩展。
函数的起源,发展及演变
函数的起源，发展与演变。
一．函数定义1．本义一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果给定一个x 值，相应的就确定唯一的一个y，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y 的取值范围叫做函数的值域。
近代演变义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称fA→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。
其中x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2．几何含义函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。
令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。
另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。
二．起源早在函数概念尚未明确提出以前,数学家已经接触并研究了不少具体的函数,比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义．1673年,莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出,函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的,几乎与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词“流量”来表示变量间的关系,直到1689年,瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义,贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”,表示为yx.当时,由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算,所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子,取名为解析函数,还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．18世纪中叶,由于研究弦振动问题,达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候,达朗贝尔说是指“任意的解析式”,而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式,是函数概念的外延．三．发展δ-函数的出现,引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义,只允许数与数之间建立对应关系,而没有把“∞”作为数．另外,对于自变量只有一个点不为零的函数,其积分值却不等于零,这也是不可想象的．然而,δ-函数确实是实际模型的抽象．例如,当汽车、火车通过桥梁时,自然对桥梁产生压力．从理论上讲,车辆的轮子和桥面的接触点只有一个,设车辆对轨道、桥面的压力为一单位,这时在接触点x=0处的压强是P（0）=压力／接触面=1／0=∞．其余点x≠0处,因无压力,故无压强,即P（x）=0.另外,我们知道压强函数的积分等于压力,即函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展,产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f（x）.元素x称为自变元,元素y称为因变元．函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字,但却是概念上的重大发展,是数学发展道路上的重大转折,近代的泛函分析可以作为这种转折的标志,它研究的是一般集合上的函数关系．函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革,形成了函数的现代定义,应该说已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的,函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结,近二十年来,数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”．设集合X、Y,我们定义X与Y的积集X×Y为X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系,若（x,y）∈R,则称x与y有关系R,记为xRy.若（x,y）R,则称x与y无关系．现设f是X与Y的关系,即fX×Y,如果（x,y）,（x,z）∈f,必有y=z,那么称f为X到Y的函数．在此定义中,已在形式上回避了“对应”的术语,全部使用集合论的语言了．从以上函数概念发展的全过程中,我们体会到,联系实际、联系大量数学素材,研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要．三．演变设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称fA→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。
