材料力学第八章叠加法求变形3,4,5
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
用叠加法求弯曲变形
yC
3 i 1
yCi
5ql4 384EI
ql 4 48EI
ql4 16EI
11ql4 ( ) 384EI
B
3
Bi
i 1
ql3 24EI
ql3 16EI
ql3 3EI
11ql3 ( ) 48EI
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、
yC
EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C
材料力学
材料力学
用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：
EI
d2y dx2
EIy''
M(x)
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩
为 M i ( x) ，转角为 i ，挠度为 yi ，则有：
EIy''i Mi ( x)
材料力学
7-4
解 1）首先，将梁上的载荷变成有表可查 的情形
为了利用梁全长承受均布载荷 的已知结果，先将均布载荷延长至梁 的全长，为了不改变原来载荷作用的 效果，在AB 段还需再加上集度相同、 方向相反的均布载荷。
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用
yC
的情形，计算各自C截面的挠度和转角。
等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数 和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
材料力学
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
例3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI 均为已知。求C 截面的挠度yC ；B截面的 转角B
材料力学第八章-弯曲变形
L
A
L
解：建立静定基 确定超静定次数 用反力代替多余约束 得新结构 —— 静定基
或
q0
A
B L RB
32
q0 A L B RB
几何方程——变形协调方程
f B f Bq f BRB 0
物理方程
=
A B RB q0 A B
qL RB L f Bq ; f BRB 8EI 3EI
A A 铰连接
P
C D
C
D
B
A点：f A 0, A 0
B点： f B左 f B右
C点： f C左 f C右 C左 C右
D点：f D 0
21
边界条件、连续条件应用举例
P
弯矩图分二段，
共积分常数 需4个边界条件 和连续条件
A B
C
(+)
A点： A 0 B点： f B左 f B右 , C点：f C 0
解：载荷分解如图
=
P A B
查梁的简单载荷变形表，
得到变形
Pa PA 4 EI
q B
2
Pa f PC 6 EI
3
+
A
qa qA 3EI
3
5qL f qC 24 EI24
4
P
A
C a a
q B
Pa PA 4 EI
qa 3 qA 3EI
2
Pa 3 f PC 6 EI
Differential Equation of beam deformation 1 M ( x) 已知曲率为 EI z x
M>0
材料力学- 8组合变形
D
A P
C
d
B
Q
l/2
D
l/2
解：
B
A P
mA
C
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
B
（1）受力分析与计算简 图：将载荷Q向轮心平移 （2）内力分析，画出弯 矩图和扭矩图；找出危险 面和危险点：危险面在中 点C处 （3）代公式：求最大安 全载荷Q
d
T
QD/2
r3
设计中常采用的简便方法：
因为偏心距较大，弯曲应力 是主要的，故先考虑按弯曲强 度条件 设计截面尺寸
M Wz 6000 6 35 10 d 3 32
解得立柱的近似直径 取d=12.5cm,再代 入偏心拉伸的强 度条件校核
d 0.12 m
15000 6000 3.14 0.1252 3.14 0.1253 4 32 32.4 106 32.4MPa 35MPa
M 2 T2 [ ] Wz
l/2
D
l/2
Ql Q M 0.8 0.2Q 4 4
B
A P
mA
C
d
T
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
QD Q 0.36 0.18Q 2 2
r3
B
M 2 T2 [ ] Wz
Wz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
32
T
QD/2
（1）计算内力
将立柱假想地截开，取上段为 研究对象，由平衡条件，求出 立柱的轴力和弯矩分别为
F
N
FN P 15000 N M Pe 15000 0.4 6000N m
第八章叠加法求变形(3,4,5)
用叠加法计算梁的变形及 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形——简捷方法 叠加法应用的条件 在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。 即挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系 计算梁变形时须记住梁在简单荷载作用下 的变形——转角、挠度计算公式（见附录Ⅳ）。
3 3
pl 7 pl 3 pl wc wc1 wc 2 24 EI 48EI 16 EI
B
c
c
p
这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。
例题2 用叠加法求AB梁上E处的挠度 E
p
p
p
wE 2
wE 1
B
wE = wE 1+ wE 2 = wE 1+ wB/ 2
wB=?
