理论力学质点动力学教学详解
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理论力学教学材料7质点动力学ppt课件
( 式中 r r(t) 为质点矢径形式的运动方程 )
2.直角坐标形式
m
d2x dt 2
X
m
d2 dt
y
2
Y
m
d2 dt
y
2
Z
x x(t)
( 式中
y
y(t)
为质点直角坐标形式的运动方程 )
z z(t)
5
3.自然形式
m
d 2s dt 2
F
m
v2
Fn
0 Fb
(式中s s(t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。F ,Fn ,Fb分别为力F在
Fgez '
FgCz '
17
自然轴投影：
m
d 2sr dt 2
F
Fge
特殊情况：
m vr2
Fn
Fgen FgCn
(1)当动系相对于静参考系作平动时，因ac=0，则FgC =0。于 是：
mar F Fge
(2)当动系相对于静参考系作匀速直线运动时，因ae=0和 ac=0 ，则Fge =0， FgC =0 ，于是：相对运动动力学基本方
令
Fge mae
——牵连惯性力
FgC maC ——科氏惯性力
16
则：
mar F Fge FgC
这就是质点相对运动动力学基本方程。
直角坐标投影： d 2 x' m dt 2 Fx' Fgex' FgCx'
m
d 2 y' dt 2
Fy '
Fgey '
FgCy '
m
d 2z' dt 2
Fz '
发射初速度大小与初发射角 0 为
理论力学9质点动力学基本方程ppt课件
小球在水平面内作匀速圆周运动。
a 0,
an
v2 r
12.5 m
s2
方向指向O点。
45º A B
60º
Or
A
FA
B
60º
FB O an
r
M
v
mg
建立自然坐标系得：
v2
m r FA sin 45 FB sin 60
(1)
0 mg FA cos 45 FB cos60 (2)
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
9.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
v0 F (v)
0
例例1 9如.1图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得
《理论力学 动力学》 第五讲 非惯性系中质点的动能定理
4、非惯性系中质点的动能定理惯性参考系中的动能定理只适用于惯性系。
在非惯性参考系中，由于质点的运动微分方程中含有惯性力，因此需要重新推导动能定理。
质点的相对运动动力学基本方程为r d d m t=++Ie IC v F F F 式中e C r2m m m =-=-=-´Ie IC F a F a ωv ，r d d tv 是对时间t 的相对导数r v 上式两端点乘相对位移d ¢r r d d d d d d m t¢¢¢¢×=×+×+×Ie IC v r F r F r F r 注意到，并且科氏惯性力垂直于相对速度，所以IC F r v d 0¢×=IC F r d d r t¢=r v 上式变为：r r d d d m ¢¢×=×+×Ie v v F r F r δW ¢Ie—表示牵连惯性力F Ie 在质点的相对位移上的元功。
δF W ¢—表示力F 在质点的相对位移上的元功。
则有：2r 1d()δδ2F mv W W ¢¢=+Ie 质点在非惯性系中相对动能的增量等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。
——质点相对运动动能定理（微分形式）4、非惯性系中质点的动能定理积分上式得22r r01122F mv mv W W ¢¢-=+Ie ——质点相对运动动能定理（积分形式）质点在非惯性系中相对动能的变化等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作功的和。
注意：因为在非惯性系中科式惯性力始终垂直于相对速度，因此在相对运动中科式惯性力始终不做功。
例4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，如图所示，若不计摩擦等阻力。
求: (1)平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止?(2)若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿板向上运动。