函数概念发展的历史过程
函数概念发展的历史过程函数的概念发展是数学领域的一项重要成果，也是数学发展历史中的一个重要组成部分。
函数最早的概念可以追溯到古希腊的数学家阿基米德和欧几里得。
然而，对函数概念的系统阐述和确立要追溯到17世纪以后，而且对函数的深入研究和应用更是要追溯到19世纪以后。
函数的概念发展历程不仅反映了数学知识的深化和发展，同时也与数学在科学研究和工程技术中的应用密切相关。
1.古希腊的初步探索在古代希腊，数学家已经开始讨论和研究数学对象之间的关系。
阿基米德和欧几里得都研究了相对的数值关系。
而欧几里得就探讨了比例关系的平均比例。
这些早期的研究工作，奠定了函数概念发展的基础。
2.笛卡尔坐标系的建立近代函数概念的确立和发展，与笛卡尔坐标系的建立密不可分。
笛卡尔在17世纪提出了笛卡尔坐标系，引入了坐标系和代数表达法，使得函数可以通过方程和坐标来表示。
3.函数概念的确立17世纪，莱布尼兹和牛顿等数学家在微积分的研究中提出了函数的概念。
他们认为，函数是一种数学对象，是一种数值之间的对应关系。
这一概念的确立，标志着函数作为数学对象的独立性和重要性得到了认可。
4.函数的深入研究在函数的概念确立之后，数学家们开始深入研究函数的性质、性质和变化规律。
在19世纪，勒贝格和黎曼等数学家提出了积分和微分的理论，为函数的深入研究提供了有力的工具。
5.函数在科学和工程中的应用随着函数的研究深入和发展，函数的应用范围也得到了扩展。
在物理学、工程技术和金融领域，函数成为了研究和描述现实世界的重要工具。
总之，函数概念的发展是数学发展史上的一大里程碑，它标志着数学在研究方法和工具上的重大进步，也有力地推动了数学在科学和工程中的应用。
函数概念的发展历程
函数概念的发展历程
函数的概念发展历程可以追溯到古代。
以下是函数概念的主要里程碑和发展历程：
1. 古代：在古希腊，数学家们开始研究几何，并将曲线与方程联系起来。
亚历山大的方程书（约公元前200年）中包含了解决二次方程的方法，这可以被视为函数概念的早期形式。
2. 牛顿和莱布尼茨：17世纪末，牛顿和莱布尼茨独立发现了微积分，为函数概念的发展做出了重要的贡献。
他们引入了导数和积分的概念，并将函数与曲线的斜率和面积联系起来。
3. 18世纪：欧拉、拉格朗日、柯西和傅立叶等数学家对函数概念进行了深入的研究和推广。
他们对函数的连续性、可微性、极限等性质进行了研究，进一步拓展了函数概念的范围。
4. 19世纪：从19世纪开始，函数的定义逐渐得到了严格化。
魏尔斯特拉斯提出了ε-δ定义，以解决函数连续性的问题。
庞加莱提出了函数的互相映射的概念，并研究了函数的多值性。
5. 20世纪：20世纪，函数概念得到了更深入的发展和应用。
例如，黎曼几何中的度量空间和函数空间，拓扑学中的连通性和紧致性，以及泛函分析中的函数空间等。
总的来说，函数概念的发展历程经历了漫长而丰富的探索和发现，从最早的曲线与方程的联系，到微积分的引入，再到函数的严格定义和广泛应用，函数已成为现代数学和其他科学领域中最重要的概念之一。
函数概念发展史的概述
函数概念发展史概述在数学的历史长河中，函数概念的发展经历了几个重要的阶段，从早期的函数概念到现代的函数概念，不断地推动着数学的发展。
本文将概述函数概念的发展史，包括早期函数概念、符号函数、连续函数、现代函数概念和泛函分析等方面。
1. 早期函数概念在早期，函数概念并没有明确的定义，而是通过描述函数的性质和用途来理解。
例如，在17世纪，莱布尼茨提出了“函数”一词，用来表示幂运算的一般概念。
同时，函数也被用来表示曲线下的面积等。
这些早期的函数概念都为后来函数概念的发展奠定了基础。
2. 符号函数在19世纪，科学家们开始用符号来表示函数，这标志着函数概念的发展进入了一个新的阶段。
法国数学家拉格朗日是最早使用符号表示函数的人之一，他引入了符号f(x)来表示函数，并开始研究函数的性质和分类。
这一时期的函数概念主要关注的是函数的表达式和分类，以及函数的运算性质等。
3. 连续函数在微积分学中，连续函数是一个非常重要的概念。
在19世纪初，数学家们开始研究函数的连续性，其中最具代表性的是柯西。
柯西给出了连续函数的定义，并证明了连续函数的许多重要性质。
连续函数的定义和性质的研究为实数理论的发展奠定了基础，同时也推动了微分方程、实变函数等学科的发展。
4. 现代函数概念随着数学学科的发展，函数概念的内涵也不断地得到丰富和发展。
在20世纪初，德国数学家豪斯多夫提出了现代函数的概念，即如果对每个x的值都存在一个y值与之对应，则称y为x的函数。
