组合知识点及题型归纳总结
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
组合数学例题和知识点总结
组合数学例题和知识点总结组合数学是一门研究离散对象的组合结构及其性质的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些例题来深入理解组合数学中的重要知识点。
一、排列组合排列是指从给定的元素集合中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列。
组合则是指从给定的元素集合中取出若干个元素组成一组，不考虑其顺序。
例题 1：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行排列，有多少种不同的排列方式？解：根据排列的公式，＼（A_{5}＾3 ＝ 5×4×3 ＝ 60\）（种）例题 2：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行组合，有多少种不同的组合方式？解：根据组合的公式，＼（C_{5}＾3 ＝＼frac{5×4×3}｛3×2×1} ＝10\）（种）知识点总结：1、排列数公式：＼（A_{n}＾m ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1)＼）2、组合数公式：＼（C_{n}＾m ＝＼frac{n!｝｛m!（n m)！｝＼）二、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集的元素个数。
例题 3：在一个班级中，有 20 人喜欢数学，15 人喜欢语文，10 人既喜欢数学又喜欢语文，求喜欢数学或语文的人数。
解：设喜欢数学的集合为 A，喜欢语文的集合为 B，则喜欢数学或语文的人数为＼（｜A ∪ B| ＝｜A| ＋｜B| ｜A ∩ B| ＝ 20 ＋ 15 10＝ 25\）（人）知识点总结：容斥原理的一般形式：＼（｜＼cup_{i=1}＾｛n} A_i| ＝＼sum_{i=1}＾｛n} ｜A_i| ＼sum_{1\leq i ＜ j\leq n} ｜A_i ∩ A_j| ＋＼sum_{1\leq i ＜ j ＜ k\leq n} ｜A_i ∩ A_j∩ A_k| ＋（－1)＾｛n 1} ｜A_1 ∩ A_2 ∩ ∩ A_n|＼）三、鸽巢原理鸽巢原理也叫抽屉原理，如果有 n ＋ 1 个物体放入 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会放有两个或更多的物体。
组合问题知识点
组合问题知识点一、基础概念理解（5题）1. 从5个不同元素中取出3个元素的组合数是多少？- 解析：根据组合数公式C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，这里n = 5，k=3。
则C_5^3=(5!)/(3!(5 - 3)!)=(5×4×3!)/(3!×2×1)=10。
2. 若C_n^2 = 10，求n的值。
- 解析：由组合数公式C_n^2=(n!)/(2!(n - 2)!)=(n(n - 1))/(2)=10，即n(n -1)=20，展开得到n^2-n - 20 = 0，因式分解为(n - 5)(n+4)=0，解得n = 5或n=-4。
因为n>0，所以n = 5。
3. 组合数C_8^5与C_8^3有什么关系？- 解析：根据组合数的性质C_n^k=C_n^n - k，这里n = 8，k = 5，n-k=3，所以C_8^5=C_8^3=(8!)/(5!(8 - 5)!)=(8!)/(3!(8 - 3)!)=56。
4. 计算C_10^0+C_10^1+·s+C_10^10的值。
- 解析：根据二项式定理(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，当a=b = 1时，(1 + 1)^n=∑_k = 0^nC_n^k，这里n = 10，所以C_10^0+C_10^1+·s+C_10^10=2^10=1024。
5. 解释组合与排列的区别。
- 解析：排列是指从n个不同元素中取出m个元素按照一定顺序排成一列，与元素的顺序有关；而组合是从n个不同元素中取出m个元素组成一组，与元素的顺序无关。
例如从1、2、3中取两个数，排列有(1,2)、(2,1)、(1,3)、(3,1)、(2,3)、(3,2)共6种情况，而组合只有{1,2}、{1,3}、{2,3}共3种情况。
二、组合数的应用（10题）6. 有10个学生，从中选3个学生参加数学竞赛，有多少种选法？- 解析：这是一个组合问题，从10个不同元素（学生）中选取3个元素（学生）的组合数，根据组合数公式C_10^3=(10!)/(3!(10 - 3)!)=(10×9×8)/(3×2×1)=120种选法。
组合排列知识点总结图
组合排列知识点总结图组合和排列是组合数学中的两个基本概念，它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。
本文将对组合和排列的基本概念、性质、计算方法和应用进行详细总结。
一、组合的基本概念1.1 定义组合是指从n个元素中任取m个元素的一个过程，即从n个元素中选出m个元素的不同子集的个数，记作C(n,m)。
1.2 性质（1）组合数的对称性: C(n,m)=C(n,n-m)；（2）组合数的递推关系: C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)；（3）组合数的定理: C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
1.3 计算方法（1）排列组合法: 通过从n个元素中选择m个元素，再对选出的元素进行排列，计算出不同子集的个数；（2）递推法: 利用组合数的递推关系计算组合数；（3）公式法: 利用组合数的定理计算组合数。
1.4 应用组合数在概率、统计、密码学、组合优化等领域有着广泛的应用，例如在概率中用于计算事件的发生可能性，在密码学中用于设计密码系统等。
二、排列的基本概念2.1 定义排列是指从n个元素中按照一定的顺序取出m个元素的一个过程，即从n个元素中选出m个元素的不同排列的个数，记作A(n,m)。
2.2 性质（1）排列数的递推关系: A(n,m)=n*A(n-1,m-1)；（2）排列数的定理: A(n,m)=n!/(n-m)!。
2.3 计算方法（1）递推法: 利用排列数的递推关系计算排列数；（2）公式法: 利用排列数的定理计算排列数；（3）循环法: 利用循环的方法计算排列数。
2.4 应用排列数在数学、经济学、计算机科学等领域有着广泛的应用，例如在计算机科学中用于设计算法和数据结构，在经济学中用于研究排列相关的问题等。
三、组合排列的应用3.1 组合排列的求解（1）组合排列的具体问题求解：如从10个不同的元素中取3个元素，求排列数和组合数等；（2）组合排列的问题求解方法: 利用组合数和排列数的定义、性质和计算方法进行具体问题的求解。
高中组合知识点归纳总结
高中组合知识点归纳总结在高中数学学科中，组合是一个重要的内容领域，涵盖了排列、组合和二项式定理等知识点。
本文将对高中组合知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地掌握这一部分内容。
一、排列1. 定义：排列是指从一组元素中选取若干个元素按特定的顺序排列的方式。
根据排列的特征，可以分为有放回排列和无放回排列。
2. 有放回排列：从n个元素中选取r个元素进行排列，每个元素都可以重复选取。
计算公式为P(n,r) = n^r。
3. 无放回排列：从n个元素中选取r个元素进行排列，每个元素只能选取一次。
计算公式为A(n,r) = n! / (n-r)!。
二、组合1. 定义：组合是指从一组元素中选取若干个元素按照无序排列的方式。
根据组合的特征，可以分为有放回组合和无放回组合。
2. 有放回组合：从n个元素中选取r个元素进行组合，每个元素都可以重复选取。
计算公式为C(n,r) = (n+r-1)! / (r!(n-1)!。
3. 无放回组合：从n个元素中选取r个元素进行组合，每个元素只能选取一次。
计算公式为C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)。
三、二项式定理1. 定义：二项式定理是数学中的一个重要定理，描述了二次幂的展开式中的系数。
具体公式为(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + ... + C(n,n)a^0*b^n。
2. 应用：二项式定理在代数、概率和组合等领域都有广泛的应用。
例如，在计算二次幂的展开式时，可以根据二项式定理快速求解。
四、题型归纳在高中数学考试中，组合相关的题目主要有以下几种类型：1. 求排列、组合的个数：题目给出了元素个数和排列或组合的条件，要求计算可能的个数。
2. 求排列、组合的具体情况：题目给出了元素个数和排列或组合的条件，需要求出具体的排列或组合情况。
3. 求满足条件的概率：题目给出了元素个数和排列或组合的条件，需要求出满足条件的概率。
组合数学知识点总结
组合数学知识点总结组合数学是一门研究离散对象的计数、排列、组合和优化等问题的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学、化学等众多领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下组合数学的一些重要知识点。
一、基本计数原理1、加法原理如果完成一件事情有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn种不同的方法。
2、乘法原理如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
这两个原理是组合数学中最基本的原理，许多计数问题都可以通过这两个原理来解决。
二、排列与组合1、排列从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记为 A(n, m)，其计算公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素进行排列，排列数为 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 602、组合从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记为 C(n, m)，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m! （n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素的组合数为 C(5, 3) ＝ 5!／ 3! （5 3)！＝ 10组合与排列的区别在于，排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
三、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集中元素的个数。
设A1, A2, …， An 是有限集合，其元素个数分别为｜A1|，｜A2|，…，｜An|，则它们的并集的元素个数为：｜A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| ＝∑｜Ai| ∑｜Ai ∩ Aj| ＋∑｜Ai ∩ Aj ∩Ak| … ＋（－1)＾（n 1) ｜A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An|容斥原理在解决包含与排除问题时非常有用。
排列组合知识总结+经典题型
排列组合知识总结+经典题型(1)知识梳理 1．分类计数原理〔加法原理〕：完成一件事，有几类方法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有2．分步计数原理〔乘法原理〕：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进展正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。