理论力学第10章 质点动力学
4 4
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
《理论力学》第九章质点动力学
《理论力学》第九章质点动力 学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
理论力学(哈工大版)第十章：质点动力学
第六章 质点动力学6-1 惯性参考系中的质点动力学一.惯性参考系1.一般工程问题：2.人造卫星、洲际导弹问题：3.天体运动问题：二.牛顿定律1.第一定律（惯性定律）：2.第二定律（力与加速度之间的关系定律）：3.第三定律（作用与反作用定律）：三.质点的运动微分方程 将动力学基本方程)(F a m =表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。
1.矢量形式（自：会使用微分形式）) )( ( 22方程为质点矢径形式的运动式中t r r F dtr d m == 2.直角坐标形式) )()()( ( 222222运动方程为质点直角坐标形式的式中⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===t z z t y y t x x Z dty d m Y dt y d m X dt x d m 3.自然形式b n F F v m F dt s d m ===0222ρτ ), ,,)((轴上的投影轴和轴自然轴系在分别为力运动方程。
为质点的弧坐标形式的式中b n F F F F t s s b n ττ= 四.质点动力学的两类基本问题1.已知质点的运动规律，求作用于质点上的力；----求微分问题。
2.已知质点上所受的力，求质点的运动规律。
----按质点运动的初始条件和力的函数关系对运动微分方程进行求解，从数学角度看，是解微分方程或求积分，并确定相应的积分常数的问题。
第一类问题解题步骤和要点：①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。
②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。
③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。
⑤求解未知量。
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。
变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量积分dt dv 。
理论力学课件 第二章质点组力学讲解
心重合。
重心：质点系所受重力的合力的作用点。
（3）对于只有两个质点所组成的质点组 而言，其质心位置在质点1与质点2这两点连 线上，质心与质点1、2的距离反比于质点1、 2的质量。
例1 一凹底的圆锥体，由高为h、底面半径为 R的匀质正圆锥体自底面挖去高为d（d<h）的 共轴圆锥而成。求此凹底圆锥体的质心位置。
v
2 y
V
1 m(2M m) cos2
(M m)2
tan vy (1 m ) tan
vx
M
故由于炮车反冲 v V 而 。
例3 一个重量为P的人,手拿一个重为Q的物
体到最,以高与时水，平将线物成体α以角相的对速于度他v自0向己前的跳速。度当他u跳
水平向后抛出。问由于物体的后抛使人的跳远 的距离增加了多少？
m m
4 V v 4
zc
h
s
(3h d ) 4
§2.2 动量定理与动量守恒律
一、动量定理
假设由n个质点所组成的质点组，其中某一
个O的质位点矢的为质r量i ，为作m用i，其对上某的惯诸性力参的考合系力坐为标原点
Fi Fi(i) Fi(e)
质点pi的运mi 动dd2t微r2i 分F方i(i) 程Fi(e)
本章重点研究内容
〈一〉质心及质心运动定理 〈二〉动量定理及其守恒律 〈三〉动量矩定理及其守恒律 〈四〉动能定理、机械能守恒律 〈五〉两体问题、变质量问题
§2.1 质点组的基本概念
一、质点组的内力和外力 质点组：由许多（有限或无限）相互联系
着的质点所组成的系统。
内 力：质点组内质点间的相互作用力。
外 力：质点组外的物体对质点组内质点
力学讲义-2质点动力学
K dr
≠
0
势能：保守力所作的功等于势能函数的减少（即势能增量的负值），即
重力势能为
A = −ΔEP
Ep = mgh （以 h = 0 处为势能零点）
弹性势能为
EP
=
1 2
kx2
万有引力势能为
（ k 为劲度系数，以弹簧原长处为势能零点）
EP