这个定义使得函数的范围更加广泛，包括了离散函数、取值无限的函数等。
现代函数概念的提出为函数论的发展奠定了基础，同时也促进了泛函分析、调和分析等分支的发展。
5. 泛函分析泛函分析是现代数学的一个重要分支，它主要研究的是函数空间上的数学问题。
在这个领域中，函数不再被看作是孤立的个体，而是被看作是定义在某种空间上的映射或操作。
泛函分析的研究成果被广泛应用于物理、工程、经济等领域，同时也为其他数学分支的发展提供了重要的工具和方法。
函数概念的发展史
函数概念的发展史函数是数学中的基本概念之一，它被广泛应用于各个领域，包括物理、化学、经济以及计算机科学等。
然而，函数的概念的发展历程可以追溯到公元前300年左右的古希腊。
以下是函数概念的发展史的综述。
1.阿基米德的方法（公元前287年）公元前300年左右，古希腊的数学家阿基米德提出了一个称为方法论（Method of Exhaustion）的方法来解决几何问题。
这一方法涉及到以一个恒定的速率逼近一个特定的数量，并通过这种逼近来计算其他数量。
这种方法实际上使用了近似函数的思想，被认为是函数概念的早期雏形。
2.斯嘉尼的分析（公元前200年）公元前200年左右，亚历山大的斯嘉尼（Apollonius of Perga）开始使用变量来表示几何问题中的未知量。
他将变量视为是一个数学对象，并使用代数的方法来研究几何形状。
斯嘉尼的分析（Apollonian Analysis）为后来函数的发展奠定了基础。
3.阿拉伯数学家的贡献（9-10世纪）在中世纪，阿拉伯数学家对函数的研究做出了重要贡献。
在9-10世纪，数学家阿尔哈桑·本·阿尔哈伯（Alhazen）和阿尔卡直赛（Al-Khazini）提出了类似于现代函数的概念。
他们将阿基米德的方法与斯嘉尼的分析相结合，引入了数学函数的概念。
此外，阿拉伯数学家还研究了三角函数和指数函数等一些基本函数。
4.勒让德和牛顿的贡献（17世纪）在17世纪，数学家皮埃尔-西蒙·勒让德（Pierre-Simon Laplace）和艾萨克·牛顿（Isaac Newton）对函数的概念进行了显著发展。
勒让德提出了现代函数概念的定义，他指出函数是输入值与输出值之间的关系。
牛顿则在他的微积分理论中广泛使用了函数的概念，将其与导数和积分等运算结合使用。
5.庞加莱和蔡氏的贡献（19-20世纪）在19-20世纪，法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）和斯通达哈·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）以及华罗庚等数学家对函数的研究做出了突出贡献。
函数概念的提出与发展演变
函数概念的提出与发展演变函数在当今社会应用广泛，在数学，计算机科学，金融，IT 等领域发挥着举足轻重的作用；在数学发展的历史上，函数这一概念从提出到如今渗透到数学的各个层面，都在数学学科中有着不可撼动的地位。
学好函数、了解函数的发展历史不仅能提高我们对函数概念的认知度，还能有助于我们更好的运用函数解决实际问题。
1 函数产生的社会背景函数（function）这一名称出自清朝数学家李善兰的着作《代数学》，书中所写“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.而在16、17 世纪的欧洲，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴给人们的思想带来了觉醒，新兴的资本主义工业的繁荣和日益普遍的工业生产，促使技术科学和数学急速发展，这一时期的许多重大事件向数学提出了新的课题；哥白尼提出地动说，促使人们思考：行星运动的轨迹是什么、原理是什么。
牛顿通过落下的苹果发现万有引力，又自然使人想到在地球表面抛射物体的轨迹遵循什么原理等等。
函数就是在这样的一个思维爆炸的时代下渐渐被数学家们所认知和提出。
早在函数概念尚未明确之前，数学家已经接触过不少函数，并对他们进行了分析研究。
如牛顿在1669 年的《分析书》中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示；纳皮尔在1619 年阐明的对数原理为后世对数函数的发展提供有力依据。
1637年法国数学家笛卡尔创立直角坐标系，使得解析几何得以创力，为函数的提出和表述提供了更加直观的方式；直角坐标系可以很形象的表述两个变量之间的变化关系，但他还未意识到需要提炼一般的函数概念来阐述变量的关系。
17 世纪牛顿莱布尼兹提出微积分的概念，使得函数一般理论日趋完善，函数的一般概念表述呼之欲出。
在1673 年莱布尼兹首次使用函数一词来表示“幂”,而牛顿在微积分的研究中也使用了“流量”一词来表示变量之间的关系。
7. 函数概念的产生及其历史演变
数学中的转折点是笛卡尔的变数. 有了变数，运动就进入了数学；有了变数，辩证法就进入了数学.— 恩格斯函数概念是近代数学思想之花. — 托马斯世界上的一切，都在不停的变化。
古希腊哲学家赫拉克里特说：人不能两次踏入同一条河流。
因为河水在流动，第二次踏入的已经不是上次的河流了。
赫拉克利特用生动的比喻说明一切都在不断的变化。
