高中数学-定积分在几何中的应用

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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用课件新人教A版选修2-2

排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，a f(x)dx是两
面积之差，排除B；无论什么情况C都对，故应选C.
b
【误区警示】曲线f(x)与直线x=a，x=b，y=0围成图形的面积不能均用 f(x)dx表示，要根据图形位置分不同情况选用适当
a b
的积分值表示.
【补偿训练】过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的图形面积为 9 a3，则直线l的方程为(
【方法技巧】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求解，得到函数图象的交点的横坐标a，b(a<b)，确定积分区间[a， b]. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积
函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面积，
即S= [f1(x)-f2(x)]dx(其中f1(x)>f2(x)).
(2-x)dx.
1 2
2
(3)正确，曲线y=3-x2与直线y=-1的交点为(-2，-1)，
(2，-1)，所以围成的图形面积为 2［(3-x2)-(-1)］dx=

2
2
(4-x2)dx. (2)√ (3)√
答案：(1)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如图中阴影部分的面积是____________.
b
1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线y=sin x，x∈[ ， ]，与x轴围成的图形的面积为
3 2 2

3 2 2
sin xdx.(
)
1 0
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形面积为 x3dx+

高考数学考点12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用

温馨提示：考点12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用无考查关闭Word 文档返回原板块高中数学公式及常用结论大全1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+(3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->-⇔11()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.真值表13.14.四种命题的相互关系互否15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. (2)函数()y f x =图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+0()(0)1,lim1x g x f x→==.29.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm na a-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）n a =.（2）当n为奇数时，a =；当n为偶数时，,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx =(1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则（1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a a m nm n +<.38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-.41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44．常见三角不等式(1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ). 48.二倍角公式 sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式 3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-. 50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.51.正弦定理212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩2sin sin sin a b cR A B C ===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理(1)111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.(2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解 sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.61.a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ). 65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λ a 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式 ''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式 22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大. 73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-. 75.无理不等式（1）()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （2）2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （3）2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直直线系方程0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内. 89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=.当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b+=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. (3)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b-=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：(1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-； (3)准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. (3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <. 当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212|||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )．(3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA y MB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++. 121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e 122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)；(4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉=.推论 222222*********3123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量） 128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+. 特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+. 特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）. 132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ). 136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d =',d EA AF =.d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).(1)E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系12E nF =；(2)若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=,其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为4a . 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;(2)1m mn n n A A n m-=-;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-;(5)11m m m n n nA A mA -+=+.(6)1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式mnC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.注:规定10=nC . 155.组合恒等式 (1)11m m n n n m C C m --+=;(2)1m m n n n C C n m -=-;(3)11mm nn n C C m--=; (4)∑=nr r n C 0=n 2;(5)1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .(6)n nn r n n n nC C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n nC C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n nn nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. (1)“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.(2)紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.(3)两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.(4)两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.158．分配问题(1)(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . (2)(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--.(3)(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n nn p n p n n n m p m C C C N mm=⋅⋅=-.(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.(5)(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，mn 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.(7)(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m =⋅=-.。

高中数学-定积分在几何中的应用-课件

求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积 S＝________.

高中数学同步教学第4章 §3 定积分的简单应用

0
0
＝π(12x2－15x5)|01＝π(12－15)＝π×130＝130π.
• 4．由曲线y＝x2,直线x＝1,x＝2与x轴所围成的平面图形绕x
31π 5
轴[解旋析转] 一设周所得所旋得转旋体的转体体积的为体V，积为________.
则 V＝2π(x2)2dx＝2πx4dx＝5πx5|12＝315π.
1
1
互动探究学案
命题方向1 ⇨不分割型平面图形面积的求解
• 典例 1 曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形16 的面积为____.
• [思路分析] 从图形上可以看出,所求图形的面积可以转化为一个三角形与一个曲边三角形面积的差,进而可以用定积分求出面积．为了确定出积分的上、下限,我们需要求出直线[解和析抛] 物解线方程的组交yy点＝＝xx的，2，横坐标．
第四章定积分
• 本章知识概述：本章的主要内容是定积分的概念,计算和简单应用．
• 教科书通过曲边梯形面积问题,变速直线运动物体的路程问题,变力做功等问题,充分演示了定积分概念产生的背景以及定积分概念形成过程中的思路．微积分基本定理为我们处理积分的计算问题提供了有力工具,教科书主要介绍了求简单图形的面积和求简单旋转体的体积．
1．平面图形的面积如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有 f(x)≥0，那么定积分b f(x)dx 表
a
示由__直__线__x_＝__a_,x_＝__b_(_a_≠_b_)_,y_＝__0_和__曲__线__y_＝__f_(_x)_______所围成的曲边梯形的面积． 2．简单几何体的体积
得 x1＝0，x2＝1. 故所求图形的面积为
S＝1xdx－1x2dx
0
0

