线性代数讲义复习题
线性代数复习题.doc答案
线性代数复习题第一章1．设()xx x x x x f 111123111212-=中含有4x 的项的系数是（ ）。
A.1B.-1C.2D.-2 答案：C2．计算行列式100010010001aa a a D =。
答案： ()221a-3．若022150131=---x ，则=x 。
答案：5。
4．k 满足_______时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321kx x x x kx x x x kx 只有零解.答案：2-≠k 且1≠k 。
5．计算行列式2132651192311021-。
答案： 436．行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =的转置行列式=T D 。
答案：=7．8级排列36215784的逆序数在τ(36215784)=_____. 答案：108．计算4阶行列式2421174214112111-----=A 。
答案： 609．计算行列式aba b b a b a D 00000000=。
. 答案：()222b a D -=。
10．若223252113=-x ，则=x 。
答案：411．若行列式02250131=--x ，则=x 。
答案：-512．排列36i15j84在i=_____,j=______时是奇排列. 答案：7，213．线性方程组⎩⎨⎧=+=+n dx cx mbx ax 2121 的系数满足 __________时，方程组有唯一解.答案：ad bc第二章1．设A 是t s ⨯的矩阵，B 是n m ⨯矩阵，如果B AC T有意义，则C 应是（ ）矩阵。
A. n s ⨯B.m s ⨯C.t m ⨯D.m t ⨯答案：C2．设A 、B 为n 阶矩阵，A 可逆，0≠k ，则运算（ ）正确. A. ()k k kB A AB =B. A A -=-C. ()()A B A B A B +-=-22D. ()111---=A k kA答案：D3．设A 为3阶方阵，且2=A ，则=-1A （ ）。
线性代数复习题带参考答案(一)
线性代数考试题库及答案第三章 向量一、单项选择题1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββαααn m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（ ）。
成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，则在A 的n 个行向量中（ ）。
个行向量线性无关必有r a )( 个行向量线性无关任意r )b (性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）n r A r a <=)()(n A b 的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( ))(a s ααα,,,21 都不是零向量)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( ))(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量 s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( )s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关s c ααα,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ,则( )s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( ))(a 若02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性相关 )(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211=++s s k k k ααα)(d 若000021=++s ααα ,则s ααα,,,21 线性无关10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ ）14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示，则（ ）)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一12. 下列说法正确的是（ ）)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211≠++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α，T )0,1,0(2=α的线性组合，则β=（ ）T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)((14. 设有向量组()T4,2,1,11-=α，()T2,1,3,02=α，()T 14,7,0,33=α，()T0,2,2,14-=α，()T 10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组为（ ）321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd15. 设T a a a ),,(321=α，T b b b ),,(321=β，T a a ),(211=α，T b b ),(211=β，下列正确的是（ ）;,,)(11也线性相关线性相关，则若βαβαa 也线性无关；线性无关，则若11,,)(βαβαb 也线性相关；线性相关，则若βαβα,,)(11c 以上都不对)(d二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=▁▁▁▁。
《线性代数》复习要点及练习
第一章 行列式复习要点：1. 会计算逆序数，余子式，代数余子式2. 熟练掌握行列式的性质，并能利用性质计算行列式3. 掌握克莱姆法则练习题：1. 排列1 6 5 3 4 2的逆序数是（ ）.A. 8 B ．9 C ．7 D ． 62122.431235-的代数余子式12A 是（ ）.A 2143-- B2143- C 4125--D4125-3. 排列32514的逆序数是（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 64.关于行列式，下列命题错误的是（ ）.A. 行列式第一行乘以2，同时第二列除以2，行列式的值不变 B ．互换行列式的第一行和第三行，行列式的值不变 C ．互换行列式的任意两列，行列式仅仅改变符号 D ． 行列式可以按任意一行展开 5. 关于行列式，下列命题正确的是（ ）.A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等B ．互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等C ．如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零D ． 以上命题都不对6. 关于行列式，下列正确的是（ ）.A. 如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零.B. 互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等.C. 行列式中有两行对应成比例，则此行列式为零.D. 行列式与它的转置行列式互为相反数.7. 下列命题错误的是（ ）.A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组有唯一解 B ．如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组无解 C ．如果齐次线性方程组的系数行列式等于零，则该方程组有非零解 D ．如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解8212431235-的余子式32M =————，代数余子式32A =—————— 9. 已知k341k 000k 1-=，则k =__________.10. 若52k 74356=，则k =__________.11. 计算行列式|12345006|=_________ 12. 计算行列式|1111123413610141020| 13.计算行列式53-120172520-23100-4-14002350D =14. 计算行列式1234248737124088D =15.计算行列式x yyxx x y y yx x y+++第二章 矩阵复习要点：1. 掌握矩阵的线性运算，矩阵乘法运算律，转置矩阵的运算律，2. 掌握矩阵的初等变换3. 掌握方阵行列式的性质，转置矩阵的性质，逆矩阵的性质4. 会求逆矩阵.了解待定系数法和伴随矩阵法，掌握用初等变换求解逆矩阵相关问题.能够证明矩阵的可逆性.5. 会用初等行变换求矩阵的秩6. 会求解矩阵方程练习题：1. 设A ，B 均为n 阶可逆阵，则下列公式成立的是( ). A T T T B A AB =)( B T T T B A B A +=+)( C 111)(---=B A AB D 111)(---+=+B A B A2. A,B 均为n 阶方阵，若要22(A B)(A B)A B +-=-不成立，需满足（ ）.A. A=E B ．B=O C ．A=B D ． AB ≠BA 3. 若方阵2A A,=A 不是单位方阵，则（ ）.A. A 0= B ． A 0≠ C ．A O = D ．A O ≠4.若矩阵111A 121231⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪λ+⎝⎭的秩为2，则λ=（ ）. A. 0 B ． 2 C ．1 D ． -15.矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=32015431A 的秩是（ ） 6. 110201211344⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 的秩是（ ）7. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321212113A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111012111B 求AB 和BA8. 设矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1021A 求32A A ，. 9. 设矩阵521320A ,B 341201--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求T T T(1)AB ;(2)B A;(3)A A.10.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=210111121A ，求逆矩阵11. 223110121⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.，求逆矩阵 12. 求矩阵X , 使B AX =, 其中.341352,343122321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A13. 求解矩阵方程,X A AX += 其中.010312022⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A.B AX X ,B ,A . 132231 11312221414=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=使求设15. 已知n 阶方阵A 满足矩阵方程2A 3A 2E O --=,其中A 给定，E 为n 阶单位矩阵，证明A 可逆，并求1A -. 16. 设A 、B 为n 阶矩阵，2A B AB E --=，2A A =，其中E 为n 阶单位矩阵.证明：A B -为可逆矩阵，并求()1A B --.17. 设方阵A 满足22A A E O --=，证明A 及2A E +都可逆.第三章 线性方程组复习要点：1. 熟练掌握方程组解无解/有解/有唯一解/有无穷多解的充要条件2. 会求向量组的秩；能够验证向量组的线性相关性；会求向量组的极大线性无关组，并可以将其他向量用极大无关组线性表示.3. 熟练掌握基础解系的求解3. 会求解齐次线性方程组的通解，会求非齐次线性方程组的通解和特解练习题：1. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 23124010012⎛⎫ ⎪→λλ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭，当常数λ=（ ）时，此线性方程组有唯一解.A. -1 B ．0 C ．1 D ． 22. 已知n 元线性方程组b Ax =，其增广矩阵为B ，当（ ）时，线性方程组有解.A. ()n B r =B. ()n B r ≠C. ()()B r A r =D. ()()B r A r ≠3. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 23124010012⎛⎫ ⎪→λλ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭，当常数λ=（ ）时，此线性方程组有唯一解.A. -1 B ．0 C ．1 D ． 24. 设A 为m×n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充分必要条件是 系数矩阵的秩r (A )（ ）A. 小于mB. 小于nC. 等于mD. 等于n5. 已知向量组1,,m αα线性相关，则（ ）.A 、该向量组的任何部分组必线性相关.B 、该向量组的任何部分组必线性无关.C 、该向量组的秩小于m .D 、该向量组的最大线性无关组是唯一的.6. 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D _____0. ( = 或 ≠)7. 已知线性方程组Ax b =有解，若系数矩阵A 的秩r(A)=4,则增广矩阵B 的r(B)=__________.8. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 312400120012⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪λ⎝⎭，则当常数λ=__________时，此线性方程组有无穷多解.9. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 300200a 11⎛⎫→ ⎪+⎝⎭，则当常数a =__________时，此线性方程组无解.10.λ取何值时，非齐次线性方程组 1231232123+1++x x x x x x x x x λλλλλ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解？ 取何值时，线性方程组当 11..λ ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3313123321321321x λλx x λλx x λλx λx x x λ 有唯一解、无解、无穷多解？当方程组有无穷多解时求出它的解.12.求下列方程组的通解.236222323754325432154321⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-+++=++++x x x x x x x x x x x x x x13. 判断下列向量组的线性相关性：（1）1234=-1,3,2,5=3-1,0-4=2,2,2,2=1,5,4,6αααα（），（，，），（），（）（2）1234=1,1,3,1=10,00=2,2,7,-1=3,-1,2,4αααα（），（，，），（），（） 14. 已知向量组()()()()T4T3T2T13 2 10 0 10 1 11 1 1α-====,,α,,,α,,,α,,,,求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.15. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---140113*********12211的列向量组()54321α,α,α,α,α的一个极大无关组,并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.16. 试证若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 17. 已知向量321ααα，，线性无关，证明向量11232βααα=+-,2123312βαααβαα=--=+，也是线性无关的。
线性代数总复习题(一)
九． 设 A、B 都是 n 阶对称阵，证明 AB 是对称阵的充分必要条件是 AB = BA ． 证明：∵ A, B 都是 n 阶对称阵．
∴ AT = A ， B T = B ．
∴ AB 是对称阵 ⇔ ( AB ) = AB
T
⇔ B T AT = AB ⇔ BA = AB
十． 求下面矩阵的特征值和特征向量：
1． 设 D1 =
a11 a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
， D2 =
an1 an −1,1 a11
an 2 an −1,2 a12
ann an −1, n a1n
，则 D1 与 D2 的关系是（
C
） ．
（A） D2 = D1 分析： rn 依次与 rn −1 , rn − 2 ,
∴ i = 2 ， k = 5 ；或 i = 5 ， k = 2 ．
． 若 i = 2 ， k = 5 ，则列标排列 32145 的逆序数为 3，这一项的符号为“ − ” ． 若 i = 5 ， k = 2 ，则列标排列 35142 的逆序数为 6，这一项的符号为“ + ”
∴ i =5，k = 2．
（2） R ( A ) = 2 ； （3） R ( A ) = 3 ． （1） R ( A ) = 1 ；
−2 3k ⎞ ⎛ 1 −2 3k ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ( k − 1) 解： A = ⎜ −1 2k −3 ⎟ ∼ ⎜ 0 2 ( k − 1) ⎟． ⎜ k −2 3 ⎟ ⎜ 0 0 −3 ( k + 2 )( k − 1) ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∴ （1）当 k ≠ −2 且 k ≠ 1 时， 2 ( k − 1) ≠ 0 ， −3 ( k + 2 )( k − 1) ≠ 0 ， R ( A ) = 3 ． ⎛ 1 −2 −6 ⎞ ⎜ ⎟ （2）当 k = −2 时， A ∼ ⎜ 0 −6 −9 ⎟ ， R ( A ) = 2 ． ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 −2 3 ⎞ ⎜ ⎟ （3）当 k = 1 使， A ∼ ⎜ 0 0 0 ⎟ ， R ( A ) = 1 ． ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠
线性代数总复习大纲及复习题
04-05(2) 线性代数总复习大纲及复习题： 一、 概念1、 行列式的 定义2、 向量组相关与无关的定义3、 对称阵与反对称阵4、 可逆矩阵5、 矩阵的伴随矩阵6、 基与向量的坐标7、 矩阵的特征值与特征向量 8、 正定矩阵 9、 矩阵的迹 10、 矩阵的秩 11、 矩阵的合同 12、 二次型与矩阵13、 齐次线性方程组的基础解系 二、 性质与结论1、 与向量组相关与无关相关的等价结论2、 行列式的性质3、 克莱姆规则（齐次线性方程组有非零解的充要条件）4、 矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质5、 初等变换与初等矩阵的关系6、A A A A A E **==7、 n 维向量空间坐标变换公式 8、 相似矩阵的性质 9、 合同变换10、 矩阵正定的充要条件11、 线性方程组解的性质与结构定理 三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。