但他没有把概念说清楚。
什么叫同一条河流？昨天的黄河和今天的黄河是一条河还是两条河？早上的你和晚上的你是一个人还是两个人？当时有的哲学家走向另一个极端，认为事物实际上是静止不变的，变化和运动只是人的幻觉。
其中有个叫芝诺的诡辩家，为了论证运动是幻觉，还提出了飞矢不动的著名怪论。
飞快的箭怎么可能不动呢？芝诺的说法是：箭在每一瞬间都要占据确定的位置，所以每一瞬间都是静止的。
既然每一瞬间都是静止的，又怎么能够动呢？数学讲究严谨，概念要清楚。
要探讨动还是不动，就要先讲好什么叫动，什么叫不动。
什么叫动？一个物体，时刻在甲处，另一个时刻在与甲不同的乙处，我们就说它在时刻到之间动了。
如果对于两个时刻之间的任意时刻t它都在甲处，就说它在这段时间内没有动。
这样把时间和物体的位置对应起来，问题就清楚了。
原来，动和不动是涉及两个或更多时刻的位置的概念，只看一瞬间，动和不动都没有意义。
怪论的漏洞，源于对运动没有严谨的表述。
从上面两个例子可见，古人已经感觉到了事物的运动变化和保持相对稳定性质之间的矛盾，但由于尚未找到合理地刻画运动和变化的方法，就不能实事求是地认识运动和变化，或者否定运动的可能性，或者否认变化中的事物是同一事物。
直到17世纪，数学中出现了变量与函数的概念，人们才掌握了精确地描述和刻画运动与变化的工具。
一部电影由许多画面组成。
这些画面按一定顺序排列在长长的胶片上。
对画面进行编号，就得到了从一部分自然数到画面的对应。
电影是由一串离散的画面组成的。
实在的事物却是由连续改变着的状态组成的。
这时，时刻代替了编号，状态代替了画面。
函数概念的历史演变及分析
简介自数学诞生以来，函数的概念一直是数学的一个组成部分。
从古希腊人到现代数学家，函数的概念一直被研究、探索和发展。
在这篇文章中，我们将探讨函数概念的历史演变和分析。
我们将研究这个概念是如何随着时间的推移而演变的，以及它在今天的数学中是如何被使用的。
我们还将讨论与函数有关的一些关键概念，如域、范围、组成和反函数。
最后，我们将讨论函数在数学和其他领域的一些应用。
函数的历史函数的概念最早是由古希腊数学家如欧几里得和阿基米德提出的。
他们用"函数"一词来指两个变量之间的关系，可以用公式或方程来表达。
例如，欧几里德用函数来描述几何图形，如圆和三角形。
他还用它们来解决与几何有关的问题，如寻找平面上各点之间的面积或距离。
在17世纪，法国数学家勒内-笛卡尔开发了一种新的方法来表示函数，即使用现在已知的笛卡尔坐标。
这使得方程的操作更加容易，并有可能在二维平面上用图形表示函数。
这使得数学家们更容易分析函数和理解它们的特性。
19世纪，德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（Carl Friedrich Gauss）开发了现在所称的高斯消元法，用于解决使用矩阵的线性方程组。
这项技术允许更有效地操作方程，并使其有可能同时解决涉及多个变量的更复杂问题。
在20世纪，数学家开始探索与函数有关的更抽象的概念，如域、范围、组成和反函数。
这些概念现在是任何涉及函数的数学研究中的基本组成部分。
函数的分析一个函数可以被定义为一个规则，它将一个集合（域）中的每个元素精确地分配给另一个集合（范围）中的一个元素。
域通常用x表示，而范围通常用y表示；因此，一个函数可以写成f(x)=y，其中x是域集中的一个元素，y是范围集中的一个元素，通过f(x)定义的一些规则或公式与x相对应。
例如，考虑以下函数：f(x)=2x+1，它为每个实数x分配一个输出值y=2x+1；因此，如果x=3，那么y=7（2*3+1）。
这种类型的函数被称为线性函数，因为它的图形在二维平面上形成一条直线其他类型的函数包括由多项式定义的多项式函数（有多个项的元素），涉及指数表达式的指数函数（有指数的元素），涉及对数的对数函数（有对数的元素），涉及三角表达式的三角函数（有正弦或余弦的元素），等等。
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《函数》整体学习指导函数的概念和基本性质（单调性、奇偶性）解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概念）、巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映射遵循概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研究函数的这几个性质？水浒传里有108将，但是只对武松、鲁智深、林冲等十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。
函数（Function）本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。
基本初等函数（指数、对数、幂函数）解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的有力尝试，在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。
