人教版八年级数学上第14章整式的乘法的专题

人教版八年级数学上第14章整式乘法的专题

一、整式乘法的逆运算

1.整式乘（除）法的基本运算：

⑴同底数幂的乘法：⑵幂的乘方：

⑶积的乘方：（4）同底数幂的除法：

（5）平方差公式：

（6）完全平方公式：；

以上公式我们常常从左到右计算整式的乘法或除法，但有时也要从右到左应用，

二、乘法公式的应用

1．平方差公式

（1）表达式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2．

（2）语言叙述：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

（3）注意事项：

①运用公式要抓住公式的结构特征，左边是两个数的和与这两个数的差相乘，右边正好是这两个数的平方差，对于形如两数和与这两数差相乘，就可运用上述公式计算．

②公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可运用该公式．

③在运用公式时，要求分清哪个数相当于公式中的a ，哪个数相当于公式中的b ，按公式的结构相乘．

例如：①（m ＋4）（m －4）

②（2a 2＋3b ）（2a 2－3b ）

③⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛x 32-x y 43x 32-x y 4

3-33

2．完全平方公式

（1）字母表达式：

（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2，（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2．

可合写为（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2．

（2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．右面可说为：“首平方，尾平方，首尾之积的2倍加减在中央”．

（3）注意事项：

①对于形如两数和（或差）的平方运算，可运用完全平方公式计算．利用公式计算时，首先确定将哪个数或式看作a ，将哪个看作b ，再按公式结构展开． ②这两个公式，是据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的．

③公式中的a 、b 可表示具体的一个数或其他的一个代数式．

④可推广：如（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ．

（a ＋b ＋c ＋d ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋2ab ＋2ac ＋2ad ＋2bc ＋2bd ＋2cd ．……

3．平方差公式的灵活运用

有些式子在计算时，不能直接利用平方差公式，需要稍加变形或变式后，才能使用．常用的方法有如下几种：

（1）调换位置．

如：（1＋2a ）（－2a ＋1）＝（1＋2a ）（1－2a ）＝1－4a 2．

（2）提取－1或其他公因式．

如：（－a －b ）（a －b ）＝

又如：（6x ＋2y ）（3x －4

y ） （3）分组．

如：（a －b ＋c －d ）（a ＋b －c －d ）

＝

（4）运用积的乘方变形．

如：（a －b ）2 （a ＋b ）2

＝

（5）将乘式同时乘以并且同时除以一个适当的因式．

如：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）

＝

…

又如：（1－m ）（1＋m 2）（1＋m 4）（m ≠－1）

＝

（6）把一个因式适当变形．

如：3（22＋1）（24＋1）（28＋1）

＝

（7）将因式多项式拆项或添项．

如：（a －b ）（a ＋2b ）

＝

4．完全平方公式的灵活运用

a 2＋

b 2＝（a ＋b ）2－2ab ，

a 2＋

b 2＝（a －b ）2＋2ab ，

（a ＋b ）2＋（a －b ）2＝2（a 2＋b 2），

（a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab ．

（1）恒等式a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab 和a 2＋b 2＝（a －b ）2＋2ab 的应用． 在此恒等式中，有三个量a 2＋b 2、（a ＋b ）2或（a －b ）2、ab ，若已知任意两个，则可求第三个，求得（a ＋b ）2或（a －b ）2，也就求得a ＋b 或a －b ．

例如：①若a2＋b2＝3，ab＝1，可求（a＋b）2．

②若a－b＝3，ab＝4，则可求a2＋b2．

（2）恒等式（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）的应用．

在恒等式（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）中，有三个量a＋b、a－b、a2＋b2，若已知两个量，就可求第三个量．

例如：已知a－b＝－1，a2＋b2＝5．求a＋b．

解：

（3）恒等式（a＋b）2－（a－b）2＝4ab的应用．

在此等式中，有三个量a＋b，a－b，ab．若知任两个量，可求第三个量．例如：已知a－b＝1，ab＝2，求a＋b．

解：

（4）利用完全平方公式，求平方数．

如：152＝ 232＝

672＝．

79.22＝

（5）完全平方数是非负数．

任何一个完全平方数M都能化为n2的形式，即M＝n2，由偶次幂的性质得n2≥0．当n＝0时，n2的最小值是0，并且n2具有非负数的性质，即若n个非负数的和为0，则这几个非负数就同时为0．

因此，（a±b）2≥0．当a±b＝0时，（a±b）2的最小值为0．

例如：①已知（x＋y－1）2＋（x－2）2＝0，则x＝_______，y＝___________．解：

例如：②已知，a、b为自然数，且a＋b＝2，求ab的最大值及a、b的值．解：

5．完全平方公式的逆运算，即a2±2ab＋b2＝（a±b）2

把一个形如a2±2ab＋b2的二次三项式化为（a±b）2的形式，然后运用（a ±b）2的性质求解问题．

例如：已知x2＋4x＋y2－2y＋5＝0，求x、y的值．

解：