P
机械：1/5000~1/10000,
土木：1/250~1/1000 机械：0.005~0.001rad
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构 件正常工作时的要求。 [例8-8]图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3 ，[ w/l ]= 1／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁 的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
例题 2
按叠加原理得
wC wC 1 wC 2
5ql 4 5ql 4 0 768EI 768EI
ql 3 ql 3 3ql 3 A A1 A2 48EI 384EI 128EI ql 3 ql 3 7ql 3 B B1 B 2 48EI 384EI 384EI
c
c
A
P M =Pl/2 B C B
武汉理工大学材料力学课件8 组合变形及连接部分的计算--JK
若横截面周边具有棱角，则无需确定中性轴的位置，直 接根据梁的变形情况，确定最大拉应力和最大压应力点 的位置。 D D
1 1
z
z D2 y 中性轴
D2
y
中性轴
强度条件：
（）若 [ t ] [ c ] [ ], 则 1 （2）若 [ t ] [ c ], 则
t ,max [ t ] ,
z
c ,max
FN M max [ c ] A Wz
(1)若F 的作用点在杆的一对称轴上， F M 则强度条件为： [ t ] t , max A Wz 其中 M Fe
c ,max
F M [ c ] A Wz
23
(2) 若F 的作用点不在杆的任一对称轴上
FN My A Iz
z
c ,max
(2)若 t ] [ c ] [ ] , [
则
FN M max [ c ] A Wz
max Max { t ,max , c ,max } [ ]
20
[例8-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试选 T YA 择工字梁型号。 Ty XA D
另外， 和 的正负号可由My和 Mz引起的变形是拉 8 还是压直接判断。
sin cos 则，F引起的应力为： M ( I z I y) y z
二、中性轴的位置 令（y0，z0）是中性轴上任一点，则有： 显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线， 设其与z轴的夹角为α，则有：
A Tx
C
B F
A
30° 2m
C
1m
材料力学笔记(第八章)
材料力学（土）笔记第八章 组合变形及连接部分的计算1．概 述工程实际中，构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形若几种变形所对应的应力（变形）属于同一数量级，则构件的变形成为组合变形对于组合变形下的构件，在线弹性、小变形条件下，可按构件的原始形状和尺寸进行计算 可先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的外力系分别计算构件在每一种基本变形下的内力、应力或变形利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算 若构件的组合变形超过了线弹性范围，或虽在线弹性范围内但变形较大则不能按其初始形状或尺寸进行计算，不能用叠加原理工程实际中，经常需要将构件相互连接铆钉、螺栓、键等起连接作用的部件，统称为连接件连接件（或构件连接处）的变形往往比较复杂，而其本身尺寸都比较小在工程设计中，通常按照连接的破坏可能性采用既能反映受力的基本特征，又能简化计算的假设，计算其名义应力然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，来进行强度计算这种简化计算的方法，称为工程实用计算法2．两相互垂直平面内的弯曲对于横截面具有对称轴的梁当横向外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲 这是，梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线碰到双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时承受横向外力的作用情况这时梁分别在水平纵对称面（Oxz 平面）和铅垂纵对称面（Oxy 平面）内发生对称弯曲 在梁的任意横截面m-m 上，由1F 和2F 引起的弯矩值依次为1y M F x = 和 2()z M F x a =-梁的任一横截面m-m 上任一点(,)C y z 处与弯矩y M 和z M 相应的正应力分别为'yyM z I σ= 和 ''z z M y I σ=- 由叠加原理，在1F 和2F 同时作用下，截面m-m 上C 点处的正应力为 '''y z y z M M z y I I σσσ=+=-式中y I 和z