数值计算方法期末考精彩试题

1. 已知函数

21

1y x =

+的一组数据：

求分段

线性插值函数，并计算

()

1.5f 的近似值.

计算题1.答案

1. 解

[]

0,1x ∈，

()1010.510.50110x x L x x --=

⨯+⨯=---%

[]1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--% 所以分段线性插值函数为

()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨

-∈⎪⎩%

()1.50.80.3 1.50.35

L =-⨯=%

4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1

01

1dx x +⎰.

计算题4.答案

4 解 梯形公式

()()()2b

a

b a

f x dx f a f b -≈

⎡+⎤⎣⎦⎰

应用梯形公式得

1

01111

[]0.75121011dx x ≈+=+++⎰

辛卜生公式为

确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度

()()()()

1010h

h

f x dx A f h A f A f h --=-++⎰

证明题答案

故

(

)()()()40333h

h

h h

f x dx f h f f h -=

-++⎰

具有三次代数精确度。

1．设

3

2

01219

(), , 1, 44f x x x x x ====

（1）试求()f x 在

19,44⎡⎤⎢⎥

⎣⎦上的三次Hermite 插值多项式()x H 使满足''11()(), 0,1,2,... ()()j j H x f x j H x f x ===

()

x H 以升幂形式给出。

（2）写出余项()()()R x f x H x =-的表达式

计算题1.答案

1、（1）

()32142632331

22545045025x x x x H =-

++-

（2）

()522191919()(1)(),()(,)

4!164444R x x x x x ξξξ-=---=∈

3．试确定常数A ，B ，C 和 a ，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？

计算题3.答案

4．推导常微分方程的初值问题00

'(,)

()y f x y y x y =⎧⎨

=⎩的数值解公式：

'''1111(4)

3n n n n n h y y y y y +-+-=+++

（提示：利用Simpson 求积公式。）

计算题4.答案

(1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式2()sin 0.34L x 计算的值。 插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。

计算题1.答案

4).（15分）求系数123,,A A A 和使求积公式

1

1231

11

()(1)()()233f x dx A f A f A f -≈-+-+≤⎰对于次数的一切多项式都精确成立。

计算题4.答案

三、计算题（70分）

1.

（10分）已知f (0)＝1，f (3)＝2.4，f (4)＝5.2，求过这三点的

二次插值基函数l 1(x )=( )，

]4,3,0[f =( ), 插值多项式

P 2(x )=( ), 用三点式求得

=')4(f ( ).

计算题1.

答案

3. （15分）确定求积公式

)

5.0()()5.0()(11

1

Cf x Bf Af dx x f ++-≈⎰

- 的待

定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.

计算题3.答案

4. （15分）设初值问题 1

01

)0(23<<⎩⎨

⎧=+='x y y

x y .

(1) 写出用Euler 方法、步长h =0.1解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进的Euler 法（梯形法）、步长h =0.2解上述初值问题数

值解的公式，并求解21,y y ，保留两位小数。

计算题4.答案

5. （15分）取节点1,5.0,0210===x x x ，求函数x

e y -=在区间]1,0[上的二次插

值多项式)(2x P ，并估计误差。

计算题5.答案

5．

)5.0

)(

(

1

5.0

1

5.0

1

)0

(

5.0

1

)

(

5.0

5.0

1

5.0

2

-

-

-

-

-

-

-

-

+

-

-

-

+

=

-

-

-

-

x

x

e

e

e

x

e

e

x

p

=1+2()5.0

(

)1

2

(2

)15.0

1

5.0-

+

-

+

--

-

-x

x

e

e

x

e

[]

(

!3

)

(

)

(

,1

max

,

2

1,0

''

3

''-

'''

=

-

=

=

-

=

∈

-x

x

f

x

p

e

y

M

e

y x

x

x

ξ

时

1

0≤

≤

∴x，

)1

)(

5.0

(

!3

1

)

(

2

-

-

≤

-x

x

x

x

p

e x

二、计算题

1、已知函数()

y f x

=的相关数据

由牛顿插值公式求三次插值多项式3

()

P x，并计算

1

3()

2

P

=

的近似值。

计算题1.答案

解：差商表

由牛顿插值公式：