高中数学人教A版选修2-2课件 1-7 定积分的简单应用第13课时《定积分的简单应用》

解析：(1)由v(t)＝8t－2t2≥0，得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t＞4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点的路程为
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t3|40－4t2－23t3|64＝1328.
a
成的曲边梯形的面积．
【练习1】曲线y＝cosx0≤x≤32π与坐标轴所围成的图形面积是
() A．2
B．3
5 C.2
D．4

3

3
解析：S＝ 2 a
cosxdx＋|

2
cosxdx|＝

2

0
cosxdx－

2
cosxdx＝sinx|

2 0
－
(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．
变式探究2 (1)一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)
的速度运动，则该物体在3 s～6 s间的运动路程为( )
A．46 m
3
(3t2－2t＋4)dt＝()－(8
2
－4＋8)＝18.
答案：(1)B (2)D
考点三利用定积分计算变力做功例3 设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，由弹簧伸长到
30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
∴W＝∫00.1250xdx＝25x2|00.12＝0.36(J)．答案：0.36 J

高中数学定积分的概念教案新人教版选修

高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质和计算方法。

2. 能够运用定积分解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

二、教学内容1. 定积分的概念介绍定积分的定义、性质和计算方法，引导学生理解定积分的本质。

2. 定积分的计算讲解定积分的计算法则，包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等，让学生掌握定积分的计算技巧。

3. 定积分在实际问题中的应用通过实际问题，引导学生运用定积分解决面积、体积、弧长等问题，提高学生的数学应用能力。

三、教学重点与难点1. 定积分的概念与性质2. 定积分的计算方法3. 定积分在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解定积分的概念、性质和计算方法。

2. 利用例题，引导学生掌握定积分的计算技巧。

3. 结合实际问题，培养学生运用定积分解决实际问题的能力。

4. 组织讨论，让学生在探讨中深化对定积分概念的理解。

五、教学过程1. 引入：通过复习初中数学中的积分概念，引导学生思考如何将积分概念推广到无限区间。

2. 讲解：讲解定积分的定义、性质和计算方法，让学生理解定积分的本质。

3. 练习：布置定积分的计算练习题，让学生巩固所学知识。

4. 应用：结合实际问题，讲解定积分在面积、体积、弧长等方面的应用，让学生体会定积分的实用价值。

6. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、定积分的性质与计算法则1. 性质：定积分具有线性性质，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx = \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx$。

定积分与积分区间有关，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$。

定积分与积分函数的单调性有关，即若$f(x)$ 在$[a, b]$ 上单调递增，则$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 可以表示为$F(b) F(a)$，其中$F(x)$ 是$f(x)$ 的一个原函数。

高中数学选修2-2优质课件：1.7.1 定积分在几何中的应用

2.曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( B )
A.2 解析
B.3
C.52
S＝π2
0
cos
xdx－32πcos π
xdx＝sin
π x2 0
D.4 3π 2
－sin x π 2
2
＝sin π2－sin 0－ sin 32π＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.
1234
4 3.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为__3__.
1234
S＝4f(x)dx－7f(x)dx
1
4
③
S＝a[g(x)－f(x)]dx＋b[f(x)－g(x)]dx
0
a
④
A.①③ C.①④
B.②③ D.③④
1234
解析 ①应是 S＝b[f(x)－g(x)]dx，②应是 S＝82 2xdx－
a
0
8(2x－8)dx，③和④正确.故选 D.
4
答案 D
1234
跟踪演练2 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积.
y＝x2， y＝x2，
解方法一如图，由
和
y＝x
y＝2x
解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2.
故所求的面积 S＝10(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝x2210 ＋ x2－x3321 ＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.
y＝2x， x＝0， x＝2，
解析解方程组
得
或
y＝x2， y＝0， y＝4.
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0).
∴S＝2(2x－x2)dx＝ 0
x2－13x320

定积分的应用

图1-1图1-2a =x x x x x x x i1定积分的应用微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。

在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。

恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。

凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。

正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。

以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用。

1 定积分的概念的提出问题的提出曲边梯形的面积（如图1）所谓曲边梯形，是指由直线a x =、b x =（b a <），x 轴及连续曲线)(x f y =（0)(≥x f ）所围成的图形。

其中x 轴上区间],[b a 称为底边，曲线)(x f y =称为曲边。

不妨假定0)(≥x f ，下面来求曲边梯形的面积。

由于cx f ≠)(（],[b a x ∈）无法用矩形面积公式来计算，但根据连续性，任两点],[,21b a x x ∈ ，12x x -很小时，)(1x f ，)(2x f 间的图形变化不大，即点1x 、点2x 处高度差别不大。

于是可用如下方法求曲边梯形的面积。

（1）分割用直线1x x =，2x x =，1-=n x x （b x x x a n <<<<<-121 ）将整个曲边梯形任意分割成n 个小曲边梯形，区间上分点为：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210这里取0x a =，n x b =。