I 分别为横截面对于两对称轴y 和z 的惯性矩y M 和z M 分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩且其力矩矢量分别与y 轴和z 轴的正向相一致在具体计算中，也可先不考虑弯矩和坐标的正负号，以其绝对值代入然后根据梁在荷载分别作用下的变形情况，判断由其引起该点处正应力的正负号为确定横截面上最大正应力点的位置，需求截面上中性轴的位置由于中性轴上各点处的正应力均为零，令0y 、0z 代表中性轴上任一点的坐标则由上式可得中性轴方程000yz yzM M z y I I -=由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线其与y 轴的夹角为θ，且tan tan y y z I I z M y M I I θϕ==⨯= 对于圆形、正方形等y z ，有由于梁各横截面上的合成弯矩M 所在平面的方位一般不相同所以，虽然每一截面的挠度都发生在该截面的合成弯矩所在平面内梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直平面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩计算 确定中性轴位置后，作平行于中性轴的两条直线，分别与横截面周边相切于两点该两点即分别为横截面上拉应力和压应力为最大的点对于工程中常用的矩形、工字型等截面梁其横截面都有都有两个互相垂直的对称轴，且截面的周边具有棱角故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处于是，可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，无需定出中性轴 在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的最大正应力之后由于危险点处于单轴应力状态，可按正应力强度条件计算横截面上的切应力，对于一般实体截面梁，其数值较小，可不必考虑3．拉伸（压缩）与弯曲3.1 横向力与轴向力共同作用等直杆受横向力和轴向力共同作用时，杆将发生弯曲与拉伸（压缩）组合变形对于弯曲刚度EI 较大的杆，由于横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小因此，由轴向力在相应挠度上引起的弯矩可略去不计可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力按叠加原理求其代数和，即得在组合变形下，杆横截面上的正应力max ,max N t t b F M A Wσσσ=+=+ 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件对于弯曲刚度EI 较小的杆件，在压缩和弯曲组合变形下轴向压力引起的附加弯矩较大，且其转向与横向力引起的弯矩相同因此不能按杆的原始形状来计算，叠加原理也不再适用3.2 偏心拉伸（压缩）作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起偏心拉伸或偏心压缩 横截面具有两对称轴的等直杆承受矩截面形心为e （称为偏心距）的偏心拉力F 为例 先将作用在杆端截面上A 点处的拉力F 向截面形心1O 点简化得到轴向拉力F 和力偶矩Fe ，将力偶矩分解为ey M 和ez Msin ey F M Fe Fz α==cos ez F M Fe Fy α==式中，坐标轴y 、z 为截面的两个对称轴F y 、F z 为偏心拉力F 作用点（A 点）的坐标于是的得到一个包含轴向拉力和两个在纵对称面内的力偶的静力等效力系此力系将分别使杆发生轴向拉伸和在两相互垂直的纵对称面内的纯弯曲当杆的弯曲刚度较大时，同样可按叠加原理求解在上述力系作用下任一横截面n-n 上的任一点(,)C y z 处相应于轴力N F F =和两个弯矩的正应力，由叠加原理，的C 点处的正应力F F y zFz z Fy y F A I I σ⨯⨯=++ 利用惯性矩与惯性半径间的关系 2y yI A i =⨯，2z z I A i =⨯ 式子可改写为22(1)FF y zz z y y F A i i σ=++ 上式是一个平面方程，表明正应力在横截面上按线性规律变化应力平面与横截面相交的直线（沿该直线0σ=）就是中性轴令0y 、0z 代表中性轴上任一点的坐标，代入即得中性轴方程002210F F y z z y z y i i ++= 在偏心拉伸（压缩）情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线为定出中性轴的位置，可利用其在y 、z 两轴上的截距y a 和z a在上式中，令00z =，相应的0y 即为截距y a ，而令00y =，相应的0z 即为截距z a 由此求得2z y F i a y =-，2y z Fi a z =- A 在第一象限内，F y 、F z 都为正值，则y a 、z a 