=
−G
m′m r
（以 r = ∞ 处为势能零点）
机械能守恒定律：若作用于系统的外力和非保守内力都不对系统作功或作功之和为
以摩擦力作功为变力作功，而从开始到链条离开
桌面，可由功能原理求得离开桌面的动能，从而求得速率。
解
（1） 建立坐标如图 2-3(b)所示，设任意时刻，链条下垂长度为 x，则摩擦力大小为
f = μ m (l − x)g l
摩擦力的方向与位移方向相反，故整个过程中摩擦力作功为
（1）
6
∫ ∫ Af
=
l f cos180o dx =
⋅
l 2
Ek
=
1 mυ 2 2
Ek0 = 0
将（3）、（4）、（5）、（6）、（7）代入（2）得
− μmg (l − a)2 = −mg l + 1 mυ 2 + mg a 2
2l
22
2l
解得
（4） （5） （6） （7）
υ = [l 2 − a 2 − μ (l − a)2 ]g L
（8）
【方法要略】 此题的关键是正确写出变力作功的表达式，求得摩擦力作的功；然后应
【知识扩展】 由上式结论知，当 t → ∞ ，υ → 0 ，其原因为，摩擦力与正压力 N 成正
比，而 N 与速度平方成正比，随着 t 增大，速度越来越小，但正压力也变小，随之摩擦力变
第一章质点运动学和动力学详解演示文稿
一时刻的位矢、速度和加速度；
2 已知质点的加速度以及初始速度和初始
位置, 可求质点速度及其运动方程．
r(t) 求导 v(t) 求导 a(t)
积分
积分
第三十八页，共77页。
第二节 质点动力学
力的累积效应
F 对时间积累
I，p
F对空间积累 A，E
动量、冲量 、动量定理、动量守恒 动能、功、动能定理、机械能守恒
o
v0
y
v v0e ， 1.0t
v/m s-1 v0
y 10（1 e1.0）t
y/m
10
O
t/s O
t/s
v t/s
y/m
v0/10
2.3 8.997 4
v0/100 v0 /1 000 v0 /10 000
4.6
6.9
9.2
9.899 5 9.989 9 9.999 0
t 9.2 s, v 0, y 10 m
地球 太阳
地—日平均间距： 1.5 ×108 km
地球半径： 6.37 × 103 km
5
第五页，共77页。
二 位置矢量 运动方程 位移 1 位置矢量 r
确定质点P某一时刻在坐标系里的
位用r 置r的表xi物示理。y量j 称z位k置矢量,y简称y 位矢r 。* P
式中 i、j 、k 分别为x、y
、z 方向的单位矢量。
时间后可以认为小球已停止运动；
(2)此球体在停止运动前经历的路程
有多长？
o
v0
y
第三十一页，共77页。
解 a dv 1.0v
dt
v dv
t
dt
v v0
0
解得：v v0et
2 已知质点的加速度以及初始速度和初始
位置, 可求质点速度及其运动方程．
r(t) 求导 v(t) 求导 a(t)
积分
积分
第三十八页，共77页。
第二节 质点动力学
力的累积效应
F 对时间积累
I，p
F对空间积累 A，E
动量、冲量 、动量定理、动量守恒 动能、功、动能定理、机械能守恒
o
v0
y
v v0e ， 1.0t
v/m s-1 v0
y 10（1 e1.0）t
y/m
10
O
t/s O
t/s
v t/s
y/m
v0/10
2.3 8.997 4
v0/100 v0 /1 000 v0 /10 000
4.6
6.9
9.2
9.899 5 9.989 9 9.999 0
t 9.2 s, v 0, y 10 m
地球 太阳
地—日平均间距： 1.5 ×108 km
地球半径： 6.37 × 103 km
5
第五页，共77页。
二 位置矢量 运动方程 位移 1 位置矢量 r
确定质点P某一时刻在坐标系里的
位用r 置r的表xi物示理。y量j 称z位k置矢量,y简称y 位矢r 。* P
式中 i、j 、k 分别为x、y
、z 方向的单位矢量。
时间后可以认为小球已停止运动；
(2)此球体在停止运动前经历的路程
有多长？
o
v0
y
第三十一页，共77页。
解 a dv 1.0v
dt
v dv
t
dt
v v0
0
解得：v v0et
大学物理学 质点动力学 知识点讲义(详细)
（1）恒力的冲量 I F(t2 t1) Ft
（2）变力的冲量
I
t2
F (t)dt
t1
直角坐标系下的分量式：
I
x
t2 t1
Fxdt
I
y
t2 t1
Fy dt
（3）合力的冲量
I z
t2 t1
Fz dt
I
t2
t1
Fi dt
9 0180，负功
第二，功与参考系的选择有关.
（克服外力对外做功）
第三，合力的功等于各分力沿同一路径所作功的代数和.