区间],[b a 被分割成n 个小区间],[1i i x x -，用i x ∆表示小区间],[1i i x x -的长度，i S ∆表示第i 块曲边梯形的面积，),,2,1(n i =，整个曲边梯形的面积S 等于n 个小曲边梯形的面积之和，即∑=∆=ni i S S 1（2）近似代替: 对每个小曲边梯形，它的高仍是变化的，但区间长度i x ∆很小时，每个小曲边梯形各点处的高度变化不大，所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，就是，在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ，用以],[1i i x x -为底，)(i f ξ为高的小矩形面积i i x f ∆)(ξ，近似代替这个小曲边梯形的面积（图1-1），即i i i x f S ∆≈∆)(ξ.（3）求和整个曲边梯形面积的近似值为 n 个小矩形面积之和，即n S S S S ∆++∆+∆= 21=∆++∆+∆≈n n x f x f x f )()()(2211ξξξ ini ix f ∆∑=)(1ξ上式由于分割不同，i ξ选取不同是不一样的，即近似值与分割及i ξ选取有关（图1－2）。

高中数学选修2-2定积分在几何中的应用课件

的交点为 (0, 0)
取x为积分变量, 则 x [0, 3].
所求的几何图形的面积表示为
A 3 ( x2 3x)dx 0
A 3 ( x2 3x)dx 9.
0
2
= 2
2
3
x2
3
4 0
+
2
2 3
3
x2
8 4
-
1 2
x-4 2
8 4
= 40 3
新知探究
例3
计算由曲线 y = x3 6x 和 y = x2 所围成的图形的面积.
首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求两部分的面积问题.其次，确定被积函数和积分的上、下限.
新知探究
由图可知，我们需要把所求图形的面积分成两部分 S1和S2 .需要求出曲线 y = x3 - 6x 、曲线 y = x2 两个交点.
n
i =1 b
F = lim f λ →0 i=1
ξi Δxi =
f
a
x dx
新知探究
平面图形的面积直角坐标系设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成.
新知探究
在点x处面积增量的近似值为 [f上(x)-f下(x)]dx, 它也就是面积元素. 因此平面图形的面积为
极坐标方程的情形
设由曲线 r = φθ 及射线 θ = α、θ = β 围成一曲边扇形，求其面积.这里 φθ 在 α，β 上连续，且 φθ≥0 .
曲边扇形面积元素 dA = 1 [φ(θ)]2 dθ 2
d
r ( )
d
曲边扇形的面积公式 A = β 1[j(θ)]2 dθ. α2
o x

北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(三)利用定积分求简单几何体的体积课件

五、教后反思：
2013-4-2
2013-4-2
∴所求“冰激凌”的体积为：
12 1 4 224 2 2 (2 x ) dx ( x 6) dx (cm) 3 4 2 3 0
2013-4-2
变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A,A’是双曲线的顶点，C,C’是冷却塔上口直径的两个端点，B,B’ 是下底直径的两个端点，已知 AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m.
x
2013-4-2
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。则 A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB 绕X轴旋转一周形成的。
解：将其轴载面按下图位置放
置，并建立如图的坐标系。则 A(12,0)， (4,4) B
(1)建立坐标系，并写出该曲线方程． (2)求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计，取3.14） 2 2 x y (1) 1 49 98
8 2 8
Ｃ’ Ａ’ Ａ
Ｃ
1 2 ( 2)V x dy ( y 49)dy 12 12 2 Ｂ’ 2013-4-2
Ｂ
S侧 2 f ( x) 1 [ f ' ( x)]2 dx
V f
a
b
2
x dx，即可求旋转体体积的值。
（三）、课堂小结：求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1．先求出 y f x b 的表达式；2．代入公式 V f 2 x dx a ，即可求旋转体体积的值。（四）、作业布置：课本P90页练习题中2；习题 4-3中6、7

高中数学-定积分在几何中的应用-教后反思

课后反思
通过本堂课设计，应该能充分调动学生的积极性，明确定积分在几何中的应用的解题原理和方法。

学生能应用定积分求出某些平面图形的面积，知道某些简单的定积分表达式的几何意义．通过学习，对“面积”的概念有较为完整的认识．知道在求平面图形的面积时，定积分是一种普通适用的方法．培养了学生应用数学的意识和能力，进一步培养逻辑思维能力，以及用定积分的基本思想解决问题的能力。

