三角函数的图像与性质 教案

三角函数的图象与性质

教学目标

1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质．

．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、

2

重点难点

重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题．

难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度．

教学过程

三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻．

一、三角函数性质的分析

．三角函数的定义域

1

函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角．

(2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同．

求下列函数的定义域：

例1　

π](k∈Z)

．

形使函数定义域扩大．

到．注意不要遗漏．

．

(3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果)

是 [

]

所以选C．

2．三角函数的值域

(1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是

|cscx|≥1、|secx|≥1．

(2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域．

常用的一些函数的值域要熟记．

③y=tanx+cotx∈(-∞，-2]∪[2，+∞)．

求下列函数的值域：

例4　

(2)y=3cos2x+4sinx

；

①x∈R

④x是三有形的一个内角．

；

(3)y=cosx(sinx+cosx)

．

，解法、答案均与上面相同．

若把上式中的sinx换成cosx

sinx=0时，y max=3，所以y∈[-4，3]

y=2sin(30°-x)·cos10°∈[-2cos10°，2cos10°]．解法二　用正弦、余弦的两角和与差的公式展开，得

y=(sin20°cosx-cos20°sinx)+(cos50°cosx-sin50°sinx)

=(sin20°+cos50°)cosx-(cos20°+sin50°)sinx

=(sin20°+sin40°)cosx-(sin70°+sin50°)sinx

sinx

=2sin30°·cos10°·cosx-2sin60°·cos10°·

评述　以上是求三角函数值域的几种基本情况，它们的共同点在于，经过

三角变换，都要转化为四种基本三角函数的值域．

，所以

解　α为锐角，tanα＞0

3．三角函数的周期性

(1)对周期函数的定义，要抓住两个要点：

①周期性是函数的整体性质，因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时，非零常数T才是f(x)的周期．

②周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值．

因为sin(2kπ+x)=sinx对定义域中任一个x成立，所以2kπ(k∈Z，k≠0)是y=sinx的周期，最小正周期是2π．

同理2kπ(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2π．

因为tan(kπ+x)=tanx对定义域中任一个x成立，所以kπ(k∈Z，k≠0)是y=tanx的周期，最小正周期是π．

同理kπ(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是

π．

(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用

①函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接．

②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化．

③因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可．

求下列函数的周期：

例6　

4．三角函数的奇偶性，单调性

研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间．

[ ]

A ．②

B ．①②

C ．②③ D

．①②③

原点不对称，所以函数①既非奇函数又非偶函数；②因为f(-x)=-f(x)

，所

但是周期函数，T=2π．因此选C ．

评述 在判定函数是奇函数或是偶函数时，一定要注意函数的定义域，一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称．因此对①，不能根据f(-x)+f(x)=0就判定①为奇函数．

原来的函数既不是奇函数，也不是偶函数．因此在研究函数性质时，若将函数变形，必须保持变形后的函数与原来的函数是同一个函数，

例8　给出4个式子：

①sin2＞cos2＞tan2；②sin2＞sin3＞sin4；③tan1＞sin1＞cos1；④cos1＞co

．

s2＞cos3．正确的序号是______

．

例9　函数y=-cosx-sin2x在[-π，π)的递增区间是______