b
b
b
b
b
W
a
F dr
a
(F1 F2
Fn ) dr
a
F1 dr
a
F2 dr
a
)
v 2gl(cos cos0 )
l
FT
d ds
p
y
4 ,53.1
px 3
动量 动量定理 动量守恒定律
练习题2：
解 应用动量定理求解平均阻力
m = 80kg
（mg F阻）t mv2 mv1 F阻 -3184(N )
方向与y轴相反
（3）质点系的动量定理
t2
t1
t2
t 1
(F1 (F2
F12
va a Fn
定义
EK
1 mv2 2
为质点动能
动能定理实质说明：力的空间积累效果改变了物体的动能。
关于动能定理的说明
理论力学11质点动力学基本方程
m
研究小球
受力分析
运动分析
FT
建立直角坐标系， 根据质点运动微分方程
Fix max: FT sin ma0
y
mg
Fiy may: mg FT cos 0
x
a0 a0
FT sin ma0 mg FT cos 0
解得绳的倾角以及绳中的张力分别为
arctan a0
g FT m a02 g2
y
v
积分两次，得到
m
v0
x C1t C3
y
1 2
gt2
C2 t
C4
O
mg
x
根据运动初始条件，求出积分常数，得物体的运动方程
x v0 cos t
y
v0
sin
t
1 2
gt 2
从运动方程中消去时间参数 t ，即得物体的轨迹方程
y
tan x
2v02
g
cos2
x2
可见，其轨迹为抛物线
[例4] 摆动输送机由曲柄带动货架 AB 输送质量为 m 的木箱。已知曲
动力学
动力学： 研究力与运动之间的关系 动力学第Ⅰ类问题： 已知运动求力 动力学第Ⅱ类问题： 已知力求运动
第十一章 质点动力学基本方程
一、质点动力学基本方程
F ma 式中，m 为质点质量、 a 为质点加速度
F 为作用于质点上的合力，即 F Fi
一、质点动力学基本方程
F ma
说明： 1）在国际单位制中，m 的单位为 kg、a 的单位为 m/s2、 F 的单位为 N
0.35
O1
0 aA
A
O2
m
B
所以，木箱与货架间静摩擦因数的最小值
02_第二章 质点动力学
F 0 时， 恒矢量
惯性和力的概念
如物体在一参考系中所受合外力为零时，而 保持静止或匀速直线运动状态，这个参考系就 称为惯性参考系，简称惯性系。
3
大学物理学
第二章
质点动力学
2. 牛顿第二定律 物体受到外力时，它获得的加速度的大小与 物体所受的合外力成正比，与物体的质量成反 比，加速度的方向与合外力的方向相同。
yb
例2.6 质量为 m 的质点沿曲线从 a 点运动到 b 点，已知 a 点离地面的高度为 ya ，b 点离地面 的高度为 yb，求此过程中重力对质点的做功。 y a y
a
W mg d y mg ( ya yb )
ya
重力做功只与质点的始末位置 有关，与运动路径无关。重力 是保守力。
7
大学物理学
第二章
质点动力学
二、 牛顿运动定律的应用 1. 问题分类 ①运动情况→受力情况； ②受力情况→运动情况； ③部分运动、受力情况→其余运动、受力情况。 2. 解题基本步骤 确定研究对象→隔离物体→受力分析→建立坐 标系→列方程→解方程→结果讨论
8
大学物理学
第二章
质点动力学
例2.1 求图所示物体组的加速度及绳子的张力。 已知斜面夹角为30°，物体 A 的质量为 3m ， 物体 B 的质量为 m ，绳子不可伸长，绳子与滑 轮的质量及所有摩擦力均不计。
例2.8 摩托艇在水面上以速度 0 作匀速运动。 当关闭发动机后，它受到的水的阻力与速率成 正比。求：关闭发动机后，摩托艇行走距离 x 时阻力所作的功。
23
大学物理学
第二章
质点动力学
阻力做功 W
x
0
x
k x d x
《理论力学 动力学》 第十六讲 变质量质点的动力学普遍定理
3、变质量质点的动力学普遍定理(1) 变质量质点的动量定理设变质量质点在任一瞬时的动量p =m v ，其中m =m (t )是时间的函数，将动量对时间求导，得到：d d()d d d d d d m m m t t t t==+p v v v 而，代入上式得：d d d d r mm t tf =+=+v F F F v d d d d d d r m m t t t =++p v F v 记并入或放出质量的绝对速度为v 1, 则：1=+rv v v 则动量对时间的导数等于：1d d d d m t t =+p F v 记1d d a m tf =F v 称F ϕa 为由于并入或放出质量的绝对速度引起的反推力，它具有力的量纲且能改变质点的动量。
于是有：d d a tf =+pF F —变质量质点动量定理的微分形式变质量质点的动量对时间的导数，等于作用其上的外力与由于并入或放出质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和。
设t=0时质点质量为m 0、速度为v 0，积分上式得：00a 10d d d d tttmm m m t t t mf -=+=+òòòòv v F F F v 3、变质量质点的动力学普遍定理如果并入或放出质量的绝对速度v 1=0，则积分形式变为：000d tm m t-=òv v F 即使F =0，v 也不是常量，v =m 0v 0/m .(2) 变质量质点的动量矩定理变质量质点对任一定点O 的动量矩为：O m =´L r v对时间t 求导，得到：d d d d d ()()()d d d d d O m m m m t t t t t=´=´+´=´L r r v v r v r v 代入变质量质点动量定理的微分形式得到：d()d a m tf =+v F F d d()d d O a m t tf =´=´+´L r v r F r F —变质量质点的动量矩定理变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点上外力的合力对该点之矩与由于并入或放出质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和。
《理论力学 动力学》 第五讲 非惯性系中质点动力学的应用
求：套筒运动到端点A所需的时间
z'
及此时对杆的水平压力。
y'
2、非惯性系中质点动力学的应 用
解：研究套筒B相对于OA的运动.