不足之处：在课堂的调控中，老师讲解仍然过多，学生的动手能力还有欠缺，学生的主题意识还有待提高。

定积分的概念,几何意义及其运算

三、定积分的运算：
1.运算方法： ①几何意义法： ②基本定理法：
2.运算性质：
一、积分的概念： 1.不定积分： ① 若 F / (x) f (x) ,则称 F (x)是 f (x) 的一个原函数 ② f (x) 的全体原函数，称 f (x) 的不定积分
记作： f (x)dx F (x) C
故，原式= 2 2 cos2 tdt
2 (1 cos 2t)dt
0
0
2
作业：
1.课本P：55 A组 Ex2
2.课本P：66 A组 Ex14
3.若
1 f (x)dx 2 ，则
1
[2
f
(x) 3x]dx ［1 2f 0
x
3］dx
______
0
0
4.将图中阴影部分的面积S 用定积分表示出来： (不要求计算)
预习：
定积分的应用
y0 f (x0 )
二导意义是曲率大凹小凸○拐点
导数法判定单调性
第一确定定义域三解不等得结论
②
注1：最终结果要显然
第二求导到显然 ①
书写格式要简明 ③
乘积配方与○比
注2：增大减小○驻点等号问题待大学含参反用必须等其他情况暂忽略
注3：书写格式要简明
①当f(x) 单调时
因 f (x) 0 在Domain上恒成立
y f前(x)
y f后(x)
xa
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前
y f后(x)
y f前(x)
xa
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S

高中数学(新课标)选修2课件1.7.1-2定积分的应用

a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
③如图(6)所示，所求面积 S＝S1＋S2＝ac[f(x)－g(x)]dx＋cb[g(x)－f(x)]dx
＝b|f(x)－g(x)|dx.
a
知识点二定积分在物理中的应用 1．变速直线运动的路程我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝ v(t)(v(t)≥0)在时间区间 [a， b] 上的定积分，即 s ＝ ____b_v_(_t)_d_t ___.
【解析】 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4，即当 0≤t≤4 时， P 点向 x 轴正方向运动，t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故 t＝3 时，点 P 离开原点的路程
s1＝03(8t－2t2)dt＝4t2－23t330 ＝18. (2)当 t＝5 时，点 P 离开原点的位移 s2＝5(8t－2t2)dt
解析：由题意 v＝x′＝8t，t＝12 x，所以 v＝4 x.
又 F＝kv(k 是比例系数)，且当 v＝10 米/秒时 F＝2 牛，
所以 2＝10k，所以 k＝15，所以 F＝45 x，
又 F 与物体运动的方向相反，
所以 W＝－245 0
xdx＝－185x3220
＝－1165
2(焦耳)．
所以物体从 x＝0 到 x＝2 阻力所做的功为－1165 2焦耳．
解得 t＝0 或 t＝6，
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，
∴t＝6 是所求的值．
状元随笔首先要确定的是所需求的是路程还是位移，然后用相应的方法求解．
方法归纳
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．

专题1.5 定积分的概念 1.6 微积分基本定理 1.7 定积分的简单应用-20届高中数学同步讲义(理)