3．已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则λ≠ 04．已知三阶行列式D=123312231，则元素12a =2的代数，余子式12A = -1 ；3.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。
（ 对 ）4.行列式002002316.02342345= （ 对 ） 5.对向量1234,,,αααα，如果其中任意两个向量都线性无关，则1234,,,αααα线性无关。
（ 错 ）6. 如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。
（ 对 ）7. 向量组s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。
线代复习题
线代复习题
1. 矩阵的基本概念
- 定义矩阵及其元素
- 矩阵的阶数
- 矩阵的表示方法
2. 矩阵的运算
- 矩阵的加法和减法
- 矩阵的数乘
- 矩阵的乘法
- 矩阵的转置
- 矩阵的逆
3. 特殊矩阵
- 零矩阵
- 单位矩阵
- 对角矩阵
- 斜对角矩阵
- 正交矩阵
4. 行列式
- 行列式的定义
- 行列式的计算方法
- 行列式的性质
5. 线性方程组
- 线性方程组的表示
- 高斯消元法
- 线性方程组的解的存在性
- 齐次线性方程组的解
6. 向量空间
- 向量空间的定义
- 基和维数
- 向量的线性组合
- 向量的线性相关性
7. 特征值和特征向量
- 特征值和特征向量的定义
- 特征值和特征向量的计算方法 - 特征多项式
8. 二次型
- 二次型的定义
- 二次型的矩阵表示
- 正定二次型
9. 线性变换
- 线性变换的定义
- 线性变换的矩阵表示
- 线性变换的性质
10. 矩阵分解
- 矩阵的对角化
- 矩阵的谱分解
- 矩阵的QR分解
11. 应用题
- 利用矩阵解决实际问题
- 矩阵在不同领域的应用案例分析
请根据以上复习题进行复习，确保掌握线性代数的基本概念和运算法则。
线性代数复习题(附简答)
总复习题一、求逆序数：1、排列32514的逆序总数为_____；2、在5阶行列式中，项前的符号是.二、行列式的计算：1、计算：，，，；2、设行列式，求；3、设3阶行列式，则.三、伴随阵和逆矩阵的行列式、余子式：1、若是阶可逆方阵，且；2、设为3阶矩阵，，是的伴随矩阵，则=______；3、设其中元素的代数余子式的值是 .四、矩阵的运算：1、已知,,则______；2、已知,,则；3、设向量，求（1）（2）；4、已知,则；5、设, 求；6、设，求；7、若是可逆方阵，则.五、解矩阵方程：1、设,求解矩阵方程：.2、已知方阵A满足试证:可逆,并求其逆矩阵3、设矩阵,矩阵B满足方程,为二阶单位阵，试求.六、向量组的相关性、秩、最大无关组：1、设向量组，，，（1）为何值时向量组线性相关；（2）为何值时向量组线性无关.2、设，，，问为何值时线性相关.3、设，，，问为何值时线性相关.4、设,线性无关，试证：,也线性无关.5、设,,线性无关，试证：,,也线性无关.6、设向量组,且求向量组的秩.7、设向量组，，，，求该向量组的秩和一个最大无关组.8、设向量组，，，，求该向量组的秩和一个最大无关组.七、方程组之解的基本概念、性质：1、线性方程组有解的充分必要条件是；2、方程组的基础解系是 .八、方程组的解：1、试问当为何值时下列方程组无解?有无穷多解？唯一解？并在有无穷多解时求出通解.⑴； ⑵ ；⑶ .2、求如下线性方程组的通解：⑴；⑵九、解的性质：1、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的两个解向量，且，求该方程组的通解.2、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且，求该方程组的通解.参考答案一、5；“”. 二、1、0，48, 160，； 2、； 3、.三、1、； 2、； 3、.四、1、14；2、；3、(1) ，（2），4、；5、；6、；7、.五、1、；2、；3、.六、1、时，线性相关；时，线性无关；2、；3、； 6、2；7、3，、都可为其一个最大无关组；8、3，、、都可为其一个最大无关组.七、1、；2、.八、1、⑴ 当时，方程组有唯一解用法求之(略)；当时，方程组无解；当时方程组有无穷多解，且通解为..⑵ 当时，方程组无解；当时方程组有无穷多解(略)；当时，方程组有唯一解(略).⑶ 当时，方程组有唯一解；当时，方程组无解；当时方程组有无穷多解，且通解为2、⑴ ；⑵ .九、1、或； 2、.。
线性代数辅导讲义练习题精选
线性代数辅导讲义练习题精选最近我在学习线性代数，为了加深对这门课程的理解和掌握，我在网上搜索了一些线性代数辅导讲义和练习题。
在这些讲义和练习中，我选择了一些精选练习题来练习，并分享给大家。
第一道练习题是关于矩阵的基础概念。
假设A、B、C是三个矩阵，且每个矩阵的大小为3×3。
如果A和B的乘积是3A-2B，B 和C的乘积是4B+5C，同时满足A^2-2B+C=A，则求C的元素。
这道题需要我们对矩阵的基本运算和关系有一定的掌握，尤其是对矩阵乘法有深刻的理解。
我们可以通过对矩阵乘法的展开来求解，将乘积式子中相同的部分提取出来，然后根据矩阵乘法结合律和分配律进行化简，最终得到C的元素。
第二道练习题是关于向量子空间的定义和性质的证明。
假设V 是一个数域K上的向量空间，W是V的一个子集，如果W是V 的子空间，那么证明W必须包含零向量。
这道题需要我们对向量空间和子空间的定义有深入的理解，关键在于利用子空间的性质进行证明。
我们可以先证明W中必须包含加法逆元素，因为子空间对加法逆元素乘积封闭，且根据加法逆元素的定义，当a+b=0时有b=-a，所以此时零向量0可以表示为-a+a的形式，从而得出W中必须包含0。
第三道练习题是关于线性变换的矩阵表示的计算。
如果L是一个从R^3到R^2的线性变换，且L(e1)=2e1-e2+3e3, L(e2)=e1-5e2,L(e3)=4e1+2e2-2e3，则求L对应的3×2矩阵A。
这道题需要我们对线性变换的矩阵表示和线性变换在向量空间中的作用有一定程度的理解和掌握。
我们可以将L对向量的作用表示为一个3维列向量，然后将其对应的2维列向量和其它向量表示为矩阵的形式，从而求出L对应的矩阵。
第四道练习题是关于矩阵的特征值和特征向量的求解。
如果A是一个3×3的矩阵，且其特征值为2、3、6，对应的特征向量为v1、v2、v3，则证明向量v=v1+v2-v3是A的一组特征向量。
线性代数讲义复习题
线性代数复习题 第一章 矩阵一、 填空题1.矩阵A 与B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是 。
2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ⨯⨯==又()ij m n AB c ⨯=，问ij c = 。
3.设A 与B 都是n 级方阵，计算2()A B += , 2()A B -= ,()()A B A B +-= 。
4.设矩阵1234A ⎛⎫=⎪⎝⎭,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。
（注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)TY =-,201013122A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,计算XAY = 。
（特别地，若,X Y 为字母向量时也应该会表达）6.设矩阵AB 与BA 都有意义，问A 与B 的关系为 ；又若AB 与BA 为同级方阵，问A 与B 的关系为 。
7.设α是一个列向量，k 是一个数，分析k α与k α的意义 ，两者是否相等？答： 。
8.设向量()1,2,3,(1,1,1)T αβ==，则αβ= ，βα= 。
9.设矩阵2003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则100A = 。
10.设矩阵200012035A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 。
11.设准对角矩阵1200A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭,()f x 是多项式，则()f A = 。
12.设矩阵123456789A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R A = 。
13. 设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**___.AA A A ==14.设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。
15.矩阵123235471A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为__________，A 的伴随矩阵*A = 。
16.设A 是3阶可逆方阵，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。
17.设102040203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。
线性代数复习题
线性代数复习题一、选择题1. 设矩阵A是一个3阶方阵，且满足A^2 = A，则矩阵A的特征值可能是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -12. 线性方程组有唯一解的充分必要条件是：A. 系数矩阵的行列式不为零B. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩C. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的秩等于未知数的个数3. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则下列说法正确的是：A. 向量组中任意一个向量都不能由其余向量线性表示B. 向量组中任意一个向量都能由其余向量线性表示C. 向量组中任意两个向量都是线性无关的D. 向量组中任意两个向量都是线性相关的二、填空题4. 设A是3×3矩阵，且A的行列式|A| = 2，则矩阵A的逆矩阵A^(-1)的行列式|A^(-1)|等于_______。