3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.4．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n 个不同〔1〕规定0! = 1〔2〕含有可重元素的排列问题.对含有一样元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n =特别提醒：排列与组合的联络与区别.联络：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按以下要求站一横排，分别有多少种不同的站法？〔1〕甲不站两端；〔2〕甲、乙必须相邻；〔3〕甲、乙不相邻；〔4〕甲、乙之间间隔两人；〔5〕甲、乙站在两端；〔6〕甲不站左端，乙不站右端.考点二:组合问题例2. 男运发动6名，女运发动4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在以下情形中各有多少种选派方法？〔1〕男运发动3名，女运发动2名；〔2〕至少有1名女运发动；〔3〕队长中至少有1人参加；〔4〕既要有队长，又要有女运发动.考点三:综合问题例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.〔1〕恰有1个盒不放球，共有几种放法？〔2〕恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？〔3〕恰有2个盒不放球，共有几种放法？当堂测试1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，那么不同的组队方案共有〔〕A.70 种B.80种C.100 种D.140 种2.亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，假设其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，那么不同的选派方案共有〔〕A.48 种B.12种C.18种D.36种3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为〔〕A.48B.12C.180D.1624.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。
排列组合知识点归纳总结
排列组合知识点归纳总结
排列组合
1. 定义：排列是指将n个不同元素的一组按某种规律排成一列的过程；组合是指从n个不同元素中取任意多个元素一组组合，不考虑顺序称
作组合。
2. 公式：排列公式A(n,m)：n(n-1)...(n-m+1)；组合公式C(n,m)：
n!/(m!(n-m)!)
3. 例题：
（1）从学校里的20个男生和10个女生中任取5人参加一次活动，这
次活动一共有多少种选择？
用排列的方法来求的话，总的选择数为
A(30,5)=30*29*28*27*26=653,800；用组合方法来求的话，总的选择数
为C(30,5)=30!/(5!*25!)=653,800。
（2）如何从10名男生中组成一个不相同的三人小组？
用排列的方法来求的话，总的选择数为A(10,3)=10*9*8=720；用组合
方法来求的话，总的选择数为C(10,3)=10!/(3!*7!)=120。
4. 实际应用：排列组合在数学中极为重要，其应用贯穿于数学当中的
很多领域，如余弦定理、泰勒公式、抛物线等。
诸如加密或者信息安全，以及网络安全等，其中也应用了排列组合的原理，以增强安全性。
同时，它还广泛会被用在生产调度、选号、玩游戏、医学等各种领域下。
《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -； 规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？ （4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）恰好有一名女生的不同选法？ 分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？ （2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2） 最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（ ）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（ ）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（ ）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（ ）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（ ）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（ ）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（ ）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（ ）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（ ）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟 二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（ ）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（ ）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（ ） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（ ） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（ ） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（ ）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（ ） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（ ） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（ ）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（ ） 妙记巧学，归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻； （2）甲乙互不相邻； （3）甲乙必须站两端； （4）甲乙不在两端； （5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？ （1）分成相等的三份； （2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（ ）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（ ）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（ ）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（ ）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（ ）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（ ）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（ ）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（ ）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（ ）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（ ）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（ ）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（ ）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟： 排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。
组合数学知识点归纳总结
组合数学知识点归纳总结一、集合和排列集合和排列是组合数学中最基本的概念。
集合是由一些互不相同的对象组成的整体，每个对象称为集合的元素；排列是对一组对象进行有序的摆放。
在集合和排列中，存在着一些常用的概念和性质。
1. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合称为另一个集合的子集。
如果两个集合的元素完全相同，则它们是相等的。
2. 二项式系数：n个元素的集合有2^n个子集，这是因为每个元素都可以选择放入或不放入子集，所以总共有2种选择。
3. 排列：对n个元素进行有序的排列，总共有n!种不同的排列方式，其中n!表示n的阶乘。
二、组合组合是一种特殊的排列，它不考虑元素的顺序，只考虑元素的选择。
在组合中，有一些重要的性质和定理。
1. 二项式定理：对于任意实数a和b以及非负整数n，二项式定理给出了(a+b)^n的展开式，它表示为：(a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b + … + C(n,k)*a^(n-k)*b^k + … + C(n,n)*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，它的计算公式为：C(n,k) =n!/(k!(n-k)!)。
2. Pascal三角形：Pascal三角形是一个由组合数构成的三角形，它的每一行由二项式定理给出的系数组成。
Pascal三角形有许多重要的性质和应用，如二项式定理的证明、组合数的递推公式等。
3. 组合恒等式：组合恒等式是一类基于组合数的等式，它们在证明和求解组合问题中有着重要的作用。
例如Vandermonde恒等式、Lucas恒等式等。
三、图论图论是研究图和网络结构的数学理论。
在图论中，存在着一些与组合数学相关的知识点。
1. 图的基本概念：图由节点和边构成，可以分为有向图和无向图。
图的一些基本概念有：度、路径、连通性等。
2. 图的着色问题：图的着色问题是指如何用最少的颜色将图的节点进行着色，使得相邻节点的颜色不相同。
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。
排列组合题型总结
排列组合题型总结
排列组合是数学中的一个重要概念，在计算中经常用到，以下是排列组合题型的总结：
1. 排列问题：
排列指的是从n个元素中取出m个元素进行排列的问题，其公式为：
A(n, m) = n!/(n-m)!
主要注意点：
- 选取的元素是有序的。
- 选取m个元素后，这m个元素之间是有先后顺序的。
2. 组合问题：
组合指的是从n个元素中选取m个元素的问题，其公式为：
C(n, m) = n!/((n-m)!*m!)