数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解）（数学发展的两条主线都涉及了）社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题）第一节：函数概念的起源及其历史演变我们要参观的景点：（The scenery we’ll visit）1. 函数的概念是什么？（What？）2. 为什么要建立函数的概念？（Why ?）3. 函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程？（How？）景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的？函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。
案例1：圆的面积S与圆半径r的关系；案例2：锐角α与锐角β互余，α与β的关系；案例3：气体的质量一定时，它的体积V与它的密度ρ之间的关系；【思考1】上述的每一个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？【思考3】综合思考1和思考2的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？【早期函数概念】十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。
1718年约翰·贝努利对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量（是历史上第一个正式发表的明确的函数定义），贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”。
欧拉在《无穷分析引论》（1748）中给出的函数定义是：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。
”【总结】十七和十八世纪的数学家对函数问题的认识上有着共同的思考：函数就是解析式局限性：并不是所有的函数关系都能用表达式表示，没有解析式的能算作函数吗？案例1：【思考1】表格中有变量吗？有几个变量？是什么？【思考2】当年份确定时，相应年份的人口数是否确定？那么你能根据表格写出1949 ~1999年年份与我国人口数的关系式吗？案例2：【思考1】统计图中有变量吗？有几个变量？是什么？【思考2】当时间确定时，相应的温度是否确定？你能写出温度随时间变化的关系式吗？【思考】综合上述思考题的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？欧拉在《微分学原理》（1755）序言中给出的定义是：”如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数。
总结：函数表示的是变量的一种依赖关系。
局限性：并不是所有变量之间都具有依赖性的，即在解析式中找不到y x ,的对应关系的能算作函数吗？案例：某市出租汽车的收费标准如下：在km 3（含km 3）路程按起步价11元收费，超过km 3的路程按2.4元/km 收费，试问：某次乘坐出租汽车路程为km 1.8和km 2.7时，收费分别是多少？如果是km 4呢？【思考1】上述问题有变量吗？有几个变量？分别是什么？【思考2】上述两个变量是否一定具有依赖关系？【思考】综合上述思考题的解答，总结上述例子变量间关系的特点？【十九世纪函数概念——变量对应关系下的函数】1823年柯西从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，函数不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。
1837年狄利克雷认为怎样去建立与y 之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x 值，y 都有一个确定的值，那么y 叫做x 的函数．”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。
（初中学习的函数的定义）局限性：没有局限性了，只是集合语言的引入，显得更高端洋气上档次一些。
等到20世纪康托尔创立的集合论在数学中占有重要地位之后，集合语言作为近现代数学的“基本语言”广泛的在数学的各个分支学科中占据着重要地位。
那么如何利用集合语言来包装函数的变量对应说，从而给出基于集合语言的定义呢？【思考1】变量对应说中的两个变量如何用集合语言包装？（集合的概念）两个非空数集强调：非空、数集（所谓函数函数，研究的肯定是数的集合）；【思考2】变量对应说中的变量对应关系如何用集合语言包装？（变量对应-集合对应）强调：集合对应的本质仍然是两非空数集中元素的对应；【思考3】集合对应的本质仍是两非空数集中元素的对应，那么这种对应遵循什么规律？（1）非空数集A中能否存在多余的元素？（2）非空数集B中能否存在多余的元素？（3）对于非空数集A中的任意一个元素x，在非空数集B中能否有两个元素与之对应？【思考4】结合上述几个思考题，概括函数的本质属性，并给出函数的概念？（按照某种对应法则（可以为解析式、可以为表格、可以为图像）、在集合A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应）（看成是数值发生器）根据函数的定义进一步思考：【思考5】（1）在非空数集B中的元素x，在非空数集A中是否可有两个或多个元素与之对应？（2）非空数集A和非空数集B是否可以为无限集？试举例说明。
