第17讲：反比例函数

反比例函数

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1.掌握反比例函数的意义

2.了解k 的符号不同，反比例函数与图像对应的性质

1.定义：一般地，形如x

k y =（k 为常数，0≠k ）的函数称为反比例函数。x k

y =还可以写成

__________。

2.反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数___________.

⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3.反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法

① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x

k

y =

（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过______，断开的两个分支，延伸部分逐渐_______坐标轴，但是永远______________相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是______________）。 ⑷反比例函数x k y =

（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x

k

y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为______。 4．反比例函数性质如下表：

k的取

值

图像所在象限函数的增减性

o

k>___________ 在每个象限内，y值随x的增大而减小

o

k<二、四象限____________________________________

5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）

6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数

x

k

y=

中的两个变量必成反比例关系。

1.反比例函数定义

【例1】如果函数2

22-

+

=k

k

kx

y的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么K的值是多少？函数的解析式？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数

x

k

y=，（0

≠

k）即kx

y=1-（0

≠

k）又在第二，四象限内，则0

<

k可以求出的值

【答案】由反比例函数的定义，得：

⎩

⎨

⎧

<

-

=

-

+

1

2

22

k

k

k

解得

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

<

=

-

=

2

1

1

k

k

k或

1-

=

∴k

1-

=

∴k时函数2

22-

+

=k

k

kx

y为

x

y

1

-

=

练习1．已知y=（a﹣1）是反比例函数，则a= ．

练习2.如果函数y=（k+1）是反比例函数，那么k= ．

练习3.如果函数y=x2m﹣1为反比例函数，则m的值是．

2.增减性问题

【例2】在反比例函数

x

y

1

-

=的图像上有三点(1x，)1y，(2x，)2y，(3x，)3y。若3

2

1

0x

x

x>

>

>则下列各式正确的是（）

A．

2

1

3

y

y

y>

> B．

1

2

3

y

y

y>

> C．

3

2

1

y

y

y>

> D．

2

3

1

y

y

y>

>

练习4.若A（－3，y1），B（－2，y2），C（－1，y3）三点都在函数y＝－

x

1

的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）．

A.y1＞y2＞y3

B.y1＜y2＜y3

C.y1＝y2＝y3

D.y1＜y3＜y2

练习5.已知反比例函数y＝

x

m

2

1-

的图象上有A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当x1＜x2＜0时，

y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）．

A.m ＜0

B.m ＞0

C.m ＜21

D.m ＞2

1

3.交点问题

【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数x

m

n y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）

【解析】⎩⎨

⎧==⎪⎩

⎪⎨⎧=-=+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=12132

212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线 ⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎪⎩

⎪

⎨⎧=+==+=∴2

21111121,12221

1y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为

()11--∴，另一个点为

【答案】（-1，-1） 练习6.13.若反比例函数y ＝x

b 3

-和一次函数y ＝3x ＋b 的图象有两个交点，且有一个交点的纵坐标为6，则b ＝______． 4.面积问题

【例4】如图，在AOB Rt ∆中，点A 是直线m x y +=与双曲线x

m

y =

在第一象限的交点，且2=∆AOB S ，则m 的值是_____.

图4

【解析】因为直线m x y +=与双曲线x

m

y =过点A ,设A 点的坐标为()A A y x ,. 则有A

A A A x m

y m x y =

+=,.所以A A y x m =. 又点A 在第一象限,所以A A A A y y AB x x OB ====,. 所以m y x AB OB S A A AOB 2

1

2121==•=

∆.而已知2=∆AOB S .