5. 若线性方程组的系数矩阵为A，增广矩阵为[A|b]，且A的秩等于b 的秩，则该线性方程组的解集是_______。
6. 设向量α和β不共线，若存在实数λ使得α = λβ，则α和β_______。
三、解答题7. 证明：若A是n阶方阵，且A^2 = A，则A的特征值只能是0或1。
8. 已知矩阵B是3×3矩阵，且B的行列式|B| = 3，求证：存在一个3×3的矩阵C，使得BC = CB = I，其中I是3阶单位矩阵。
9. 给定向量组α1 = (1, 2, 3), α2 = (4, 5, 6), α3 = (7, 8, 9)，判断该向量组是否线性无关，并说明理由。
10. 已知线性方程组：\[\begin{cases}x + 2y + 3z = 1 \\2x + 4y + 6z = 2 \\3x + 6y + 9z = 3\end{cases}\]求该方程组的解。
四、计算题11. 计算矩阵A = \[\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\0 & 1 & 4 \\5 &6 & 7\end{bmatrix}\]的行列式。
线性代数复习题
线性代数复习题(选择填空题)-D O C(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数复习题一、选择题练1、如果排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为BA 、a -B 、10a -C 、10a -D 、2a -或2a +练2、如果排列12...n a a a 的逆序数为k ，则排列11...n n a a a -的逆序数为CA 、1k -B 、n k -C 、(1)2n n k --D 、2n k - 练3、若12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则j i ,的值为AA 、1=i 2=jB 、2=i 1=jC 、2=i 3=jD 、3=i 2=j4、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是___A_______A 、1544223153a a a a aB 、2132411554a a a a aC 、3125431452a a a a aD 、1344324155a a a a a练5、行列式103100204199200395301300600等于___A______A 、2000B 、2000-C 、1000D 、1000-练6、行列式0001002003004000等于AA 、24B 、24-C 、0D 、12练7、根据行列式定义计算212111()321111xx x f x x x -=中4x 的系数是BA 、1B 、2、C 、2-D 、1-练8、利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式0D =时，说明方程解的个数是CA 、1B 、0C 、无穷多个D 、无法判断练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是m 个，未知数的个数是n 个，则CA 、n m <B 、n m >C 、m n =D 、无法比较和m n10、已知齐次线性方程组1231231230020ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则,a b 满足DA 、1a b +=B 、1a b -=C 、01a b ==或D 、10a b ==或练11、若齐次线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ=BA 、1或1-B 、1或2-C 、1-或2-D 、1-或212、若304050x ky z y z kx y z ++=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则k =___B_____A 、0k =或2k =B 、1k =或3k =C 、2k =或2k =-D 、2k =-13、设A 是三阶方阵，且4A =，则212A ⎛⎫= ⎪⎝⎭B A 、4B 、14C 、1D 、2 练14、设X 是n 维列向量，则X λ=DA 、X λB 、X λC 、n X λD 、n X λ练15、设A 为三阶方阵，2λ=-，3A =，则A λ=___B_______A 、24B 、24-C 、6D 、6-练16、设C B A ,,都是n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则222A B C ++=AA 、E 3B 、E 2C 、ED 、O17、设,A B 都是(2n n ≥）阶方阵，则必有__B_____A 、AB A B +=+B 、AB BA =C 、AB BA =D 、A B B A -=-练18、设B A 、都是n 阶方阵，λ为常数，则下列正确的是___D_______A 、()///AB A B =B 、()111AB A B ---=C 、/A A λλ=D 、B A AB =练19、若n 阶方阵A 、B 都可逆，AXB C =，则X =CA 、11ABC --B 、11CB A --C 、11A CB --D 、11B CA --练20、设A 是()2≥n n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则A A *=_____D_____A 、2AB 、 n AC 、2 n AD 、21 n A -练21、设A 是()2n n >阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则正确的是CA 、AA A *=B 、/1A A A*=C 、0A ≠，则0A *≠D 、若()1R A =，则()1R A *= 练22、设A 是n ()2n ≥阶方阵，B 是A 经过若干次初等变换后得到的矩阵，则DA 、AB =B 、A B ≠C 、若0A >则0B >D 、若0A =，则一定有0B = 练23、以下的运算中，能同时利用初等行变换和初等列变换求解的是AA 、计算行列式的值B 、求逆矩阵C 、解线性方程组D 、以上都不是练24、设A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C ，则C 等于__D_____ A 、B A B 、B A -C 、()B A n m 1-+D 、()B A mn 1-练25、设矩阵A 是m n ⨯矩阵，矩阵C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，矩阵B AC =，且()1R B r =，则____C______A 、1r r <B 、1r r >C 、1r r =D 、无法判断练26、下列矩阵中，不是初等矩阵的是BA 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100B 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010000001C 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001D 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100210001练27、向量组12,,...,n ααα线性相关的充要条件为___C_____A 、12,,...,n ααα中有一个零向量B 、12,,...,n ααα中任意两个向量成比例C 、12,,...,n ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合D 、12,,...,n ααα中任意一个向量都是其余向量的线性组合练28、n 维向量组12,,...,s ααα()n s ≤≤3线性无关的充要条件为_____C________A 、12,,...,s ααα中任何两个向量都线性无关B 、存在不全为0的数12,,...,s k k k ，使得1122...0s s k k k ααα+++≠C 、12,,...,s ααα中任何一个向量都不能由其余向量的线性表示D 、12,,...,s ααα中存在一个向量不能由其余向量的线性表示29、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、122αα+，232αα+，312αα+练30、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、122αα-，232αα-，312αα-D 、122αα+,232αα+，312αα+练31、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、12αα+，232αα+，313αα+练32、已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则Ax b =的通解为____B________A 、()12112122k k -++ββαα+αB 、()12112122k k ++-+ββααα C 、()12112122k k -+++ββαββD 、()12112122k k ++++ββαββ 33、若A 是正交阵，则下列各式中D 是错误的 A 、E A A ='B 、E A A ='C 、1-='A A D 、A A ='练34、下列矩阵中哪个是正交矩阵DA 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212221B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53545453D 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453 35、已知三阶矩阵A 有特征值1,1,2-，则下列矩阵中可逆的是DＡ、E A -B 、E A +C 、2E A -D 、2E A +练36、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1,2,3，则=x __B_______A 、5B 、4C 、3D 、1-练37、n 阶方阵A 可逆的充要条件是BA 、A 的特征值全为0B 、A 的特征值全不为0C 、A 至少有一个特征值不为0D 、A 的特征值全为0或1练38、设2λ=是可逆矩阵A 