均为负值即中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切两切点即为横街面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点将危险点的坐标代入公式即可求得最大拉应力和最大压应力对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处，并可根据杆件的变形来确定 最大拉应力,max t σ和最大压应力,max c σ，其值为,max ,max t F F c yz Fz Fy F A W W σσ⎫⎪=±±⎬⎪⎭ 式子对箱型、工字形等具有棱角的截面都适用当外力的偏心距（F y 、F z ）较小时，中性轴可能不与横截面相交即横截面就可能不出现与轴力异号的应力由于危险点仍处于单轴应力状态，可按正应力的强度条件进行计算3.3 截面核心如前所述，当偏心轴向力F 的偏心距较小时，杆横截面上就可能不出现异号应力 因此当偏心压力F 的偏心距较小时，杆的横截面上可能不出现拉应力外力作用点离形心越近，中性轴距形心就越远当外力作用点位于截面形心附近的一个区域内时，就可以保证中性轴不与横截面相交，这个区域就称为截面核心当外力作用在截面核心的边界上时相对应的中性轴正好与截面的周边相切，利用这一关系就可确定截面核心的边界为确定任意形状截面的截面核心边界，可将与截面周边相切的任一直线视作中性轴 在y 和z 形心主惯性轴上的截距分别为1y a 和1z a可确定与该中性轴对应的外力作用点1按上述方法求得与其对应的截面核心边界上的点2、3、…的坐标连接这些点所得到的一条封闭曲线，即为所求截面核心的边界该边界曲线所包围的带阴影线的区域，即为截面核心圆截面对于圆心O 时极对称的，因此，截面核心的边界对于圆心也是极对称的为一圆心为O 的圆作一条与圆截面周边相切于A 点的直线，将其视为中性轴取OA 为y 轴，于是，该中性轴在y 和z 形心主惯性轴上的截距为1/2y a d =， 1z a =∞圆截面的222/16y z i i d ==，将其代入公式即得与其对应的截面核心边界上点1的坐标2211/16/28z y y i d d a d ρ=-=-=-，2110y z z i a ρ=-= 从而可知，截面核心边界是一个以O 为圆心，/8d 为半径的圆对于边长为b h ⨯的矩形截面，两对称轴y 和z 为截面的形心主惯性轴将与AB 向切的直线①视作中性轴，其在y 和z 轴上的截距分别为，矩形截面2212yb i =，2212z h i = 将上式代入，即得中性轴①对应的截面核心边界点上点1的坐标为2211/12/26z y y i h h a h ρ=-=-=-, 2110y z z i a ρ=-= 同理，分别将与矩形边界相切的直线②、③、④视作中性轴可得对应的截面核心边界上点2、3、4的坐标从而得到了截面核心边界上的4个点当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其相邻边时 将得到一系列通过边界点B 但斜率不同的中性轴而B 点的坐标(,)B B y z 是一系列中性轴共有的 将其代入中性轴方程，经改写后得2222110F F B B B B F F y z y z z y z y z y z y i i i i ++=++= 上式中，B y 、B z 为常数 因此该式就可看作时表示外力作用点坐标(,)F F y z 间关系的直线方程即当中性轴绕B 点旋转时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条连接点1、2的直线将1、2、3、4四点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心边界截面核心为位于截面中央的菱形对于具有棱角的截面，均可按照上述方法确定其截面核心对于周边有凹进部分的截面（例如槽型或T 字型截面等）在确定截面核心边界时，应该注意不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性轴，因为这种直线显然约横截面相交4．扭转与弯曲一般的传动轴通常发生扭转与弯曲组合变形讨论杆件发生扭转与弯曲组合变形时的强度计算直径为d 的等直圆杆AB ，A 端固定，B 端具有与AB 成直角的刚臂，并受铅垂力F 作用，将F 简化为一作用于杆端截面形心的横向力F 和一作用于杆端的力偶矩e M Fa = 杆AB 将发生弯曲与扭转组合变形分别作杆的弯矩图和扭矩图，可见杆的危险截面为固定端截面，内力分量分别为M Fl =， e T M Fa ==由弯曲和扭转的应力变化规律可知危险截面上的最大弯曲正应力σ发生在铅垂直径的上、下两端点对于许用拉应力，压应力相等的塑性材料来说，该两点的危险程度相同 研究任一点，围绕该点分别用横截面、径向纵截面和切向纵截面截取单元体 该点应力状态如图所示，可见该点处于平面应力状态，其三个主应力为132σσσ⎫=⎬⎭ 20σ= 对于塑性材料制成的杆件，选用第三或第四强度理论来建立强度条件用第三、第四强度理论，将上述各应力代入向相应的应力表达式求得相当应力后，即可根据材料的许用应力[]σ来建立强度条件，对杆进行强度计算 其中弯曲正应力/M W σ=，扭转切应力/p T W τ=，对于圆截面杆2p W W =截面周边各点处弯曲正应力的数值和正负号都将随着轴的转动而交替变化这种应力称为交变应力，交变应力下工作的构件另有相应的计算准则5．