主要注意点：
- 选取的元素是无序的。
- 选取的元素数量固定为m，之间没有先后顺序。
3. 常见的排列组合问题：
- 从n个元素中取出m个元素进行排列，且要求选取的元素必须包含某几个元素。
- 从n个不同的元素中取出m个，其中有k个元素必须选取，且这k个元素的排列方式已经确定，求剩余元素的排列方式。
- 对于排列或组合问题，统计满足特定条件的个数。
以上是排列组合问题的常见形式，需要掌握常用的排列组合公式，并根据具体问题理解是否需要考虑先后顺序或特定条件。
完整版)高考排列组合知识点归纳
完整版)高考排列组合知识点归纳第四讲：排列组合一、分类计数原理与分步计数原理1.分类加法计数原理：对于一件事情，有两种不同的方案，第一类方案有m种不同的方法，第二类方案有n种不同的方法，那么完成这件事情共有m+n种不同的方法。
2.分步乘法计数原理：完成一件事情需要两个步骤，第一步有m种不同的方法，第二步有n种不同的方法，那么完成这件事情共有m×n种不同的方法。
二、排列数1.组合：从n个元素中取出m个元素，记作Cnmn!/m!(n-m)!2.排列：1）全排列：将n个元素全排列，记作Ann!2）从n个元素中取出m个元素，并将这m个元素全排列，记作Anmn!/ (n-m)!三、二项式定理a+b)nC n 0 a n b 0C n 1 a n-1 b 1 C n n abn1.二次项系数之和：Cnr2.展开式的第r项：Tr+1Cnr例题1：(x-1)4的展开式中的常数项是（）A、6.B、4.C、-4.D、-6例题2：在二项式(x-2y) 5的展开式中，含x2y3的项的系数是（）A、-20.B、-3.C、6.D、20 随堂训练：1、在二项式(x21)5的展开式中，含x4的项的系数是（）A、-10.B、10.C、-5.D、52、(1/x-2x25的展开式中的常数项是（）A、5.B、-5.C、10.D、-103、在二项式(x+3y)6的展开式中，含x2y4的项的系数是（）A、45.B、90.C、135.D、2704、已知关于x的二项式(x+3an的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为（）A、1.B、±1.C、2.D、±25、(1-2x)(1-3x)4的展开式中，x2的系数等于？6、(ax21/2x-2)7的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为？7、(x22)2x的展开式中常数项是70，则n=？若展开式(ax+)(2x+)5中常数项为-40，则a=？四、排列组合题型总结解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题，弄清要做什么事；2.确定采取分步还是分类，或分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类；3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素；4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
高中数学组合数学知识点总结
高中数学组合数学知识点总结一、排列与组合的基本概念排列和组合是组合数学中的两个基本概念。
排列表示将若干个不同的对象按照一定的顺序排列的方法数，记为A。
组合表示从若干个不同的对象中选出若干个对象的方法数，记为C。
二、排列的计算公式1. 从n个不同的对象中选取m个对象进行排列，称为从n个不同的对象中取出m个对象的全排列，记为A(n, m)。
A(n, m) = n × (n-1) × ... × (n - m + 1) = n! / (n - m)!2. 特殊情况：a) 从n个不同的对象中选取n个对象进行排列，称为从n个不同的对象中取出n个对象的全排列，记为A(n, n)。
A(n, n) = n!b) 从n个不同的对象中选取0个对象进行排列，称为从n个不同的对象中取出0个对象的全排列，记为A(n, 0)。
A(n, 0) = 1三、组合的计算公式从n个不同的对象中选取m个对象进行组合的方法数，记为C(n, m)。
C(n, m) = A(n, m) / m! = n! / (m! × (n - m)!)四、组合的性质1. 对称性：C(n, m) = C(n, n-m)2. 加法原理：C(n, m) + C(n, m+1) = C(n+1, m+1)3. 组合数之和：C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n, n) = 2^n五、组合数的应用组合数学在实际中有广泛的应用，其中一些常见的应用包括：1. 算法设计：组合数学的相关知识可以用于算法设计、分析以及优化。
2. 概率统计：组合数学的概念可以用于概率统计中的排列、组合、随机事件等的计算。
3. 组合优化问题：组合数学的方法可以应用于组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
4. 图论与网络：组合数学的知识在图论与网络中有广泛应用，如图的着色问题、路径计数等。
总结：组合数学是高中数学中的重要内容，掌握排列与组合的基本概念和计算方法对于解决数学问题具有重要的作用。
排列组合知识点总结及题型归纳
排列组合知识点总结及题型归纳嘿！今天咱们来好好聊聊排列组合这个让人又爱又恨的知识点呀！首先呢，咱们得搞清楚啥是排列，啥是组合。
哎呀呀，简单来说，排列就是从一堆东西里选出来，然后再排个顺序；组合呢，只要选出来就行，不管顺序啦！一、排列的知识点1. 排列的定义：从n 个不同元素中取出m（m≤n）个元素的排列数，记为A(n,m) 。
哇，这个公式可重要啦，A(n,m) = n! / (n - m)! ，记住没？2. 排列数的计算：咱们来算个例子，比如说从5 个不同的元素里选3 个进行排列，那就是A(5,3) = 5! / (5 - 3)! = 60 呀！二、组合的知识点1. 组合的定义：从n 个不同元素中取出m（m≤n）个元素的组合数，记为C(n,m) 。
公式是C(n,m) = n! / [m!(n - m)!] 。
2. 组合数的计算：就像从6 个不同元素里选4 个的组合数，C(6,4) = 6! / [4!(6 - 4)!] = 15 呢！三、常见的排列组合题型1. 排队问题：比如说，几个人排队，有多少种排法？这就得考虑有没有特殊位置或者特殊的人啦！2. 分组问题：把一些东西分成不同的组，要注意平均分和不平均分的情况哟！3. 分配问题：把人或者物品分配到不同的地方，这里面可藏着不少小陷阱呢！四、解题技巧1. 优先考虑特殊元素或特殊位置：哎呀呀，这可是解题的关键呀！2. 捆绑法：有些元素必须在一起，那就把它们捆起来当成一个整体来处理。
3. 插空法：有些元素不能相邻，那就先排好其他的，再把不能相邻的插进去。
总之呢，排列组合虽然有点复杂，但是只要咱们掌握了这些知识点和题型，多做几道题练习练习，就一定能搞定它！哇，加油呀！。
排列组合知识点总结材料+典型例题及问题详解解析汇报
排列组合知识点总结+ 典型例题及答案解析1.加法原理：做一件事有n类方法,那么完成这件事的方法数等于各类方法数相加.2.乘法原理：做一件事分n步完成,那么完成这件事的方法数等于各步方法数相乘.注：做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用根本原理求解.二.排列：从n个不同元素中,任取m (mwn)个元素,根据一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列,所有排列的个数记为A m.1.公式：1. Am =n(n-1'(n.2 )••…(n —m+1)=」^科之期〞21,那20m 那ENn - m !2.4=次=旃T)(阀-2卜21规定：0』1(1) n! =n x(n-1)!,( n+1)M n! =(n+1)!(2) n 父n! =[(n+1)-1]父n! = (n + 1)M n!—n! = (n+1)!—n!;n n 1 -1n 1111(n 1)! "(n 1)! "(n 1)! "(n 1)! "n! "(n 1)!三.组合：从n个不同元素中任取m (me n)个元素并组成一组,叫做从n个不同的m元素中任取m个元素的组合数,记作Cn小〞m：n-m〞右心眼…".规定：eg1.公式：c m春2.组合数性质：cm =cr, cm +cn m==c:+ c +c +……+cn =2n①g er；②O&+琛;③©"密；④4cyy：什c r/r .c r r .C r_c r1-c r .c rr .C r_c r1-c rr .C r_c r1注. c r C r1C r2C n1 C n- C r1C r1C r2C n3.口- C r2C r2C n 二.口- C n 1假设c nm1=C n m2那么m1二m2 或m〔+m2 =n四.处理排列组合应用题1.①明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序③分步还是分类.2.解排列、组合题的根本策略(1)两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉.这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法.(2)分类处理：当问题总体不好解决时,常分成假设干类,再由分类计数原理得出结论.注意: 分类不重复不遗漏.即：每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集.(3)分步处理：与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成假设干步,再由分步计数原理解决.在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步.其原那么是先分类, 后分步.(4)两种途径：①元素分析法；②位置分析法.3.排列应用题：(1)穷举法(列举法)：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；(2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；(3).相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑〞起来,看作一“大〞元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列.(4)、全不相邻问题,插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两文档大全端的空隙之间插入.(5)、顺序一定,除法处理.先排后除或先定后插解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数.