的特征值，则矩阵123A -⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个特征值等于______C______A 、43B 、12C 、34D 、14练39、n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是与对角矩阵相似的BA 、充分必要条件B 、充分非必要条件C 、必要非充分条件D 、既非充分又非必要条件练40、n 阶方阵A 与对角矩阵相似，则DA 、方阵A 有n 个不都相等的特征值B 、()r A n =C 、方阵A 一定是对称阵D 、方阵A 有n 个线性无关的特征向量41、、设三阶实对称矩阵A 的特征值为122λλ==，38λ=，对应于122λλ==的特征向量是1110x -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则对应于38λ=的特征向量是C A 、12,x x 中的一个B 、()/123C 、()/111D 、相交但不垂直练42、设A 为三阶矩阵，1231,1,2λλλ==-=为A 的3个特征值，对应的特征向量依次为123,,ααα，令321(,2,3)P ααα=，则1P AP -=DA 、100010002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B 、200020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C 、100020006⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D 、200010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 练43、实二次型()2322212132132,,x tx x x x x x x f +++=，当=t B ，其秩为2 A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题练1、排列2，6，3，5，1，9，8，4，7的逆序数是13练2、当i =8，j =3时，1274569i j 是偶排列练3、带负号且包含因子23a 和31a 的项为14233142a a a a -练4、带正号且包含因子23a 和31a 的项为14233241a a a a5、在五阶行列式中，项1231544325a a a a a 的符号应取正号练6、在六阶行列式中，项132432455661a a a a a a 的符号应取负号练7、在函数xx x x x x f 21112)(---=中，3x 的系数为28、311()13x f x x x x x -=--中，3x 的系数为3-练9、211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为7 练10、设111213212223313233a a a A a a a a a a =，且3A =，则1112132122233132332222222222a a a A a a a a a a ==24 练11、设五阶行列式3A =，先交换第1，5两行，再转置，最后用2乘以所有元素，其结果为96-练12、设行列式010200003D =，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式，则313233A A A ++=13、计算()40132573⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=()5- 14、222()2A B A AB B +=++的充要条件为AB BA =练15、22()()A B A B A B -=+-的充分必要条件是AB BA =16、设3318A ⨯=，则()22A =1 17、设442A ⨯=，552B ⨯=-，则A B -=6418、设A 是3阶矩阵，2A =，1A -为A 的逆矩阵，则12A -的值为______4________练19、设A 是3阶矩阵，12A =，则1(3)A A -*-=1108- 练20、已知为A 四阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，且3A =，则1143A A *--=_27__ 练21、设A 是3阶矩阵，且9A *=，则1A -=13± 练22、设A 是三阶方阵，且13A -=，则2A =83练23、设,A B 都是n 阶方阵，且2A =，3B =-，则12A B*-=2123n -- 24、设111111111111k k A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()3r A =，则k =3- 练25、A 为n 阶反对称矩阵，则/A A +=0练26、设矩阵A 满足240A A E +-=，其中E 为三阶单位矩阵，则1()A E --=1(2)2A E + 练27、设矩阵A 满足220A A E --=，其中E 为三阶单位矩阵，则1A -=1()2A E - 28、设是3阶矩阵，且AB E =，200010003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B =10020101003B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭29、设33100111100011111011001222001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪---= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1145520228⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12αα-=_()1,0,1-_______31、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12332ααα+-=__()0,1,2__32、已知1233()2()5()αααααα-++=+，其中()12,5,1,3,α=()210,1,5,10,α=()34,1,1,1,α=-则α=_()6,12,18,24__________练33、已知)9,7,5,3(=α，()1,5,2,0β=-，x 满足βα=+x 32，则=x ()17,5,12,183- 34、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，则23+-=αβγ(5,4,2,1)35、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，若有x ，满足3520x -++=αβγ，则x =57,1,,822⎛⎫-- ⎪⎝⎭练36、当=k 8-时)5,,1(k =β能由1(1,3,2)α=-，2(2,1,1)α=-线性表示37、设有向量组()13,2,5α=，()22,4,7α=，()35,6,αλ=，()1,3,5β=。
线性代数 综合复习资料
《线性代数（经）》综合复习资料第一章 n 阶行列式一、判断题 1.1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++ ）． （ ） 3、如果行列式0=D ，则D 中必有一行为零。
4. 设A 为n 级方阵：|A|=2 ，则|-3A|= -6 ( ) 5．ij ijA a D ,33⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . ( )二.填空题：2、设行列式1112132122233132333a a a a a a a a a =，则313233213122322333111213222222222222a a a a a a a a a a a a +++= 。
3、n 个方程、n 个未知量的齐次线性方程组0Ax =有非零解的充要条件是 。
4、设,A B 均为3阶方阵，且2,3A B ==-，则13A B *-= 。
5.设行列式30402222075322D =--，则41424344A A A A +++=____________.三.选择题1、设A 为3阶矩阵且行列式0A =，则下列说法正确的是（ ） （A ）矩阵A 中元素都等于0；（B ）矩阵A 中必有两列元素对应成比例；（C ）矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D ）矩阵A 中任一列向量是其余列向量的线性组合。
2、一个n 级方阵的行列式的值不为零，经若干次初等变换后，其行列式的值（ ）(A) 保持不变； (B ) 保持不为零； (C) 可变成任何值； ( D)保持相同的符号。
4. 已知4阶行列式D 的第三行元素分别是1，0，2，-3；第四行元素对应的代数余子式依次是5，10，t ，5，则t=( )(A) 3 (B) 4 (C)5 (D) 65.下列说法错误的是（ ）（A ）若n 阶线性方程组Ax b =的系数矩阵行列式0A ≠，则该方程组存在唯一解； （B ）若n 阶线性方程组0Ax =的系数矩阵行列式0A ≠，则该方程组只有零解； （C ）一个行列式交换两列，行列式值不变；（D ）若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零。
线性代数复习题
线性代数复习题一、选择题1. 设A为2×2矩阵，B为2×3矩阵，C为3×2矩阵，则下列哪个运算不合法？a) A + Bb) A - Bc) A × Cd) B × C2. 设A、B均为n阶可逆矩阵，下列哪个等式一定成立？a) (A · B)^-1 = B^-1 · A^ -1b) (A + B)^-1 = A^-1 + B^-1c) (A^T)^-1 = (A^-1)^Td) (AB)^-1 = A^-1 · B^-13. 若A为n阶反对称矩阵，则下列哪个结论一定成立？a) A主对角线元素全为零b) A的行列式一定为零c) A的特征值一定为零或纯虚数d) A的秩一定为n4. 设A为n阶矩阵，rank(A) = n，则下列哪个结论一定成立？a) A是可逆矩阵b) A的列空间维数为nc) A的零空间维数为nd) A的特征值都为非零数二、填空题1. 若A为对称矩阵，则A的主对角线元素为_______。
2. 若A为n阶矩阵，行列式为det(A) = 5，则A的逆矩阵的行列式为_______。