O
选取和杆OA一起转动的坐标
系O x’y’z’为动参考系.
分析套筒受力, 其中
FIe = mw2 x¢ FIC = 2mw x&¢
套筒的相对运动动力学方程为：
m
d2r¢ dt 2
2、非惯性系中质点动力学的应 用
（1）傅科摆
在北半球，球铰链悬挂一支摆，摆锤摆动时，与 地球表面有相对速度，由于地球自转的影响，会 产生向左的科氏加速度，对应的科式惯性力向 右，因此它不会像单摆一样在一个固定平面内运 动，而会向右偏斜，轨迹如右图所示。这种现象 是傅科1851年发现的，称之为傅科摆。它证明了 地球的自转。摆绳摆动的平面在缓慢地顺时针旋 转，旋转一周的周期为：
2、非惯性系中质点动力学的应 用
例 1 如图所示单摆，摆长为l，小球质量为m。其悬挂点O以加速度a0向上运动。
求：此时单摆作微振动的周期。
a0
解：在悬挂点固结一个平移坐标系O x’y’。
O
x'
小球相对于此动参考系的运动相当于悬挂点固定的单摆振动。
分析小球受力, 其中 FIe = ma0
φ
因动参考系作平移运动，所以科氏惯性力 FIC = 0
2
3) = 0.209s
m
d2r¢ dt 2
=
ห้องสมุดไป่ตู้mg
+
F1
+
F2
+
FIe
+
FIC
将相对运动动力学方程投影到y’轴上，得： F2 = FIC = 2mw x&¢
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Fn ,
0 Fb
式中
aτ
d2 dt
s
2
,
an
v2
和 ab 0
bτ
z
M
F
r
na
O y
x
是加速度 a 在切线,主法线和副法线正向的投影;F, Fn和 Fb 是合力 F 在相应轴上的投影.上式式就是质点运动微分方 程的自然形式.
质点动力学的基本问题
质点动力学基本问题
ma=F
由微分方程可以解决自由质点动力学的
设开始时绳与铅垂线成偏角 0 ≤ /2 ,并被无初速释放.求
绳中拉力的最大值.
例题2
解:
任意瞬时,质点的加速度在切向和法向的 投影为
aτ
l
d2
dt 2
l,
an
l( d )2
dt
l2
写出质点的自然形式的运动微分方程
G l G sin
(1)
g
G l2 N G cos
( 2)
g
O φ0
φ
M0 M
质点动力学
动力学的任务
动力学的任务：研究作用于物体的力和物体运动之间的一
般关系.
动力学的分类
动力学
质点动力学 质点系动力学
质点--是指具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。
质点系--一群具有某种联系的质点称为质点系,刚体可以看 成不变形的质点系。
质点动力学基础
质点运动微分方程 质点动力学的基本问题 质点的相对运动微分方程
m
d2r dt 2
F
d2x m dt 2 Fx
两类问题.第一类问题:已知运动,求力;第 二类问题:已知力,求运动.
● 解决第一类问题,只需根据质点的已知运动规律 r = r (t),通过导数运算,求出加速度,代入左边各式， 即得作用力 F.
m
d2 y dt 2
Fy
● 求解第二类问题,是积分过程.
