北航应用数理统计考试题及参考解答

北航2010《应用数理统计》考试题及参考解答
09B
一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12
15(,,)X X X 是来自X 的样本，则22
110
22
11152()
X X U X X ++=++服从的分布是_______ .
解：(10,5)F ．
2，ˆn
θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n n
n n E θθθ→∞
→∞
==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2
χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .
解：推断各因素对试验结果影响是否显著．
5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计ˆβ
的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解：1ˆσ-'2Cov(β)
=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1，设总体~(1,9)X N ，129(,,
,)X X X 是X 的样本，则___B___ .
（A ）
1~(0,1)3X N -； （B ）1
~(0,1)1X N -； （C ）
1
~(0,1)
9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)X
N μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的
置信区间____B___ .
（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.
3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；
（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.
4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .
（A ）T e A S S S =+； （B ）22
(1)A
S r χσ
-；
（C ）
/(1)(1,)/()
A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.
5，在多元线性回归分析中，设ˆβ
是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则___B____ . （A ）ˆn E ()=0ε
； （B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）
ˆˆ1
n p '--εε是2
σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.
三、（本题10分）设总体21(,)X
N μσ、22(,)Y N μσ，112(,,
,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别
是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和2
2
X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明
12(2)X Y t n n +-，
其中22
2
1212(1)(1)2
X Y
n S n S S n n ω-+-=+-.
证明：易知
2
2
121
2
(,
)X Y
N n n σσμμ--+
，
(0,1)X Y U N =
．
由定理可知
2
2
112
(1)(1)X
n S n χσ
--，
2
2222
(1)(1)Y
n S n χσ
--．
由独立性和2
χ分布的可加性可得
2
2
212122
2
(1)(1)(2)X
Y
n S n S V n n χσσ--=
+
+-．
由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得
12(2)X Y t n n =
+-．
四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1
, 0,21
(;), 1,2(1)
0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩
其他，其中参数01)θ
θ<<（ 未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证
明2
4X 不是2
θ的无偏估计量．
解：（1）
10
1()(,)22(1)42
x x E X xf x dx dx dx θθθ
θθθ+∞-∞
==+=+-⎰
⎰
⎰，
令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22
X θ
=-． （2）
22221114
1 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n n
θθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，
因为()00D X θ≥>，，所以2
2
(4)E X θ>．故2
4X 不是2θ的无偏估计量．
五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个
样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为
1
,0;(,)0,x f x θ
θθ≤≤⎧=⎨⎩
其他,
似然函数为
1
,0,1,2,,,
()0,
n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨
⎪⎩其它
显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12
ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的
极大似然估计．
六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一
个UMVUE ．
证明：X 的分布律为
1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．
容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是
2
1
()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==
⎢⎥∂-⎣⎦
． 另一方面
1(1)1
Var()Var()()
p p X X n n nI p -=
==， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．
七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布2
0(,)N μσ，由以前的观测可知056μ=．现有
一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得2
61, 400x s ==, 问此仪器测出的结果与以往相
比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：
t 分布表 χ2
分布表
解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量
)15(~0
t n
s X t μ-=
， 确定拒绝域的形式2
t t α⎧⎫>⎨⎬⎩
⎭
．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒绝域{}1315.2>t ．
而60,
16==x n ，从而 ||0.8 2.1315t =
==<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．
八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，2
11~(,)X μσ，2
22~(,)Y μσ，2
2
1212, , , μμσσ未知，
112(,,
,)n X X X 和2
12(,,
,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2
122
σσ的置信度为1α-的置信区间.
解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2
2
21 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 则
22222
1211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭
，
所求222
1σσ的置信度为α-1的置信区间为 2222
12121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭
．
九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．。