3. 若A为n阶矩阵，A的核空间的维数为2，则A的秩为_______。
4. 若A为n阶矩阵，行列式为det(A) = 0，则A一定________。
三、计算题1. 已知矩阵A = [4 3; 2 1]，求A的逆矩阵。
2. 已知矩阵A = [1 2 3; 0 1 4; 5 6 0]，求A的转置矩阵。
3. 已知矩阵A = [1 -2 3; 4 0 -1; 2 1 3]，求A的行列式和秩。
4. 已知矩阵A = [1 2 -1; 3 0 2; -2 1 4]，求A的特征值和特征向量。
四、应用题1. 某公司有5个部门，每个部门的工作效率可以用一个代号表示。
现有一矩阵A = [1 3 4 5 2; 2 5 1 3 4; 4 2 3 1 5; 5 4 2 3 1; 3 1 5 4 2] 表示各部门之间的协作效率。
线性代数讲义(复习)
a1 2, 3, 4, 5 ,
T
a 2 a 3 1,
2, 3,
T 4 ,
求方程组的通解。
15. 求一个非齐次线性方程组，使它的通解为 1 1 2 1 c1 3 c2 3 , (c1 , c2为任意常数) 3 2 1
2 g1 g 2 (c) k1a1 k 2 (g 1 g 2 ) 2
2 g1 g 2 (d ) k1a1 k 2 (g 1 g 2 ) 2
(b) k1a1 k 2 (a1 a 2 )
g1 g 2
14. 设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, a1, a2, a3是它的三个解向量，且
6. 设A为n阶可逆矩阵且A2 | A | I，证明：A* A.
7. 已知三阶矩阵的特征值为 1, -1, 2，则下列矩阵
中可逆的为 ( (A) 2A+A2 ) (B) A-2I (C) A2-I (D) A2+2A+I
8. 设A, B均为n阶非零方阵且AB=O, 则下列说法 正确的是 ( ) (A) A, B都不可逆; (B) A, B都可逆; (C) A, B中至少有一个可逆; (D) 以上均不正确.
am , 线性相关，则向量 可由向量组 a1, a2, …, am 唯
一地线性表出。
1. 设向量组a,,g 线性无关,向量组a,,d 线性相关，则
(A) (B) (C) (D)
a必可由,g,d 线性表出； 必不可由a,g,d 线性表出； d必可由a,,g 线性表出； d必不可由a,,g 线性表出。
10 . 设A为n阶方阵, | A | 0 且A* O，证明A*的任一非零 的列都构成齐次线性方程组Ax 0的基础解系。
线性代数复习题带参考答案
线性代数复习题带参考答案线性代数考试练习题带答案说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（） A.12 B.24 C.36D.482.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（） A.A -1CB -1B.CA -1B -1C.B -1A -1CD.CB -1A -13.已知A 2+A -E =0，则矩阵A -1=（） A.A -E B.-A -E C.A +ED.-A +E4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（）A.54321,,,,ααααα一定线性无关B.54321,,,,ααααα一定线性相关C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（） A.A =0 B.A =E C.r (A )=nD.0<="" )6.设A 为n 阶方阵，r (A )B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量C.Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =0没有解7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（）A.21ηη+是Ax =b 的解B.21ηη-是Ax =b 的解C.2123ηη-是Ax =b 的解D.2132ηη-是Ax =b 的解8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =??200540093的三个特征值，则321λλλ=（） A.20 B.24 C.28D.309.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（） A.21B.1C.23 D.210.二次型f (x 1,x 2,x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为（） A.1 B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数总复习题2
一、单项选择题1. n 行 列 式 0111101111011111=D 的 值 为 A.1 B.1)1(--n C.0 D.-12. 设n 阶 矩 阵 A 满 足A E 20=, 是n 阶 单 位 矩 阵， 则：______A.,0≠-A E 但E A +=0B.0=-A E 但E A +≠0C.,0=-A E 且E A +=0D.0≠-A E 且E A +≠03. 设 t () 表 示 排 列 的 逆 序 数, 则 t ()()()31472896516427531+- =A.10B.12.C.0.D.11.4. 设()121212212,314,.340205ij A B C c AB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则c 23=______A.22B.10C.3D.1-5. 设123014,(3(2))230F E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是 3 阶 给 单 位 矩 阵 的 第3 行( 列) 乘 以2 所得 的 初 等 方 阵, 则 E F (())32 等 于 ______A. 132041.203⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B. 123230.014⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C. 123014.460⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D. 126018.230⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6. 设 A 为 n 阶 阵， 秩 ()A n =-3 ,且ααα123,, 是AX =0 的 三 个 线 性 无 关 的 解 向 量 , AX =0的 基 础 解 系 为 ：______A.122331,,αααααα+++B.213213 ,,αααααα---C.21321312,,2αααααα--- D. 1233213,,2ααααααα++--- 7. 设A 为 m n ⨯矩 阵， 且m n <, 若A 的 行 向 量 组 线 性 无 关，b 为m 维 非零 列 向 量， 则______A.AX b =有 无 穷 多 解B.AX b = 仅 有 唯 一 解,C.AX b =无 解D.AX b =仅 有 零 解.8. 设 t () 表 示 排 列 的 逆 序 数, 则t t t ()()()756413263125423541-=A.0B.1C.2D.2-9 设 n 维 向 量 组 ααα12,,, m 线 性 无 关， 则 ：______ A.组 中 增 加 一 个 任 意 向 量 后 也 线 性 无 关B.组 中 去 掉 一 个 向 量 后 仍 线 性 无 关C.存 在 不 全 为0 的 数 k k m 1,, ， 使 k i i imα==∑01D.组 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余 向 量 线 性 表 示10. 设 三 阶 矩 阵 A 的 特 征 值 为 -1、3、4 ， 则 A 的 伴 随 矩 阵 的 特 征 A *值 为______A.12、-4、-3B.-1、13、14C.2、5、6D.-1、6、911. 若 方 程 组A X B m n m n ⨯=≤() 对 于 任 意m 维 列 向 量 B 都 有 解， 则______A.().R A n =B.().R A m =C.().R A n >D.().R A m <12. 设100110,001AB ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭且103211121A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,则B -=1______A.103112121⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭B.113231131-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭C.103311321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭D.112211121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭13. 设 t () 表 示 排 列 的 逆 序 数, 则)596287431(tA. 1B.2C.3D.1014. 已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则=a ______ (A) 2； (B) 2-； (C) 1； (D) 1-.15. n 阶（n>1）行列式 1111111111111111=D 的值为______(A) 0 （B ） 1 （C ） 1)1(--n （D ） -1 16. 已 知 向 量 组αα1,, m 线 性 相 关， 则______ A.该 向 量 组 的 任 何 部 分 组 必 线 性 相 关 B. 该 向 量 组 的 任 何 部 分 组 必 线 性 无 关 C.该 向 量 组 的 秩 小 于mD.该 向 量 组 的 最 大 线 性 无 关 组 是 唯一 的17. 线 性 方 程 组A X B m n ⨯= 有 解 的 必 要 条 件 是______ A.0B = B. m n < C. m n =D. ()(|)R A R A B = (其 中(A|B) 表 示 方 程 组 的 增 广 阵) 18. 设 向 量 组αααα1234,,, 线 性 无 关， 则______ A.12233441 , , , αααααααα+++- , 线 性 无 关B.12233441 , , , αααααααα++--, 线 性 无 关C.12233441 , , , αααααααα+---, 线 性 无 关D.12233441 , , , αααααααα---- , 线 性 无 关19. 设 D 为 九 阶 行 列 式, ),,,(921k k k t 表 示 k k k 129,,, 排 列 的 逆 序 数, 则t D ()123456789 等 于 A.1- B.D C.0 D.120. 设123,1,1),0,2,3),1,0,1),k ααα===（（（如它们线性相关，则k =_____ (A) 1/2 ； (B) -1/2；(C) 2 ； (D) －2。