即先全排,再除以定序元素的全排列.解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,假设定序元素要求从左到右或从右到左排列, 那么只有1种排法；假设不要求, 那么有2种排法；(6) “小团体〞排列问题一一采用先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体〞时,可先将“小团体〞看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体〞内部的排列.(7)分排问题用“直排法〞把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理.(8).数字问题(组成无重复数字的整数)① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数.②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数.⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5.⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25, 50, 75.⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数.4.组合应用题：(1). “至少〞“至多〞问题用间接排除法或分类法：(2). “含〞与“不含〞用间接排除法或分类法：3.分组问题：均匀分组：分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘.即除法处理.非均匀分组：分步取,得组合数相乘.即组合处理.混合分组：分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘.4.分配问题:定额分配：〔指定到具体位置〕即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘.随机分配：〔不指定到具体位置〕即不固定位置但固定人数,先分组再排列,先组合分堆后排,注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘.5.隔板法：不可分辨的球即相同元素分组问题例1.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告, 要求首尾必须播放公益广告,那么共有种不同的播放方式〔结果用数值表示〕.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A2种；中间4个为不同的商业广告有A4种,从而应当填A22• A i4= 48.从而应填48.例3.6人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法解一：间接法：即A6 -A5 -A5 • A4 =720 -2 120 24 =504解二：〔1〕分类求解：按甲排与不排在最右端分类.〔1〕甲排在最右端时,有A5种排法；〔2〕甲不排在最右端〔甲不排在最左端〕时,那么甲有A4种排法,乙有A4种排法,其他人有A4种排法,共有A4A4A：种排法,分类相加得共有A5+A A4 A4 =504 种排法例.有4个男生,3个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少种排法分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生,有A7种排法.剩余的3个位置排女生,因要求“从矮到高〞,只有1种排法,故共有A7 • 1=840种.1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,那么不同的取法共有解析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机, 故不同的取法共有C；-C3 -C； = 70种,选.C解析2:至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台;故不同的取法有C；C：+C5c2 =70台,选C.2.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.31)如果4人中男生和女生各选2人,有种选法；42)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,有一种选法；53)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有一种选法；(4)如果4人中必须既有男生又有女生,有种选法.分析：此题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异,所以是组合问题. 解：(1)先从男生中选2人,有C；种选法,再从女生中选2人,有C：种选法,所以共有C；C：=60 (种)；(2)除去甲、乙之外,其余2人可以从剩下的7人中任意选择,所以共有C；C«21 (种)；(3)在9人选4人的选法中,把甲和乙都不在内的去掉,得到符合条件的选法数：C：-C〞91〔种〕；直接法,那么可分为3类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙,得到符合条件的方法数C1 c 3 c 1C 3c 2 c 2 c 3 c 3c 2 .C1 C7 C1C7 C2C7 -C7 C7 C7 -91.〔4〕在9人选4人的选法中,把只有男生和只有女生的情况排除掉,得到选法总数C4—C4 —C：=120 〔种〕.直接法：分别根据含男生1、2、3人分类,得到符合条件的选法为C；C H C；C2+C；C4=120〔种〕.1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,那么不同的乘车方法数为〔〕A. 40B. 50C. 60D. 70［解析］先分组再排列,一组2人一组4人有C6= 15种不同的分法；两组各3人共有又=10A种不同的分法,所以乘车方法数为25X 2 = 50,应选B.2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,那么恰有两个空座位相邻的不同坐法有〔〕A 36 种B. 48 种C . 72 种D. 96 种［解析］恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共66=72种排法,应选C.3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有〔〕B. 9 个C . 18 个 D. 36 个［解析］注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C3=3〔种〕选法,即1231,1232,1233,而每种选择有&xd = 6〔种〕排法,所以共有3X6= 18〔种〕情况,即这样的四位数有18个.4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有〔〕A. 2人或3人B . 3人或4人C.3人D.4人［解析］设男生有n人,那么女生有〔8—n〕人,由题意可得CnC1 n = 30,解得n= 5或n = 6,代入验证,可知女生为2人或3人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,假设规定从二楼到三楼用8步走完,那么方法有〔〕A 45 种B. 36 种C . 28 种D. 25 种［解析］由于10 + 8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2 步,那么共有C2=28种走法.6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,那么不同的分配方案共有〔〕A 24 种B. 36 种C . 38 种D. 108 种［解析］此题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名译人员分到两个部门,共有2 种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C1种分法,然后再分到两部门去共有C36种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C3种方法,由分步乘法计数原理共有2〔1大点=36〔种〕.7.集合A= {5}, B= {1,2} , C= {1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,那么确定的不同点的个数为〔〕A 33B. 34 C . 35D. 36［解析］①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有6= 12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C1 - A3 + A3=18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有0 = 3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3= 33个,应选A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是〔〕A. 72B. 96 C . 108D. 144［解析］分两类：假设1与3相邻,有A• CA2A2 = 72〔个〕,假设1与3不相邻有A3Y = 36〔个〕故共有72+36= 108个.9.如果在一周内〔周一至周日〕安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有〔〕A. 50 种B. 60 种C . 120 种D. 210 种［解析］先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种：〔1,2〕、〔2,3〕、〔3,4〕、〔4,5〕、〔5,6〕、〔6,7〕,甲任选一种为C6,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有戌种,根据分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法CL A5=120种, 应选C.10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有种.