线性代数讲义复习题

线性代数复习题 第一章 矩阵

一、 填空题

1.矩阵A 与B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是 。

2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ⨯⨯==又

()ij m n AB c ⨯=，问ij c = 。

3.设A 与B 都是n 级方阵，计算2

()A B += , 2()A B -= ,

()()A B A B +-= 。

4.设矩阵1234A ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 （注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）

5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)T

Y =-,201013122A -⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,计算XAY = 。

（特别地，若,X Y 为字母向量时也应该会表达）

6.设矩阵AB 与BA 都有意义，问A 与B 的关系为 ；又若AB 与BA 为同级方阵，问A 与B 的关系为 。

7.设α是一个列向量，k 是一个数，分析k α与k α的意义 ，两者是否相等？答： 。

8.设向量()1,2,3,(1,1,1)T α

β==，则αβ= ，βα= 。

9.设矩阵2003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则100A = 。10.设矩阵200012035A ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪

⎝⎭

，则1

A -= 。

11.设准对角矩阵1

200A A A ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

,()f x 是多项式，则()f A = 。 12.设矩阵123456789A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，则()R A = 。13. 设*

A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**___.AA A A ==

14.设*

A 是n 阶方阵

A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。

15.矩阵123235471A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

的秩为__________，A 的伴随矩阵*

A = 。

16.设A 是3阶可逆方阵，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。

17.设102040203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。 18.试写出n 阶方阵A 可逆的几个充分必要条件（越多越好） 。

19.设矩阵123235471A ⎛⎫

⎪

=- ⎪

⎪⎝⎭

，试写出行列式A 中(2,1)-元的代数余子式 ，A 中第三行

元素的代数余子式之和= 。

20.设B 是34⨯矩阵且()2R B =，则B 的等价标准形为 。 21.设()m n R A n ⨯=，则A 的等价标准形为 。22.设1211A ⎛⎫=

⎪⎝⎭

，2

()2f x x =+，

则()f A = 。 23.设120120135225A -⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的等价标准形为 。 24.设12003

40000340

05

7A ⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，则1

A -= 。 25. 000000

000000

a b c d = 。 26.已知矩阵A 满足2

230A A E +-=，则1A -= 。 27.设n 阶矩阵A 可逆，则*A = 。

28.试写出矩阵秩的定义 。 29.试写出n 阶行列式按第一列展开的定义 。 30.已知行列式D 中第三列元素依次为-1,2,0,1，其代数余子式分别为5,-3,-7,-4，则D =__ _。 31.已知C B A ,,为同阶方阵,且C 可逆,若B AC C =-1

,则=-C A C m 1 (m 是整数)。

32.设D C B A ,,,均为n 阶方阵，且E ABCD =，则________________)()(=T T DA BC 。 33.设C B A ,,均为n 阶方阵，且E ABC =，则______________)(=T T CA B 。

34.若

A ，

B 都是n 阶方阵，1=A ，3-=B ，则_____________31*=-B A 。

35.设123200749A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

, 则 A -=1

______。36.设A 是n 阶方阵，()2R A n =-，则*A = 。 37.设

A 是n 阶可逆方阵，则(R *)A = 。38.设A 是n 阶方阵，()1R A n =-，则(R *)A = .

39.试写出两个分块矩阵乘法有意义的条件 。

40.设分块矩阵1234A A A A A ⎛⎫=

⎪⎝⎭

，则T

A = 。 41.已知行列式D 中第三列元素依次为-1,2,0,1，其余子式分别为5,-3,-7,-4，则D =__ _。

二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）

1.设矩阵,A B 满足

0AB =，则0A =或0B =。 2.矩阵乘法适合交换律。

3.设,A B 是n 级方阵，则2

2222()2,()()A B A AB B A B A B A B +=++-=+-。

4.设,,A B C 是同级非零方阵，若AB AC =，则B C =。

5.设12,αα是方程组

AX β

=的解，则12αα+是AX β

=的解，1

2αα-是0AX =的解。

6.设12,αα是线性方程组0AX =的解，则12αα+是0AX =的解。

7.设12,αα是线性方程组

AX β

=的解，则12(1)k k αα+-是

AX β=的解，k 是任意常数。

8.矩阵010100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭可逆，且其逆为其本身。类似有100030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，102010001⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

同样问题。

9.设非零矩阵,,A B C 满足

AB AC =，则B C =。

10.若一行列式为零，则该行列式中必有两行或两列称比例。（或必有一行或一列为零） 11.若方阵

A 可逆，则其伴随矩阵*A 也可逆。 12.n 阶方阵A 满足220A A E --=，则E A -可逆。

13.若2

0A

=，则必有0A =。 14.设A 是n 阶方阵， 且0A a =≠， 则 *11

A A a

=

=。 15.设A A

=2

，则E A =或0=A 。 16.设A ,B 都是n 阶方阵,若A ,B 都可逆,则B A +可逆。

17.若矩阵

A 的秩为r ，则A 中必有某一个1r -阶子式不等于零。

18.若n 阶方阵

A 的秩()1R A n <-，则其伴随阵*0A =。19.设A 是n 阶矩阵，则kA k A =。

20. 设矩阵,,A B C 满足

AB AC =，且A 可逆，则B C =。

三、解答题

1.求

3

251103111

203

2

4

A =

---，

1213011423412130--，

01

111

2302341

1241-，2

111121111211

112

。