连接件的实用计算法5.1 剪切的实用计算设两块钢板用螺栓连接后承受拉力F螺栓在两侧面上分别收到大小相等、反向相反、作用线相距很近的两组分布力系的作用 螺栓在这样的作用下，将沿两侧外力之间，并与外力作用线平行的截面m-m 发生相对错动称为剪切面应用截面法，可得剪切面上的内力，即剪力s F在剪切实用计算中，假设剪切面上各点处的切应力相等 于是剪切面上的名义切应力为S sF A τ=式中s A 为剪切面面积，s F 为剪切面上的剪力 通过试验得到剪切破坏时材料的极限切应力u τ，除以安全因数，得许用应力[]τ 剪切强度表示为[]S sF A ττ=≤ 名义切应力并不反映剪切面上切应力的精确理论值只是剪切平面上的平均切应力但对于低碳钢等塑性材料材料制成的连接件，变形较大而临近破坏时剪切面上的切应力将逐渐趋于均匀而且满足剪切强度条件式，不至于发生剪切破坏，从而满足工程需要对于大多数的连接件来说，剪切变形及剪切强度时主要的5.2 挤压的实用计算螺栓连接中，在螺栓与钢板相互接触的侧面上，将发生彼此间的局部承压现象，称为挤压 在接触面上的压力，称为挤压力，并记为bs F挤压力可根据被连接件所受的外力，由静力平衡条件求得当挤压力过大时，可能引起螺栓压扁或钢板在孔缘压皱，从而导致连接松动失效在挤压实用计算中，假设名义挤压应力的计算式为bs bs bsF A σ= 式中，bs F 为接触面上的挤压力；bs A 为计算挤压面面积当接触面为圆柱面时，计算挤压面面积bs A 取为实际接触面在直径平面上的投影面积 理论表明，这类圆柱状连接件与钢板孔壁间接触面上的理论挤压应力沿圆柱的变化情况如图 计算所得的名义挤压应力与接触面中点处的最大理论挤压应力值相近当连接件与被连接构件的接触面为平面时，计算挤压面面积即为实际接触面的面积 通过试验，按名义挤压应力公式得到的材料的极限挤压应力，除以安全因数确定许用挤压应力[]bs σ，则挤压强度条件可表达为[]bs bs bs bsF A σσ=≤ 注意，挤压应力是在连接件和被连接件之间相互作用的当两者材料不同时，应校核其中许用挤压应力较低的材料的挤压强度6．铆钉连接的计算铆钉连接在建筑结构中被广泛采用铆接的方式主要有搭接、单盖板对接和双盖板对接三种搭接和单盖板对接中的铆钉具有一个剪切面（称为单剪）双盖板对接中的铆钉具有两个剪切面（称为双剪）6.1 铆钉组承受横向荷载在搭接和单盖板对接中，由铆钉的受力可见铆钉（或钢板）显然将发生弯曲在铆钉组连接中，在弹性变形阶段两端铆钉的受力与中间铆钉的受力并不完全相同 为简化计算，并考虑到连接在破坏前将发生塑性变形，在铆钉计算中假设①不论铆接的方式如如何，均不考虑弯曲的影响②若外力的作用线通过铆钉组横截面的形心，且同一组内各铆钉的材料与直径均相同，则每个铆钉的受力相等 按照上述假设，即可得每个铆钉的受力1F 为1F F n= 式中，n 为铆钉组中的铆钉数求得每个铆钉的受力1F 后，即可分别校核其剪切强度和挤压强度被连接件由于铆钉孔的削弱，其拉伸强度应以最弱截面（轴力较大，截面积较小）为依据 不考虑集中应力的影响对于销钉或螺栓连接，其分析计算方法与铆钉连接相同6.2 铆钉组承受扭转荷载承受扭转荷载的铆钉组，由于被连接件（钢板）的转动趋势每一铆钉的受力将不再相同令铆钉组横截面形心为O 点 假设钢板的变形不计，可视为刚体于是，每一铆钉的平均切应变与该铆钉截面中心至O 点的距离成正比，其方向垂直于该点与O 点的连线由合力矩定理，每一铆钉上的力对O 点力矩的代数和等于钢板所受的扭转力偶矩e M ，即 e i i M Fe Fa ==∑式中，i F 为铆钉i 所受的力；i a 为该铆钉截面中心至铆钉组截面形心的距离对于承受偏心横向荷载的铆钉组可将偏心荷载F 向铆钉组截面形心O 简化得到一个通过O 点的荷载F 和一个绕O 点旋转的扭转力偶矩e M Fe =若同一铆钉组中每一铆钉的材料和直径均相同则可分别计算由力F 引起的力'i F 和由转矩e M 引起的力''i F铆钉i 的受力为'i F 和''i F 的矢量和求得铆钉i 的受力i F 后，可分别校核受力最大的铆钉的剪切强度和挤压强度。
《材料力学》第八章组合变形
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
材料力学 第八章
边界条件： x 0
xL
y1 0
y2 0
L
Fb 2 x C1 2L
x连Βιβλιοθήκη 条件：xay1 y2
Fb 3 x C1 x D1 6L
Fb 2 F x ( x a ) 2 C2 2L 2
1 2
Fb 2 C1 ( L b 2 ) C2 , 6L
yC , B
1、载荷分解
q
ql
ql2
2查表：单独载荷作用下
q
5ql yC1 384EI
yC 2
B2
4
ql3 B1 , 24EI
yC1
ql
B1
(ql)l 3 48EI
(ql) l 2 ql3 , 16EI 16EI