（有限与无限应该是同步的，例子为：正整数集合与正偶数集合的对应关系）数学的表述和推理离不开符号，所以函数概念要为数学服务，也要用符号表示。
数学教育国际比较的观点：David Clarke（张家港常青藤和美国芝加哥）。
不同的函数可看成是不同的数值发生器（画出三个不同形状的数值发生器）。
根据函数的表示进一步思考：【思考6】1: 2)(x x f =是函数么？)2(f 是函数吗？1)(=x f 是函数吗？2：D x x f y ∈=),(；D t t f s ∈=),(表示的是同一个函数吗？3：已知3)(2+=x x f ，则)(),(),(何睦f f y f ∇分别是什么？【现代函数概念——集合论下的函数】维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了；1930年新的现代函数定义为，若对集合M 的任意元素x ，总有集合N 确定的元素y 与之对应，则称在集合M 上定义一个函数，记为()y f x =．元素x 称为自变元，元素y 称为因变元。
【小结】其实每个数学概念和公式的背后都有着它的故事：或许源于一个灵感；或许是几代人甚至是几个世纪人的共同努力使之完善的过程；更或许是中外数学家的一些共同思考。
应该指出的是，函数概念的整个历史进程中，经历了无数数学家“一次次的提出概念、一次次的推翻概念”的探究过程，不断的引发更多的数学家关于函数概念和函数本质问题上进行更深层次的思考。
我想，这是必然的一个现象，因为人类在探索自然规律的过程中必然有个中假设，虽然后来发现某些假设是错误的，但正是前人的失败才使后人的思考走上了正确的道路。
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结。
因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展．景点二：函数概念产生的历史背景数学知识的引进必定有它存在的正面价值，小学我们虽然没有引入函数概念，但是我们研究过：单价、数量和总价的关系，速度、时间和路程的关系，这些都是函数的影子；初中在一次函数章节里给出过y 是x 的函数的定义：在一个变化过程中的两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，我们就称y 是x 的函数。
但是同学们是否有过哲学角度的原点思考：任何事物的出现必定有它存在的正面价值，函数的概念也不例外。
为什么要学习函数？阅读下面材料，你就能发现问题的答案了！世界上的一切，都在不停的变化。
古希腊哲学家赫拉克里特说：人不能两次踏入同一条河流。
因为河水在流动，第二次踏入的已经不是上次的河流了。
赫拉克利特用生动的比喻说明一切都在不断的变化。
但他没有把概念说清楚。
什么叫同一条河流？昨天的黄河和今天的黄河是一条河还是两条河？早上的你和晚上的你是一个人还是两个人？当时有的哲学家走向另一个极端，认为事物实际上是静止不变的，变化和运动只是人的幻觉。
其中有个叫芝诺的诡辩家，为了论证运动是幻觉，还提出了飞矢不动的著名怪论。
飞快的箭怎么可能不动呢？芝诺的说法是：箭在每一瞬间都要占据确定的位置，所以每一瞬间都是静止的。
既然每一瞬间都是静止的，又怎么能够动呢？数学讲究严谨，概念要清楚。
要探讨动还是不动，就要先讲好什么叫动，什么叫不动。
什么叫动？一个物体，时刻1t 在甲处，另一个时刻2t 在与甲不同的乙处，我们就说它在时刻1t 到2t 之间动了。
如果对于两个时刻之间的任意时刻t 它都在甲处，就说它在这段时间内没有动。
这样把时间和物体的位置对应起来，问题就清楚了。
原来，动和不动是涉及两个或更多时刻的位置的概念，只看一瞬间，动和不动都没有意义。
怪论的漏洞，源于对运动没有严谨的表述。
从上面两个例子可见，古人已经感觉到了事物的运动变化和保持相对稳定性质之间的矛盾，但由于尚未找到合理地刻画运动和变化的方法，就不能实事求是地认识运动和变化，或者否定运动的可能性，或者否认变化中的事物是同一事物。
直到17世纪，数学中出现了变量与函数的概念，人们才掌握了精确地描述和刻画运动与变化的工具。
一部电影由许多画面组成。
这些画面按一定顺序排列在长长的胶片上。
对画面进行编号，就得到了从一部分自然数到画面的对应。
电影是由一串离散的画面组成的。
实在的事物却是由连续改变着的状态组成的。
这时，时刻代替了编号，状态代替了画面。
号码是自然数，而时刻是实数。
运动变化的事物，就可以用时刻到状态的对应来刻画。
时刻可以用实数表示，事物在一个时刻的状态也可以用一组或一个实数来表示，于是，时刻到状态的对应就成了实数到实数的对应，也就是函数。