1．定积分的概念一般地，如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑（其中x ∆为小区间长度），当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作________，即1()d lim ()nbi an i b af x x f nξ→∞=-=∑⎰．这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()d f x x 叫做被积式．2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[,]a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()d baf x x ⎰表示由直线,()x a x b a b ==≠，0y =和曲线()y f x =所围成的__________．这就是定积分()d baf x x ⎰的几何意义．3．定积分的性质由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质： ①()d __________(ba kf x x k =⎰为常数）； ②1212[()()]d ()d ()d bb ba aaf x f x x f x x f x x ±=±⎰⎰⎰；③()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰（其中a c b <<）． 4．微积分基本定理一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么___________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．为了方便，我们常常把()()F b F a -记成()|ba F x ，即()d ()|()()bb a af x x F x F b F a ==-⎰．微积分基本定理表明，计算定积分()d baf x x ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x ．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出()F x ．学&科网5．定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用主要是计算由两条曲线所围图形的面积．由曲边梯形面积的求法，我们可以将求由两条曲线所围图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题，进而用定积分求出面积．6．定积分在物理中的应用①变速直线运动的路程：我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即________s =．②变力做功：一物体在恒力F (单位：N )的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s （单位：m ），则力F 所做的功为W Fs =．已知某物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且该物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到()x b b a =>，求变力()F x 所做的功W ，与求曲边梯形的面积及求变速直线运动的路程一样，可用“四步曲”解决，得到_________W =．K 知识参考答案：6．①()d bav t t ⎰②()d baF x x ⎰K —重点定积分的几何意义，定积分的基本性质，运用微积分基本定理计算定积分，定积分的应用 K —难点运用微积分基本定理计算定积分，用定积分求几何图形的面积 K —易错运用微积分基本定理计算定积分时，弄错积分的上、下限利用定积分的几何意义计算定积分利用定积分所表示的意义求()d baf x x ⎰的值的关键是确定由曲线()y f x =，直线x a =，直线x b =及x轴所围成的平面图形的形状．利用定积分的几何意义求π22π22()sin d d cos x x f x x x --+⎰⎰，其中21,0()31,0x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩．【答案】6-．【解析】ππ20222ππ2222d d d ()sin cos (31)(21)sin cos d d f x x x x x x x x x x x x ----+=-+-+⎰⎰⎰⎰⎰．∵sin cos y x x =为奇函数，∴π2π2sin cos d 0x x x -=⎰．利用定积分的几何意义，如下图：学科@网∴271(31)28d 2x x -+-=-⨯=-⎰，2031(21)122d x x +-=⨯=⎰，故π22π22()sin co 6d s 820d f x x x x x --+=-++=-⎰⎰．【名师点睛】（1）利用定积分的几何意义求解时，常见的平面图形的形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．（2）设函数()f x 在闭区间[,]a a -上连续，则若()f x 是偶函数，则0()d 2()d aaaf x x f x x -=⎰⎰；若()f x 是奇函数，则()d 0aaf x x -=⎰．利用微积分基本定理计算定积分求函数()f x 在某个区间上的定积分时，要注意：（1）掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解导数等于被积函数的函数．当这个函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差．（2）精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．计算下列定积分：（1）221(23)d x x x ++⎰；（2）πcos d (e )x x x --⎰；（3）π22d sin 2x x⎰；（4）94(1)d x x x +⎰．【答案】（1）253；（2）π11e -；（3）π24-；（4）2716．【名师点睛】微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到被积函数的一个原函数．定积分在几何中的应用对于简单图形的面积求解，我们可以直接运用定积分的几何意义，此时，（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．求由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积（画出图形）．【答案】图形见解析，平面图形的面积为1S =．【解析】画出曲线22y x =+与3y x =，则下图中的阴影部分即为所要求的平面图形．解方程组223y x y x ⎧=+⎨=⎩，可得12x x ==或．故平面图形的面积为322312221201133(2)3d 3(2)d (2)|(2)|3223x x x x S x x x x x x x x =+-+-+=+-+--⎰⎰1=，所以所求图形的面积为1．【名师点睛】（1）定积分可正、可负或为零，而平面图形的面积总是非负的．（2）若图形比较复杂，可以求出曲线的交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．学科&网定积分在物理中的应用（1）已知变速直线运动的方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．（2）利用定积分求变力做功的问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即可．设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．【答案】将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为22.5J ．【名师点睛】求解时注意单位的换算，把cm 换算为m ．1．定积分()d baf x x ⎰的大小A ．与()f x 和积分区间[],a b 有关，与i ξ的取法无关B ．与()f x 有关，与区间[],a b 以及i ξ的取法无关C ．与()f x 以及i ξ的取法有关，与区间[],a b 无关D ．与()f x 、区间[],a b 和i ξ的取法都有关2．在求由抛物线26y x =+与直线1x =，2x =，0y =所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为 A ．1[,]i in n- B ．1[,]n i n in n +-+ C ．[1,]i i -D ．1[,]i i n n+3．已知31()d 56f x x =⎰，则A ．21()d 28f x x =⎰ B ．32()d 28f x x =⎰C ．212()d 56f x x =⎰D ．2312()d ()d 56f x f x x x +=⎰⎰4．定积分1(2e )d x x x +=⎰A ．e 2+B ．e 1+C ．eD ．e 1-5．直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A ．22B ．42C ．2D ．46．计算：11||d x x -=⎰A ．11d x x -⎰B ．11d x -⎰C ．11()d d x x x x --+⎰⎰D ．110d ()d x x x x -+-⎰⎰7．