〔用数字作答〕［解析］先安排甲、乙两人在后5天值班,有A2=20〔种〕排法,其余5人再进行排列,有点=120〔种〕排法,所以共有20X 120= 2400〔种〕安排方法.11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有种不同的排法.〔用数字作答〕［解析］由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C9 <5 <3= 1260〔种〕排法.12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆效劳,不同的分配方案有种〔用数字作答〕.……八,,—?a一,,工心,,口八।八［解析］先将6名志愿者分为4组,共有天■种分法,再将4组人员分到4个C2 C2不同场馆去,共有A4种分法,故所有分配方案有：一忌一, A4= 1 080种.13.要在如下图的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有种不同的种法〔用数字作答〕.［解析］5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.假设1、3同色,2有2种种法,假设1、3不同色,2有1种种法,.•.有4X 3X2X〔1 X2+1X1〕=72种.14.将标号为1,2, 3, 4, 5, 6的6张卡片放入3个不同的信封中.假设每个信封放2张,其中标号为1, 2的卡片放入同一信封,那么不同的方法共有〔Q 36种〔酚54种0；种方法；其他四封信放入两个信封,每个信封两应选B.15 .某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,假设7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10月1日,丁不排在10月7日,那么不同的安排方案 共有A. 504 种B. 960 种C. 1008 种D. 1108 种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有2MA 2A ：A ：种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有4A ；〔A ：+A 3A 3A ；〕种方法故共有1008种不同的排法排列组合二项式定理1,分类计数原理完成一件事有几类方法,各类方法相互独立每类方法又有多种不同的方法〔每一种都可以 独立的完成这个事情〕分步计数原理完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法2,排列排列定义：从 n 个不同元素中,任取 m 〔m< n 〕个元素〔被取出的元素各不相同〕,根据一定的 顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.排列数定义；从 n 个不同元素中,任取 m 〔me n 〕个元素的所有排列的个数 A ：〔A 〕 12 种〔B 〕 18 种 【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有 与纪0；= 13个有工〞种方法,共有「三1一,种排列组合题型总结一. 直接法1 .特殊元素法例1用1, 2, 3, 4, 5, 6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足以下条件的四位数各有多少个(1)数字1不排在个位和千位(2)数字1不在个位,数字6不在千位.分析：(1)个位和千位有5个数字可供选择A ；,其余2位有四个可供选择AJ 由乘法原理：A ；A ：=240 2 .特殊位置法(2)当1在千位时余下三位有A 3=60, 1不在千位时,千位有A 4种选法,个位有A 4种,余下的有 心 共有A 4 A 4A 42 =192所以总共有 192+60=252 二 间接法 当直接法求解类别比拟大时,应采用间接法.如上例中(2)可用间接法A4-2A3 + Af=252八一 m n!公式 A = 规定0! =13,组合组合定义 从n 个不同元素中,任取 m (m< n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素 的一个组合组合数 从n 个不同元素中,任取 m (m< n)个元素的所有组合个数m C m _ n!C n m!(n -m)!mn -m性质C =C mm m 1 C ni =C n C n例：有五张卡片,它的正反面分别写0与1, 2与3, 4与5, 6与7, 8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C；M23 MA；个,其中0在百位的有C：M22M A；个,这是不合题意的.故共可组成不同的三位数C3 23A；-C2 22 A；=432例：三个女生和五个男生排成一排(1)女生必须全排在一起有多少种排法(捆绑法)(2)女生必须全分开(插空法须排的元素必须相邻)(3)两端不能排女生(4)两端不能全排女生(5)如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法二. 插空法当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法.例3 在一个含有8个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法分析：原有的8个节目中含有9个空档,插入一个节目后,空档变为10个,故有A；M A；0=100中插入方法.三. 捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法.1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,假设使每个盒子不空,那么不同的放法有种(CjA；),2,某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多,要安排连续参观2天,其余只参观一天,那么植物园30天内不同的安排方法有(C29-A29)(注意连续参观2天,即需把30大种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C；9其余的就是19所学校选28天进行排列)四. 阁板法名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法例5某校准备组建一个由12人组成篮球队,这12个人由8个班的学生组成,每班至少一人,名额分配方案共种.分析：此例的实质是12个名额分配给8个班,每班至少一个名额,可在12个名额种的11个空当中插入实用标准7块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有C：i种五平均分推问题例：6本不同的书按一下方式处理,各有几种分发(1)平均分成三堆,(2)平均分给甲乙丙三人(3)一堆一本,一堆两本,一对三本(4)甲得一本,乙得两本,丙得三本(一种分组对应一种方案)(5)一人的一本,一人的两本,一人的三本分析：1,分出三堆书(a i,a2),(a 3,a,,(a5,a.由顺序不同可以有8=6种,而这6种分法只算一种分堆222方式,故6本不同的书平均分成三堆方式有C6c3c2 =15种A2,六本不同的书,平均分成三堆有x种,平均分给甲乙丙三人c2c4c2就有x A3种12331233,c6c5c 3 5, A3 c6c5c 3五.合并单元格解决染色问题Eg如图1, 一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,那么不同的着色方法共有一种(以数字作答).分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5. 下面分情况讨论：(i)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时,将2、4合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于4个元2,4素①③⑤的全排列数A44〔ii〕当2、4颜色不同且3、5颜色相同时,与情形〔i 〕类似同理可得A种着色法.〔iii〕当2、4 G与3.g别同色时,将2、4; 3、5分别合并,这样仅有三个单元格①从4种颜色中选3种来着色这三个单元格,计有C4,A；种方法• 由加法原理知：不同着色方法共有2 A4+C3 A3=48+24=72 〔种〕练习1 〔天津卷〔文〕〕将3种作物种植在如图的5块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同的种植方法共种〔以数字作答〕〔72〕2.某城市中央广场建造一个花圃,花圃6分为个局部〔如图3〕,现要栽种4种颜色的花,每局部栽种一种且相邻局部不能栽种同一样颜色的话,不同的栽种方法有种〔以数字作答〕.〔120〕3.如图4,用不同的5种颜色分别为ABCD比局部着色,相邻局部不能用同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,那么符合这种要求的不同着色种数.〔 540〕4.如图5:四个区域坐定4个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服装, 且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法5 .将一四棱锥〔图6〕的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,假设只有五种颜色可供使用,那么不同的染色方法共 种〔420〕 是 种〔84〕图5。
人教版高中数学【选修2-3】[知识点整理及重点题型梳理]组合(理)(基础)