yC2
ql2
B2
yC 3
3ql 4 48EI
图所示。试求 ( x), y( x)
和
A 。
Fa L
FAy
FBy
1、求支座反力
FAy
Fb , L
FBy
2、分段列出梁的弯矩方程 AC段 (0 x a)
Fb M 1 ( x) FA x x, L
BC段 (a x L)
Fb M 2 ( x) x F ( x a), L
1 y
y '' ( x )
'2
( x)
3
2
M ( x) EI z
y ( x) ( x) 0
'
1 y ' 2 ( x) 1
故得挠曲线近似微分方程：
M ( x) y' ' EI
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
用叠加法求梁的变形
解：
（1）首先将梁上的载荷分成两种，如下图，并由附录中查得 它们单独作用下，跨中处的挠度和支座处的转角为：
Aq
qL3 24EIZ
AM
MeL 3EI Z
Bq
qL3 24EIZ
BM
MeL
6EI Z
yCq
5qL4 384EIZ
yCM
MeL2 16EIZ
(2).进行代数相加，求得：
5qL4 MeL2
这种用每一个载荷单独作用下梁产生的变形的代数和来代 替梁同时受几个载荷共同作用下产生的总变形的方法，我们就 称其为叠加法。
二.举例：
例7-4.图示一简支梁受均布载荷及集中力偶作用，试用叠加法 求梁跨中点处的挠度和支座处的转角。
Me
A
C
B
RA x
L/2
L
RB
Me
A
C
BA
B
RA x
L
RB RA x
L
RB
q
(1).由附表可查得：
A
B
L q
y Bq
qL4 8EIZ
(a)
A
B RB
y BRB
RB L3 3EIZ
(b)
q
(2).变形相容条件：
A
yBq
y B 0 y B y Bq y BRB
得：
yBq yBRB 0
(3).将(a)(b)代入(c)得：
qL4 RB L3 0 8EIZ 3EIZ
EI z1
EI z2
F
C1
FL32 3EI z 2
A
L1
B
L2
C
BF
FL13 3EI z1
BF
FL12 2 EI z1
材料力学 第八章叠加法求变形(3,4,5)
解：
wC
5q(2a)4
384EI
Pa (2a)2 16 EI
P 5 qa 6
0
[例8-5] 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。
解: qa2
B
2 2aqa(2a)2
3EI
16EI
qa3 顺时针
12EI
CB6 qa E 3 I4 qa E 3 I 顺 时 针
wCBa8 qE4a I2 5qE 44a I
（3）求仅在代替约束的约束反力作用下于解除 约束处的位移；
（4）比较两次计算的变形量，其值应该满足 变形相容条件，建立方程求解。
§6-4 简单超静定梁
Ⅰ.超静定梁的解法
解超静定梁的基本思 路与解拉压超静定问题 相同。求解图a所示一次 超静定梁时可以铰支座
B为“多余”约束，以 约束力FB为“多余”未 知力。解除“多余”约
解：将支座B看成多 余约束，变形协调条件为：
wB wBq
0 ql 4
8EI
wBR
RBl3 3EI
wB wBq wBR
wB
ql4 8EI
RBl3 3EI
0
RB
3 ql 8
三.用变形比较法解静不定梁的步骤
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B端 解除多余约束，代之以约束反力；
（2）求静定基仅在原有外力作用下于解除约 束处产生的位移；
如图a，跨中点C处的挠度为梁的最大挠度wmax。 由叠加原理可得
wmax wC
4 i1
Fibi 48EI
(3l
2
4bi
2
)
1 [(120103N)(0.4m)(32.42m2 40.42m2) 48EI
(30103N)(0.8m)(32.4m2 40.82m2)
材料力学 (8)
C1
ql
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
'
qx 24 EI q 24 EI (l 2lx x )
3 2 3
(l 6lx 4 x )
3 2 3
RA
A
x
q
A
l 2
RB
B
在 x0 和 xl 处 转角的绝对值相等， 且都是最大值
x
CθB
y
3
l
θ
max
qc
5qL
4
C
z
l 2
384 EI z
转角（） ：横截面对其原来位置的角位移 , 称为该截面的
转角。
转角
A C B x
ω 挠度
C' y B'
挠曲线 ：梁变形后的轴线称为挠曲线 。
挠曲线方程为
f ( x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，ω为该点的挠度。
挠度与转角的关系： tg ' f '( x)
C
y
连续条件
x
L 2
B1 B 2
B1 B 2
例题 5.6
用积分法求图示梁挠曲线方程时,试问下列梁的挠曲线
近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确 定积分常数的边界条件。 挠曲线方程应分两段AB,BC.