由直线0y =，e x =，2y x =及曲线xy 2=所围成的封闭图形的面积S = A ．2ln 23+ B ．3 C ．22e 3-D ．e8．定积分0|sin cos |d x x x π-=⎰A ．22+B ．22-C ．2D ．229．已知1201d 3x x =⎰，2217d 3x x =⎰，则220(1)d x x +=⎰________________． 10．计算：121(sin )d x x x -+=⎰________________．11．计算π220sin d 2xx =⎰________________．12．若11(2)d 3ln 2ax x x+=+⎰，则实数a =________________．13．已知函数22()31f x x x =++，若11()()d 2f x x f a -=⎰成立，则实数a =________________． 14．已知函数2max (),{}f x x x =，则22()d f x x -=⎰________________．15．已知()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求曲线()y f x =与曲线241y x x =--+所围成的图形的面积S ．16．如图，抛物线的方程为21y x =-，则图中阴影部分的面积可表示为A ．220()1d x x -⎰ B ．|220()1d x x -⎰|C ．220||1d x x -⎰D ．1222011d 1)d (()x x x x -+-⎰⎰17．设113d a x x =⎰，120d b x x =⎰，130d c x x =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c a b >>B ．a b c >>C ．a b c =>D ．a c b >>18．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m /s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是 A ．125ln5+ B ．11825ln3+ C ．425ln5+D ．450ln 2+19．下列命题不正确的是A ．若()f x 是连续的奇函数，则()d 0aa f x x -=⎰B ．若()f x 是连续的偶函数，则0()d 2()d aa af x f x x x -=⎰⎰C ．若()f x 在[],a b 上连续且恒正，则()d 0bax f x >⎰D ．若()f x 在[),a b 上连续且()d 0baf x x >⎰，则()f x 在[),a b 上恒正20．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是A ．1B ．2C ．π2D ．π21．已知()f x 是一次函数，若1()d 5f x x =⎰，117()d 6x x x f =⎰，则函数()f x 的解析式为 A ．3(4)f x x =+B ．4(3)f x x =+C ．2(4)f x x =-+D ．4(3)f x x =-+22．已知分段函数21,0()e ,0x x x f x x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则31(2)d f x x -=⎰A ．13e + B ．2e - C ．713e-D ．12e-23．已知π207sin()d 4x x ϕ-=⎰，则sin 2ϕ=________________． 24．若0cos 2cos d tt x x =-⎰，其中,()0t ∈π，则t =________________．25．已知函数21,10()1,01x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，则11()d f x x -=⎰________________． 26．如图，求由曲线1y x=，2y x =与直线2x =，0y =所围成的阴影部分的面积．1．【答案】A【解析】由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤，可知定积分()d baf x x ⎰的大小与()f x 和积分区间[],a b 有关，与i ξ的取法无关，故选A ．学#科网2．【答案】B【解析】在区间[1,2]上等间隔地插入1n -个点，将它等分成n 个小区间[1，1n n +]，[1n n +，2n n+]， (1),]n i n i n n +-+，…，[21n n-，2]，所以第i 个区间为1[,]n i n in n +-+ 1,2,(),i n =．故选B ．3．【答案】D 【解析】由题可得323112()d ()d ()d 56f x f x x x x f x =+=⎰⎰⎰，故选D ．4．【答案】C 【解析】121212000(2e )d (e )|(1e )(0e )e x x x x x +=+=+-+=⎰，故选C ．5．【答案】D【解析】由已知得23242001(4)d (2)|44S x x x x x =-=-=⎰，故选D ． 6．【答案】C7．【答案】B【解析】由题可得1e21e010122d d 2ln 3S x x x x x x=+=+=⎰⎰，故选B ．8．【答案】D 【解析】44044|sin cos |d (cos sin )d (sin cos )d (sin cos )(sin cos )x x x x x x x x x x x x x πππππππ-=-=-=++--=⎰⎰⎰22，故选D ．9．【答案】143【解析】根据定积分的性质可得2122220011714(1)d d d 22333x x x x x x +=++=++=⎰⎰⎰． 10．【答案】23【解析】12311112(sin )d (cos )33x x x x x --+=-=⎰．学*科网 11．【答案】π24- 【解析】πππ22220001cos 1π2sin d d (sin )2224x x x x x x --==-=⎰⎰． 12．【答案】2【解析】221111111(2)d 2d d ln 1ln 3ln 2aa a aa x x x x x x xa a xx +=+=+=-+=+⎰⎰⎰，解得2a =．13．【答案】1-或1314．【答案】112【解析】如图，可得222,0(){},01,1max ,x x x f x x x x x x ⎧≤=⎪=<<⎨⎪≥⎩，所以201222221d d d d 11()2f x x x x x x x x --=++=⎰⎰⎰⎰． 15．【答案】（1）2()21f x x x =++；（2）9．【解析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由题意可得240222b ac ax b x ⎧-=⎨+=+⎩，所以1,2,1a b c ===，所以2()21f x x x =++．（2）由2221341y x x x y x x ⎧=++⎪⇒=-⎨=--+⎪⎩或0x =，所以022320332[(41)(21)]d (3)|93S x x x x x x x --=--+-++=--=⎰． 16．【答案】C【解析】由图形可知阴影部分的面积为1222011d 1)d (()x x x x -+-⎰⎰，而21220||(1)d 1d x x x x -=-+⎰⎰221()1d x x -⎰，故选C ．17．【答案】B【解析】由题可得141133033d 44a x x x===⎰，1231011d 33b x x x ===⎰，1341011d 44c x x x===⎰，因为113434<<，所以a b c >>．故选B ． 18．【答案】C【解析】令25()7301v t t t =-+=+，解得4t =或83t =-（舍去）．故所求距离是4025(73)d 1t t t -+=+⎰242033[725ln(1)]|74425ln 5425ln 522t t t -++=⨯-⨯+=+，故选C ． 19．【答案】D20．【答案】B【解析】根据余弦函数的对称性可得，曲线从π2x =-到π2x =与x 轴围成的面积与从π2x =到3π2x =与x 轴围成的面积相等，故阴影部分的面积ππ22ππ22cos d sin 2S x x x--===⎰，故选B ．21．【答案】A【解析】由题可设((0))f x ax b a =+≠，则11001()d ()d 52f x ax b x x a b =+=+=⎰⎰，1()d xf x x =⎰11117()d 326x ax b x a b +=+=⎰，所以152a b +=且1117326a b +=，解得4a =，3b =，所以3(4)f x x =+．故选A ．学科@网 22．【答案】C23．【答案】916【解析】由题可得πππ2220sin()d (sin cos cos sin )d (cos cos sin sin )|x x x x x x x ϕϕϕϕϕ-=-=-+=⎰⎰7(sin cos )4ϕϕ--=，两边同时平方可得71sin 216ϕ-=，所以9sin 216ϕ=．24．【答案】π2【解析】由于00cos 2co s s s d in in tt t t x xx -=--==⎰，所以22sin sin 10t t --=，所以sin 1t =（负值舍去），又,()0t ∈π，所以t =π2． 25．【答案】124π+ 【解析】由题可得21012011121π1()d ()d d ()1|22144f x x x x x x x x ---π=+=++++=-⎰⎰⎰．26．【答案】2ln 23+．【解析】由题图知阴影部分的面积3121220101122d d|ln|ln233S x x x x xx=+=+=+⎰⎰．。