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精品文档用心整理人教版高中数学选修2-3知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习组合1．理解组合的概念．2．能利用计数原理推导组合数公式．3．能解决简单的实际问题．4．理解组合与排列之间的联系与区别．要点一：组合1.定义：一般地，从n 个不同元素中取出m （m n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．要点诠释：①从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．②如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合. 因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.要点二：组合数及其公式1)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m （m n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．记作C n m．要点诠释：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：精品文档用心整理一个组合是指“从n 个不同的元素中取出m（m≤ n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n 个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数．例如，从 3 个不同元素a，b，c 中取出2 个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫做一个组合，而数字3 就是组合数．2．组合数的公式及推导求从n 个不同元素中取出m个元素的排列数An m，可以按以下两步来考虑：精品文档 用心整理 第一步，先求出从这 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 C nm ；第二步，求每一个组合中 m 个元素的全排列数 A m m．根据分步计数原理，得到An mCn m Am m．A n mn(n 1)(n 2) (n m 1)A m m m!这里 n ， m ∈ N+，且m ≤ n ，这个公式叫做组合数公式．因为A n mn! ，所以组合数公式还可表示（n m ）!!2) ) Cn m( m 、 n N ，且 m n )m!(n -m)!要点诠释：上面第一个公式一般用于计算，但当数值 m 、 n 较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 要点三 ： 组合数的性质 性质 1： Cn mCn n m（ m 、 n N ，且 m n ）性质2：Cn m1 Cn mCn m 1（ m 、n N ，且 m n ）要点诠释： 规定：Cn 01 .要点四、纯组合问题常见题型1） “含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “不含” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素为： C n mn! m!(n m)!要点诠释：组合数公在以后学习排列组合的混合问题时， 一般都是按先取(1) n(n-1)(n-2) (n-m1) m! m 、 n N ，且 m n )m n精品文档用心整理如：现从 5 位男同学、 4 位女同学中选出 5 名代表，若男甲、女A都必须当选，有多少种不同的选法女A 必须当选，只需从剩下7 人中任选3 人即可满足题目的要求，故有C7335 种不同的选法．精品文档 用心整理 （ 2） “至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．如（ 1 ）中，将问题改为至少有一名女同学当选，有多少种不同的选法 ?则在全部的选法中，排除全部男生当选的情况即可，故有 C 95 C 55125种不同的选法．3）分堆问题平分到指定位置 堆数的阶乘例如 将 6 本不同的书平均分成三份，每份两本，求不同的分法数．222C62C42C2215（种） ．3!②分堆但不平均，其分法数为 相同数量的堆数阶乘之积 分到指定位置例如，将 12 本不同的书分成五份，分别为 2 本、 2 本、 2 本、 3 本、 3 本，求不同的分法数．依据上述公式，分到指定位置数为 C 122C 120C 82C 62C 33．（ 4）定序问题．对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．例： 5 人站成一排，如果甲必须站在乙的左边，则不同的排法有多少种？ 法一 :5 人不加限制的排列方法有 A55种， “甲在乙的左边”和“甲在乙的右边”的排法是相对的，所1A55 60 （种） ． 25法二 : 第一步，在 5 个位置中选2 个位置给甲、乙二人有 C 52种选法；323第二步，剩下三个位置由剩下三人全排，有A3 种排法，共有 C 5 A3 60 （种）； 法三 : 从 5 个位置选3 个位置由除甲、乙两人之外的①平均分堆，其分法数为：依据上述公式，其分法为其中两本的有三堆，故除以 3！ ； 3 本的有两堆，要除以 2！ ，故分法数为C122C120C82C62C3! 2!精品文档用心整理三人排列有A53 60 种（剩下两个位置，甲、乙随之确定）．（5）指标问题用“隔板法”：如，将10 个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？将10 个名额并成一排，名额之间有9个空，用 5 块隔板插入9 个空，就可将10 个名额分为 6 部分，每一种插法就对应一种分配法，故有C95种方案．注意：隔板法与插空法是不同的，要予以“区分”．隔板法只适用于相同元素的分配问题．要点五、组合组合的综合应用处理排列、组合综合题时，应遵循四大原则：（1 ）先特殊后一般的原则（ 2）先取后排的原则（ 3）先分类后分步的原则（ 4）正难则反、等价转化原则．【典型例题】类型一、组合概念及组合数公式例1．判断下列问题是组合问题还是排列问题．（ 5））设集合A={a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3 个元素的有多少个？（ 6）铁路线上有5 个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？（ 3）3 人去干5 种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？（4）把3 本相同的书分给 5 个学生，每人最多得 1 本，有几种分配方法？【思路点拨】排列与顺序有关，组合与顺序无关．【解析】（1 ）因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．（2）因为甲站到乙站车票与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．（3）因为分工方法是从 5 种不同的工作中取出3 种，按一定次序分给 3 个人去干，故是排列问题．（4）因为3 本书是相同的，无论把 3 本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．【总结升华】区分排列与组合问题，关键是利用排列与组合的定义，组合是“只选不排、并成一组，与顺序无关”举一反三：精品文档用心整理【变式1 】平面内有10 个点，（1）以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？（2）以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？【解析】线段不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题；有向线段考虑线段两个端点的顺序，是排列问题．（1）以每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10 个不同元素中取出 2 个元素的组合数，2 10 9即以其中每 2 个点为端点的线段共有C12010 9 45（条）2（2）由于有向线段的两个端点中一个是起点，一个是终点，以每2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，即以其中每2个点为端点的有向线段共A120 10 9 90（条）【变式2】计算：（1）C74；（2）C170；精品文档 用心整理组合应用题例 2． 某医院有内科医生 12 名 , 外科医生 8 名 , 现要选派 5 名参加赈灾医疗队 , 则（1）某内科医生必须参加 , 某外科医生不能参加 , 有几种选法 ?（2）至少有一名内科医生和至少有一名外科医生参加 , 有几种选法?【思路点拨】要正确理解题意中的关键性词语 , 从“在”与“不在” “至少”中寻求解题思路（1） 某内科医生参加 , 某外科医生不参加, 只需从剩下的 18 名医生中选 4 名即可 , 故有 C148 =3 060 种 .（2） 方法一 （ 直接法 ）:至少有一名内科医生和至少有一名外科医生当选可分为四类 : 一内四外 ; 二内三外 ; 三内二外 ; 四内一 外 , 共有 C 112C 48+C 212C 38+C 312C 28+C 412C 18=14 656（ 种 ）.方法二 （ 排除法 ）:事件“至少有一名内科医生和至少有一名外科医生”的反面是“全部为内科医生或外科医生” , 共有C 512+C 58种选法 , 则 C 520-（C 512+C 58）=14 656 种 . 【总结升华】本题属有限制条件的组合问题 , “含”与“不含” , “最多”与“至少”是常见题型 .“含有”一般先将这些元素取出 , 不足部分由另外的元素补充 , “不含”可将这些元素剔除 , 再从剩下的元素中去取 . 解“最多”与“至少”问题 , 是用直接法还是排除法 , 要具体问题具体分析 , 一般是正难则反. 举一反三：【变式 1 】 （ 2015 西宁校级模拟） 某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织 6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有 （）24 24 2 4 24 A ． A6A5 种 B ． A6 5 种 C ． C6 A5 种 D ． C6 5 种【答案】因为有且只有两个年级选择甲博物馆，2）解法 1： 解法 2： 76544! 35；C170 10 9 8 7 6 5 4 7!120．C17010! 10 9 8 7!3! 3!120． 类型二、用心整理所以参观甲博物馆的年级有C62种情况，其余年级均有5 种选择，所以共有54种情况，根据乘法原理可得C6254种情况，故选D。
高二数学必修三组合知识点
高二数学必修三组合知识点组合是高二数学必修三中的重要知识点之一，本篇文章将详细介绍组合的概念、性质以及应用。
一、组合的概念在概率论中，组合指的是从一个集合中选取若干个元素组成一个子集。
组合的数量可以用组合数来表示，记作C(n, k)，其中n为集合的大小，k为选取的元素个数。
组合数的计算公式为C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中"!"表示阶乘运算。
二、组合的性质1. 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)，即从n个元素中选取k个与选取n-k个的组合数相等。