线性代数总复习题1
总复习一、单项选择题1. n 行 列 式 0111101111011111=D 的 值 为 A.1 B.1)1(--n C.0 D.-12. 设n 阶 矩 阵 A 满 足A E 20=, 是n 阶 单 位 矩 阵， 则：______A.,0≠-A E 但E A +=0B.0=-A E 但E A +≠0C.,0=-A E 且E A +=0D.0≠-A E 且E A +≠03. 设 t () 表 示 排 列 的 逆 序 数, 则 t ()()()31472896516427531+- =A.10B.12.C.0.D.11.4. 设()121212212,314,.340205ij A B C c AB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则c 23=______A.22B.10C.3D.1-5. 设123014,(3(2))230F E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是 3 阶 给 单 位 矩 阵 的 第3 行( 列) 乘 以2 所得 的 初 等 方 阵, 则 E F (())32 等 于 ______A. 132041.203⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B. 123230.014⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C. 123014.460⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D. 126018.230⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6. 设 A 为 n 阶 阵， 秩 ()A n =-3 ,且ααα123,, 是AX =0 的 三 个 线 性 无 关 的 解 向 量 , AX =0的 基 础 解 系 为 ：______ A.122331,,αααααα+++ B.213213 ,,αααααα---C.21321312,,2αααααα--- D. 1233213,,2ααααααα++--- 7. 设A 为 m n ⨯矩 阵， 且m n <, 若A 的 行 向 量 组 线 性 无 关，b 为m 维 非零 列 向 量， 则______A.AX b =有 无 穷 多 解B.AX b = 仅 有 唯 一 解,C.AX b =无 解D.AX b =仅 有 零 解.8. 设 t () 表 示 排 列 的 逆 序 数, 则t t t ()()()756413263125423541-=A.0B.1C.2D.2-9 设 n 维 向 量 组 ααα12,,, m 线 性 无 关， 则 ：______ A.组 中 增 加 一 个 任 意 向 量 后 也 线 性 无 关B.组 中 去 掉 一 个 向 量 后 仍 线 性 无 关C.存 在 不 全 为0 的 数 k k m 1,, ， 使 k i i imα==∑01D.组 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余 向 量 线 性 表 示10. 设 三 阶 矩 阵 A 的 特 征 值 为 -1、3、4 ， 则 A 的 伴 随 矩 阵 的 特 征 A *值 为______A.12、-4、-3B.-1、13、14C.2、5、6D.-1、6、9 11. 若 方 程 组A X B m n m n ⨯=≤() 对 于 任 意m 维 列 向 量 B 都 有 解， 则______A.().R A n =B.().R A m =C.().R A n >D.().R A m <12. 设100110,001AB ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭且103211121A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,则B -=1______A.103112121⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭B.113231131-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭C.103311321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭D.112211121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭13. 设 t () 表 示 排 列 的 逆 序 数, 则)596287431(tA. 1B.2C.3D.1014. 已 知 向 量 组αα1,, m 线 性 相 关， 则______ A.该 向 量 组 的 任 何 部 分 组 必 线 性 相 关 B. 该 向 量 组 的 任 何 部 分 组 必 线 性 无 关 C.该 向 量 组 的 秩 小 于mD.该 向 量 组 的 最 大 线 性 无 关 组 是 唯一 的15. 线 性 方 程 组A X B m n ⨯= 有 解 的 必 要 条 件 是______ A.0B = B. m n < C. m n = D. ()(|)R A R A B = 16. 设 向 量 组αααα1234,,, 线 性 无 关， 则______ A.12233441 , , , αααααααα+++- , 线 性 无 关 B.12233441 , , , αααααααα++--, 线 性 无 关 C.12233441 , , , αααααααα+---, 线 性 无 关 D.12233441 , , , αααααααα---- , 线 性 无 关18. 设 D 为 九 阶 行 列 式, ),,,(921k k k t 表 示 k k k 129,,, 排 列 的 逆 序 数, 则t D ()123456789 等 于 A.1- B.D C.0 D.1 二、填空题19. 已 知 1254897i j 为 偶 排 列, 则 i =__________ , j =___________.20. 行 列 式a b b a a b b a00000000=_______________.21. 如 果 向 量 组I 的 某 个 部 分 组 线 性 相 关， 那 么 向 量 组I 本 身 线 性________ 关。
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线性代数复习题 第一章 矩阵一、 填空题1.矩阵A 与B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是 。
2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ⨯⨯==又()ij m n AB c ⨯=，问ij c = 。
3.设A 与B 都是n 级方阵，计算2()A B += , 2()A B -= ,()()A B A B +-= 。
4.设矩阵1234A ⎛⎫=⎪⎝⎭,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。
（注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)TY =-,201013122A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,计算XAY = 。
（特别地，若,X Y 为字母向量时也应该会表达）6.设矩阵AB 与BA 都有意义，问A 与B 的关系为 ；又若AB 与BA 为同级方阵，问A 与B 的关系为 。
7.设α是一个列向量，k 是一个数，分析k α与k α的意义 ，两者是否相等？答： 。
8.设向量()1,2,3,(1,1,1)T αβ==，则αβ= ，βα= 。
9.设矩阵2003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则100A = 。
10.设矩阵200012035A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 。
11.设准对角矩阵1200A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭,()f x 是多项式，则()f A = 。
12.设矩阵123456789A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R A = 。
13. 设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**___.AA A A ==14.设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。
15.矩阵123235471A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为__________，A 的伴随矩阵*A = 。
16.设A 是3阶可逆方阵，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。