高中数学同步学案平面图形的面积简单几何体的体积

§3 定积分的简单应用3.1 平面图形的面积 3.2 简单几何体的体积学习目标核心素养1．会用定积分求平面图形的面积．(重点) 2．会用定积分求简单几何体的体积．(难点) 3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法．(重点、难点)1．借助定积分求平面图形的面积和几何体的体积,提升学生的直观想象和数学运算的核心素养. 2．通过建立实际问题的模型,培养了学生的数学建模的核心素养.1．当x∈[a ,b]时,若f(x)>0,由直线x ＝a,x ＝b(a≠b),y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛a bf(x)dx.2．当x∈[a ,b]时,若f(x)<0,由直线x ＝a,x ＝b(a≠b),y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝－⎠⎛a bf(x)dx.3．当x∈[a ,b]时,若f(x)>g(x)>0,由直线x ＝a,x ＝b(a≠b)和曲线y ＝f(x),y ＝g(x)围成的平面图形的面积S ＝⎠⎛a b[f(x)－g(x)]dx.(如图)4．旋转体可看作由连续曲线y ＝f(x),直线x ＝a,x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的几何体,该几何体的体积为V ＝⎠⎛abπ[f(x)]2dx.1．由y ＝x 2,x ＝1和y ＝0所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( ) A.π6 B.π4 C.π5D.4π5 C [V ＝π⎠⎛01y 2dx ＝π⎠⎛01(x 2)2dx ＝π5x 5⎪⎪⎪1＝π5.] 2．直线y ＝x,x ＝1及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是( ) A ．πB ．π3C ．13D ．1B [V ＝⎠⎛01πx 2dx ＝π3x 3|10＝π3.]3．由y ＝x 2,y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________.14[图形如图所示,S ＝⎠⎛01x 2dx －⎠⎛0114x 2dx＝⎠⎛0134x 2dx＝14x 3⎪⎪⎪1＝14.]利用定积分求平面图形的面积【例1】 (1)求由直线y ＝x ＋3,曲线y ＝x 2－6x ＋13所围图形的面积S ； (2)求由曲线y ＝x 2,直线y ＝2x 和y ＝x 围成的图形的面积．思路探究：(1)作出两函数的图像,并求其交点坐标．确定积分区间,利用定积分求面积S.(2)求出三条曲线的不同的交点横坐标,将积分区间细化,分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和,注意在每个区间上被积函数均是由上减下．[解] (1)作出直线y ＝x ＋3,曲线y ＝x 2－6x ＋13的草图,所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－6x ＋13，y ＝x ＋3，得交点坐标为(2,5)和(5,8)．因此,所求图形的面积S ＝⎠⎛25(x ＋3)dx －⎠⎛25(x 2－6x ＋13)dx ＝⎠⎛25(－x 2＋7x －10)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋72x 2－10x ⎪⎪⎪52＝92. (2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 解出O,A,B 三点的横坐标分别是0,1,2．故所求的面积S ＝⎠⎛01(2x －x)dx ＋⎠⎛12(2x －x 2)dx＝x 22⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x 33⎪⎪⎪21＝12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝76. 法二：由于点D 的横坐标也是2, 故S ＝⎠⎛02(2x －x)dx －⎠⎛12(x 2－x)dx＝x 22⎪⎪⎪2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22⎪⎪⎪21＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12＝76.法三：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2′＝y 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24′＝y －y2.故所求的面积为S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 2dy ＋⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 2dy＝14y 2⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24⎪⎪⎪41＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×8－14×16－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－14＝76.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤1．画出图形；2．确定图形范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上、下限； 3．确定被积函数,特别要注意分清被积函数图像上、下位置； 4．写出平面图形面积的定积分表达式；5．运用微积分基本公式计算定积分,求出平面图形的面积．1．由抛物线y ＝x 2－x,直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( ) A ．53 B ．1 C ．52D ．23⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22B [由图可知,所求面积S ＝⎠⎛-10(x 2－x)dx ＋⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎪⎪⎪－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪1＝56＋16＝1．]求简单几何体的体积【例2】求由曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．思路探究：所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到,再利用定积分求解即可． [解] 曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形如图阴影部分所示．设所求旋转体的体积为V,根据图像可以看出V 等于曲线y ＝2x,直线x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝12x 2,直线x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2)．V 1＝⎠⎛02π(2x)2dx ＝2π⎠⎛02xdx ＝2π·12x 2|20＝4π,V 2＝⎠⎛02π⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 22dx ＝π4⎠⎛02x 4dx ＝π4×15x 5|20＝8π5,所以V ＝V 1－V 2＝4π－8π5＝12π5.