F
EI
z1
共有四个积分常数
x
EI
z2
边界条件
A
L 2
B
RA RB ql 2
A
x
q
B
l
x
y 例题 5 .2图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
材料力学第8章 组合变形
b.未通过轴线或形心主惯性轴，向其分解
注意：荷载分解、简化的前提是不改变研究段的内力。
（2）内力分析方法
用截面法计算任意截面的内力，通过内力确定变形的组成
z
Fsz My
Ty
Fsy
M z FN
FN
T
x M z , Fsy M y , Fsz
轴向拉、压 扭转 x,y面内的平面弯曲 x,z面内的平面弯曲
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
F sin
F cos F
（2）求B点的应力
MB FN
WA
12.32103 25103
0.1 0.22
0.1 0.2
6
B
17.23 MPa
（3）求B点30º斜截面上的正应力
300 cos2 30 17.23 cos2 30 12.99 MPa
（4）求B点的主应力
1 0 2 0 3 17.23 MPa
z
面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称 轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上
Mz
的最大正应力发生在截面的棱角处。于是
，可根据梁的变形情况，直接确定截面上
My
最大拉、压应力点的位置，而无需定出其
y
中性轴。
因危险点为单向应力状态（忽略弯曲切应力的影响）， 故，强度条件为：
max
M y max Wy
F sin
12.32kN m
F cos F
例： 如图示一矩形截面折杆，已知F＝50kN，尺寸如图所示， α＝30°。（1）求B点横截面上的应力；（2）求B点α＝30°截
面上的正应力；（3）求B点的主应力σ1、 σ2、 σ3。
FN
B
MB 100mm
材料力学-第八章组合变形
M z y M y sin
Iz
Iz
x
M y z M z cos
Iy
Iy
x
y
z
y
z
M
y sin
z
cos
对于圆形截面
因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横 截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示， 然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计 算公式为：
A
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN (a)
500
解：
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
（1）分析载荷 如图b所示
5 kN
12 kN (b)
T 1.5 kN m
（2）作内力图 x
如图c、d、e、f 所示
(c)
MC MD
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
FN A
F (2a)2
1 4
F a2
（2）开槽后的正应力
My
FN F
My
Fa 2
FN
2
max
FN A
My Wy
F 2a2
Fa / 2 2a2 a2 /
6
2
F a2
2a
2a
z
a
所以：
2
1
8
y
§8.3 斜弯曲
F1
材料力学刘鸿文第六版最新课件第八章 组合变形
F c 160 106 171300N
934 934
许 可 压 力 为 F 45000N 45kN
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆 的强度。
4、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[ t ]
c ,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
FN
My
Байду номын сангаас
|z| 0
A
Iy
| z | FN I y A M y
+_
（-z y)
y -_
z
_
_
+
|z|
第三组
圆截面、弯扭组合变形
§8-4 扭转与弯曲的组合
扭转+双向弯曲
求合弯矩
M
2
M
2 y
M
2 z
§8-4 扭转与弯曲的组合
例题1 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300Nm。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合 力F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ 〕=100MPa。试按 第三强度理论设计轴的直径d。
§8-1 组合变形和叠加原理
基本变形 构件只发生一种变形；
轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
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a
2qa
8EI
4
7 qa4 12 EI
逐段刚化法：
变形后：AB AB` BC B`C`
变形后AB部分为曲线 BC部分为直线。
C点的位移为：wc
wc wB wc
wB
B
L 2
例：求外伸梁C点的位移。
P
A
B
C
L
a
将梁各部分分别 引起的位移叠加
解： 1）BC部分引起的位移fc1、 θc1
P
A
B
而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，
因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为
受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简
支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得
A2
B2
q / 2l / 23
24EI
ql 3 384EI
例题 5-4
按叠加原理得
wC
wC 1
wC 2
5ql 4 768EI
qa 3 4 EI
顺时针
wC
B
a qa4 8EI
5qa4 24 EI
[例8-6]求图示梁B、D 两处的挠度 wB、 wD 。
解：
q(2a)4 qa(2a)3 14qa4
wB 8EI