17.设102040203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。
18.试写出n 阶方阵A 可逆的几个充分必要条件（越多越好） 。
19.设矩阵123235471A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，试写出行列式A 中(2,1)-元的代数余子式 ，A 中第三行元素的代数余子式之和= 。
20.设B 是34⨯矩阵且()2R B =，则B 的等价标准形为 。
21.设()m n R A n ⨯=，则A 的等价标准形为 。
22.设1211A ⎛⎫=⎪⎝⎭，2()2f x x =+，则()f A = 。
23.设120120135225A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的等价标准形为 。
24.设1200340000340057A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 。
25. 000000000000a b c d = 。
26.已知矩阵A 满足2230A A E +-=，则1A -= 。
27.设n 阶矩阵A 可逆，则*A = 。
28.试写出矩阵秩的定义 。
29.试写出n 阶行列式按第一列展开的定义 。
30.已知行列式D 中第三列元素依次为-1,2,0,1，其代数余子式分别为5,-3,-7,-4，则D =__ _。
31.已知C B A ,,为同阶方阵,且C 可逆,若B AC C =-1,则=-C A C m 1 (m 是整数)。
32.设D C B A ,,,均为n 阶方阵，且E ABCD =，则________________)()(=T T DA BC 。
33.设C B A ,,均为n 阶方阵，且E ABC =，则______________)(=T T CA B 。
34.若A ，B 都是n 阶方阵，1=A ，3-=B ，则_____________31*=-B A 。
35.设123200749A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 则 A -=1______。
36.设A 是n 阶方阵，()2R A n =-，则*A = 。
37.设A 是n 阶可逆方阵，则(R *)A = 。
38.设A 是n 阶方阵，()1R A n =-，则(R *)A = .39.试写出两个分块矩阵乘法有意义的条件 。
40.设分块矩阵1234A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则TA = 。
41.已知行列式D 中第三列元素依次为-1,2,0,1，其余子式分别为5,-3,-7,-4，则D =__ _。
二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1.设矩阵,A B 满足0AB =，则0A =或0B =。
2.矩阵乘法适合交换律。
3.设,A B 是n 级方阵，则22222()2,()()A B A AB B A B A B A B +=++-=+-。
4.设,,A B C 是同级非零方阵，若AB AC =，则B C =。
5.设12,αα是方程组AX β=的解，则12αα+是AX β=的解，12αα-是0AX =的解。
6.设12,αα是线性方程组0AX =的解，则12αα+是0AX =的解。
7.设12,αα是线性方程组AX β=的解，则12(1)k k αα+-是AX β=的解，k 是任意常数。
8.矩阵010100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭可逆，且其逆为其本身。
类似有100030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，102010001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭同样问题。
9.设非零矩阵,,A B C 满足AB AC =，则B C =。
10.若一行列式为零，则该行列式中必有两行或两列称比例。
（或必有一行或一列为零） 11.若方阵A 可逆，则其伴随矩阵*A 也可逆。
12.n 阶方阵A 满足220A A E --=，则E A -可逆。
13.若20A=，则必有0A =。
14.设A 是n 阶方阵， 且0A a =≠， 则 *11A A a==。
15.设A A=2，则E A =或0=A 。
16.设A ,B 都是n 阶方阵,若A ,B 都可逆,则B A +可逆。
17.若矩阵A 的秩为r ，则A 中必有某一个1r -阶子式不等于零。
18.若n 阶方阵A 的秩()1R A n <-，则其伴随阵*0A =。
19.设A 是n 阶矩阵，则kA k A =。
20. 设矩阵,,A B C 满足AB AC =，且A 可逆，则B C =。
三、解答题1.求325110311120324A =---，1213011423412130--，0111123023411241-，2111121111211112。
2. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=311412A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=131210131B ，计算AB ,TAB AB -。
3. 设3阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且21=A ，求*--A A 2)4(1。
4. 求ab a b D b a b a a bab +=++。
5.已知1010212000101111A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求1A -。
6.设232131231214212112832A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，求A 。
7.设11101111101111,00200010002001A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。
试用矩阵分块方法求,T B AB 。
8.用两种方法求下列矩阵的逆012211234,001479100A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9.利用初等变换与初等矩阵的关系计算下列矩阵的乘积111213212223313233100100111001020010010001001a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.写出下列矩阵的等价标准形21111121,46223743--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭13213110111110213120⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，111111112k k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（对k 讨论）11.设矩阵1112312536A λμ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，求λ，μ。
12.求解线性方程组（1）12312312323231249x x x x x x x x x +-=-⎧⎪+-=-⎨⎪--=-⎩；（2）1234123412341234222225234237517x x x x x x x x x x x x x x x x -++=-⎧⎪+--=⎪⎨-++=-⎪⎪+-+=⎩。
13.设2321312331214231112832A ⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦， 求A 。
14.设100111A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，124142B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求TB A 。
15.设A 是n 阶方阵,且2=A ,求*--A A 231,其中*A 是A 的伴随矩阵。
16. 教材中的例题和不带*的习题。
第二章 线性方程组一、 填空题1.试写出线性方程组有解的一个充分必要条件 。
2.设A 是n 阶方阵，且秩()A r n =<，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含 个解向量。
3.方程组12341234233207230x x x x x x x x -+-=⎧⎨-++=⎩的基础解系中含 个解向量。
4.设12,αα是(3)n n ≥元齐次线性方程组0Ax =的基础解系，则秩(A )= 。
5.矩阵n m A ⨯的秩为r ，则0=AX 的基础解系一定由________个线性无关的解向量构成。
6.若方程组1231001110020x x x λλ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦有非零解，则 0 λλ==或。
7.设A 是n 阶方阵,若线性方程组0=AX 有非零解,则必有=A 。
8.设A 是n 阶方阵,()2-=n A R ,则线性方程组0=AX 的基础解系所含向量的个数是 。
9.1(1,3,5)α=, 2(1,1,3)α=, 3(1,,6)a α=线性相关 ,则a 的值为__________。
10.若向量 (2,3,1,0,1)-与 (4,6,2,,2)a ---线性相关，则a 的取值为 。
11.设向量组1(1,2,3)α=，2(2,1,3)α=，3(1,1,0)α=-,则向量组123,,ααα的秩是 。
12.设向量组I ：αα1,,Λr 的秩为p ， 向量组II ：ββ1,,Λs 秩为q ， 且向量组I 能由向量组II 线性表出，则p 与q 的大小关系是_________________。
13.设向量组 I:αα1,,Λs 线性无关，而ββ12, 都能由I 线性表出，则秩(ααββ112,,,,Λs )= 。
14.已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组,则各个最大线性无关组所含向量的个数必定 。