m
N = G(3cos 2cos 0)
显然,当质点 M 到达最低位置 = 0时,有最大值.故
G l G sin
(1)
g
G l2 N G cos (2)
g
O
φ0
φ N M0 an
at MG
Nmax = G(3 2cos 0)
例题3
粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平匀速转动，筒内铁 球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能 量，铁球应在θ=θ0 时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转 数n。
例题1
设电梯以不变的加速度a 上升,求放在电梯地板上重G 的物 块M 对地板的压力。
解:
将物体 M 看称自由质点,它受重力 G 和
地板反力 N 的作用。
x
ma = N G
注意到 m = G/g ,则由上式解得
N
M
Ma
N G G a G(1 a )
G
g
g
例题1
N G G a G(1 a )
O φ0
φ N M0 an
at MG
例题2
考虑到
d dd 1 d2 dt d dt 2 d
则式(1)化成
1 d2 g sin 2 d l
对上式采用定积分,把初条件作为积分下限
d
(2
)
( 2g sin )d
0
0
l
从而得
2
2g l
(cos
cos0 )
(4)
把式(4)代入式(2),有
d2z dt 2
Fz
必须注意,在求解第二类问题时, 方程的积分中要出现积分常数,
m
d2s dt 2
Fτ
,
v2
m Fn ,
0 Fb
为了完全确定质点的运动,必须 根据运动的初始条件定出这些
积分常数.
解题步骤
根据题意适当选取某质点或物体作为研究对象。 根据运动特点选取坐标系。若需要建立运动微分方 程，应将质点放在一般位置进行分析，分析个运动 量之间的关系。 受力分析，画受力图。 建立动力学方程组并求解。
碎矿石的作用。
例题4
质量是 m 的物体 M 在均匀重力场中沿铅直线由静止下落,受
到空气阻力的作用.假定阻力 R 与速度平方成比例,即 R=v2 , 阻力系数 单位取 kg/m ,数值由试验测定.试求物体的运动
g
g
上式第一部分称为静压力，第二
M
部分称为附加动压力， N'称为动
压力。
令 n 1 a g
则 N nG
n＞1, 动压力大于静力，这种现象称为超重。
n＜1, 动压力小于静力，这种现象称为失重。
x
N
Ma
G
思考
？ 磅秤指针如何变化
思考
？ 磅秤指针如何变化
例题2
单摆 M 的摆锤重 G ,绳长 l ,悬于固定点 O ,绳的质量不计.
m
d2x dt 2
Fx ,
m
d2 y dt 2
Fy ,
m
d2z dt 2
Fz
z
M
F
r
a
O
y x
Fx, Fy, Fz是作用力 F 的合力法各轴上的投影.上式是 质点运动微分方程的直角坐标形式.
自然形式
m
d2r dt 2
F
如采用自然轴系 Mnb,并把上式向
各轴投影,可得
m
d2s dt 2
Fτ ,
v2 m
动力学的基本定律
惯性定律－质点如不受力作用,则保持其运动状态不 变,即作直线匀速运动或者静止。
力与加速度关系定律－质点因受力作用而产生的加 速度,其方向与力相同,其大小与力成正比而与质量 成反比。
作用力与反作用力定律－任何两个质点相互作用的 力,总是大小相等¸方向相反,沿同一直线同时并分别 作用在这两个质点上。
v πn R 30
例题3
θF FN
mg
于是解得
1
n
30 πR
R m
( FN
mg cos
) 2
当θ=θ0时，铁球将落下，这时FN=0，于 是得
n 9.549
g R
cos
0
显然，0 越小，要求n 越大。当 0 0
时，n 9.549 g ，铁球就会紧贴筒壁转
R
过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉
动力学的基本定律
力的独立作用定律－几个力同时作用于一个 质点时所引起的加速度,等于每个力单独作用 于这个质点时所引起的那些加速度的矢量和。
质点运动微分方程
质点动力学基本方程
以 m 代表质点的质量,以 F 代表该质点所受 的力,a 代表它在 F 作用下获得的加速度,则 第二定律可以表示成 ma = F
即,质点的质量与加速度的乘积,按大小与方向, 等于所受的力。上式称为质点动力学基本方 程。
矢量形式
设有可以自由运动质点 M，质量
是 m，作用力的合力是 F，加速度是 a。
m
d2r dt 2
F
z
M
F
r
a
O
y x
这就是质点的运动微分方程的矢量形式
直角坐标形式
把上式投影到固定直角坐标系 Oxyz 的各轴,得
θ0
n
例题3
θF n
FN mg
解：
视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带
着沿圆弧上向运动，当铁球到达某一高度
时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。
质点在上升过程中，受到重力mg、
筒壁的法向反力FN和切向反力F的作用。 列出质点的运动微分方程在主法线上的投
影式
m v2 R
FN
mg cos
质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速 度。即