定积分求几何体体积的方法1．两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差,即V ＝π⎠⎛abf 2(x)dx －π⎠⎛a b g 2(x )dx,而不能写成V ＝π⎠⎛ab[f(x)－g(x)]2dx.2．求简单旋转体的体积时,首先要画出平面图形,分析旋转体的形状,再利用体积的定积分表达式V ＝π⎠⎛ab f 2(x )dx 求解．2．设平面图形由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的曲线y ＝sin x 及直线y ＝12,x＝π2围成,求此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．[解] 先画草图．设f(x)＝sin x,x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,g(x)＝12. 则f(x)与g(x)的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12. V ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122dx＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 2－14dx ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12cos 2x dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －14sin 2x ⎪⎪⎪⎪π2π6＝π212＋38π.定积分的综合应用[探究问题]1．设a ＞0,若曲线y ＝x 与直线x ＝a,y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2,试求a 的值． [提示] 由已知得S ＝⎠⎛axdx ＝23x 32| a 0＝23a 32＝a 2,所以a 12＝23,所以a ＝49.2．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c>0)围成图形的面积是23,试求c 的值．[提示] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝cx 3，得x ＝0或x ＝1c.∵0<x<1c时,x 2>cx 3,∴S＝⎠⎜⎛01c (x 2－cx 3)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14cx 4⎪⎪⎪⎪1c＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18,∴c＝12.【例3】在曲线y ＝x 2(x≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112,试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．思路探究：设出切点坐标,写出切线方程,利用定积分可列方程,解方程求得切点坐标,进一步求出切线方程．[解] 设切点A(x 0,x 20),切线斜率为k ＝2x 0, ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．令y ＝0,得x ＝x 02,如图,.∴112x 30＝112,x 0＝1．∴切点A 的坐标为(1,1),切线方程为y ＝2x －1．定积分求面积的易错点1．本例中求面积S 时,易错误地写成S ＝⎠⎛0x0[x 2－(2x 0x －x 20)]dx.错误原因是没能分割好图形．2．关于导数与积分的综合题,要充分利用导数的几何意义,求切线的斜率或方程,利用定积分的几何意义求面积,进而解决问题．3．如图,设点P 在曲线y ＝x 2上,从原点向A(2,4)移动,如果直线OP,曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1,S 2．(1)当S 1＝S 2时,求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时,求点P 的坐标和最小值．[解] (1)设点P 的横坐标为t(0<t<2),则P 点的坐标为(t,t 2), 直线OP 的方程为y ＝tx.S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)dx ＝16t 3,S 2＝⎠⎛t 2(x 2－tx)dx ＝83－2t ＋16t 3.因为S 1＝S 2,所以t ＝43,点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.(2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83,S′＝t 2－2, 令S′＝0得t 2－2＝0.因为0<t<2,所以t ＝2,当0<t<2时,S′<0；2<t<2时,S′>0. 所以,当t ＝2时,S 1＋S 2有最小值83－423,此时点P 的坐标为(2,2)．1．求定积分和利用定积分计算平面图形的面积是两个不同的概念,定积分是一个和式的极限,它可正、可负、可为零,而平面图形的面积在一定意义下总为正,特别是当曲线有一部分在x 轴下方时,计算平面图形的面积易出错．2．求解简单平面图形的面积,可直接运用定积分的几何意义．先确定积分上、下限,一般为两交点的横坐标(或纵坐标),再确定被积函数,一般是上方曲线与下方曲线对应函数的差．这样求平面图形的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)曲线y ＝sin x,x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎜⎛π23π2sin xdx.( )(2)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2,y ＝0围成的图形的面积为⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12(2－x)dx.(3)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形的面积为⎠⎛-22(4－x 2)dx.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．用S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( )A.⎠⎛acf(x)dxB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a cf (x )dx C.⎠⎛a bf(x)dx ＋⎠⎛bcf(x)dxD.⎠⎛bcf(x)dx －⎠⎛abf(x)dxD [∵x∈[a ,b]时,f(x)<0,x∈[b ,c]时,f(x)>0, ∴阴影部分的面积 S ＝⎠⎛b cf(x)dx －⎠⎛abf(x)dx.]3．由y ＝x 2,y ＝x 所围成的图形绕y 轴旋转所得到的旋转体的体积V ＝________.π6 [V ＝π⎠⎛01(y －y 2)dy ＝π6.] 4．计算由曲线y 2＝x,y ＝x 2所围图形的面积S.[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x2得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1．因此,所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD ＝⎠⎛1xdx －⎠⎛01x 2dx ＝23x 32⎪⎪⎪1－13x 3⎪⎪⎪1＝23－13＝13.。