2. 互补性：C(n, k) + C(n, k+1) = C(n+1, k+1)，即从n个元素中选取k个的组合数加上选取k+1个的组合数等于从n+1个元素中选取k+1个的组合数。
3. 递推性：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，即从n个元素中选取k个的组合数等于从n-1个元素中选取k-1个的组合数加上选取k个的组合数。
三、组合的应用1. 排列组合问题：组合数可以用于计算排列组合问题，如从n 个元素中选取k个元素进行排列的方式数目。
2. 概率计算：组合数可用于计算事件发生的概率，如从一副扑克牌中抽取几张牌中包含某个特定的组合的概率。
3. 数学证明：组合数在数学证明中有广泛的应用，可以用于推导和证明各种数学定理。
四、组合的例题解析例题1：某班有10个男生和8个女生，从中选取5个同学参加运动会，其中至少有2个男生。
问有多少种可能的选择方案。
解析：根据题意，我们可以分别计算选取2个男生加上3个女生、3个男生加上2个女生、4个男生加上1个女生、5个男生这四种情况的组合数，然后将它们相加即可得到总的方案数。
例题2：从整数1到10中选取3个数，求这3个数的和为偶数的方案数。
解析：我们可以分别计算奇数个数和偶数个数的选取情况，并将它们相加。
选取奇数个数的情况即从5个奇数中选取3个数的组合数；选取偶数个数的情况即从5个偶数中选取1个数的组合数乘以从5个奇数中选取2个数的组合数。
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组合知识点及题型归纳总结知识点精讲1.单纯组合问题2.分选问题和选排问题①分选问题，几个集合按要求各选出若干元素并成一组的方法数. ②选排问题，分选后的元素按要求再进行排列的排列数. 3.分组问题和分配问题①分组问题，把一个集合中的元素按要求分成若干组的方法数； ②分配问题，把一个集合中的元素按要求分到几个去处的方法数.题型归纳及思路提示题型1 单纯组合应用问题 思路提示把所给问题归结为从n 个不同元素中取m 个元素，可用分类相加、分布相乘，也可用总数减去对立数. 例12.21 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ （1）只有一名女生当选；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选；（5）既要有队长，又要有女生当选.分析 注意理解组合与排列问题的不同——取出的元素有无顺序.解析 （1）1名女生，4名男生，故共有3504815=C C （种）.（2）只需从剩余的11人中选择3人即可，故有165311=C （种）.（3）解法一：（直接法）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长，故共有8253112241112=+C C C C （种）.解法二：（间接法）采用排除法825511513=-C C （种）.（4）至多两名女生含有3类情形：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故选法为：9665848153825=++C C C C C 种.（5）解法一：（直接法）分两类：①女队长当选，故有412C 种；②男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名，故44173427243714C C C C C C C +++种. 综上可知，选法有412C +44173427243714C C C C C C C +++=790种.解法二：分两类：①女队长当选，故有412C 种；②男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名.若另外的4人都是男生，则有47C 种方法，故男队长当选，且至少有一名女生（且为非女队长）的方法有()474111C C -⋅种，故共有412C +()47411C C -=790种.变式1 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，10人中甲、乙不能都去，共有（ ）种邀请方法.A.84B.98C.112D.140变式2 在四面体的顶点和各棱中共10个点中选4个点不共面，共有（ ）种不同取法. A.150 B.147 C.141 D.142 变式3 若A x ∈1，就称A 为有伴关系的集合，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=4,3,2,1,21,31,1M ，则M 的非空子集中，具有有伴关系的集合有（ ）个.A.15B.16C.82D.52例12.22 在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴上5个点和y 轴上3个点连成15条线段，这些线段在第一象限交点最多有（ ）个.A.30B.35C.20D.15解析 如图12-21所示，在x 轴正半轴上5个点中取两点B A ,，在y 轴正半轴上3个点中取两点D C ,，确定四边形ABCD ，其对角线P BC AD =⋂是第一象限的点，能确定多少个四边形，就可以确定多少个符合第一象限的点，这些点互不重合（这是可以做到的），得这样的点最多有302325=C C 个，故选A.评注 解决与几何有关的组合问题，必须注意几何问题本身的限制条件，解题时可借助图形来帮助. 变式1 AOB ∠的边OA 上有4321,,,A A A A 四个点，OB 边上有4321,,,B B B B ，5B 五个点，共9个点，连接线断j i B A ()51,41≤≤≤≤j i ，若其中两条线段不相交，则称之为和睦线对，则共有和睦线（ ）对.A.30B.60C.120D.160变式2 在坐标平面上有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，若经5次跳动质点落在()0,3处，则质点共有______种跳法；若经过m 次跳动质点落在()0,n 处，0,1,≥≥≥n m n m 且n m +为偶数，则质点共有______种跳法.题型2 分选问题和选排问题 思路提示两个集合B A ,，()()21,n B card n A card ==.A 选1m ，B 选2m ，共有2211m n m n C C 种方法，选排为选出再排列. 例12.23 6女4男选出4人.（1）女选2，男选2有多少种选法？再安排4个不同工作，有多少方法？（2）至少有一女有多少种选法？（3）至多3男有多少选法？（4）男女都有，有多少种选法？（5）选男甲不选女A,B ，有多少种选法？解析 （1）女选2，男选2有902624=C C 种选法，再安排4个不同工作有2160442624=A C C 种方法.（2）加法：20946143624263416=+++C C C C C C C ；减法：20944410=-C C . （3）减法：20944410=-C C .（4）加法：194143624263416=++C C C C C C ；减法：1944446410=--C C C .（5）从10-3=7人中选3人，3537=C .评注 涉及“至多”、“至少”的问题通常用排除法；变式1 有7名翻译，4人会英语，4人会日语，从中选2名英语翻译和2名日语翻译，共有多少种选法？ 变式2 9名水手，6人会左舵位，6人会右舵位.现选3名右舵手和3名左舵手分坐于6个舵位，共有多少种安排方法？变式3 甲组5男3女，乙组6男2女，两组各选2人，则选出的4人中恰有1女，共有（ ）种取法.A.150B.180C.300D.345 例12.24 （2012浙江理6）若从9,3,2,1，⋯这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）种.A.60B.63C.65D.66解析 由数字特征可知，9,7,5,3,1共5个奇数，8,6,4,2共四个偶数，取出四个不同的数，和为偶数有以下几类：四个均为奇数，有545=C 种取法；两个奇数，两个偶数，有602524=C C 种取法；四个均为偶数，有144=C 种取法.共有66种不同的取法，故选D.变式1 从7,6,5,4,3,2,1这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成无重复数字的四位数，其中有（ ）个奇数.A.432B.288C.216D.108变式2 由数字6,5,4,3,2,1,0组成的没有重复数字的四位数中，个、十、百3位数字之和为偶数的有______个（用数字回答）.变式3 从10~1这10个数字中任取4个数，其中第二个大的数字是7的取法有（ ）种. A.18 B.20 C.45 D.84例12.25 （2012陕西理8）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，所有可能出现的情形各人输赢局次的不同视为不同情形，则共有（ ）种. A.10 B.15 C.20 D.30 解析 根据题意可分3类：当比赛3场结束时，有332C =2种不同的情形；当比赛4场结束时，有6213=C 种；当比赛5场结束时，有12224=C 种不同情形.故共有201262=++种不同的情形.故选C.变式1 5名乒乓球运动员，有2名老队员和3名新队员，从中选出3人排成3,2,1号参加团体比赛，则其中至少一名老队员，且2,1号至少一名新队员，有______种排法（用数字作答）.变式2 已知集合{}{}{}4,3,1,2,1,5===C B A ，从3个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系的一个点的坐标()z y x ,,，则共可确定（ ）个点的坐标. A.33 B.34 C.35 D.36变式3 用4张分别标有4,3,2,1的红色卡片和4张分别标有4,3,2,1的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出来的4张卡片的数字之和为10，则共有______种排法（用数字作答）.题型3 平均分组和分配问题 思路提示分组定义：把一个非空有限集A 按要求分成若干个互相没有公共元素的非空子集的并集. ①分组三原则：一组一组的分出来（与顺序无关）；②有若干组为含单一元素的集合，不去管他们，分出其他组即可；③由若干（m 个）元素不为1的组，且元素个数相同，把①②的结果除以mm A .分配定义：把一个非空有限集A 的元素按要求分到若干个去处，每个去处分配元素至少为1个. 分配问题共四个类型：逐方向分配即可，共有分配数：m mnn n n n m n n m n m C C C C N ⋯=---321211（额配法） . ②不定方向分配问题：各分配方向名额不确定.