3EI
3EI
wD
wB 2
2qa(2a)3 48EI
8qa 4 3EI
[例8-7]求图示梁C点的挠度 wC。
[例8-3]如图用叠加法求 wC、A、B
解：1.求各载荷产生的位移 2.将同点的位移叠加
=
wC
5qL4 384EI
A
qL3 24EI
B
qL3 24EI
+
PL3 48EI
PL2
16EI PL2
16EI
+
ML2 16EI
ML 3EI
ML 6EI
例题 5-4
试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的
0 5ql4 768EI
A
A1
A2
ql 3 48EI
ql 3 384EI
3ql 3 128EI
B
B1
B2
ql 3 48EI
ql 3 384EI
7ql 3 384EI
例题 5-5
试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面B的转角
B，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。已知
EI为常量。
例题 5-5
解：
三. 梁的刚度条件 刚度条件：wmax [ w];
ll
max [ ]
机械：1/5000~1/10000, 土木：1/250~1/1000 机械：0.005~0.001rad
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构
件正常工作时的要求。
[例8-8]图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3 ，[ w/l ]= 1／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁
C
刚化
P
EI=
C
θc1
fc1
pa3 3EI
fc1
c1
pa2 2EI
2）AB部分引起的位移fc2、 θc2
P
A
θ B B2
C
fc2 刚化
EI=
B2
PaL 3EI
fc2 B2 a
PaL a 3EI
c c1 B2
θB2
P Pa
c
Pa 2 2EI
PaL 3EI
fc fc1 fc2
fc
pa3 3EI
挠度 wC 和两端截面的转角A 及 B。已知EI为
常量。
例题 5-4
解: 为了能利用简单荷载作用 下梁的挠度和转角公式， 将图a所示荷载视为与跨 中截面C正对称和反对称 荷载的叠加(图b)。
例题 5-4
C
A1 wC
在集度为q/2的正对称均 布荷载作用下，查有关梁的 B1 挠度和转角的公式，得
wC1
16EI
1 qa4 24 EI
()
例题 5-5
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB
段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，
其转角就是上面求得的B，由此引起的A端挠度 w1=|B|·a，应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2
上去,才是原外伸梁的A端挠度wA wA w1 w2
1 3
qa3 EI
的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
P
解：由刚度条件
wmax
Pl 3 48 EI
[w]
l 500
得
P
48EI 500l 2
7.11 kN
所以 [ P] 7.11 kN
max
M max Wz
Pl 4Wz
60MPa [ ]
所以满足强度条件。
例题 5-7
图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试按强
PaL 3EI
a
[例8-4] 欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。
解：
wC
5q(2a)4
384 EI
Pa(2a)2 16 EI
0
P 5 qa 6
[例8-5] 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。
解: qa 2B 2 2Fra bibliotek qa (2a)2
3EI
16EI
qa3 顺时针
12 EI
C
B
qa 3 6EI
解: 利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图
a所示外伸梁看作由悬臂梁AB(图b)和简支梁BC(图c)
所组成。
FS B
2qa
和弯矩
M B
1 2qa2 qa2应当作为外
2
力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的B截面处，
它们的指向和转向如图b及图c所示。
例题 5-5
图c中所示简支梁BC的受力情况以及约束情况 与原外伸梁BC段完全相同，注意到简支梁B支座处 的外力2qa将直接传递给支座B，而不会引起弯曲。
简支梁BC，由q产生的Bq 、wDq(图d)，由MB产生的 BM 、wDM (图e)。可查有关式，将它们分别叠加后 可得 B、wD，它们也是外伸梁的 B和wD。
例题 5-5
B
Bq
BM
q2a 3
24EI
qa 2 2a
3EI
1 qa3 3 EI
wD
wDq
wDM
5 q2a4
384 EI
qa 2 2a 2
努力学习，报效祖国！
§8-3 用叠加法计算梁的变形及 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所 引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算 几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形， 则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然 后叠加。
度条件和刚度条件选择槽钢型号。已知[]=170
MPa，[]=100
MPa，E=210
GPa，
w l
1 400
。
例题 5-7
5q / 2l4
384EI
5ql4 768EI
A1
q / 2l 3
24EI
ql 3 48EI
B1
q / 2l 3
24EI
ql 3 48EI
例题 5-4
在集度为q/2的反对称均布
B2 荷载作用下，由于挠曲线也是
C
A2
与跨中截面反对称的，故有
wC 2 0
注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，