先把A 按要求分成若干组（分组问题），再把每组打包成一个元素，在m 个分配方向上排列（组排法）.③信箱问题.3封不同信任意投入4信箱，共有34种投法. ④相同元素的分配问题（不定方程组的个数）——隔板问题.⎪⎩⎪⎨⎧≤∈∈⋯=+⋯++nm N n m N x x x n x x x m m ,,,,,,**2121，共有11--m n C 组不同的解. 例12.26 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？ （1）平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本；（2）平均分成3份，每份2本；（3）分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）甲、乙、丙3人，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（5）分成3份，一份4本，另两份各1本；（6）甲、乙、丙3人，一人得4本，另外两个人每人得1本；（7）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本. 解析 （1）解法一：（分步计数原理）因为要分给甲、乙、丙3人，可分三步完成，先从6本书中选择2本分给甲，其方法有26C 种；再从余下的4本中选2本分给乙，其方法有24C 种，最后的两本分给丙，方法有22C 种.有分步计数原理，故所求的分配方法有26C 24C 22C =90种.解法二：（定序问题全排消序法）把分配给甲、乙、丙的3堆书看成无序排列（分到每个人的两本书是无序的）即定序问题，故考虑使用定序问题全排消序法求解，共有22222266A A A A 种分法.解法三：（先（平均）分组后分配）把6本书平均分成3份，每份2本的方法有33222426A C C C 种，再分配3个人的方法有33A种。
故有33222426A C C C 33A =222426C C C 种. （2）把6本不同的书分成3堆，每堆2本，与把6本不同的书分给甲、乙、丙3人，每人2本的区别在于，后者相当于把6本不同的书，平均分成3堆后，再把每次分得的3堆书分给甲、乙、丙3人，因此，设把6本不同的书，平均分成3堆的方法有x 种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙3人每人2本的分法有33xA种，即33xA=222426CC C ，从而=x 33222426A C C C =15种. （3）因为不是均匀分组问题，可以分为3个步骤完成，先在6本书中任取一本，作为一堆，有16C 种取法；再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有25C 种取法；然后从余下的3本书中取3本作为一堆，有33C 种取法，故共有分法16C 25C 33C =60种； （4）组排可以利用先选后排的步骤完成，第一步，方法有16C 25C 33C =60种.第二步，其分配有33A 种，16C 25C 33C 33A =360种. （5）部分均匀问题，解法一：从中取4本作为一堆的方法有46C 种，剩余2本分成两堆的方法只有1种，从而有46C 151=⋅种.解法二：分三步，第一步从6本书中取4本，有46C 种，第二步，从剩余2本书中取1本，有12C 种方法；第三步，从剩余1本书中取1本，有11C 种方法，由分步计数原理，共有46C 12C 11C 种方法，但是其中每堆都是1本的两堆是不计算顺序的，故得6本书分成3堆，一堆4，另两堆各1本的分法有22111246A C C C =15种.（6）组排部分均匀问题，可以采用先分组后分配的步骤方法，共有22111246A C C C 9033=⋅A 种，也可以转化视角，即从6本书中选4本看作一个元素，再与其余2本作全排列，共有903346=A C 种.（7）解法一：（分类讨论）因为分给甲、乙、丙3人，每人至少1本有3种情况：①甲、乙、丙每人2本，有222426C C C 种分法；②甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有36033332516=A C C C 种分法；③甲、乙、丙3人，一人4本，其余两人一人1本，有3346A C 种分法，所以不同的分法有222426C C C +33332516A C C C +3346A C =540种.解法二：（间接法）6本书全部分给3个人中的1人，有13C 种分法；6本书全部分给3人中的2人，且每人至少1本，则共有63种方法；由上可知，6本书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少1本，应有63-()[]12623132C C C -+=540种. 评注 解决分配问题的关键是区分是否与顺序有关，对于平均分组要注意顺序，按先分组再分配的原则去计算，平均分组与非平均分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型，解决此类问题的关键是正确判断分组是平均分组还是非平均分组，无序平均分组要除以平均组数的阶乘数，还要充分考虑是否与顺序有关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.变式1 有编号为4,3,2,1的4张不同的卡片，按照下列方法处理，各有几种分法？（1）甲得2张，乙得2张； （2）平均分成2堆，每堆2张.变式2 9个人分到3个单位，下面各有多少种分配方法. （1）甲单位2人，乙单位3人，丙单位4人； （2）每个单位3人；（3）每个单位各2人，一单位5人.例12.27（2012山东理11）现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（ ）.A.232B.252C.472D.484 解析 利用分类计数原理解决本题.第1类，含一张红色卡片，有26421214=⋅C C 种不同的取法；第2类，不含红色卡片，有208334312=-C C 种不同的取法.共有472208264=+（种）不同的取法.故选C.变式1 将4个相同的白球，5个相同的黑球，6个相同的红球放入4个不同的盒子中的3个，使4个盒子中的1个为空，其他盒子中球色齐全，共有______种不同方法（用数字作答）.变式2 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法有（ ）种.A.4B.10C.18D.20变式3 将标号为6,5,4,3,2,1的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号2,1的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）.A.4种B.18种C.36种D.54种例12.28 8个球队中有甲、乙两个强队，现把8个球队平均分成两组，如下各有多少种分法？ （1）甲、乙不在同组；（2）甲、乙在同组.解析 （1）甲、乙不在同组，看为6个非强队平均分成两组，一组为“甲组”，一组“乙组”.定序分组，共20363336==C C C 种方法.（2）甲、乙同组，看为把6个非强队分为一组2（与甲、乙并为4），一组4，共有2226C C =26C =15种方法.变式1 把4名男乒乓球选手和4名女乒乓球选手同时平均分成两组，进行混合双打比赛，共有______种不同的分配方法（混合双打是一男一女对一男一女，用数字作答）.变式2 （2012新课标理2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共（ ）. A.12种 B.10种 C.9种 D.8种 变式3 甲、乙、丙、丁4个公司承包8项工程，甲承包3项，乙承包1项，丙、丁各承包2项，共有（ ）种不同的承包方案.A.3360B.2240C.1680D.1120例12.29 6个不同的小球放入5个小盒，按下面要求各有多少种放法？（1）每盒至少1球；（2）恰有1盒空；（3）任意分.解析（1）先分组6=2+1+1+1+1，分组方法有26C 种.五组在五盒排列，共18005526=A C 种放法.（2）先分组6=3+1+1+1=2+2+1+1，6522242636=+A C C C ，四组在5盒排列，共78006545=⨯A 种. （3）1562556=种.变式1 某外商计划在4个候选城市投资3个不同项目，且在同一城市投资的项目部超过2个，则该外商共有（ ）种投资方案.A.16B.36C.42D.60变式2 将4个颜色互不相同的球全部放入编号1和2的两个盒子中，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒的编号，共有（ ）种放法. A.10 B.12 C.36 D.52 变式3 把20个相同的小球放入6个盒中.（1）每盒至少一球有多少种方法？（2）每盒至少二球有多少种方法？（3）随便放（即可有若干盒中无球）有多少种方法？有效训练题 1.在5,4,3,2,1这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的有（ ）个.A.36B.24C.18D.62.某小组4人负责周一至周五的值日，每天只安排一人，每人至少一天，共有（ ）种安排方法. A.480 B.300 C.240 D.1203.从甲，乙等6名同学中挑选3人参加某公益活动，要求甲，乙至少有1人参加，不同的挑选方法有（ ）. A.16种 B.20种 C.24种 D.120种4.3名医生和6名护士分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）.A.90种B.180种C.270种D.540种 5.掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面朝上的情况有（ ）. A.443424C C C ++种 B.443424A A A ++种 C.4221⨯种 D.不同于C B A ,,的结论 6.10021,,,l l l ⋯为100条共面且不同的直线，若其中编号为k 4()*Nk ∈的直线相互平行，编号为34-k 的直线都过定点A ，则这100条直线的交点最多有（ ）.A.4350个B.4351个C.4900个D.4901个7.如图12-22所示为一个54⨯长方形表，一个“兵”从A 走到B ，每步向左或向右或向上行一格，最少______步该“兵”由A 走到B .按这样的步数从A 走到B 共有______种走法（用数字作答）.8.安排3人到6所学校任教，每校至多2人，共有______种分配方案（用数字作答）.9.正方体的8个顶点能构成多少个不同的三棱锥？10.6人分成3组，各有多少种方法？（1）一组3人，一组2人，一组1人；（2）第一组3人，第二组2人，第三组1人；（3）平均分成三组；（4）第一组2人，第二组2人，第三组2人；（5）任意分成3组.。